Productos derivados sobre bienes de consumo

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Productos derivados sobre bienes de consumo"

Transcripción

1 Producos dervados sobre benes de consumo Francsco Venegas Marínez, Salvador Cruz Ake n Resumen: Ese rabajo de nvesgacón desarrolla un modelo de equlbro general con expecavas raconales en empo connuo úl para la deermnacón de precos de conraos forward, conraos fuuros, bonos cupón cero y opcones europeas (de compra y vena) sobre benes de consumo. Para ello, el modelo consdera un ndvduo represenavo en una economía con dos benes, los cuales son producdos con ecnologías esocáscas. Por úlmo, el modelo propueso perme examnar esraegas para obener ganancas especulavas medane el uso de dferenes producos dervados. n Absrac: hs paper develops a connuous-me general equlbrum model wh raonal expecaons useful for he deermnaon of prces of forward and fuure conracs, zero coupon bonds and European (calls and pus) opons on consumpon goods. o reach hs end, he model consders a represenave ndvdual n an economy wh wo goods, whch are produced by usng sochasc echnologes. Fnally, he proposed model allows consderng sraeges amed n obanng speculave gans by usng dfferen dervave producs. n Palabras clave: General equlbrum, sochasc opmal conrol, prcng dervaves on commodes. n Clasfcacón jel: E3, C6, G2, G3. n Fecha de recepcón: 4/06/2009 Acepacón: 04/05/200 Escuela Superor de Economía, IPN, Correo elecrónco: respecvamene. Agradecemos los comenaros de los árbros anónmos.

2 26 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 n Inroduccón Un snnúmero de nnovacones fnanceras sobre producos dervados, parcularmene oblgacones de deuda respaldadas por dversos colaerales con la opcón de recompra, y un crecmeno nusual de los monos de operacón de esos nsrumenos exacerbaron la crss mundal de prncpos de 2008 al generar una burbuja especulava; el resulado, una debacle fnancera para la economía más grande del mundo, lo cual sn duda endría efecos negavos sobre sus socos comercales y especalmene para Méxco, en donde las secuelas se dejan ver en muchos fundamenales de la economía mexcana. Los mercados de producos dervados sobre benes ambén han mosrado un rápdo crecmeno en el mundo. La operacón en esos mercados esá más lgada a la especulacón que a la coberura y sus poencales efecos sobre la economía real deberían ser esudados con más cauela. Es mporane desacar que, en la gran mayoría de producos dervados sobre benes, la enrega nunca es hecha; por lo regular, las poscones son cerradas anes del vencmeno o, ben, s llegan al vencmeno, sólo se lqudan dferencas, esando presene en la mayoría de los casos la nencón de obener ganancas especulavas. Sn duda, las práccas en esos mercados deberían ser reguladas de manera más efcene a fn de evar caásrofes como las generadas, recenemene, por dervados exclusvamene fnanceros. El crecmeno que los mercados de dervados de benes (o dervados de físcos como una posble raduccón de commodes dervaves) han endo en el mundo es mpresonane y se muesra en las Gráfcas y 2. Dcho crecmeno se debe en gran medda a la flexbldad que esos nsrumenos proporconan a sus usuaros para enrar o salr rápdamene del mercado. Asmsmo, esos nsrumenos presenan un alo grado de lqudez, es decr, un vendedor cas sempre encuenra un comprador y vceversa, De gual forma, los dervados de físcos enen un alo nvel de apalancameno, eso es, la nversón ncal es pequeña comparada con el valor del ben subyacene. Es mporane desacar que el mercado esadoundense de dervados de físcos ha endo un mporane crecmeno en las dos úlmas décadas; como se puede aprecar en el Cuadro, El Grupo CME (Chcago Mercanle Exchange) es el mercado más grande del mundo y en él se coza y negoca una gran dversdad de conraos fuuros y opcones de benes (v.g. rgo, arroz, maíz, sorgo, soya, olvo, canola, café, jugo de naranja, ocno, ganado vvo, leche en polvo, algodón, manequlla, ec.). Una de las prncpales causas del crecmeno de ese mercado es que el resgo crédo de esos nsrumenos es mínmo debdo a la asocacón

3 Producos dervados sobre benes de consumo n 27 Gráfca Valor del mercado mundal de dervados de físcos, (mllones de dólares) oal Fuene: Bank for Inernaonal Selemens (200). Gráfca 2 Valor del mercado mundal de dervados de físcos por po (mllones de dólares) oal compra opcones oal vena opcones Fuene: Bank for Inernaonal Selemens (200) oal Forwards

4 28 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 Cuadro Volumen de fuuros y opcones de físcos y fnanceros Bolsas de dervados de físcos en Esados Undos de Amérca (mllones de conraos) Fuuros Opcones Año Físcos Fnanceros Físcos Fnanceros Fuene: CFC (Commody Fuures radng Commsson) de 99 a 998. Fuene 2: Valores esmados con daos de CFC, CME (Chcago Mercanle Exchange) y BIS (Bank for Inernaonal Selemens). Noa : Los dervados fnanceros ncluyen dvsas, bonos, accones, asas de nerés, índces bursáles, swaps de asas de nerés y de dvsas, noas esrucuradas, ec. Noa 2: Los dervados fnanceros ncluyen cereales (rgo, arroz, maíz, sorgo, ec.), oleagnosas (grasol, olvo, canola, ec), jugo de naranja, ocno, ganado vvo, leche en polvo, algodón, soya, manequlla, meales (oro, plaa, cobre, ec.) y energécos (peróleo crudo, gas naural, elecrcdad, ec.). de la bolsa de dervados de físcos con una cámara de compensacón y lqudacón. Las bolsas nernaconales de físcos de mayor crecmeno en el mundo se muesran en el Cuadro 2. La presene nvesgacón perme un mejor enendmeno sobre la deermnacón de precos de conraos forward, fuuros, bonos (cupón cero) y opcones (europeas) de compra y vena sobre benes. Con el fn de deermnar los precos de los conraos forward y fuuros, se desarrolla un modelo de equlbro general con expecavas raconales

5 Producos dervados sobre benes de consumo n 29 Cuadro 2 Bolsas nernaconales de físcos de mayor crecmeno CME (EE UU) CHUBU (Japón) OCOM (Japón) ASXD (Ausrala) BM&F (Brasl) Fuene: Elaboracón propa. Chcago Mercanle Exchange Commody Exchange Nagoya oko Commody Exchange Ausralan Sock Exchange Dervaves Bolsa de Mercadoras e Fuuros en empo connuo en una economía con dos benes, con consumdores déncos en gusos y doacones y con una ecnología que presena rendmenos consanes a escala. El modelo propueso presena y explca en forma precsa y conssene por qué esos conraos son dferenes, cómo se relaconan enre sí y cómo se relaconan con oros precos de la economía, al como los precos de conado ( spo ). Asmsmo, el modelo explca congruenemene cómo el resgo de mercado se refleja en los precos de los producos dervados. El modelo deermna endógenamene precos de los menconados conraos ulzando un marco de equlbro general en el que las preferencas, doacones e nformacón de los agenes económcos, así como la ecnología de produccón se especfcan exógenamene. En consecuenca, los precos de equlbro esán drecamene relaconados con las preferencas y con los parámeros asocados al proceso de produccón esocásca denro de la economía. El modelo exende varos resulados dsponbles en la leraura con un únco ben. Específcamene se generalzan los modelos de nercambo puro de Rubnsen (976), Lucas (978), Johnsen (978), Brock (982), Presco y Mehra (980) y Cox, Ingersoll y Ross (985). Es mporane desacar que en el modelo propueso, un consumdornversonsa que pensa que el preco del ben subyacene aumenará, con la nencón de obener una gananca especulava, oma una poscón larga en producos dervados para comprar una undad del ben subyacene a un preco preesablecdo en una fecha fuura predeermnada (el vencmeno del conrao). Una propuesa dferene a la de esa nvesgacón para deermnar precos consse en buscar el preco relavo enre dos benes. Eso es llamado un equlbro parcal, un modelo ben conocdo de ese po es el modelo de valuacón de opcones europeas de Black y Scholes (973). Menras que esa propuesa no puede relaconar los precos con las preferencas y con la produccón esocásca en una economía, sí perme deermnar mporanes relacones sobre los precos relavos o los rendmenos de acvos. Al respeco, Breeden

6 30 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 (979), (980) y Grauer y Lzenberger (979) examnaron la esrucura relava de los rendmenos de las accones con procesos esocáscos. Ora aproxmacón que explora la relacón exsene enre dervados y eoría de juegos se puede enconrar, por ejemplo, en Monruccho y Semeraro (2006) y Grenader (2000). Aunque esa novedosa relacón ha desperado recenemene mucho nerés, el objevo del presene rabajo esá más ben alneado con los modelos de equlbro general que ulzan procesos esocáscos, parcularmene el movmeno Brownano (o proceso de Wener) para examnar el comporameno de varables fnanceras y económcas relevanes, en ese conexo se señalan, por ejemplo, las nvesgacones de: Meron (97) y (973), Cox, Ingersoll y Ross (985) y Venegas-Marínez (200), (2006a), (2006b), (2008b), (2009) y (200). La presene nvesgacón esá organzada como sgue. En la sguene seccón se lleva a cabo una breve descrpcón de producos dervados sobre benes. En la seccón ercera se descrben las preferencas de los consumdores, su nformacón y sus doacones, asmsmo se especfcan las posbldades de produccón y de nversón. En la cuara seccón se esablece la resrccón presupuesal del consumdor represenavo y se planea el problema de decsón de un consumdor raconal, adverso al resgo, sobre consumo y porafolo a lo largo de su vda. En la quna seccón se caracerza el equlbro general, en el cual se deermnan los precos que connuamene ponen en equlbro a los mercados. La úlma seccón conene los prncpales resulados del presene rabajo de nvesgacón. En esa seccón se esablecen las prncpales relacones funconales de los precos de equlbro, los dealles écncos se rasladan a un apéndce. 2 Asmsmo, se deermnan los precos de bonos cupón cero y de opcones europeas sobre una undad del ben de consumo. Las esraegas para especular con un porafolo de nversón generalzan la propuesa por Cox, Ingersoll y Ross (98). Se muesra cómo se pueden ulzar conraos fuuros para replcar los pagos a parr de un conrao forward sobre un número aleaoro de undades de un ben. Un apéndce conene los dealles analícos sobre las condcones necesaras y sufcenes del problema de opmzacón que resuelven los agenes. n Descrpcón de producos dervados sobre benes Anes de enrar de lleno en la descrpcón del modelo para la deermnacón endógena de los precos de esos conraos a ravés de un modelo de 2 Esán dsponbles preva solcud a los auores o, ben, pueden ser consulados en el so de nerne de EconoQuanum, hp://econoquanum.cucea.udg.mx/?page_d=3.

7 Producos dervados sobre benes de consumo n 3 equlbro general, es ndspensable defnr con precsón los conraos forward, fuuros, bonos y opcones sobre benes, desacando las smludes y dferencas. Conraos forward sobre benes Un conrao forward es un acuerdo enre dos pares (reforzado legalmene con la enrega de garanías por ambas pares) que oblga a una de las pares a comprar y a la ora a vender una undad de un ben a un preco predeermnado en una fecha fuura preesablecda. El preco al cual se llevará a cabo la operacón de compra-vena de dcha undad es llamado preco de enrega y ése se esablece (en los érmnos del conrao) cuando el acuerdo se frma y no se puede cambar a lo largo de la vda del conrao. Esos conraos son exclusvos de los mercados sobre mosrador, ambén llamados mercados OC (por las ncales en nglés de Over-he-Couner markes ). Los conraos forward son acuerdos hechos a la medda en cuano a necesdades específcas de las pares: po de ben, amaño del conrao, fecha de vencmeno y lugar y condcones de enrega. Un conrao forward se frma en dos anos, uno para cada una las pares. S, anes del vencmeno, el preco del ben esá por arrba del preco pacado, enonces la poscón larga puede vender su conrao (su ano); en caso conraro, la poscón cora podrá hacerlo. Para ambas pares, la posbldad de enconrar compradores dependerá de la demanda por ese po de conraos. Es mporane aclarar que s una poscón cora vende su conrao, el conrao no ncluye al ben; en consecuenca, s un ndvduo compra el conrao de una poscón cora y dcho ndvduo llega a la fecha de vencmeno, ése endrá que comprar el ben para enregarlo a la poscón larga; a menos que se especfque en el conrao sólo el pago de dferencas. Como puede observarse, el valor de un conrao forward camba enre el empo en que se paca y la fecha de vencmeno. En el momeno en que el conrao se frma, ése carece de valor, pero nmedaamene después, en cuano el preco del subyacene se mueve, el conrao adquere un valor dferene de cero que se puede negocar en el mercado. Los conraos forward pueden ser ulzados ano para especulacón como para coberura. En el prmer caso, un agene que cree que el preco del ben subyacene aumenará puede especular omando una poscón larga en un conrao forward sobre dcho ben. Smlarmene, un agene que pensa que el preco del ben dsmnurá puede especular omando una poscón cora en un conrao forward sobre dcho ben. Exse una dferenca mporane enre especular comprando o vendendo conraos

8 32 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 forward sobre el ben y especular comprando o vendendo el ben. Cuando se compran benes en el mercado de conado, se requere de un pago ncal en efecvo gual al valor del ben. Sn embargo, s se ulza un conrao forward sobre el msmo ben, no se requere de algún pago ncal. Por lo ano, especular ulzando conraos forward proporcona al agene ceras venajas. Obvamene, el uso de conraos forward para coberura se puede planear de manera smlar, sendo las nencones del agene lo que hace la dferenca. Por ejemplo, s un producor requere comprar, en una fecha fuura, un nsumo en moneda exranjera y eme que el po de cambo se ncremene, puede buscar, en el presene, una conrapare que volunaramene acuerde un po de cambo (que cubra al producor sobre fuuros ncremenos en la dvsa) para llevar a cabo la operacón de compra de la dvsa en la fecha de nerés. Conraos fuuros sobre benes Los conraos a fuuro, conraos fuuros o, smplemene, fuuros, al gual que los conraos forward, son acuerdos que oblgan a una de las pares a comprar y a la conrapare a vender un acvo (fnancero) a un preco preesablecdo en una fecha fuura. Sn embargo, a dferenca de los conraos forward que se negocan sobre mosrador, los conraos fuuros se cozan y operan en una bolsa de fuuros. 3 Ese po de conraos ene caraceríscas esandarzadas, prncpalmene, en lo que se refere al amaño 4 y a la fecha de vencmeno. Para reforzar el cumplmeno de los conraos, cada una de las pares enrega una candad (margen) a un ercero, la cámara de compensacón y lqudacón, para asegurar el cumplmeno de las oblgacones adqurdas. Los conraos fuuros son mpersonalzados, es decr, las dos pares que nervenen en el conrao no se conocen enre sí, ya que la cámara de compensacón acúa como conrapare de odas las pares. La cámara de compensacón ambén lquda daramene los conraos, maneja los márgenes y admnsra el resgo de ncumplmeno, a cambo de una comsón. Es mporane desacar que la candad que cada una de las pares enrega a la cámara recbe el nombre de margen o aporacón ncal para dsngurlo del concepo de garanía, ya que ese úlmo se refere a la enrega de un colaeral de por lo menos el valor del acvo objeo del conrao. Por lo aneror, la dferenca de forma enre los conraos forward y los conraos fuuros es la esandarzacón de los úlmos. La dferenca 3 Un mercado reconocdo por las auordades fnanceras y organzado y especalzado para ese po de ransaccones. 4 El amaño de los conraos ya ha sdo esandarzado a una undad de un ben.

9 Producos dervados sobre benes de consumo n 33 de fondo es que los conraos fuuros se lqudan daro (por una cámara de compensacón), menras que los conraos forward se lqudan hasa el vencmeno. El proceso de lqudacón dara es equvalene a pacar odos los días un conrao forward, de al manera que un conrao fuuro es la suma de conraos forward daros. La dsncón enre los pagos de los conraos forward y conraos de fuuros fue esudada por Black (976). Al respeco, Jarrow y Oldfeld (98) explcaron aún más esa dsncón y mosraron que cuando la asa de nerés es consane a odos los plazos, los precos de los conraos forward y los conraos fuuros concden. Por úlmo observe que, a dferenca de los conraos forward, en donde sólo se nercamba el ben por efecvo en la fecha de vencmeno, en los conraos fuuros cada día (hábl) se revsa s preco del ben esá por arrba (debajo) del preco pacado, en cuyo caso la poscón larga (cora) recbe la dferenca. Ese procedmeno de lqudacón dara se conoce como mark-o-marke. En conclusón, los precos de los conraos forward y fuuros dferen enre sí porque promeen dferenes pagos, ya que los úlmos conllevan un proceso de lqudacón dara. Bonos cupón cero sobre benes Un bono cupón cero sobre un ben es una promesa de pago (mpersonalzada) en la que el emsor se compromee a enregar ncondconalmene una undad de un ben en una fecha fuura, la cual será referda como vencmeno del íulo. El neresado en adqurr ese pagaré enrega una candad ncal (en érmnos de benes) en una fecha preva al vencmeno. Cabe desacar que el propearo de ese po de nsrumenos se encuenra expueso al resgo de ncumplmeno por pare del emsor. Sn embargo, en odo lo que sgue de la presene nvesgacón se supondrá que odos los bonos sobre benes son lbres de resgo crédo. Asmsmo, s el enedor de un bono cupón cero requere lqudez anes del vencmeno y desea vender ese cerfcado, enonces esará sujeo al resgo de mercado. Por supueso, s se espera a la fecha de vencmeno para recbr el ben en cuesón, el resgo de mercado será nexsene. Conraos de opcón sobre benes Un conrao de opcón de compra es un acuerdo enre dos pares (reforzado legalmene), una de las cuales adquere el derecho (a cambo de una prma), mas no la oblgacón, de comprar una undad de un ben a un preco predeermnado en una fecha fuura preesablecda. El vendedor manene sempre la oblgacón de vender s el comprador desea ejercer su derecho (opcón) de comprar.

10 34 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 Smlarmene, en conrao de opcón de vena es un acuerdo enre dos pares, una de las cuales adquere el derecho, mas no la oblgacón, de vender un acvo, ben o servco a un preco predeermnado en una fecha fuura preesablecda. El comprador manene la oblgacón de comprar s el vendedor desea ejercer su derecho (opcón) de vender. Esos conraos se pueden negocar en los mercados sobre mosrador (mercados OC) o en bolsas de opcones; en esos úlmos, sólo las poscones coras (vendedores de derechos de compra y vena) enregan márgenes a la cámara de compensacón. Asmsmo, la cámara de compensacón lleva a cabo el proceso de lqudacón dara. Como en el caso de los conraos forward o fuuros, los conraos de opcón (de compra o vena) ambén pueden ser ulzados ano para especulacón como para coberura. Observe que, en un conrao de opcón, sólo la poscón larga (comprador del derecho de comprar o vender) puede vender su conrao s el preco del ben esá por arrba del preco de ejercco (para una opcón de compra) o s el preco del ben esá por debajo del preco de ejercco (para una opcón de vena). No exse ncenvo (raconal) alguno para que un ndvduo compre el conrao de opcón de una poscón cora. Por ejemplo, en el caso de un vendedor de una opcón de compra, s el preco del ben se fuera por debajo del preco de ejercco, la poscón cora no podría vender el ben subyacene al preco de ejercco, ya que la poscón larga no ejercería su derecho de comprar. Por úlmo, s el enedor del derecho sólo puede ejercerlo en la fecha de vencmeno se dce que la opcón es europea; s el enedor del derecho lo puede ejercer en cualquer momeno enre las fechas de nco y vencmeno se dce que la opcón es amercana. La presene nvesgacón se concenrará en opcones del po europeo. n Descrpcón de la Economía Consdere una economía que produce dos benes y que esá poblada por dos consumdores con preferencas y doacones déncas. El supueso de que los consumdores sean déncos es mucho menos resrcvo de lo que parece ser, desde el puno de vsa de un planeador cenral (un presdene o un prmer mnsro) no exse dsncón enre sus gobernados cuando se raa de maxmzar la sasfaccón de la poblacón. El agene represenavo desea maxmzar su uldad oal esperada a lo largo del empo: ρ( s ) () E u c s e ds F [ ] 0

11 Producos dervados sobre benes de consumo n 35 donde c = ( c, c 2 ) represena el consumo en el empo de los dos benes exsenes en la economía, ρ es la asa subjeva de descueno y E es el operador esperanza condconal en oda la nformacón dsponble, expresada en F 0. Con el fn de obener solucones analícamene raables se supondrá que la funcón de uldad sasface u[ c] = ln( c ) + ln( c ). De esa manera, el agene represenavo 2 es adverso al resgo. Asmsmo, observe que, bajo esa forma funconal, los agenes son adversos al resgo. Ambos consumdores enen doacones guales de los benes. Supongamos que Y = ( Y, Y2 )' es el vecor de agregados de cada ben en el empo ; enonces Y = ( y j, y j)' donde y j ( ) represena la doacón del ben que ene el consumdor j, donde =, 2 y j =, 2. En vrud de que la ecnología de produccón presena rendmenos consanes a escala, cada consumdor endrá, respecvamene, θy ( ) y ( θ ) Y 2, 0 < θ <, y dado que los agenes son déncos se debe omar θ = / 2. Por úlmo, el consumdor raconal ene que decdr qué candad de su doacón consumr y qué candad nverr; por lo que es posble defnr a y = K + c, donde K represena la candad oal de la doacón nverda por cada consumdor, nuevos benes desnados a la produccón, en el proceso de produccón del ben. Por ora pare, cada ben es producdo por uno y sólo un proceso producvo donde el nsumo necesaro para la produccón del ben es el msmo ben. Los procesos de produccón esán dados por una versón esocásca de la ecnología y = AK, donde A represena el produco margnal (esocásco) del capal. En vrud de que la ecnología es homogénea de grado uno en K(), se manene el supueso de rendmenos consanes a escala. El proceso producvo de los benes de consumo esá dado por la sguene ecuacón dferencal esocásca = +, (2) d y AK d AK dz y donde y () represena el nvel de produccón de cada ben A=A() es el coefcene esocásco del progreso ecnológco que deermna el rendmeno margnal del produco; K es el capal nverdo en el proceso de produccón del ben, es decr, la produccón oal desnada a la nversón por pare del consumdor ípco; y dz y es un proceso de Wener o movmeno Brownano, el cual se dsrbuye como una varable aleaora normal con E[dz y ] = 0 y Var[d z y ] = d. Por lo aneror, la ecnología es esocásca e ndependene de las decsones omadas por el consumdor. Asmsmo, se supone que

12 36 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 = + (3) d A µ d s dz, A donde el parámero de endenca (físca) µ represena el rendmeno margnal medo esperado del produco y s es la volaldad nsanánea del proceso producvo. La economía esá enonces caracerzada por el vecor de varables ecnológcas A() y el vecor de nveles de produccón y(). De hecho, es convenene reescrbr (2) y (3) en noacón vecoral, de al forma que: d y = AK d + AK d z, d A = µ d + sdz. Ese ssema de ecuacones dferencales esocáscas defne el proceso de produccón de la economía en cuesón. Se supone la exsenca de mercados compevos para cada uno de los benes o de los conraos para comprar (o vender) en el fuuro dchos benes con el fn de deermnar los precos en el equlbro. En vrud de que las varables de esado resumen el conocmeno del consumdor acerca de la economía, odos los precos de equlbro pueden ser expresados úncamene como funcones de esas varables de esado. Sea π = ( y, A, ) el preco en el empo de algún ben o conrao defndo anerormene. Por el lema de Iô (véanse, por ejemplo, Venegas-Marínez (2008a), Fredman (975) o Flemng y Rshel (975) sobre el lema de Iô), la dnámca de π sasface: ( y A ) d π = Lπ d + π AK + π s dz, donde L es el operador dferencal (de cambo margnal en el preco π = ( y, A, ) defndo por A y L AK + AK AK y + A ( ) µ j = = = j= y y j S S j + 2 A A = j= j ( AK ) S, y A j = j= j

13 Producos dervados sobre benes de consumo n 37 con π π π y = y, y, π π π A =, A A, AK = ( A K, A K )' y s = ( s, s2 )'. Como una convencón en la noacón, se defnen para cualquer preco π los operadores b π y s π dados, respecvamene, por (4) β L π π y (5) σ π π + y AK π As enonces b p es la asa de cambo esperada nsanánea en π y σ π σ π ' es la varanza nsanánea del cambo en π. Debdo a que el modelo esá desnado a calcular el preco relavo spo de los benes y el preco de dos pos generales de conraos defndos anerormene, se supone que exsen mercados spo compevos en los que los benes dsponbles son comercalzados connuamene (los mercados nunca cerran). El ben uno es arbraramene escogdo como el ben numeraro, así que su preco en el empo, denoado por P, es dénco a para odo. El preco relavo spo en el empo del oro ben es denoado por P2. Por el Lema de Iô, la dnámca de P esá dada por = + = (6) dp β d σ d z para, 2, P P donde b P y s P se deermnan después de susur P = π en (4) y (5), respecvamene. S ahora se reescrbe (6) bajo noacón vecoral, se ene que (7) d P = β d + σ d z, donde P = P, P2 ', βp = βp, β P2 ' y σ σ, σ '. P P = P P P2 Los consumdores ambén pueden crear y comercalzar conraos en mercados compevos, los cuales enen un número de lqudacones especfcadas como funcón del esado de la economía ( y( s), A( s)) para s [, ], donde el perodo enre y es el empo de vda del conrao. Se consderan, prmero, dos pos de conraos, los cuales son connuamene comercalzados. Los conraos del prmer po enen un

14 38 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 valor de mercado dferene de cero y enen su lqudacón sólo en el empo de maduracón,. Se drá, en lo que sgue, que esos conraos sólo realzan pagos en la fecha de vencmeno. Ejemplos de ese po de conraos son los bonos cupón cero sobre benes (promesas fuuras para enregar un ben) y los conraos forward que pagan una undad de un ben al vencmeno. Los conraos del segundo po enen un valor de mercado cero en odos los perodos del empo, pero esos conraos enen lqudacones connuas. Se drá que ese po de conraos realzan pagos connuos. Un ejemplo es el conrao de fuuros, el cual ene un valor cero al nco, pero sus propearos obenen (o pagan) la dferenca enre los precos fuuros y pacados a cada nsane del empo. El preco del bono de descueno unaro, B (, ), es el preco que deberá ser pagado en el empo, en érmnos del ben numeraro, por la enrega de una undad del ben numeraro en un empo fuuro. El bono de descueno unaro ene asocada una asa de nerés lbre de resgo de ncumplmeno e nsanánea, r, de al forma que r = B (, ) /. Se supone que los consumdores pueden presar y pedr presado el ben numeraro a una asa de nerés lbre de resgo (de ncumplmeno) r. Los conraos forward ya fueron anerormene defndos. Denoe por el empo de vencmeno, el empo acual y F (, ) el preco forward (preco juso de enrega) por una undad del ben. Asmsmo, se denoa por V( s,, F (, )) el valor de mercado en el empo s de un conrao forward pacado al preco forward F (, ). Dado que el conrao forward ene un valor de mercado cero cuando es frmado, se ene que V(,, F (, )) = 0. Observe que en la fecha de vencmeno se cumple que V(,, F (, )) = P ( ) F (, ), lo cual deermna las ganancas (o pérddas) a parr de la compra de una undad del ben al preco F (, ) cuando el preco spo es gual a P ( ). Un úlmo po de conraos con pago en el vencmeno es una opcón europea sobre un ben, es decr, la opcón sólo puede ser ejercda en el vencmeno. El enedor de ese conrao sobre el ben ene la opcón de comprar, es decr, ene el derecho, mas no la oblgacón, de comprar una undad del ben en un empo fuuro predeermnado,, a un preco de ejercco especfcado, D, en el empo, que será pagado hasa sempre y cuando se ejerza la opcón. Se denoará por G(,, D ) el preco (o prma) de una opcón sobre un ben, cozada en el empo, la cual expra en el empo >. El únco po de conraos de pagos connuo que se consdera, en esa nvesgacón, es un conrao fuuro. En ese caso, denoará el empo presene, la fecha de vencmeno, y f (, ) el preco fuuro del

15 Producos dervados sobre benes de consumo n 39 ben. En empo connuo, el conrao fuuro es frmado a cada nsane en el empo,, al nuevo preco fuuro f (, ) y, por lo ano, sempre ene un valor de mercado gual a cero. Las lqudacones connuas se deermnan por los cambos nsanáneos en el preco del fuuro. Sn pérdda de generaldad, se supone que sólo hay un conrao con pago al vencmeno con un valor de mercado denoado por v y un conrao con pago connuo, el cual ene un valor de mercado cero pero presena una lqudacón esocásca df sobre cada nervalo de empo d. Por el lema de Iô, la dnámca de v sasface (8) dv = β d + σ dz, ν v donde b v y s v se encuenran susuyendo v = π en (4) y (5), respecvamene. Smlarmene, las lqudacones esocáscas se deermnan medane (9) d f = β d + σ dz, v f f f donde b f y s f se obenen una vez más usando (4) y (5). La prncpal dferenca enre esos dos pos de conraos es que un conrao de pagos connuos no requere de una nversón ncal, sn embargo, presena lqudacones connuas de carácer esocásco, menras un conrao de pago al vencmeno ene, en general, un valor de mercado dferene de cero, pero provee una únca lqudacón en la fecha de vencmeno. n El problema de opmzacón del consumo Frene al conjuno de oporundades de produccón e nversón descro en la seccón aneror, el consumdor debe asgnar, en cada momeno, proporcones de su rqueza enre nverr en las ecnologías de produccón y los dos conraos anerormene defndos, enendo ambén que escoger un vecor de consumo, c(). Sea w() la rqueza del consumdor en el empo, es decr, el valor de mercado de odos los benes y conraos manendos por el consumdor. Sea m() el número de conraos con pago al vencmeno y n() el número de conraos con pagos connuos manendos por el consumdor (con valor de mercado cero). Por lo ano, la rqueza nverda por pedr presado o presar a una asa lbre de resgo esá dada por (0) w P' y mv.

16 40 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 El cambo en la rqueza del consumdor en el empo es la suma de sus ganancas (o pérddas) debdo a la nversón en la produccón, conraos con pago en el vencmeno, conraos con pagos connuos o pedr presado (o presar) a una asa de nerés consane a odos los plazos y lbre de resgo de ncumplmeno. De esa manera, el cambo margnal en la rqueza sasface, por el lema de Iô: () dw = d ( P' q) + mdv + ndf + w P' q mv r d = P' dq + q ' dp + dp dq + mdv + nd f + w P' q mv rd. El produco neror en la expresón aneror es al que dp dq r σ G ' d P dp dq = r ( σ G ' d P ) (esa noacón se refere al produco puno o neror). Por lo ano, (2) dw = β d + σ dz, donde (3) β = P' g c q ' β r σ G ' m β rv nβ y w ( ) + + r ( w P' q), W P P V f (4) σ = P' G + q ' σ + mσ + nσ f. W P V En la ecuacón (2), b W es la asa de cambo esperado nsanánea en la rqueza y s W s W ' es la varanza (marz de varanzas-covaranzas) de ese cambo. El consumdor (raconal) desea maxmzar su uldad esperada, en (), a lo largo del empo sujeo a su resrccón presupuesal, dada en (2). De hecho, ya que él oma las funcones de los precos P, v, f y r como dadas, así como las dnámcas del esado de la economía, represenadas por las ecuacones (4) y (5). La eoría esándar de conrol ópmo (véase, por ejemplo, Venegas-Marínez (2008a)) esablece que s las funcones { K }, m( w, y, A), n( w, y, A), c( w, y, A) y J( w, y, A) sasfacen la ecuacón de Hamlon-Jacob-Bellman para ese problema, enonces m, n y c son decsones ópmas y J es la funcón ópma de uldad (uldad ndreca, benesar económco o funcón de valor). Eso es, J( w, y, A) es la uldad oal esperada por el consumdor a lo largo w =

17 Producos dervados sobre benes de consumo n 4 de su vda generada a parr de su rqueza cuando el esado es gual a (y, A) y sgue ese msmo curso en el fuuro. La ecuacón de Hamlon- Jacob-Bellman para el problema de un consumdor raconal es: (5) 0 u c ρj LJ β J J σ σ ' 2 = max { } k, m, n, c + σ s' J + σ H ' J }. w wa w wy w w ww w w En ese caso, s = ( s, s2 )', H = ( A K, A K ) 2 2, J = ( 2 J / w A, 2 J / w A )' wa y J = ( 2 J / wy w y, 2 J / w y )'. En el apéndce se proporconan 2 las condcones necesaras y sufcenes (de prmer y segundo orden) del problema de opmzacón del consumdor raconal. Las condcones de prmer orden enen algunas mplcacones para las demandas por acvos de los consumdores en un equlbro. Su demanda por un acvo reflejará no sólo su rade-off nsanáneo enre resgo y rendmeno, sno ambén el uso de los acvos como esraega de especulacón aprovechando los cambos en el conjuno de oporundades de nversón. Por lo ano, es posble obener un modelo de deermnacón de precos de acvos de capal con una Bea de acuerdo con Breeden (979) o un modelo de deermnacón de acvos de capal mulfacor como los de Meron (973) o Rchard (978) y (979). 2 n Equlbro de mercado En la seccón aneror se vo que, dadas las funcones de precos y las dnámcas del esado de la economía, cada consumdor deermna su consumo ópmo y decde cuáno nverr (decsones de porafolo) al resolver la ecuacón (5). En esa seccón se especfcan las condcones para el equlbro de mercado, las cuales permrán deermnar las funcones de precos con las dnámcas del esado de la economía omadas como dadas por los consumdores. Hay dos pos de condcones que defnen el equlbro de mercado, que se descrben a connuacón. El prmer conjuno de condcones para el equlbro de mercado es que los mercados connuamene se vacían en el sendo ordnaro de que la ofera se guala con la demanda. Esas condcones de equlbro se cumplen auomácamene en esa economía porque odos los consu-

18 42 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 mdores son déncos. Por lo ano, cada consumdor debería nverr la msma proporcón q gual del sock agregado de los benes en odo empo, es decr, (6) q = η y, donde η es la consane de proporconaldad. En vrud de que los consumdores son déncos, la demanda de equlbro por conraos con pago al vencmeno y el mercado de bonos para presar o pedr presado a la asa lbre de resgo sasfacen: (7) m = 0, (8) n = 0, y (9) w = P' q. Las ecuacones (6)-(9) mplcan que, en equlbro, oda la rqueza se manene en los socks (acervos) de benes, es decr, (20) η w = P' y. Ora condcón para el equlbro de mercado es que los consumdores enen expecavas raconales. Por eso se enende que las funcones de precos y las dnámcas del esado de la economía obendas por los consumdores al resolver (5), juno con la resrccón presupuesal, son las funcones observadas de precos, las cuales esán consderadas en la agregacón de las decsones ópmas de los consumdores. Se ha supueso de anemano que los consumdores conocen las dnámcas de las varables de esado de la ecnología, ( y, A( )), dadas la ecuacón (4). La agregacón de la dnámca del sock de rqueza de los consumdores, dada en la ecuacón (3), debe ser gual a la dnámca del sock agregado. Un equlbro con expecavas raconales facla la búsqueda de las funcones de precos P, v, f y r, así como un valor de la funcón J y los conroles ópmos { K }, m, n y c, los cuales sasfacen smuláneamene las ecuacones (5)-(9). En el apéndce se proporconan las fórmulas para las funcones de precos de equlbro. En la sguene seccón se aplcan dchas fórmulas para enconrar los precos de los bonos a descueno sobre benes (una-

19 Producos dervados sobre benes de consumo n 43 ro), conraos forward y opcones sobre benes. ambén se caracerza el preco de equlbro de los conraos fuuros. n Precos de equlbro de los dervados En esa seccón se presenan las fórmulas generales para deermnar los precos de equlbro de benes y de conraos sobre benes. En el apéndce, en las Proposcones y 2, respecvamene, se obenen las fórmulas para los conraos con pago al vencmeno y los conraos con pagos connuos. Esos resulados se aplcan a connuacón para obener los precos de los conraos en cuesón. Los precos de odos los conraos sobre benes que se deermnarán en esa seccón, excepo por los precos de los fuuros, son aplcacones de una fórmula general para enconrar el valor presene de un flujo resgoso de benes. La fórmula general para los conraos es obenda en la Proposcón del Apéndce. A connuacón se esablece una versón resumda de ese resulado: eorema. S α ( ) = α ( y( ), A( )) denoa una candad (posblemene aleaora) del ben para ser recbdo en el empo al preco P (), el valor de mercado en el empo de a esá dado por: e c v c P = ρ E α ρ e F. Observe que v () es mplícamene una funcón del esado acual (y(), A(), ) pero esa dependenca ha sdo suprmda por convenenca de noacón. La proposcón en el apéndce esablece que el valor presene del flujo aleaoro de un ben en el empo se encuenra a parr de los sguenes pasos. Prmero se convere la candad aleaora, α (), al empo, del ben en una amorzacón aleaora del ben al mulplcarlo por P (). Después se ransforma la amorzacón aleaora del ben numeraro en el empo al mulplcarlo por la asa margnal de sus- ucón del ben uno enre los empos y, u [ c( )] e ρ ( ) / u [ c]. Por úlmo, se ransforma la amorzacón del ben numeraro en el empo aleaoro a una candad deermnsa al omar la esperanza condconal en nformacón relevane en. La proposcón exende los modelos de: Nelsen (974), Rubnsen (976), Johnsen (978), Rchard (978) y (979), y Cox, Ingersoll y Ross (985).

20 44 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 El preco de equlbro en el empo de un bono a descueno, que paga una asa lbre de resgo (de ncumplmeno) sobre una undad del ben con vencmeno en el empo, con preferencas logarímcas, esá dado por: e c (22) B c P (, ) = ρ F. e E ρ Eso se sgue de la Proposcón con α. En el apéndce ambén se muesra que (23) P c c 2 Así, el preco spo en el empo del ben es, por supueso, la asa margnal de susucón enre el ben y el ben uno, el ben numeraro. S se hace uso de (23), se puede reescrbr (22) como: e c (24) B (, ) = ρ F. e E ρ c La expresón aneror proporcona la asa margnal de susucón esperada enre el ben al empo y el ben al empo. En el caso especal del ben numeraro se ene que P ( ), así que la ecuacón (22) se ransforma en ρ e c (25) B F (, ) =. e E ρ c ( ) Esa fórmula descrbe el preco del bono real de descueno en el ben numeraro y, por lo ano, puede ser usado para deermnar la esrucura de plazos de las asas de nerés. De hecho, esa solucón generalza lo enconrado por Cox, Ingersoll y Ross (985) en una economía de un solo ben. Observe que s la funcón de uldad es lneal, se ene que = B, e ρ. Es decr, el preco del bono sobre el ben numeraro se descuena con la asa subjeva de descueno del consumdor represenavo. En lo que sgue, la aencón se concenrará en los conraos forward. El valor de equlbro de un conrao forward sobre el ben pacado en

21 Producos dervados sobre benes de consumo n 45 el empo cuando el preco forward es F (, ), con empo de madurez y cozado al empo s, donde s, esá dado por { )} ρ e c (26) V ( s,, F (, )) = E P F, ρs ( e c ( ) = B s, F, B s,. F s Lo aneror se sgue a parr de la Proposcón con α ( ) P( ) = P ( ) F (, ), la dferenca enre el preco spo y el preco fuuro del ben. El valor del conrao en el empo puede ser posvo, cero o negavo según P () sea mayor, menor o gual que F (,). En equlbro, el valor de un nuevo conrao forward debería ser cero, es decr, V (,, F (, )) = 0. Eso mplca que (27) F, B, / B,. = Una vez más, la fórmula para el preco forward, en equlbro, ene una nerpreacón nuva: el valor es gual al coso en el empo de una undad del ben para ser enregada en el empo, pero con pagos dferdos hasa el empo. Por úlmo, observe que s se susuye (27) en (26), se ene que V ( s,, F (, )) = B ( s, )[ F ( s, ) F (, )], lo cual proporcona el valor de un conrao forward obendo en Jarrow y Oldfeld (98) ulzando un argumeno de arbraje. Es posble ambén obener una expresón alernava para los precos forward ulzando la asa de nerés forward observada en el empo, R f (, s), en érmnos del ben numeraro. En ese caso, B, puede ser expresado en érmnos de la asa de nerés forward como: f (28) B, exp R, s s. d Lo aneror se puede precsar de la sguene manera. S se consdera un movmeno Brownano W 0, defndo sobre un espaco fjo de [ ]

22 46 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 W ( ) probabldad con su flracón aumenada, Ω, F, F, P 0, donde la flracón F represena la nformacón dsponble en cada ns- 0, ane, y se supone que la dnámca de la asa forward, R f (, s), se especfca exógenamene por una ecuacón dferencal esocásca con un solo facor de ncerdumbre: f d R (, ) α, d β, dw, = + en donde las funcones α y β enen que sasfacer, cas seguramene con respeco de P w, las sguenes propedades: 0 k k α s, ds < y 0 k k ( s ) β, 2 ds <, /, y, /,, enonces se puede escrbr (28) con la garanía de que la negral allí defnda permanezca fna. En ese caso, se deermna endógenamene el proceso B(, ) que haga conssenes los supuesos enre la ecuacón dferencal esocásca que goberna la dnámca de R f (, s) y la ecuacón de valor del bono (28). Ahora ben, s se susuyen (22) y (28) en (27), se encuenra que los precos forward sasfacen: 0 0 para k = 0,, en cuyo caso α ( s ) α ( s ) 0 0 β ( s ) β ( s ) e c (29) F c P R f s s (, ) = ρ E s exp (, ρ ) e d F. Por lo ano, los precos forward dependen de las asas forward de nerés. La expresón dada por la ecuacón (29) es parcularmene úl para comparar los precos fuuros y los precos forward. El preco fuuro de equlbro cozado en un conrao de fuuros en el empo para el ben y con un empo de enrega, esá dado por 5 5 Cox, Ingersoll y Ross (985) ambén presenan una fórmula para el preco fuuro sobre un bono a descueno.

23 Producos dervados sobre benes de consumo n 47 c (30) f c P f r s (, ) = R (, s) E exp s d. Esa fórmula ambén se obene en el apéndce. En la expresón (30), r s es la asa nsanánea de nerés lbre de resgo (de ncumplmeno) del ben numeraro. 6 Esa asa y su uncdad se defnen más precsamene como sgue. Sea { W } 0 un movmeno Brownano (proceso de Wener) defndo sobre un espaco fjo de probabldad ( Ω, F, P ) W y sea F = { F } 0 su flracón aumenada, la cual represena la nformacón del mercado dsponble hasa el empo. Se supone que la dnámca esocásca de la asa cora, r, es conducda por una ecuacón dferencal esocásca de la forma: dr = µ ( r, ) d + σ( r, ) dw, donde µ( r, ) y s( r, ) son procesos adapados a la flracón F. Como puede observarse, el proceso { W } 0 modela el resgo de mercado. Con el propóso de asegurar que la ecuacón dferencal esocásca que conduce la dnámca de la asa nsanánea de nerés enga una solucón únca, se requere que µ( r, ) y s( r, ) sasfagan la condcón global de Lpschz, a saber, µ ( x, ) µ ( y, ) K x y para oda [ 0, ) y x, y, donde K es una consane ndependene de x y y, además de la condcón de crecmeno µ ( x, ) + σ ( x, ) K( + x ) para oda [ 0, ) y x. Asmsmo, para que la meda y la varanza del proceso del proceso de r esén ben defndas, se requere que se sasfagan las sguenes condcones de negrabldad, cas dondequera con respeco de P W dadas por: 0 2 µ ( r, ) d < y σ ( r, ) d <. 6 Sundaresan (980) escoge una clase parcular de funcones de uldad y funcones de produccón y dervados acercándose a las solucones de la forma de (29) y (30). French (98) compara precos forward y precos fuuros observados bajo el supueso de que la uldad margnal de la rqueza es consane. 0

24 48 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 Bajo las condcones anerores, exse un únco proceso r con meda y varanza fnas, condconales en la nformacón en F. Las ecuacones (29) y (30) proveen el conrase en cuano a por qué los precos forward y los precos fuuros, en general, dferen. Al empo, el preco forward es el valor presene de un número conocdo, f exp{ R, s ds} = / B,, de undades del ben para ser enregadas en el empo. El preco del fuuro es el valor presene de un s número aleaoro, exp{ r ds}, de undades del ben para ser enregadas en el empo. Por lo ano, el preco del conrao fuuro represena una especulacón smulánea ano en el preco spo del fuuro como del número de undades para ser enregadas, lo cual a su vez es deermnado por la asa de fuuros nsanánea de nerés. En conrase, los precos de los conraos forward represenan una especulacón sobre el preco del fuuro spo. De hecho, el preco fuuro, f (, ), es gual al preco forward, φ (, ), para la enrega de una candad aleaora, exp{ r ds}, del ben. Para ver eso, consdere un conrao forward s frmado en el empo <, y que en el empo enrega exp{ r ds} undades del ben. Observe que la candad exp{ r ds} es ndependene del ben sobre el cual el conrao se frmó y se conoce en el empo. Ese conrao forward no requere de pagos en el empo, pero especfca el preco por undad del ben, φ (, ), para ser pagado en el empo. Para mosrar que φ (, ) = f (, ), prmero observe que los benefcos, Π (, ), realzada en el empo de una poscón larga en un conrao forward frmado en el empo son (3) Π (, ) = exp r s ds P,. φ Dado que, en ese caso, no se requere una nversón ncal, se debería ener un equlbro cuando el valor presene de los benefcos en el empo sea cero. S se usa α ( ) P = Π (, ) en la Proposcón y se mulplca por u [ c]exp{ ρ ( )}, la uldad margnal del ben numeraro desconada subjevamene, se obene s s

25 Producos dervados sobre benes de consumo n 49 (32) 0 = E Π, c F. La ecuacón aneror dce que el preco forward, φ (, ), se deermna de al manera que la uldad margnal esperada de recbr un bene- fco, Π (, ), sea gual a P φ (, ) sobre exp{ rs ds} undades del ben. Asmsmo, a parr de la ecuacón (32), se encuenra que (33) φ E P exp r s F s c ( ) d (, ) = E exp r ds F s c. De la msma forma, en el Apéndce, ecuacón (A.6), se muesra que ρ e (34) = E c r s F ρ s e c ( ) exp d. La ecuacón aneror dce que el valor presene de las ganancas en el empo de una nversón de una undad del ben numeraro en rollngover bonos de descueno nsanáneo, del empo al empo debe ser uno. S se susuye (34) en (33), se sgue que (35) φ ρ, e c ρ s e c P exp ( ) r s E d = Al comparar (30) con (35), se ene que φ F. (, ) f (, ) =. S se ulza una esraega de porafolo smlar a la que en un prncpo usaron Cox, Ingersoll y Ross (98), se muesra que sn nversón en el empo, se pueden usar conraos fuuros para replcar las amorzacones en el empo, Π (, ), de los conraos forward descros anerormene. S se consdera un plan, el cual será llamado plan forward,

26 50 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 de una poscón larga en una candad exp{ rs ds} de conraos de fufuros con vencmeno en el empo, para cada empo enre y. Ese plan genera en cada empo una amorzacón nsanánea τ s. La renversón connua de las amorzacones exp{ r ds} d f τ, pasadas y del nerés acumulado se lleva a cabo a una asa de nerés nsanánea lbre de resgo, r. En ese caso, Π (,τ ) denoa el valor de ese plan en el empo. Evdenemene, ya que no fue requerda la nversón, se ene que Π (, ) = 0. El cambo en el valor nsanáneo, d Π (,τ ), es la suma de las ganancas de los conraos de fuuros y del nerés sobre Π (,τ ), de al forma que τ (36) dπ (, τ ) = exp r ds d f τ, Π, τ r τ s + dτ. La solucón de la ecuacón (36), con Π τ (, ) = 0, esá dada por τ (37) Π (, τ ) = exp r s f τ, f, s d +. Por lo ano, en el empo =, las ecuacones (3) y (37) proporconan expresones déncas para Π (, ), ya que f P (, ) =. Noe que el plan forward para nverr en un conrao fuuro y un conrao τ s forward sobre exp{ r ds} undades de un ben cubre las amorzacones de manera dénca en el empo. Eso proporcona la clave para nerprear los precos fuuros. Cuando la asa nsanánea spo r es deermnsa, los precos forward y los precos de los fuuros concden, es decr, F f (, ) =,. Ese resulado exende el rabajo de Jarrow y Oldfeld (98), en donde se muesra que F f (, ) =, cuando r es consane. Por úlmo, se deermna la fórmula del preco (prma) de una opcón sobre un ben. El preco de equlbro, G D (,, ), de una opcón sobre un ben con preco de ejercco D esá dado por

27 Producos dervados sobre benes de consumo n 5 c ρ( ) (38) G (,, D ) = e E max P ( ) D, F c ( ) { 0}. { = Eso se sgue a parr el eorema con α P max P D,0}. Inuvamene, el preco de la opcón es el valor desconado de los pagos que serán recbdos en el empo. El facor de descueno es, una vez más, la asa margnal de susucón del consumo del ben numeraro en el empo y el ben numeraro en el empo (véase, al respeco, Venegas-Marínez, 2005). Por úlmo, observe que s la funcón de uldad es lneal y r es la asa de nerés lbre de rego de ncumplmeno y σ es la volaldad nsanánea de P, la cual se supone consane, enonces ρ (39) G PΦ d D e Φ d = 2 donde la funcón Φ(d) es la funcón de dsrbucón acumulada de una varable aleaora normal esándar, Z ~ N 0,, es decr, 2 d ε 2 (40) Φ( d) = Ρ Z d e Φ d Z = d ε =, 2π y (4) d d P, ;, D, r, σ = = P 2 D + + ln ρ σ 2 σ, P 2 D + ln ρ σ 2 ( ) (42) d = d P D r 2 2 (, ;,,, σ ) = =, d σ P σ 2 D 2 + ln ρ σ ( ), r, σ ) = = d σ σ la cual concde con la fórmula radconal obenda por Black-Scholes en (973), en donde la asa de descueno es la asa subjeva.

28 52 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 n Conclusones En vrud de que, en odo el mundo, los mercados de producos dervados sobre benes han mosrado ncremenos susancales en el mono de sus operacones y la operacón en esos mercados esá lgada a la generacón de ganancas, es ndspensable analzar, con más cauela, sus poencales efecos sobre la economía real. Un buen comenzo para ese análss es conar con una explcacón de la deermnacón de precos de producos dervados sobre benes, desacando cómo esos dervados se relaconan enre sí y cómo se relaconan con oros precos de la economía. Mucha nvesgacón se ha realzado sobre valuacón de producos dervados fnanceros y muy poco se ha esudado sobre dervados de benes. En ese rabajo se ha desarrollado un modelo de equlbro general con expecavas raconales en empo connuo que proporcona una fórmula general del valor presene de un flujo resgoso de benes. La aplcacón de dcha fórmula a varas suacones ha permdo la deermnacón de precos de conraos forward, conraos fuuros, bonos cupón cero y opcones europeas (de compra y vena) sobre benes de consumo. Las dnámcas esocáscas de las dferenes varables fnanceras y económcas (endógenas y exógenas) que se consderan en la economía bajo esudo han sdo modeladas a ravés del movmeno Brownano (o proceso de Wener). Es mporane desacar que el modelo propueso perme examnar esraegas de especulacón con dsnos producos dervados. Por úlmo se debe menconar que el modelo se puede generalzar en dferenes dreccones, por ejemplo, la nclusón de salos en los precos de los benes y la consderacón de valores exremos en dchos salos. n Bblografía Bank for Inernaonal Selemens (200). hp://www.bs.org/sascs/ derdealed.hm Black, F. (976). he Prcng of Commody Conracs. Journal of Fnancal Economcs, Vol. 3, No. -2, pp Black, F. y M. Scholes (973). he Prcng of Opons and Corporae Lables, Journal of Polcal Economy, Vol. 3, No. 8, pp Breeden, D.. (979). An Ineremporal Asse Prcng Model wh Sochasc Consumpon and Invesmen Opporunes, Journal of Fnancal Economcs, Vol. 7, No. 3, pp Breeden, D.. (980). Consumpon Rsks n Fuures Markes, Journal of Fnance, Vol. 35. No. 2, pp

Estadística de Precios de Vivienda

Estadística de Precios de Vivienda Esadísca de recos de Vvenda Meodología Subdreccón General de Esadíscas Madrd, febrero de 2012 Índce 1 Inroduccón 2 Objevos 3 Ámbos de la esadísca 3.1 Ámbo poblaconal 3.2 Ámbo geográfco 3.3 Ámbo emporal

Más detalles

5. Los sistemas de pensiones y el ahorro nacional

5. Los sistemas de pensiones y el ahorro nacional 5. Los ssemas de pensones y el ahorro naconal Uno de los aspecos más mporanes ras la reforma a un ssema de pensones es su mpaco sobre el ahorro naconal dado el vínculo enre ése y el desempeño de la economía.

Más detalles

TEMA 7 MODELO IS-LM EN ECONOMÍAS ABIERTAS

TEMA 7 MODELO IS-LM EN ECONOMÍAS ABIERTAS TMA 7 MODLO IS-LM N CONOMÍAS ABIRTAS l modelo IS-LM en economías aberas Concepos fundamenales n el ema aneror analzamos el po de cambo como s fuera un nsrumeno de políca económca. Sn embargo ése se deermna

Más detalles

1. MODELOS DE SERIES TEMPORALES UNIECUACIONALES

1. MODELOS DE SERIES TEMPORALES UNIECUACIONALES oro hasco rgoyen, Dpo. Economía Aplcada, UAM. EJEMPLO DE MODELOS EONOMÉTROS Ver el aso 9 (pag. 55 y ss.) del lbro de A. Puldo y A. López (999), Predccón y Smulacón aplcada a la economía y gesón de empresas.

Más detalles

CRÉDITO AGRICOLA. Consideraciones del producto:

CRÉDITO AGRICOLA. Consideraciones del producto: Versón: CA-5.04. CRÉDITO AGRICOLA Consderacones del produco: Son crédos que se oorgan para fnancameno de acvdades agropecuaras y se basan en la capacdad de pago de los clenes y su hsoral credco. Se conceden

Más detalles

CRÉDITO PESCA. Consideraciones del producto:

CRÉDITO PESCA. Consideraciones del producto: CRÉDITO PESCA Consderacones del produco: Los crédos se oorgan para el fnancameno de las acvdades de pesca: comerco, exraccón y/o ndusralzacón. Se basan en la capacdad de pago de los clenes y su hsoral

Más detalles

9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC 9. IUITOS DE SEGUNDO ODEN Y 9.. INTODUIÓN En el capíulo aneror mos como los crcuos ressos con capacancas o los crcuos ressos con nducancas enen arables que son calculadas medane ecuacones dferencales de

Más detalles

Estadística de Precios de Suelo

Estadística de Precios de Suelo Esadísca de Precos de Suelo Meodología Subdreccón General de Esadíscas Madrd, febrero de 2012 Índce 1 Inroduccón 2 Objevos 3 Ámbos de la esadísca 3.1 Ámbo poblaconal 3.2 Ámbo geográfco 3.3 Ámbo emporal

Más detalles

+12V +12V +12V 2K 15V. Problema 2: Determinar el punto de funcionamiento del transistor MOSFET del siguiente circuito: I(mA) D

+12V +12V +12V 2K 15V. Problema 2: Determinar el punto de funcionamiento del transistor MOSFET del siguiente circuito: I(mA) D PROBEMAS E IRUITOS ON TRANSISTORES Problema : eermnar los punos de funconameno de los dsposvos semconducores de los sguenes crcuos: +2V +2V +2V β= β= K β= β= (a) (b) (c) (d) Problema 2: eermnar el puno

Más detalles

Curso 2006/07. Tema 9: Modelos con retardos distribuidos (I) 9.1. Análisis de los efectos dinámicos en un modelo con retardos distribuidos

Curso 2006/07. Tema 9: Modelos con retardos distribuidos (I) 9.1. Análisis de los efectos dinámicos en un modelo con retardos distribuidos Curso 26/7 Economería II Tema 9: Modelos con reardos dsrbudos (I) 1. Análss de los efecos dnámcos en un modelo de reardos dsrbudos 2. La dsrbucón de reardos Tema 9 1 9.1. Análss de los efecos dnámcos en

Más detalles

Introducción a la Teoría de Inventarios

Introducción a la Teoría de Inventarios Clase # 4 Las organzacones esán consanemene vendo como camba el nvel de sus nvenaros en el empo. Inroduccón a la Teoría de Invenaros El ener un nvel bajo de nvenaros mplca resgos para no sasacer la demanda

Más detalles

Tema 5. Análisis Transitorio de Circuitos de Primer y Segundo Orden

Tema 5. Análisis Transitorio de Circuitos de Primer y Segundo Orden Tema 5. Análss Transoro de Crcuos de Prmer y egundo Orden 5.1 Inroduccón 5.2 Crcuos C sn fuenes 5.3 Crcuos C con fuenes 5.4 Crcuos L 5.5 Crcuos LC sn fuenes v() 5.6 Crcuos LC con fuenes () C () C v( )

Más detalles

Análisis de supervivencia. Albert Sorribas Grup de Bioestadística I Biomatemàtica Departament de Ciències Mèdiques Bàsiques Universitat de Lleida

Análisis de supervivencia. Albert Sorribas Grup de Bioestadística I Biomatemàtica Departament de Ciències Mèdiques Bàsiques Universitat de Lleida Análss de supervvenca Alber Sorrbas Grup de Boesadísca I Bomaemàca Deparamen de Cènces Mèdques Bàsques Unversa de Lleda Esquema general Inroduccón al análss de supervvenca Tpos de esudos El concepo de

Más detalles

LA INNOVACION EN LA LITERATURA RECIENTE DEL CRECIMIENTO ENDOGENO

LA INNOVACION EN LA LITERATURA RECIENTE DEL CRECIMIENTO ENDOGENO L INNOVCION EN L LITERTUR RECIENTE DEL CRECIMIENTO ENDOGENO Carlos Borondo rrbas Unversdad de Valladold Revsón: sepembre 28 Resumen Ese arículo presena un repaso de los prncpales modelos recenes que hacen

Más detalles

4o. Encuentro. Matemáticas en todo y para todos. Uso de las distribuciones de probabilidad en la simulación de sistemas productivos

4o. Encuentro. Matemáticas en todo y para todos. Uso de las distribuciones de probabilidad en la simulación de sistemas productivos 4o. Encuenro. Maemácas en odo y para odos. Uso de las dsrbucones de probabldad en la smulacón de ssemas producvos Leopoldo Eduardo Cárdenas Barrón lecarden@esm.mx Deparameno de Ingenería Indusral y de

Más detalles

Consideraciones generales sobre dinámica estructural

Consideraciones generales sobre dinámica estructural Capíulo Consderacones generales sobre dnámca esrucural Inroduccón El obeo de la dnámca esrucural es el análss de esrucuras bao cargas dnámcas, es decr cargas que varían en el empo. Aunque la mayoría de

Más detalles

NORMAS PARA LA CONSTITUCIÓN DE PREVISIONES PARA RIESGOS CREDITICIOS

NORMAS PARA LA CONSTITUCIÓN DE PREVISIONES PARA RIESGOS CREDITICIOS NORMA PARTIULAR 3.2 NORMAS PARA LA ONSTITUIÓN DE PREVISIONES PARA RIESGOS REDITIIOS a. Prevsones para resgos credcos ) Prevsón según caegoría de resgo ) Mono de resgo sujeo a prevsón ) Deduccón de garanías

Más detalles

ESTIMACIÓN DE LAS ELASTICIDADES DE LA DEMANDA DE GASOLINA EN EL ECUADOR: UN ANÁLISIS EMPÍRICO

ESTIMACIÓN DE LAS ELASTICIDADES DE LA DEMANDA DE GASOLINA EN EL ECUADOR: UN ANÁLISIS EMPÍRICO ESTIMACIÓN DE LAS ELASTICIDADES DE LA DEMANDA DE GASOLINA EN EL ECUADOR: UN ANÁLISIS EMPÍRICO Fabrco Morán Rugel 1, José Zúñga Basdas 2, Francsco Marro García 3 RESUMEN Después de haber analzado las écncas

Más detalles

Determinantes de los spreads de tasas de los bonos. corporativos: revisión de la literatura

Determinantes de los spreads de tasas de los bonos. corporativos: revisión de la literatura UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA DE ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN Deermnanes de los spreads de asas de los bonos corporavos: revsón de la leraura SEMINARIO PARA

Más detalles

Distorsiones creadas por la regulación colombiana: El Asset Swap Spread como proxy del Credit Default Swap en el mercado local.

Distorsiones creadas por la regulación colombiana: El Asset Swap Spread como proxy del Credit Default Swap en el mercado local. Dsorsones creadas por la regulacón colombana: El Asse Swap Spread como proxy del Cred Defaul Swap en el mercado local. Andrés Gómez Caegoría Lbre Dsorsones creadas por la regulacón colombana: El Asse Swap

Más detalles

Nota de Clase 5 Introducción a modelos de Data Panel: Generalidades

Nota de Clase 5 Introducción a modelos de Data Panel: Generalidades oa de Clase 5 Inroduccón a modelos de Daa Panel: Generaldades. Por qué daos de panel? Los modelos de daos de panel son versones mas generales de los modelos de core ansversal seres de empo vsos hasa el

Más detalles

Recuperación de la Información

Recuperación de la Información ssema de recuperacón de nformacón Recuperacón de la Informacón consula documenos mach Documenos Concepos Báscos relevane? ssema de recuperacón de nformacón palabras clave ndexado Las palabras clave (keywords)

Más detalles

PREDICCIÓN DE VOLATILIDAD CON LOS ÍNDICES DE VOLATILIDAD VIX Y VDAX

PREDICCIÓN DE VOLATILIDAD CON LOS ÍNDICES DE VOLATILIDAD VIX Y VDAX PREDICCIÓN DE VOLILIDD CON LOS ÍNDICES DE VOLILIDD VIX Y VDX El objevo de ese rabajo es esudar la capacdad predcva de los índces de volaldad. Para el perodo 99-0, analzamos daos de los índces amercanos

Más detalles

DOCUMENTO DE TRABAJO. www.economia.puc.cl

DOCUMENTO DE TRABAJO. www.economia.puc.cl Insuo I N S T Ide T Economía U T O D E E C O N O M Í A T E S I S d e M A G Í S T E R DOCUMENTO DE TRABAJO ¾¼¼ Ê Ð Ò ÒØÖ Ð ÈÖ Ó Ð È ØÖ Ð Ó Ý ÐÓ Ê ØÓÖÒÓ Ð ÓÒ ÐÓ Ø ÒØÓ Ë ØÓÖ ÓÒ Ñ Ó Ð ÒÓ Æ Ø Ð Á Ð ÐÐ Ö Ó Ë

Más detalles

SEGURO DE VIDA INDIVIDUAL CON PLAN DE AHORRO PREVISIONAL VOLUNTARIO. Incorporada al Depósito de Pólizas bajo el código POL 2 09 032

SEGURO DE VIDA INDIVIDUAL CON PLAN DE AHORRO PREVISIONAL VOLUNTARIO. Incorporada al Depósito de Pólizas bajo el código POL 2 09 032 SEGURO DE VIDA INDIVIDUAL CON PLAN DE AHORRO PREVISIONAL VOLUNTARIO Incorporada al Depóso de Pólzas bajo el códgo POL 2 09 032 CONDICIONES GENERALES ARTÍCULO 1º: DEFINICIONES 1. POLIZA: Es el conrao de

Más detalles

ESTRUCTURA DE LAS SIMILARIDADES

ESTRUCTURA DE LAS SIMILARIDADES ESTRUCTURA DE LAS SIMILARIDADES Ramón Gonzalez del Campo Lus Garmenda 2 Jord Recasens 3 SIC. Faculad de Informáca, rgonzale@esad.ucm.es 2 DISIA. Faculad de Informáca. UCM, lgarmend@fd.ucm.es 3 Unversa

Más detalles

Dinero, precios, tasa de interés y actividad económica: un modelo del caso colombiano (1984:I 2003:IV)

Dinero, precios, tasa de interés y actividad económica: un modelo del caso colombiano (1984:I 2003:IV) Dnero, precos, asa de nerés y acvdad económca: un modelo del caso colombano (984:I 23:IV) José Fernando Escobar. y Carlos Eseban osada. esumen A parr de un esquema de ofera y demanda de dnero se esmó un

Más detalles

Cálculo y Estadística

Cálculo y Estadística Cálculo y Esadísca PROBABILIDAD, VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES ª Prueba de Evaluacón Connua 0--5 Tes en Moodle correspondene a la pare de Probabldad, Varables Aleaoras y Dsrbucones ( Punos).- Una

Más detalles

EFECTOS EN BIENESTAR DE LA REPRESIÓN FINANCIERA * Andrés Arias UCLA. Alberto Carrasquilla Universidad de los Andes

EFECTOS EN BIENESTAR DE LA REPRESIÓN FINANCIERA * Andrés Arias UCLA. Alberto Carrasquilla Universidad de los Andes DOCUMENTO CEDE 2002-02 ISSN 1657-7191 (Edcón elecrónca) ABRIL DE 2002 CEDE EFECTOS EN BIENESTAR DE LA REPRESIÓN FINANCIERA * Andrés Aras UCLA Albero Carrasqulla Unversdad de los Andes Aruro Galndo Banco

Más detalles

LA MODELIZACIÓN DE PROCESOS

LA MODELIZACIÓN DE PROCESOS L MODELIZIÓN DE ROESOS En ese capíulo, se presena una meodología en desarrollo para modelos dnámcos de procesos químcos. Después de esudar ese capíulo, el esudane debería ser capaz de: Escrbr las ecuacones

Más detalles

Sostenibilidad de la Política Fiscal: Una Simulación de la Restricción Presupuestaria *

Sostenibilidad de la Política Fiscal: Una Simulación de la Restricción Presupuestaria * ESTUIOS ECONÓMICOS Sosenbldad de la Políca Fscal: Una Smulacón de la Resrccón Presupuesara José Lus Pereyra A.. Inroduccón Polícas fscales desnadas a reacvar la economía corren el resgo de generar défc

Más detalles

TÉCNICAS METAHEURÍSTICAS. ALGORITMOS BASADOS EN NUBES DE PARTÍCULAS

TÉCNICAS METAHEURÍSTICAS. ALGORITMOS BASADOS EN NUBES DE PARTÍCULAS TÉCNICAS METAHEURÍSTICAS. ALGORITMOS BASADOS EN NUBES DE PARTÍCULAS 3 39 Ssema de generacón elécrca con pla de combusble de óxdo sóldo almenado con resduos foresales y su opmzacón medane algormos basados

Más detalles

Séptimas Jornadas de Economía Monetaria e Internacional La Plata, 9 y 10 de mayo de 2002

Séptimas Jornadas de Economía Monetaria e Internacional La Plata, 9 y 10 de mayo de 2002 Unversdad Naconal de a Plaa Sépas Jornadas de Econoía Moneara e Inernaconal a Plaa, 9 y de ayo de 22 Un Análss Econoérco del Efeco de la Políca Moneara en Argenna Urera, Gasón Ezequel (Unversdad Epresaral

Más detalles

Macroeconomic Effects of Fiscal Shocks in the European Union: A GVAR Model

Macroeconomic Effects of Fiscal Shocks in the European Union: A GVAR Model Unversy of Exremadura Deparmen of Economcs Macroeconomc Effecs of Fscal Shocks n he European Unon: A GVAR Model Ths verson: February 212 Alejandro RICCI RISQUETE Julán RAMAJO HERNÁNDEZ Unversdad de Exremadura

Más detalles

El signo negativo indica que la fem inducida es una E que se opone al cambio de la corriente.

El signo negativo indica que la fem inducida es una E que se opone al cambio de la corriente. AUTO-INDUCTANCIA: Una bobna puede nducr una fem en s msma.s la correne de una bobna camba, el flujo a ravés de ella, debdo a la correne, ambén se modfca. Así como resulado del cambo de la correne de la

Más detalles

METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DEL ÍNDICE COLCAP

METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DEL ÍNDICE COLCAP METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DEL ÍNDICE COLCAP MARZO DE 20 TABLA DE CONTENIDO. GENERALIDADES:... 3.. VALOR BASE... 3.2. NÚMERO DE EMISORES QUE COMPONEN EL ÍNDICE... 3.3. ACCIONES POR EMISOR... 3.4. PARTICIPACIÓN

Más detalles

MEDICIÓN DE LA ACTIVIDAD MINERA EN LA REGIÓN DE ARICA Y PARINACOTA

MEDICIÓN DE LA ACTIVIDAD MINERA EN LA REGIÓN DE ARICA Y PARINACOTA esudos esudos MEDCÓN DE LA ACTVDAD MNERA EN LA REGÓN DE ARCA Y PARNACOTA Ocubre de 28 N Subdreccón Técnca Deparameno de Esudos Económcos Coyunurales Medcón de la Acvdad Mnera en la Regón de Arca y Parnacoa

Más detalles

EJERCICIOS: Análisis de circuitos en el dominio del tiempo

EJERCICIOS: Análisis de circuitos en el dominio del tiempo EJEIIOS: Análss de crcuos en el domno del empo. égmen ransoro y permanene. En cada uno de los sguenes crcuos el nerrupor ha esado abero largo empo. Se cerra en. Deermnar o I, dbujar la onda correspondene

Más detalles

David Ceballos Hornero Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial. Universitat de Barcelona ceballos@eco.ub.es

David Ceballos Hornero Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial. Universitat de Barcelona ceballos@eco.ub.es Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen Davd eballos Hornero Deparamen de Maemàca Econòmca, Fnancera Acuaral. Unversa de Barcelona ceballos@eco.ub.es Dynamc analyss of a Fnancal Operaon of Invesmen

Más detalles

ÁREA 4 y 9: ECONOMÍA INDUSTRIAL, DE SERVICIOS Y DE LA INFORMACIÓN Y EL CONOCIMIENTO. Departamento de Economía Aplicada

ÁREA 4 y 9: ECONOMÍA INDUSTRIAL, DE SERVICIOS Y DE LA INFORMACIÓN Y EL CONOCIMIENTO. Departamento de Economía Aplicada ÁREA 4 y 9: ECONOMÍA INDUSTRIAL, DE SERVICIOS Y DE LA INFORMACIÓN Y EL CONOCIMIENTO Deparameno de Economía Aplcada Faculad de Cencas Económcas y Empresarales e-mal: ecoapl@eco.uva.es Avda. del Valle de

Más detalles

Ser keynesiano en el corto plazo y clásico en el largo plazo*

Ser keynesiano en el corto plazo y clásico en el largo plazo* Ser keynesano en el coro plazo y clásco en el largo plazo* Gérard Duménl** y Domnque Lévy*** Inroduccón * Traducdo por Davd A. Turpn jr., Deparameno de Economía de la UAM-A. ** CE: gerard. dumenl@u-pars0.fr

Más detalles

Índices de precios y Preferencias Reveladas. Microeconomía Douglas C. Ramírez V.

Índices de precios y Preferencias Reveladas. Microeconomía Douglas C. Ramírez V. Índces de precos y referencas Reveladas Mcroeconomía Douglas C. Ramírez V. LOS ÍNDICES Los números índces o índces son un nsrumeno esadísco muy úl y de uso muy exenddo. G.R. Carl. En Iala, en 1764 realzó

Más detalles

Análisis de la competencia en un mercado mayorista de electricidad: el caso de España

Análisis de la competencia en un mercado mayorista de electricidad: el caso de España Fac. CC. Económcas y Empresarales Unversdad de La Laguna Fac. CC. Económcas y Empresarales Unv. de Las Palmas de Gran Canara Análss de la compeenca en un mercado mayorsa de elecrcdad: el caso de España

Más detalles

ANALISIS DE INDICADORES DE COMERCIO EXTERIOR Y POLÍTICA COMERCIAL

ANALISIS DE INDICADORES DE COMERCIO EXTERIOR Y POLÍTICA COMERCIAL ANALISIS DE INDICADORES DE COMERCIO EXTERIOR Y POLÍTICA COMERCIAL José E. Durán Lma, Ofcal de Asunos Económcos Claudo Aravena, Analsa Esadísco Carlos Ludeña, Consulor Inernaconal Asesoría Técnca de la

Más detalles

Tema 4. Condensadores y Bobinas

Tema 4. Condensadores y Bobinas Tema 4. ondensadores y Bobnas 4. Inroduccón 4. ondensadores 4.3 Energía almacenada en un condensador 4.4 Asocacón de condensadores 4.5 Bobnas 4.6 Energía almacenada en una bobna 4.7 Asocacón de bobnas

Más detalles

Tema 2 Circuitos Dinámicos de Primer Orden

Tema 2 Circuitos Dinámicos de Primer Orden Tema 2: Crcuos Dnámcos de Prmer Orden Tema 2 Crcuos Dnámcos de Prmer Orden A nade en su sano juco se le habría ocurrdo preparar enonces odos esos componenes (ranssores, ressores y condensadores a parr

Más detalles

METODOLOGÍA ENERGÍA ELECTRICA

METODOLOGÍA ENERGÍA ELECTRICA Insuo Naconal de Esadíscas SUBDIRECCIÓN TÉCNICA Depo. Invesgacón y Desarrollo Esadísco SUBDIRECCION DE OPERACIONES Subdeparameno. Esadíscas Secorales METODOLOGÍA ENERGÍA ELECTRICA Sanago, 26 Dcembre de

Más detalles

Capitalización y descuento simple

Capitalización y descuento simple Undad 2 Captalzacón y descuento smple 2.1. Captalzacón smple o nterés smple 2.1.1. Magntudes dervadas 2.2. Intereses antcpados 2.3. Cálculo de los ntereses smples. Métodos abrevados 2.3.1. Método de los

Más detalles

C I R C U L A R N 2.133

C I R C U L A R N 2.133 Montevdeo, 17 de Enero de 2013 C I R C U L A R N 2.133 Ref: Insttucones de Intermedacón Fnancera - Responsabldad patrmonal neta mínma - Susttucón de la Dsposcón Transtora del art. 154 y de los arts. 158,

Más detalles

PREFERENCIAS DINÁMICAS DE FINANCIACIÓN DE LAS EMPRESAS ESPAÑOLAS: NUEVA EVIDENCIA DE LA TEORÍA DE LA JERARQUÍA

PREFERENCIAS DINÁMICAS DE FINANCIACIÓN DE LAS EMPRESAS ESPAÑOLAS: NUEVA EVIDENCIA DE LA TEORÍA DE LA JERARQUÍA PREFERENCIAS DINÁMICAS DE FINANCIACIÓN DE LAS EMPRESAS ESPAÑOLAS: NUEVA EVIDENCIA DE LA TEORÍA DE LA JERARQUÍA Javer SÁNCHEZ-VIDAL Dpo. de Economía Fnancera y Conabldad Faculad de Cencas de la Empresa

Más detalles

APUNTES CLASES DE PRÁCTICAS ECONOMIA ESPAÑOLA (Y MUNDIAL) CURSO 2010/2011, 2º. CUATRIMESTRE DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

APUNTES CLASES DE PRÁCTICAS ECONOMIA ESPAÑOLA (Y MUNDIAL) CURSO 2010/2011, 2º. CUATRIMESTRE DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID APUTES CLASES DE PRÁCTCAS ECOOMA ESPAÑOLA (Y MUDAL) CURSO 200/20, 2º. CUATRMESTRE DEPARTAMETO DE ECOOMÍA UVERSDAD CARLOS DE MADRD DCE DE PRÁCTCAS.- Conabldad aconal. 2.- ndces y Deflacores. 3.- Curvas

Más detalles

En España operaron 3.466.110 empresas en 2012. Ese año se crearon 287.311 y desaparecieron 334.541

En España operaron 3.466.110 empresas en 2012. Ese año se crearon 287.311 y desaparecieron 334.541 25 de novembre de 2014 Indcadores de Demografía Empresaral Año 2012 En España operaron 3.466.110 empresas en 2012. Ese año se crearon 287.311 y desapareceron 334.541 Las empresas creadas represenaron el

Más detalles

Manual Metodológico Índice de Costos del Transporte Base 2009 = 100

Manual Metodológico Índice de Costos del Transporte Base 2009 = 100 Manual Meodológco Índce de Cosos del Transpore Base 2009 00 Insuo Naconal de Esadíscas Subdreccón de Operacones Deparameno de Esadíscas de Precos Febrero de 200 Índce. INTRODUCCIÓN...5 2. DEFINICIÓN DEL

Más detalles

Optimización del balance de carga en circuitos de distribución primaria

Optimización del balance de carga en circuitos de distribución primaria energéca Vol. XXX, No. /009 TRABAJOS TEORCOEXPERMENTALES Opmzacón del balance de carga en crcuos de dsrbucón prmara gnaco Pérez Recbdo: Ocubre del 008 Aprobado: Dcembre del 008 Resumen/ Absrac Las medcones

Más detalles

7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIA

7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIA 7. APAITANIA E INDUTANIA 7.. INTRODUIÓN El elemeno paso e os ermnales que hemos so hasa el momeno, eso es la Ressenca, presena un comporameno lneal enre su olaje y correne. Eso prouce ecuacones algebracas

Más detalles

Estimación de una frontera de eficiencia técnica en el mercado de seguros uruguayo

Estimación de una frontera de eficiencia técnica en el mercado de seguros uruguayo Esmacón de una fronera de efcenca écnca en el mercado de seguros uruguao Faculad de Cencas Económcas de Admnsracón Unversdad de la Repúblca María Eugena Sann Fernando Zme Tel.: 598 709578 Tel.: 598 70008

Más detalles

MODELO DE UN SISTEMA MRP CERRADO INTEGRANDO INCERTIDUMBRE EN LOS TIEMPOS DE ENTREGA, DISPONIBILIDAD DE LA CAPACIDAD DE FABRICACIÓN E INVENTARIOS

MODELO DE UN SISTEMA MRP CERRADO INTEGRANDO INCERTIDUMBRE EN LOS TIEMPOS DE ENTREGA, DISPONIBILIDAD DE LA CAPACIDAD DE FABRICACIÓN E INVENTARIOS MODELO DE UN SISTEMA MRP CERRADO INTEGRANDO INCERTIDUMBRE EN LOS TIEMPOS DE ENTREGA, DISPONIBILIDAD DE LA CAPACIDAD DE FABRICACIÓN E INVENTARIOS TESIS DE GRADO PARA OPTAR AL TITULO DE MAGISTER EN INGENIERÍA

Más detalles

Master en Economía Macroeconomía II. 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizonte Finito

Master en Economía Macroeconomía II. 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizonte Finito Maser en Economía Macroeconomía II Profesor: Danilo Trupkin Se de Problemas 1 - Soluciones 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizone Finio Considere un problema de ahorro-consumo sobre un horizone finio

Más detalles

Mecanismos de palanca. Apuntes.

Mecanismos de palanca. Apuntes. Mecansmos de palanca. Apunes. Oreses González Qunero Deparameno de Ingenería Mecánca Faculad de de Ingenerías Químca y Mecánca 2007 1 1.- Inroduccón. El análss de los mecansmos y máqunas ene por objevo

Más detalles

Ciencia en su PC ISSN: 1027-2887 cpc@megacen.ciges.inf.cu. Centro de Información y Gestión Tecnológica de Santiago de Cuba. Cuba

Ciencia en su PC ISSN: 1027-2887 cpc@megacen.ciges.inf.cu. Centro de Información y Gestión Tecnológica de Santiago de Cuba. Cuba Cenca en su PC ISSN: 107-887 cpc@megacen.cges.nf.cu Cenro de Informacón y Gesón Tecnológca de Sanago de Cuba Cuba Herold-García, Slena; Escobedo-Nco, Mrela SEGMENTACIÓN DE IMÁGENES MÉDICAS CON LA APLICACIÓN

Más detalles

UNA APROXIMACION A LA SOSTENIBILIDAD FISCAL EN REPUBLICA DOMINICANA Juan Temístocles Montás

UNA APROXIMACION A LA SOSTENIBILIDAD FISCAL EN REPUBLICA DOMINICANA Juan Temístocles Montás UNA APROXIMACION A LA SOSTENIBILIDAD FISCAL EN REPUBLICA DOMINICANA Juan Temísocles Monás Puede el comporamieno acual de la políica fiscal sosenerse sin generar una deuda pública que crezca sin límie?

Más detalles

EL FAIR VALUE DE LAS PROVISIONES TÉCNICAS DE LOS SEGUROS DE VIDA

EL FAIR VALUE DE LAS PROVISIONES TÉCNICAS DE LOS SEGUROS DE VIDA Prohbda la reproduccón oal o parcal de esa obra sn el permso escro del auor o de FUNDACIÓN MAPFRE Insuo de Cencas del Seguro EL FAIR VALUE DE LAS PROVISIONES TÉCNICAS DE LOS SEGUROS DE VIDA Emlano Pozuelo

Más detalles

SIGLAS Y NOTACIÓN EMPLEADA

SIGLAS Y NOTACIÓN EMPLEADA SIGLAS Y NOTAIÓN EMPLEADA α PND a Parámero que ene un valor 4 para vehículos lgeros y de 6 para vehículos pesados Incremeno de la accesbldad para el usuaro que anes no realzaba desplazamenos moorzados

Más detalles

METODOLOGÍA ENERGÍA ELÉCTRICA

METODOLOGÍA ENERGÍA ELÉCTRICA Insuo Naconal de Esadíscas SUBDIRECCIÓN TÉCNICA Depo. Invesgacón y Desarrollo Esadísco SUBDIRECCIÓN DE OPERACIONES Subdepo. Esadíscas Secorales METODOLOGÍA ENERGÍA ELÉCTRICA GGM/GMA Sanago, 26 Dcembre

Más detalles

(+5255) 5263 4582, aelizondo@shf.gob.mx

(+5255) 5263 4582, aelizondo@shf.gob.mx Conngencas de nauraleza sséca en el desarrollo del odelo de fnancaeno de la vvenda en Méxco: es posble adnsrar y ransferr ese resgo? Ac. Jesús Alan Elzondo, Ac. Abraha Hernandez, Lc. Raon Monenegro Socedad

Más detalles

Fundamentos Actuariales de Primas y Reservas de Fianzas

Fundamentos Actuariales de Primas y Reservas de Fianzas Fundamenos Acuarales de Prmas y Reservas de Fanzas Los Procedmenos Técncos de la Regulacón Mexcana Ac. Pedro Agular Belrán Profesor de Acuaría Unversdad Naconal Auónoma de Méxco Ac. Julana Gudño Anllón

Más detalles

Representación VEC. Planteamiento de un sistema de ecuaciones. Esquema de retroalimentación. , pero requiere

Representación VEC. Planteamiento de un sistema de ecuaciones. Esquema de retroalimentación. , pero requiere Represenacón VEC Dado que las relacones económcas enre varables no se presenan esrcamene en un sendo específco, es decr, puede exsr enre ellas esquemas de reroalmenacón o complejos mecansmos de rasmsón

Más detalles

Función Financiera 12/03/2012

Función Financiera 12/03/2012 Funcón Fnancera /03/0 Asgnaura: Admnsracón Fnancera Bblografía: Albero Macaro - Cr. Julo César Torres Profesor Tular Regular Faculad de Cencas Económcas y Jurídcas Unversdad Naconal de La Pampa Cr. Julo

Más detalles

Caracterís cas de la Metodología para calcular Rentabilidad Ajustada por Riesgo

Caracterís cas de la Metodología para calcular Rentabilidad Ajustada por Riesgo P S 2015 M C P S 2015 Inroduccón El Premo Salmón es hoy el prncpal reconocmeno enregado a los Fondos Muuos en Chle. Movo de orgullo y cenro de campañas publcaras, ese reconocmeno ha cambado su foco hace

Más detalles

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo Coberura de una carera de bonos con forwards en iempo coninuo Bàrbara Llacay Gilber Peffer Documeno de Trabajo IAFI No. 7/4 Marzo 23 Índice general Inroducción 2 Objeivos......................................

Más detalles

Las derivadas de los instrumentos de renta fija

Las derivadas de los instrumentos de renta fija Las derivadas de los insrumenos de rena fija Esrella Peroi, MBA Ejecuivo a cargo Capaciación & Desarrollo Bolsa de Comercio de Rosario eperoi@bcr.com.ar Como viéramos en el arículo el dilema enre la asa

Más detalles

Metodología para el diseño de mecanismos en el esquema de seguridad social en Colombia. Wilson Mayorga M.

Metodología para el diseño de mecanismos en el esquema de seguridad social en Colombia. Wilson Mayorga M. . La Caldad Académca, un Compromso Insttuconal Close up marquta - hoja Mayorga M., Wlson (2009). Metodología para el dseño de mecansmos en el esquema de segurdad socal en Colomba. Crtero Lbre, 7 (), 5-46

Más detalles

PRÁCTICA 1: Identificación del modelo de un motor de C.C. con entrada en escalón de tensión

PRÁCTICA 1: Identificación del modelo de un motor de C.C. con entrada en escalón de tensión PÁCTICA 1: Idenfcacón del modelo de un moor de C.C. con enrada en escalón de ensón Ojevos: Guón: Caracerzar un moor de C.C. Deermnar las consanes y τ. Smulacón del funconameno de un moor de C.C. en Sm.

Más detalles

1.- Una empresa se plantea una inversión cuyas características financieras son:

1.- Una empresa se plantea una inversión cuyas características financieras son: ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES. Departamento de Economía Aplcada (Matemátcas). Matemátcas Fnanceras. Relacón de Problemas. Rentas. 1.- Una empresa se plantea una nversón cuyas característcas

Más detalles

INDICE DE COSTES DE LA CONSTRUCCIÓN

INDICE DE COSTES DE LA CONSTRUCCIÓN INDICE DE COSTES DE LA CONSTRUCCIÓN. INTRODUCCION Y OBJETIVOS El índce de coses de la consruccón es un ndcador coyunural que elabora el Mnsero de Fomeno y que ene como objevo medr la evolucón, en érmnos

Más detalles

OPERACIONES ARMONIZACION DE CRITERIOS EN CALCULO DE PRECIOS Y RENDIMIENTOS

OPERACIONES ARMONIZACION DE CRITERIOS EN CALCULO DE PRECIOS Y RENDIMIENTOS P L V S V LT R A BANCO DE ESPAÑA OPERACIONES Gestón de la Informacón ARMONIZACION DE CRITERIOS EN CALCULO DE PRECIOS Y RENDIMIENTOS El proceso de ntegracón fnancera dervado de la Unón Monetara exge la

Más detalles

ANÁLISIS DE LOS CAMBIOS EN LA PARTICIPACIÓN LABORAL FEMENINA EN CHILE. Evelyn Benvin y Marcela Perticará ƒ. Resumen

ANÁLISIS DE LOS CAMBIOS EN LA PARTICIPACIÓN LABORAL FEMENINA EN CHILE. Evelyn Benvin y Marcela Perticará ƒ. Resumen ANÁLISIS DE LOS CAMBIOS EN LA PARTICIPACIÓN LABORAL EMENINA EN CHILE Evelyn Benvn y Marcela Percará ƒ Esa versón: Marzo 2007 Resumen En ese rabajo hemos aplcado écncas de descomposcón mcroeconomércas con

Más detalles

Un Modelo Macroeconómico del Riesgo de Crédito en Uruguay

Un Modelo Macroeconómico del Riesgo de Crédito en Uruguay Un Modelo Macroeconómco del Resgo de Crédo en Uruguay Gabrel Illanes Aleandro Pena Andrés Sosa 002-204 688-7565 Un Modelo Macroeconómco del Resgo de Crédo en Uruguay Gabrel Illanesª, Aleandro Pena b**,

Más detalles

MADRID / SEPTIEMBRE99. LOGSE / FÍSICA / ÓPTICA/OPCIÓN A/ CUESTIÓN 3

MADRID / SEPTIEMBRE99. LOGSE / FÍSICA / ÓPTICA/OPCIÓN A/ CUESTIÓN 3 MADRID / SEPTIEMBRE99. LOGSE / FÍSICA / ÓPTICA/OPCIÓN A/ CUESTIÓN 3 Una fuene lumnosa eme luz monocromáca de longud de onda en el vacío lo = 6 l0-7 m (luz roja) que se propaga en el agua de índce de refraccón

Más detalles

EL METODO PERT (PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE)

EL METODO PERT (PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE) EL METODO PERT (PROGRM EVLUTION ND REVIEW TECHNIQUE) METODO DE PROGRMCION Y CONTROL DE PROYECTOS Desarrollado en 1958, para coordnar y conrolar la consruccón de submarnos Polars. El méodo PERT se basa

Más detalles

TEMA 3 EXPECTATIVAS, CONSUMO E INVERSIÓN

TEMA 3 EXPECTATIVAS, CONSUMO E INVERSIÓN TEMA 3 EXPECTATIVAS, CONSUMO E INVERSIÓN En el Tema 2 analizamos el papel de las expecaivas en los mercados financieros. En ése nos cenraremos en los de bienes y servicios. El papel que desempeñan las

Más detalles

UNIVERSIDAD DE OVIEDO

UNIVERSIDAD DE OVIEDO Trabajaremos con módulos foovolacos de capa fna. resena ceras venajas por el dferene comporameno que esa ecnología ene ane la radacón solar y las condcones ambenales: Mejor comporameno de la produccón

Más detalles

I EJERCICIOS RESUELTOS II EXÁMENES DE ECONOMETRÍA III EXÁMENES DE ECONOMETRÍA EMPRESARIAL IV EXÁMENES DE PRINCIPIOS DE ECONOMETRÍA

I EJERCICIOS RESUELTOS II EXÁMENES DE ECONOMETRÍA III EXÁMENES DE ECONOMETRÍA EMPRESARIAL IV EXÁMENES DE PRINCIPIOS DE ECONOMETRÍA I EJERCICIOS RESUELOS II EXÁMENES DE ECONOMERÍA III EXÁMENES DE ECONOMERÍA EMPRESARIAL IV EXÁMENES DE PRINCIPIOS DE ECONOMERÍA Noa: Los ejerccos con asersco no corresponden al programa acual de Prncpos

Más detalles

Héctor Maletta. Análisis de panel con variables categóricas

Héctor Maletta. Análisis de panel con variables categóricas Hécor Malea Análss de panel con varables caegórcas Buenos Ares, 2012 CONTENIDO 1. Inroduccón al análss de panel... 1 1.1. El desarrollo hsórco del análss de panel... 1 1.2. El prsma de daos... 3 1.3. Clasfcacón

Más detalles

Fernando Pereda G. Causantes del desarrollo de la negociación de renta fija respecto a la de renta variable en la Bolsa de Valores de Lima: 1996 2008

Fernando Pereda G. Causantes del desarrollo de la negociación de renta fija respecto a la de renta variable en la Bolsa de Valores de Lima: 1996 2008 Causanes de desarroo de a negocacón de rena fa respeco a a de rena varabe en a Bosa de Vaores de Lma: 996 2008 Fernando Pereda G. Lma, Ocubre 20 Conendo. Esrucura de os mercados fnanceros en e Perú 2.

Más detalles

Manual Metodológico del Índice de Remuneraciones (IR) Índice de Costo de Mano de Obra (ICMO) Base anual 2009 = 100

Manual Metodológico del Índice de Remuneraciones (IR) Índice de Costo de Mano de Obra (ICMO) Base anual 2009 = 100 Manual Meodológco del Índce de Remuneracones (IR) Índce de Coso de Mano de Obra (ICMO) Base anual 2009 00 Insuo Naconal de Esadíscas Subdreccón de Operacones Proyeco de acualzacón IR ICMO Subdreccón Técnca

Más detalles

Ejercicios resueltos y exámenes

Ejercicios resueltos y exámenes Prncpos de Economería y Economería Empresaral I Ejerccos resuelos y exámenes Recoplados por Ezequel Urel I EJERCICIOS RESUELOS II EXÁMENES DE ECONOMERÍA III EXÁMENES DE ECONOMERÍA EMPRESARIAL IV EXÁMENES

Más detalles

2.5 Especialidades en la facturación eléctrica

2.5 Especialidades en la facturación eléctrica 2.5 Especaldades en la facturacón eléctrca Es necesaro destacar a contnuacón algunos aspectos peculares de la facturacón eléctrca según Tarfas, que tendrán su mportanca a la hora de establecer los crteros

Más detalles

El Método de Monte Carlo para la Solución de la Ecuación de Transporte

El Método de Monte Carlo para la Solución de la Ecuación de Transporte Anál de Reacore Nucleare Faculad de Ingenería-UNAM Juan Lu Franço El Méodo de Mone Carlo para la Solucón de la Ecuacón de Tranpore En la prácca, mucho problema de ranpore no e pueden reolver por méodo

Más detalles

MACROECONOMIA II. Grado Economía 2013-2014

MACROECONOMIA II. Grado Economía 2013-2014 MACROECONOMIA II Grado Economía 2013-2014 PARTE II: FUNDAMENTOS MICROECONÓMICOS DE LA MACROECONOMÍA 3 4 5 Tema 2 Las expecaivas: los insrumenos básicos De qué dependen las decisiones económicas? Tipo de

Más detalles

11 de marzo de 2006. Aprueban Sistema de Indicadores de Gestión de las Empresas de Servicios de Saneamiento RESOLUCIÓN DE CONSEJO DIRECTIVO

11 de marzo de 2006. Aprueban Sistema de Indicadores de Gestión de las Empresas de Servicios de Saneamiento RESOLUCIÓN DE CONSEJO DIRECTIVO de marzo de 2006 Aprueban Ssema de Indcadores de Gesón de las Empresas de Servcos de Saneameno RESOLUCIÓN DE CONSEJO DIRECTIVO Nº 0-2006-SUNASS-CD Lma, de marzo de 2006 VISTO: El Informe Nº 009-2006-SUNASS-20

Más detalles

Metodología de cálculo del diferencial base

Metodología de cálculo del diferencial base Meodología de cálculo del diferencial base El diferencial base es el resulado de expresar los gasos generales promedio de operación de las insiuciones de seguros auorizadas para la prácica de los Seguros

Más detalles

2.2 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR). Flujo de Caja Netos en el Tiempo

2.2 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR). Flujo de Caja Netos en el Tiempo Evaluacón Económca de Proyectos de Inversón 1 ANTECEDENTES GENERALES. La evaluacón se podría defnr, smplemente, como el proceso en el cual se determna el mérto, valor o sgnfcanca de un proyecto. Este proceso

Más detalles

Relaciones entre variables

Relaciones entre variables Relacones entre varables Las técncas de regresón permten hacer predccones sobre los valores de certa varable Y (dependente), a partr de los de otra (ndependente), entre las que se ntuye que exste una relacón.

Más detalles

Modelo de regresión lineal simple

Modelo de regresión lineal simple Modelo de regresión lineal simple Inroducción Con frecuencia, nos enconramos en economía con modelos en los que el comporamieno de una variable,, se puede explicar a ravés de una variable X; lo que represenamos

Más detalles

JUEGOS RESTRINGIDOS MULTICRITERIO. Amparo Mª Mármol Conde Luisa Monroy Berjillos Victoriana Rubiales Caballero 1

JUEGOS RESTRINGIDOS MULTICRITERIO. Amparo Mª Mármol Conde Luisa Monroy Berjillos Victoriana Rubiales Caballero 1 éodo aemáco para la Economía y la Emprea JUEGOS RESTRINGIDOS UTICRITERIO Amparo ª ármol Conde ua onroy Berllo Vcorana Rubale Caballero Deparameno Economía Aplcada III Unverdad de Sevlla Reumen: a eoría

Más detalles

Unidad II: Análisis de la combustión completa e incompleta. 2. 1. Aire

Unidad II: Análisis de la combustión completa e incompleta. 2. 1. Aire 4 Undad II: Análss de la combustón completa e ncompleta. 1. Are El are que se usa en las reaccones de combustón es el are atmosférco. Ya se djo en la Undad I que, debdo a que n el N n los gases nertes

Más detalles

TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS

TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS 9.2 La asa naural de desempleo y la curva de Phillips La relación enre el desempleo y la inflación La curva de Phillips, basada en los daos aneriores

Más detalles

DEFINICIÓN DE INDICADORES

DEFINICIÓN DE INDICADORES DEFINICIÓN DE INDICADORES ÍNDICE 1. Notacón básca... 3 2. Indcadores de ntegracón: comerco total de benes... 4 2.1. Grado de apertura... 4 2.2. Grado de conexón... 4 2.3. Grado de conexón total... 5 2.4.

Más detalles

Ecuaciones diferenciales, conceptos básicos y aplicaciones

Ecuaciones diferenciales, conceptos básicos y aplicaciones GUIA 1 Ecuaciones diferenciales, concepos básicos y aplicaciones Las ecuaciones diferenciales ordinarias son una herramiena básica en las ciencias y las ingenierías para el esudio de sisemas dinámicos

Más detalles