Mecanismos de palanca. Apuntes.

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1 Mecansmos de palanca. Apunes. Oreses González Qunero Deparameno de Ingenería Mecánca Faculad de de Ingenerías Químca y Mecánca

2 1.- Inroduccón. El análss de los mecansmos y máqunas ene por objevo comprender la relacón enre el movmeno de las pares de la máquna y las fuerzas que producen el movmeno. El problema ncal en el dseño o análss de un ssema mecánco es la deermnacón del movmeno del ssema. El esudo del movmeno es denomnado cnemáca, sendo el análss cnemáco el objevo prmaro de ese rabajo. Como problema secundaro debe ser selecconada la fuene de energía que proveerá la fuerza sufcene para operar la máquna. Al esudo de las fuerzas dnámcas ambén se le dedca un espaco en ese análss. 2.- Técncas para el análss de los mecansmos. La mayoría de los análss de mecansmos nvolucran a la geomería. A menudo son empleados los méodos gráfcos debdo a que el movmeno de los mecansmos puede ser vsualzado claramene. Las solucones gráfcas ncluyen el dbujo a escala de líneas a un ángulo especfcado, por ejemplo el dbujo de un dagrama cnemáco. La solucón gráfca concerne la preparacón del dbujo donde odos los elemenos son mosrados a una escala proporconal al mecansmo real. La orenacón de los elemenos ambén debe ser mosrada al msmo ángulo que en el mecansmo real. Ese crero gráfco ene como méros su facldad y la vsualzacón de la solucón, sobre odo con el desarrollo acual de los ssemas CAD (Compuer-Aded Desgn), que han permdo que los creros gráfcos sean aplcados con precsón. 3.- Consruccón de los planos de un mecansmo. La poscón recproca de los elemenos de un mecansmo en movmeno varía consanemene, pero en cada nsane la poscón de esos es compleamene deermnada. La represenacón gráfca de la poscón recproca de los elemenos, que corresponde a un momeno dado, se denomna plano del mecansmo. Una sere sucesva de planos de un mecansmo, consruda para momenos consecuvos, perme segur el movmeno de dcho mecansmo. El propóso prmaro del análss de un mecansmo es esudar su movmeno. El movmeno es la accón de cambo de poscón de los eslabones en un mecansmo, y de los punos en aquéllos eslabones. Como la poscón de los eslabones es alerada, el mecansmo es forzado a una confguracón dferene. La poscón de un puno en un mecansmo es la suacón espacal de ese puno. Al pasar el mecansmo a una nueva confguracón, el puno adjuno frmemene al msmo se mueve juno con él. La poscón del puno, o su rayecora, puede verse vsualmene dbujando el puno en el mecansmo o en su esquema cnemáco. Formalmene, el puno puede localzarse usando las coordenadas en algún ssema de coordenada de referenca. Para la mayoría de los análss, es sufcene mosrar la poscón de un puno en un boceo del mecansmo. En la sguene fgura se muesran dos poscones del movmeno de un mecansmo, así como la rayecora de los punos E y F luego de complear el elemeno morz un 2

3 gro de 360º. Generalmene para deermnar la rayecora de algún puno se necesan enre 12 y 24 poscones del mecansmo. Recordemos que una propedad mporane de un mecansmo es su grado de movldad o número de grados de lberad. Para las unones con un grado de lberad, la poscón de un eslabón o puno puede deermnar con precsón la poscón de odos los oros eslabones o los punos. Igualmene, para las unones con dos grados de lberad, la poscón de dos eslabones puede deermnar precsamene la poscón de odos los oros eslabones. Por consguene, las poscones de los punos y eslabones en un mecansmo no son arbraras e ndependenes. Los grados de lberad son el número de parámeros ndependenes requerdos para especfcar la poscón de cada eslabón en un mecansmo. Los parámeros ndependenes son las poscones de ceros eslabones morces. La mayoría de las unones práccas enen un grado de la lberad. La mea prmara del análss de la poscón es deermnar la poscón resulane de los punos en un mecansmo como una funcón de la poscón de algunos punos "conducores". Para la consruccón del plano del mecansmo, con la ulzacón del Auocad, en dsnas poscones, hay que segur la msma meodología que se usa normalmene al rabajar manualmene con nsrumenos de dbujo, se necesa ener odas las dmensones del mecansmo, ncluyendo la dsanca enre los apoyos o alguna relacón geomérca enre ellos así como la poscón de uno de los elemenos para un momeno dado. La consruccón del plano de un mecansmo nvolucra el razado de líneas a una longud precsa y a un ángulo específco. La sguene lsa esboza las capacdades de CAD requerdas para el análss vecoral. Los usuaros deben ser capaces de: Trazar líneas a una longud y ángulo especfcado. Inserar líneas perpendculares a las ya exsenes. Exender las líneas exsenes hasa su nerseccón con ora línea. Trazar arcos y círculos desde un puno especfcado y con un rado dado. Localzar la nerseccón de dos arcos. Medr la longud de las líneas exsenes. Medr el ángulo enre dos líneas. A connuacón se muesra un mecansmo plano de bombeo en dversas poscones. 3

4 4.- Escalas. En las consruccones grafcas, a veces se requere represenar en el dbujo no solo las longudes de los elemenos, como se hzo para la consruccón de los planos del mecansmo, sno las velocdades y aceleracones de dsnos punos, así como ambén las fuerzas y oras magnudes. Por eso en la Teoría de los Mecansmos se ulza un coefcene llamado coefcene de escala. S una magnud cualquera D (por ejemplo la longud l, velocdad V, aceleracón a, ec.) esá represenada en el dbujo por un segmeno que ene una longud O, enonces como coefcene de escala k, con ayuda de la cual esa magnud ha sdo represenada, se denomna al cocene D/O. De ese modo el coefcene de escala es: k = D / O Mdendo el segmeno O y conocendo el coefcene de escala se puede deermnar la magnud D, según la formula: D=k.O Para represenar la magnud D medane el coefcene de escala k, es necesaro razar un segmeno cuya longud es: O=D/k Generalmene el coefcene de escala k, va acompañado por un índce que ndca la magnud a la se refere. Por ejemplo: kl, coefcene de escala de longud, kv, coefcene de escala de velocdad, ka, coefcene de escala de aceleracón, kp, coefcene de escala de fuerza, ec. Las magnudes de longud, velocdad, aceleracón, fuerza, ec., son expresadas según el Ssema Inernaconal de Undades, es decr corresponden respecvamene a m, m/s, m/s 2, N, ec. La longud del segmeno O sempre se mde en mm. Por eso el coefcene de escala es una magnud dmensonal, así: kl se expresa en m/mm, kv se expresa en m/s.mm, ka se expresa en m/s 2.mm, kp se expresa en N/mm, ec 5.- Prncpales ecuacones para deermnar las velocdades y aceleracones. Se pueden presenar dos casos en los cuales es necesaro saber esablecer las ecuacones vecorales de v y a durane el análss cnemáco por méodos gráfcos: Dos punos perenecen a un elemeno y esán separados enre s una dsanca l. Dos punos perenecen a dos elemenos que forman un par de raslacón y concden en un momeno dado. 4

5 5.1- Dos punos perenecen a un elemeno y esán separados enre s una dsanca l. S dos punos A y B perenecen a un msmo elemeno y esán separados por una dsanca l, enonces la velocdad V BA y la aceleracón a BA esán drgdas perpendcularmene a la línea AB y se relaconan con La velocdad y aceleracón angulares de ese elemeno. El membro medo de la fórmula 5, represena la aceleracón normal, drgda paralelamene a la línea AB (de B a A) Dos punos perenecen a dos elemenos que forman un par de raslacón y concden en un momeno dado. El cálculo de las velocdades de eslabones con movmeno, los cuales esán conecados a ravés de pares cnemácos de raslacón nvolucra el uso de punos concdenes que resden en los dos cuerpos. Típcamene, la dreccón del movmeno de raslacón es conocda; por consguene, la dreccón de la velocdad relava de los punos concdenes ambén lo es. Ésa nformacón es sufcene para deermnar el movmeno de los eslabones conducdos Aceleracón de Corols. A lo largo de los análss precedenes, fueron analzados a fondo las componenes normal y angencal del vecor aceleracón. En ceras condcones, un ercer componene de la aceleracón es enconrado. Ese componene adconal es conocdo como aceleracón de Corols o de gro, esando presene en los casos donde ocurre un conaco de deslzameno enre dos eslabones con movmeno de roacón. Se sabe de mecansmos usados en máqunas que han fallado debdo a errores por la omsón del componene de Corols. La omsón del componene de Corols resa valdez a la aceleracón del eslabón y a las fuerzas de nerca asocadas a esa. Por lo ano, las ensones reales en los componenes de la máquna pueden ser más grandes que las que brndan los cálculos y el fallo podría ocurrr. Por lo ano, debe ser esudada cada suacón para deermnar s exse el componene aceleracón de Corols. Específcamene, el componene de Corols es enconrado en la aceleracón relava de dos punos cuando cada una de las sguenes res condcones esán presenes smuláneamene: 1. Los dos punos son concdenes pero en dferenes eslabones. 2. El puno de un eslabón ene su rayecora en el oro eslabón, y, 3. El eslabón que conene la rayecora roa. 5

6 La sguene fgura lusra la puera rasera de un mn van así como el dagrama cnemáco relaconado. Noe que el pono B puede ser asocado con cualquera de los eslabones 2, 3 ó 4. Para clarfcar la asocacón con el eslabón el puno B es referdo como B2, B3 ó B4. Hasa ahora punos concdenes en dferenes eslabones con movmeno de roacón enían la msma aceleracón porque solo fueron usados pares cnemácos de roacón para unr los dos eslabones. En la sguene fgura, son usados pares cnemácos de roacón y de deslzameno para unr dos eslabones con movmeno de roacón, eslabones 2 y 4, en ese caso, las velocdades y aceleracones de B2 y B4 no son las msmas. Las ecuacones para el movmeno relavo pueden ser usadas para asocar las velocdades y aceleracones como sgue: V B4 = VB2 + V a = a + a B4 B2 B4B2 Esa suacón represena el caso de análss de mecansmos donde debe ser ncludo el componene de Corols en el érmno aceleracón relava a B4B2. Nóese que: 1. Los dos punos son concdenes pero no en el msmo eslabón. 2. El puno B2 ene su rayecora a lo largo del eslabón 4, y, 3. El eslabón que conene la rayecora, eslabón 4, roa. La separacón de los érmnos de la aceleracón relava en sus componenes conduce a lo sguene: n c a B4B2 = a B4B2 + a B4B2 + a B4B2 c Donde a B4B2 es el componene aceleracón de Corols. La magnud del componene de Corols ha sdo dervado como: c a B4B2 = 2VB4B2ω2 Tano la velocdad lneal relava como la velocdad angular absolua pueden ser deermnadas a ravés del análss de velocdad del mecansmo. la velocdad angular, ω, que se consdera debe ser la del eslabón que conene la rayecora del puno de raslacón. Un error común en el cálculo del componene de Corols es la seleccón errónea de la velocdad angular por lo que se deben omar precaucones en ese sendo. La dreccón del componene de Corols es perpendcular al vecor de la velocdad relava, V B4B2. El sendo es obendo por la roacón del vecor de la velocdad relava de manera que la cabeza del vecor roe en la dreccón de la velocdad angular de la B4B2 6

7 Como la magnud y dreccón del componene de Corols pueden ser fáclmene calculados a parr de los daos del análss de las velocdades, su nclusón en la ecuacón de la aceleracón no nroduce magnudes ncógnas adconales. Resumendo, s los punos A y B perenecen a dos elemenos que forman un par de raslacón con la drecrz d12 enonces la velocdad VBA y la aceleracón aba esán drgdas paralelamene a d12. El membro medo en la fórmula 2 es la aceleracón de Corols (de gro), esa se orena haca aquel lado al que ya esá orenado el vecor VBA, grando ese úlmo un ángulo de 90 en dreccón de la velocdad angular Ejemplo de solucón de un problema con el auxlo de AuoCAD y Excel. Como ha sdo menconado con anerordad, el crero de análss vecoral nvolucra el razado de líneas a una longud precsa y a un ángulo específco, por su pare en las hojas de cálculo, cuando el conendo de una celda de enrada de daos es cambado, son acualzados odos los oros resulados. Eso perme dseñar eracones que serán compleadas con facldad Problema 1: La fgura muesra el dagrama cnemáco de un mecansmo de cuaro barras (de charnela). En la poscón mosrada y usando el méodo gráfco deermne la velocdad y la aceleracón de los punos B y C y la de los eslabones 2 y 3 cuando la manvela 1 gra a 60 mn -1 en sendo conraro a las manecllas del reloj. n 1 = 60mn 1 2ππ1 πn1 rad ω1 = = = 6, s Hoja de cálculo: Análss cnemáco de mecansmos de charnela de cuaro elemenos, dsponble en: hp://www.fqm.umcc.cu/dpos/mecanca/mecaplc/mecansmos/pages/index_excel.hm enrada de daos valores calculados 7

8 Deermnacón del facor de escala de longud, escalado de los eslabones y consruccón del plano del mecansmo. L1 (AB) L2 (BC) L3 (CD) ω1 AB Kl BC CD m m m rad/s mm m/mm mm mm 0,1 0,4 0,3 6, , Deermnacón de las velocdades lneales y angulares: VB pb Kv m/s mm m/(s.mm) 0, ,021 Trazado del dagrama de Velocdad y deermnacón de las velocdades resanes. 8

9 bc pc V CB VC=V CD ω2 ω3 mm mm m/s m/s rad/s rad/s 41,76 45,84 0,87 0,96 2,19 3,20 Deermnacón de las aceleracones lneales y angulares. b n2 π n3 a B πb Ka acb normal acd normal (acb normal) (acd normal) m/s 2 mm m/(s 2.mm) m/s 2 m/s 2 mm mm 3, ,10 1,91 3,07 18,89 30,35 Trazado del dagrama de aceleracones y cálculo de las ncógnas. acb acd n2c n3c πc angencal angencal ac α2 α3 mm mm mm m/s 2 m/s 2 m/s 2 rad/s 2 rad/s 2 20,182 3, ,4477 2,04 0,32 3,69 5,10 1,07 V B V C Y así el problema queda resuelo. ω 2 ω 3 m/s rad/s m/s m/s rad/s rad/s m/s 2 rad/s 2 2 α 2 α 3 0,63 0,96 2,19 3,20 3,94 3,69 5,10 1, Análss cnemáco de mecansmos con un puno floane. Supongamos que al mecansmo del problema aneror se le añade un puno "floane" X como se muesra en la fgura del Problema 2. En odos los casos cuando son conocdas las velocdades de dos punos de un elemeno, las velocdades de odas las demás pares de ese deberán buscarse no empleando las ecuacones de velocdades, sno a B a C 9

10 basándonos en el Teorema de Semejanza de las Velocdades o ulzando la proporconaldad de los lados correspondenes (Baránov, p61) Problema 2: Deermne la velocdad y aceleracón absoluas en el puno de nerés X para la poscón que se ndca, s se conocen las velocdades de los punos B y C Para hallar la velocdad del punos, consderando que las velocdades de B y C son conocdas y se ndcan en el dagrama de velocdades por los razos pb y pc. Por el puno b razamos una línea perpendcular a BX y por el puno c, una línea perpendcular a CX. En la nerseccón de esas líneas enconramos el puno x, razando luego el vecor px que es el que represena la velocdad del puno X. Sendo la velocdad del puno X gual a: px Kv VX mm m/(s.mm) m/s 49,52 0,021 1,04 10

11 La aceleracón oal del puno X, consderando que las aceleracones oales de los punos B y C son conocdas y represenadas en el dagrama de aceleracones por los segmenos πb y π c, los segmenos bx y cx los enconraremos con las sguenes proporcones: bx = BX bc BC cx = CX BX CX BC bc bx cx m m m mm mm mm 0,2 0,4 0,4 19,15 9,575 19,150 Aplcando los segmenos hallados como rados razamos crcunferencas alrededor de los punos b y c. la nerseccón de esas crcunferencas ocurre en los punos x y x. El puno correco (x), es aquel en el que se cumple la regla del recorrdo de los conornos (Baránov, p64), resulando ser el rángulo rayado mosrado en la fgura (bcx) el que se corresponde con el rángulo BCX en el plano del mecansmo (ambos recorrdos en sendo horaro), razando nmedaamene el vecor π x que es el que represena la aceleracón del puno X bc BC Cálculo de la aceleracón de X: Ka πx ax m/(s 2.mm) mm m/s 2 0,101 47,13 4, Problema 3: La rampa almenadora 3 de un lamnador se regula en alura a parr de la poscón de la manvela morz 1. a) Deermne el grado de movldad del mecansmo. b) Clasfque el mecansmo. c) Deermne la velocdad y aceleracón absoluas en los pares cnemácos B, D y C así como en el puno de nerés E para la poscón que se ndca. 11

12 Oreses González Qunero. Faculad de Ingenerías Químca y Mecánca. González Qunero. Faculad

13 acb angencal m/s 2 acd angencal m/s 2 ac α2 α3 m/s 2 rad/s 2 rad/s 2 0,38 0,34 0,39 0,22 0,13 Como el puno floane E se encuenra en línea con los punos D y C sendo conocdas las velocdades de esos, enonces calculamos basándonos en la proporconaldad la longud del segmeno ce del dagrama de velocdad: dc 21.22mm ce = CE = 2m = 16,976mm DC 2,5m Análogamene se deermna la longud del aceleracones: segmeno ce en el dagrama de dc 35,29mm ce = CE = 2m = 63,522mm DC 2,5m De ahí que la velocdad y aceleracón absoluas en el puno de nerés E sea: V E a E m/s m/s 2 0,80 0,70 Fgura

14 Fgura 2. Y así el problema queda resuelo. Fgura 3 V B V C V E ω2 ω 3 α 2 α 3 m/s m/s m/s rad/s rad/s m/s 2 m/s 2 m/s 2 rad/s 2 rad/s 2 0,525 0, ,20 0,18 0,55 0, ,22 0, Deermnacón de las fuerzas en los mecansmos de palanca. En esa pare del ema se raará uno de los méodos para el análss de fuerzas en los mecansmos de palanca de segunda clase, que son los más empleados en la prácca conemporánea. El méodo a emplear será el grafo- analíco, sendo el objevo del análss de fuerzas la deermnacón de las reaccones en los pares cnemácos del mecansmo, así como la deermnacón de la fuerza y/o el momeno equlbrane en el elemeno prmaro. Sobre cada elemeno de los mecansmos acúan fuerzas ejercdas por oros elemenos que forman con los prmeros pares cnemácos. Esas fuerzas esán aplcadas en las superfces de conaco de esos pares y en lo adelane las llamaremos reaccones en los pares cnemácos. Por lo común los problemas relaconados con la accón de las fuerzas en los mecansmos y máqunas son unfcadas en la pare denomnada dnámca de mecansmos y máqunas. a B a C a E 14

15 El análss de las fuerzas ene gran mporanca, ya que empleando las fuerzas enconradas se calcula la ressenca mecánca de las superfces de conaco en los pares cnemácos y de odos los elemenos del mecansmo. El cálculo de las fuerzas es un problema en el que usualmene se conocen: 1. Las dmensones fundamenales de odos los elemenos del mecansmo. 2. Las masas y momenos de nerca de los elemenos. 3. La ley de movmeno del elemeno morz. 4. Las fuerzas exerores que se aplcan al mecansmo. Deermnacón de las fuerzas de nerca (P). La fuerza de nerca represena por sí, una reaccón, que surge durane cualquer cambo de movmeno relavo, se manfesa como una accón del elemeno sobre sus vnculacones con oros elemenos. P en el movmeno reclíneo. P 3 = -m a c Donde: m- masa del elemeno 3. a c - aceleracón absolua en el cenro de gravedad. El sgno menos ndca que P esá drgda en sendo conraro al de la aceleracón. P en el movmeno crcular δp δp n = a δm = αρδm = a n δm = ω 2 ρδm P P n = = m m ραδm = α 2 m 2 ρω δm = ω ρδm m ρδm La expresón ρδm es el momeno esáco del elemeno respeco al eje de roacón, m sendo ρδm = ml, donde, m es la masa del elemeno y l os, la dsanca enre el cenro os m de gravedad del elemeno y el eje de roacón o. Así se obene: P = l os αm = a s m 15

16 La fuerza oal es: P n P = l = P os ω 2 + P m = a n n s = ma m s Recordando que x = + : l os l sk o s 2 os I = I + ml (Teorema de los ejes paralelos) y consderando 2 os Is + ml Is x = = los + mlos ml Is l sk = ml El puno k (puno de aplcacón de la fuerza oal) esá suado en la prolongacón de la reca que une al eje de roacón o, con el cenro de gravedad s. Casos parculares 1. S ω = Ce. enonces α = 0 y P = 0, en ese caso: n P = P = ml os os ω 2 os = ma Se aplca en el cenro de gravedad en sendo conraro a la aceleracón a s. 2. S el cenro de gravedad concde con el eje de roacón pueden presenarse dos casos: a) S α 0 enonces P = mas = 0 porque a s = 0 no obsane ene lugar el momeno de las fuerzas de nerca: n s M 2 = α ρ δm = αi m s b) S α = 0 y ω = Ce. enonces P = 0 y M = 0 Caso general del movmeno plano. El movmeno plano se descompone en el movmeno reclíneo del elemeno a la par con el cenro de gravedad y en el movmeno de roacón del elemeno alrededor del cenro de gravedad. Durane el prmer movmeno surge la fuerza de nerca que esá aplcada en el cenro de gravedad del elemeno en sendo conraro a la aceleracón de dcho puno. En el proceso del segundo movmeno surge el momeno de las fuerzas de nerca: 16

17 Ese momeno de las fuerzas de nerca M esá drgdo conraro al de la aceleracón angular α. El momeno M y la fuerza P se pueden reducr a una fuerza. Para eso es necesaro desplazar la fuerza de nerca P paralelamene a s msma una dsanca h, de al modo que el sgno del momeno de dcha fuerza, en su nueva poscón con respeco al cenro de gravedad del elemeno concda con el sgno de M. CB a M = αis = Is = l CB nck a BCk l I s h = M P 8.- Deermnacón esáca de la cadena cnemáca plana. El análss de las fuerzas lo realzaremos, sn ener en cuena las fuerzas de rozameno. Al no exsr dchas fuerzas, la fuerza de neraccón enre dos elemenos sempre esará drgda por una normal a la superfce de su conaco. En el caso de un par cnemáco de roacón de la V clase, generalmene se sabe que la reaccón R (R 12 o R 21 ) esá drgda haca el cenro de la charnela, por lo general se desconoce su magnud y dreccón. R Accón del elemeno 1 sobre el 2 (R 12 = -R 21 ). Para un par de deslzameno de la V clase, sólo se conoce la dreccón de la reaccón, normal a la superfce de conaco, se desconoce la magnud y puno de aplcacón. Así cada par cnemáco ene dos parámeros desconocdos o ncógnas. Para la deermnacón de las msmas para cada elemeno se pueden escrbr res condcones de equlbro: 17

18 Fx = 0 Fy = 0 Mz = 0 Los grupos esrucurales son esácamene deermnados y se pueden deermnar odas las reaccones de sus pares Ejemplo de cálculo de fuerza. El cálculo de fuerzas es un problema dnámco en el que es necesaro deermnar: 1. Las reaccones en los pares cnemácos. 2. El momeno morz que es necesaro aplcar al elemeno morz. Para resolver ese problema se aplca el Prncpo de D Alamber, que planea que cualquer ssema esará en equlbro, s a odas las fuerzas exerores que acúan sobre el msmo se le añaden las fuerzas de nerca correspondenes. En ese caso cualquer ssema que se mueve, se examna como un ssema que esá en reposo. Consdérese el sguene mecansmo de charnela en la poscón dada: Daos: ω 1, l AB, l BC, l CD, m 1, m 2, m 3, s 1, s 2, s 3, I s1, I s2, I s3. Se consruyen los dagramas de velocdad y aceleracón y se deermnan: ω 2, ω 3, α 1, α 2, α 3, a s1, a s2, a s3. VCB bc.k V VC pc.k V ω 2 = =, ω 2 = = l l l l BC BC CD CD S ω 1 = Ce. y α 1 = 0 enonces CB a n 2ck a α 2 = =, l l BC BC CD a α 3 = = l CD n3ck l CD a a s1 = πs1k a, s2 πs2ka a =, a s3 = πs3ka G1 = m1g, G2 = m2g, G3 = m3g M2 M3 h 2 =, h 3 = P P

19 Grupo esrucural. Los brazos de odas las fuerzas se deermnan gráfcamene. Según el Prncpo de D Alamber ese grupo esrucural bajo la accón de odas las fuerzas ncluyendo a las fuerzas de nerca, esá en equlbro. Por consguene ambén esará en equlbro cada elemeno de su grupo: Elemeno 2. P2 (h2 ) G 2(hg2) R12 BC + G 2(hg2) P2 (h2 ) = 0 de donde R12 = BC Elemeno 3. G3(hg3) + P3(h3) R 43 DC G3(hg3) P3(h3) = 0 de donde R 43 = DC Para deermnar las reaccones R n n 12 y R 43 se consruye el dagrama de fuerzas. El polígono de fuerzas será cerrado. Se puede usar cualquera de las fuerzas conocdas para el esablecmeno de la escala de fuerzas, por ejemplo: P2 k p = P Se realza el escalado de odas las fuerzas que acúan en el mecansmo a mm, dvdéndolas por el kp hallado y se consruye el polígono de fuerzas a parr del puno o. 2 R n 43 R43 = R43 + y R12 + R12 = R12 n 19

20 Ulzando el dagrama de fuerzas se puede hallar el vecor de la reaccón R 32 o R 23. El elemeno 2 bajo la accón de odas las fuerzas esá en equlbro por eso el polígono de fuerzas consderado debe ser cerrado: + G + P + R 0 R = Al unr el exremo de P 2 y el orgen de R 12 con una reca se obene el vecor buscado R 32. Las magnudes reales de las reaccones son: R = R = k p R 32 R = 12 = R 21 k p R12 R = 43 = R 34 k p R 43 Ahora se puede pasar al cálculo de las fuerzas en el elemeno morz. Mm----Momeno morz aplcado desde el moor. M A = 0 G1 (hg1) R 21(h1) MM = 0 de donde = G (h ) R (h ) MM 1 g Dagrama para deermnar R 41 R = 41 k p R 41 Así el problema esá resuelo. La resolucón de problemas sobre Cálculo de fuerzas es un caso ípco donde los análss gráfcos pueden ser realzados usando procedmenos de dbujo radconales o usando ssemas CAD, como es comúnmene aplcado en muchas ndusras. Para el análss de los mecansmos puede ser usado cualquera de los numerosos ssemas CAD dsponbles comercalmene, enconrándose enre los mas populares AuoCAD, Mcrosaon, Ungraphcs, y ProEngneer, odos ellos enen la capacdad de dbujar líneas con una elevada exacud con las longudes y ángulos desgnados. Esa es exacamene la capacdad requerda para el análss gráfco de los mecansmos. Además del ncremeno de la exacud, oro benefco del CAD es que las líneas no necesan ser escaladas para ajusarse a un pedazo de papel de dbujo. En la compuadora las líneas son dbujadas sobre un papel vrual de amaño nfno. 20

21 Enre las solucones compuarzadas para el análss de fuerzas se encuenran las hojas de cálculo (de Excel) de mucha uldad durane el esudo de ese conendo. Igualmene pueden ser ulzados programas de análss dsponbles comercalmene, ales como Workng Model (hp://www.kw.com), ADAMS (Auomac Dynamc Analyss of Mechancal Sysems), o I-DEAS (In- egraed Desgn Engneerng Analyss Sofware). Bblografía 1. Baranov, G.G. Curso de la Teoría de Mecansmos y Máqunas. Edoral MIR. Moscú Pág. 2. Golubev, Yur. Teoría de máqunas y mecansmos. Edoral Pueblo y Educacón. [La Habana] Pág. 3. Myszka, Davd H. Machnes and mechansms: Appled knemac Analyss. Prence Hall, Inc, ISBN: González, O. Algunas Aplcacones de la Compuacón en el Análss Cnemáco y Dnámco de los Mecansmos. III Taller Inernaconal de Ddácca de la Físca. DIDACFISU ISBN Mechansms and Smple Machnes. Mechansm Tuoral, dsponble en hp://www.fqm.umcc.cu/dpos/mecanca/mecaplc/mecansmos/pages/tuoral_co nens.hm 5. Basc Knemacs of Consraned Rgd Bodes. Mechansm Tuoral, dsponble en hp://www.fqm.umcc.cu/dpos/mecanca/mecaplc/mecansmos/pages/tuoral_co nens.hm 6. Planar Lnkages. Mechansm Tuoral, dsponble en hp://www.fqm.umcc.cu/dpos/mecanca/mecaplc/mecansmos/pages/tuoral_co nens.hm 7. Shgley, J.E.; Mschke, C.R., Sandard Handbook of Machne Desgn (2nd. Edon), McGraw-Hll, New York (USA), 1996, ISBN

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