LA MODELIZACIÓN DE PROCESOS

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1 L MODELIZIÓN DE ROESOS En ese capíulo, se presena una meodología en desarrollo para modelos dnámcos de procesos químcos. Después de esudar ese capíulo, el esudane debería ser capaz de: Escrbr las ecuacones de balance usando los méodos negrales o nsanáneos. Incorporar relacones consuvas apropadas en las ecuacones. Deermnar el esado, varables de enrada y salda, y parámeros para un modelo parcular (conjuno de ecuacones. Deermnar la nformacón necesara para resolver un ssema de ecuacones dnámcas. Defnr varables admensonales y parámeros que ajusan a escala las ecuacones. Las seccones mporanes son: necedenes Ecuacones de balance 3 alances de maera 4 Relacones consuvas 5 alances de maera y energía 6 Ssemas de parámeros dsrbudos 7 Modelos admensonales 8 Solucones eplícas a modelos dnámcos 9 orma general de modelos dnámcos

2 NTEEDENTES Hay muchas razones para desarrollar la modelzacón de procesos. Mejorar o enender la operacón de un proceso químco es un objevo global mporane para desarrollar un modelo dnámco del proceso. Esos modelos se usan frecuenemene para: ( el adesrameno del operaro ( el dseño del proceso, (3 dseño o análss de ssemas de segurdad, (4 o dseño del ssema de conrol. El adesrameno del operaro. Las personas responsables de la operacón de un proceso químco de fabrcacón se conocen como operaros de proceso. Un modelo dnámco del proceso se puede usar para realzar smulacones para enrenar a los operadores de proceso, con la msma línea que los smuladores de vuelo se usan para enrenar a los ploos de avones. Los operadores de proceso pueden aprender la respuesa a condcones molesas, anes de ener que epermenarlas en el proceso real El dseño del proceso. El modelo de un proceso dnámco se puede usar para dseñar adecuadamene los equpos de un proceso químco a un rmo de produccón deseado. or ejemplo, un modelo de un reacor químco dsconnuo se puede usar para deermnar el amaño apropado del reacor para producr un deermnado produco a un rmo deseado. La segurdad. Los modelos de procesos dnámcos se pueden ambén usar para dseñar ssemas de segurdad. or ejemplo, se pueden usar para deermnar cuáno empo llevará después de que una válvula falle para que el ssema alcance una cera presón. El dseño del ssema de conrol. Los ssemas de conrol por reroalmenacón se usan para manener las varables del proceso en valores deseables. or ejemplo, un ssema de conrol puede medr la emperaura de un produco (una salda y ajusar el flujo de vapor (una enrada para manener esa emperaura deseada. ara ssemas complejos, parcularmene aquellos con muchas enradas y saldas, es necesaro basar el dseño del ssema de conrol en un modelo del proceso. Tambén, anes de que un ssema de conrol complejo sea mplemenado en un proceso, se prueba normalmene por smulacón la acuacón del msmo usando smulacón por compuadora. EUIONES DE LNE El énfass en un lbro de eo nroducoro de balances de maera y energía esá en las ecuacones de balance en esado esaconaro que enen la sguene forma: masa o energía masa o energía enrando en el abandonand o el 0 ssema ssema (ecuacón La ecuacón (es engañosamene smple porque hay muchas enradas y saldas, parcularmene por los balances a los componenes. Los érmnos de enrada y salda nclurían

3 enonces la generacón y la conversón de especes por reaccón químca, respecvamene. En ese eo, esamos neresados en balances dnámcos que enen la forma (ecuacón : acumulacó n de masa o enrada de masa o salda de masa o energía en el ssema por energía en el ssema por energía del ssema por undad de empo undad de empo undad de empo El rmo de acumulacón de masa en un ssema ene la forma dm/ donde M es la masa oal en el ssema. Smlarmene; el rmo de acumulacón de energía ene la forma de/ donde E es la energía oal en el ssema. S N se usa para represenar los moles de componene en un ssema, enonces dn / represena la velocdad molar de acumulacón del componene en el ssema. uando se resuelve un problema, es mporane especfcar lo que se quere decr con ssema. En algunos casos el ssema puede ser mcroscópco por nauraleza (un elemeno dferencal, por ejemplo, menras que en oros casos puede ser macroscópco por nauraleza (el conendo líqudo de un anque de mezcla, por ejemplo. Tambén, cuando se desarrolla un modelo dnámco, podemos omar uno de los dos punos de vsa generales. Un puno de vsa esá basado en un balance negral, menras que el oro esá basado en un balance nsanáneo. Los balances negrales son parcularmene úles cuando se desarrollan modelos para ssemas de parámeros dsrbudos, de los que resulan ecuacones dferencales parcales; el foco de aencón en ese eo esá en los modelos basados en ecuacones dferencales ordnaras. Oro puno de vsa es el balance nsanáneo donde la velocdad de cambo se epresa drecamene.. alances negrales Un balance negral se desarrolla observando un ssema a dos dferenes punos nsanáneos en el empo. onsdérese un nervalo de empo fno,, y hágase el balance de maera en ese nervalo de empo (ecuacón 3 masa o energía masa o energía masa o energía masa o energía denro del ssema denro del ssema que enra al ssema que abandona a empo + a empo desde hasa + desde hasa + el ssema Los eoremas del valor medo del cálculo negral y dferencal se usan enonces para reducr las ecuacones a ecuacones dferencales. or ejemplo, consderar el ssema mosrado en la gura, donde un líme represena la masa en el ssema a empo, menras que el oro líme represena la masa en el ssema a +. masa en el ssema a empo masa en el ssema a empo + m n m ou IGUR. roblema del balance de maera concepual

4 Un balance negral sobre la masa oal en el ssema se escrbe en la forma (ecuacón 4: masa conenda masa conenda masa que enra masa que abandona en el ssema en el ssema al ssema el ssema a empo + a empo desde hasa + desde hasa + Maemácamene, eso se escrbe (ecuacón 5: M + M + mn + mou Ó M + M ( mn m + ou Donde M represena la masa oal en el ssema, menras que m n y m ou represenan las velocdades máscas de enrada y salda del ssema, respecvamene. odemos escrbr el membro de la derecha de la ecuacón 5, usando el eorema del valor medo del cálculo negral, como: + ( mn ou m ( m n ou m + α Donde 0<α<. La ecuacón (5 se puede escrbr ahora: M + M ( m n m ou + α Dvdendo por, M + M ( m n m ou + α Y usando el eorema del valor medo del cálculo dferencal (0<β< en el membro zquerdo, M + M dm + β

5 Lo que conduce a dm ( m n m ou + α Tomando como líme cuando ende a cero, enconramos dm m n m ou (ecuacón 6 y represenando la masa oal como Mρ, m n como n ρ n y m ou como ou ρ ou donde ρ es la densdad másca (masa/volumen y es un flujo volumérco (volumen/empo obenemos las ecuacones: dρ n ρn ou ρ ou (ecuacón 7 Noar que hemos asumdo que el ssema esá perfecamene mezclado, para que la densdad de la maera que abandona el ssema sea gual a la densdad de la maera en el ssema.. alances nsanáneos quí escrbmos las ecuacones del balance dnámco drecamene, basadas en una velocdad de cambo nsanánea (ecuacón 8: velocdad de acumulacó de masa en el ssema n velocdad de masa que enra al ssema velocdad de masa que abandona el ssema Lo cual se puede escrbr como dm m n m ou (ecuacón 9 Ó dρ n ρn ou ρ ou (ecuacón 0 La cual es el msmo resulado obendo usando un balance negral. unque el balance negral para llegar al msmo resulado que el méodo del balance nsanáneo, el méodo del balance negral es probablemene más claro cuando se desarrollan modelos de parámeros dsrbudos (basados en ecuacones dferencales parcales. Un ejemplo se muesra en la seccón 6. La Seccón 3 se ocupa de los balances de maera y la Seccón 5 de los balances de maera y energía. La seccón 4 raa relacones consuvas.

6 3. LNES DE MTERI Los problemas de modelado más smples conssen en balances de maera. En esa seccón usamos varos ejemplos de procesos para lusrar las écncas de modelado usadas. EJEMLO. Líqudo en anque agado Los anques agados se usan a menudo para suavzar las flucuacones del flujo en las correnes de líqudo fluyendo enre procesos químcos. onsderar un anque agado de líqudo con una enrada (fluyendo desde el proceso I y una correne de salda (fluyendo al proceso II (gura. sumr que la densdad es consane. Enconrar cómo varía el volumen del anque como una funcón del empo, s los flujos de enrada y salda varían. Hacer una lsa de las varables de esado, parámeros, así como de las varables de enrada y salda. Dar la nformacón necesara para complear la solucón cuanava a ese problema. IGUR. Tanque agado de líqudo El ssema es el líqudo en el anque, la superfce del líqudo es el líme superor del ssema. La sguene noacón se usa en las ecuacones de modelado: flujo volumérco de enrada (volumen/empo flujo volumérco de salda volumen del líqudo en el anque ρ densdad del líqudo (masa/volumen Méodo Inegral onsderar un nervalo de empo fno,. Realzar un balance de maera sobre ese nervalo de empo, masa de agua masa de agua masa que enra masa que abandona denro del anque denro del anque al anque el anque a empo + a empo desde hasa + desde hasa + Lo cual se puede escrbr maemácamene como: ρ + + ρ + ρ ρ (ecuacón

7 Llevando los érmnos del membro de la derecha a la msma negral: + ρ ρ ( ρ ρ + (ecuacón odemos usar el eorema del valor medo del cálculo negral para escrbr el membro de la derecha de la Ecuacón (donde 0 α como: Susuyendo la Ecuacón 3 en la : + ( ρ ρ ( ρ ρ + α ρ ρ ( ρ ρ + + α (ecuacón 3 (ecuacón 4 Dvdendo por, obenemos: ρ + ρ ( ρ ρ + α Y usando el eorema del valor medo del cálculo dferencal, a medda que 0 (ecuacón 5 dρ ρ ρ (ecuacón 6 Méodo nsanáneo quí escrbmos las ecuacones del balance basadas en un rmo de cambo nsanáneo: velocdad de cambo flujo másco de agua flujo másco de agua de la masa de agua de enrada al anque de salda del anque en el anque El masa oal de agua en el anque es ρ, el rmo de cambo es dρ/, y la densdad de la correne de salda es gual a que el anque conene: dρ ρ ρ (ecuacón 7 la cual es eacamene lo que obuvmos con el méodo negral. Dado el msmo conjuno de hpóess los dos modelos deberían conducr al msmo modelo. Se debe usar la apromacón (negral o nsanánea que enga más sendo. En ese eo generalmene usamos la apromacón nsanánea pueso que requere menor número de pasos. Noar la hpóess mplíca de que la densdad del agua en el anque no depende de la poscón (hpóess de mezcla complea. Esa hpóess perme la formulacón de una ecuacón dferencal ordnara (EDO. Nos refermos a cualquer ssema que puede ser modelado medane EDO s como ssemas de parámeros localzados. Tambén noar que la densdad de la correne de salda debe ser gual a la densdad del agua en el anque. Ese conocmeno

8 ambén nos perme decr que los érmnos de densdad en la Ecuacón 7 son guales. Esa ecuacón se reduce enonces a d (ecuacón 8 La Ecuacón 8 es una ecuacón dferencal ordnara lneal (EDO, la cual es fácl de resolver s sabemos los flujos de enrada y salda como una funcón del empo, y s sabemos una condcón ncal para el volumen en el anque. En la ecuacón 8 nos refermos a como varable de esado, y y como varables de enrada (ncluso aunque sea un flujo de correne de salda. S la densdad permanecese en la ecuacón, nos referríamos a ella como un parámero. ara resolver ese problema debemos especfcar las enradas ( y ( y la condcón ncal (0. El Ejemplo proporcona una nroduccón a la nocón de esados, enradas y parámeros. Ese ejemplo lusra cómo un balance de maera global se usa para enconrar cómo el volumen de un ssema de fase líquda camba con el empo. uede ser deseable ener la alura del anque, h, más que el volumen del anque como varable de esado. S asummos como consane el área de la seccón ransversal del anque,, podemos epresar el volumen del anque como h y la ecuacón del modelo como: dh (ecuacón 9 S sabemos ambén que el flujo de salda del anque es proporconal a la raíz cuadrada de la alura de líqudo en el anque, podemos usar la relacón β h (ecuacón 0 donde β es un coefcene de flujo, para enconrar dh h β + (ecuacón ara ese modelo nos refermos a h como la varable de esado, el flujo de enrada ( como la varable de enrada y β y como parámeros. Noar que un ssema únco (en ese caso, anque agado de líqudo puede ener ecuacones y varables del modelo lgeramene dferenes, dependendo de las hpóess y los objevos usados al desarrollar el modelo. EJEMLO. Un reacor químco soermo sumr que dos especes químcas, y, esán dsuelas en una correne de almenacón enrando en la fase líquda de un reacor químco que se manene a emperaura consane (gura 3. Las dos especes reacconan rreversblemene para formar una ercera espece,. Enconrar la concenracón en el reacor de cada espece como una funcón del empo. uede llegar a ser enador para el lecor empezar a escrbr drecamene las epresones del balance de volumen que parecen smlares a la Ecuacón 8. Deseamos dejar claro que no hay al cosa como un balance de volumen y la Ecuacón 8 es sólo correca por la hpóess de densdad consane. Es una buena dea escrbr sempre una epresón de balance de masa, como la Ecuacón 7, anes de hacer consderacones sobre la densdad del fludo, lo que puede conducr a la Ecuacón 8.

9 c c IGUR 3. Reacor químco soérmco alance de maera global El balance de maera global es (pueso que el anque esá perfecamene mezclado dρ (ecuacón ρ ρ Hpóess: La densdad de la fase líquda, ρ, no es una funcón de la concenracón. La densdad en el anque (y la de la salda es enonces gual a la densdad de enrada, así: ρ y podemos escrbr la ecuacón como: ρ (ecuacón 3 d (ecuacón 4 alances de maera a los componenes Es convenene rabajar en undades molares cuando se escrben balances a componenes, parcularmene s esán nvolucradas reaccones químcas. Represenamos por, y las concenracones molares de, y (moles/volumen. summos que la ecuacón esequomérca para esa reaccón es + Las ecuacones del balance de maera a los componenes son (asumendo que el componene esá en la almenacón al reacor: d + r (ecuacón 5 d + r (ecuacón 6 d + r (ecuacón 7 Donde r, r y r represenan el rmo de generacón de las especes, y por undad de volumen y y represenan las concenracones de enrada de las especes y. summos que la velocdad de reaccón de por undad de volumen es de segundo orden y una funcón de la concenracón de ambos y. La velocdad de reaccón se puede escrbr r k (ecuacón 8

10 donde k es la consane de velocdad de reaccón y el sgno menos ndca que se consume en la reaccón. ada mol de reaccona con dos moles de (de la ecuacón esequomérca y produce un mol de, así las velocdades de generacón de y (por undad de volumen son: r k (ecuacón 9 r k (ecuacón 30 Epandendo el membro de la zquerda de la Ecuacón 5: d d + combnando las Ecuacones 4, 5, 7 y 3 enconramos: d d Smlarmene, las concenracones de y se pueden escrbr d ( k ( k (ecuacón 3 (ecuacón 3 (ecuacón 33 d + k (ecuacón 34 Ese modelo consse en cuaro ecuacones dferencales (Ecuacones 4, 3, 33, 34 y, por lo ano, cuaro varables de esado (,, y. ara resolver esas ecuacones, debemos especfcar las condcones ncales ((0, (0, (0 y (0, las enradas (, y como una funcón del empo, y el parámero (k. 3. Hpóess smplfcavas El modelo de reacor presenado en el Ejemplo ene cuaro ecuacones dferencales. menudo se hacen oras hpóess smplfcavas para reducr el número de ecuacones, para hacer más fácl el analzarlas y resolverlas más rápdamene. or ejemplo, suponendo un volumen consane (d/0 se reduce el número de ecuacones en una. Tambén, es común almenar un eceso de un reacvo para consegur cas conversón complea de oro reacvo. S la espece se manene en un gran eceso, enonces es cas consane. La ecuacón de la velocdad de reaccón se puede epresar enonces: donde r -k -k (ecuacón 35 k k (ecuacón 36 Las ecuacones dferencales resulanes son (pueso que asummos d/ y d /0 d ( k (ecuacón 37

11 d ( + k (ecuacón 38 Noar que s sólo deseamos saber la concenracón de la espece sólo necesamos resolver una ecuacón dferencal, pueso que la concenracón de no depende de la concenracón de. Ejemplo 3. lndro de gas agado Los clndros agados se usan a menudo como capacdad de almacenaje nermeda para correnes de gas que se ransferen enre undades de proceso químcas. onsderar un clndro represenado en la gura 4, donde q es el flujo molar de enrada y q es el flujo molar de salda. quí desarrollamos un modelo que descrbe cómo la presón en el anque varía con el empo. q q gura 4. lndro de gas agado Represenamos volumen del clndro y v volumen molar del gas (volumen/mol. La candad oal de gas (moles en el anque es enonces / v. Hpóess: La relacón presón-volumen esá caracerzada por la ley de los gases deales, así vr T (ecuacón 39 Donde es la presón, T es la emperaura (escala absolua y R es la consane de los gases deales. La Ecuacón 39 se puede escrbr v RT y, por lo ano, la candad oal de gas en el anque es v RT candad oal (moles de gas en el anque (ecuacón 40 (ecuacón 4 La velocdad de acumulacón del gas es enonces d(/rt/. T se consdera consane; pueso que y R son ambén consanes, enonces la velocdad molar de acumulacón del gas en el anque es: RT (ecuacón 4 donde q es la velocdad molar de gas que enra al clndro y q es la velocdad molar de gas que abandona el clndro. La Ecuacón 4 se puede escrbr d d q (ecuacón 43 ara resolver esa ecuacón para la varable de esado, debemos conocer las enradas, q y q, los parámeros, R,T y, y la condcón ncal (0. De nuevo ora vez, aunque q es la velocdad molar de salda del clndro, lo consderamos una enrada en érmnos de resolucón del modelo. 4. RELIONES ONSTITUTIS RT q ( q q

12 Los Ejemplos y 3 requreron más que smples balances de maera para defnr las ecuacones del modelo. Esas relacones requerdas se conocen como relacones consuvas; varos ejemplos de relacones consuvas se muesran en esa seccón. 4. Ley de los Gases Los ssemas de procesos que conenen un gas necesarán normalmene una epresón de ley de gas en el modelo. La ley de gas deal se usa comúnmene para relaconar volumen, presón y emperaura: vr T (ecuacón 44 La relacón v T de van der Waals conene dos parámeros (a y b, que son específcos del ssema: a + ( v b RT (ecuacón 45 v ara oras leyes de gases ver un lbro sobre ermodnámca al como Smh, an Ness and bbo ( Reaccones Químcas La velocdad de reaccón por undad de volumen (mol/volumen empo es normalmene una funcón de la concenracón de las especes reacconanes. or ejemplo, consderar la reaccón + +3D. S la velocdad de reaccón de es de prmer orden para y, usamos la sguene epresón: donde r -k (ecuacón 46 r es la velocdad de reaccón de (mol de /volumen empo k es la consane de velocdad de reaccón (consane para una emperaura dada es la concenracón de (mol de /volumen es la concenracón de (mol de /volumen Las velocdades de reaccón se epresan normalmene en érmnos de generacón de una espece. El sgno menos ndca que se consume en la reaccón de arrba. Es bueno praccar para asocar las undades con odos los parámeros en un modelo. ara congruenca en las undades de r enconramos que k ene undades de (volumen/mol de empo. Noar que moles de reacconan con cada mol de. Enonces podemos escrbr r r r D r r 3r k k 3k Normalmene, el coefcene de velocdad de reaccón es una funcón de la emperaura. La epresón más comúnmene usada es la ley de la velocdad de rrhenus k ( T e E RT (ecuacón 47 donde

13 k(t consane de velocdad de reaccón, como una funcón de la emperaura facor de frecuenca o facor preeponencal (msmas undades que k E energía de acvacón (cal/gmol R consane de los gases deales (.987 cal/gmol K u oro conjuno de undades congruenes T emperaura absolua (K ó ºR El facor de frecuenca y la energía de acvacón pueden ser daos esmados de la consane de reaccón como una funcón de la emperaura de reaccón. Tomando el logarmo naural de la ley de la velocdad de rrhenus, enconramos: E ln k ln (ecuacón 48 R T y vemos que y E se pueden enconrar de la pendene y la ordenada en el orgen de una represenacón de (ln k frene a (/T. 4.3 Relacones de equlbro La relacón enre las composcones del componene en la fase líquda y vapor, cuando las fases esán en equlbro, se puede represenar por: y K (ecuacón 49 donde fraccón molar del componene en la fase líquda y fraccón molar del componene en la fase vapor K consane de equlbro líqudo-vapor para el componene La consane de equlbro es una funcón de la composcón y la emperaura. menudo, veremos una hpóess de consane de volaldad relava hecha para smplfcar los modelos de equlbro vapor-líqudo. En un ssema bnaro, la relacón enre las fases vapor y líquda para el componene lgero usada a menudo es: α y (ecuacón 50 + ( α fraccón molar del componene lgero en la fase líquda y fraccón molar del componene lgero en la fase vapor α volaldad relava (α> 4.4 Transferenca de calor La velocdad de ransferenca de calor a ravés de la pared de la pared de un recpene que separa dos fludos (un reacor encamsado, por ejemplo se puede descrbr como Q U T (ecuacón 5 donde Q velocdad de calor ransferdo desde el fludo calene al fludo frío U coefcene de ransferenca de calor global área para la ransferenca de calor T dferenca de emperauras enre el fludo calene y frío

14 El coefcene de ransferenca de calor se esma a menudo por daos epermenales. En la fase de dseño se puede esmar por correlacones; es una funcón de las propedades y velocdades del fludo. 4.5 álvulas de flujo a ravés Las válvulas de flujo a ravés se descrben a menudo por la sguene relacón: v f ( v s. g. (ecuacón 5 donde flujo volumérco v coefcene de la válvula fraccón de válvula abera v caída de presón a lo largo de la válvula s.g. gravedad específca del fludo f( la caracerísca de flujo (varía de 0 a, como una funcón de Tres caraceríscas comunes de las válvulas son ( lneal, ( porcenaje gual y ( aperura rápda. gura 5. araceríscas de flujo de válvulas de conrol. α 50 para la válvula de gual porcenaje. ara una válvula lneal f( ara una válvula de gual porcenaje f( α - ara una válvula de rápda aperura f ( Las res caraceríscas se comparan en la gura 5. Noa que para la válvula de aperura rápda, la sensbldad de flujo a la poscón de la válvula (fraccón de aperura es ala a aperuras bajas y baja a aperuras alas; el opueso es verdadero para una válvula de gual porcenaje. La sensbldad de una válvula lneal no camba

15 como una funcón de la poscón de la válvula. La válvula de gual porcenaje se usa comúnmene en procesos químcos, por causa de las caraceríscas deseadas cuando se nsalan en ssemas de uberías donde hay una caída sgnfcava de presón a alos flujos. El conocmeno de esas caraceríscas será mporane cuando se desarrollen ssemas de conrol de reroalmenacón. 5. LNES DE MTERI Y ENERGÍ La seccón 3 cubró modelos que conssen en balances de maera sólo. Esos son úles s los efecos érmcos no son mporanes, donde las propedades del ssema, las velocdades de reaccón, ec. no dependen de la emperaura, o s el ssema es verdaderamene soérmco (emperaura consane. Muchos procesos químcos enen mporanes efecos érmcos, así pues es necesaro desarrollar modelos de balances de maera y energía. Una llave es que una base debe ser sempre selecconada cuando se evalúa una propedad nensva como la enalpía. 5. Repaso de ermodnámca Desarrollar ecuacones de balance de energía correcamene no es rval y la leraura de ngenería químca conene muchas dervacones ncorrecas. El capíulo 5 del lbro de Denn (986 muesra numerosos ejemplos donde se usan balances de energía ncorrecos para desarrollar modelos de procesos. La energía oal (TE de un ssema consa de energía nerna (U, cnéca (KE y energía poencal (E: TE U + KE + E donde los érmnos de energía poencal y cnéca son: KE m v E m g h menudo usaremos energía/mol o energía/masa y escrbremos lo sguene ^ ^ TE U + KE+ E ^ ^ TE U + KE+ E donde ^ y represenan por mol y por masa, respecvamene. Los érmnos de energía cnéca y poencal, en base másca, son KE E gh ara la mayoría de los procesos químcos donde hay efecos érmcos, omremos los érmnos de energía cnéca y poencal porque su conrbucón es generalmene al menos dos órdenes de magnud nferor que la del érmno de energía nerna. uando raamos con ssemas de flujo, rabajaremos normalmene con enalpía. La enalpía oal se defne como: H U + p menras que la enalpía / mol es ^ ^ v H U + ^ p

16 y la enalpía / masa es (pueso que ρ /( p H U + p U + ρ haremos uso de esas relacones en el sguene ejemplo. Ejemplo 4. alenador de anque agado onsderar un calenador de anque agado perfecamene mezclado, con una correne de almenacón únca y una correne produco únca, como la mosrada en la gura 6. sumendo que el flujo y la emperaura de la correne de enrada pueden varar, que el anque esá perfecamene aslado y que la velocdad de calor sumnsrado por undad de empo (Q pueden varar, desarrollamos un modelo para enconrar la emperaura del anque como una funcón del empo. ormular las consderacones. T T T Q gura 6. alenador de anque agado alance de Maera acumulacón enrada - salda alance de Energía d ρ ρ ρ (ecuacón 53 acumulacón enrada con el flujo - salda con el flujo + enrada por ransferenca de calor + rabajo realzado sobre el ssema dte ρ TE ρte+ Q + W T quí ommos la energía poencal y cnéca: du (ecuacón 54 ρ U ρu + Q + WT Escrbmos el rabajo oal realzado sobre el ssema como una combnacón del rabajo de eje y la energía sumnsrada al ssema para nroducr el fludo denro del anque y la energía que el ssema ejerce sobre los alrededores para forzar el fludo a salr. W T W S + p p (ecuacón 55

17 Eso nos perme escrbr la Ecuacón 54 como: du ρ p U + ρ p ρ U + + Q + W ρ S (ecuacón 56 y pueso que HU+p, podemos reescrbr la ecuacón 56 como dh dp ρ H ρ H + Q + W (ecuacón 57 ueso que, dp/ dp/ + p d/, s el volumen es consane y el cambo de presón meda se puede omr (una buena hpóess para líqudos, podemos escrbr s dh ρ H ρ H + Q + W S (ecuacón 58 Debemos recordar las hpóess que nrodujmos en el desarrollo de la Ecuacón 58: Los efecos de las energía cnéca y poencal fueron omdos. El cambo en el érmno p fue desprecado. Esa es una buena hpóess para un ssema líqudo, sempre que p no sea demasado grande y se asuma volumen consane. El érmno de enalpía oal es: H ρ H Y asumendo que no hay cambo de fase, selecconamos una emperaura de referenca arbrara para la enalpía (T ref : H ( T T Tref c dt menudo asummos que la capacdad calorífca es consane, o calculada a una emperaura meda, así: p H c p ( T Tref (ecucacón 59 H c p ( T Tref (ecuacón 60 odemos ahora escrbr el balance de energía de la Ecuacón 58 de la sguene forma: d( ρc ( T T ref ρ c ( T T ref + Q ρ c ( T T ref + W S (ecuacón 6 usando las hpóess de densdad y volumen consane (así, desde la Ecuacón 53, enconramos d( T Tref ρc ρc + [( T Tref ( T Tref ] + Q WS (ecuacón 6

18 ó d( T T ref [( T T ] Q + ρ c WS + ρc (ecuacón 63 pero T ref es una consane, así d(t-t ref / dt/. Tambén, desprecando W S, podemos escrbr dt Q ( T T + ρc (ecuacón 64 En orden a resolver ese problema, debemos especfcar los parámeros, ρ, c, las enradas, Q y T (como una funcón del empo y la condcón ncal T(0. 6. SISTEMS DE RÁMETROS DISTRIUIDOS En esa seccón mosramos cómo las ecuacones del balance se pueden usar para desarrollar un modelo para un ssema de parámeros dsrbudos, eso es, un ssema donde las varables de esado camban con respeco a la poscón y al empo. onsderar un reacor ubular donde una reaccón químca camba la concenracón del fludo a medda que se mueve a lo largo del ubo. quí usamos un elemeno de volumen y un elemeno de empo. Los moles oales de espece conendos en el elemeno se escrbe (. La candad de espece que enra en el volumen es y la candad de espece abandonando el volumen es +. La velocdad de desaparcón de por reaccón (asumendo reaccón de prmer orden es (-k. La ecuacón del balance es enonces: ( + ( + [ ] k + Usando el eorema del valor medo del cálculo negral y dvdendo por, enconramos: [ ] + k + Dvdendo por y endendo y a cero, enconramos: (ecuacón 65 k (ecuacón 66 Normalmene, se usa un ubo con área ransversal consane, así d dz y v Z, donde v Z es la velocdad en la dreccón z. Enonces la ecuacón se puede escrbr: v Z k z Smlarmene, el balance de maera global se ene como: (ecuacón 67 ρ vz ρ (ecuacón 68 z S el fludo ene densdad consane (hpóess buena para un líqudo, enonces podemos escrbr el balance a la espece como

19 v (ecuacón 69 Z k ara resolver ese problema, debemos saber z la condcón ncal (concenracón como una funcón de la dsanca en el nsane ncal y una condcón de conorno. or ejemplo, las sguenes condcones ncales y de conorno ( z, 0 0( z (0, ( Indca que la concenracón de ncalmene se conoce como una funcón de la dsanca abajo en el reacor y que la concenracón de enrada como una funcón del empo debe ser especfcada. Dervando las ecuacones del reacor ubular asummos que la espece dejó un elemeno de volumen sólo por conveccón (flujo de volumen. En adcón, las moléculas pueden abandonar por vrud de un gradene de concenracón. or ejemplo, la candad enrando en es n + D Z d dz (ecuacón 70 donde esá el coefcene de dfusón. El lecor debería ser capaz de dervar la sguene ecuacón de reaccón-dfusón: v (ecuacón 7 Z + DZ k z z ueso que eso es una ecuacón dferencal parcal de segundo orden, la condcón ncal ( como una funcón de z y las dos condcones de conorno se deben especfcar. Los modelos de ecuacones dferencales parcales (DEs son mucho más dfícles de resolver que las ecuacones dferencales ordnaras. Generalmene, DEs son converdos a ODEs por dscrezacón en la dmensón espacal, enonces las écncas para la resolucón de ODEs pueden ser usadas. El foco de ese eo esá en las ODEs; con un domno de la solucón de las ODEs, uno puede enonces empezar a desarrollar solucones para las DEs. 7. MODELOS DIMENSIONLES Típcamene, los modelos conenen un gran número de parámeros y varables que pueden dferr en valor por varos órdenes de magnud. Es a menudo deseable, al menos para propósos de análss, desarrollar modelos compuesos por parámeros y varables admensonales. ara lusrar la apromacón, consderar un reacor connuo de anque agado (STR de volumen consane e soermo modelado por una reaccón smple de prmer orden: d ( f k arece naural rabajar con una concenracón ajusada a escala. Defnendo f 0 donde 0 es la concenracón nomnal de la almenacón (esado esaconaro, enconramos d f + k

20 donde f f / f0. Es ambén naural elegr un empo ajusado a escala, τ / *, donde * es un parámero que debe ser deermnado. odemos usar la relacón * dτ para escrbr: d f + k dτ Una eleccón naural para * aparece para ser / (conocdo como empo de resdenca, así d k f + dτ El érmno k / es admensonal y conocdo como número de Damkholer en la leraura de ngenería de las reaccones. sumendo que la concenracón de la almenacón es consane, f y dejando α k /, podemos escrbr: d + α dτ Lo que ndca que un parámero únco, α, se puede usar para caracerzar el comporameno de odas las reaccones químcas soérmcas de prmer orden. Se obenen resulados smlares s se escoge como esado admensonal la conversón ( f 0 f 0 8. SOLUIONES EXLÍITS MODELOS DINÁMIOS Raramene se pueden obener las solucones eplícas a ecuacones dferencales no lneales. El caso más común donde una solucón analíca se puede obener es cuando hay una únca ecuacón dferencal cuyas varables son separables. Eso es una clase muy lmada de problemas. Un objevo prncpal de ese lbro de eo es presenar un número de écncas (analícas y numércas para resolver problemas más generales, parcularmene nvolucrando muchas ecuacones smuláneas. En esa seccón proporconamos un ejemplo de problemas donde las varables son separables. Ejemplo 5. lura de anque no lneal onsderar el problema de la alura de un anque donde el flujo de salda es una funcón no lneal de la alura del anque: dh β h quí no hay una solucón analíca por causa de la relacón no lneal enre la alura y la funcón de cambo. ara lusrar un problema con una solucón analíca, asumremos que no hay flujo de enrada al anque: dh β h

21 podemos ver que las varables son separables, así pues el cual ene la solucón h dh h dh h β h0 0 β β h h0 ( 0 ó h h 0 β ( 0 dejando que 0 0 y elevando al cuadrado ambos membros, obenemos la solucón β h( h0 Esa solucón analíca se puede usar, por ejemplo, para deermnar el empo que llevará para la alura del anque alcanzar un cero nvel. 9. ORM GENERL DE LOS MODELOS DINÁMIOS Los modelos dnámcos dervados en ese capíulo conssen en un conjuno de ecuacones dferencales ordnaras de valor ncal de prmer orden (sgnfcando sólo las dervadas prmeras con respeco al empo, no lneales y eplícas. Una represenacón de un conjuno de ecuacones dferencales de prmer orden es n f (,...,, u,..., u n f (,...,, u,..., u f (,...,, u,..., u n n n m m m, p,..., p, p,..., p, p,..., p r r r (ecuacón 7 donde es una varable de esado, u es una varable de enrada y p es un parámero. La noacón se usa para represenar d /. Noar que hay n ecuacones, n varables de esado, m enradas y r parámeros.

22 9. arables de esado Una varable de esado es una varable que surge nauralmene en el érmno de acumulacón de un balance de energía o de maera dnámco. Una varable de esado es una candad medble (al menos concepualmene que ndca el esado de un ssema. or ejemplo, la emperaura es la varable de esado común que surge de un balance de energía dnámco. La concenracón es una varable de esado que surge cuando se escrben los balances dnámcos a los componenes. 9. arables de enrada Una varable de enrada es una varable que normalmene debe ser especfcada anes de que un problema se pueda resolver o que un proceso se pueda operar. Las enradas se especfcan normalmene por un ngenero basándose en el conocmeno del proceso que se consdera. Las varables de enrada ípcamene ncluyen flujos de correnes enrando o dejando un proceso (noar que el flujo de una correne de salda puede ser consderado como una varable de enrada. Las composcones o emperauras de las correnes enrando en un proceso son ambén varables de enrada ípcas. Las varables de enrada se manpulan a menudo (por conroladores de proceso para alcanzar el funconameno deseado. 9. arámeros Un parámero es ípcamene el valor de una propedad físca o químca que debe ser especfcado o conocdo para resolver maemácamene un problema. Los parámeros son a menudo fjados por nauraleza, eso es, la químca de la reaccón, la esrucura molecular, la confguracón del recpene esene o la operacón. Los ejemplos ncluyen densdad, vscosdad, conducvdad érmca, coefcene de ransferenca de calor y coefcene de ransferenca de masa. uando se dseña un proceso, un parámero puede llegar a ser ajusado para alcanzar el funconameno deseado. or ejemplo, el volumen del reacor puede ser un mporane parámero de dseño. 9.3 Noacón del vecor El conjuno de ecuacones dferencales, como la Ecuacón 7, mosrada anes se puede escrbr más compacamene en forma de vecor. f(,u, p (ecuacón 73 donde vecor de n varables de esado u vecor de m varables de enrada p vecor de r parámeros Noar que los modelos dnámcos de la Ecuacón 73 se pueden usar ambén para resolver problemas de esado esaconaro, pueso que eso es, 0 f(, u, p 0 (ecuacón 74 (ecuacón 75 para procesos de esado esaconaro. Se usan écncas numércas (ales como el méodo de Newon para resolver la Ecuacón 75.

23 Las varables de esado para el esado esaconaro de la solucón de la Ecuacón 75 se usan a menudo como condcones ncales para la Ecuacón 73. recuenemene, una enrada será cambada de su valor de esado esaconaro, y la Ecuacón 73 será resuela para enender el comporameno ransoro del ssema. En el ejemplo de abajo mosramos el Ejemplo (reacor químco en la forma de varables de esado. Ejemplo 6. orma de varables de esado para el ejemplo onsderar las ecuacones del modelo para el Ejemplo (reacor químco (ecuacón 4 (ecuacón 3 (ecuacón 33 (ecuacón 34 Hay cuaro esados (,, y, cuaro enradas (,,, y un parámero únco (k. Noar que aunque es el flujo de salda, se consdera una enrada al modelo, porque se debe especfcar para resolver las ecuacones. ó RESUMEN Se han presenado un número de ejemplos de balances de maera y energía. Se usó generalmene la hpóess clásca de un anque perfecamene mezclado para que odos los modelos fuesen de parámeros localzados. d k d k d k d + ( ( ( ( k k ( +,, (,, (,, (,, ( ( p u f p u f p u f p u f p u p u u p u u u u

24 El esudane debería ahora enender: que los modelos dnámcos de ssemas de parámeros localzados conducen a ecuacones dferencales ordnaras. los modelos esácos de ssemas de parámeros localzados conducen a ecuacones algebracas. la nocón de esado, enrada, salda y parámero. ILIOGRÍ REOMENDD Una buena nroduccón a los cálculos en ngenería químca se proporcona en: elder, R. M. & R. Rousseau (986. Elemenary rncples of hemcal rocesses, ª edcón, New York: Wley Se proporconan dscusones ecelenes de los punos nvolucrados en el modelado de un anque de mezcla en los sguenes dos lbros, ncorporando efecos de densdad y balances de energía: Denn, M. M. (986. rocess Modelng. New York: Longman. Russell, T. R.. & M. M. Denn (97. Inroducon o hemcal Engneerng nalyss. New York: Wley. Una nroduccón a la ngenería de las reaccones químcas es: ogler, H. S. (99. Elemens of hemcal Reacon Engneerng, ª edcón, Englewood lffs, NJ: rence-hall. Un lbro de eo ecelene para la nroduccón a la ermodnámca en ngenería químca es: Smh, J. M., H.. an Ness & M. M. bbo (996. hemcal Engneerng Thermodynamcs, 5ª edcón, New York: McGraw-Hll. El sguene documeno proporcona un raameno avanzado de las varables y los parámeros admensonales: rs, R. (993. Ends and begnnngs n he mahemacal modellng of chemcal engneerng sysems. hemcal Engneerng Scence, 48 (4, Las relacones para ranspore de calor y masa se muesran en los lbros de eo sobre fenómenos de ranspore. La bbla del ngenero químco es rd, R.., W. E. Sewar & E. Lghfoo (960. Transpor henomena. New York: Wley. El modelo predador-presa se muesra en las ecuacones de Loka-olerra, después de que los nvesgadores las desarrollaran a fnales de los años 0. Una presenacón de las ecuacones esá en el sguene eo: aley, J. E. & D.. Olls (986. ochemcal Engneerng undamenals, ª edcón. New York: McGraw-Hll.

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