Tema 2 Circuitos Dinámicos de Primer Orden

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1 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden Tema 2 Crcuos Dnámcos de Prmer Orden A nade en su sano juco se le habría ocurrdo preparar enonces odos esos componenes (ranssores, ressores y condensadores a parr de un semconducor, que además de no ser el mejor maeral para ello, era ncreíblemene caro Jack Klby, Co-Inenor del Crcuo Inegrado Premo obel de Físca, Año Inroduccón 2. Crcuos Dnámcos de Prmer y Segundo Orden 3. Crcuos Lneales de Prmer Orden con Excacones en DC 4. Conecando Ressores o-lneales a Condensadores y Bobnas 5. Crcuos de Prmer Orden con Excacones Exponencales. Inroduccón En el Capíulo aneror se han esudado crcuos formados a base de nerconecar elemenos ressos. Esos crcuos ressos quedan descros medane ecuacones algebracas, que pueden ser lneales o no-lneales dependendo de la nauraleza de los componenes del crcuo, pero en las que no aparece nngún operador dferencal n negral. De lo expueso en los Capíulos anerores sabemos ya que no exse nngún componene real que sea puramene resso. Pero s exsesen ales componenes, y s los conecáramos para consrur un crcuo resso puro, su respuesa dependería sólo de la forma de las excacones, y no del rmo de cambo de ésas con el empo; eso es, s excáramos al ene deal con una señal snusodal de V obendríamos la msma respuesa para una frecuenca de Hz, o de MHz, o de GHz,... Por conra, el comporameno de un crcuo dnámco queda descro medane ecuacones dferencales, lo que hace que la respuesa dependa ano de la forma como del rmo de cambo de las excacones. Aunque la excacón manenga su forma, la respuesa cambaría al cambar el rmo de cambo de al excacón. Ora dferenca mporane enre los crcuos ressos y dnámcos es que los úlmos enen memora. Eso sgnfca que s aplcamos una excacón en un nsane deermnado, sea 0, la respuesa a parr de ese nsane depende ano de la propa excacón que esamos aplcando como de la hsora del crcuo, hsora que se resume en forma de una energía poencal almacenada en el crcuo juso anes de aplcar la excacón, en el nsane 0. Ya hemos dcho que los crcuos ressos puros son enes deales. Todo crcuo real es dnámco. Sn embargo, en algunos crcuos, y dependendo de las excacones a que les somea, los fenómenos dnámcos pueden ser rreleanes por ocurrr a mucha más elocdad que las propas Denomnamos resso a cualquer crcuo formado por la nerconexón de sólo componenes ressos: ressores, fuenes conroladas con funcones de conrol consanes y fuenes ndependenes de ensón e nensdad usadas para sumnsrar excacones. Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

2 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 2 excacones, permendo así el uso de una descrpcón algebraca aproxmada para smplfcar el problema. Sea, por ejemplo, un crcuo formado por dos ressores de carbón guales conecados en R sere con un generador de ensón. Idealmene, o C R ese crcuo quedaría modelado por la conexón s (a en sere de una fuene de ensón, represenando al generador, y dos ressores lneales de la msma ressenca, represenando a los ressores de carbón. Supongamos que el generador de ensón produce una forma de onda s ( o cuadrada con período T. El modelo resso s deal pree que la respuesa o ( es una onda T (b ambén cuadrada, del msmo período que la Fgura Parásos dnámcos en un dsor de señal de enrada, y con la mad de amplud que ensones resso. ésa. En el laboraoro podemos obserar que esa predccón es buena menras T sea lo sufcenemene grande. Sn embargo, al dsmnur T, noaremos que o ( se parece cada ez menos a una señal cuadrada, adopando la forma que se muesra en la Fgura (b. Veremos que la señal de salda se resse a segur los rápdos cambos que se producen en la de enrada; necesa algún empo para reacconar. Esa nerca se debe a la presenca de parásos dnámcos que no esán conemplados en el modelo resso deal. Para explcar la nuea forma que obseramos en el laboraoro necesamos complear el modelo, añadendo elemenos que represenen la accón de esos parásos dnámcos. En prmera aproxmacón podemos modelarlos medane el condensador mosrado en la Fgura (a. La presenca de ese condensador jusfca el que las ranscones enre el nel alo y el bajo no sean nsanáneas; y que sean ano más nooras menras menor sea T. En cualquer caso, s T llegara a ser muy pequeño, probablemene necesaremos añadr oros condensadores y/o bobnas para modelar mejor el comporameno real. En el crcuo del ejemplo aneror el comporameno dnámco esá producdo por el condensador. De hecho la presenca de elemenos almacenadores de energía, ambén denomnados reacos en el Capíulo, bobnas y/o condensadores, es una condcón necesara para que un crcuo sea dnámco. Ese Capíulo se dedca, pues, al esudo de crcuos que conengan elemenos reacos. Veremos que esos elemenos reacos son los responsables de que la respuesa de un crcuo cambe al cambar la frecuenca de la excacón, así como de guardar memora de la eolucón prea. Consderaremos sólo crcuos que conengan como máxmo dos elemenos reacos, que supondremos lneales. Sn embargo, los resanes elemenos de los crcuos bajo esudo podrán ser lneales o no-lneales. Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

3 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 3 2. Crcuos Dnámcos de Prmer y Segundo Orden Recordemos anes que nada las ecuacones consuas de un condensador lneal y una bobna lneal, respecamene, C C C d C C d C L L L d L L d L ( Esas ecuacones muesran que la nensdad que crcula por el condensador y la ensón que cae en la bobna se obenen derando en el empo la ensón del condensador y la nensdad de la bobna, respecamene. El hecho de que las arables elécrcas se relaconen en cada caso a raés de una derada emporal, nduce comporamenos de po dnámco en los crcuos que se forman conecando condensadores y/o bobnas con subcrcuos ressos, ales como los mosrados en la Fgura 2, donde en cada caso el subcrcuo resso se ha represenado por una caja negra denomnada genércamene ℵ. 2.. Crcuos de Prmer Orden Todo crcuo que conenga un únco elemeno reaco, sea bobna o condensador, y salo en los casos rales donde la nfluenca de al elemeno pueda descararse por esar conecado en sere con una fuene deal de nensdad o en paralelo con una fuene deal de ensón, es un crcuo dnámco de prmer orden; eso es, un crcuo cuyo comporameno queda descro medane una ecuacón dferencal de orden uno, dx Γ fx [ (ε, ] (2 d donde f ( es en general no-lneal y ε( represena una señal de excacón que da cuena de la posbldad de que ℵ ncluya una o aras fuenes ndependenes. Recuerde el lecor que nos hemos lmado a consderar elemenos reacos lneales. Así pues, podemos formar un crcuo dnámco de prmer orden ben conecando un condensador lneal a una red ressa de dos ermnales Fgura 2(a o conecando una bobna lneal a una red ressa con dos ermnales Fgura 2(b. Suponga que la red ressa de la Fgura 2(a es conrolada por ensón y al que f[ (ε, ] ; y que la de la Fgura 2(b es conrolada por nensdad y al que f [ (ε, ]. En al caso es sencllo obener: ℵ C C L ℵ C (a ℵ ℵ ℵ C L 2 L 2 L 2 (b (c (d (e Fgura 2 Represenacón concepual de crcuos dnámcos de prmer y segundo orden. Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

4 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 4 d C d f [ (ε, ], para la Fgura 2(a d L f [ (ε, ], para la Fgura 2(b d que se corresponden con la forma genérca en (2. Descaramos de momeno el que la red ressa sea conrolada por nensdad para el caso del condensador o por ensón para el de la bobna. ( Crcuos de Segundo Orden Los crcuos de segundo orden deben conener dos elemenos almacenadores de energía: dos condensadores, dos bobnas, o un condensador y una bobna. Podemos formar, pues, crcuos de segundo orden conecado esos elemenos en cualquera de las confguracones de las Fguras 2(c, (d o (e. Suponendo que el crcuo resso de la Fgura 2(c es conrolado por ensón, al que; que el de la Fgura 2(d es conrolado por nensdad, y que el de la Fgura 2(e ene una descrpcón híbrda, 2 2 f (, 2, ε es sencllo obener la sguene descrpcón genérca álda para esos res crcuos: Γ Γ 2 2 dx d dx 2 d f 2 (, 2, ε f (, 2, ε f 2 (, 2, ε f (, 2, ε f 2 (, 2, ε f ( x, x 2, ε f 2 ( x, x 2, ε Se deja como ejercco para el lecor el relaconar los parámeros Γ y Γ 2 de esa expresón genérca con las capacdades e nducancas de los crcuos de las Fguras 2(c, (d y (e respecamene. Al gual que en los crcuos de prmer orden descaramos de momeno el consderar redes ressas cuyas caraceríscas esén conroladas de manera dferene a las recogdas en (4, (5 y (6 respecamene. (4 (5 (6 (7 Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

5 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 5 Conene nssr en que la presenca de dos elemenos almacenadores de energía es condcón necesara pero no sufcene para un comporameno dnámco de segundo orden. Puede haber crcuos con dos elemenos almacenadores de energía cuyo comporameno queda descro medane una ecuacón dferencal de orden uno; o ncluso medane una ecuacón algebraca. En la Fgura 3 se muesra un ejemplo de cada caso. En el crcuo de la Fgura 3(a el comporameno queda descro medane una ecuacón dferencal de orden uno; y medane una ecuacón algebraca en el caso de la Fgura 3(b. Fgura 3 Ejemplos de crcuos con orden dnámco nferor a dos. En general, sempre que dos elemenos reacos de un msmo po aparezcan conecados en sere o en paralelo pueden ser susudos por un elemeno reaco equalene, reducéndose así el orden dnámco en uno. Por ora pare, s ese equalene esá conecado en sere con una fuene de nensdad o en paralelo con una fuene de ensón el comporameno pasa a ser algebraco, aunque puede depender de la energía ncal almacenada en los elemenos reacos; eso es, aunque la dnámca desaparezca, la memora puede conserarse. (a (b s s R C C C 2 C 2 o o 2.3. Conexón en Sere y en Paralelo de Elemenos Reacos Lneales Ya hemos dcho que una caracerísca dsna de los crcuos que conenen elemenos reacos es que guardan memora de su eolucón prea. Maemácamene esa memora se asoca a las condcones ncales del ssema de ecuacones dferencales usado para descrbr el comporameno del crcuo. Sn embargo, la memora de los elemenos reacos queda más claramene de manfeso cuando se consdera la forma negral de sus ecuacones consuas. Supongamos que en un condensador y en una bobna lneal, respecamene, empezamos a obserar el comporameno del crcuo a parr del nsane 0, y que en el nsane 0 el condensador ene una ensón C ( 0, menras que la bobna ene una nensdad L ( 0 con las polardades ndcadas en la Fgura 4(a. Inegrando las expresones en ( a parr del nsane 0 se obenen las sguenes formas negrales para las ecuacones consuas de una bobna y un condensador respecamene: L -- L L ( d L ( 0 0 (8 C --- C C ( d C ( 0 0 Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

6 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 6 Desde el puno de sa crcual esas ecuacones son equalenes a las que se obenen, respecamene, con los crcuos de la Fgura 4(b donde se supone que los elemenos reacos esán relajados ; eso es, que no enen energía almacenada. Lo neresane de esas formas negrales es que muesran explícamene la memora de los elemenos. En el caso de la bobna, al memora se manfesa como una fuene de nensdad consane L ( 0 ; en el del condensador como una fuene de ensón consane C ( 0. L L L (a L 0 C C C (b ( C ( 0 L L C Fgura 4 Represenacón crcual de condcones ncales en elemenos reacos. C L relajada C relajado C ( 0 L ( 0 Conexón en Condensadores en Paralelo Consderemos el crcuo de la Fgura 5 formado por la conexón de C ( 0 condensadores en paralelo, cada uno con su condcón ncal y represenado medane su equalene conssene en el condensador relajado conecado en sere con una fuene ndependene de ensón. Al esar conecados en paralelo odos enen la msma ensón, aunque cada uno puede ener una ensón ncal dsna 2, menras que la nensdad del conjuno es la suma de nensdades. Represenando la ecuacón consua de cada condensador por la forma negral en (8, mulplcando cada expresón por la capacdad del correspondene condensador, sumando las expresones resulanes y aplcando la ley de Krchhoff de las nensdades para obener la nensdad oal, resula: C k de donde se obene: 2 C 2 ( 0 C La conexón en paralelo de condensadores equale, pues, a un condensador cuya capacdad es la suma de las capacdades de los condensadores componenes, y cuya ensón ncal es una ( 0 Fgura 5 Conexón de condensadores en paralelo. C eq C k C k k ( 0 C k ( k d [ C k k ( 0 ] ( d [ C k k ( 0 ] ( d C 0 k k C k k k ( 0 C k (9 (0 2 Eso sgnfca que los condensadores esaban físcamene separados anes del nsane 0, en parcular en el nsane 0, y que la conexón en paralelo se esablece jusamene en 0. Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

7 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 7 combnacón lneal de las ensones ncales de ésos componenes; cada ensón mulplcada por la capacdad correspondene y ddda por la suma de odas las capacdades 3. Aplcacón La écnca de análss usada para el equalene aneror se puede aplcar al cálculo de la aracón de la ensón en el ermnal común del crcuo con condensadores mosrado en la Fgura 6. En ese crcuo cada condensador se carga a una ensón E k, k durane el empo que ranscurre hasa el nsane T, y permanece cargado hasa el nsane de empo 0. En ese nsane de empo se camba la ensón en E E 2 E E E 2 E Fgura 6 Redsrbucón de carga en un dsor de ensones capaco. los ermnales lbres de los condensadores, desde el alor E k, k, hasa el alor E k, k, al msmo empo que se deja el ermnal común floane. Al esar ese ermnal floane, la nensdad oal es nula. Sn embargo, la nensdad en cada condensador no lo es, y el condensador k esmo queda descro por la sguene ecuacón consua en forma negral, E k o 0 T 0 T 0 T C C 2 C k ( d, k C k 0 E k o 0 Mulplcando cada una de esas expresones por la correspondene capacdad ecuacones resulanes, y agrupando érmnos se obene, [ C k E ] k o C k k ( d [ C k E k ] 0 De aquí y dado que la nensdad oal es nula, se obene la sguene expresón para o : [ C k ( E k E k ] o k C k C k (, sumando las (2 (3 Conexón de Condensadores en Sere En ese caso, Fgura 7, la nensdad es común a odos los condensadores menras que la ensón del conjuno es la suma de las ensones de los componenes. Usando de nueo las formas negrales de 3 Físcamene esa ensón ncal equalene no exse en el nsane 0, ya que en ese nsane los condensadores esán aún desconecados y cada uno ene una ensón dsna. La ensón equalene se formaría juso ras conecar los condensadores, y como resulado de un proceso de redsrbucón de carga enre ellos. Idealmene ese proceso se produce a elocdad nfnamene ala, nsanáneamene, de manera que en 0 la ensón equalene esá ya formada. En cualquer caso, que la ensón equalene esé defnda en 0 o en 0 no camba el resulado de los cálculos. Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

8 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 8 las ecuacones consuas de los condensadores, sumando esas ecuacones y sacando como facor común la negral de la nensdad se obene: k La conexón en sere de condensadores equale, pues, a un condensador cuya capacdad se calcula a parr de las capacdades de los condensadores componenes como: y cuya ensón ncal es la suma de las ensones ncales de ésos componenes C k ( d k ( 0 0 C eq C k (4 (5 C ( 0 2 C 2 2 ( 0 C ( 0 C eq C k k ( 0 Fgura 7 Conexón en condensadores en sere. Conexón de Bobnas en Sere y en Paralelo Los equalenes de las bobnas se pueden derar sn necesdad de cálculo obserando la dualdad 4 exsene enre las ecuacones consuas de condensadores y bobnas; en las bobnas la ensón juega el papel correspondene a la ensón en los condensadores, y ceersa. Por ano, para la conexón en sere de bobnas se obene, L eq L k L k ( eq k ( 0 L k menras que para la conexón en paralelo de bobnas, L eq L k ( 0 eq k ( 0 k (6 (7 4 El concepo de dualdad aparece de forma reeraa en ese y oros Capíulos. Informalmene, dremos que dos crcuos son duales s esán descros medane ecuacones maemácamene déncas, aunque mplcando arables físcas dsnas. Por ejemplo, una conexón de ressores lneales en paralelo es dual de una conexón de ressores lneales en sere nercambando ressencas por conducancas y ensones por nensdades. Tambén, una conexón de bobnas en sere es dual de una conexón de condensadores en paralelo nercambamos ensones por nensdades y capacdades por nducancas. Asmsmo, el crcuo de la Fgura 2(a es dual del de la Fgura 2(b nercambando capacdad por nducanca y ensón por nensdad. Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

9 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 9 3. Crcuos Lneales de Prmer Orden con Excacones en DC Supongamos que el crcuo resso ℵ de la Fgura 2 conene úncamene ressores lneales, fuenes conroladas lneales y fuenes ndependenes consanes. Su caracerísca - es, R por ano, una funcón afín 5, y el comporameno del crcuo C E f se puede represenar ben por el equalene Théenn de la (a ℵ Fgura 8(a o por el equalene oron de la Fgura 8(b, cuyas caraceríscas - concden s J f E f R. Aunque los dos crcuos pueden ser analzados usando ano R el equalene Théenn como el oron, conene usar aquél L J f ℵ para el condensador, y el oro para la bobna. En al caso, los (b comporamenos dnámcos de los crcuos de la Fgura 8 Fgura 8 Crcuos dnámcos quedan descros por las sguenes ecuacones dferencales de lneales de prmer orden. prmer orden, respecamene, d E f C , para la Fgura 8(a d R (8 d L R ( J d f, para la Fgura 8(b uesro objeo es esudar la solucón de esas ecuacones a parr del nsane 0. Esa solucón es una forma de onda, de ensón ( para el crcuo de la Fgura 8(a y de nensdad ( para el de la Fgura 8(b, cuyo cálculo requere el alor de la condcón ncal de la correspondene arable. Pensando en érmnos de excacones y de respuesas, la forma de onda que preendemos obener defne la respuesa de cualquera de los crcuos mosrados en la Fgura 9(a y (b para las excacones en DC mosradas en cada caso. Por una pare, la excacón aplcada menras < 0 crea un esado ncal en el elemeno almacenador de energía, esado que se manfesa en la forma de onda obenda para > 0 ; por ora pare, la excacón aplcada menras > 0 nfluye obamene ambén en dcha forma de onda. La respuesa del crcuo ene por lo ano dos componenes: una debda al esado ncal del elemeno almacenador de energía, llamada respuesa al esado, ora debda a la excacón que se esá aplcando al crcuo en el neralo emporal donde se esá mdendo su respuesa, llamada respuesa a la enrada. 3.. Solucón General: Respuesa al Esado y Respuesa a la Enrada Las dos expresones mosradas en (8 se pueden represenar medane la sguene ecuacón genérca de prmer orden, dx Γ m ( x X d f con 0 y x( 0 X 0 (9 5 Afín es una funcón del po f( x a x b, eso es, una línea reca que no pasa por el orgen. Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

10 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 0 De los cursos de maemácas sabemos que la solucón de una ecuacón de ese po puede calcularse sumando la solucón general de la homogénea y una solucón parcular de la nohomogénea para obener, x ( X f ( X 0 X f e - (20 donde es la consane de empo de la solucón, dada por la sguene ecuacón, R C, para la Fgura 9(a Γ --- m -- L, para la Fgura 9(b R La expresón (20 muesra que, efecamene, la respuesa complea de un crcuo lneal de prmer orden excado con fuenes de DC depende ano del esado ncal X 0 como de la enrada aplcada X f. Separando la pare de la respuesa complea debda al esado y la debda a la enrada obenemos, respecamene, - x esado ( X 0 e, para 0 (22 - x enrada ( X f e, para 0 oe el lecor que la consane de empo es un parámero poso y, por ano, que las funcones exponencales anerores son decrecenes. La prmera de esas expresones muesra que, a parr del esado ncal X 0, el crcuo se relaja y x esado ( decrece endendo asnócamene haca x esado ( 0 a un rmo de cambo ano más rápdo menras menor sea la consane de empo, (2 (a E 0 0 C 0 R E f (b J 0 0 L 0 R J f E f J f (c ( 00, enrada ( E f e - (d ( 00, enrada ( J f e - E 0 J 0 esado ( E 0 e - esado ( J 0 e - (e (f ( 00, ( 00, Fgura 9 Respuesas al esado y a la enrada para crcuos de prmer orden con excacones de DC. Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

11 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden lm[ x esado ( ] 0 (23 d x esado ( xesado ( d Por ora pare, en su respuesa a la enrada, y parendo de x enrada ( 0, el crcuo ende, ambén asnócamene, hasa el alor de la excacón de DC X f a un rmo ano más rápdo menras menor sea la consane de empo. lm[ x enrada ( ] X f d xenrada ( d Las formas de onda mosradas en las Fguras 9(c, (d, (e y (f lusran esos comporamenos para el crcuo capaco y el nduco respecamene. X f - e ( Oras Respuesas Asocadas a los Crcuos de Prmer Orden En los crcuos de prmer orden resula de nerés conocer no sólo como aría la arable dnámca prncpal x, sno ambén la derada de la msma. Para el crcuo capaco, esa derada defne la nensdad que crcula por el condensador y la ressenca (er Fgura 0 y por ano la caída de ensón en esa úlma, d R R C R --- Γ dx (25 d m d Para el nduco, la derada defne la caída de ensón en la bobna y la ressenca (er Fgura 0 y por ano la nensdad que crcula por esa úlma, R -- (26 R R -- L d Γ dx --- d m d En ambas ecuacones anerores hemos endo en cuena (2 para la expresón en el membro de la derecha. Usando la arable genérca y para represenar a cualquera de las dos en (25 y (26, y susuyendo x ( por su solucón dada en (20 se obene, solucón a la que se puede llegar de forma más dreca obserando a parr de (9 que en cada caso es y ( x X f. Examnando (27 en comparacón con (20 y (22 podemos hacer las sguenes obseracones: En la arable derada y (, la respuesa al esado se relaja al msmo rmo que el de la arable x (, aunque su sgno es conraro para preserar las leyes de Krchhoff. La respuesa a la enrada de la arable derada se relaja hasa cero, en lugar de crecer hasa, al rmo marcado por las consanes de empo. X f y ( Γ dx --- m d ( X f X 0 e - C L R R ℵ ℵ Fgura 0 Respuesas deradas. R R E f J f (27 Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

12 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 2 Esa úlma obseracón ndca un comporameno ben dsno en la arable prncpal y la derada. Más adelane eremos que esas dferencas proocan que, al excar con una señal mulfrecuenca, la salda medda en la arable prncpal conenga ersones aenuadas de las componenes de ala frecuenca, menras la medda en la arable derada conene ersones aenuadas de las componenes de baja frecuenca Solucón con Ressencas egaas Supongamos ahora que los ressores lneales de los crcuos de la Fgura 8 y la Fgura 9 enen ressenca negaa. Un sencllo análss muesra que el comporameno dnámco de ambos crcuos se puede represenar medane la sguene ecuacón genérca: dx Γ m ( x X d f (28 con 0 y x( 0 X 0 donde m R para el crcuo capaco y m R para el nduco; en cualquer caso m es parámero poso y la únca dferenca respeco a (9 esá, por ano, en el sgno de la derada. Esa dferenca se puede subsanar cambando la arable por ', lo que perme aproechar la solucón obenda anerormene resulando, ' - x' ( X f ( X 0 X f e (29 con Γ m. óese que, salo la arable emporal, esa forma de onda es dénca a la obenda preamene y expresada en (20. Recuérdese que la arable emporal de (29 se obene medane un cambo de sgno a parr de la de (20. Eso sgnfca que s fuésemos capaces de hacer correr el empo haca arás y obseráramos la eolucón de los crcuos de ressenca negaa a medda que la arable emporal ' aumena, eríamos exacamene el msmo comporameno que para los crcuos de ressenca posa con el empo correndo haca delane, eso es con la arable aumenando. Pero es obo que no podemos hacer correr el empo haca arás, que la eolucón la enemos que er respeco a la arable, y que para ello hay que deshacer el cambo de arables aneror. Con ello obenemos, - x ( X f ( X 0 X f e (30 que, aunque smlar a (20, conene exponencales posas en lugar de las negaas obseradas para ressencas posas. Desglosando las componenes de la ecuacón aneror podemos formular las sguenes obseracones relaas a la respuesa de los crcuos de prmer orden con ressenca negaa: la respuesa al esado, - x esado ( X 0 e, derge exponencalmene a parr del esado ncal menor sea la consane de empo; la respuesa a la enrada, X 0, ano más rápdamene menras Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

13 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 3 - x enrada ( X f e, derge ambén a parr de x enrada ( 0, y alejándose del alor X f ano más rápdamene menras menor sea la consane de empo. Las formas de onda correspondenes a ese caso se muesran en la Fgura para el crcuo capaco y para el nduco. Obsere que en razo dsconnuo hemos ncludo ambén las hpoécas formas que se obendrían s hcéramos correr el empo haca arás, suacón en la que x esado ( se relajaría hasa el alor cero, y x enrada ( crecería hasa el alor X f Consanes de Tempo Posas y egaas Es neresane obserar que la respuesa para ressenca posas y negaas pueden represenarse por la msma ecuacón (20 sempre y cuando se redefna la consane de empo de acuerdo con la sguene ecuacón, --- Γ > 0, para ressenca posa m (3 Γ --- < 0, para ressenca negaa m donde debemos recordar que m lo hemos defndo de forma que es un parámero sempre poso y que Γ ambén es sempre poso pues nos lmamos a consderar condensadores con capacdad posa y bobnas con nducanca posa. Así pues, el cambo del sgno de la ressenca repercue sólo en un cambo del sgno de la consane de empo. Pero, como hemos so anerormene, ese (a E 0 C R E f (b J 0 L R J f E f J f ( 00, ( 00, (c - enrada ( E f e (d - enrada ( J f e - esado ( E 0 e - esado ( J 0 e E 0 J 0 (e ( 00, ( 00, Fgura Respuesas al esado y a enradas de DC para crcuos con ressencas negaas. (f Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.

14 Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden 4 cambo de sgno da lugar a dferencas de comporameno más que noables; los crcuos con consanes de empo posas responden con exponencales decrecenes a las excacones de DC, menras que aquellos con consanes de empo negaas responden con exponencales crecenes Ruas Dnámcas y Punos de Equlbro Fjemos de nueo nuesra aencón en las ecuacones (9 y (28, que se pueden represenar genércamene como, dx Γ m ( x X d f con 0 y x( 0 X 0 donde el sgno negao se aplca al caso de ressenca posa y el poso al de ressenca negaa. Obsere que el membro de la derecha de la expresón de arrba defne la derada y, por ano, la razón de aracón emporal de la arable x ; razón esa úlma que camba con el alor de x. Para adqurr una nocón gráfca de ese cambo podemos represenar el membro de la derecha de la ecuacón (32 frene a x. Eso corresponde a una línea reca, al como se muesra en la Fgura 2, donde se han dbujado por separado la reca correspondene al sgno menos en (32, y la correspondene al sgno más. La represenacón de la Fgura 2 es de gran nerés ( 00, Fgura 2 Ilusrando la eolucón dnámca alrededor de punos de equlbro esables e nesables. para proporconarnos una dea cualaa sobre el comporameno dnámco del crcuo. En relacón con esa fgura son pernenes las sguenes obseracones: La arable x y su derada deben cambar con el empo de modo que sasfagan en odo nsane la ecuacón de la reca defnda por el membro de la derecha de (32 con su correspondene sgno; de oro modo no serían una solucón de la ecuacón. Breemene, dremos que en su eolucón dnámca, la arable x sgue una rua, llamada rua dnámca, defnda por la al reca. La eolucón dnámca ene un puno de referenca en el puno x X f ; el puno donde la rua dnámca cora al eje de abcsas. Ese puno se denomna puno de equlbro porque en él la derada es nula y, por ano, s nos colocáramos exacamene sobre él, el ssema permanecería en reposo. Alrededor del puno de equlbro, la eolucón de la arable x será haca alores que hagan crecer x X f, en el caso de que la derada sea posa; o haca alores que hagan decrecer ese módulo, s la derada es negaa. Esa nformacón esá conenda en la dreccón ndcada por las flechas superpuesas a la Fgura 2. óese que la eolucón conerge haca ese puno para el caso de ressenca negaa, y derge de él en el oro caso. S ras suarnos sobre el puno de equlbro perurbamos lgeramene el alor de x, hacendo x X f ± ε donde ε es un nfnésmo, el ssema uele al equlbro sólo en el caso de ressenca posa, y se aleja de él en caso conraro. En el caso de ressenca posa, o de dx Γ d X f (32 sgno x Elecrónca Básca Angel Rodríguez Vázquez, Anono Acosa Jménez, Rocío del Río Fernández Ese Documeno es una copa de rabajo, ncomplea, que puede conener errores, y cuya dsrbucón sólo pueden auorzarla los auores. Queda oalmene prohbda su reproduccón por cualquer medo no auorzado. Próxmamene esará dsponble una ersón - para dsrbucón sem-públca.