Evolución y aplicación del método escalado afín, para el caso acotado y no degenerado

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS UNIDAD DE POSGRADO Evolucón y aplcacón del méodo escalado afín, para el caso acoado y no degenerado TESIS Para opar el Grado Académco de Magíser en Invesgacón de Operacones y Ssemas AUTOR Carlos Rubén Guerrero Moncada Lma Perú 06

2 FICHA CATALOGRÁFICA GUERRERO MONCADA CARLOS RUBÉN Evolucón y aplcacón del méodo Escalado Afín, para el caso acoado y No degenerado UNMSM Magser en Invesgacón en Invesgacón Operava 05 Tess: Unversdad Naconal Mayor de San marcos Faculad de Cencas Maemácas Invesgacón Operava I. UNMSM /F de CM

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4 DEDICATORIA M graud a m hermana Juana Cabrera y m esposa Cecla Argoe. La prmera, por haberme enseñado desde nño con su ejemplo; que nada en la vda, se consgue sn esfuerzo y la segunda. Compañera nolvdable, buena amga, y que además me do dos hjos maravllosos; que han dado conendo a m vda v

5 AGRADECIMIENTOS M graud al Magser Edson Monoro Alegre por su apoyo ncondconal y permanene, durane odo el desarrollo del presene rabajo y ambén a odos los profesores que de dferenes formas, me apoyaron; fueron anos que menconar alguno de ellos, correría el resgo de dejar fuera a oros v

6 RESUMEN Se presena una varane del méodo de Punos nerores para resolver un programa maemáco lneal, el Méodo de Escalado Afín, relevando su aspeco geomérco y presenando aplcacones Palabras claves Programacón Lneal, esfera unara, elpsode sóldo, solucón ópma v

7 ABSTRACT A varan of he mehod of neror pons s presened o solve a lnear mahemacal program ha s relaed scalng mehod, relevng s geomerc aspec and submng an applcaon Keywords Lnear programmng, un sphere, ellpsod sold, opmal soluon v

8 CONTENIDOS CAPÍTULO INTRODUCCIÓN. Suacón problemáca. Formulacón del problema 3.3 Jusfcacón de la Invesgacón 3.4 Objevos de la Invesgacón 4.4. Objevo General 4.4. Objevos Específcos 4 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO 5. Anecedenes del Problema 5. Bases Teórcas 5.. La Programacón Lneal y el méodo de Símple 5.. Méodo de punos nerores 8.3 Marco Concepual 9 CAPÍTULO 3 MÉTODO DE ESCALADO AFÍN Caraceríscas del méodo Presenacón del programa y supuesos necesaros Obencón de la dreccón de mejora y su facbldad Crero para selecconar la dreccón de mejora Eleccón de la dreccón de mejorameno Eapas del escalado afín Connudad de la funcón Obencón de la longud de paso Condcón de parada Obencón de una solucón facble ncal Convergenca del algormo de escalado afín CAPÍTULO 4: METODOLOGÍA 4. Tpo y Dseño de Invesgacón CAPITULO 5: RESULTADOS Y DISCUSIÓN 5.. Aplcacón del méodo escalado afín CONCLUSIONES RECOMENDACIONES 4.4. Objevo General 4.4. Objevos Específcos 4 BIBLIOGRAFÍA 43 ANEXOS Error! Marcador no defndo. v

9 LISTA DE GRÁFICAS Gráfca. Comparacón de rayecoras de búsqueda 9 Gráfca. El sub espaco W y su complemeno orogonal 3 Gráfca 3. Gráfca del Hperplano 3 Gráfca 4. Reca l perpendcular al plano W 33 Gráfca 5. Proyeccón de un vecor 34 Gráfca 6. Complemeno orogonal del vecor u 35 Gráfca 7. Hperplano del subespaco nulo 4 Gráfca 8. Del complemeno orogonal 44 Gráfca 9. Crcunferenca de cenro c y rado r 44 Gráfca 0. Transformacón de bola unara en elpse 45 Gráfca. Aplcacón de los valores sngulares 68 Gráfca. Domno admsble del programa P 7 Gráfca 3. Curvas de nvel de la funcón objevo de P 7 Gráfca 4. Represenacón del domno admsble de P 76 Gráfca 5. Represenacón del espaco nulo de la marz A 77 Gráfca 6. Proyeccón orogonal del vecor d, sobre Null(A) 79 Gráfca 7. Proyeccón orogonal del vecor c 8 Gráfca 8. Represenacón de las curvas de nvel y la dreccón de 83 mejora Gráfca 9. Represenacón de la dreccón de mejora 84 Gráfca 0. Movmeno en la dreccón del gradene proyecado 87 Gráfca. Cenro del d. a. programa escalado 88 Gráfca. Aplcacón de la ransformacón afín 90 Gráfca 3. Domno admsble y puno ncal de búsqueda 97 Gráfca 4. Relacón enre el d. a. de ambos programas 03 Gráfca 5. Domno admsble del programa escalado 4 Gráfca 6.Dreccón de mejora en el programa escalado 7 Gráfca 7. Dreccón de mejora da eracón 9 Gráfca 8. Proyeccón de la esfera, sobre el plano R 3 Gráfca 9. Proyeccón de la hperesfera, sobre los hperplanos 3 Gráfca 30. Cenro de la elpse del programa orgnal 33 Gráfca 3.Inerseccón de la esfera unara con los hperplanos 38 Gráfca 3. Inerseccón de la esfera unara con los hperplanos 39 resrcvos

10 Gráfca 33. Elpse cuyo cenro es el avance en la da eracón 39 Gráfca 34. Secuenca de punos X, obendos al resolver el programa 4

11 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN. Suacón problemáca Desde que aparecera el méodo símple, que permó resolver un Programa Maemáco Lneal (PML); muchos maemácos han conrbudo a su crecmeno, ya sea al desarrollar la eoría maemáca o dseñando programas compuaconales, cada vez más efcenes o epermenando con nuevos algormos alernavos; como los méodos de Punos Inerores Con el méodo símple se obene una solucón ópma, a ravés de los punos eremos del domno admsble del programa. En la prácca ese méodo sgue funconando ben; ncluso para programas de gran amaño. Sn embargo la candad de eracones necesaras para llegar a la solucón ópma (complejdad compuaconal), puede crecer eórcamene en forma eponencal. Según (Casro, 00) El prmer Méodo de Punos Inerores, de gran rascendenca eórca es el debdo a L. G. Khachyan en 979. Ese auor, recopla una sere de rabajos e deas de los auores rusos Shor, Yudn y Nemrovs sobre un méodo, que resuelve un programa maemáco no lneal, generando una sucesón de elpsodes, él hzo eensvo el méodo para un programa maemáco lneal, resulando un méodo, que se le reconoce como méodo de los elpsodes, cuya prncpal venaja eórca sobre el méodos smple radca en que resuelve programa; con menor complejdad compuaconal (complejdad polnómca); Sn embargo las mplemenacones práccas, han demosrado su desvenaja respeco al méodo smple ya que, por un lado, el número de eracones que requere para llegar al ópmo es muy grande y, por oro, el rabajo que mplca cada una de ellas es mucho más cososo que el requerdo por el méodo smple, pues no se pueden aplcar las écncas de marces dspersas an caraceríscas de las mplemenacones en ordenador de ese úlmo. Acualmene esen dversos eos que descrben los algormos de punos nerores. Unos dan mayor énfass al rgor maemáco demosravo; como

12 Tsuchya(995) Oros basane nroducoro, pero descudando el aspeco nuvo geomérco; como Vanderbe (996) N. Karmarar (984) desarrolló un algormo de punos nerores, que busca la solucón ópma; a ravés de los punos del domno admsble, que no esán en su fronera, consruyendo smplejos en vez de elpsodes con una complejdad compuaconal polnomal. Ora varane del méodo de punos nerores es el escalado afín, el cual ulza una esraega de consrur híper esferas de cenro unaro y rado uno. Ese algormo es efcaz para programas lneales eremadamene grandes. Esas nvesgacones, fueron realzadas por maemácos de los países desarrollados; dígase: Esados Undos de Amérca o Europa. En el coneo Lanoamercano, sólo se nvesgan esos emas en países como Brasl o Argenna, se ca el rabajo de Mónca L. Ingraa, en su ess Implemenacon del Meodo Prmal-Dual para Programacón Lneal (Ingraa, 996): En ese rabajo se descrbe la mplemenacón de un algormo para resolver el problema de programacón lneal: (P) mn c : s. a: columnas y n > m n : A b, 0, donde A es marz de m flas y n En el Perú se ca el rabajo sobre Punos Inerores, desarrollado por (Inés Gambn 999), En el Perú; hay pocas nvesgacones sobre ese méodo; sí se hacen aplcacones de la P. M. L., en el ámbo empresaral, pero no se ulza algormos alernavos de punos nerores, muchas veces por desconocmeno por pare de los profesonales que se dedcan a aplcar la PML. En ese ema, las Unversdades del Perú se enfocan prncpalmene a la enseñanza del méodo smple, con leraura en español sobre punos nerores se podría amplar el capal humano que maneje el ema de punos

13 nerores, el cual esá probado, que ene una complejdad compuaconal menor. En el capíulo se presena el marco eórco que ncluye el problema de programacón lneal y los méodos de punos nerores. En el capíulo 3 se presena el méodo de Escalado Afín, la manera como elge el puno ncal (el que debe ser neror al domno admsble del programa), ambén la forma de selecconar la dreccón del nuevo de mejora del programa. Se presenan algunos ejemplos de la forma de búsqueda.. Formulacón del problema No ese un análss y dfusón adecuada del méodo de Escalado Afn; varane del méodo de Punos Inerores, para la solucón de un programa maemáco lneal..3 Jusfcacón de la Invesgacón En los eos de formacón unversara más conocdos como el de Hller, Taha y Wnson hay de dos a res págnas dedcadas al méodo de punos nerores consderando solo el de Karmaar, más no el MAE. Según (mohar & bazaraa, 00) El eo de Bazaraa, s ben es cero, conene más nformacón, ampoco presena el MAE. El MAE presena una vsón nuva geomérca, la cual facla el acercameno a la emáca por pare de docenes y esudanes (Casro, 00) Ora venaja es que el MAE ene una menor complejdad compuaconal que el smple y que el de Karmaar lo cual faclará la mplemenacón. 3

14 .4 Objevos de la Invesgacón.4. Objevo General Dfundr una de las alernavas, del méodo de Puno Ineror (MAE), para la solucón de un P. M. L..4. Objevos Específcos Descrbr el méodo de escalado afín Comparar la efcenca del méodo de escalado afín con la del méodo smple 4

15 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO. Anecedenes del Problema El méodo del escalado afín, fue el prmero de los algormos denomnados de puno neror para resolver un programa maemáco lneal, fue presenado por el maemáco ruso Dn en 967; pero no fue conocdo en occdene; sno en la década de los 80; debdo a que su foraleza mayor, era resolver un programa maemáco lneal en empo polnomal; llamó la aencón de muchos esudosos. Habendo aporado en el esudo de su convergenca, enre oros: Vanderbe(986), Tsuchya(995) y (Monero) Según Pool Davd (0, p. 6), defne: Valores Sngulares de una Marz: Para cualquer marz A de m n, la marz A T A de n n es smérca y en consecuenca puede ser dagonalzable orogonalmene, por el eorema especral. No solo odos los egenvalores de A T A son reales, odos son no negavos. Para demosrar eso, sea A un egenvalor de A T A con su correspondene egenvalor unaro v. Enonces 0 Av Av. Av Av T Av v T A T Av v T Av λv. v λ v λ Por ano ene sendo sacar raíces cuadradas (posvas) de dchos egenvalores. (Pool, 0). Bases Teórcas.. La Programacón Lneal y el méodo de Símple Noacón: A lo largo del presene rabajo se ulzará la sguene noacón: Se denoará con lera mnúscula el nombre del nombre de la marz y con mayúscula el 5

16 . X n n.... nn nn Esa noacón en general no es esándar en maemácas; pero ha logrado acepacón en la comundad, dedcada a los méodos de punos nerores Con se denoará el -ésmo componene del vecor Con se denoará el vecor ópmo Con leras gregas se denoarán los escalares Con se denoará la solucón que se ene en la -ésma eracón del algormo Con la lera e se denoará al vecor cuyas componenes son unos; e (,,,.. )... Forma Esándar de un Programa Maemáco Lneal Defncón Se dce que un programa maemáco lneal, al que denoaremos con p.m.l. esá en la forma Esándar, s presena la forma: Mnmzar c c cn a a a 3 3 a a a 3 3 P: Sujeo a a m a m.. (.) , 0, 0, 0 Aquí c es la funcón objevo (o c c funcón de crero), que debe mnmzarse. Las consanes, c,.... c que son conocdas, son los c coefcenes de coso y,,.. son las varables de decsón ( o n a m nveles de acvdad), que deben deermnarse. n n n n a a a b n n n n b m n n bm n 6

17 La ecuacón + a + a a n b,,,.. m, a denoa la -ésma resrccón. 3 n Las consanes a j,,,.. m, j,,.. n, se les llama coefcenes ecnológcos, los que forman una marz de resrccones A A a a a. a a a a 3. a3 a3 a a a a. a 3 n m m m3 mn b b El vecor columna b 3, cuya -ésma componene es b, se le. b m denomna vecor del lado derecho (o RHS), represena los requermenos mínmos que deben sasfacerse. Las condcones 0, 0, 0,.., 0, son las resrccones de no negavdad. 3 n El programa P, puede reescrbrse en noacón marcal, como: : Sendo (,, 3,.. n ) un vecor columna y c (c, c, c 3,.. c n ) un vecor fla.... Domno admsble de un P. M. L. Defncón eso es P Mnmzar f() Sujeo a c A b Al conjuno que forman las resrccones del programa; n : A b, 0 del programa o Regón facble del programa se le denomna: Domno admsble 7

18 De acuerdo a lo defndo anerormene; resolver el P.M.L. quere decr enconrar un puno, enre odos los punos del Domno admsble del programa al que haga mínmo el valor de f()...3 Rango de una marz Defncón Sea la marz A de m flas y n columnas con m < n, se llama rango de la marz A y se le denoará con r(a) al número mámo de columnas lnealmene ndependenes ( l.. ). Ejemplo... Sean las marces: 0 0 A y B Aquí se ene que r(a) 3 m, es decr posee res columnas l.. y r(b) ; es decr posee sólo dos columnas l Marz de rango compleo Defncón Sea la marz A de m flas y n columnas con m < n, se dce que A es de rango compleo ( y se escrbe r(a) m), s posee no más de m columnas l.. S se asume que la marz A ene rango compleo; enonces se puede consderar la parcón de la marz por columnas: B,N, donde A A la sub marz B, ene sus columnas l.. De esa manera la sub marz B, será una base de y por ano nverble. Enonces la sub marz N de m (n - m); se podrá obener como combnacón de las columnas de B m 8

19 A B,N a a a. a I a. a a a a. a I a. a a a a. a I a. a..... I... a a a. a I a. a 3 m m+ n 3 m m+ n m 3 m+ 3n m m m3 mm m m+ m n B N Ejemplo... Tómese las marces del Ejemplo A y B La marz A es de rango compleo, r(a) 3 y la marz B no lo es, ya que el número de columnas l.. que es, es menor que m Solucón básca facble no degenerada (S. b. f. n. d.) Consdérese el P. M. L. Mn f() c Sujeo a S n Sendo el conjuno polédrco S { /. A b, 0} Se dce que el vecor es una solucón facble no degenerada de P ; s ese vecor posee m componenes esrcamene posvas y el reso de componenes nulas. Eso es (,, 3,.. m, m+, m+,,.. n) (,,,.., 0 3 m, 0,,.. 0 ), con j, j,.. m Consderemos nuevamene el programa P : Asúmase además que la marz A es de rango compleo y sea el n vecor, una solucón básca facble del programa 9

20 Luego por la defncón.4 n Se podrá escrbr, como: B 3, sendo y B 3 N N. n. m m+. 3 n XB Enonces A b, 0 puede escrbrse como B,N b ( ) XN De ( ), se ene B + N b S B B N ene odas sus componenes esrcamene posvas, eso es B 3 0. m Se drá que B es una solucón básca facble no degenerada...6 Dualdad Para cada Programa Maemáco Lneal P ; ese oro programa Maemáco lneal Q que le corresponde; al prmero llamaremos Prmal y al oro Q ; smplemene el Dual. La solucón ópma (s es que la posee), de ese nuevo programa lneal, posee algunas propedades mporanes, ales como: Q ) Se puede ulzar para obener la solucón del programa prmal, cuando ese posee pocas varables y muchas resrccones ) Se puede ulzar, para hacer nerpreacones económcas, acerca de los parámeros, b c ales como y, ec. Consdérese la forma Esándar del programa lneal: P, al que llamaremos Prmal : 0

21 Prmal P : Mn f() c Sujeo a A b 0 Aes una marz de mn, c es un vecor de, b es un vecor columna de n m y es el vecor de varables perenecene a n Enonces el programa lneal dual, al que llamaremos Q, se defne como: Q : Ma g(w) b w Sujeo a w A c Sendo w m, el vecor de varables duales....7 Dualdad débl Teorema S y w, son dos solucones facbles de los programas P y Q respecvamene. Enonces el valor de la funcón objevo del programa P ; nunca supera el valor de la funcón objevo, del programa Q. Es decr: wb c Demosracón Sean e w dos solucones facbles de P y Q respecvamene. Luego A b y w A c Tambén w A w b () Y por ser 0, en el dual se ene w A c () De () y (), se concluye que w b c....8 Dualdad fuere

22 TEOREMA S el programa prmal P, ene un puno ópmo (mnmzador) enonces el programa dual Q, ambén ene un puno ópmo (mamzador) w y además T c X T b w. X ; Demosracón Supongamos que ópma de P. B es la marz básca; asocada a la eracón Símple Defnamos 0 w T c B - (B )... ( ) Luego 0 w A T c B - (B ) A 0 w A - c T c B - (B ) A - c : Hacendo Z T c B - (B ) A ; por ser 0 w A - c Z - c 0 B ópmo de P, se cumple que Por ano 0 w es solucón facble de Q ; ya que 0 w A c Tambén Luego 0 w b 0 w b 0 w g( ) 0 w g( ) T c B T c B - (B ) b por ( ) - (B ) b f ( ) mn f() 0 o ambén g(w ) mn f() ( ) Es decr: Falará probar que 0 w (Llamado Mulplcadores de Lagrange ), es ópmo de P 0 w ; es ambén ópmo del dual 0 En efeco, se debe probar que: g(w ) má g( w) Por el Teorema aneror De donde se ene que má 0 Por ano: g(w ) má g( w) g( w) f(). 0 Concluyendo que g(w ) f ( ) g( w) mn f() 0 g( w )...9 Holgura complemenara débl

23 Teorema S el programa P ene solucón ópma y se halla en el puno (mnmzador), X ; enonces el programa dual correspondene Q, ambén ene una solucón ópma, en el puno (mamzador) Enonces s es el vecor dual asocado a Q y vecor de holguras duales, se verfca que: z 0 n w. z, z 0, es el Sendo del vecor n z, z 0 Demosracón Escríbase el programa dual Q en la forma esándar, adconando el vecor de holguras duales z R: Má Y 0 b y S. a. Ay + z z 0 S es el vecor dual asocado al programa R; es decr c Se endrá ( Ay+ z ) C De donde se ene Ay + z c, ó Ay - c - z () Pero ambos programas enen solucón ópma: para P y (y ) para R Luego en (), se ene A (y ) - c - z () Pero en el programa P: A b, al reemplazar en (): (y ) b - c - z Luego por el Teorema...8: c (y ) b Concluyendo que 0 (y ) b - C - z 3

24 z j j 0 para j,,.., n Observacón.. Las varables w y z, se denomnan mulplcadores de Lagrange....0 Lecura de las varables duales en el ablero símple El sguene programa, será resuelo con el méodo símple: Mamzar Z S. a X 0 Adconando las varables de holgura: 4 para la prmera resrccón, 5 para la segunda y 6 para la ercera resrccón Mamzar Z S. a X 0 Se ene el programa escro en la forma esándar, a connuacón se escrba en formao de ablero símple Z RHS Z Después de algunas eracones, se ene el ablero ópmo Z RHS Z El valor ópmo del programa es z $ 350 4

25 La solucón básca facble y ópma es B,, , 30, 0 y es además es no degenerada, ya que 0, 0, 0 B La solucón no básca es 4 5 N,, 0, 0, 0 Tambén los Mulplcadores de Lagrange son: y, y4, y 5,, 0 El programa dual será : T Mn y Sujeo a y A c Eso es y Mnmzar Z 430 y y +40 y3 S y 3... Dervada drecconal b 0 y y y y 0 y 3 y + y 5 Son los cosos reducdos asocados. Es la proyeccón del gradene de la funcón objevo, sobre el eje de la varable correspondene. En el presene ablero. La dervada drecconal de z c 4... Varables duales. es el coso reducdo Se nombra así, a los Coso Reducdos de las varables de holgura y las varables arfcales En el ablero smple ópmo se lee bajo las varables de holgura Z RHS Z z c y y y

26 ...3 Gap dual.(inervalo de dualdad) Sean los programas Prmal P y su correspondene dual D P : Mn f() c S. a. A b 0 D : Má g(y) b y S. a. A y c Al esandarzar el dual, se ene: ' D : Má g(y) b y S. a. A y + z c z 0 El gap dual será c - by (A y + z) - b y y A + z - b y b y + z - b y n j z j j La dferenca enre el valor de la funcón objevo del programa prmal T c y la funcón objevo del programa dual, se rá hacendo mas pequeña, en la medda que el programa se acerque al valor ópmo; eso es la brecha (gap dual), se rá acercando al valor cero...4 Condcones de Karush Khun Tucer (KKT), para un P.M.L. con resrccones de desgualdad Consdérese el P.M.L: en forma Canónca: Mn f() c S. a. A b 0 6

27 S y es el vecor de varables duales, asocado al presene programa, luego el dual correspondene será: Má f(y) b y S. a. ya c y 0 Escrbendo ese úlmo programa en la forma esándar: Má f(y) b y S. a. A y+ z c y,z 0 Las condcones de KKT, planean lo sguene: S,w son solucones ópmas del prmal y del dual respecvamene, se cumple que: A b, 0 A y + z c, y 0, z 0, y ( A - b) 0, z El lagrangano de un PNL, y el eorema de Karush Khun Tucer Teorema. Consdérese el sguene programa conveo no lneal Mn S.a. Con f() g () 0 g () 0.. g () 0 m C n El lagrangano L(, de un programa conveo, es la funcón defnda por L(, m f() + g () 7

28 Para C y Nóese que el lagrangano L(,, es una funcón de m + n varables, sendo m el número de resrccones de desgualdad y n es el número de varables ncludas en la funcón objevo y funcones de resrccón Tambén nóese que s (P) es un programa conveo súper conssene, al que su ópmo f( ) MP es fno, enonces ese un vecor de sensbldad n, se verfca que MP nf L(, C ) ( )...6 Forma Puno de Slla del eorema KKT Teorema Supóngase que el programa P, es conveo súper conssene. Enonces el puno C, es una solucón de P, s y sólo s ese un a., al que: b. L(, L(, L(, para odo C y para odo c. g ( ) 0, para,,, m Demosracón ( ). Se probará prmeramene en (b) que L(, L(, y (c) g ( ) 0, para,,, m S es una solucón del programa (P), enonces C, g( ) 0 y f ( ) MP, debdo a (), ese, en, se endrá Luego f ( ) n nf ( L(, )) C 8

29 m L (, ) f( ) + g ( ) C nf ( L(, )) f ( ), para odo C En parcular s, se endrá L(, f ( ) m + g ( ) f ( ) () Por oro como 0 y g ( ) 0se concluye que 0, para,,..., m f ( ) f ( ) m + g ( ) L(,. () De () y (), se concluye que f ( ) f ( ) m + g ( ) f ( ) ; lo que quere decr que m g ( ) 0 ; de donde se ene g ( ) 0, para Por oro lado,,, m f ( ) L(, nf ( L(, )) L(,, para odo C C Se ene L(, L(, Además y g ( ) 0, para,,, m m f ( ) f( ) + g ( ) L (, ) Se sabe que m L (, ) f( ) + g ( ) nf ( L(, )) f ( ) C Al omar C, se ene que f ( ) L (, ) f( ) + g ( ) m nf ( L(, )) f ( ) C De donde se ene 9

30 f ( ) L (, ) f( ) + g ( ) m nf ( L(, )) f ( ) C m f ( ) f( ) + g ( ) f ( ) Resando de cada membro f ( ), se obene m 0 g ( ) 0 m g ( ) S y sólo s g ( ) 0, para odo,,, m Luego f ( ) L (, ) nf ( L(, )) ; concluyendo que C L (, ) L (, ), para odo C. Segudamene en (b) que L (, ) L (, ) m L (, ) f( ) + g ( ) y m L (, ) f( ) + g ( ) m Al resar L (, ) - L (, ) f( ) + g ( ) - m f( ) + g ( ) L (, ) - L (, ) m g ( ) - m g ( ) Pero m g ( ) 0 La relacón aneror se vuelve L (, ) - L (, ) - m g ( ) Al omar en cuena que g( ) 0; se endrá que g ( ) 0, para odo,,, m 0

31 Eso es g ( ) 0, g ( ) 0,..., g ( ) 0 m Y ambén 0, se endrá que 0, 0,..., m Al mulplcar g ( ) 0, g ( ) 0..., m g ( ) 0 m De donde se obene que Concluyendo que m g ( ) m - g ( ) L (, ) - L (, ) m - g ( ) Es decr Lo que complea la prueba ( ) L (, ) L (, ) Supóngase que C y en ; sasfacen (b), para odo m C y odo en m Para un dado, al que m, sea ( ) j j j s j + s j ( ) O ambén 0 (,,,,,,... + ) - + m Luego () () y (b), mplca que de la relacón j 0 L (, ) L (, ) ; se enga () 0 L(, ) - L (, ) g ( ) Eso prueba que es facble para el programa (P); más aún (b) mplca que

32 f ( ) L(, ) Pero, g (), para,,, m m L (, ) f( ) + g ( ) Así que g ( ) 0 ; para odo,,, m Lo que mplca que g ( ) ; sumando f ( ) a cada lado se ene: m Concluyendo que m f ( ) + g ( ) f ( ) ; f ( ) m f ( ) + g ( ) L (, ) ; Y así que g ( ) 0, para,,, m S se aplca (b) y se ulza el hecho respeco al ínfmo de una funcón sobre un conjuno: ( ). S A B, enonces nf h( ) nf h( ) B A ( ). S h( ) ( ), para odo A, enonces y A ( ) nf ( ) nf h A En esa relacón se puede aprecar que f ( ) L (, ) nf L(, ): C nf L(, ): C, g () g m() m nf f() + g () : C, g (), g m() (), () nf f() : C, g g MP m

33 Se concluye que el puno es facble para el programa (P), al que f ( ) MP, eso es es una solucón del programa (P) Un puno (, ) al que C, 0 y que sasface la desgualdad: (a) L (, ) L (, ) L (, ), para odo C y Se le nombra como "un puno de slla", para el lagrangano del programa (P); condcón (c) ; eso es (c) g ( ) 0, para,,, m A esa relacón, se le nombra como: Condcón de holgura complemenara El Teorema de Karush Khun Tucer, afrma que s el programa (P) es superconssene y conveo; enonces Ces una solucón para (P), m s y sólo s ese un en, al que L (, ) es un puno slla del Langrangano del Programa (P) (P) y es al que se sasface la condcón de holgura complemenara g ( ) 0 S (, ) es un puno de slla del Langrangano de cualquer programa conveo (P), luego, se verfca que:. MP es fno y es una solucón de (P). Se sasface la condcón de holgura complemenara: g ( ) 0, para,,, m S se mponen las condcones que la funcón objevo y las funcones de resrccón, ene prmeras dervadas parcales y son connuas en (P); enonces se endrá la sguene versón del eorema de KKT 3

34 ...7 Forma de Gradene del eorema KKT Teorema Supóngase que el programa P, es conveo súper conssene, al que la funcón objevo. f () y las funcones de resrccón g (), g () m son connuas, con dervadas parcales de orden uno, bajo el conjuno C, para del programa (P) y un puno neror de C n Enonces es solucón de (P); s y sólo s ese, al que., para,,, m. g ( ) 0, para,,, m m 3. f ( ) + Demosracón S es una solucón de (P), enonces ese, que sasface () y (), para los cuales es puno de slla del lagrangano de (P); pero enonces g ( ) L (, ) L (, ) L (, ), para odo C. m Así es un mínmo global de h( ) L (, ) sobre C Pueso que es un puno neror de C, que ene prmeras dervadas parcales connuas sobre C, se sgue que h( ) ; eso es la condcón (3) se manene m Recíprocamene supóngase que C y, sasfacen la condcón (), () y (3) S es cualquer puno facble para (P), enonces 4

35 f ( ) f ( ) + m g ( ) ; f( ) + f ( ). ( - ) m g ( ) + f ( ). ( - ) Debdo a que, g ( ) 0, para,,, m y porque f ( ), g ( ), para,,, m son funcones conveas, se sgue que f ( ) m m f ( ) + g ( ) + f ( ) + g ( ). ( - ) f ( ) f ( ) Debdo a () y (3) Así es un mínmo global para f ( ), sobre el domno admsble de (P)...8 El lagrangano, para resrccones de gualdad Consdérese el programa no lneal conveo mn f() S. a. PL g () 0,, m n con C R El Langrangano m L L(, ) f() + g (), para C, Teorema Dado C y el programa conveo PL, se cumple que es una solucón de PL ; s ese. 0, para,, n R, para,, n al que. g () 0, 0, para,, n 5

36 ., L(, ) 0, 0, para,, n Ejemplo...3 Consdere el programa P: Mn Z f (, ) Sujeo a g (, ) g (, ) Resolucón Nóese que es un programa superconssene, conveo. Además las funcones f ( ), g (, ) y g (, ); posee prmeras dervas parcales connuas (condcones del presene eorema y se puede aplcar el Teorema de KKT Para hallar la solucón (, ) para el programa P; debe esr (, ), al que.. y g (, ) 0 g (, ) 0 3. f (, ) + g (, ) + g (, ) 0 De donde se obene el ssema g g ( ) ( ) f 6

37 El ssema, formado por las ecuacones (), () y (3), ene por solucones, 0, 0, 0 es no facble, -, f (, ), 0 es facble Lo que sgnfca que el presene ene solucón únca Ejemplo...4 Para el programa S 6 Verfcar s el puno mn f(, ) Resolucón 3,3, es facble 0 0 g (, ) - 6 g (,) +3 g 3(,) - g 4(,) - g (,) - 6 g (,) +3 g (, ) - 3 g (, ) f 8 3 g (3,3 0 ), g 3 (3,3) 3 g (3,3) 0 g 4 (3,3) 3 g (3,3) 0, g (3,3) g (3,3) 0 g (3,3) g, - - g 3 - g, g 4 - ( - 5) - 4 f f ( - 5) g, - g 3 - g, g 4-7

38 .. Méodo de punos nerores... Presenacón Esa famla de méodos para resolver problemas de Programacón Lneal se basa en la aplcacón de méodos que orgnalmene se ulzaron para resolver problemas de Programacón No lneal A dferenca del méodo Símple, que busca la solucón por los punos eremos del domno admsble del programa; movéndose de un puno eremo a oro, los Méodos de Punos Inerores, se mueven por la pare neror del domno admsble del programa. Gráfca nª : Comparacón de rayecoras de búsqueda Fuene propa Cómo buscan la solucón, los méodos de Punos Inerores? Esos méodos basan su esraega de búsqueda, para la solucón de un P. M. L., en res paua prncpales:. Hallar un solucón ncal en el domno admsble del programa. Defnr una dreccón de movmeno, al que manenendo la facbldad del programa, se mueva a lo largo de ella; se avance haca un nuevo puno, que mejore el valor acual del programa(z). Deencón de la búsqueda. Eso es cuánas veces se debe realzar la operacón descra en () y Cómo saber que se ha llegado al valor ópmo del programa? 8

39 No obsane esas son las res cuesones prncpales, que debe superar cualquer algormo de opmzacón. La manera de llevarlas adelane, hacen la dferenca enre esa famla de algormos y el Méodo Símple... Clasfcacón de los méodos de punos nerores ) Méodo de Escalado afín ) Méodo basado en Transformacones proyecvas ) Méodo de Pah followng v) Méodo de Reduccón de poencal En el sguene capíulo se abordará el méodo de Escalado Afín..3 Marco Concepual.3. Tpos de marces Teorema del rango S A es una marz de m flas y n columnas; luego: Rango(A) +nuldad(a) n Demosracón Sea R, la forma escalonada reducda por renglones de la marz A y supóngase que rango(a) r. Luego R posee r pvoes, de modo que esen r varables pvoes y n - r varables lbres en la solucón de A 0. Pueso que nuldad(a) n - r, se ene Rango(A)+nuldad(A) r + ( n - r) n.3. Complemenos orogonales Gráfca nª : El sub espaco W y su complemeno orogonal Fgura. S Por ano a. v v W n W y v W W dm W +dm W n Fuene propa 9

40 Defncón n Sea W un subespece de, se dce que un vecor v en es n orogonal a W ; s v es orogonal a odo vecor en W Al conjuno de vecores que son orogonales a W, se les llama complemeno orogonal de W y se denoa W ; eso es W v en n : v w 0 para odo w en W Ejemplo.3. Sea a W a : a a Hállese el complemeno orogonal de Resolucón W, eso es halle W W,, Una base para es, luego W, y, z :, y, z W W (, 0, - ), ( 0,, - ), y, z :, y, z. 0, y, z : + y + z 0, y, - - z, y, - - z :, y (, 0, - ) + y( 0,, - ) :, y Ejemplo.3. Sea 3 W :

41 Gráfca nª 3 Hperplano - 0 Hállese W Resolucón Prmero se hallará una base para W En efeco W 3 : 3 0,, :, 3 3 a(, 0, 0) + b( 0,, ) : a, b La base buscada es B (, 0, 0), ( 0,, ) W (,, ):(,, ) (, 0, 0), (,, ) ( 0,, ) (,, ):(,, ).(, 0, 0) 0, (,, ).( 0,, ) ,, :, 0,, - : 0 3

42 W 0,, - Ejemplo.3.3 Gráfca n 4: Reca l, perpendcular al plano W S W es un plano que pasa por el orgen en y l es la reca que pasa por el orgen perpendcular a W (eso es, paralela al vecor normal a W ), enonces odo vecor v en l es orogonal a odo vecor w en W. Por ano a l Fuene propa W Más aún W, consse de aquellos vecores w que son orogonales a 3 odo v en l; por ano ambén se ene W l En el presene ejemplo, se evdenca que el complemeno orogonal de un subespaco es oro subespaco. Tambén el complemeno del complemeno de un subespaco; es el subespaco orgnal.3.3 Proyeccones orogonales Teorema (Marz de proyeccón orogonal sobre el subespaco del rango de una marz) 3

43 n Sea v un vecor de y sea W un subespaco de, cuya base la negran los vecores a,a,a,...,a. S es la marz cuyas r A 3 n columnas son los vecores a. Enonces la proyeccón orogonal de j v sobre A: Sendo los coefcenes a proyw v j, las enradas de a a T - T A A A.v Demosracón Gráfca n 5 Proyeccón del vecor v Prmeramene el vecor perenece a W ; por lo que se puede escrbr como combnacón lneal de los vecores de la base de W ; eso es: proyw proyw v a T A a a v Sendo, por lo que vproy W ves orogonal A cada membro de W y por lo ano a cada membro a de su base, j eso es v proy W v a j Para odo j,,.., vaa 0, para odo j,,.., j j a va 0, para odo,,.., T A va 0 T T A v - A A ; de donde se concluye que T (A A) A. v T Sendo la marz (A T A) de orden, smérca, nverble con T rango (A A) 33

44 La marz T (A A) A T se denomna: marz de proyeccón orogonal, sobre el subespaco.3.4 Complemeno orogonal Teorema S A es una marz de m flas y n columnas; luego el complemeno orogonal del espaco renglón de A, es el espaco nulo de A Gráfca n 6 Fgura.5 Complemeno orogonal del vecor u Demosracón S ues un vecor de luego u esará en (renglón(a)), s y sólo s ues orogonal a odo renglón de A.Pero eso será cero s y sólo s Au 0, lo cual equvale a que u esá en Null(A) Tambén como null(a) u: Au 0, u n y Null(A) es un sub espaco de Observacón - n n ; se verfca que Gráfca n 7: Del complemeno orogonal n Null(A) Renglón(A) 34

45 Consdérese un vecor d con n, luego d u+ v, unull(a) y v renglón(a). Qué forma enen los v renglón(a)? Fuene propa Que v perenezca al sub espaco generado por los vecores renglones de la marz A ; es equvalene a decr que m v gen( a, a,, a ) Donde a denoa el -ésmo renglón de la marz A Luego esen reales, y,..., y, ales que. y 3 m 3 + yma v y a + y a + y a + v y (a,a, a3,, a n) + y (a,a, a3,, a n) + y (a,a, a,, a ) m m m m 3 m n Equvalenemene v Im(A ) m... v ya, ya, ya 3, ya n + (ay,ay, a3y,, any ) + + (a y,a y, a y,, a y ) m m m m m 3 m m n m v (y a + y a + y a, y a, 3 3 m m y a + y a + y a, y a, 3 3 m m y a + y a + y a,, y a ) m m m m m m 3 m m n a a. a a a. a v a a. a.... a n a n. a m m 3 3 m 3 m n y y y. y 3 m A y.... De donde odo d n, se puede escrbr como d u+ A y Ejemplo

46 Para la marz Deermnar:: a. Una base para Col(A), su dmensón b. Im(A) y una base: B Im(A, para el sub espaco de las mágenes de A, su ) dmensón c. T Im(A ) y una base: B Im(A T ) para el sub espaco de las mágenes de T A d. Null(A) y una base: BNull(A, para el sub espaco nulo de A: Null(A), su ) nuldad T e. Qué relacón guardan los elemenos de Null(A) con los de Im(A )? Resolucón a. Obéngase la marz escalonada reducda R r r r 3 - y r - r, luego BCol(A -, su dmensón es ) 3 b. Im(A) Rec(A) v 3 : A v, para alguna 3-3 I v - 3 I v 4-6 I v I v v I v I v3 3v v v 0 v v ó v 3 + 3v 0 v 3-3v v 3 Im(A) v : v v, v3 3v : v -3v -3 y - B - Im(A) 3 36

47 - - Observe que B - Col(A) B Im(A) c T T Im(A ) Rec(A ) 3 T 3 v : A y v, para alguna y 4-6 I v I v v I v I v I v I v 3v v v 0 v v ó v 3 + 3v 0 v 3-3v 3 -v - T 3 Im(A ) v : v -v 3-3 Tambén d. - B Im(A T ) -3 3 Null(A) : A 0 y T (A ) - 3 I I I 0-3 I I I Null(A) : + 33 : , B, 3, su nuldad Null(A) 0 e. 37

48 0 - B, 3 y Null(A) B Im(A 0 T ) -3 Se observa que son orogonales.3.5 Descomposcón orogonal Teorema Sea A una marz de m flas, n columnas, sendo m n y rango(a) m. Enonces s d, se puede escrbr como d u+ v, con unull(a) y v renglón(a).enonces la marz de proyeccón orogonal sobre el espaco nulo de es Demosracón n - P I n- A A A A Como unull(a), Au 0, u n Tambén como v Im(A), v A y, por la Observacón - De la relacón d u+ v; se ene u d- v d- A y Mulplcando ambos membros de u d- A y, por la marz A, resula T 0 Au Ad- A y T Ad- AA y, yaa - Ad Tambén de u d- A y al reemplazar el valor de y, se obene u d- A - Por lo ano AA Ad n P n - I - A AA A d - I - A AA A.3.6 Propedades de la marz P 38

49 Del Teorema.3.5, se ene que d u + v, con u Null( A) y v Im(A ) La marz P I - A A A A, posee las sguenes propedades. Pd: Es la proyeccón orogonal sobre el espaco nulo de la marz A: N(A). Pd 0 A P 0 -. P P ( p es smérca) n v. P P ( P es dempoene) v. Qué sgnfca que Pd 0? Demosracón En efeco como Pd I n- A A A Ad u por Teorema Luego Pd Null( A) T T. A Pd A ( I n A ( A A ) A ) d T T A I n d AA ( A A ) A d A d - T T AA ( A A ) A d A d - A d 0. P T T T (I n A (A A) A) P P P P T T T T I n (A (A A) A) T I n (A A) A) (A ) T T T T T T T I n A (A A) ) A T T T I n A (A A) ) A 39

50 P T T I n A ( A A ) A P P P v. P P P I n A ( A A ) A I n A ( A A ) A I n A ( A A ) A - I n A ( A A ) A - I n A ( A A ) A - A ( A A ) A + AI n ( A A ) A A ( A A ) A + A ( A A ) A A ( A A ) A + A ( A A ) A I n A ( A A ) A P P P v. S Pd 0; quere decr que la proyeccón orogonal del vecor d, sobre el subespaco nulo de A; es el puno (0, 0,.. 0); lo equvale a decr que d es orogonal al subespaco nulo de A; es decr d esá en el complemeno orogonal al subespaco nulo de A; que es el subespaco de las flas de A; eso es; ese y al que d A y Ejemplo Sea W un subespaco en, con ecuacón y sea d

51 En ese caso, -, 0, sendo 3 3 W : A, -, a. Hallar una base para W y para W b. Hallar la marz de proyeccón orogonal P sobre W y Q sobre W c. Hallar la proyeccones orogonales de dsobre W y sobre W Resolucón a. Hállese prmero W, que es el espaco nulo de la marz A ( W Null(A) ) 3 W : 3 : Sendo una base para W : B W,, la que se denoará con 0 0 B 0 4

52 Por ano W (Null(A)) Im(A ) gen - B W T - Sea P la marz de proyeccón orogonal sobre W, cuya base es 0 B 0 - Luego P B B B B P 5-0 ( ) P Y la marz Q de proyeccón orogonal sobre, cuya base es d - Luego por ser C un vecor unaro; se endrá que W Q d d d -, -, Relacón enre el Rango de la marz A y Rango de A A Teorema Sea A una marz de m flas, n columnas, luego rango(a A) rango(a) 4

53 Demosracón Pueso la marz AAes de orden n, ene el msmo número de columnas que A ; por el TEOREMA., se ene que rango(a) + nuldad(a) n + rango(a A) Nuldad(A A) Por ano para demosrar que rango(a) rango(a A) ; basará demosrar que Nuldad(A) Nuldad(A A), será así al esablecer que la dmensón de los espacos de A y A son guales Así: sea Null(A) ; luego A 0, de donde se ene A A A 0 0, lo que quere decr que Null(A A) Recíprocamene: Sea, luego A A 0, de donde se ene que Null(A A) A A 0 0 ; pero 0 y en consecuenca A 0 ; es decr Null(A) A A A A A A Corolaro.3. La marz AAde orden n es nverble Demosracón Por ener la marz AA rango n; esá marz es básca y por ano ese - AA Corolaro.3. La marz AAde orden n es smérca Demosracón La marz AA En efeco la ranspuesa de será smérca s es gual a su ranspuesa AAes AA A A AA.3.8 Elpsode 43

54 Gráfca n 9: Transformacón de esfera en elpse Fuene propa.3.9 Bola cerrada Defncón Una bola cerrada B(c, r), de cenro c y rado r, es el n conjuno: n B(c, r) : c c r Ejemplo.3.6 De una bola en Gráfca n 9: Crcunferenca de cenro c y rado r Fuene propa c 0 r n Una Bola de cenro y rado es B(0, r) : r.3.0 Transformacón esfera en elpsode Defncón-. Un elpsode es la magen de una bola unara, bajo una ransformacón afín lneal nverble, es decr un elpsode E, cenrada 44

55 en el orgen, es la magen ransformacón lneal nverble L(B(0, )), de la bola unara bajo una n n L :. Se puede escrbr la defncón aneror de forma más eplíca como Fuene propa L(B(0, )) y L : B(0, ) - y : L y B(0, ) - y : y LL y ; y : 0 - L y - y : L y - y : L y - - y : L y L y - - y : y L L y - - L(B(0, )) y : y Q y T QL L Defncón. En general, un elpsode con cenro en cualquer puno n c es sólo la raslacón c +E, de algún elpsode E, con cenro en 0 Qué se puede decr acerca de la marz E? T QL L asocada a una elpse 45

56 Se responderán esas nerroganes, medane las propedades sguenes.3. Propedades de la marz Q Propedad - Para una marz smérca equvalenes Q n n, las sguenes condcones son. T QL L para algún L n n. Todos los auo valores de Q son no negavos Se drá que Q es semdefnda Posva, s y sólo s se verfcan cualquera de las dos condcones anerores Demosracón ( ) Consdérese que T QL L para algún L n n Supóngase que es un auo valor de Q, con auo vecor 0; eso es Q. Enonces se ene: T T L T T ( ) T (Q ) T T T T T L L L L Relacón que demuesra que y ( ) S Q hpóess es smérca, enonces odos sus auo valores son reales y por 0, para,,..., n Se cumple que para auo valores dsnos, sus auo vecores son orogonales S es un auo valor de mulplcdad, enonces esen auo vecores asocados a, que serán l.. 46

57 Como Q posee n auo valores; enonces esen n auo vecores lnealmene ndependenes, con los cuales se puede formar una base oronormal para n Q Luego sea la marz cuyos auo valores,,.., y sus respecvos auo vecores asocados, v,.., v oro normales, v luego se puede obener una marz dagonal D D n n n n Y la marz Tambén P P v v.. v n D n- n Debdo a lo cual se ene Q P P D y por ser P P y D D - D Enonces Q P D P Q P D D Tomando L P D y L D P, se obendrá que Q L L P Propedad - 47

58 Para cualquer marz smérca son equvalenes Q n n, las sguenes condcones. T Q L L para alguna marz L No sngular. Todo auo valor de Q es Esrcamene posvos Demosracón ( ) Por ser T QL L, es smérca y por ano dagonalzable, eso es ese la marz P, al que P Q P D Y como Q es no sngular, luego odo auo valores, los que son elemenos de la marz 0 para,,..., n D, deben ser reales y dsnos de cero; es decr Luego ulzando la condcón de que 0, se concluye que 0, para,,..., n ( ) S Q posee odos sus auo valores posvos y por ser Q una marz smérca; se verfca que Q es dagonalzable; eso es P Q P D. Enonces D posee nversa, lo que mplca que Q ambén es nverble; es decr Q es no sngular. Se dce que la marz anerores se manene Q es defnda posva; s y sólo s las condcones De lo epueso anerormene; es claro que un elpsode puede ser represenado equvalenemene, en érmnos de una marz Q defnda posva. Ahora se puede dar ora defncón equvalene a la defncón.4 Defncón. S Q elpsode, asocado con n n E(c, Q ) T Q es una marz defnda posva. Enonces el de cenro 48 n c es T c+y: y Q y y: y - c Q y - c

59 Observacón. La bola esándar B(0, r), es el elpsode E( 0, r I ). Más generalmene un elpsode aal En efeco Donde Q Ir r r r Q Ir r r E(0, )) E0, r y : y Q y y : y r I y - I y : y y r y : y y r y : y r E(0, ) y : y r B(0, ) r r r 0 r r r r r r r r. Será necesaro recordar que el volumen de la magen de un conjuno A n es 49

60 Sendo LA ( ), la magen del conjuno A, a ravés de la ransformacón lneal L Con ese resulado se deduce que el volumen de un elpsode E(c, Q ), esará dado por la relacón Vol( L( A)) de L Vol(A ) vol E(c, Q ) de L vol B(0, r) de(q) volb(0, r) De esa manera se ha relaconado el volumen de cualquer elpsode; con el volumen de una bola unara de dmensón n.3. Descomposcón de valor sngular(burden, J. Douglas Fares, 00) Toda marz smérca A puede facorzarse como A PDP, donde P es una marz orogonal y D egenvalores de la marz A es una marz dagonal, que muesra los S A no es smérca es posble facorzar una marz cuadrada como A - PDP, donde D es como anes; pero P es smplemene una marz no sngular En general oda marz A ene una facorzacón de la forma A PDQ, sendo P y Q orogonales y D es una marz dagonal.3.3 Valores sngulares de una marz m n Para cualquer marz A de, la marz AAes:. De orden n. Es smérca y por ende puede dagonalzarse orogonalmene, sendo sus egenvalores reales no negavos Los valores de son no negavos 50

61 En efeco un auovalor de AA y v su correspondene auovecor unaro, luego v v 0 Av, ya que v A A v v A A v A A v v v v v v Concluyendo que 0 Av, y dcendo que es posble obener las raíces cuadradas de los egenvalores mn Defncón S A es una marz de, sus valores sngulares, son las raíces cuadradas de los egenvalores de AAy se denoan medane,,.., n Se convene en ordenarlos de mayor a menor, eso es 3,.., n Ejemplo.3.6 Halle los valores sngulares de A Resolucón A A Tene egenvalores 9 y 4. Por ano los valores sngulares de A son 3, y.3.4 Inerpreacón geomérca de los valores sngulares Qué son geomércamene, los valores sngulares de una marz A mn? Para dar respuesa a esa preguna: Consderemos los egenvecores de la marz AA, pueso que AA es smérca, ese una base oro n normal para, que consse de los egenvecores de AA. Sea 5

62 v, v,.. v n una base de AA, al que corresponda a los egenvalores de AA, ordenados de forma que 3,.., n 0,. A parr de los cálculos hechos anerormene, se ene: De Av, eso es: Av Ejemplo.3.6 Halle los valores sngulares de la marz Resolucón A A A Tene egenvalores y. Por ano los valores sngulares de A son: 3 y Los egenvecores asocados de Para : Su egenvecor es 0 Para : 0 Su egenvecor es - son Se puede observar que los egenvecores son orogonales Normalzándolos se ene AA

63 Para Para : Su egenvecor oronormal correspondene v - : Su egenvecor oronormal correspondene v Por ano una base oronormal de, para AA es v, v - Sendo Av 0 0,, Av 3 Tambén Av 0 0-0, -, Av Es decr los valores sngulares de la marz A : La longud del vecor Av : Av 3 y La longud del vecor Av : Av En el presene ejemplo, ese resulado puede ener la sguene nerpreacón: S se encuenra sobre la crcunferenca unara en. Eso es, luego A A. A. A A A A Relacón que se reconoce como forma cuadráca 53

64 Los valores mámo y mínmo de esa forma cuadráca, sujea a la condcón, son y respecvamene y se presenan en los correspondenes egenvecores de AA, eso es cuando v y v - respecvamene Ya que Av v A A v Para : se ene que Av y para Av, son los valores mámo y mínmo de las longudes A, conforme recorre la crcunferenca de rado uno en La ransformacón lneal correspondene a la marz A, mapea sobre el plano en 3, eso es Con ecuacón De modo que y son las longudes de la mad de los ejes mayor y menor de esa elpse 0 A,, Descomposcón de valor sngular de la marz A Teorema Sea A una marz de m flas y n columnas; con valores sngulares 3,.., r 0, y r+ 0, r+ 0,.., n 0. Enonces ese una marz orogonal U de orden m, una marz orogonal V de orden n y una marz de m flas y n columnas; de la forma: 54

65 Tal que r n- r D 0 r 0 0 m-r D r r, con () A U V Las columnas de U se llaman vecores sngulares zquerdos de A y las columnas de V se llaman vecores sngulares derechos de A. Las marces U y V no esán deermnadas eclusvamene por la marz A ; sno que debe conener los valores sngulares de A, como en la ecuacón () Demosracón Se requere demosrar que una marz A, de m flas y n columnas, puede facorzarse como A U V Sendo U una marz orogonal de orden m, V es una marz de orden n S los valores sngulares de la marz, dferenes de cero son A 3,.., r 0, Y r+ 0, r+ 0,.., n 0, Enonces, endrá la forma Sendo r n- r D 0 r 0 0 m-r.. () D r r 55

66 En el presene caso cuál es D? Para consrur la marz orogonal V, en prmer lugar se debe hallar una n base de oronormal de : v, v,.. v n, el que consse de egenvecores de la marz smérca de orden n : Luego AA V v, v,.. v n Es una marz orogonal de orden n Para la marz orogonal, nóese que Av, Av,.. Av U n, es un conjuno orogonal de vecores de. Veamos eso: Supóngase que es el egenvecor de AA, correspondene al v egenvalor, luego para j se ene que m v v j A A v A A v j v j vj j vvj 0 Dado que los egenvecores v son orogonales Téngase en cuena que los valores sngulares, sasfacen la relacón Av y que los prmeros r, son dferenes de cero. Por ano se puede normalzar Av, Av,.., Av r, al esablecer u Av para,,..., r Eso garanza que u, u,.. u r es un conjuno oronormal de vecores de. m Pero s ocurre que r < m; no será una base para m En ese caso se eende el conjuno,,.. u u u r a una m base de oronormal u, u,.. u m de (ulzando el proceso de Gram Schmd) 56

67 Enonces se esablece U u, u,.. u m Lo que resa por demosrar es que eso funcona; es decr se necesa verfcar que con U, y V, como se han descro, se ene que A U V, dado que V, eso equvale a demosrar que V - AV U Se sabe que Av u para,,..., r Y Av 0 para r+,..., n, por ano Av 0 para r+,.., n Por ano AV A v, v,.. v n Av, Av,.. Av n Av, Av, Avr u, u,... r u r u, u.. u m I I I r I 0 I _ I 0 U Como se quería 57

68 .3.6 Facorzacón de una marz A Defncón. Una facorzacón de la marz A, realzada como en el, Teorema.6.3., se llama descomposcón de valor sngular (DVS), de A. Las columnas de U, se llaman vecores sngulares zquerdos de A y las columnas de V, se llaman vecores sngulares derechos de A. Las marces U y V no esán deermnadas eclusvamene por A, sno que debe conener los valores sngulares de A, como en la ecuacón () Ejemplo.3.7 Halle la descomposcón de valor sngular 0 A 0 Resolucón A U V para la marz 0 A A Tene egenvalores y. Por ano los egenvecores de A son Para : y para : - - Al normalzarlos se obene v y v Observe que son orogonales - Sendo V una base oronormal, ambén V - 58

69 Sendo los valores sngulares de A Av Av Por ano Fnalmene se hallará U Av 3 Av u Av y u Av Se necesa eender u u a una base oro normal de, para lo cual al ulzar el méodo de Gram Schmd, se hará agregando e 0, 0, 3, para obener 3-3 u 3 3, u u, e3 esos forman una base de De ese modo U Sendo la DVS 59

70 A La forma produco eerno de la DVS Teorema Sea A una marz de m flas y n columnas; con valores sngulares 3,.., r 0, y r+ 0, r+ 0,.., n 0. Sean u, u.. u r vecores sngulares zquerdos y sean v, v.. v r vecores sngulares derechos de la marz A, que corresponden a dchos valores sngulares, enonces: Observacón S A uv + u v +... A una marz smérca posva defnda; esos dos úlmos eoremas, se reducen a resulados haro conocdos. La DVS de una marz como lo desaca el sguene eorema. ruv r r A, conene mucha nformacón acerca de ella,.3.8 Valores sngulares no nulos Teorema Sea A U V, una descomposcón de valor sngular(dvs) de una marz A de m flas y n columna, sean ambén, 3,.., r odos los valores sngulares dsnos de cero de la marz A. Enonces, se verfcan las sguenes relacones:,... u u u r es una base oronormal, para el col(a),... u u u m. v, v.. v r es una base oronormal, para el null(a ) es una base oronormal, para el fla(a) 60

71 ,.. v. v v v n Demosracón es una base oronormal, para el null(a). rango(a) rango(u V ) rango( V ) rango( ) r Se sabe que. u u u r lo que es l..,.. es un conjuno oronormal, por Debdo a que u Av, para,,.., r, cada u esá en el espaco columna de A y ambén r rango(a) dm(col(a)) Por lo que col(a) u, u.. u r, es una base oronormal para. Dado que u, u.. u m es una base oronormal para m y u, u.. u r es una base para col(a), por (. ) se ene que complemeno orogonal de col(a). Pero (col(a)) null(a ) v. Dado que u, u.. u r+ r+ m Avr+ Avr+.. Avn 0, es una base oronormal, para el El conjuno v, v.. v r+ r+ n conendo en el espaco nulo de A es un conjuno oronormal, 6

72 Por ano v, v.. v r+ r+ n es un conjuno de vecores l.., con n - r vecores en null(a). Pero dm(null(a)) n - r, (por el eorema del rango), del modo que v, v.. v r+ r+ n, es una base oronormal, para null(a) v. La propedad, se obene a parr de la (v) La DVS ofrece una comprensón geomérca acerca del efeco de las ransformacones marcales. Así por ejemplo se ene que una marz de m flas y n columnas, ransforma la esfera unara de n en una elpsode de m.3.9 Imagen de la esfera unara A Teorema mn Sea A una marz de, con rango(a) r. Enonces la magen de la esfera unara en n, bajo la ransformacón marcal que mapea a A es:. La superfce de un elpsode en m, s r n. Un elpsode sóldo en m, s r < n Demosracón Sea A U una marz de V una descomposcón de valor sngular de la marz mn, sean los vecores sngulares zquerdos A u, u.. u m y derechos v, v.. v n respecvamene, pueso que rango(a) r, los valores sngulares de la marz A, Por el Teorema.6.3 ; sasfacen 3,.., r 0, y r+ 0, r+ 0,.., n 0. 6

73 Sea n un vecor unaro de, pueso que V es una marz. n orogonal, ambén lo es V y en consecuenca V será un vecor unaro Ahora De modo que V v v v v.. v n v n v + n. + v Por la forma de produco eeror de la DVS, se ene que A uv + u v +... Por ano ruv r r A uv+ u v r r r u v v u yu + yru r v u r r r Sendo el escalar y v. S r n, enonces se debe ener n m y A +... yu + ynu n y y Sendo y, luego A Uy y, ya que Ues orogonal. y n 63

74 Pero y v, así y + y n n v + v n Lo que demuesra que los vecores elpsode en m A, forman la superfce de un. S r < n,la únca dferenca en los pasos anerores es que la ecuacón se convere en y +... y n + n Pues falan algunos érmnos, esa desgualdad corresponde a un elpsode sóldo de m Ejemplo.3.8 Halle la descomposcón de valor sngular A U V para la marz 0 A 0 0 Resolucón A y 0 AA Hállese los valores caraceríscos de AA Ellos son , , 3 0 y 4 0 Sendo sus egenvecores asocados: 64

75 .447 Para : v, para : v Compleando la base orogonal se ene prmeramene al resolver el ssema homogéneo v 3 v, v, 0, resulando v 3 - Luego se halla v 4 al resolver el ssema homogéneo v, v, v3, 0, resulando v Al normalzarlos se obene A son v v ,, y v v Los valores sngulares de la marz A son.90 y.76 0 y

76 Sendo V V Tambén u Av y u Av Así U Fnalmene se ene 0 A U V Luego por el Teorema.4.3 Se ene que Rango (A) r < n 4, la ecuacón de la elpse es: 66

77 y y + ó y.90 y.76 y 3.68 y.38 Ejemplo.3.9 Descrba la magen de la esfera 3, bajo la accón de la marz Resolucón 0 A 0 0 En prmer lugar el rango de la marz A es r A 0 A 0 0 y Los egenvalores de AA son, y 3 0, sendo sus correspondenes egenvecores: 0 - Para :, : 0 y para 3 0: 0 0 Ellos son orogonales, al normalzarlos se obene v, 0 0 v 0 y - v 3 0 Los valores sngulares de A son, y 3 0 Luego 0 - V y Fnalmene se hallara U 67

78 0 0 u Av y u, as U 0 Av 0 Por ano el produco buscado es A V U V r A <n 3 Ya que, se aplca la segunda pare del Teorema.6.4; la magen de la esfera unara sasface la desgualdad y + y y + y En relacón con los ejes coordenados y, y en ( correspondenes a los vecores zquerdos, ), dado que u e y u e, la magen es como se muesra a connuacón u u Fuene propa 68

79 En general se puede descrbr el efeco de una marz unara, A m n sobre la esfera unara en n, en érmnos del efeco de cada facor en su DVS: A U V, de derecha a zquerda La marz V que orogonal, mapea la esfera unara en s msma La marz que es de mn, hace dos cosas, las enradas dagonales, r+ 0,.., n 0 ; colapsan n r de las dmensones de la r+ 0 esfera unara; lo que deja una esfera unara de r, en la que las enradas dagonales dsnas de cero,,.., devenen en una elpse, lo que hace que la marz orogonal U, alnee los ejes de ese elpsode con los vecores orogonales, u,.., en m. r u u r 69

80 CAPÍTULO 3 MÉTODO DE ESCALADO AFÍN Descrpcón del méodo: hpóess, eoremas Algormo: Pasos generar un puno neror Obener una dreccón de búsqueda y deermnar la longud del paso al que se produzca una mejora 3 Hallar el sguene puno 4 Verfcar s se cumple o no el crero de parada sno reper desde el paso 3. Caraceríscas del méodo Ese méodo se caracerza por su sencllez, enre odos los méodos de punos nerores, ehbe un alo rendmeno, aunque el programa sea de gran dmensón Orgnalmene fue propueso en el año 967 por Dn; pero occdene no le presó aencón y fue después de 0 años redescubero y presenado en 986, por Barnes y Vanderbe; pero esa vez como una smplfcacón del algormo de Karmaar. El programa que se quere resolver es P:Mín Z T c S A b, 0 Sendo A una marz de mflas y n columnas, con n > m y A de rango compleo Al conjuno A b, 0, se le llama domno admsble del programa P. La aplcacón del presene algormo, ege que se enga un puno ncal n 0 0 0, : que perenezca al neror del domno admsble del programa; el que garanzará que: A 0 b,

81 Ejemplo 3. Sea el P. M. L. P Mn Z S Segudamene se ene la gráfca del domno admsble Gráfca n ª: Domno admsble del programa P 0 Fuene propa En la presene gráfca los punos de fronera, del conjuno solucón, venen dados por las ecuacones asocadas a las resrccones del programa orgnal. El 0 puno ( 4, 4 esá en el neror del conjuno solucón (domno admsble del programa) ) 7

82 Gráfca nª 3: Curvas de nvel de la f.o. del programa P Fuene propa Al adconar las varables de holgura,, a la prmera y segunda 3 4 resrccón respecvamene y susraer la varable de eceso 5 a la ercera resrccón, se obene el programa esandarzado correspondene P : Mn Z S Para el presene programa se ene que el puno (.5,.5,4,.5, ) perenece al neror de su domno admsble y cada una de sus componenes son esrcamene posvas. Eso es -8(.5) +0(.5) (.5) + 6(.5) -.5 4(.5) + 4(.5) + 5 7

83 El procedmeno básco, segudo por ese méodo, empeza la 0 búsqueda del valor ópmo del programa, a parr del puno ncal, para connuar generando una sucesón de punos 0 Eso es; parendo de, se avanza haca, luego a y así hasa que se verfque alguna condcón que ndque que el valor acual solucón ópma del programa Cada nuevo puno generado, se obendrá a parr del aneror medane el procedmeno eravo: es + +, 0 (3.) Sendo:. el vecor dreccón de movmeno. la longud de paso, ndca cuano se aleja de, a lo largo de la dreccón hallada El presene esquema de búsqueda es muy ulzado por los méodos de opmzacón. En consecuenca se esará neresado en dos cuesones cenrales:. Cómo obener la nueva dreccón de movmeno?. Cómo deermnar la longud de paso? La prmera de ellas ene gran mporanca y cubrrá el reso del conendo del ema y la deermnacón de la longud de paso, es cas nmedao; una vez que se ha obendo la dreccón de movmeno 3. Presenacón del programa y supuesos necesaros Se quere resolver el Programa Maemáco Lneal ( P.M.L. ) P : Mn f() c Sujeo.a S 73

84 Sendo: n. S : A b, 0, un conjuno de, no vacío, conveo, al cual se denomna: domno admsble o regón de facbldad del p.m.l.. El hperplano, f() c, se denomna funcón objevo (f. o.), con n c n La marz A debe ser de valores reales, con m flas y n columnas, m < n y de rango compleo: Véase defncón.3.. Se van a consderar las sguenes hpóess sobre el programa P Hpóess : La solucón del programa degenerada. Véase defncón.4. y.4. P debe ser facble no Hpóess : El domno admsble(o conjuno solucón) de P, debe ser un polopo acoado. El programa dual asocado a P ; al que llamaremos D es D : Má g(y) by y Sujeo.a A y c Sendo el vecor de varables duales y m Hpóess 3: El programa dual degenerada. Al escrbr el presene programa D D, debe ener solucón facble no en la forma esándar, medane la adcón del vecor de holguras duales z n, se obene el programa Má g(y) by y,z Sujeo.a A y + z c z 0 74

85 El programa dual debe ener solucón Ópma no degenerada 3.3 Obencón de la dreccón de mejora y su facbldad La dreccón de movmeno condcones:, debe verfcar en cada eracón, dos. Debe preservar la facbldad del nuevo puno (dreccón admsble). Debe no empeorar el valor acual de la funcón objevo Supóngase que se esá en el puno neror y admsble ; se quere que el sguene puno + sea ambén admsble. Por el momeno se cenrará la aencón en las resrccones de gualdad A b, las + resrccones 0 ; luego el nuevo puno debe garanzar que A + b + Se sabe por ( 3. ), que + y que s es admsble, sasface la relacón A b Por ano de la condcón de facbldad A + b, se ene que A + b A ( + ) A + A A + A b b b + A b De donde se desprende que A 0 y por ser 0, se concluye que la dreccón de mejora debe verfcar: A 0 (3..) 75

86 Es decr el nuevo puno + será facble a condcón que la nueva dreccón de movmeno perenezca al espaco nulo de A, Por el Teorema.4, se ene que P I - n T A T - (A A ) A (3.) Sendo I n : una marz unara de orden n Es la marz de proyeccón orogonal, sobre el espaco nulo de la marz A. Es decr para cualquer vecor d ; la proyeccón orogonal del vecor d, sobre el espaco nulo de la marz A ; será el vecor Pd: donde Pd Null(A) n Ejemplo 3. Consdérese el programa lneal P Mn f() S Gráfca n º 4: Represenacón del domno admsble del programa P 76

87 Gráfca n º 5: Represenacón del espaco nulo de la marz A: Fuene propa Null(A) 3 : A 0 3 : Null(A) 0 +, , 0 B 0, Null(A) - - Tambén en el presene caso se ene que A (,, ), m, n 3 y c ( -, -.5, - ) 77

88 El programa oma su mejor valor de puno eremo en 0 3, sendo 0 el valor ópmo del programa f( ) c ( -, -.5, - ) Al omar en el domno admsble del programa, el puno.00, 0.5 se ene que en ese puno el valor del programa es c 0 ( -, -.5, - ) Tómese un puno cualquera en d ; por ejemplo d -. 0 ; se 0.0 ene que la proyeccón orogonal sobre el espaco nulo de la marz A, T T - P d d - A (A A ) A d. Eso es P d ,,,, /6 - Así consderando, el nuevo puno será + P d. a. esará en el domno admsble del programa? b. En el puno el nuevo valor del programa c, será mejor que en el aneror c? 0 0 Respuesa 78

89 a. Será facble s el puno verfca que y A b En efeco: + Pd A (,, ) 4 0 admsble del programa b En ese puno el valor del programa será: Esá en el domno c ( -, -.5,- ) Gráfca nº 6: Proyeccón orogonal del vecor d, sobre Null(A) Fuene propa Ese úlmo resulado hace noar; que al elegr cualquer valor para d; ha llevado a que en el nuevo puno ; el valor del programa empeore ( c c 0 ); a pesar que esá en el domno admsble del programa. Ese hecho sugere la necesdad de caracerzar la dreccón de mejora " d ", del valor del programa 79

90 3.4 Crero para selecconar la dreccón de mejora S se consdera la funcón objevo del programa como mnmzacón; en el nuevo puno del programa +, debería ocurrr que c + c + Eso sgnfca que; s +, consderando > 0. De la relacón aneror se deberá cumplr c ( + ) c, ó c 0 Esa úlma relacón recbe el nombre de condcón de descenso y el vecor, recbrá el nombre de "dreccón de mejora" Ahora; consdérese la sguene dreccón - P c (3.3) que es la proyeccón orogonal (del negavo del gradene de la funcón objevo), sobre el espaco nulo de A. Se probará que esa eleccón, es una dreccón de mejora del programa En efeco: c -c Pc, de donde se ene c -c P c, por ser P dempoene Luego c -c P Pc -Pc Pc - Pc 0 Concluyendo que la condcón de descenso es c 0 Por ano c 0 y cumple la condcón de descenso Ejemplo

91 Consdérese el programa lneal P, del (Del Ejemplo 3.); pero ulcemos como dreccón de movmeno gradene de la funcón objevo del programa).0 d - c.5,(el negavo del.0 La proyeccón orogonal de d, sobre el espaco nulo de A, será P d P d.5 -,,,, /6 3/ 0 Luego el puno + Pd, consderando nuevamene a. b. c. Esará en el domno admsble del programa? El nuevo valor del programa es? Qué relacón guarda el valor del presene programa, con el hallado, - cuando se omó como dreccón de mejora P d -5? 0.0 Respuesa a. Será facble s el puno verfca que 0 y A b - 0 En efeco: + Pd A (,, ) del programa esá en el domno admsble 8

92 b. En ese puno el valor del programa será c ( -, -.5,- ) c. Al elegr el vecor d - c, como el negavo del gradene la funcón objevo; se obene un mejor valor del programa; que el obendo al elegr d Fgura n º 7: Proyeccón orogonal del vecor - c Fuene propa 8

93 Gráfca n º 8:Represenacón de las curvas de nvel y dreccón de mejora Fuene propa En consecuenca s se oma como dreccón de movmeno - c, sempre se endrá que su proyeccón orogonal - Pc, sobre el espaco nulo de A ; será una dreccón facble del programa por lo que APc 0 ( Qué pasaría s para la dreccón de búsqueda P c ; se verfca que Pc 0? Veamos: S Pc la proyeccón orogonal sobre Null(A) es nula ( Pc 0); por (.3.4 ) sgnfca que ese y m, al que n c Ay Eso es, los coefcenes de la funcón objevo del programa orgnal: c, se han logrado epresar como combnacón lneal de los vecores del subespaco de las flas de la marz A o c esá en el complemeno orogonal del subespaco nulo de A, o el esmador de las holguras duales z; se ha vuelo nulo S se consdera un puno facble que c y A cualquera del programa, se endrá 83

94 Pero por la condcón de : A b, se ene que y A y b De donde se ene que c y A y b y c y b Esa relacón c y b, sgnfca que ano como y son ópmos de los programas P y D respecvamene 3.5 Eleccón de la dreccón de mejorameno Gráfca nº 9: Represenacón de la dreccón de mejora Fuene propa S se quere selecconar la mejor de las dreccones, que sea facble y que mejore el valor acual del programa, a parr del puno, se planea el sguene programa: R: Mn f() c ( + ) S. a. A ( + ) b (3.4) La segunda resrccón ndca que: a. debe ener una longud, valor que se ajusará convenenemene, para consegur que el nuevo puno + 0 y perenezca al domno admsble del programa 84

95 b. El nuevo valor del programa f( ), (3.4) sea acoado Nóese que en ese programa se quere hallar el mínmo valor de f(), en el domno admsble, que forman el hperplano A ( + ) b y la hperesfera de rado cenrada en, El presene programa puede ser resuelo, ulzando los mulplcadores de Lagrange T T L(, y, ) c ( + ) - y ( A ( + ) - b ) + ( - ) T Donde: Los vecores y y son mulplcadores de Lagrange, asocado al prmer y segundo conjuno de resrccones respecvamene Dervando L, con respeco a, y y e gualando a cero en cada caso L(, y, ) T c - y A + 0 L(, y, ) A ( + ) - b 0 y T L(, y, ) - 0 L(, y, ) En la segunda ecuacón como A b A 0 De la prmera ecuacón c y A - T Al Mulplcar por la marz A ambos membros se obene A c A A T y - A ; pero por ser A 0, resula A c A A T y Y por ser la marz A de rango compleo, se endrá y ( A A ) - A c (3.5) 85

96 De la relacón c - y A + 0, se ene - c + y A - + A y c Reemplazando (3.), en esa úlma relacón, se endrá - c + A ( A A ) - A c ó - ( I - A ( A A ) - A ) c - P c, de donde n P c Elevando ambos membros al cuadrado 4 La relacón Pc Pc 4 4 De esa úlma relacón y P c, se obene ( Pc ) Pc Pc - Pc P c (3.6) Por oro lado L(, y, ) > 0 Lo que sgnfca que Pc > 0 por lo que la epresón (3.6), proporcona el valor mínmo del programa Eso jusfca el sgno posvo para en la funcón lagrangana. S se hubera ulzado el sgno menos; la solucón hallada hubera en dreccón conrara a ( (3.6) ), luego se habría obendo L(, y, ) -, lo que ndcaría que el puno es de mámo Esa es la dreccón; (- Pc) a la que llamaremos el negavo del gradene proyecado, que garanza el mámo descenso, a parr de un puno deermnado; manenendo la facbldad del sguene. Esa dreccón concde con la ulzada en el méodo del gradene proyecado, para programacón no lneal. 86

97 3.6 Eapas del escalado afín El gradene proyecado ofrece una buena dreccón, en el sendo que enre odas las dreccones facbles, es la que proporcona la máma dsmnucón del valor del programa Sn embargo según la relacón P, por undad de longud de paso, que rge el proceso eravo de búsqueda del presene méodo; s se halla cerca de las caras del domno admsble del programa; la longud de paso sería pequeña ( de no ser así, volaría las resrccones de no negavdad de las varables). Lo que sgnfca que no sempre es sufcene, ener una buena dreccón de descenso; sno es necesaro esar en el cenro del domno admsble del programa; eso es alejado de los hperplanos 0 (3.) Esa suacón se apreca en el sguene gráfco Gráfca n º 0: Movmeno en la dreccón del gradene proyecado 0. Lo que oblga a ener Fuene propa Sendo el movmeno desde el puno con el movmeno desde el puno resula pequeño comparado El méodo de Escalado afín resuelve el problema de no esar en el cenro del domno admsble del programa, por medo de un procedmeno de res eapas: a, b y c ; las que se repen en cada eracón del algormo 87

98 a. Escalar el problema de forma al que el puno acual se encuenre alejado de los hperplanos generadores del domno admsble; eso es el puno de búsqueda se ransformará en, en el nuevo conjuno solucón formada por las varables b. Obener la dreccón del gradene proyecado en el nuevo domno admsble; el que smbolzaremos con c. Trasladar la dreccón obenda al problema orgnal, deshacendo el raslado prevo. A parr de se obendrá la dreccón en el espaco orgnal Eleccón del po de escalado a ulzar? S por ejemplo se ulzara un escalado que mulplcara odas las componenes,,,..., n, por una msma consane; no sería de uldad; porque se manendría la dsanca relava de cada una de las varables, respeco de los hperplanos generadores del domno admsble del programa La esraega seguda por el presene méodo, consse en ransformar cada componene,,,..., n, del domno admsble orgnal en, en el nuevo domno admsble; garanzándose de esa forma el alejameno de los hperplanos generadores del domno admsble del programa y eso se consgue medane la relacón Gráfca n º Cenro del d. a. programa escalado,,,,..., n Sendo : El puno acual de la eracón Ese cambo se deshace medane la relacón: Fuene propa,,,..., n 88

99 S se denoa por X érmnos del puno acual la marz dagonal que ene por componenes los ; eso es X n Es posble escrbr las relacones anerores en forma marcal: (X ) X (3.7) Nóese que ese escalado esá ben defndo, ya que el movmeno sempre ocurrrá por el neror del domno admsble, con lo que se asegura que > 0 Lo que mplca que X será una marz no sngular y defnda posva Aprecemos segudamene. cómo se realzan en cada eracón, las res eapas; (a), (b) y (c), descras anerormene?: 3.7. Aplcacón de las eapas. Consdérese el programa maemáco lneal Q Mín f() S. a. A b, 0 c T Eapa a: Escalameno del programa P, medane las relacones (3.7) y con 0 ' P P : Mín f () S. a. A X b c T X X 0 S en el programa ' P, se oma: 89

100 c X c y A A X (3.8) Se obendrá el programa ' P : ' P P Mín f () c S. a. A b 0 Nóese que en úlmo paso las resrccones X 0, se han ransformado en 0. Ambos conjunos de resrccones son equvalenes, debdo a que el puno acual de eracón, ene odas sus componenes posvas Supóngase que en la búsqueda se arrba al puno ; que esá en el neror del domno admsble del programa P : Ese se ransformará en el puno e (,,..., ), cuya poscón es el cenro del domno admsble del programa P Gráfca n ª : Aplcacón de la ransformacón Afín O b s e r v Fuene propa e además que ese po de escalado, ransforma ambén las curvas de nvel de la funcón objevo, a lo largo del domno admsble del programa Eapa b: Obencón de 90

101 En el domno admsble de varables, la dreccón de descenso, será la del gradene proyecado, la que se obene medane la relacón ( 3.8 ). Pero ahora se rabajará con el programa: P Mín f( ) : c S. a. A b 0 Tenendo en cuena que X es una marz dagonal, obéngase : - P c - I n A AA ( ) A c I n I n I n (AX ) ((AX (AX ) ) AX X c K K K K K (AX ) (AX X A ) AX X c K K K K K (AX ) (A(X ) A ) AX X c K K K K K K K K K - X (AX ) (A(X ) A ) AX X c K K K K - X (AX ) (A(X ) A ) A(X ) c K K K K - X X A (A(X ) A ) A(X ) c K K - K - X I n A A A A ( (X ) ) (X ) c (3.9) Eapa c: Regreso al programa orgnal P : En el problema escalado el movmeno (sn ener en cuena la longud de paso) se realza así + Deshacendo el cambo de varable: Mulplcando la relacón aneror por X X X + X + X En consecuenca el movmeno realzado en el programa orgnal, sera X Reemplazando de la relacón (3.9), se obene: 9

102 X (3.0) K K K - K - X X I n- A A A A c ( (X ) ) (X ) K K - K - ( X ) I n- A A X A A X ( ( ) ) ( ) c S se hace D (X ) ; se endrá DI n - A (A DA ) AD c - Dc - A (A DA ) ADc - - Dc - A (A DA ) ADc - Hacendo y (A DA ) A D c ; se obendrá - D (c - A y ) Tomando z c- A y, resula - D z (3.) Advérase que para obener, se debe facorzar la marz A DA A (X ) A Las varables D, y, z, quedan defndas como sgue: D (X ) T - T El esmador de las varables duales y A (A DA ) A D c y z y c - T A En el méodo Smple por ser la marz de rango compleo; Se puede hacer una parcón con sus columnas en B,N, a. A sendo B una marz básca de orden m, así ambén se descompone X X B B, hacendo una parcón equvalene y XN X N y asumendo la ausenca de degeneracón, se demosrará que el esmador de varables duales y A (A DA ) A D c, verfca la sguene condcón A lm y c (B) N 0 B - c c c B N 9

103 El que equvale al vecor de varables duales obendo en el méodo símple. En efeco T - y (A DA ) A D c (A ( X ) A ) A (X ) y T - X B B 0 ( B,N) 0 X N N y (BX B NX N ) ( BX c + N X c ) - c c X B 0 B ( B,N) 0 X c N N B N B B N N Por lo epueso en la observacón preva, se ene que sngular, omando líme: lm y N 0 lm y (BX B NX N ) ( BX c + N X c ) N 0 B N B B N N T B X B B es no lm y N 0 (BX B ) ( BX c ) - B B B (B ) ( X ) X c - - B B B (B ) ( X ) B BX c B B B lm y N 0 lm y N 0 (B ) ( X ) X c B - - B B B c B - - (B ) c B Observacones prevas 3. a. Cuál es el rango de (A (X ) )? Respuesa. La marz X es una marz dagonal de orden n, ) r(x n, cuyas componenes son esrcamene posvas( es no degenerada); ambén lo será (X ) Luego por propedades del produco de marces, se ene que: r(a (X )) M mo r(a), r(x ) (A (X )) (A (X ) ) ín M ínmo m, n m. Por ano es una marz de rango compleo y ambén lo será la marz b. La marz (A DA ) (A (X ) A ); es no sngular? Respuesa. Por hpóess : La marz A es de rango compleo, y por B,N, B genera odo y las r(a) m defncón.3.. A m columnas de la sub marz N, se pueden generar como combnacón 93

104 lneal de las columnas de columnas de la marz B. Así; el sub espaco generado por las A ; es el msmo que el generado por B Con razonameno smlar, se concluye que el sub espaco generado por la marz A es el msmo que el generado por B Luego se concluye que r(a (X ) A ) r(b (X ) B ) Pero. Ese (B (X ) B )? Respuesa : (B (X ) ) es un marz de m n, con m < n: Luego - r(b (X ) ) M mor(b ), r( X ) ín M m ínmo, n m Es decr la marz B (X ) es de rango compleo Ahora se mulplcará la marz (B (X ) ) por la sub marz de A : B, la que es nverble y por propedades del produco de marces; que dce: El resulado de mulplcar una marz por una marz nverble, es una marz nverble, se concluye que ese - (B (X ) B ) ; y por lo epueso anerormene se concluye que ambén esrá r(a (X - ) A ) En la fgura 3.0. y 3.0., se apreca la dreccón programa orgnal, obenda en el La dreccón del gradene proyecado obenda en ( 3.0 ). Es facble y de no empeorameno del valor acual del programa P?. Es decr a. A 0? y b. c A 0? Respuesa a. Veamos s es facble - - D ( I n - A (A DA ) A D ) c es facble? - A - A D ( I n - A (A DA ) A D ) c 94

105 - ( A D I - A D A T (A DA ) A D ) c - ( A D I - ( A D A )(A DA ) A D ) c - ( A D I - A D ) c - ( A D - A D ) c 0 A 0 Se sabe que - (X ) P c Donde P es la marz de proyeccón orogonal sobre A con A y c como en 3.8. Luego se ene que c - c (X ) P c n n n c (X ) P (X ) c (3..) - c (X ) P P (X ) c Por ser P : smérca e Idempoene T - c (X ) P P (X ) c -(PX c) (PX c) - (PX c) De donde se concluye que el nuevo valor del programa en el peor de los casos, queda como esá; eso es c (PX c) 3.7 Connudad de la funcón Teorema S el programa P ene solucón no degenerada y la marz de resrccones A es de rango compleo; enonces A (X ) A es una marz no sngular y los érmnos y, z defndos en (3.), son una T funcón connua de Demosracón Pues odas las enradas son funcones connuas. 95

106 En cada eracón del algormo, las res eapas se realzan mplícamene y sólo se calcula la dreccón, según la relacón 3.0. Esa será la dreccón a ulzar en el proceso eravo, epueso en Obencón de la longud de paso En cada eracón el objevo es moverse desde, en la dreccón de ;(como en el méodo Smple a lo largo de d) ano como sea posble; sn volar las condcones de no negavdad de las varables; eso es debe garanzarse en cada eracón que: Como > 0 y las componenes 0 no pueden conducr a que 0. Luego se debe esar preocupado sólo por las componenes que sean negavas < 0 Tambén como el amaño mámo del paso; el que se denoará como ; se obendrá medane la relacón. mínmo : 0 (3.) Nóese que con esa defncón de, la componene -ésma de ; + sendo el índce de la componene, asocada al mínmo, con 0 se anularía; más aún + ; dejaría de ser neror y consecuenemene la marz + sería sngular. Para evar la ocurrenca de esa suacón, se debe reducr la longud el paso, medane la sguene operacón mínmo : 0 (3.3) 96

107 Sendo Esa forma de elegr el amaño de la longud de paso Méodo de escalado de paso largo. ; es llamado Consdérese el programa R Mn f() S Resolvendo gráfcamene, se ene: Gráfca n º 3: Domno admsble y puno ncal de búsqueda Domno admsble X del programa orgnal La solucón ópma se encuenra en el puno Resrccones 5 0 Curvas de nvel Fuene propa Escrbendo R en forma esándar: Mn f() S

108 Sendo A , c 0, b 5 En ese ejemplo se omará como puno ncal 0.5, 0.5, 4.0,.5.0, el que es neror y facble al programa R En ese puno el valor del programa es Hacendo las operacones correspondenes, ulzando las relacones (3.9), (3.0) y (3.) c z (c - A y) Obéngase - D z, con e y ADA ADc D X AD

109 AD ADA ADA ADA Es una marz de rango compleo ( m ), ya que A lo es. Tambén la marz X posee no menos de m componenes posvas; luego la marz ADA es nverble ADA ADc y ADA ADc

110 Tambén b y ; luego la brecha dual será: (brecha dual) T + c , lo que sgnfca que , 0.5, 4.0,.5.0 erando. A y , aún no es ópmo; luego se connuará z c - A y D z Al ulzar la relacón (3.) : mín (0) : mín -, , Y omando 0.95, se endrá.4675 De esa forma se obene el nuevo puno 00

111 El nuevo valor de la funcón objevo será la funcón c c Al segur erando, se obene b y ; luego la brecha dual será: (brecha dual) T + c , lo que sgnfca que , , , , aún no es ópmo; luego se connuará erando. El presene méodo raa de avanzar, ano como se pueda, en la dreccón de movmeno calculado; es por ese movo que se le llama Méodo de Escalado Afín de Paso Largo El méodo de Escalado Afín de Paso coro, como el de Paso Largo, ulza el cambo de varable (X ), presenada anerormene; obenendo el sguene problema, en el espaco de varables P Mín ' Z T c S. a. A b, 0 (3.4) El puno 0, correspondene al programa orgnal P ; se ransforma en e (,,.., ) 0

112 Consdérese segudamene la esfera B(, B(, : e, A b (3.5) e Dado que perenece al neror del domno admsble de P, se ene que la esfera B(,, esará ambén en el domno admsble del programa P, cuando El conjuno de punos B(,, puede ser ransformado al espaco de las varables orgnales, deshacendo el escalado medane las relacones (3.7) (3.8) B(, : - (X ) e, A X - (X ) A b : - (X ) e, A b : - - (X ) (X ), A b - - : (X ) ( ) (X ) ( ), A b (3.6) - - :( ) (X ) (X ) ( ), A b - : ( ) (X ) (X ) ( ), A b E(, ) Esa úlma epresón represena la nerseccón de la elpse cenrada en, asocada a la marz Q (X )(X ), con el domno admsble A b Es fácl noar que la esfera B(, ), en el espaco, se ha converdo en un elpsode E(, ), en el en el espaco orgnal, debdo a la marz de escalado (X ) - 0

113 Tambén como B(,, esaba ncludo en el domno admsble del programa P, se verfca que el elpsode E(, ), queda ambén ncludo en el domno admsble de P, condcón esa que la garanza el sguene Teorema: Teorema 3.8. El conjuno de punos defndo por el elpsode E(, ) B(,, perenecen al domno admsble del programa P, s, es decr B(, : A b, 0 Y s, esos punos son nerores Demosracón Se sabe por defncón, que odos los punos de: E(, ), sasfacen A b ; se debe ver que ambén 0 Se sabe que s B(,, enonces (X ) e - Pero para cualquer u : u u, se ene - - (X ) e S se mulplca la relacón aneror por, se puede escrbr como sgue: - De la que se obenen el resulado buscado: 0 S < ; las relacones anerores, se verfcan como desgualdades esrcas, enéndose > 0 y por ano neror. La sguene gráfca, muesra la relacón enre la esfera y la elpse. 03

114 Gráfca n 4: Relacón enre domnos admsbles de ambos programas Fuene propa Por oro lado ese ora manera de elegr el amaño de la longud de paso, que fue deducdo en la seccón 3.4. La únca dferenca es que el proceso, debe ser aplcado al programa P, de domno admsble en. El proceso se basa en lo sguene: Como En sus respecvos espacos para, se observa como el elpsode es facble para el programa P, (al como se demosró en el Teorema 5., es decr odos los punos del elpsode esán en el domno admsble del programa P ; el méodo eravo de escalado afín, era susuyendo la resrccón 0, por la de perenenca a dcho elpsode, de la sguene manera: En el problema escalado, envés del elpsode consdera una esfera; planeando el sguene programa de mnmzacón, para obener Mín T c S A ( + ) b (3.7) Advérase el domno admsble de ese problema, concde con la fronera de la esfera B(,, dado que e 04

115 S se consdera, esa regón facble, esá además conenda en el domno admsble del programa P, como se ha epueso anerormene La segunda resrccón del programa, se ha poddo haber escro como, logrando de esa manera como domno admsble del programa (3.7) la esfera de cenro y rado de longud ; B(,. Sn embargo el mínmo del programa se hallará en los punos de fronera, pueso que la funcón objevo es líneal; razón por lo que la segunda resrccón, se formula en forma de gualdad. En el presene programa se esá buscando la dreccón, la que proporcona la máma dsmnucón de la funcón objevo, alrededor del puno e Se puede aprecar que ese equvale al programa (3.6), que su solucón vene dada por (3.4) y se sabe por - Pc P c Enonces el programa (3.7), se podría haber formulado en el espaco de varables ; deshacendo así el escalado y obenendo: Mín T c ( + ) S A ( + ) b (3.8) - (X ) El domno admsble corresponde ahora a la fronera del elpsode B (, E(, ) Y se sabe por el eorema aneror que para, ese elpsode esá conendo en el domno admsble del programa orgnal ( en su neror s < P ) y que esá 05

116 Así la solucón del programa (3.8), se obene a parr de (3.7) ; deshacendo el escalado: Pc X P c Luego, el nuevo puno será: Condcón de parada - Pc X P c Se raa de esablecer un crero, para deermnar s el puno acual, se encuenra lo sufcenemene cerca al ópmo, para la cual se ulzará el eorema de la dualdad fuere S es posble obener una esmacón de la solucón dual y, asocada a ; enonces será posble deener el proceso eravo cuando la brecha dual, sea menor que un valor de oleranca, que perenece a un nervalo 0, La condcón para deener la búsqueda será la sguene: (brecha dual) T + c T T c b y T + c (3.9) En la epresón se relavza la brecha dual, agregando al denomnador, para evar problemas de precsón, cuando el valor ópmo del programa, esé cerca a 0 Por oro lado se ulzará el eorema de la holgura complemenara débl, para obener un esmador apropado de la varable dual y T Se sabe que las holguras duales verfcan z c - A y, con z 0 y que en el ópmo del programa prmal y el dual ocurre z 0, para,,., n 06

117 Dejando a pare la condcón de no negavdad y, medane la solucón del sguene programa 0, es posble esmar Mín, y X z S. a. z c - T A y El cual puede ser resuelo nroducendo la funcón lagrangana: T T L(z, y, u) X z - u ( z - c - A y ) Donde u n, son los mulplcadores de lagrange. Al dervar L con respeco a z, y, u e gualar esas dervadas a cero se obene las condcones que debe sasfacer el puno solucón (X ) z u - 0 A u 0 T z - c + A y 0 Al mulplcar ambos membros de la prmera relacón por obene: A, se A (X ) z A u; pero A u 0; debdo a la segunda relacón, luego A (X ) z 0 Al mulplcar la ercera resrccón por A (X ), se obene: 0 A (X ) z - A (X ) c + A (X ) A y T 0 - A (X ) c + A (X ) T A y ó 0 - A (X ) c + A (X ) A y ó T A (X ) c A (X ) T A y De donde: resula T y A (X ) A A (X ) c (3.0) Esa relacón produce la esmacón de y 07

118 T Análogamene z c - A y, es el vecor que corresponderá a la esmacón de las holguras duales. Ulzando la noacón D (X ), realzada anerormene, la esmacón de y, se puede escrbr como: y T (ADA ) A D c Esa úlma relacón concde con el vecor y defndo en ( 3.), que nervene para calcular la dreccón de movmeno, lo que sgnfca que no será necesaro hacer ora operacón, para obener ese esmador. Tambén se debe noar y valorar que la epresón ( 3.0 ), concde con el vecor de mulplcadores; de los programas de Mnmzacón ( 3.4 ), ( 3.7 ) y ( 3.8 ), los que proporconaban la dreccón de movmeno haca cada Luego la sucesón de esmacones duales; no es más que la sucesón de mulplcadores, de las ecuacones A b de esos programas. Bajo la hpóess que el programa es no degenerado y las, observacones prevas 3. b, garanzan que A (X ) T A es no sngular, lo que sgnfca que el cálculo de los esmadores duales y, esá ben defndo S el programa fuese degenerado la marz A (X ) T A sería cas no sngular y s la solucón ópma fuera degenerada la búsqueda se complcaría a medda que se connúe erando Bajo esa suacón se puede ulzar un crero, que consse en deener la búsqueda, cuando la mejora relava de la funcón sea pequeña; eso es: T T + c c T + c 3. 08

119 3.0 Obencón de una solucón facble ncal Ya se sabe como erar y cuándo parar; pero se ha supueso que se pare de un puno ncal neror y facble 0. No es rval hallar al puno para el programa ( ), luego segudamene se presenará una écnca, el que se denomnada écnca de la M grande para superar esa dfculad; la que equvale a la écnca del msmo nombre en el méodo símple. Consdérese un puno > 0 cualquera por ejemplo e (,,..., ) T. Ese puno elegdo aleaoramene, es probable que sea no admsble para el programa ( P ), eso es no verfque A 0 b ; enonces se puede obener su vecor de nfacbldades r : r b - A 0 S se ulza M, M > 0 y relavamene grande, defínase el sguene programa alernavo a ( ) 0 P P m Mín T c, M n+ S. a. A, r n+ b 3. n + 0 Ese programa ene una varable mas que el programa ( ); gracas a esa condcón, es posble obener un puno facble e neror de modo muy sencllo, eso es P 09

120 n n Debdo a que es un puno neror, ambén lo es. Y al ulzar la 0 defncón del vecor r, se comprueba que A, r A 0 + r 0 + ( b - A 0 ) A 0 b Lo que prueba que, esá en el domno admsble del programa ( 3. ) Luego se endrá que esperar que en el ópmo del programa ( 3. ), n + debe verfcarse ; por ser Mgrande 0 Cuando no ocurra así, se conclurá que el programa orgnal ( ); es no facble, ya que no se ha poddo volver cero la componene, P n + asocada al vecor de mbabldades r Lmacones de la écnca M. Se debe elegr un valor adecuado para M, que no sea n muy pequeño n muy grande. S fuera demasada grande, se podría volver nesable el proceso eravo de búsqueda y s fuera muy pequeña; se penalzaría poco la varable asocada al vecor de nfacbldades obener solucones n + r, lo que mplcaría 0; sn que el programa sea nfacble En la culura sobre esa emáca, se han propueso écncas de adapacón de M, a medda que avanza la búsqueda del ópmo 0

121 . El vecor r nroducdo en la marz de resrccones de ( 3.9 ); por lo general será densa; lo que provoca que la marz densa. A D T A sea ambén La facorzacón de en cada eracón, desde un puno de vso compuaconal; es el paso más cososo a realzar. El hecho que esa marz sea densa ncremena osensblemene el empo de ejecucón, en especal en los programas de gran dmensón. Desaca enre sus venajas, la que proporcona el valor ópmo del programa, al soluconar un programa únco, en lugar de realzarlo en dos fases. A D T A 3.0. Convergenca del algormo de escalado afín El análss de la convergenca del presene algormo, es más complejo que el de oros méodos de puno neror. Lo que se epondrá en ese rabajo, es la convergenca, para el caso donde ano el programa prmal, como el dual son no degenerados. En prmer érmno se demosrará que s la sucesón de punos y ( y, z ) convergen y lo hacen haca los punos ópmos de los programas ( P ) y ( D ) respecvamene. Los punos y y z son precsamene las varables duales defndas en ( 3.), a las cuales por convenenca, se les han añaddo el superíndces correspondene a la eracón Teorema 3.0. Dado un Programa Maemáco Lneal al que llamaremos ( P ), con domno admsble acoado y su correspondene dual ( D ). S la sucesón de punos, y y z generado por el méodo de Escalado afín, converge haca los punos, y y z. Enonces el puno es ópmo para el programa ( P ) y el par ( y, z ) es ópmo para el programa ( D )

122 Demosracón Consderemos dos punos en la sucesón y, que perenecen al domno admsble del programa ( P ). + Luego A ( - ) A - A + 0 Ulzando ese resulado y las defncones de en ( 3.), en ( 3.3 ) y el proceso eravo ( 3.), la dsmnucón del coso que se obene + al pasar de a, puede escrbrse como: + + coso c ( - ) c + ( - ) ( y ) A ( - + ) + (c A y ) ( - ) + (z ) ( - ) (z ) ) - - (z ) - (z ) - Dz 3.4 (z ) (X ) z (z ) ( ) ( )z X z X z X z coso X z Pero como se defnó en (3.) y en (3.0), se ene mín : 0 mín z : z 0 3.5

123 ma z : z 0 Ahora acoando : S se ulza la propedad que para cualquer vecor u : u u, luego se cumple: má z z 0 X z Al susur esa úlma epresón en 3.5, se obene: X z coso X z X z X z Ahora como la sucesón de cosos c T es decrecene y acoada nferormene, por ser el domno admsble de ( P ) acoado, enonces la sucesón es convergene y se verfca que: Lím + coso Lím c ( - ) c ( - ) c ( 0 ) Al combnar las úlmas relacones, se obene: Lím X z..., n 0 Lím z 0, para,, 3.6 Como las sucesones y z, convergen haca y z respecvamene, se ene que: z 0, para,,..., n 3.7 Tambén por ser del domno admsble de (P ), se ene: A b 3.8 Segudamene se demosrará que z 0 3

124 Procedendo por el absurdo. Supóngase que ese aún z < 0; luego ese un índce, al que para K >, se cumple que z < 0. S se escrbe el proceso eravo generador de la sucesón oma su -ésma componene, como: - ( ) z y se Al consderar K >, se conclurá que > > 0,(pues > 0, > 0 y la suposcón que z < 0 ) Por ano z < 0, lo que conradce la relacón ( 3..4 ). Concluyendo que: + + c T + T + T ( - ) c ( - ) (y ) A ( - ) + z Como z c - A y. Por ( ), por las condcones ( 3.6 ), ( 3.7 ) y ( 3.8 ) y el eorema de la holgura complemenara; se concluye que y el par ( y, z ), son solucones ópmas de los programas ( P ) y ( D ) respecvamene. T El resulado aneror supone que las sucesones, y y z son convergenes. El sguene eorema demuesra que s se verfca la hpóess y la hpóess 3, de no degeneracón de los programas prmal y dual; las presenes sucesones son, de hecho, convergenes. Teorema 3.0. S los programas ( P ) y ( D ) son no degenerados con y el domno admsble del programa ( P ) es acoado, enonces para odo < las 4

125 sucesones e y, que genera el méodo del Escalado afín, son convergenes Demosracón Se dvdrá la demosracón en res pares: En la pare : Se demosrara que la sucesón En la pare : Que cualquer subsucesón de es acoada converge haca una solucón básca facble En la pare 3: Que la solucón básca facble a la cual converge cualquer subsucesón de es únca. Queda garanzada así que la sucesón sucesón y es convergene ( y a su vez ambén la.- Dado que el programa ( P ) ene un domno admsble que es acoado y al gual que su correspondene dual ( D ) son no degenerados, ene un únco puno donde el programa oma su solucón ópma Sea al solucón ópma de ( P ) Consderemos el sguene programa Má (Q) S. a. A b n j j c c 0 Es fácl noar que el domno admsble es acoado, pueso que es un subconjuno del domno admsble del programa P. Ese programa ene un valor ópmo fno y es únco. 5

126 Por oro lado s se desplaza el hperplano c paralelo así msmo para 0 obener c es decr ese, al que c + c. S 0 es la solucón ncal, generada por el algormo del escalado afín, eso mplca que el sguene programa: Má n j S. a. A b j c c 0 0 Tambén ene un valor ópmo acoado. Por ano, el conjuno de punos S : A b, c c, 0 es acoado; pues S F y F es acoado (de no ser así T T 0 Má n j j, sería no acoado) Por oro lado se recordará que la sucesón algormo del Escalado afín, resula decrecene. Por lo ano perenece al conjuno, generada por el en una sucesón que la sucesón es acoada, ya que S es acoado. Luego por ser S. Luego se concluye una sucesón acoada y ulzando un resulado del análss maemáco (Teorema de Bolzano Weersrass), se puede conclur que ese una subsucesón j que converge a un puno c líme. A connuacón se demosrará que ese puno líme, es una solucón básca facble. En efeco. Consderemos la solucón del programa ( P ):,, 3,.., : > 0, por ser ( P), no degenerado, se ene que m. El eorema de esenca de solucones facbles para un PML, afrma que s ese una solucón ópma facble para el 6

127 programa ( P ); esrá ambén una solucón básca facble y ópma ( s. b. f.o. ), Sea B la marz básca asocada a. Con esa base se elegrá la varable asocada a B. Por ano se puede selecconar ˆ ˆ, ˆ, ˆ 3,.., ˆ m: ˆ > 0 del subconjuno ; de forma que las columnas, a,.., a, de la marz A, asocadas a esas varables, sean lnealmene ndependenes; lo que haría que la solucón además de ser facble y no degenerada, sea básca Sea, a,.., a, la marz básca asocada y c c B,.., c el vecor de coefcenes de la funcón objevo asocados a las varables báscas facbles Por oro lado, por defncón se ene: z c - A y y por la relacón ( 3.6 ), del Teorema 3.9.3, se cumple que ( c - y ) 0, para,, 3,.., m j Las componenes de convergen haca, para,, 3,.., m, y son posvas porque B es un índce básco; es decr es un membro de B, B,, B m I B Luego se concluye que c - B j y debe converger haca 0, para garanzar ( 3.6 ) B a a 3 c B Lím j a a 3 j B m B a B m j De aquí debdo a que B es no sngular se deduce que y converge B T j B m haca c B - B 7

128 Por lo ano se concluye que odas las componenes - y, convergen haca - B c, valor que concde con el coso reducdo asocado a la componene La no degeneracón del programa dual ( D ), garanza que el coso - reducdo c - B c B 0, para oda B ( que no es varable básca). T a c a - B B B Enonces para las varables no báscas se ene que el coso reducdo c a j c a - - B c, convergen a un valor dferene de cero. Por lo que B ulzando una vez más ( 3.5 ), se ene que 0, Por lo ano las B 3 componenes,,,.., : serán esrcamene m posvas; garanzando de esa forma que el puno líme sea una s. b. f. Además, por la forma como fue elegda Se ha demosrado que la sucesón ene un puno líme y que ése es una s. b. f.o. del programa ( P ). Segudamene se demosrará que ese puno líme es únco Tómese el real 0, de al forma que cualquer componene de una s. b. f. sea mayor que. Ese valor sempre esrá ya que la solucón del programa ( P ) es no degenerada y cada una de sus componenes son esrcamene posvas. Sea 3, dado que cualquer puno líme es es una s. b. f. ese un, al que para cualquer K, ˆ < Procedendo por el absurdo: Supóngase que eseran dos solucones dferenes y ˆ y ales que para K : 8

129 + y ˆ 3.30 Consdérese ahora que ( 0); eso es la varable no es básca pero es básca en ˆ ( ). Al susur 0 en la prmera relacón de ( 3.30 ) y ulzando el hecho que u u u, para cualquer vecor u; se ene que: < 3.3 De forma smlar al susur en la segunda relacón de ( 3.30 ), se obene: + + ˆ - ˆ + ˆ - Pero de, se ene que - - ; de donde se ene que + -, por ser 3, se ene: 3.3 Al ulzar la ecuacón del esquema eravo ( 3.), la defncón de en ( 3.) y la epresón de longud de paso mámo ( 3.5 ), se obene + + ˆ + ( - + ( - ( ) z ) ( - má z, 0 má z, 0 z ) z ) 3.33 Al ulzar un argumeno smlar al ulzado al fnal del Teorema 3.3, se puede afrmar que : 0 (lo que posbla asegurar que ˆ 0) De la relacón ( 3.33 ), la suposcón que < y ulzando ( 3.3) y ( 3.3 ), se obene fnalmene: 9

130 + ( + ) < + Lo que es una conradccón. Concluyendo que el puno líme es únco y que la sucesón, converge a él. Como ha quedado demosrado anerormene, la sucesón y converge ambén a B ; la solucón dual asocada a. c B - Observacón 3.0. S 3y el valor del programa es acoado, las sucesones y y generadas por el presene algormo, convergen. 0

131 CAPÍTULO 4: METODOLOGÍA 4. Tpo y Dseño de Invesgacón La nvesgacón es descrpva, se presenan los méodos smple y escalado afín para mosrar las venajas del méodo de escalado afín frene al smple. Se compara el empo de ejecucón del algormo del MAE con el del Smple Presenar una aplcacón: un caso para domno admsble acoado con solucón ópma no degenerada y solucón dual ópma únca. La que será epuesa en varas pares, la prmera de ellas, empeza, comparando el méodo de Escalado Afín de paso coro, que fue la propuesa orgnal de Dn en 967, para segudamene presenar la manera como se elge la dreccón de mejora; avanzando luego con la nueva solucón del programa, para fnalmene arrbar a ravés de dversas eracones a la solucón ópma del programa. Inssendo en los dealles de la búsqueda, ya que el rabajo como su nombre lo ndca es dfusón del Mae

132 CAPITULO 5: RESULTADOS Y DISCUSIÓN Prmero se presena un caso en que se aplca el escalado afín de paso coro (creado por Dn en 967), en el segundo caso se aplca el de paso largo (que fue una mejora al de Dn nroducda por Vanderbe en 986), en el ercer caso se desarrolla el procedmeno para mejorar el valor acual del programa ulzando la dreccón de búsqueda (ambén arbudo a Vanderbe), hasa llegar a la solucón opma, ulzando el MAE. Fnalmene se comparó el empo de ejecucón del MAE con el méodo smple. 5.. Aplcacón del méodo escalado afín Caso Tómese nuevamene el programa R Se segurán las eapas a, b y c: Eapa a: Escalameno del programa medane las relacones (3.8) (3.7) y Tómese en el neror del domno admsble del programa R Gráfca n º 4: Curvas de nvel y puno neror, facble e ncal

133 Solucón ncal 0 (0.5, 0.350) 0 Curvas de nvel En ese puno el valor del programa es (0) c (0) c , Fuene propa (0) (0) Al aplcar la ecuacón (3.8) : c X c y A AX, se endrá (0) A AX A (0) (0) c X c De esa manera el programa escalado R será 3 Mn f() S

134 La sguene gráfca muesra el domno admsble del programa escalado Gráfca n º 5: Domno admsble del programa escalado Domno admsble del programa escalado Fuene propa Eapa b: Ulzando la relacones (3.9),, (3.0) y (3.) se obendrá el vecor gradene proyecado; que da la dreccón de movmeno (para mejorar el valor acual del programa): En efeco -X (c - A y), con y ADA -X (z) ADc Hacendo las operacones correspondenes 4

135 D X AD AD ADA Es una marz de rango compleo ( m ), ya que A lo es. Tambén la marz X posee no menos de m componenes posvas; luego la marz ADA ADA ADA es nverble 5

136 ADA Por oro lado ADc y ADA ADc A y z c - A y X (z)

137 De esa manera la dreccón de mejorameno en el nuevo domno admsble del programa R ; será: La sguene gráfca muesra la dreccón acual del programa c., en que mejorará el valor Gráfca n º 6: Dreccón de mejora en el programa escalado Fuene propa 7

138 Pero en ese domno admsble, sólo se esá neresado en obener el gradene proyecado ; que permrá r mejorando el valor del programa. En consecuenca se ejecuará la eapa C del algormo ; eso hallar + Eapa C: vuela al programa orgnal X La sguene gráfca, presena la dreccón de mejora 8

139 Gráfca n 7: Dreccón de mejora da eracón Dreccón de mejorameno (0.5, 0.350) X Fuene propa Caso - Consdérese nuevamene el programa R Mn f() S R Esandarzando y escalándolo, se ene el programa : Mn f() S

140 Se sabe que con ese escalado el puno en el programa orgnal, queda ransformado una esfera. n e (,..., ), en el nuevo espaco, que es De acuerdo a (3.7), el programa escalado R, oma la forma R Eso es Mn f() S ( -) + ( -) + ( 3 -) + ( 4 - ) ( 5 - ) Se verfcará que el domno admsble es efecvamene una esfera de cenro e y rado r De las resrccones: prmeras, segunda y ercera, se ene respecvamene , 4 y Al susur esas varables en la cuara resrccón: ( -) +( -) +( 3 -) +( 4 -) +( 5 -), ( que es una hperesfera) Se ene ( -) + Ejecuando operacones smplfcadoras, se obene la ecuacón de la elpse ( -) ( - ) ( - ) ( )

141 , que es pare consuyene del programa escalado que y que represena la nerseccón de la hperesfera con los hperplanos en el domno admsble del programa escalado, que se llamará R y que se reescrbe como: Mn f() S.a , Segudamene se ene la gráfca del domno admsble del programa R 3 sobre Gráfca n º 8: Proyeccón de la nercepcón, sobre el plano, Proyeccón de la esfera de rado r, que conene al programa escalado sobre el espaco (, ) Fuene propa 3

142 En 3, la gráfca de la nerseccón de la hperesfera con los hperplanos en el domno admsble del programa escalado, es la sguene: Gráfca n º 9: Proyeccón de la nercepcón, sobre el plano, Inerseccón de la esfera unara, con los hperplanos, resrcvos del programa escalado Fuene propa Tambén se ene el elpsode en el domno admsble del programa R : X 3

143 Gráfca n º 30: Cenro de la elpse del programa orgnal Elpse que ene como cenro la solucón ncal Fuene propa Tambén se ene el elpsode en el domno admsble del programa : X Lo que garanza que dcho puno sea neror, es que < R En la relacón (3..) se mosró como obener X P c Esa forma de elegr, para obener + + Incluye mplícamene la eleccón de en el esquema eravo: + + Es llamado "Méodo Ieravo de Escalado Afín de Paso Coro" En el "Esquema de Paso Coro" se puede aprecar que no se calcula, debdo a que la longud de paso vene dada por la relacón Pc, la que conduce hasa la fronera del elpsode, el érmno desempeña un papel smlar al msmo érmno del algormo de paso largo; acora el paso realzado, alejándose de la fronera del elpsode y en el de paso largo de alguna cara de domno admsble, defnda por 0 33

144 Los elpsodes se adapan según el escalado a la forma del domno admsble Obvamene s en ves de permanecer en la fronera del elpsode, se connúa el avance, hasa alcanzar alguna cara defnda por 0, al y como se realza en el algormo de paso largo; dsmnurá el valor del programa Caso - 3 Tómese nuevamene el P. M. L. del Ejemplo 3.4 Se esá ahora en condcón de poder eponer las eapas del algormo Consdérese nuevamene el programa R Mn f() S Y su forma esándar correspondene: Consdérese el programa R Mn f() S Y du forma esándar correspondene: Mn f() S

145 Compleameno de la resolucón, con el méodo Se segurán las eapas a, b y c: Para el puno ncal , 0.35,.5, 0.475, 3., que 0 perenece al neror de su domno admsble, se ene c Tómese En la prmera eracón del algormo, se ene y (ADA ) ADc Así by 5,, Obenéndose como Gap (brecha) dual Lo que sgnfca que c b y 0 c (.34573) aún no es ópmo, se hallará segudamene Se ene que 0 Como Con el nuevo puno , se endrá la sguene eracón

146 Segunda Ieracón X (0) (0) Al aplcar la ecuacón (3.8) : c X c y A AX, se endrá () A AX A (0) c X c De esa manera el nuevo programa escalado R 4 será 3 4 Mn f() S ( -) + ( -) + ( 3 -) + ( 4 -)

147 ( 5 -) Se verfcará una vez más, que el domno admsble es efecvamene una esfera de cenro e y rado r De las resrccones: prmeras, segunda y ercera, se ene respecvamene , 4 y Al susur esas varables en la cuara resrccón ( -) +( -) +( 3 -) +( 4 -) +( 5 -), ( que es una hperesfera) Se ene ( -) + ( -) ( ) ( - ) ( - ) 0.55 Ejecuando operacones smplfcadoras, se nuevo programa escalado R 5 Mn f() S.a Segudamene se ene la gráfca del domno admsble de ese programa en 37

148 Gráfca n º 3: Proyeccón de la nercepcón, sobre el plano, Inerseccón de la esfera unara, con los hperplanos, resrcvos del programa escalado Fuene propa En 3, la gráfca de la nerseccón de la hperesfera con los hperplanos en el domno admsble del programa escalado, es la sguene: 38

149 Gráfca n º3: Proyeccón de la nercepcón sobre el plano, y 3 Inerseccón de la esfera unara, con los hperplanos, resrcvos del programa escalado Fuene propa Tambén se ene el elpsode en el domno admsble del programa R : X Gráfca n º 33: Elpse cuyo cenro es el avance en la da eracón Elpse que ene como cenro la Nueva solucón Fuene propa 39

150 Cuadro n º : Conene odas las eracones, que conducen al ópmo ITERACIONES VARIABLES Fuene propa F.O. Gap La sguene gráfca muesra la secuenca de punos algormo de escalado afín, para llegar a la solucón ópma seguda por el 40

151 Gráfca n º34: Conene la secuenca de punos X, obendos al resolver el programa Gráfca de la secuenca de punos, obendos al resolver el programa Fuene propa Fgura Análss, nerpreacón y dscusón de resulados Como se ha poddo aprecar, medane las lusracones que se han desarrollado, el MAE ha funconado sn perurbacones, debdo a que se han segudo escrupulosamene los pasos que ese ndca; sn embargo se debe remarcar los pelgros de su esabldad y convergenca, cuando una o más componenes del vecor solucón, se acerca a el o (los) hperplanos, que forman la fronera del domno admsble Tambén se observa que un crero de parada, puede ser, cuando el vecor de coefcenes c, de la funcón objevo del programa orgnal, se ha vuelo orogonal al subespaco nulo de la marz A, de coefcenes del programa; eso es; esen escalares no negavos, conendos en el vecor y, que combnados con los vecores flas de la marz A; epresan el vecor c 4