ANÁLISIS DE DURACIÓN. Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data J. M. Wooldridge 2002, MIT Press

Transcripción

1 ANÁLISIS DE DURACIÓN Economerc Analyss of Cross Secon and Panel Daa J. M. Wooldrdge 22, MIT Press A Companon o Theorecal Economercs Eded by B. Balag 21, Blackwell Publshers Economerc Theory and Mehods R. Davdson and J.G. MacKnnon 24, Oxford Unversy Press Mcroeconomercs C. Cameron and P. Trved 25, Cambrdge Unversy Press M. Msas A. 1

2 En economía algunas varables de respuesa son dadas en érmnos de duracón Tempo ranscurrdo hasa que cero eveno ocurre Semanas de desempleo Duracón de una huelga Tempo ranscurrdo anes de cambar de carro El análss de duracón ene sus orígenes en lo que se conoce como análss de sobrevvenca: donde la duracón de nerés es el empo que ranscurre hasa que el ndvduo muere En cencas socales se esá neresado en cualquer suacón en donde un ndvduo o frma comenza en un esado ncal y se observa su salda de ése La medcón de duracón reflea: la candad de empo que ranscurre anes de que cero eveno ocurra la candad de empo que ha pasado desde que un cero eveno omó lugar Eemplos: 1. Tempo que oma a una persona desempleada enconrar un rabao Tempo de desempleo s un rabao no ha sdo enconrado 2. Tempo ranscurrdo enre dos compras del msmo produco 3. Longud de una huelga M. Msas A. 2

3 Eemplo 1: Duracón de una huelga Varable obevo: duracón de las huelgas en las ndusras manufacureras en USA: Medcón: número de días desde el momeno en que se nca la huelga La muesra consa de 566 observacones de duracón de huelgas La duracón promedo de la huelga es 43.6 días ( dur) La medana esá alrededor de 28 días Sn embargo, 9 días después del momeno ncal 88 huelgas sguen en progreso Esmacón de la funcón de sobrevvenca Proporcón de huelgas ncadas que aún esán en progreso después de un número de días específcos La funcón nca en 1 y monoóncamene declna haca cero Probabldad de sobrevvenca Duracón de la huelga en días M. Msas A. 3

4 Sea z la desvacón del produco de su nvel de endenca o gap del produco Indcador de la poscón del cclo económco Valores posvos del gap ndcan que se esá por encma del nvel de endenca de largo plazo y vceversa. Puno de nerés: probar s la duracón promedo de las huelgas es procíclco o ancíclca: ( dur) z < ( dur) z > Una forma smple de dar respuesa a esa preguna es modelar la expecava condconal de ln( dur ) a ravés de una regresón lneal enre el ln( dur) y el gap del produco o regresor z M. Msas A. 4

5 Puno de nerés: modelar la probabldad de que una huelga que ha llegado al momeno ermne en el momeno + 1 Puno de nerés: modelar la probabldad condconal de que una huelga en progreso ermne como funcón de la longud de la huelga y del cclo económco Eemplo 2: Para una poblacón que esá desempleada durane un período parcular se pueden observar nveles de educacón, experenca, ec. Medcones al ncar el período de desempleo Esmar los efecos de las covarables en la duracón esperada Cada observacón en la muesra consse en una medcón de duracón y un vecor de varables exógenas X, de amaño kx1 En la prácca, el nerés en general no se cenra en deermnar como se relacona con X sno en la forma como la probabldad de permanecer en el esado camba con el ncremeno de la duracón. Eemplo 3: Se podría esar neresado en deermnar como la probabldad de que alguen encuenre empleo camba en la medda en que el empo de desempleo aumena. M. Msas A. 5

6 En la prácca, el nerés se cenra en la preguna de que ano connuará la duracón, dado que ésa no ha culmnado La asa Hazard mde la posbldad de que la duracón ermne ahora, dado que no había ermnado anes El chance de: 1. Enconrar un rabao 2. Comprar por segunda vez un produco 3. Fnalzar una huelga Los modelos de duracón esán expresados en érmnos de asas Hazard. La preguna economérca es: Como esmar las asas hazard a parr de la nformacón de la duracón? Algunos concepos báscos La duracón en un esado es una varable aleaora no negava, denoada por: T M. Msas A. 6

7 Funcón Hazard y funcones relaconadas Aproxmacón a la probabldad de salr del esado ncal en un nervalo coro, condconal a haber sobrevvdo hasa el comenzo del nervalo. Juega un papel cenral en el análss moderno de duracón Duracón T denoa la duracón en un esado, sgue una dsrbucón poblaconal parcular En análss de sobrevvenca longud de empo en la cual un ndvduo vve Tempo en el cual una persona, hogar, frma, ec. dean el esado ncal ( ) Valor parcular en T T Eemplo 4: S el esado ncal es desempleo, T podría ser el empo, meddo en semanas, hasa que la persona se convere en empleado. Es decr, que abandone el esado de desempleo. La funcón de dsrbucón acumulada de T esá defnda por: F ( ) p( T ), M. Msas A. 7

8 La funcón de sobrevvenca ( ) F( ) PT ( ) S 1 > Probabldad de sobrevvr pasado el momeno La funcón de densdad df f ( ) d ( ) ( T < + ht ) Connua y con funcón de dsrbucón acumulava dferencable h>, P Probabldad de abandonar el esado ncal en el nervalo [ + h), dado que ha sobrevvdo hasa el momeno La funcón hazard para T λ( ) P lm h ( T < + ht ) h Tasa nsanánea de abandono del esado por undad de empo λ ( ) h P ( T < + ht ) Aproxmacón a la probabldad condconal M. Msas A. 8

9 Eemplo 5: S T es el empo de desempleo, meddo en semanas, enonces λ( 2) es aproxmadamene la probabldad de reornar al empleo enre las semanas 2 y la 21. La frase reornando al empleo reflea el hecho de que la persona esaba desempleada hasa la semana 2. Eso es, λ( 2) es la probabldad de reornar al empleo enre las semanas 2 y 21, condconal a haber esado desempleado hasa la semana 2 Eemplo 6: Supóngase que T es el número de meses anes de que un prsonero poencal sea arresado por un crmen. Enonces λ12 ( ) es la probabldad de ser arresado durane el mes 13, condconal a haber esado lbre durane el prmer año. M. Msas A. 9

10 Funcón Hazard, funcón de densdad y funcón de dsrbucón acumulava ( T + ht ) P ( T < + h) P ( ) PT F ( + h) F( ) 1 F( ) λ ( ) lm h f 1 f S F ( + h) F( ) ( ) F( ) ( ) ( ) h 1 1 F ( ) Cuando la funcón de dsrbcón acumulada es connua Dado que la dervada de S ( ) es f( ) y que F se ene λ ( ) dlogs d dlog1 d ( ) ( F( ) ) λ ( s) ds exp log1 λ dlog1 ds ( F( s) ) ( F( ) ) ( s) ds log1 ( F( ) ) λ ( ) ( s) ds 1 F( ) M. Msas A. 1

11 Así: F ( ) 1 exp λ( s) ds Dferencando se obene la funcón de densdad: f ( ) exp λ( s) ds ( λ( ) ) λ ( ) exp λ( s) ds Por consguene, odas las probabldades pueden ser calculadas ulzando funcones Hazard a 1< a 2 ( a T a ) PT P 1 F 1 F ( a2) ( a ) exp a2 [ a ( s) ds] 2 1 λ 1 1 [ ds] a2 ( a T a T a ) 1 exp ( s) a λ 1 M. Msas A. 11

12 Funcón Hazard acumulada: Λ ( ) ( s) λ ln ds S( ) Es de nerés porque puede ser esmada con mayor precsón que la funcón Hazard. Dferenes funcones asocadas a la Dsrbucón Normal M. Msas A. 12

13 Informacón dscrea En general, es común que una duracón sea medda como un nervalo. Por eemplo, la nformacón puede ndcar que la ranscón o el abandono del esado ncal ocurró en una semana parcular, pero el momeno exaco en la semana no esé dado. En ales casos, el empo de ranscón debe ser agrupado y se supone que la funcón Hazard denro del nervalo es consane. Modelos Hazard de empo dscreo raan con al conuno de nformacón M. Msas A. 13

14 Funcón Hazard de empo dscreo: El puno de parda es defnr la funcón Hazard de empo dscreo como la probabldad de ranscón en un momeno dscreo de empo, 1,2,L dado que se ha sobrevvdo hasa el empo : λ PT f S [ T ] d ( ) ( ) d donde S d d ( a_ ) lms ( ) a_ [ T ] P > Funcón de sobrevvenca de empo dscreo es obenda recursvamene a ravés de las funcones Hazard S d ( ) PT [ ] ( 1 λ) M. Msas A. 14

15 Eemplo 7: [ T ] P > 2 Probabldad de no ranscón en el momeno mulplcado por la probabldad de no ranscón en el momeno 2 condconal a haber sobrevvdo usamene hasa anes de P 2 [ T > ] ( 1 λ )( λ ) Es una funcón escalonada crecene o decrecene? Funcón Hazard acumulava de empo dscreo: Λ d ( ) λ La probabldad de que el eveno ermne en es d λs ( ) M. Msas A. 15

16 Censurameno en el análss de duracón La nformacón de duracón o sobrevvenca es usualmene censurada En el momeno de la medcón, el eveno o la duracón podría no haber culmnado S la persona observada es aún desempleada S el clene observado no ha comprado el produco nuevamene S la huelga observada aún connúa Mecansmos de censura Censurameno derecho: se observan los períodos desde el momeno hasa un momeno de censura. c Algunos casos endrán su fnal durane el período de esudo períodos compleados. Pero oros esarán ncompleos y fnalzarán en el nervalo ( c, ) M. Msas A. 16

17 Censurameno zquerdo: los períodos ermnan en algún empo en el nervalo pero el momeno exaco no se conoce (,c) Censurameno en nervalo: la duracón del período compleado es observada pero * * 1, solo en el nervalo [ ) 2 El análss de sobrevvenca se concenra en censura derecha Modelos no paramércos Esmacón no paramérca de modelos de duracón o sobrevvenca. Méodo úl con propósos descrpvos. Es mporane conocer la forma de la Hazard o de la funcón de sobrevvenca báscas anes de nroducr regresores M. Msas A. 17

18 S no exsese censura, un esmador de la funcón de sobrevvenca sería: uno menos la funcón de dsrbucón acumulava muesral. Ŝ( ) Número de casos en la muesra de duracón mayor que dvddo por el amaño de la muesra N Funcón escalonada con un brnco en cada momeno dscreo de fracaso Sea empos dscreos observados de fracaso de las duracones en 1< 2 < L< < L< k la muesra de amaño N para N k. d El número de duracones que fnalzan al momeno Algunos pueden esar observados de manera ncomplea m Número de duracones con censura a la derecha en el nervalo [ ) [ ) De las duracones censuradas en, +1 se conoce que el momeno de fracaso es mayor que, +1 M. Msas A. 18

19 Las duracones esán a resgo de fracaso s ellas no han fallado aún o no han sdo censuradas r Número de duracones en resgo al momeno _ usamene anes del momeno ( d + m ) + + ( d + m ) ( d + m ) r L r N 1 k k ll l l Resumen: d Número de duracones o casos que culmnan al momeno m Número de duracones censuradas en [, +1) r + Número de duracones en resgo al momeno _ ( d m ) Dado que λ P[ T T ] ll Un esmador obvo de la funcón Hazard es el número de casos que ermnan al momeno dvddo por el número de casos en resgo de fracaso al _ l l λˆ d r M. Msas A. 19

20 2 O esmador de produco líme de la funcón de sobrevvenca en la muesra: ( ) ( ) r d r S λˆ 1 ˆ Esmador de varanza de Greenwood: ( ) [ ] ( ) ( ) d r r d S S V 2 ˆ ˆ ˆ Los nervalos generalmene reporados para se basan frecuenemene en mas que en,esa ransformacón asegura que el nervalon de confanza cae en el rango de la funcón sobrevvenca. La ransformacón conduce a un nervalo de confanza al ( ) S ( ) ( ) ln lnŝ ( ) Ŝ ( )% 1 1 α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z Z d s s S S S σ ασ α ˆ ˆ 2 2 exp ˆ, exp ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ln ˆ s d d r d r r d σ Dada la funcón de sobrevvenca de empo dscreo, se defne al esmador Kaplan-Meer Varanza de ( ) ( ) ln lnŝ

21 M. Msas A. 21 El esmador de Nelson-Aalen de la funcón Hazard acumulava dscrea se defne como : ( ) Λ r d λˆ ˆ Esmador de varanza: ( ) [ ] Λ r d V 2 ˆ ˆ La ransformacón lleva a un nervalo de confanza ( )% 1 1 α ( ) ( ) Λˆ ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Λ Λ Λ Λ Λ Z Z σ ασ α ˆ ˆ 2 2 exp ˆ, exp ˆ donde ( ) ( ) Λ Λ Λ 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ V σ

22 Incalmene se enen 8 observacones 6 saldas en 1 4 censuradas en [, 1 2) 5 saldas en 2 3 censuradas en [, 2 3) 2 saldas en 3 1 censurada en [, 3 4) Cómo esmar la funcón Hazard y la funcón de sobrevvenca para 3? M. Msas A. 22

23 Informacón Connua Tpos de funcón M. Msas A. 23

24 M. Msas A. 24

25 Consane ( ) λ λ, Todo el proceso que guía a T es un proceso sn memora Dado que F ( ) 1 exp λ( s) ds 1 exp λ ds La probabldad de salr en el próxmo nervalo no depende de que ano empo se ha gasado en el esado ncal F ( ) 1 exp( λ) Funcón de dsrbucón acumulada de la dsrbucón exponencal. Igualmene, s T sgue una dsrbucón exponencal, ésa ene una funcón hazard consane M. Msas A. 25

26 No consane el proceso exhbe dependenca en la duracón Suponendo λ( ) dferencable 1. Dependenca posva de la duracón al momeno s: 2. S dλ d ( ) >, > dλ d ( ) > La probabldad de salr del esado ncal se ncremena en cuano mayor sea la permaneca en ése 3. S la dervada es negava Dependenca negava en la duracón Eemplo f T sgue una dsrbucón Webull F α ( ) exp( γ ) 1 ( γ α) α α ( ) αγ 1 exp( γ ) Funcón Hazard: λ( ) f 1 ( ) F( ) αγ α 1 Parámeros posvos M. Msas A. 26

27 λ( ) γ α 1 S funcón exponencal Funcón Hazard consane funcón de dsrbucón acumulava exponencal S α > 1 funcón Hazard monoóncamene crecene dλ d ( ) α 2 ( α 1) αγ >, > Dependenca posva de la duracón S < 1 α ( α 1) γ > < > α 2 > dλ d ( ) <, > Dependenca negava de la duracón La dsrbucón Webull es una forma smple de capurar dependenca de la duracón M. Msas A. 27

28 Eemplo λ γα 1+ γ α 1 Funcón Hazard Log-Logísca: ( ) α ( γ α) Parámeros posvos α λ( ) S 1 γ 1+ γ Monoónca decrecene S < 1 λ ( ), α ( ), λ No es acoada cuando S α > 1 ( α 1) La funcón Hazard se ncremena hasa y luego decrece hasa cero γ 1 α A parr de la negracón de la funcón Hazard se ene: λ α 1 γαs α ( s) ds ds log1 ( + γ ) 1+ γs α log1 α ( + γ ) 1 M. Msas A. 28

29 En ese caso F α ( ) 1 exp[ ( log1 ( + γ )] ( ( ) ) α 1 1 explog1+ γ α 1 ( 1+ γ ) 1 Dferencando con respeco a se ene γ α αγ α 1 α ( 1+ γ ) 2 αγ α 1 α ( ) 2 1+ γ Por consguene: f ( ) αγ α 1 ( 1+ γ) M. Msas A. 29

30 Modelos de regresón paramérca Covarables nvaranes en el empo de esudo En economía se esá neresado en funcones Hazard condconales a un conuno de covarables o regresores. Cuando ésas no camban en el empo, como es frecuene, dada la forma como se recoleca la nformacón. La funcón Hazard se deermna condconal a las covarables: λ ( ; X) P lm h Vecor de varables explcaoras ( T < + ht, X) h λ ( ; X) f 1 ( X) F( X) Funcón de densdad de T dado S es una funcón dferencable X x λ( ; X) En general se esá neresado en el efeco parcal de sobre, lo cual es defndo como la dervada parcal en el caso en que x sea connua y como la dferenca cuando es dscrea M. Msas A. 3

31 En el caso en que la duracón empece en fechas calendaro dferenes se puede nclur ndcadores de nco denro de las covarables. Igualmene, se pueden consderar problemas Referenes a esaconaldad. Modelos Hazard proporconales (; X) ( X) λ ( ) λ κ Caso especal con regresores nvaranes en el empo κ () > funcón no negava de X ( ) λ baselne Común a odas las undades de la poblacón. Las funcones Hazard ndvduales dferen proporconalmene de acuerdo con la funcón κ X de covarables observadas. > ( ) En general es paramerzada como κ( X) exp( Xβ) lnλ ( ; X) lnλ ( ) + Xβ β Mde la sem elascdad de la Hazard con repeco a ( ) S x logz elascdad de la Hazard con respeco a z x M. Msas A. 31

32 Eemplo S T es la duracón del desempleo X podría nclur: educacón experenca en el mercado laboral esaus maral género número de hos raza Covarables nvaranes, meddas al ncarse el desempleo Esmacón máxma verosíml En ese caso se consdera la duracón como connua y se rabaa bao análss paramérco f T * ( X,θ) Duracón sn censura Funcón de densdad condconal θ X Vecor qx1 de parámeros Conuno de regresores, los cuales pueden varar por ndvduo pero no a ravés del empo del análss de la duracón del ndvduo La duracón observada podría ser la longud de un caso ncompleo el conuno de daos debe ser aumenado por una varable que ndque la presenca de censura. M. Msas A. 32

33 La conrbucón de las observacones no censuradas a las verosmlud f( X,θ) De las observacones con censura a la derecha solo se conoce que su duracón excede al momeno, su conrbucón a la verosmlud La densdad para la ésma observacón [ ] f( ux, θ) PT > ( ) ( ) f X, θ δ S X, θ 1 1 δ S du F( X, θ) ( X, θ) δ varable ndcadora de censurameno derecho δ 1 no censura censuraderecha El esmador MLE θˆ maxmza la sguene funcón de verosmlud lnl ( θ) [ N δlnf( X, θ) + ( 1 δ) lns( X, θ) ] 1 Supone ndependenca de las observacones M. Msas A. 33

34 lnl ( θ) [ N δlnf( X, θ) + ( 1 δ) lns( X, θ) ] 1 Casos compleados Casos censurados a la derecha Dado que F ( ) 1 exp λ( ) d 1 F( ) exp λ( ) lns lns lns S ( ) exp λ( ) ( ) ln exp λ( ) ( ) λ( ) ( ) Λ( ) d d d d lnl( θ) [ N δlnλ( X, θ) Λ( X, θ) ] 1 f ln ( X, θ) λ( X, θ) S( X, θ) f( X, θ) lnλ( X, θ) + lns( X, θ) M. Msas A. 34

35 Eemplo: MLE - Dsrbucón Webull λ S α 1 ( ) αγ ; α >, γ > α ( ) exp( γ ) ' Los regresores pueden ser ncludos de dversas formas. Una usual es consderar γ expx ( β) α no varía con los regresores y garanza que γ > ln ( X, β, α) lnλ( X, β, α) lns( X, β, α) α 1 lnαγ + lnexp [ ( γ )] α ' α 1 α lnexp [ ( X β) ] α + lnexp( γ ) f + [ ] lns ' X β+ lnα+ α ( X, β, α) ln[ exp( γ )] exp ( X ' β) α ' ( α 1) ln( ) exp( X β) α M. Msas A. 35

36 lnl N ' ' α ' α ( θ) { δ [( X β) + lnα+ ( α 1) ln( ) exp( X β) ] + ( 1 δ ) exp( X β) } 1 N ' ' α { δ[ ( Xβ) + lnα+ ( α 1) ln( ) ] exp( Xβ) } 1 Condcones de prmer orden: lnl β N 1 ' α ( δ exp( X β) ) X lnl α N 1 1 δ + ln α ln exp ' ( X β) α La forma usual de nerprear las esmacones de un modelo de regrecón no lneal es consderar el efeco de los regresores sobre la meda condconal. Se puede calcular la longud esperada de duracones o casos compleados a dferenes valores de X Deermnar la forma de la funcón Hazard M. Msas A. 36

37 Covarables varanes en el empo El esudo de las funcones Hazard es más complcado cuando se desea modelar el efeco de covarables cambanes en el empo. Carece de sendo especfcar la dsrbucón de la duracón T condconal a las covarables en un solo período de empo. Se deben defnr probabldades condconales apropadas, que conduzcan a la funcón Hazard. Sea vecor de regresores al momeno, vecor aleaoro que descrbe la poblacón Para sea X( ), denoa la evolucón de las covarables hasa el momeno : X X ( ) ( ) { X( s) : s } La funcón Hazard condconal en el momeno ( ) λ( ; X( ) ) lm h ( T < + ht, X( + h) ) P h Un caso donde ese líme exse es cuando es connuo y para cada en para odo h [, η( ) ] para alguna funcón η. ( ) T X ( + h) es consane M. Msas A. 37

38 Eemplo 8: Modelos Hazard proporconales En ese caso, la funcón que mulplca el baselne es usualmene: κ[ X( ) ] exp[ X( ) β] Log-logsc λ( ; X( ) ) exp [ X( ) β] α [ X( ) β] α 1 α { 1+ exp } M. Msas A. 38

39 Algunos arículos M. Msas A. 39

40 M. Msas A. 4

41 M. Msas A. 41

42 M. Msas A. 42

43 M. Msas A. 43