9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

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1 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y 9.. INTODUIÓN En el capíulo aneror mos como los crcuos ressos con capacancas o los crcuos ressos con nducancas enen arables que son calculadas medane ecuacones dferencales de prmer orden. Ahora amos a er que cuando en el msmo crcuo enemos nducancas y capacancas las ecuacones dferencales resulanes serán de segundo orden, por lo cual los denomnamos crcuos de segundo orden. Tambén eremos cómo en crcuos con nducancas y capacancas la energía almacenada por uno de esos elemenos puede ser ransferda al oro. Eso puede producr repuesas de po osclaoro, ncluso cuando no hay fuenes en el ssema. El procedmeno para enconrar las ecuacones dferencales de esos crcuos es el msmo que para los casos de orden uno. a solucón de las ecuacones dferencales ambén es muy smlar, pero ahora endremos dos raíces de la ecuacón caracerísca, las cuales pueden ser reales dferenes, reales guales o complejas conjugadas (con pare real gual o dferene de cero. En funcón de eso endremos cuaro pos de respuesa de esado cero: osclaora, subamorguada, sobreamorguada y crícamene amorguada. o que será un poco más complejo ahora será el cálculo de las condcones ncales, ya que necesaremos adconalmene las condcones ncales de la prmera derada de la arable de nerés. 9.. IUITO ESPUESTA DE ENTADA EO El crcuo de la Fgura 9- muesra un crcuo muy smple de segundo orden conformado por una capacanca y una nducanca. Aunque ese crcuo no ene fuenes, puede ener energía almacenada (condcones ncales en cualquera de los dos elemenos o en ambos smuláneamene. a condcón ncal del olaje en la capacanca nos fja el alor del olaje en la nducanca, así como la condcón ncal de la correne en la nducanca nos deermna la correne en la capacanca (pero con sgno conraro. olaje en la capacanca amos a enconrar la ecuacón dferencal del olaje en la capacanca y resolerla (respuesa de enrada cero. Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 69

2 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y Fgura 9- a ecuacones que descrben el crcuo son: Nodo: Derando d d d Malla: d d Igualando la derada de la correne de la nducanca enemos: d d d d omo no hay enrada la respuesa depende exclusamene de las condcones ncales con dos consanes ndeermnadas A y B: λ λ Ae Be Para enconrar la solucón homogénea para el olaje en la capacanca d necesamos conocer dos condcones ncales que pueden ser ( o y ( o. 7 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

3 9.. IUITO ESPUESTA DE ENTADA EO Para smplfcar amos a suponer que conocemos las condcones ncales del crcuo en cero para el olaje de la capacanca ( nducanca ( y la correne en la. A parr de esas condcones debemos enconrar la ( d condcón ncal de. Para eso hacemos uso de las relacones enre olaje y correne en la capacanca: d Despejando la derada del olaje enemos: En el empo cero enemos: d d ( ( Ahora debemos conocer la correne ncal en la capacanca, y enendo en cuena que y que la correne en la nducanca es connua: d ( ( ( ( De manera que ya enemos las dos condcones ncales necesaras para resoler la ecuacón: ( ( d ( Ahora enconramos la ecuacón caracerísca a parr de la ecuacón dferencal D : Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 7 λ λ a solucón ene por supueso dos raíces complejas conjugadas: λ j λ j Así se obene la sguene solucón homogénea:

4 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y λ λ Ae Be h ( j j Ae Be h ( omo no enemos enrada el olaje en el condensador es: Ae j Be j Para enconrar las consanes ndeermnadas ulzamos las condcones ncales: ( Ae Be A B Para smplfcar dgamos que la correne ncal en la nducanca es cero, así que: ( j Ae j Be A B A B eemplazando en la prmera condcón: Solucón fnal: A A A Usando la relacón de Euler, e j e j e j e j jx jx jx jx jx e e e e e cos( x jsen( x;cos( x ;sn( x, podemos escrbr: cos ω cos θ omo se apreca la respuesa es una señal osclaora de po A con la amplud de la condcón ncal. a frecuenca de osclacón depende de los alores de y y no de las condcones ncales. Ora manera de resolerlo, dado que las raíces son complejas conjugadas, es asumr una solucón de po senodal con consanes ndeermnadas A y φ : 7 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

5 Acos ( ω φ con ω gual a la pare magnara de la raíz ω. ' De manera que ω Asen( ω φ Ealuando condcones ncales enemos: ( Acos( φ ' A cos( φ ( ω Asen( φ φ ( 9.. IUITO ESPUESTA DE ENTADA EO sen ωa De la segunda ecuacón seno se concluye que s enonces φ, y que A. Así que Acos ( ω φ cos al como lo habíamos enconrado anerormene. S la correne ncal en la nducanca no es cero, un análss smlar nos llea al sguene resulado: cos φ φ an ω ω En esa úlma formulacón emos que s enemos el msmo resulado ncal. orrene en la nducanca on el resulado del olaje sobre el condensador se puede obener la correne en la nducanca ( : Para el caso en que ( enemos: d Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 73

6 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y d cos sen ( sen 9.3. IUITO SEIE Ecuacones que descrben el crcuo Fgura 9- Nodo: Malla: D D Ecuacón dferencal para la correne on las anerores ecuacones se obene la ecuacón dferencal para D D D D D D D D d d 74 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

7 9.4. IUITO PAAEO 9.4. IUITO PAAEO Ecuacones que descrben el crcuo Fgura 9-3 Nodo: D D D D K: Ecuacón dferencal para el olaje on las anerores ecuacones se obene la ecuacón dferencal para (. D D D d D D D d 9.5. OMPOTAMIENTO DE A ESPUESTAS DE SEGUNDO ODEN ENTADA EO a forma general de ecuacón dferencal homogénea de segundo orden es: d x( dx( b cx( la cual se puede escrbr usando el operador D como: ( D bd c x Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 75

8 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y a ecuacón caracerísca de esa ecuacón será: cuya solucón es: λ bλ c b b 4c λ y λ b b 4c De acuerdo a los alores que engan λ y λ la respuesa homogénea puede ener dsnas formas, como lo muesra la sguene abla. Tabla 9-. Dferenes pos de respuesa homogénea según las raíces. TIPO ESPUESTA GÁFIA Sobreamorguada aíces reales dferenes: λ λ λ λ b 4c > rícamene amorguada aíces reales guales: λ λ λ λ b 4c λ x k e λ k e ( ondcones ncales: ( k k x x x ( λ k λk ( ( k k e λ ondcones ncales: x ( k ( k k x λ 76 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

9 9.6. IUITO SEIE ON ENTADA ONSTANTE Subamorgu ada aíces complejas conjugadas: λ σ jω λ σ jω b b 4c < x ( ( σ jω ( σ jω k e k e σ [ Acos( ω Bsen( ω ] x e ondcones ncales: x ( A ( σ A ωb x Ora forma: x σ ( Ke cos ( ω θ ondcones ncales: x K cos θ x ( ( ( θk cos( θ ωksen( θ a relacón enre las consanes es: K A B B θ an A No amorguada aíces puramene complejas: λ jω λ jω b b 4c < x x x jω jω ( ke ke Acos( ω Bsen( ω ( K cos( ω θ ondcones ncales: x ( A ; x ( B 9.6. IUITO SEIE ON ENTADA ONSTANTE Fgura 9-4 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 77

10 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y Ecuacones que descrben el crcuo Nodo: Malla: n D Ecuacón dferencal para el olaje en el condensador on las ecuacones ( y ( se puede enconrar la ecuacón dferencal para el olaje en el condensador: D n D D D( D D D n D D d d n Ke Solucón de la ecuacón dferencal: a ecuacón dferencal es de la forma: & x & bx& cx F donde b y c a solucón de esa ecuacón dferencal es de la forma: x x h x p Solucón homogénea: De la ecuacón dferencal se obene la sguene ecuacón caracerísca: λ bλ c λ, b ± b 4c S λ λ Y se obene la sguene solucón homogénea: λ x h Ae λ Be ( Solucón parcular: a solucón parcular es de la forma de la fuene, es decr, una consane: 78 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

11 9.6. IUITO SEIE ON ENTADA ONSTANTE x x& && x p p p Ke eemplazando en la ecuacón dferencal se obene: && x p bx& p cx cx p p F F F x p c Solucón complea: a solucón complea de la ecuacón dferencal es: x λ x Ae λ Be ( x ( h p eemplazando los alores de la ecuacón dferencal del olaje en el condensador se obene: ondcones ncales: ( n λ Ae λ Be Ae λ Be λ aso : aíces reales dferenes ( b 4c > F c ( n ( Ae λ Be λ n ( A B n λ ( λ Ae λ Be & ( λ A λ B & λ aso : aíces complejas conjugadas ( b 4c < x& x σ ( e [ A cos ( ω Bsen( ω ] n x ( A n σ ( σ [ ( ( ] σ e A cos ω Bsen ω ω e [ Asen( ω B cos( ω ] x &( Aσ Bω x& σ ( x Ke cos ( ω θ n x ( F cos( θ n σ σ ( σ Ke cos( ω θ ω Ke sen( ω θ x& ( σ K cos( θ ω Ksen( θ Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 79

12 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y Ejemplo 9-. rcuo y con nerrupor. En el crcuo de la Fgura 9-5 el nerrupor se cerra en. Enconrar: Fgura 9-5 a. a ecuacón dferencal para cuando el nerrupor esá cerrado. b. a ecuacón dferencal para cuando el nerrupor esá cerrado. c. c ( e ( c ( c y ( I Solucón Pare a al cerrar el nerrupor s las condcones ncales son. a ecuacón dferencal para la enconraremos usando el operador D: D D // : D D D D Z D D n D D D D n D D D D n d n ( D D D D ( D D D D ( d n n ( n 8 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

13 9.6. IUITO SEIE ON ENTADA ONSTANTE Pare b Pare c n Z // Z // n D D D D ( D D c Dn n D D D D D c D n d c dc dn c El crcuo equalene, anes de cerrar el nerrupor, se muesra en la Fgura 9-6(a. omo el nerrupor esá abero no hay correne por la ressenca y la fuene de olaje no ene efeco, así que solo debemos examnar lo que ocurre e con la nducanca y la capacanca. as condcones ncales son c ( ( I. Ahora debemos enconrar las condcones en c, al cerrar el nerrupor. En ese momeno nerenen la fuene y la ressenca. El crcuo equalene en se muesra en la Fgura 9-6(b. Por connudad en y enemos: ( ( y I ( I I ( c c A parr de esos alores podemos enconrar las condcones en (a (b. ( Fgura 9-6 d ( ( ( ( ( ( ( ( Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 8

14 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y. ( c c ( ( d d n c ( ( n ( ( n c ( ( ( [ ( ( ] ( c Ejemplo 9-. rcuo y con nerrupor. El crcuo de la Fgura 9-7 ene una fuene de olaje s de po D..; el nerrupor ha esado cerrado por un largo empo anes de y alcanzó el esado esable. En se abre el nerrupor y se deja así por un coro empo hasa el nsane (sn llegar a esado esable. Enconrar para : a. la ecuacón dferencal para (. b.,,,, ( ( ( ( ( c.,, ( ( ( ' ' d., s Ω, H y /8 F y s. ( Fgura Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

15 9.6. IUITO SEIE ON ENTADA ONSTANTE Solucón Pare a y y enconrar la ecuacón dferencal de cada caso, con sus respecas condcones ncales y resolerla. Tenemos que parr el problema en dos neralos de empo: [ ], En [, ]: omo el nerrupor esá abero enemos el crcuo equalene de la Fgura 9-8, que corresponde a la descarga de la capacanca a raés de la ressenca y que es un crcuo de prmer orden cuya ecuacón dferencal ya la conocemos del capíulo aneror: d Fgura 9-8 Para resoler esa ecuacón amos a necesar la condcón ncal en :. Para : Al cerrar el nerrupor olemos a ener un crcuo de segundo orden. ( Fgura 9-9 Usando el operador D podemos hacer el dsor de olaje con en los oros ejemplos. Esa ez amos a calcular K en el nodo enre y y la malla enre la fuene y : S S Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 83

16 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y D D S D D S D D D S D D D D D D D ( S D D S Pasando al domno del empo enemos enonces la sguene ecuacón dferencal de orden dos: d d Para resoler esa ecuacón amos a necesar las condcones ncales en : ( y (. Pare b Para el neralo de empo aneror a no hace fala escrbr la ecuacón dferencal ya sabemos que en se alcanzó el esado esable y que como la fuene es de po D.. el condensador esá abero y la nducanca en coro crcuo. Eso nos perme enconrar las condcones ncales. En : ' S Fgura 9- ( S ( 84 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

17 9.6. IUITO SEIE ON ENTADA ONSTANTE En : ( S ( ( S Fgura 9- Por connudad del olaje en la capacanca y dado que se alcanzó el esado esable en enemos: ( ( Aquí ya no es álda la connudad de la correne en la nducanca ya que el nerrupor esá abero y se debe respear K: S ( ( Para enconrar '( usamos la relacón enre correne y olaje en la nducanca y el hecho de que el nerrupor esá abero que mplca que : S ' d ( ( omo y esán en paralelo: d d ( ( ( ( ( ' ( S Pare c Para enconrar las condcones ncales en necesamos resoler la ecuacón del olaje en la capacanca ( en el neralo [, ] y ealuarla en. Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 85

18 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y d ( S Ya mos en el capíulo aneror que la solucón es: En [, ]: ( e ( ( S e ( Ealuando en : ( S e ( Pare d '( ' Se Se ( ( a solucón de (, dependerá de las raíces de la ecuacón caracerísca de la ecuacón dferencal enconrada para ese neralo de empo con Ω, H y /8 F y s. en el neralo [ ] a solucón homogénea será: d d λ λ λ λ 8 8 λ 4λ λ y λ λ j y λ j omo las raíces son de la forma λ, σ ± jω la solucón homogénea endrá la forma S 86 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

19 σ Ke ( ω θ h cos Donde K y θ son consanes ndeermnadas IUITO SEIE ON ENTADA ONSTANTE a solucón parcular será: Ke cos( θ h S F h c ( S Así que la solucón complea es para : Ke cos( θ S ' ( Ke cos( θ Ke sen( θ Ahora ealuamos condcones ncales: h '( ( S e ( ( Se 4 ( Ke cos( θ S Se ' ( cos( Ke θ Ke sen( θ 4 4( S e, para ( [, ] Ke cos( θ S, para 4( e, para ( [, ] Ke cos( θ, para ( Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 87

20 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y 9.7. SIMUAIONES ESPUESTA DE IUITO A DIESAS ENTADAS. Fgura 9- Descrpcón Esa smulacón perme mosrar el comporameno de crcuos de segundo orden, las raíces de la ecuacón caracerísca, y el comporameno del crcuo en funcón del po de raíces obendas. Tambén perme analzar el comporameno en funcón de los parámeros de los componenes, de las condcones ncales y del po de enrada A y D. Uso educao Esa smulacón se presena como un complemeno a la clase presencal, para esudanes de prmeros semesres de Ingenería Elécrca, Elecrónca y Mecánca. Una ez los esudanes manejan los concepos de crcuos o segundo orden, represenacón de crcuos por ecuacones dferencales, condcones ncales, respuesa naural y respuesa parcular, el esudane puede arar las condcones ncales en la nducanca y la capacanca y la señal de enrada y obserar sus efecos en la respuesa del crcuo en empo real. os cambos se pueden dar el 88 Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes

21 9.7. SIMUAIONES cualquer momeno, lo que perme obserar el comporameno para cambo brusco en la señal de enrada o los cambo en la consane de empo. El ssema muesra las raíces de la ecuacón caracerísca según los alores defndos para, y. Tambén perme ener condcones predefndas para ener crcuos con respuesa no amorguada, subamorguada, sobreamorguada y crícamene amorguada. Anono José Salazar Gómez Unersdad de los Andes 89

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