Consideraciones generales sobre dinámica estructural

Transcripción

1 Capíulo Consderacones generales sobre dnámca esrucural Inroduccón El obeo de la dnámca esrucural es el análss de esrucuras bao cargas dnámcas, es decr cargas que varían en el empo. Aunque la mayoría de las esrucuras pueden dseñarse consderando sólo cargas esácas, hay mporanes excepcones que requeren del proyecsa la posbldad de dsngur enre cargas esácas y dnámcas. En realdad, las cargas accdenales o las cargas móvles, a dferenca del peso propo, rara vez son esrcamene esácas porque su aplcacón sobre la esrucura requere de un cero empo que en defnva debe ser analzado para esablecer s se raa de una carga esáca o dnámca. Sn embargo es nuvamene váldo acepar que s la magnud de la fuerza vara en forma sufcenemene lena no causará efecos dnámcos y podrá raarse como esáca. Para deermnar s la carga varía en forma lena o rápda el valor de referenca para comparacón es el perodo naural de la esrucura. El perodo naural es el empo que arda la esrucura en recorrer un cclo de vbracón lbre, es decr la vbracón que ocurre después que fnalza la excacón exerna o después que la carga dea de varar y se manene consane. El perodo naural depende de la masa, de la rgdez y de las condcones de vínculo, odas ésas caraceríscas nrínsecas o propas de la esrucura. El nerés en el análss de cargas dnámcas ha do crecendo consanemene en los úlmos empos, en pare debdo a que el avance en la ecnología ha hecho posbles dseños más apropados, y que las herramenas compuaconales acuales permen hacer con carácer

2 runaro cálculos que en ora época eran cuesones de especalsas reservadas para casos muy especales o mporanes. Además, acualmene se proyecan esrucuras más audaces (más grandes, lvanas, ec.) que son más suscepbles a los efecos dnámcos porque son más flexbles y enen perodos naurales alos, es decr que son más sensbles a varacones de las cargas en el empo. Las relacones enre los desplazamenos y los esfuerzos de una esrucura son las msmas ya consderadas en el análss esáco, ndependenemene que la carga sea de po esáca o dnámca. Para el análss dnámco es necesaro nroducr dos pos de fuerzas que no ocurren en el caso esáco: ) Las fuerzas de nerca asocadas la propedad de nerca de la masa de la esrucura y de las componenes o pares no esrucurales, y ) Las fuerzas de dspacón de energía por dversos pos de mecansmos de frccón (frccón seca, frccón vscosa, frccón seca en unones esrucurales). El análss dnámco apuna a deermnar en prmer érmno los desplazamenos de la esrucura en funcón del empo, y a parr de ellos deermnar los esfuerzos en la forma habual (barra por barra) propa del méodo de rgdez al como se lo ha vso para cargas esácas..- Fuerzas nernas en las esrucuras Las fuerzas nernas que acúan sobre las componenes de una esrucura dependen de los desplazamenos o deformacones específcas. Cuando se quere conocer una fuerza en funcón de la deformacón se procede en prmer érmno a calcular la deformacón, y luego por medo de la ley de Hooke, se obenen los esfuerzos. Supóngase un proceso de deformacón varable en el empo para el cual se cuena con nsanáneas foográfcas de la deformacón de la esrucura. Se propone el sguene nerrogane Se pueden deermnar las fuerzas eláscas nernas en cada puno de la esrucura a parr de las deformacones en cada nsane, ndependenemene del esado de deformacón en el nsane aneror o poseror al consderado? La respuesa es AFIRMAIVA, es decr que las fuerzas eláscas sólo son dependen de los desplazamenos (y deformacones) en cada nsane, y no de la velocdad o de la aceleracón. Para cada una de esas nsanáneas para el cálculo de los esfuerzos (momeno flecor, esfuerzo de core, fuerza axal, y momeno orsor) corresponde segur el méodo de cálculo ya vso para análss esrucural bao cargas esácas, es decr que a parr de los desplazamenos y gros de los nudos se calculan las deformacones específcas (curvaura de flexón, deformacón específca axal y gro en orsón por undad de longud) y se procede a calcular

3 las fuerzas eláscas nernas a ravés de las relacones consuvas (Ley de Hooke para el caso de maerales lnealmene eláscos). La esenca del problema dnámco es evaluar los desplazamenos de la esrucura en cada nsane del empo, y a parr de ellos proceder a deermnar los esfuerzos medane las expresones de la ley de Hooke o ley consuva del maeral, sn dsngur enre un problema dnámco de oro esáco. En realdad esa aseveracón es una prmera aproxmacón ya que en alguna medda la velocdad con que se deforma el maeral o se ensaya una probea puede modfcar en algunos casos al modulo elásco del maeral, y por ende las ensones correspondenes para gual valor de las deformacones. Cuando la velocdad de carga es elevada el modulo elásco ende a ncremenarse por la vscosdad nerna del maeral que no responde en forma nsanánea. En el marco del presene curso se consderará que las posbles varacones del módulo elásco en funcón de la velocdad de carga es un efeco de segundo orden, es decr que se supone que no varía aprecablemene con la ley de varacón de la carga en funcón del empo. De odos modos, el análss de la nfluenca de la velocdad de aplcacón de la carga en el valor del módulo elásco puede ser expresada en forma aproxmada a ravés del concepo de amorguameno vscoso nerno de la esrucura nroducendo el concepo de módulo elásco dnámco..- Respuesa a cargas varables en el empo El problema cenral de odo problema dnámco es calcular los desplazamenos (y las respecvas deformacones) de la esrucura bao un ssema de cargas exerores varables con el empo F (). Ese po de proceso de carga ocurre, por eemplo, cuando un cuerpo cae sobre una vga, cuando se levana desde el suelo un obeo con un puene grúa, o cuando un vehículo crcula sobre un puene aún cuando el esado del pavmeno sea perfeco. En un caso genérco la amplud de la carga F () consdera que es conocda y que consuye un dao del problema. F () descrbe un dagrama como el de la Fgura., que se Fgura.

4 La valoracón o esmacón de la funcón de carga F () es en general complea por la nfluenca de múlples varables nvolucradas, y en general es necesaro recurrr a smplfcacones que permen aproxmar el problema. En el caso de una carga dnámca que resula de arroar una bolsa de arena sobre una vga perfecamene elásca (suponendo que la vga no dspa energía), se produce dspacón de energía en la bolsa, y la nensdad y dsrbucón de las presones en el conaco enre la bolsa y la vga requere un esudo especal cuya solucón dsa en general de ser rval. En la mayoría de los dsnos pos de cargas dnámcas propas de las esrucuras cvles, la deermnacón de la ley de varacón de la carga en funcón del empo se basa en daos expermenales que adecuadamene nerpreados y analzados, son ncorporados a los reglamenos o normas de dseño, ales como el Reglameno INPRES-CIRSOC 3 para dseño ssmo-ressene de esrucuras, o a los reglamenos para dseño de puenes carreeros (DNV) o ferrovaros. Con frecuenca ocurre que la magnud de F () depende de la respuesa de la esrucura, y la valoracón de la carga requere de cera aproxmacón preva a la solucón del problema dnámco. No es lo msmo rar una bolsa sobre una vga muy rígda que sobre una vga que se deforma bao la accón del mpaco, ya que la presón de conaco podrá será muy dferene para cada según la flexbldad de la esrucura que afecará el proceso de deceleracón de la bolsa, y por ende de la fuerza de neraccón enre la bolsa y la esrucura. Reconocendo que la defncón de F () presena dfculades y lmacones propas de las aproxmacones necesaras para calcularla, en el desarrollo de las ecuacones que conrolan el comporameno dnámco de la esrucura se supondrá F () es conocda, y una vez conocda la respuesa a esa carga exeror, se podrá corregr o meorar la precsón de F (). carga En oros casos, por eemplo para cargas de muy baa duracón en el empo, el efeco de la se puede descrbr a ravés de la velocdad ncal que recbe la esrucura como consecuenca de la carga. En ese caso la velocdad ncal es drecamene proporconal al valor del Impulso oal de la carga que se defne como el valor de la negral de la funcón de carga F () F () enre el comenzo y fnal de la carga. Esa clase de cargas dnámcas consuyen las denomnadas Cargas Impulsvas. En esa clase de cargas se encuenran las presones debdas a una onda expansva por deonacón de un explosvo; una medda de la nensdad de la carga se puede expresar a ravés de la magnud del mpulso que dcha carga produce, y ese mpulso se ransforma en una velocdad ncal de la zona drecamene afecada por la carga. Oro po de cargas son las Cargas Osclaoras caraceríscas de procesos vbraoros sosendos en el empo, ya sea en régmen permanene o en régmen ransoro, en los que la duracón oal de

5 la carga es mayor o gual al período naural del ssema sobre el que acúa e nvolucra varos cclos de carga. Ese po de cargas presenan osclacones en el empo que pueden ser peródcas de frecuenca consane o varable en el empo. En esa caegoría se encuenran las fuerzas dnámcas de po armónco, cuyo valor medo en cclos eneros de carga es nulo. En el Capíulo se analzan los efecos de cargas armóncas y los parámeros que las caracerzan..3- Fuerzas de nerca Imagínese una vga sobre la cual se apoya un recpene (ambos supuesos sn masa) al que se agrega maeral (con masa) para analzar qué efecos ene sobre el comporameno dnámco. S el conuno no ene masa, y además no hay fuerzas de dspacón por frccón, la respuesa nsanánea a cada valor de F ( ) es la msma que en el caso esáco (sn masa y por lo ano sn nerca). Es decr que el desplazameno del ssema ( ) sgue la varacón de la carga; ( ) será proporconal a F ( ) y segurá la msma secuenca en el empo represenada en la Fgura. para vga. F ( ) con un cero un facor de escala relaconado con la rgdez de la F( ) () Fgura. Cuando se nroduce la masa, la propedad de nerca de ella ende a rerasar la respuesa respeco a la solcacón exeror. La accón de la carga exeror nroduce al ssema energía en forma de rabao exerno como consecuenca de la carga aplcada a ravés del desplazameno que dcha carga provoca, energía que se almacena nernamene en dos modaldades: ) Energía de deformacón, y ) Energía cnéca. La masa adquere velocdad y en ese proceso absorbe pare de energía exerna que ofrece la carga exeror aplcada. Cuando dea de acuar la carga exeror, el rabao exeror ransferdo esará almacenado parcalmene como energía de deformacón y como energía cnéca, y en ausenca de frccón nerna o exerna, la suma de ambas componenes permanecerá consane en el empo. En los problemas eláscos bao cargas dnámcas la energía nerna del ssema esá consuda por la suma de dos componenes: la energía nerna de deformacón

6 y la energía cnéca. S no hay frccón, el oal de la energía exerna sumnsrada por la carga aplcada se ransformará en energía nerna de deformacón y en energía cnéca en proporcones que varían en funcón del empo. La respuesa dnámca puede raer como consecuenca que su valor máxmo represene una amplfcacón o una reduccón respeco a la que se producría s el ssema no uvera nerca. En general, para odas las resanes condcones déncas, no se puede decr que la respuesa dnámca necesaramene sea mayor que la esáca, es decr que el efeco de la nerca de las masas puede llevar a una amplfcacón o a una reduccón de la respuesa respeco al msmo caso sn nerca. La evaluacón de la respuesa dnámca de un ssema elásco esará asocada fundamenalmene a dos mporanes caraceríscas dnámcas de la esrucura, una de ellas conrolada por la relacón enre la nerca y rgdez elásca de las componenes y que se expresa a ravés del Período Naural del ssema, o de su nversa, la frecuenca Naural f = /, y la ora asocada a la capacdad de dspacón de energía a ravés de fuerzas que se descrben en forma genérca como fuerzas de frccón o de amorguameno..4- Velocdad de reaccón de una esrucura La velocdad de reaccón de una esrucura se defne a ravés de los perodos naurales de vbracón. La capacdad de responder a una accón exerna (nerca) de alguna forma se puede expresar a ravés de los llamados perodos naurales de vbracón de la esrucura. Supóngase que una masa susenada por un resore elásco que es aparada de su poscón de equlbro y luego es lberada. Ésa comenzará a osclar alrededor de la poscón de equlbro ncal con una cera frecuenca propa f (y perodo = /f ), que perme caracerzar la capacdad del ssema masa/resore para segur la varacón de la carga en el empo. Según la varacón en el empo de la funcón de carga con respeco a se podrá esablecer s la carga aplcada produce efecos dnámcos o no, y en ese úlmo caso se drá que el comporameno del ssema frene a la carga es esáco. S el empo en el que se nroduce la carga es muy pequeño frene al perodo naural se consdera que la carga se aplcó en forma dnámca. La capacdad de la esrucura para reacconar frene a la carga esá drecamene asocada al valor del período.

7 F () F () D D Fgura.3 En síness, se puede conclur que el problema es esáco o dnámco según los valores del cocene D / : D S PROBLEMA DINAMICO S D.5- Fuerzas dspavas PROBLEMA ESAICO Se denomna Amorguameno a la capacdad de dspar energía del ssema. Como se demosrará con la solucón de las ecuacones que conrolan la respuesa dnámca del ssema, hay casos en que las máxmas ensones no dependen del amorguameno menras que en oros casos el amorguameno uega un papel fundamenal en la amplud de la respuesa dnámca. F( ) Fgura.4 Para una carga de cora duracón (frene al período de la esrucura) y un únco pulso como se ndca en la Fgura.4, el amorguameno de la esrucura no ncde aprecablemene en la magnud de la respuesa máxma, y con frecuenca no es consderado para calcular el valor máxmo de la respuesa. Por el conraro, en el caso de movmenos vbraoros sosendos de po peródco de larga duracón en el empo (frene al período ) el amorguameno puede ener gran ncdenca en la magnud de la respuesa dependendo de la

8 frecuenca de la excacón en comparacón con la frecuenca naural del ssema. Para cargas de baa frecuenca frene a la frecuenca naural, se demosrará más adelane que la respuesa es esencalmene esáca y el amorguameno no afeca a la respuesa. Smlarmene, para cargas de ala frecuenca frene a la frecuenca naural, el amorguameno ampoco ncde sgnfcavamene en la amplud de la respuesa. Por el conraro, cuando la frecuenca de la carga aplcada se encuenra en el enorno enre.5 y veces la frecuenca naural de la esrucura, el amorguameno cobra un rol decsvo en la amplud de la respuesa, especalmene cuando la frecuenca naural del ssema y la excacón son muy próxmas enre sí (resonanca). Por lo ano, las fuerzas dspavas deben ser endas en cuena en los casos de cargas osclaoras de larga duracón, aunque no sempre endrán ncdenca aprecable en la magnud de la respuesa. Los procesos de dspacón de energía que se denomnan genércamene como amorguameno del ssema, son en general de nauraleza complea. S la ley de Hooke se cumple durane el proceso de carga y descarga, el grafco F que relacona a las Fuerzacon los Desplazamenos sgue una línea reca y el área represenava de la energía que se dspa en el proceso de carga es gual a cero, ya que la energía almacenada durane la carga se recupera en la descarga, resulando nula el área encerrada por la curva de carga y descarga, al como se lusra en la Fgura.5 Cuando nervenen fuerzas dspavas, una prmera aproxmacón habual es consderar que F es proporconal a la velocdad a ravés de una consane posva D C. Esa represenacón es conocda como amorguador vscoso. El valor de C no necesaramene es consane ndependene de la amplud del desplazameno, pero es habual raarla como s lo fuera, y la expresón de FD es: FD = C. Consdérese ahora una barra elásca someda a raccón por las fuerzas F ( ) y F( ) acuando en sus exremos, y supóngase que el maeral del que esá compuesa la barra es vsco-elásco, es decr que las fuerzas aplcadas en sus exremos esán equlbradas por dos pos de mecansmos en paralelo: ) n mecansmo elásco propo del comporameno elásco descro por la ley de Hooke, y ) n mecansmo vscoso que genera las fuerzas S se supone que ambos mecansmos funconan en paralelo, es decr que en cada nsane una pare de la carga exeror aplcada F ( ) F D. es equlbrada por las fuerzas eláscas y ora pare por las fuerzas vscosas F D, la varacón del desplazameno de los exremos de la barra como

9 funcón de la carga oal F ( ) segurá la curva ndcada en la Fgura.6. El dagrama F pasó de ser una línea reca como en la Fgura.5 a una elpse que encerra un área proporconal a la energía dspada en cada cclo de deformacón compleo (carga y descarga). Nóese que en los ssemas físcos aquí consderados la elpse que descrbe el proceso de carga y descarga se desarrolla en el sendo horaro, y la energía nea que se dspa en cada cclo es posva y proporconal al área encerrada por la elpse. F F F B A B A B A Fgura.5 Fgura.6 Fgura.7 Debe enerse en cuena que la energía dspada en el amorguameno vscoso no depende solamene de la amplud del desplazameno máxmo A sno que ambén varía con la velocdad de carga, es decr que s se ncremena la frecuenca de la excacón aplcada, se ncremenará el área de la elpse ya que la energía dspada en cada cclo es proporconal a la velocdad, la que a su vez es proporconal a la frecuenca de la excacón (para una amplud dada del desplazameno máxmo en cada cclo). Ese efeco se lusra en la Fgura.7. Cuando la carga y descarga ocurre con sufcene lenud se ene una línea reca como la Fgura.5. Normalmene las esrucuras de obras cvles enen un amorguameno relavamene bao (la medda del amorguameno se defne más adelane), salvo que por alguna razón parcular se requeran mecansmos especales de dspacón de energía, al como ocurre en algunos puenes de gran luz susenados por cables en los que a veces es necesaro nroducr dsposvos de dspacón. En cada cclo de carga y descarga se dspa energía pero resula relavamene compleo efecuar medcones drecas de las fuerzas dspavas. La Fgura.8 lusra la pare elásca y la pare vscosa de la carga oal aplcada para cada valor del desplazameno.

10 F Fuerza dspava=c. Fuerza Elásca=K. Fgura.8 Los mecansmos de dspacón en esrucuras reales pueden resular basane compleos, por lo que el modelo más ulzado para represenar las fuerzas dspavas es el lneal vscoso que es lneal y smple, además de dar resulados acepables en muchos casos. Oro mecansmo de amorguameno cuya expresón analíca resula ambén smlar a la de los procesos vscosos, pero que no se orgnan en fuerzas vscosas, es el correspondene a rradacón de energía a ravés de los medos connuos en conaco con la esrucura, fludos como are, agua, ec., o sóldos como suelos y roca de fundacón. En ese po de amorguameno, la expresón analíca es smlar a la de las fuerzas vscosas, pero la dspacón de energía se produce a ravés de ondas eláscas que se ransmen desde la esrucura haca el medo crcundane sn froneras que refleen de vuela dchas ondas sobre la esrucura. S la fuerza dspava es proporconal a la velocdad a ravés de la consane C se ene: FD = C. Al aplcar una carga exeror de forma snusodal con un perodo y una frecuenca Ω, el desplazameno para el esado de régmen será ambén armónco y de gual frecuenca: u =. sen( Ω. ) π FD = C. = C. Ω..cos( Ω. ) =Ω. C.. sen Ω. F (). Ω =. π Fgura.9

11 La fuerza dspava en ese modelo vscoso resula proporconal a la frecuenca de la carga y desfasado 9º respeco a los desplazamenos. Nóese que las fuerzas vscosas enen un sendo opueso a la componene de velocdad que las orgna en odos los casos que se consderan en ese conexo. Exsen ceras suacones en las cuales las fuerzas vscosas se producen en el msmo sendo que la componene de velocdad, y en al caso las fuerzas vscosas no producen dspacón de energía del ssema sno que le agregan energía al msmo. Esa es la suacón ípca de procesos nesabldad aeroelásca enre la esrucura y el fluo de are que la envuelve, desgnados habualmene por su expresón nglés como Fluer. En ese po de suacones las fuerzas aerodnámcas enden a arrasrar a la esrucura haca mayores ampludes de vbracón. Esos procesos quedan fuera del alcance de esas noas. na de las complcacones propas de las esrucuras reales es que C no sea esrcamene consane. n caso ípco de esa suacón es el que corresponde a un modelo de fuerzas dspavas en el que la elpse que represena las fuerzas F D no es funcón de la velocdad (o frecuenca) de la excacón, y por lo ano el área encerrada en cada cclo es ndependene de la velocdad. Ese modelo de amorguameno se conoce como amorguameno esrucural o hseréco y consuye una prmera aproxmacón lneal a los procesos de frccón seca propos de las unones de esrucuras unones con remaches o bulones, o de la dspacón a ravés de deformacones en suelos granulares cuyo comporameno esá conrolado por la frccón enre las parículas. En realdad, ese po de amorguameno no genera cclos de carga elípcos, y la hpóess que se raa de fuerzas cuya varacón en funcón del desplazameno es una elpse es sólo una prmera aproxmacón. Los procesos de frccón seca son más compleos y no responden en general a expresones de po lneal. Esa represenacón aproxmada del amorguameno esrucural o hseréco se suele desgnar como amorguameno esrucural lneal equvalene ya que rescaa de la realdad el aspeco prncpal del proceso compleo, en el sendo que las fuerzas dspavas no varían con la velocdad de deformacón, pero no descrben en dealle la varacón real de las fuerzas en funcón del desplazameno (y del empo), y la elpse equvalene se defne de manera al que su área sea gual a la energía dspada en cada cclo. En síness, los modelos más correnes para represenar las fuerzas dspavas son: a) Amorguameno vscoso lneal, en el que el área de la elpse, o cclo de hséress, es funcón lneal de la velocdad.

12 b) Amorguameno esrucural lneal equvalene: en el que las fuerzas de frccón enden a ser proporconales a la amplud del desplazameno pero ndependenes de la velocdad..6- Caraceríscas dnámcas de una esrucura Las caraceríscas dnámcas más mporanes de una esrucura son los perodos naurales de vbracón y el amorguameno. El perodo naural es sempre mporane e nfluye en odos los casos de cargas dnámcas, menras que el amorguameno en algunos casos puede no ser mporane y en oros casos no. La respuesa dnámca depende además de oras propedades como la capacdad de dspar energía por deformacón plásca y las varacones de las propedades de los maerales causadas por la velocdad con que se aplca la carga. Ésos y oros facores pueden ser mporanes en algunos problemas, pero los más relevanes en odos los casos, son en defnva el perodo naural y el amorguameno del ssema.

13 Capíulo Respuesa de un osclador smple Inroduccón La ecuacón de equlbro dnámco, ambén conocda como ecuacón de movmeno esa dada por: K. = P( ) M. C. (Ec..) K = (Ec..) *. P() C K P() M La forma de la ecuacón (Ec..) (ecuacón de movmeno) pone de manfeso el Prncpo de D Alember por el cual es posble planear las ecuacones de equlbro dnámco agregando a las fuerzas exerores P () y a las fuerzas nernas eláscas K., las fuerzas de nerca y las fuerzas dspavas.

14 La ecuacón (Ec..) pone de manfeso que la fuerza de nerca M. es de sgno opueso a, o sea que se opone al cambo de velocdad, y la fuerza dspava opone al cambo de desplazameno o de poscón de la masa. C. El desplazameno nsanáneo se supone esa meddo con respeco a un ssema nercal o fo. Anes de presenar la solucón general de la ecuacón (Ec..) es convenene esudar el caso de vbracones lbres, es decr para P ( ). Para defnr las propedades dnámcas de una esrucura debemos esudar su comporameno cuando oscla lbremene. Allí surge el perodo propo, que comparado luego con el perodo de la carga nos perme deermnar el carácer esáco o dnámco de la carga varable en el empo..- Vbracones lbres La ecuacón lneal, homogénea, a coefcenes consanes: ene por solucón: K. + C. + M. = (Ec..3) Ae Be... r r = +. (Ec..4) A y B son consanes a deermnar en funcón de las condcones ncales; y r son las raíces de la ecuacón caracerísca : Mr. + Cr. + K= r se r, ± =. M C C 4. M. K (Ec..5) El carácer de las raíces de la ecuacón (Ec..5) depende del valor radcando. Se dsnguen res casos: a) C 4. K. M > b) C 4. K. M = c) C 4. K. M < El caso a) corresponde a un amorguador supercríco, el b) a uno críco, y el c) a uno subcríco. En el caso c) las raíces y r son reales, dsnas y negavas, por lo cual se verá r que la solucón no ene érmnos osclaoros, sno que decaen exponencalmene. En el caso c) las raíces son compleas con pare real e magnara dsna de cero, y la solucón comprende érmnos osclanes que decaen exponencalmene. En el caso a) las dos raíces

15 son reales y negavas, y no hay érmnos osclanes. En el caso b) las dos raíces son reales, negavas e guales enre sí, y no hay érmnos osclanes. = Ae. + Be. r. r. = > El amorguameno esrucural es habualmene pequeño (subcríco) y corresponde al caso c) (salvo que específcamene se coloque un amorguador en algún puno de la esrucura). En lo que sgue se concenra la aencón exclusvamene en el caso c) para el cual las raíces de la ecuacón (Ec..5) son compleas: Se nroduce la sguene noacón: Donde: Cr r C C K = ±. +. M 4. M M, =. K. M (Ec..6) C ξ = C ω = r K M C r = Amorguameno críco ξ = Relacón o cocene de amorguameno. ω = Frecuenca crcular del ssema no amorguado (Ec..7) (Ec..8) Reemplazando queda: C = ξ.. M. ω (Ec..9) r, = ξ. ω±. ω. ξ Desgnando: ω = ω. ξ D (Ec..)

16 r, = ξ. ω±. ωd Susuyendo esas raíces compleas en la (Ec..4) nos queda: Recordando que: Ae e Be e ξω ωd ξω ωd =. +.. (Ec..). ωd. e ωd sen = cos(.) +. ( ω.). ωd. e = cos( ω.) sen. ( ω.) Y cambando las consanes, la ecuacón (Ec..) se orna: ξω.. e C sen ωd C ωd = (. (. ) +.cos(. )) (Ec..) D La ecuacón (Ec..) pone de manfeso que la respuesa esá modulada por la exponencal de ω ω ξ.. e ξ ω y es armónca con frecuenca crcular ω D. enendo en cuena la defncón D =. se puede aprecar que para. D.995 D D ξ = ω = ω o sea que la frecuenca del ssema amorguado para el % del amorguameno crco dfere sólo un 5 de la correspondene al ssema no amorguado. El amorguameno en esrucuras cvles normalmene se esma en el enorno del 5%. Rara vez supera el %, y a los efecos práccos no es necesaro dsngur enre ω y ω D en las aplcacones práccas. ω D ω. ξ Fgura. ωd En la Fgura. se represena vs ξ. La ecuacón (Ec..) puede ambén escrbrse ω en la forma: ω D + = ω ( ξ ), ecuacón que corresponde a una crcunferenca de rado=. Para deermnar las consanes y C se derva ambos membros de la ecuacón C (Ec..) respeco a.

17 ξω.. = e C sen ωd + C ωd (. (. ).cos(. )) e ξω ξω = ωξ ( C. sen( ωd. ) + C.cos( ωd. )) + e ( C. ωd.cos( ωd. ) C. ωd. sen( ωd. )) (Ec..3) Para = en general se suponen conocdos y, que se denomnan condcones ncales del ssema, y se ene: = C = ω.. ξ + C. ω D C = + ωξ.. ω + ωξ.. s(. ) ξω.. = e.. sen( ωd. ) +.co ωd ωd D (Ec..4) Como eemplo, el caso en que =, es decr que se rera al ssema de su poscón de equlbro en una magnud y se lo dea osclar lbremene. La Fgura. represena la solucón.. ξ.5.. ρ. e ξ ω 5.π 5 5 ω D ωξ =. (.) +.cos(.) ξω.. e senωd ωd ωd - Fgura. La ecuacón (Ec..4) ambén puede ser escra de ora manera magnando que los dos érmnos represenan la proyeccón sobre un ee de dos vecores roando a frecuenca ω D con π de dferenca de fase enre ellos, como se ndca: ρ ( ) + ωξ.. = + ωd (Ec..5)

18 + ωξ.. (Ec..6) θ = arcg. ωd = ρ e ω θ) (Ec..7) ξω....cos( D. θ ω D. Ee de proyeccón + ωξ.. ω D ρ Fgura.3 Para bao amorguameno, el puno de angenca de la exponencal.. ρ. e ξ ω con la curva respuesa ocurre próxmo al máxmo local y es posble aproxmar la relacón enre dos pcos sucesvos de la sguene manera: m+ ξω.. m e = e e m+ m L.. π. ξ ξ. ω.. π. ξ. π. ξ (Ec..8) Donde es el n-ésmo máxmo desplazameno y smlarmene +. m m Relaconando máxmos dsanes en m cclos se ene: m L.. π. m. ξ m+ m (Ec..9) Expresón que perme despear el coefcene de amorguameno cuando se pueden regsrar vbracones lbres expermenalmene. La relacón de la (Ec..9) se conoce como decremeno logarímco..- Excacón Peródca Consdérese una carga perodo de la msma. P ( ) peródca como se ndca en la Fgura.4, donde es el

19 P (). 3. lzando la represenacón de Fourer: Fgura.4. π. m. π. m (Ec..) P () = ao + am.cos. + bm. sen. m= m= ao =. P ( ). d (Ec..). π. m am =. P( ).cos.. d. π. m bm =. P( ). sen.. d (Ec..) (Ec..3) Es posble reducr el problema de una excacón peródca arbrara a una superposcón de excacones armóncas. S se raa de ssemas lneales, es aplcable el prncpo de superposcón según ndca la ecuacón (Ec..). Se concenrara ahora la aencón en una carga armónca de perodo arbraro. Carga armónca La ecuacón de movmeno es: K. + C. + M. = P. sen( Ω. ) (Ec..4) Donde: Ω. =. π La solucón general homogénea ya ha sdo deermnada y es de la forma de la ecuacón (Ec..4). Se propone la solucón parcular de la forma: = C. sen( Ω. ) + C.cos( Ω. ) p Susuyendo la ecuacón (Ec..5) en (Ec..4) se obene: (Ec..5)

20 .(. ( Ω. ) +.cos( Ω. )) +. Ω. (.cos( Ω. ). ( Ω. )) M. Ω.( Csen. ( Ω. ) + C.cos( Ω. ) ) = Psen. ( Ω. ) K C sen C C C C sen Agrupando érmnos que mulplcan a sen( Ω. ) y cos( Ω. ), se obenen las sguenes relacones que deben sasfacer y C para que sea solucón de la ecuacón (Ec..4). C + C. ω C. Ω.(. ξω. ) C. Ω. sen( Ω. ) =. sen( Ω. ) M P o p o (Ec..6) + C. ω + C. Ω.(. ξω. ) C. Ω.cos( Ω. ) = (Ec..7) De ese ssema se obenen y C : Donde: C C ( ) C P o β =. K β + (. ξβ). P o (. ξ. β ) =. ( β ) K + (. ξβ. ) Ω β = ω (Ec..8) (Ec..9) La solucón complea es la suma de la solucón general homogénea y la parcular, o sea: [ ω ω ] ξω.. = e. Asen. (. ) + B.cos(. ) + P o ( β ) D +.. ( β ). sen(. ) (. ξ. β).cos(. ) K Ω Ω + (. ξ. β) Los valores de A y D (Ec..3) B deben ser deermnados en funcón de las condcones ncales. La solucón general, represenada por el prmer érmno de la (Ec..3) se denomna normalmene como solucón ransora ya que esá amorguada por la exponencal decayene y evenualmene desaparece. El segundo érmno represena la solucón parcular, que se denomna solucón de régmen. Para una excacón peródca, los pcos del ransoro sólo ocurren unas pocas veces menras al comenzo del proceso, menras que los pcos de régmen, aún cuando fueran de menor nensdad, se repen ndefndamene y pueden producr faga. Por el conraro, los pcos del ransoro son pocos, pero su amplud puede ser sgnfcava y producr las máxmas ensones.

21 Con un razonameno smlar al caso de vbracones lbres, se puede consderar que la solucón de régmen es la proyeccón sobre un ee de dos vecores orogonales como se ndca en la Fgura.5. a Ω. θ ρ b a = ρ = P o K P o K.. Fgura.5 ( ) β β + (. ξβ). ( ) β + (. ξβ).. ξβ. θ = arcg ( β ) ( ) θ = arccos β. γ P o ( β ) < θ < π. ξ. β b =. K + (. ξβ. ) = ρ. sen( Ω. θ ) La carga exeror esa en fase con el vecor a y la respuesa esa desfasada con respeco a ella en un ángulo θ. La varacón de θ con β y ξ se ndca en la Fgura.6.

22 ξ = ξ =.5 ξ =. ξ =.5 ξ =. γ 5 ξ = Fgura ξ =. Fgura.7 El cocene enre la amplud del esado de régmen y el desplazameno esáco que producría la carga ξ =.5 ξ =.7 ξ = P se llama coefcene de amplfcacón dnámca o facor dnámco γ. o β γ = ( ) β + (. ξβ). (Ec..3) Resonanca La Fgura.7 muesra que el máxmo facor dnámco corresponde a valores de β algo menores pero próxmos a la undad. El valor exaco se puede obener dervando e gualando a la (Ec..3): S: ξ <.7 : La frecuenca de resonanca es: Ω =.. y el máxmo facor dnámco es: R ω ξ

23 γ max =. ξ.. ( ξ ) (Ec..3) Para comprender meor el problema de resonanca se debe ener en cuena ambén el perodo ransoro. Suponendo desplazameno y velocdad ncal nulos, la respuesa resonane para un caso sn amorguameno y para oro con amorguameno esá dada en las Fguras.8. Ssema No Amorguado ξ 4 Ssema Amorguado Fgura.8 En el ssema resonane no amorguado la respuesa crece ndefndamene a menos que cambe la frecuenca de la excacón, o el comporameno se orna no lneal y dea de ener vgenca la solucón enconrada. Es neresane observar el crecmeno de la amplud en el ssema resonane amorguado en la Fgura.9.

24 ξ ξ =. ξ =. ξ =.5 ξ =. 4ξ Número de cclos Fgura.9 Por eemplo, para un amorguameno del 5% se alcanza el 85% de la amplud máxma de resonanca en 6 cclos, alcanzando en forma asnóca una amplfcacón dnámca γ = para una candad nfna de cclos de carga..3- Inegral de Duhamel En esa seccón se analza la respuesa () del osclador smple somedo a una excacón P () arbrara. El procedmeno consse en raar el efeco de la fuerza P () como la superposcón de mpulsos nfnesmales como se ndca en la Fgura.. P () mpulso P. ( τ ) d τ dτ τ Fgura. La respuesa al cabo de un nsane genérco será gual a la suma (negral) de los efecos producdos por los mpulsos elemenales P( τ ). dτ aplcados hasa ese nsane. Respuesa a un mpulso recangular de muy cora duracón Se adopan como condcones ncales: =, y = para resolver la ecuacón de movmeno: K. + M. + C. = P

25 a: Debdo a las condcones ncales y a la cora duracón del mpulso la ecuacón se reduce La velocdad en el nsane f es: M. = P P = M (a). P f = + m Δ f =. Δ M (b) El espaco recorrdo resula: f = +. Δ +. m. Δ f P.. M = Δ (c) P( τ ) P τ Δ f α =. f f α Fgura. La respuesa en un nsane corresponde a vbracones lbres regda por la (Ec..4), con condcones ncales dadas por las ecuacones (b) y (c) aplcadas en cualquer nsane τ: Donde: f ( ) ξω τ + ωξ.. ( ω τ ) ( ω τ) ).. = e.. sen D.( ) +.cos D.( ωd =, es dado por (c) =, es dado por (b) f

26 S se consdera un empo nfnésmo dτ, el valor de dado por (c) es un nfnésmo de orden superor frene a dado por (b) y puede por lo ano desprecarse; luego: ξω..( τ) P( τ ) d () = e.. dτ. sen( ωd.( τ) ) M. ωd (Ec..33) La respuesa para una carga arbrara se obene consderando que la msma es la negral de las respuesas correspondenes a una sucesón de mpulsos nfnesmales: P P P P 3 m m Fgura. La respuesa oal es la negral de las respuesas nfnésmas dada por (Ec..33): ξω..( τ) () = e. P( τ ). sen( ωd.( τ). ) d ω. M τ D (Ec..34) Adconalmene, hay que agregar al () dado por (Ec..34) la respuesa ransora debda a las condcones ncales en = ( y ) que son ndependenes de P ( ). Ese procedmeno se basa en el prncpo de superposcón y es váldo sólo para ssemas lneales. La ecuacón (Ec..34) se conoce como INEGRAL DE DHAMEL. Cabe desacar que esa ecuacón es compleamene general y puede aplcarse a cualquer po de carga pero normalmene se la ulza para raar mpulsos o efecos ransoros ya que para condcones de una carga armónca en régmen ya se cuena con la solucón general analzada anerormene. La negral de Duhamel es un caso parcular de la Inegral de Convolucón enre dos funcones, la de carga y la de la respuesa a un mpulso unaro. La solucón de la Inegral de Duhamel para dversas funcones de carga esá dada por expresones analícas que se encuenran resuelas y abuladas en la leraura. Aquellos casos

27 en que la varacón de la carga no es una funcón senclla como para aproxmarla por alguno de los casos cuya solucón se conoce, la solucón puede obenerse evaluando la negral de Duhamel por algún procedmeno numérco (méodo de los rapecos, Smpson, ec.). Esrcamene, la Inegral de Duhamel sólo resula convenene para calcular la respuesa en un nsane dado perfecamene defndo, es decr para un nsane dado. Parendo de la expresón (Ec..34) se han desarrollado écncas de recurrenca que permen obener ( +Δ ) a parr de ( ) que permen calcular en forma numérca la Inegral de Duhamel para odos los valores de la varable. En el caso de cargas mpulsvas el valor máxmo de la respuesa, que consuye el prncpal nerés prácco, ocurre poco empo después de ncada la aplcacón de la carga y el amorguameno no alcanza a reducr sgnfcavamene su efeco de reduccón de la respuesa. S no se consdera amorguameno la expresón (Ec..34) se smplfca y oma la forma: () = P( τ ). sen( ω.( τ). ) d ω. M τ (Ec..35) La negral de la (Ec..35) esá resuela en forma analíca exaca para una candad de casos ípcos de cargas mpulsvas. Varas solucones explícas de esos resulados esán dadas en la abla.. Eemplos Pulso de varacón lneal con duracón D Suponendo un esado ncal de reposo ( y nulos) y raándose de un efeco mpulsvo para el que neresa la máxma respuesa se puede desprecar el amorguameno ( ξ = ) y la solucón esá dada por: P( ) P D Fgura.3

28 P sen( ) dτ para < τ < D () =.. τ ω.( τ). ω. M D P ω τ sen ω τ dτ ( ) () =....( ). K D (Ec..36) s P K (). ω =. τ s. sen( ω.( τ ). ) d τ D = es la deformacón esáca que producría la carga aplcada en forma esáca. P (). ω =. τ s. sen( ω.( τ ). ) d τ D Es necesaro reconocer que la respuesa máxma puede ocurrr para τ o para τ >. D D Para τ > se puede deermnar en prmer lugar la respuesa para τ =. D D A parr de ese nsane, para el que es posble conocer las condcones ncales ( D ) y ( D ) se calcula el movmeno lbre del ssema según lo ndcado anerormene. Inegrando la ecuacón (Ec..36) por pares: Fnalmene para < : D udv. = vdu. + uv. ( ) = τ ; d = dτ dv = sen ω.( τ). dτ ; sen s () =. D ω ( ω τ ) cos.( ) v = ω (. ) ω sen ω () = s.. + D ω ω ( ω. ) s () =. cos. D ( ( ω ) ) (Ec..37) (Ec..38) Para una carga arbrara como la de la Fgura. es posble aproxmar su varacón por segmenos recos como el lusrado precedenemene. Pulso recangular de duracón D Para una carga con funcón escalón como la dada en la Fgura.4 será:

29 P() P D El valor máxmo de Fgura.4 () = s. ω..cos ω.( τ) ω ( ( ω )) ( ) () =. cos. (Ec..39) s ( ) es veces s. El facor que mulplca a s en la (Ec..36) y sucesvas se conoce como Facor Dnámco Máxmo γ. El valor máxmo del msmo para pulsos ndvduales de carga es menor o gual a. Para el caso de una sere de pulsos sucesvos, el efeco acumulavo puede dar orgen a facores dnámcos superores a. La expresón (Ec..39) es válda para desplazameno ncal ( D ) y velocdad ( D ). D. Para D > el ssema vbra lbremene con La máxma respuesa al pulso P () de ese caso, como en el de carga con varacón lneal, se conoce sólo después de comparar D (empo que acúa la carga) con el perodo del ssema. S el máxmo ocurre menras acúa la carga sgnfca que la esrucura sene la carga en forma nmedaa (la esrucura es muy rígda frene a su masa nercal), menras que s la respuesa es lena puede expermenar el máxmo después que se la carga ha deado de acuar. en que El prmer máxmo para (Ec..39) ocurre para ω. = π, de modo que solamene en el caso D > (recordar ω. =. π ) la respuesa alcanzará el máxmo =. s. S D < la carga dea de acuar anes de llegar la respuesa a. s. El pulso recangular es el que ende a producr los máxmos valores de respuesa, y enre los pulsos recangulares, los peores son los de larga duracón ( D ). na vez que el pulso pasó la duracón críca osclacones del po armónco superpuesos con un valor consane. D = se producrán oros pcos con

30 Se puede verfcar fáclmene que s el fnal de la carga ocurrera en el nsane a de la Fgura.5, el ssema connuaría osclando con la frecuenca naural del ssema enre y ±. s según la línea de punos. (). s a s a a 3 S la carga deara de acuar en a Fgura.5 la respuesa ambén sería armónca funcón armónca con valores enre ±. s menras que s la carga deara de acuar en a 3 el ssema quedaría en reposo a parr de ese nsane. Para el caso de un mpaco, la fuerza de neraccón es normalmene del po de la Fgura.6, pudendo presenar uno o varos pcos según la dsrbucón de la masa y ressenca al aplasameno del cuerpo que mpaca. P () P max P med D Fgura.6 En esos casos se puede aproxmar adopando una carga consane con amplud P med en odo el empo, o ben con una carga consane gual a la máxma P. Cuando se ene un d esado de carga convexo Fgura.7 y se ulza la carga nsanánea máxma para calcular la max

31 respuesa máxma, el facor dnámco máxmo, a veces ambén denomnado coefcene de mpaco, es en general menor que. P( ) P max Fgura.7 En la Fgura.8 se presenan pulsos de res formas dferenes que acúan con gual duracón D y amplud P : P( ) P( ) P () P P P D D 3 D D. Fgura.8 La máxma respuesa varía lnealmene con la amplud del pulso P no así con la duracón Para cargas de cora duracón respeco al período del ssema, la respuesa máxma se alcanza después de fnalzada la carga, y a gualdad de duracón del pulso D, la mayor respuesa corresponde a la funcón que apora el mayor mpulso, ya que ése nroduce el mayor cambo de candad de movmeno ( y de energía cnéca), y por lo ano el desplazameno de mayor amplud.

32 γ,,8,6,4 ( 3) ( ), ( ),,8,6,4,,,,,, D Fgura.9 El caso mas desfavorable es el pulso recangular donde γ puede llegar a s D. El pulso rangular () es ano más desfavorable cuano mayor sea su duracón D (en el líme es un pulso recangular). Para el puso con forma de pco () el efeco más desfavorable se produce cuando D.8 y el Facor Dnámco Máxmo resulaγ.5

33 Nº abla. Solucones Analícas para la Inegral de Duhamel Carga ( ) P τ τ ( ω τ ) P( ). sen.( ). dτ P P ω. cos. ( ( ω )) a. a sen. ω ω ( ω. ) 3 b. ( ω ) b.cos.. + ω ω ω P 4 P sen ( ω. ) ω.. ω < ( ω( )) ( ω. ) P sen sen. ω. ω ω >

34 5 P P e β.(. ) ( ω. ) P P. ω β. sen. ( cos ( ω. ) ) +. e cos + ( ω. ) β. ω ω + β ω 6 P P e β.. ( ω. ) P. ω β. sen. e cos ( ω. ) + β. ω + β ω 7 P P. sen.. π P.. π... ω. sen. π. sen( ω. ) ω. 4. π P P.cos.. π 8 P.. ω. π.. cos cos. ω. 4. π ( ω ) P 9

35 P ω. cos. ( ( ω )) < P. cos.( ) cos. ω ( ω ) ( ω) > P P. sen.. π P.. π... ω. sen. π. sen( ω. ) ω. 4. π. π. P. ω. 4. π ( sen( ω ) sen( ω ))..( ). < > P P ω. P ω...cos ( ) ( ω ) sen. ω ( ω. ) < ( ω( )) ( ω. ) sen sen + ω ω > P P sen. cos ( ω. ) + ω ω. ( ω. ) ( ω( )) ( ω. ) P sen sen. cos ( ω. ) ω ω. ω. < >

36 P. 3 P sen( ω. ) P ω ω.. ω < ( ω ) ( ω ) P. sen ( ) sen... + ω. ω ω. ( ω ) ( ω ) ( ω ) < <... sen ( ) sen (. ) sen. >. P 3 4 P ω Ver caso 4 para < ; = P. ω. + sen( ω ( )) sen( ω. ) ω ( ) sen( ω ( ) ). ω.( 3 ) < < 3 ( ω( )) ( ω. ) ( ω( )) ( ω( )) P sen sen sen sen. + ω ω. ω. ω.( ) ω.( 3 ) 3 3 > 3 P P. cos. π. 5 P P. ω.. π.. cos.. cos cos. ω ω. 4. π ( ( ω) ) ( ω) P ω.. cos.( ) cos.. cos.( ) cos. ω ω. 4. π < ( ω ) ( ω) ( ω ) ( ω) >

37 abla.: Valores del FACOR DINAMICO γ y del IEMPO DE MAXIMA RESPESA m en funcón de la relacón D para dsnos pos de pulsos. γ,,5 m D,8,6 P,45 P,4,,4, D D,8,35,6,4,,,,,, D,3,5,,,, D, γ, m D,8,6 P P,4,,,8,6 D D,4,,,,, 3, 4, D,,,, 3, 4, D,6 γ, m D,4,8,,,6,4, P,8, D,6,4, P,,,, 3, 4, D D,8,6,4,,,,, 3, 4, D

38 .4- Inegracón Numérca La solucón de la ecuacón dferencal del movmeno por méodos numércos es una herramena más general que las solucones analícas rgurosas que sólo son posbles cuando la carga y las caraceríscas de rgdez del resore pueden expresarse en una forma maemáca smple. Eso consuye una severa lmacón en los problemas reales, por lo que es necesaro amplar las posbldades para resolver casos de nerés prácco. Con la dsponbldad de equpos de compuacón se ha mulplcado el uso de los méodos numércos en la solucón de problemas de la ngenería esrucural, lo que perme solucones de problemas dnámcos que eran nraables en empos no an leanos. El osclador smple es un modelo smple pero úl para represenar esrucuras reales. El modelo masa-resore de la Fgura.(a) puede represenar a dversas esrucuras s se calcula correcamene la consane K. () K m F() a F() F( ) m m l l b c Fgura. La Fgura.(b) lusra una vga smplemene apoyada con una masa en el cenro y una fuerza varable F ( ). La flecha al cenro es: 3 Fl. 48. EI. = K = EI. l Para la vga en voladzo con una masa en el exremo, Fgura.(c) es: 3 Fl. 3. EI. = K = 3 3. EI. l Consdérese el pórco de la Fgura., donde la masa esá dsrbuda a lo largo de la vga. Se puede adopar un modelo de un Grado de Lberad Dnámco (GLD): el corrmeno horzonal de la vga.

39 F () m F( ) * 3 4 Fgura. Se Calcula el corrmeno horzonal * F del nudo ; luego: K = * Ssema Lneal No Amorguado El resore represena la rgdez de la esrucura y M es una masa concenrada. Por el momeno no se consdera el amorguameno. K M () P () La ecuacón del movmeno es: K. + M. = P( ) Fgura. (Ec..4) La negracón numérca resuelve la ecuacón dferencal paso a paso comenzando en el nsane = para el que se conocen el desplazameno y la velocdad ncales. El empo se subdvde en nervalos y se obene el desplazameno al fnal de cada nervalo por exrapolacón de lo que ocurre en el nsane ncal de cada nervalo. S ben exsen varos méodos para realzar la negracón paso a paso solamene desarrolla aquí el denomnado méodo de velocdad consane o ambén de mpulsos concenrados.

40 m + m m Δ m m + m m m + Δ Fgura.3 Suponendo ya deermnados m y m se deermna m + por exrapolacón: m+ = m + m+ /. Δ (Ec..4) (Espaco ncal más la velocdad meda por nervalo de empo) Donde: es la velocdad meda en el nervalo m + / + y puede aproxmarse por la sguene expresón: m m m+ / = + m. Δ Δ (Ec..4) (Velocdad meda del nervalo precedene + aceleracón por empo). La aceleracón puede despearse de la ecuacón (Ec..4): Llevando m + / m m =. Pm K. M ( ) m =. +.( Δ) (Ec..44), m de (Ec..4) a (Ec..4) se ene: m+ m m m Reemplazando (Ec..43) en (Ec..44): K Δ m+ =. Δ. m m +. P M M m (Ec..43) (Ec..45) Ese valor es aproxmado, y su error dsmnuye a medda que dsmnuye Δ. Para fnes práccos basa omar nervalos de empo no mayores de un décmo del perodo propo del ssema: Sempre y cuando el funcón del empo: Δ (Ec..46) Δ además resule adecuado para segur las varacones de la carga en

41 P () Fgura.4 Al comenzo del proceso de negracón resula necesaro un procedmeno especal para obener ya que no se cuena con una valor de. S se supone que la aceleracón es consane durane odo el prmer nervalo e gual a la aceleracón en = se ene: = +. Δ +.. Δ (Ec..47) Luego, basará con aplcar repedamene la expresón (Ec..45) para enconrar la solucón para cualquer nsane de empo. En el caso en que ano la fuerza exeror, el desplazameno y la velocdad sean nulos en el nsane = la expresón (Ec..47) no perme arrancar con el proceso de negracón. En ese caso se puede ulzar la expresón: =..( Δ ) 6 (Ec..48) que se deduce a parr de la hpóess que la aceleracón crece lnealmene durane el prmer nervalo enre cero y un valor conocdo dferene de cero. Reemplazando la expresón (Ec..43) en (Ec..48) resula: P (Ec..49) = 6. M + K ( Δ) que perme comenzar cuando = P = = Δ nadecuado La (Ec..48) surge de la sguene manera: ( ) () = Δ (). Δ =. d. Δ () = (). = + = d Δ 6 3 () = (). =. + = Δ

42 Fgura.5 ( Δ ) = =..( Δ) 6 Ssema Lneal Amorguado Al consderar el amorguameno la ecuacón del movmeno es: K. + C. + M. = P( ) (Ec..5) Luego: m Pm K. m C. = M m (Ec..5) La (Ec..5) a dferenca de la (Ec..43) requere aproxmar la velocdad en el nsane m, para lo que se propone: m m m m m. Δ = + Δ P K C Δ = Δ M + C. m m m. m.... K Δ + C Δ m. m C Δ Δ. + = m +. Δ Δ M + C. M + C. Δ M + C. P m (Ec..5) (Ec..53) (Ec..54) En defnva, el procedmeno aneror es váldo s se reemplaza la (Ec..43) por la (Ec..53) y se deermna medane (Ec..5). Ssemas No Lneales La negral de Duhamel es una de las écncas más usadas para análss dnámco lneal de esrucuras sueas a cargas varables en el empo. Como dcho procedmeno se basa en el prncpo de superposcón, es váldo úncamene para esrucuras lneales, es decr para ssemas cuyas propedades permanecen consanes durane odo el proceso dnámco (masa, rgdez, ec.). El procedmeno de negracón numérca paso a paso supone que las propedades del ssema durane cada paso de negracón, pero ésas pueden varar en funcón del empo.

43 Supóngase el caso de una esrucura con comporameno no lneal debdo a que su rgdez varía con la deformacón como lusra la Fgura.6. Evdenemene, K no es consane, de modo que en cada paso de negracón el valor de K se puede adapar en funcón del valor de. P Fgura.6 Oro caso de nerés es el comporameno elaso-plásco. En general no se permen deformacones pláscas en condcones normales de operacón, pero pueden conemplarse en el dseño de esrucuras que soporen severas cargas dnámcas en casos poco frecuenes o lmados a lo largo de su vda úl. Consdérese la funcón carga deformacón R de la Fgura.8 como una smplfcacón del dagrama real de la Fgura.7 (recordar que descargando en H, la curva de descarga es paralela a la curva de carga y ene la msma pendene K ). P f P H f m δ Fgura.7 R R f f m D

44 Fgura.8 Llamando R a la fuerza en el resore la ecuacón de movmeno queda: M. + R= P( ) (Ec..55) La fuerza R en el resore depende de según se observa en la Fgura.8: R = K. R = R f R = R K.( ) f m < < f < < f (. ) < < m m f m (Ec..56) Cuando con el cálculo numérco se llegue al puno D donde =., será necesaro defnr s el ssema permanece elásco o enra en fluenca por compresón al msmo valor que en raccón. Ora suacón fácl de raar con el procedmeno paso a paso es el cambo de la masa durane la respuesa, ya que su valor se puede acualzar en cada nsane. En al caso será necesaro verfcar que cuando la masa dsmnuye ambén dsmnuye el período naural y puede resular necesaro adecuar el nervalo de negracón Δ para cumplr con los requermenos de precsón y esabldad de la solucón numérca (Δ/ <). m f

45 Capíulo 3 Vbracones Lbres de Ssemas de Múlples Grados de Lberad Inroduccón En el capíulo aneror se analzó la respuesa de un osclador smple ( GLD) como nroduccón para esudar la respuesa de ssemas de múlples GLD, ema cuyo raameno comenza analzando el caso de vbracones lbres, es decr aquellas que ocurren en ausenca de cargas exerores, vale decr P ( ). (El vecor de carga es nulo en odo nsane). En el caso de cuerpos rígdos, la Ley de Newon ndca que s P ( ) el ssema permanecerá en reposo o con movmeno de velocdad consane. Sn embargo, en el caso de cuerpos deformables, en ausenca de cargas exerores el ssema puede vbrar lbremene en ceras frecuencas que se denomnan frecuencas propas o naurales del ssema. El análss de las vbracones lbres es gran mporanca ya que perme denfcar las caraceríscas dnámcas de la esrucura para enfocar correcamene el problema dnámco bao cargas exerores. 3.- Grados de Lberad Dnámcos y Equlbro Dnámco Grados de lberad dnámcos En el méodo de rgdez se defne como grados de lberad geomércos o cnemácos, GL, a los parámeros geomércos necesaros para defnr en cualquer nsane la confguracón

46 deformada de un ssema. El número de grados de lberad de una esrucura de barras no es algo nherene a cada caso parcular, sno que depende del número de nudos que se adope para represenar su confguracón deformada. En los problemas dnámcos aparece la necesdad de represenar no sólo las fuerzas eláscas a ravés de la marz de rgdez del ssema, sno además represenar correcamene la dsrbucón de la masa. A ravés de la propedad de nerca que caracerza a las masas, se generan la fuerzas de nerca que deben ser endas en cuena en las ecuacones de equlbro dnámco. Se defne como grado de lberad dnámco, en lo sucesvo GLD, a aquellos grados de lberad geomércos que enen asocado al msmo una cera masa, es decr la propedad de generar fuerzas de nerca. En ese conexo se consderan ssemas esrucurales para los cuales se supondrá que las masas esán concenradas en correspondenca con los GLD. Con frecuenca se consdera que la masas concenradas son punuales, es decr que sólo enen asocada nerca de raslacón, pero no hay nconvenene en generalzar ese concepo para nclur masas concenradas asocadas a los grados de lberad de roacón. Los modelos de la Fgura 3..a y 3..b presenan res masas concenradas. Ambos modelos pueden represenar ano a una vga en voladzo cuya masa es desprecable y que ene adosadas res masas, como ambén a una vga cuya masa se ha supueso concenrada en res punos. En el modelo a) odos los nudos lbres presenan una masa, menras que en el modelo b) la mad de los nudos enen una masa asocada, y los resanes no la enen. a b 4 7 m 3 3 m 5 m m m3 m Fgura 3. ambén podría raarse de masas concenradas que adconales a las que surgen de aproxmar la masa dsrbuda (connua) de la vga. Supóngase por el momeno que sólo neresa el problema de flexón de la vga, deando de lado por el momeno el comporameno axal que esá desacoplado medane la suposcón que las cargas axales y los desplazamenos ransversales son pequeños.