Cálculo Estocástico Variación Cuadrática para Martingalas Continuas y Acotadas

Transcripción

1 1 Cálculo Esocásco Varacón Cuadráca para Marngalas Connuas y Acoadas Gullermo Garro Defncón Varacón fna. Un proceso X es de varacón fna o acoada s sus rayecoras son de varacón fna, c.s. Es decr, s exse N F con PN 0, alque s ω Ω\N, enonces para odo 0, { n } V ω : sup X ω X 1 ω : {0 0 < < n } parcón de 0, ] <. Para abrevar se usará la noacón V sup n X X 1. Lema 1. Una marngala Y connua y de varacón acoada es necesaramene la marngala rval, es decr, es dencamene gual a Y 0. Demosracón. Podemos suponer que Y 0 0 y enonces probaremos que Y es nula s es de varacón fna. Sea S n ínf{s 0 : V s n}. S n es empo de paro Ejercco 1. La marngala parada Y Sn ene varacón menor o gual a n ya que despues de S n es consane, y anes de S n, por defncón de S n ene varacón menor o gual a n. Por lo ano basa demosrar el lema cuando Y ene varacón fna menor o gual a un número K > 0. Sea { 0 0 < 1 < < < k } una parcón de 0, ]. Tenemos, E Y k 1 1 k 1 Y +1 Y Y +1 Y 1 Ejercco k 1 E sup Y +1 Y Y +1 Y 1 E sup Y +1 Y V K E sup Y +1 Y. Dado que Y es una marngala connua, s 0, enonces el érmno sup Y +1 Y 0 c.s. Ejercco 3, y en cuano que Y es una marngala acoada, E sup Y +1 Y 0, cuando 0 según el TCD Ejercco 4. Luego, E Y 0 y por ende Y 0.

2 Defncón Varacón cuadráca fna. Sea { 0 0 < 1 < } una parcón de R + al que 0, ] es fno para cada 0 lo cual mplca además que cuando. Defnmos para un proceso X, k 1 T X X +1 X + X X k, 0 donde el índce k es al que k mín{j 0 : j j+1 }. Escrbremos smplemene T cuando no haya resgo de confusón. Nóese que T0 X 0. Decmos que un proceso X es de varacón cuadráca fna s exse un proceso X, X al que para oda 0, T converge en probabldad a X, X cuando 0 sobre 0, ]. El resulado prncpal de las noas es el sguene Teorema. Una marngala M connua y acoada ene varacón cuadráca M 0 o M, M 0 fna y ese proceso es el únco proceso crecene connuo, nulo en cero, al que M M, M 0 es marngala. Para la prueba se requeren algunos resulados prevos que se exponen a connuacón, dejando la prueba del eorema al fnal como conclusón de ésos. Lema. S M es marngala y 0 s < enonces Demosracón. Ejercco 5. E M M s F s M M s F s. Lema 3. Sea M una marngala y { 0 0 < 1 < } una parcón de R +. S 0 s <, enonces E T M T s M F s M M s F s. 1 Demosracón. Prmer caso: s s,, +1, E T M T s M F s M M M s M F s En cambo, s s, +1 y j, j+1, con 0 < j, E T M M s F s. Ejercco 6 j 1 M Ts M F s M k+1 M k + M M j M s M k j 1 M +1 M M s M + M k+1 M k + M M j }{{} k+1 como en el prmer caso j 1 M +1 M s + M k+1 M k + M M j M +1 M s + M Ms. k+1 j 1 k+1 M k+1 M k + M M j según el Lema??

3 3 Ahora unos corolaros mporanes de esos dos lemas. Corolaro 1. S M es una marngala acoada o cuadrado negrable, y es una parcón de R +, enonces E T M M M 0 M M0 0. Demosracón. Ejercco 8 Corolaro. S M es marngala acoada y { 0 0 < 1 < } es una parcón de R +, enonces {M T M} 0 es marngala acoada. S M ene rayecoras connuas, {M T M} 0 ambén ene rayecoras connuas. Demosracón. S M es un marngala acoada, enonces T M es una v.a. acoada con esperanza fna, para cada 0 Corolaro 1. Sea 0 s <. La esperanza condconal es un operador lneal, enonces de la ec.?? del Lema 3, E M T M F s M s Ts M F s M s Ts M. S además M ene rayecoras connuas, T M ambén ene rayecoras connuas Ejercco 9, de donde se sgue que M T M ene rayecoras connuas. Corolaro 3. S M es una marngala connua y acoada y y son dos parcones de R +, enonces X : T M T M es ambén una marngala connua y acoada. Demosracón. Por el corolaro aneror, M T M y M T M son marngalas connuas y acoadas, luego X M T defne una marngala connua y acoada. M] M T M], Corolaro 4. Sean M,, y X como en el corolaro aneror. S a > 0, E Xa T a X, donde es la parcón de R + que se obene reordenando el conjuno. Demosracón. Por el Corolaro 3, X es una marngala acoada, luego por el Corolaro 1, E X Xa X0 X a, T a dado que que X 0 T 0 M T 0 M Con los resulados sguenes probaremos que E Xa Ta Ta 0 cuando + 0. Lema 4. Sean M, X, y como en el corolaro aneror. S a > 0, ] Ta X Ta T M + Ta T M.

4 4 Demosracón. Para la marngala M usaremos la noacón T, para cualquer y cualquer parcón. Y para fjar noacón, dgamos además que {0 s 0 < s 1 < }. Recordemos que para dos números reales x y y, x + y x + y. S r es el mínmo índce al que a s r, s r+1 ], enonces Ta X Ta Ta Ta r 1 T T s+1 s +1 Ts Ts ] + T a Ta Ts r Ts r ] 0 r 1 0 r 1 T s+1 T s T s +1 T s ] + T a T s r T a T s r ] ] Ts +1 Ts + Ta Ts r + 0 T a ] T + Ta T. Lema 5. Para algún número L 0, E T a M L, r 1 para odo a 0 y {r 0 0 < r 1 < < r k a} parcón de 0, a]. 0 ] Ta Ts r + Ts +1 Ts Demosracón. Sea C > 0 al que M C.e. C es una coa para la marngala M. Recordemos que s α R, 1,..., n, enonces n α 1 n α + α α j. Ejercco <j n Por lo ano, k Ta M M r M r 1 1 k M r M r k M r M r k M r M r <j k M r M r 1 M rj M rj 1 k k M rj M rj 1 M r M r j+1 k Ta Tr Tr Tr 1.

5 5 Luego, E T a k 1 E M a M T T +1 + M M 1 4 Ejercco 11 E sup Tomamos cualquer L 48C 4. M a M + sup M M 1 T a E 4 supma + M + supm + M 1 E 8C + 4C Ta 1C E Ta M 1C 4 E Ma por Corolaro?? 48C 4. Corolaro 5. S M es una marngala connua y acoada, para odo a 0, E Ta Ta 0 cuando + 0. Anes de dar la prueba haremos una observacón sobre las sumas T. S a 0 al que k < a < k+1 para algún k, y s consderamos la parcón a obenda de reordenar los elemenos de {a}, enonces Ta Ta a lo cual es nmedao de la defncón T. Demosracón. Sea a > 0 el enuncado es obvo s a 0 y sean y dos parcones de R +. Como anes, escrbmos {0 s 0 < s 1 < } y dada la observacón hecha arrba supondremos que a. Para cada s k sea lk el mayor elemeno de al que lk s k. Enonces lk s k < s k+1 lk+1 Ejercco 1. Así, T s k+1 T s k M sk+1 M sk M sk+1 + M sk M lk. Ejercco 13 De ese modo, s ponemos I a {k 0 : s k < a} 1, podemos escrbr T a T T s k+1 T s k M sk+1 M sk M sk+1 + M sk M lk sup M sk+1 + M sk M lk M sk+1 M sk supm sk+1 + M sk M lk Ta M. Por lo ano, según la desgualdad de Schwarz, E Ta T E supm sk+1 + M sk M lk Ta E supm sk+1 + M sk M lk 4 1 Noe que a s +1, donde máx I a E supm sk+1 + M sk M lk 4 T a M E L 1/, T a M

6 6 donde L es la coa del lema aneror. Dado que sup k Ia M sk+1 + M sk M lk 4 0 cuando + 0 Ejercco 14, se sgue enonces que E Ta T 0 y, bajo el msmo razonameno descro arrba, E Ta T 0 cuando + 0. Así, el enuncado del corolaro se sgue de la desgualdad?? del Lema??. Demosracón del Teorema. La uncdad es consecuenca del Lema 1, dado que s A y B son dos procesos con las propedades del eorema, enonces A B debe ser una marngala nula en cero, connua y acoada de varacón fna Ejercco 15. Sea a 0. S para cada n N consderamos, por ejemplo, la parcón n de los números Ta m } n N es una sucesón se varables aleaoras convergene en L P. dádcos de orden n, E T n a 0 s n, m por el Corolaro??. De modo que {Ta n Ahora, por la desgualdad de Doob aplcada a la marngala T n T m Ejercco 16, E sup a T n T m 4 E Ta n Ta m. Enonces exse una subsucesón { nk } k N al que T n k converge c.s. unformemene en sobre 0, a] a un líme M, M connuo sobre 0, a] Ejercco 17; y como n n+1 es decr, n+1 es un refnameno de n, M, M es crecene en n N n Ejercco 18. En consecuenca, M, M es connuo y crecene en 0, a] en cuano que n N n es denso en 0, a] Ejercco 19. Noése que T n no es necesaramene crecene. Fnalmene, que M M, M es una marngala se sgue omando líme en el resulado del Corolaro?? Ejercco 0.