Representación VEC. Planteamiento de un sistema de ecuaciones. Esquema de retroalimentación. , pero requiere

Transcripción

1 Represenacón VEC Dado que las relacones económcas enre varables no se presenan esrcamene en un sendo específco, es decr, puede exsr enre ellas esquemas de reroalmenacón o complejos mecansmos de rasmsón de efecos se hace necesaro el planeameno de un ssema de ecuacones caracerzado por un conjuno de parámeros y sus relacones. Esquema de reroalmenacón Planeameno de un ssema de ecuacones El esquema VAR perme esmar el conjuno de parámeros del ssema, que las varables bajo análss sean esaconaras. Que sucede s la eoría económca sugere que la relacón debe ser esudada enre varables no esaconaras? Θ, pero requere La solucón a al nerrogane esá dada enre oros por: Johansen (988) Sock-Wason (993) Phllps-Hansen (99) 45

2 Esa consse en la búsqueda de una o más combnacones lneales de dchas varables que sean esaconaras y que a su vez mnmcen la varanza de la represenacón VAR esaconara conocda como: Vecor Error Correcon: (VEC) de la varables bajo esudo S exse por lo menos una combnacón lneal esaconara enre las varables bajo esudo, la esmacón del conjuno de parámeros Θ se lleva a cabo a ravés de un mecansmo, el cual parendo de la esmacón de los parámeros en el VEC perme dervar ésos para el VAR. Una vez superado el problema de la esmacón del ssema se planean dferenes objevos: - Esudo de relacones de coro y largo plazo enre las varables - Generacón de pronóscos lbres y/o condconados Johansen, S. (988), Sascal Analyss of Conegrang Vecors, Journal of Economc Dynamcs and Conrol, No. 2. Phllps, P. C. and Hansen, B. E. (99), Sascal Inference n Insrumenal Varables Regresson wh I() processes, Revew of Economc Sudes. Sock, J. H. and Wason, M. W. (993), A Smple Esmaor of Conegrang Vecors n Hgher Order Inegraed Sysems, Economerca, No

3 - Análss de Impulso-Respuesa - Descomposcón de varanza - Evaluacón de esabldad de parámeros - Comprobacón de relacones de causaldad - Deermnacón del grado de exogenedad - Valdacón e mposcón de resrccones de carácer económco - Bajo mecansmos de smulacón, reconocmeno de la reaccón del ssema ane cambos de comporameno de varables sujeas a decsones de políca económca. 47

4 Defncones báscas y concepos Defncón : Un proceso lneal es defndo por donde C z C z es convergene para z δ ; δ > Y C ( ) Secuenca de varables aleaoras ndependenes e dencamene dsrbudas Con meda cero y marz de varanza covaranza Ω Defncón 2: El proceso lneal C es I s C Y ( ) C S. Johansen, (995), Lkelhood-based nference n conegraed vecor auo-regressve models. Advanved Texs n Economercs P. Hansen y S. Johansen, (998), Workbook on Conegraon. Advanved Texs n Economercs 48

5 Defncón 3: Un proceso esocásco X se dce negrado de orden I( d) s d ( X E X ) es I( ) d, ( ) La propedad de esar negrado esá relaconada con la pare esocásca del proceso dado que se le resa su valor esperado. El concepo de I( ) esá defndo sn permr érmnos deermníscos como meda y endenca. No hay resrccones sobre los nveles de un proceso negrado, solo las dferencas. Defncón 4: S es I y A es una marz de rango compleo enonces es ambén X ( ) ( ) Un proceso,i es no esaconaro dado que: X X Y AX I( ) X donde Y ~I( ) Lema : Sea z C z C convergene para z < δ para algún δ >.Se defne C C j ( ) ( ) C C ( z) y z Enonces es convergene para z < δ yδ > C C ( z) C( ) ( z) C ( z) j 49

6 Así: ( ) ( ) Y Y C L C L C C Y Y Y C X Y X X Proceso no esaconaro dado que C Para un vecor cualquera es esaconaro se ene que X C Defncón 5: Sea negrada de orden. Se dce que esá conegrada, con vecor de conegracón S es esaconaro. El rango de conegracón es el numero de relacones de conegracón lnealmene ndependenes y el espaco espanddo por las relacones de conegracón se Defne como el espaco de conegracón. X X X 5

7 Ejemplo: X X X (, 2,) (,,) Vecores de conegracón para X? (, 2,) (,,) X X 2 2X 2 X X Procesos esaconaros 5

8 Se debe mosrar que es. Es decr que como prmera dferenca de es X ( ) I Y X ( ) I ( ) ( ) C C X Y 2 C C C Y es esaconara 52

9 Endogenzacón a pror Sean x y y varables negradas de orden, I(), sobre las cuales la eoría económca sugere la exsenca de una relacón esable de largo plazo. La evaluacón de la relacón de largo plazo podría llevarse a cabo medane la sguene forma funconal: donde y x es esaconaro por ser el resulado de la combnacón enre las varables x y y las cuales esán conegradas. Una represenacón equvalene a () se ene cuando se planea: () ( ) y y α y x µ (2) y ~ I() Porcón α del dsancameno frene a su nvel de equlbro en (-) 53

10 reescrbendo (2) se ene: 2, 3, L, T ( ) y α y x µ (3) MCE La represenacón (3) no es la únca relacón que se puede dervar de la dupla ( x. ) Una relacón smlar a (3) puede ser planeada para x : y 2, 3, L, T ( ) x α 2 y x µ 2 (4) S el objevo propueso es la evaluacón de la relacón enre los componenes de la dupla ano () como (5) lo permen. ( x. ) y, 2, L, T x φ y 2 (5) Teórcamene, s se ene que φ Ese hecho no se ene en muesra pequeña, por consguene, el nvesgador debe decdr sobre el carácer endógeno de las varables. 54

11 S el propóso de la esmacón es enconrar un mecansmo que perma deermnar el nvel esperado de la dupla o de cada una de las componenes en el período es necesaro consderar (3) y (4) de manera conjuna, a α 2 menos de que fuese gual a la varable x sería exógena en la dupla: x. ( ) y En general, al consderar ssemas de más de dos varables, el análss de conegracón se orna más complejo ya que puede exsr más de una combnacón lneal esaconara de las varables. El llevar a cabo las pruebas radconales de conegracón bajo esmacón unecuaconal, las cuales permen como máxmo enconrar un vecor de conegracón, conduce a una pérdda de nformacón valosa sobre el ssema y por consguene, el méodo de esmacón es nefcene. 55

12 Cuhberson (992) señala como en un ssema de res varables, la exsenca de conegracón bajo MCO no garanza la uncdad del vecor de conegracón debdo a que pueden exsr dos vecores conegranes y el enconrado ser sólo la combnacón lneal de ellos. Mehra (996) explca como s exsen dos vecores de conegracón, en el análss unvarado se ome, en la marz de dseño, uno de los desequlbros y por consguene se produce un sesgo por mala especfcacón. 56

13 Conegracón bajo el Ssema: Meodología de Johansen Johansen (988) : () esablece un mecansmo de reconocmeno conjuno de odas las posbles relacones conegranes exsenes denro del vecor de varables negradas de orden d, I( d) ; d Es de señalar que, en ese conexo no se exge que odas las varables esén negradas de orden d. Ese esquema dfere del dado por Engle-Granger (987): gual orden de negracón. Se elmna, por ano, el problema de a lo sumo un vecor de conegracón y en consecuenca, el problema de la endogenzacón a pror. (2) Consruye un modelo en la versón esaconara de las varables, el cual nvolucra las resrccones de largo plazo exsenes y garanza una mnmzacón de la varanza del error. Johansen, S. 988 Sascal Analyss of Conegrang Vecors, Journal of Economc Dynamcs and Conrol, No

14 Objevos: () Deermnar el número de vecores de conegracón enre las P varables (2) Esmar el ssema conformado por dchas P varables, consderando las resrccones de largo plazo s ésas exsen La meodología propuesa por Johansen pare de una represenacón auorregresva de orden k: VAR(k), al como sgue: donde se ene: Y Y µ A Y L AY k, L, T k k vecor de orden PX conformado por la -ésma observacón de las P varables. (6) A L,, K marces de orden PXP coefcenes por esmar vecor aleaoro conformado por P perurbacones esocáscas ndependenes con: Σ E [ ] marz de varanza- covaranza 58

15 De acuerdo con Lukephol, y al gual que en el caso unvarado, bajo exsenca de conegracón de rango (6) puede ser reescra como sgue: r Y µ F Y L Fk Yk ΠY k, L, T (7) Π I A A p k L F Aj, L, k j k En algunas ocasones (7) oma la sguene presenacón: Y µ D Y L Dk Yk ΠYk k, L, T (8) D Ip A j, L, k j Lukepohl, H. 993 Inroducon o Mulple Tme Seres Analyss, Sprnger-Verlag, Second Edon. 59

16 En el caso de que la marz Π exsa y que ΠY ΠY o sean esaconaras k ano la represenacón (7) como la (8) se consuyen como modelos vecorales de correccón de errores de orden (k-). VEC(k-) Los modelos (7) y (8) permen separar la esaconaredad de Y en la provenene de: () sus cambos rezagados () sus combnacones lneales esaconaras (seres negradas) En ese conexo Johansen (988) resuelve dos nerroganes sobre Π garanza, a ravés de una prueba de hpóess, su descomposcón en dos marces: α y () el de su exsenca () el de su esmacón a la solucón de una ecuacón caracerísca en R p de al forma que: Πα a ravés de vecores y valores propos perenecenes 6

17 Algunas consderacones maemácas y esadíscas sobre el méodo de Johansen (988) Bajo el supueso sobre exsenca de Π la represenacón (8) puede reescrbrse como sgue: Y α Yk µ D Y L Dk Yk k, L, T (9) S se dsrbuye normal mulvarado (,Σ ) se ene la sguene funcón de verosmlud en érmnos de T T 2 L( α,, Σ, D, L, D k ) Σ ex p Σ 2 S la marz Π α fuese conocda, los esmadores máxmo verosímles de los D dervados de () concdrían con los obendos por MCO. Dado que Π es no conocda, y que se supone su exsenca, Johansen consruye una prueba que perme verfcar ésa y enconrar sus valores a parr de la concenracón de la funcón de verosmlud () en los parámeros de nerés α y () Johansen, S. (988). Sascal Analyss of Conegrang Vecors, Journal of Economc Dynamcs and Conrol, 2. R. Harrs, (995) Conegraon Analyss n Economerc Modellng, Prence Hall. 6

18 Johansen pare de un mecansmo que perme elmnar las dependencas de carácer lneal que podrían ener: Y y Y k de { Y L } al planear la sguene ecuacón para,, Y k α R R k : Correccón de la dnámca de coro plazo () donde R R k Y Y k k k ρ Y η Y (2) R R y vecores (Px) que pueden ser nerpreados como resduales, de la -ésma k observacón, de las regresones auxlares: Y Y k en funcón de en funcón de { Y L },, Y k Cuhberson, K., Hall, S. and Taylor, M. 993 Appled Economerc Technques, Mchgan Press. R. Harrs, 995 Conegraon Analyss n Economerc Modellng, Prence Hall S. Johansen, 995 Lkelhood-Based Inference n Conegraed Vecor Auo regressve Models 62

19 Al reemplazar en la ecuacón () a por () se ene la sguene funcón de verosmlud: L R R R R 2 T T 2 ( α,, Σ) Σ exp ( o α k) Σ ( o α k) (3) dervar respeco a se enen los sguenes esmadores para α y Σ αˆ ( ) S ( S ) k kk Σˆ ( ) S αˆ( ) Sk (4) Σˆ ( ) S S k( S kk ) S k donde S j T RRj, j, k T ˆ Σˆ ( ) El esmador máxmo verosíml de esá dado por que mnmza 63

20 En general se ene para A, B, C marces cuadradas y no sngulares A B B C AC BA B C ABC B S S kk S SkkSk SSk Skk SSk( Skk) Sk S S k A C B Σ ( ) Σˆ ( ) S S S kk S S ( S S S S ) kk S k kk kk k S k S k (5) Dada una funcón f ( x) X X MX NX su maxmzacón se resuelve a ravés de un problema de valores propos de ρnm

21 La esmacón máxmo verosíml del conjuno de vecores de conegracón se reduce a enconrar un que mnmce: M N S S kk kk s k S Mnmzar S S X La solucón que produce la esmacón de ( S S S S ) kk S k kk Funcón objevo: S k ( S S S S ) kk S Se puede obener una solucón para que mnmce consderando: ( ) Para formular el problema de valores propos ρs Σˆ kk S k kk kk S k k SSk (6) ( ρ) S S S S S kk kk k k 23 λ 64

22 Johansen muesra que al mnmzacón puede ser llevada a cabo resolvendo un problema de valores propos: λs kk S k SSk La solucón da p valores propos λ, L,λ p y podemos expresar el deermnane de la marz de var-cov resdual como: Σˆ p ( ) S ( λ) Banerjee, A., Dolado, J., Galbrah, J. and Hendry D. 994 Conegraon, Error Correcon, and The Economerc Analyss of Non-saonary Daa, Oxford Unversy Press. Juselus, K. 26. The Conegraed VAR model. Mehodology and Applcaons, Advanced Texs n Economercs 64

23 Sea de Λ : marz dagonal que consse en los valores propos: S S S k k ( λ > λ > L> λ ) 2 con respeco a S kk que sasfacen la ecuacón caracerísca: P λ S kk S k S S k (8) Sea Ψ : marz de los vecores propos correspondenes a los valores propos anerores: ( v > v > L> ) 2 v P ) 2) ( S S S Ψ) S k k kk Ψ S Ψ kk I ΨΛ De esa forma, el esmador de máxma verosmlud para esá dado por las prmeras r columnas de Ψ Selecconadas a parr de una prueba secuencal 65

24 r Aquellos elemenos en Ψ, los cuales deermnan las combnacones lneales de las relacones esaconaras pueden ser denoados ˆ ( vˆ, L, vˆ r ) vecores de conegracón Lo aneror se explca porque los valores propos son las mayores correlacones canóncas Enre los resduales de los nveles R y los resduales de las dferencas. k R Se obenen las esmacones de odos los dsnos ˆy que producen una ala correlacón con y elemenos esaconaros v Tales combnacones deben ser vecores de conegracón pueso que deben ser I() para alcanzar al correlacón. Así, la magnud de λˆ es una medda de que an fuere es la correlacón enre la relacón de conegracónvˆ y ˆ y y la pare esaconara del modelo. ( ) Las úlmas nr combnacones ndcan no esaconaredad y no correlacón con los elemenos esaconaros del modelo. 66

25 Los prmeros r vecores propos de S S S k k con respeco a S kk se conocen como covarables canóncas y los correspondenes valores propos son las correlacones canóncas cuadradas de con respeco a R k R o Desde un puno de vsa de algebra lneal, los prmeros r vecores propos de S S S con respeco a S kk conforman el núcleo del espaco de k k Johansen usa los valores propos que se dervan de (8) para enconrar por máxma verosmlud el esmador de : $Σ e ( ) T 2 ln p r ( Σˆ T T T ) S ( ˆ j) lns ln( ˆ ln λ λj) 2 j 2 2 j (9) 67

26 COINTEGRACIÓN BAJO JOHANSEN Esraega economérca Reconocmeno de vecores de conegracón Evaluacón de combnacones conssenes con la demanda Evaluacón del modelo economérco parcular Tes de exclusón sobre la endenca Evaluacón del ssema Tes de exclusón Tes de esaconaredad Tes de exogenedad débl Pruebas mulvaradas sobre comporameno de los resduales Pruebas de esabldad de los vecores de conegracón 68

27 Ssema: { LM, LY,LIPC, T } Promedo Fn de Trmesral LM : LBASE LBASEA LM LM3B LY: LIPROD LPIBK T: TCDT DIFER DIFER2 DIFER DIFER2 Tasa Exerna - Tasa de M3B Tasa Acva - Tasa de M3B Modelos economércos: CIDRIFT DIFRIT Rezagos :,...,6 Muesra 982: - 999:3 986: - 999:3 69

28 Consruccón de las pruebas La decsón acerca de la exsenca de r vecores de conegracón La seleccón de las r prmeras columnas de Ψ, con Ψ $, se lleva a cabo a parr de una prueba de razón de verosmlud o es de la raza: ( λ) Traza 2R T ln $ p r (2) Bajo H se planea la exsenca de como máxmo r vecores de conegracón y bajo la alerna más de r. Prueba secuencal que fnalza al no enconrar evdenca para rechazar H Exse una segunda prueba equvalene a (2) Prueba del máxmo valor propo: v ( λˆ ) T ln r (2) Bajo H : r vecores de conegracón H a : r vecores de conegracón Noa: La hpóess sobre conegracón se conoce como H 2 7

29 Una vez deermnado $ es posble esmar α medane (4) $ α donde: $ $ $ Πα (22) α : (Pxr) marz de ajuse : (Pxr) marz de vecores de conegracón Noa: Los r vecores de conegracón deermnados por (2) y/o (2) conforman el núcleo del espaco de conegracón de las varables analzadas. OTRO vecor conegrane, dferene de los r vecores del núcleo, es combnacón lneal de ésos. El número de vecores de conegracón r (,,,p) deermnan el rango de la marz Π : () r No exsen vecores de conegracón: VAR en dferencas (2) rp el rango de la marz Π es compleo, lo cual sgnfca que las varables consderadas a lo sumo son esaconaras en la endenca y por lo ano, la esmacón VAR en nveles es adecuada. Pruebas (2) y (2) ~ raíz unara mulvarada 7

30 (3) <r<p la marz Π es de rango r y por lo ano exsen r combnacones lneales esaconaras o vecores de conegracón. La esmacón VAR debe ser realzada a ravés del esquema VEC La esmacón VAR de las seres esaconaras, es decr, en dferenca, cuando en sus nveles ésas esán conegradas, enen un sesgo de especfcacón debdo a la no consderacón de un regresor: Y - : en (9) Y -k : en (8) Valores crícos :Johansen y Juselus (99) Oserwald-Lenum (992) Correccón muesra pequeña Pruebas: Valores crícos: ( ) T PK T T TPK ( ) Johansen, S. and K. Juselus (99). Maxmun Lkelhood Esmaon and Inference on Conegraon - Wh Applcaons o he Demand for Money, Oxford Bullen of Economcs and Sascs, 52. Oserwald-Lenum, M (992) A noe wh Fracles of he asympoc dsrbuon of he maxmum lkelhood conegraon rank es sascs: four cases Oxford Bullen of economcs and sascs. Cheung, Y. and K. La (993) Fne-Sample Szes of Johansen s Lkelhood rao es for conegraon, Oxford Bullen of Economcs and Sascs,

31 Valores Crícos y Deermníscas COINTEGRATION ANALYSIS Endogeneous seres : PROD EMP DESEMP SALR TINT Deermnsc seres : Unresrced consan and rend n con. space 3 cenered seasonal dummes Effecve sample : 985: TO 24:4 Lag(s) n VAR-model : 4 No. of observaons : 8 Obs.- no.of varables: 55 I() ANALYSIS Egenv. L-max Trace H: r p-r L-max9 Trace CIDRIFT 73

32 Traza Valores Propos: r p-r r r r2 r3 r N. Obs Máxmo Valores Propos: valor r p-r r r r2 r3 r N. Obs

33 COINTEGRATION ANALYSIS Endogeneous seres : PROD EMP DESEMP SALR TINT Deermnsc seres : Unresrced consan 3 cenered seasonal dummes Effecve sample : 985: TO 24:4 Lag(s) n VAR-model : 4 No. of observaons : 8 Obs.- no.of varables: 56 I() ANALYSIS Egenv. L-max Trace H: r p-r L-max9 Trace DRIFT 74

34 COINTEGRATION ANALYSIS Endogeneous seres : PROD EMP DESEMP SALR TINT Deermnsc seres : Consan resrced o con. space 3 cenered seasonal dummes Effecve sample : 985: TO 24:4 Lag(s) n VAR-model : 4 No. of observaons : 8 Obs.- no.of varables: 56 I() ANALYSIS Egenv. L-max Trace H: r p-r L-max9 Trace CIMEAN 75

35 Traameno de las Componenes Deermníscas El uso de las ablas esá condconado al raameno de las componenes deermníscas denro del modelo. El esquema deallado de Hansen y Juselus (995) en CATS n RATS pare de que se ene que: k Y, L, T µ δ F Y F Y α Y ωd L (23) k k La presenca de: µ Y exhbe endenca lneal µ y δ Y exhbe endenca cuadráca ω Y exhbe parones esaconales modelables a ravés de varables dummes cenradas, las cuales no afecan los valores crícos ya presenados. Esá la endenca vnculada con el esquema de coro o de largo plazo? es decr: Consdera la relacón de conegracón de manera explíca el componene de endenca o por el conraro, ése debe ser esmado por fuera de la relacón de largo plazo? Manual de CATS n RATS. 76

36 Caracerzacón de la endenca en un modelo VEC: k k D Y Y F Y F Y ω α δ α µ α 2 2 L (24) r r rp p p r δ δ δ µ µ µ L L L M M M M L La consderacón de ( ),, r µ µ µ L y ( ),, r δ δ δ L en la marz sgnfca: que las relacones de equlbro de largo plazo se alcanzan consderando como pare de la combnacón lneal un nercepo y una componene de endenca. La relacón enre (23) y (24): se esablece s µ α µ α µ 2 δ αδ α δ 2 Johansen, S. (994). The Role of he Consan and Lnear Terms n Conegraon Analyss of Nonsaonary Varables, Economerc Revews, 3. 77

37 Caso A El modelo VAR(k) consdera endenca cuadráca en las varables. La represenacón VEC(k-) consdera endenca lneal: y µ δ Esmacón (23) Caso B Elmna del modelo VAR(k) la endenca cuadráca En la represenacón VEC(k-) se mpone δ 2 Esmacón (24) Caso C El modelo VAR(k) consdera endenca lneal en las varables La represenacón VEC(k-) consdera µ Esmacón (23) Caso D El VEC(k-) consdera an solo nercepo en la relacón de largo plazo Esmacón (24) Msas, M. y H. Olveros (997) Conegracón, Exogenedad y Críca de Lucas: Funcones de Demanda de Dnero en Colomba: un ejercco mas, Borradores Semanales de Economa, No. 75 Subgerenca de Esudos Económcos, Banco de la Repúblca. 78

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39 ( ) ( ) [ ] r T r H r QH ln 2ln λ λ ( ) ( ) [ ] r T r H r QH 2 2 ln 2ln λ λ ( ) ( ) [ ] P r T r H r QH ln 2ln λ λ ( ) ( ) [ ] P r T r H r QH ln 2ln λ λ

40 Una vez se han denfcado las componenes deermníscas relevanes, la longud del rezago y el número de vecores de conegracón Méodo de Johansen - Juselus (99) Se puede pasar, s se consdera necesaro, a la eapa de confronacón de la veracdad de combnacones lneales y/o resrccones sobre los parámeros α H 3 H 4 Conjuna: H 5 Ecuacón caracerísca: Valdacón sobre resrccones lneales en los parámeros de conegracón : H 3 : Πα Φ H donde Φ :( sxr) yh: ( pxs) λ R H SkkH H Sk S S kh Johansen, S. and K. Juselus (99). Maxmun Lkelhood Esmaon and Inference on Conegraon - Wh Applcaons o he Demand for Money, Oxford Bullen of Economcs and Sascs,

41 Ejemplo Relacón de largo plazo planeada por la eoría de pardad del poder de compra: PPP Análss sobre ( ) ( ) Z e, P, P ~ I e : Tasa de cambo P : Preco exerno P : Precos nernos La eoría económca planea una relacón de largo plazo al que: e P P ~ I( ) Así, al enconrar bajo Johansen que exse un vecor de conegracón (r) se ene: e P P ~ I ( ) 2 3 La resrccón económca reduce el número de parámeros ndependenes de conegracón de res a uno 8

42 Por consguene, la marz HΦ de la sguene manera: 2 Φ 3 H donde Φ : H: ( x) ( ) 3x marz de parámeros no conocdos marz de resrccones al que: Φ, Φ 3 2 8

43 Dado que H es conocda, para obener una esmacón de Φ Φ debe ser reemplazado por HΦ en el procedmeno dscudo. La esmacón resrngda de HΦ se derva de la sguene ecuacón caracerísca: λ R H SkkH H Sk S S kh donde solo se ulza la nformacón de la marz H y en consecuenca, los R valores propos defndos como λ (,,r) y sus r vecores propos no requeren del conocmeno de Φ La verfcacón de la PPP se esablece a ravés de un es que nvolucra los NR λ (,,r) y los obendos bajo la resrccón. Π Φ H α R ( ) H 3 : es decr: HΦ r [ ( ) ( )] λ 2 ln QHR r HNR r T ln λ NR ~ χ 2 ( r ps ) 82

44 Ejemplo 2 Dos vecores de conegracón (r2) Supóngase que se desea mponer las sguenes resrccones: H 3 : HΦ, φ φ φ 2 φ Es decr: φ, φ , lbres

45 Valdacón sobre resrccones lneales en los parámeros:α H 4 : Π Ψ A ( ) ( ) A : pxm yψ: mxr Ecuacón caracerísca: S S S S λ R kk. b kab. aab. ak. b S T R R, j a, k jb. T R AR S S BR, R R S S BR a o ab bb o k k kb bb o S BS B, S AS B, S S B bb ab kb k donde B A r [ ( ) ( )] λ 2 ln QHR r HNR r T ln λ R NR ~ χ 2 ( ) ( r p m ) 84

46 Valdacón sobre resrccones conjunas en los parámeros : α y H 5 : Π AΨΦH A :( pxm) yψ: ( mxr) Φ :( sxr) yh: ( pxs) r [ ( ) ( )] λ 2 ln QHR r HNR r T ln λ R NR ~ χ 2 ( ) ( ) ( r p s p m ) 85

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48 Exogenedad y Causaldad El mecansmo de modelzacón economérca propueso por el LSE provee un marco de referenca adecuado para nroducr la dscusón sobre exogenedad y Causaldad Pare del concepo de proceso generador de daos conjuno: es decr, de la dsrbucón conjuna de varables aleaoras: JDGP Procede, a la facorzacón adecuada del JDGP con el propóso de garanzar que la represenacón selecconada del problema bajo esudo perma un acercameno al fenómeno. 86

49 que facle: () la esmacón de los parámeros de nerés (2) el alcance de los objevos (3) la nerpreacón de los resulados x Dado un vecor de p varables, se defne como el conjuno de nformacón complea en el momeno ( ) a la marz: X ( x, x2, L, x) de al forma que, la probabldad conjuna de la muesra x, JDGP, se descrbe como: ( ; Θ) JD x X (25) JD: funcón de densdad conjuna Θ Conjuno de parámeros desconocdos El proceso de modelzacón del LSE consse en smplfcar (25) medane: () resrccón, () margnalzacón y () especfcón de una forma funconal Con el fn de alcanzar una represenacón JDGP smple y con sendo económco 87

50 ( ; Θ) JD x X (, : Θ ) (, : Θ ) ( : Θ ) C Y Y Z M Z Y Z N U X 2 3 En (26) se consderan: (26) Varables endógenas de nerés Y Varables exógenas de nerés Z Varables que no son de nerés U donde C: densdad condconal M: densdad margnal Dado que, a ravés de la eoría económca, el conjuno de varables de no nerés puede ser reducdo al conjuno vaco, la facorzacón en (26) puede ser reescra como: ( ; Θ) JD x X (, : Θ ) M ( Z Y, Z : Θ ) C Y Y Z 2 (27) Cuhberson, K., Hall, S. and Taylor, M. 993 Appled Economerc Technques, Mchgan Press. Charemza, W. and D. Deadman 997 New Drecons n Economerc Pracce, Edward Elgar, Second Edon. 88

51 En noacón general se ene: ( ; Θ) F ( Y Z ; Θ ) F( Z ; Θ ) F x 2 (28) x yz z La valdez de la facorzacón presenada en (28) se alcanza en la medda en que el conjuno de varables Z sea exógeno débl. Es decr que el conjuno de varables que perenencen a C sea ndependene de forma conemporánea de aquellas que perenecen a M. Exogenedad débl Una varable (o un conjuno de varables) Z se consdera exógena débl para los parámeros de nerés : Ψg( Θ) en una muesra deermnada s y solo s exse una reparamerzacón de Θ : de al forma que: () Ψ ( Θ ) (, ) Θ Θ Θ 2 g, es decr, los parámeros de nerés an solo son funcón de los parámeros asocados a la dsrbucón condconal Ercson, N.R. and J.S. Irons (994) Tesng Exogeney, Advanced Tex n Economercs, Oxford Unversy Press. 89

52 (2) La facorzacón presenada en (28) se cumpla. Es decr, que los parámeros Θ Θ y 2 varíen lbremene Θ Θ xθ Exogenedad fuere 2 Una varable (o un conjuno de varables) Z es exógena fuere s: () Es exógena débl respeco a los parámeros de nerés (2) No es causada bajo Granger por las endógenas rezagadas: Y -j. Es decr, la varanza resdual del modelo sobre Z no dsmnuye de manera sgnfcava al adconar, a su propa hsora, la hsora de las endógenas. Super Exogenedad La varable (o conjuno de varables) Z alcanza ese grado de exogenedad s () Es exógena débl respeco a los parámeros de nerés (2) Los parámeros de la dsrbucón condconal son nvaranes respeco a cambos sufrdos por los parámeros asocados a la dsrbucón margnal F( Z ;Θ ) z 2 En la dsrbucón margnal se aslan aquellos parámeros asocados a las varables que esán sujeas a shocks exernos al ssema, los cuales afecan a Θ 2 pero no se propagan a Θ 9

53 En ese sendo, el concepo de super exogenedad esá nmamene relaconado con la Críca de Lucas S Z, en un modelo dnámco, es super exógena y se ve afecada por un cambo de régmen, el modelo condconal no esará sujeo a la famosa críca de Lucas La super exogenedad perme efecuar análss de políca por no esar el modelo condconal sujeo a la críca de Lucas. S se supone que los modelos condconal y margnal represenan las decsones de los agenes y las de los polcymakers, respecvamene, bajo super exogenedad el vecor de parámeros de los agenes:, es Θ nvarane a cambos en las reglas de políca que enran al ssema vía Θ 2 9

54 Ejemplo: Funcón de demanda, vecores de conegracón : donde W M CPI RL INC Represenacón VAR(2) W µ AW A W 2 2 (29) A α α2 α3 α4 f f f f α α α α f f f 2 f α α α α f f f 3 23 f α α α 2 3 α f f f f 44 (29A) A 2 f f f f f f f f f f f f f f f f

55 Represenacón VEC() W µ F W αw (3) donde W M CPI RL INC µ µ µ 2 µ 3 µ 4 α α α 2 α 3 α 4 F f f f f f f f f f f f f f f f f [ ] (3A) Ssemas parcales Johansen 992 muesra la posbldad de planear ssemas parcales a parr de modelos condconales al que se presena la sguene separacón: W (dmensón P) Y Z (dmensón P Y ) (dmensón Pz) 93

56 El modelo planeado en (3) puede ser descompueso en: () Un modelo condconal de Y (2) Un modelo margnal de Z ( ) ( ) Y µ ζµ α ζα W ζ Z F ζf W ζ Y Z Y Z Y Z Y Z (3) donde Z () αy ( PY x r) yαz ( PZ x r) () µ ( P x ) y µ ( P x ) Y Y Z µ α W F W Z Z z Z son submarces de α son subvecores de µ () FY ( P x P) y FZ ( P x P) Y Z son submarces de F (v) ζ Σ ( Σ ) YZ ZZ de orden P Y x P Z Z (32) S se consdera, por ejemplo, a Z conformado an solo por el ngreso real INC y a Y por las resanes varables: (M, CPI, RL ) se ene que (3) y (32) 94

57 conforman la facorzacón presenada en (26), después de elmnar el conjuno de nformacón N de acuerdo al modelo eórco de demanda. Ψ En caso de que: ( ) g Θ los modelos condconal y margnal (3) y (32) dependen de En consecuenca, Z adquere la condcón de exogenedad débl s y solo s: α Z en (32) el modelo margnal no depende de los parámeros de nerés INC : exógena débl en el ssema en la represenacón VAR(2) (29) α 4 Es decr, la ecuacón del ngreso real en (3) no consdera la resrccón de largo plazo como deermnane de su dnámca. La condcón de exogenedad fuere es alcanzada por el ngreso real, s sendo ése exógeno débl, se ene: f 4 f 42 f 43 en (29A) y (3A) 95

58 Es decr, la varable INC no es causada en el sendo Granger por las varables: (M, CPI, RL ) El ngreso real es super exógeno s: () es exógeno débl () los parámeros del modelo condconal no se ven afecados por nervencones sobre los parámeros del modelo margnal, es decr, Θ no es funcón de Θ 2 Pruebas sobre exogenedad Las represenacones condconal y margnal presenadas en (3) y (32) mplcan exogenedad débl de las varables Z respeco a los parámeros s y solo s es posble probar que α Z La verfcacón de H :α Z puede llevarse a cabo medane H 4 Puede enenderse como la mposcón de una resrccón lneal sobre uno o unos de los coefcenes de la marz de ajuse α Esadísca de prueba: r [ ( ) ( )] λ 2 ln QHR r HNR r T ln λ R NR ~ χ 2 ( ) r x P z 96