Ensayos de flexión dinámica sobre vigas fisuradas

Transcripción

1 Unversdad Carlos III de Madrd eposoro nsuconal e-archvo Trabajos académcos hp://e-archvo.uc3m.es Proyecos Fn de Carrera 009- Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas Beno López, Gonzalo hp://hdl.handle.ne/006/076 Descargado de e-archvo, reposoro nsuconal de la Unversdad Carlos III de Madrd

2 UNIVESIDAD CALOS III DE MADID ESCUELA POLITÉCNICA SUPEIO DEPATAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS Y TEOÍA DE ESTUCTUAS ENSAYOS DE FLEXIÓN DINÁMICA SOBE VIGAS FISUADAS POYECTO FIN DE CAEA Ingenería Técnca Indusral Especaldad Mecánca Auor: Gonzalo Beno López Drecor: José Fernández Sáez Leganés, Dcembre de 009

3 a la pacenca

4 Índce Índce ELACIÓN DE FIGUAS... 6 MOTIVACIÓN Y OBJETIVOS Movacón...8. Objevos...9 ENSAYOS DE FLEXIÓN DINÁMICA Inroduccón..... Dsposvos ulzados Ensayos en máqunas servo-hdráulcas convenconales Ensayos en máqunas servo-hdráulcas especales Ensayos en péndulo Charpy y en orre de caída de peso Ensayos de flexón en dsposvos de barra Hopknson modfcados Oros ensayos en barra Hopknson Obencón del facor de nensdad de ensones en ensayos de flexón dnámca en res punos Méodos analícos Méodos Numércos Méodos expermenales Méodos mxos Obencón del facor de nensdad de ensones enensayos de flexón dnámca en un puno Méodos analícos smplfcados Méodos numércos Méodos expermenales...6 Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 3

5 Índce.5. Obencón del empo de fracura Influenca de la velocdad de deformacón en K Id MÉTODOS DE CÁLCULO Planeameno del problema Obencón de las frecuencas y modos propos devbracón de una vga fsurada lbre de apoyos Evaluacón numérca de la fuerza resulane y del desplazameno de la vga en los apoyos Algormo de cálculo Frecuencas y modos propos de vbracón eaccones y desplazamenos en los apoyos Breve descrpcón del programa Frecuencas y modos propos de vbracón eaccones y desplazamenos en los apoyos CASOS ANALIZADOS, ESULTADOS Y DISCUSIÓN Caso de referenca analzado Análss numérco de oros supuesos Casos con doble duracón d Profunddad de Fsura a Profunddad de Fsura a Profunddad de Fsura a Casos con duracón de referenca d Profunddad de Fsura a Profunddad de Fsura a Profunddad de Fsura a Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 4

6 Índce Casos con la mad de duracón Profunddad de Fsura: a Profunddad de Fsura a Profunddad de Fsura a CONCLUSIONES Y FUTUOS DESAOLLOS esumen Conclusones Esudos fuuros...8 BIBLIOGAFÍA... 8 APÉNDICE Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 5

7 elacón de fguras elacón de fguras Fgura.: Dsposvo de ensayos de fracura dnámca en máquna servohdráulca convenconal. Fgura.: Dsposvos de barra Hopknson modfcados para ensayos de flexón dnámca en res punos. Fgura.3: Dsposvos para realzar ensayos de fracura dnámca sobre probeas compacas en una barra Hopknson. Fgura.4: Dsposvos para realzar ensayos de fracura dnámca sobre probeas Charpa cargadas laeralmene. Fgura.5: Dsposvos para realzar ensayos de fracura dnámca sobre probeas compacadas de compresón en una barra Hopknson. Fgura 3.: Esquema del problema esudado. Fgura 3.: Geomería de las probeas. Fgura 3.3: Modelo bdmensonal de la probea ensayada. Fgura 4.: Geomería de la probea y confguracón del ensayo. Fgura 4.: Daos recogdos expermenalmene. Fgura 4.3: esulados del cálculo de varando el número de modos propos compuados. Fgura 4.4: Fuerza ncdene frene a las reaccones en los apoyos calculadas en el caso de referenca. Fgura 4.5: Desplazameno en los apoyos calculados en el caso de referenca. Fgura : eaccones y desplazamenos para los casos de doble duracón d. Fgura : eaccones y desplazamenos para los casos con la duracón de referenca d. Fgura : eaccones y desplazamenos para los casos con la mad de duracón d/. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 6

8 Capíulo Movacón y objevos

9 Inroduccón Capíulo. Movacón El dseño opmzado de componenes mecáncos, basado en las modernas eorías de oleranca al daño, exge un conocmeno precso del comporameno del componene en las condcones reales de servco y suponer, además, la presenca de posbles defecos o fsuras que hayan poddo aparecer como consecuenca de los procesos de fabrcacón y monaje o a lo largo de la vda en servco. En muchas esrucuras, nsalacones y equpos, las cargas de operacón son de po mpulsvo y, en oras, aparecen accdenalmene como en el caso, por ejemplo, del choque de un vehículo conra un obsáculo. Esas cargas pueden someer al maeral a elevadas velocdades de deformacón. Así pues, garanzar la segurdad esrucural y operaconal de cualquer elemeno mecánco somedo a cargas mpulsvas requere conocer su comporameno frene a fracura en condcones dnámcas Los ensayos de flexón dnámca en res punos sobre probeas fsuradas han sdo amplamene usados para la deermnacón de la enacdad de fracura dnámca de maerales frágles. Durane esos ensayos la deformacón de la probea esá causada por las reaccones en los apoyos y por la fuerza aplcada. Sn embargo, es habual que an solo se regsren los valores de la fuerza ncdene, F, y debdo al desconocmeno de los valores de las reaccones en los apoyos para defnr las condcones de conorno en el análss eórco, normalmene se asume que probea y apoyos permanecen en conaco, lo que conradce las observacones expermenales, o ben se enen en cuena pérddas de conaco en modelos de Elemenos Fnos, compuaconalmene muy cososos. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 8

10 Inroduccón Capíulo. Objevos Los objevos persegudos por el esudo son los sguenes: Analzar el ensayo de flexón dnámca en res punos sobre probeas fsuradas. Con al fn se aplcará un modelo smplfcado basado en la dnámca de vgas de Tmoshenko donde se consderarán las posbles pérddas de conaco enre probea y apoyos. Desarrollar e mplemenar en MATLAB un algormo de cálculo que perma resolver el problema de forma efcene, donde necesaramene se calcularán las frecuencas y modos propos de vbracón de la probea, y por úlmo las reaccones y desplazamenos que expermena la probea en los apoyos. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 9

11 Capíulo Ensayos de flexón dnámca

12 Ensayos de flexón dnámca Capíulo. Inroduccón Al lo largo del empo los nvesgadores han desarrollado y perfecconado dferenes écncas expermenales con el fn de esudar las propedades mecáncas de los maerales. A connuacón se descrben los dsposvos y méodos más ulzados para la deermnacón de las propedades de fracura de los maerales eláscos y lneales en condcones dnámcas... Dsposvos ulzados... Ensayos en máqunas servo-hdráulcas convenconales En ese ensayo se cargan dos probeas fsuradas de po compaco con un ssema conssene en dos barras undas a la máquna de ensayos y undas enre sí medane una peza enallada laeralmene denomnada probea enallada de ncacón ver fgura.. Una vez en carga, se seccona, medane una herramena de core, la peza enallada que manene undas las barras, con lo cual se lbera rápdamene la energía elásca almacenada en ésas y se produce lugar a la propagacón nesable de la fsura conenda en ellas.... Ensayos en máqunas servo-hdráulcas especales Esas máqunas son capaces de desplazar el psón móvl a una velocdad de 0m/s. Se han ensayado probeas compacas en ese dsposvo para medr las propedades de fracura dnámca de los maerales. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas

13 Ensayos de flexón dnámca Capíulo Fgura.: Dsposvo de ensayos de fracura dnámca en máquna servohdráulca convenconal...3. Ensayos en péndulo Charpy y en orre de caída de peso Probablemene, los ensayos más populares para la deermnacón de la enacdad de fracura dnámca de ncacón son los ensayos Charpy, donde un péndulo de masa y poscón ncal conocdas golpea y rompe la probea a ensayar, ras lo cual se mde la poscón de mayor alura que alcanza el péndulo. Sn embargo hay que desacar algunas de sus lmacones: Cuando se usan probeas prefsuradas por faga de maerales relavamene enaces, en el momeno de la propagacón de la fsura no se cumplen las condcones requerdas para obener la enacdad de fracura de ncacón K Id no exsen condcones de deformacón plana o la zona plásca es muy grande con relacón a las dmensones de la probea. Por ano, en esos casos, se hace Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas

14 Ensayos de flexón dnámca Capíulo necesaro usar probeas más grandes, de 0mm de cano, por ejemplo, lo cual es mposble en un péndulo Charpy convenconal. S el ensayo se realzara en una orre de caída de peso, ésa debería ser lo sufcenemene rígda. En odo caso, en esos ensayos no se pueden superar velocdades de solcacón, meddas en érmnos de varacón emporal del facor de nensdad de ensones, de K& I 5 = 0 MPa ms ; así pues, s se desea superar esa velocdad de solcacón, se debe recurrr a oros dsposvos...4. Ensayos de flexón en dsposvos de barra Hopknson modfcados Como alernava a los ensayos de flexón dnámca en péndulo Charpy, y con objeo de superar las velocdades de solcacón anes menconadas, se han ulzado dsposvos de barra Hopknson modfcados ver fgura.. Esos dsposvos consan esencalmene de una barra denomnada barra ncdene, la cual es mpacada por ora barra más cora del msmo maeral, y de un ssema de apoyos que es dferene según los casos. El ssema se complea con un ssema de are comprmdo, que se usa para mpulsar la barra más cora y con un meddor de velocdad. La probea de flexón se coloca en el ssema de apoyos y recbe la onda de compresón generada por el mpaco de las oras dos barras anes menconadas. Pare de esa onda se propaga por el ssema de apoyos y pare se refleja vajando por la barra ncdene como una onda de raccón. Las deformacones generadas por esas ondas se mden por medo de bandas exensomércas suadas en la barra ncdene. Se ulzan ano barras ncdenes Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 3

15 Ensayos de flexón dnámca Capíulo nsrumenadas en dos seccones como sólo en una. En la sguene fgura se muesran dos varanes de ese po de dsposvo. En cualquera de ellos se pueden alcanzar velocdades de solcacón del orden de 6 K & I = 0 MPa ms. Fgura.: Dsposvos de barra Hopknson modfcados para ensayos de flexón dnámca en res punos...5. Oros ensayos en barra Hopknson Además de los ensayos de flexón dnámca reseñados, se han desarrollado oros en los que se ulzan dsposvos de barra Hopknson con oro po de probeas y confguracones, con objeo de deermnar las propedades de fracura dnámca de los maerales. A connuacón se can algunos: a Ensayos de raccón sobre probeas clíndrcas enalladas laeralmene formando crcunferencas, a parr de las cuales se generan fsuras de faga y poserormene se ensayan a raccón dnámca. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 4

16 Ensayos de flexón dnámca Capíulo b Ensayos sobre probeas compacas en dsposvos de barra Hopknson de compresón, donde la probea se carga medane una cuña suada al fnal de la barra ncdene, como se muesra en el sguene esquema fgura.3. Fgura.3: Dsposvos para realzar ensayos de fracura dnámca sobre probeas compacas en una barra Hopknson. c Ensayos sobre probeas Charpy prefsuradas por faga y cargadas laeralmene medane un dsposvo de barra Hopknson modfcado fgura.4. La probea se carga en una de sus caras paralelas al plano que conene la fsura medane un pulso de compresón. Cuando alcanza la ora cara de la probea, paralela a la aneror, que puede consderarse lbre, se refleja como pulso de raccón y, dependendo de su magnud, cuando alcanza el exremo de la fsura puede provocar la propagacón de ésa. Fgura.4: Dsposvos para realzar ensayos de fracura dnámca sobre probeas Charpa cargadas laeralmene. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 5

17 Ensayos de flexón dnámca Capíulo d Ensayos sobre probeas compacas de compresón Compac Compreson Specmen, CCS, usadas en una barra Hopknson de compresón convenconal, como se muesra a connuacón. Fgura.5: Dsposvos para realzar ensayos de fracura dnámca sobre probeas compacadas de compresón en una barra Hopknson. De los dsposvos expermenales reseñados para deermnar las propedades de fracura dnámca de los maerales a ala velocdad de deformacón, capaces de alcanzar velocdades de solcacón de K& I 6 = 0 MPa ms, frene a las que se alcanzan en péndulo Charpy como máxmo K& I 5 = 0 MPa ms o las que se obenen en ensayos cuasesácos K& I = MPa ms, los más exenddos son los que permen realzar ensayos de flexón dnámca en barra Hopknson modfcada, como ponen de manfeso el gran número de esudos exsenes en comparacón con el reso. Exsen mayor experenca y conocmenos eórcos para analzar los resulados de ese po de ensayos. Por al movo, a connuacón se van a analzar los méodos que se usan Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 6

18 Ensayos de flexón dnámca Capíulo para la nerpreacón de los resulados de flexón dnámca en dsposvos de barra Hopknson modfcada..3. Obencón del facor de nensdad de ensones en ensayos de flexón dnámca en res punos En ese aparado se menconan los méodos que se ulzan para evaluar el facor de nensdad de ensones en ensayos de flexón dnámca en res punos, ano para fsuras esaconaras, como para aquellas que se propagan a velocdad v. Se han clasfcado los dferenes méodos en cuaro grupos: analícos, numércos, expermenales y mxos. Los aspecos más relevanes de cada uno de ellos se exponen a connuacón..3.. Méodos analícos Los méodos analícos se basan en el esablecmeno de un modelo smple del proceso de mpaco sobre la probea de flexón en res punos, con objeo de calcular los desplazamenos del puno donde se aplca la carga y, a parr de ese dao, evaluar el facor de nensdad de ensones, usando la msma relacón que lga dchas varables en el caso esáco. Se han ulzado varos pos de modelos, enre los que cabe desacar los basados en ssemas de un únco grade de lberad con la varedad de condcones e hpóess ncales descras a connuacón: Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 7

19 Ensayos de flexón dnámca Capíulo Velocdad consane del elemeno mpacador durane el empo que dura el ensayo. Velocdad varable con el empo expermenada por la masa que represena la probea de ensayo. Medcón de la varacón de la fuerza que se ejerce sobre la probea medane la nsrumenacón adecuada del elemeno que mpaca sobre ella. Tambén se ha modelado el proceso de mpaco medane un ssema de dos grados de lberad probea y elemeno mpacador en el que, además, consderaron los posbles efecos de dspacón vscosa provoca, ben por las caraceríscas vscoeláscas del maeral ensayado polímeros, por ejemplo, ben por el conaco probea-marllo o probea-apoyos. En ese modelo se nroduce como condcón ncal la velocdad con la que mpaca el marllo. Ulzando ssemas de nfnos grados de lberad, modelando la probea como una vga fsurada se han llevado a cavo los sguenes esudos: Cálculo de las frecuencas y modos propos de vbracón de flexón de una vga de Euler-Bernoull fsurada en su seccón cenral y ulzacón del méodo de superposcón modal para calcular, a parr de aquellas, el desplazameno del puno de carga, conocda la fuerza que se ejerce sobre la probea. Cálculo del msmo desplazameno ulzando, úncamene, la prmera frecuenca del ssema frecuenca fundamenal. En ese caso la ecuacón sgue sendo válda y el cálculo precso de la frecuenca fundamenal de la vga fsurada, omega, es de val mporanca. Ésa puede ser evaluada por el méodo aneror, Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 8

20 Ensayos de flexón dnámca Capíulo consderando que la probea se compora como una vga de Euler- Bernoull, aunque por las dmensones normalzadas de las probeas de flexón en res punos, se debe consderar, en el cálculo de omega, el efeco de la fuerza corane y de la energía cnéca debda a la roacón de las seccones de la vga vga de Tmoshenko..3.. Méodos Numércos Oras nvesgacones han ulzado méodos numércos prncpalmene por el Méodo de los Elemenos Fnos para la evaluacón del facor de nensdad de ensones. esaconara: Medane análss de modelos bdmensonales consderando la fsura Smulacón de ensayos de flexón dnámca realzados en un dsposvo de barra Hopknson modfcado, donde se modela la probea de flexón en res punos fsurada y se ulza como condcón de carga la fuerza en la seccón cenral de la probea, así como las reaccones que aparecen el los apoyos. Esas fuerzas se obenen expermenalmene en ensayos en los que ano la barra ncdene como las apoyos esán nsrumenados. Enonces se calcula el facor de nensdad de ensones a parr del desplazameno de un puno próxmo al exremo de la fsura, suponendo que la relacón que exse enre ese desplazameno y el facor de nensdad de ensones es la msma que en condcones esácas. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 9

21 Ensayos de flexón dnámca Capíulo Esudos en los que a las condcones del caso aneror se le añaden el modelado de la barra ncdene y la consderacón del conaco enre la barra ncdene y la probea en los cuales la presenca de los apoyos se smula mpdendo el desplazameno, en la dreccón longudnal de la barra ncdene, del puno del puno de la probea en conaco con los apoyos, o enre barra ncdene y probea más el conaco probea-apoyos. aneror. Tomando modelos rdmensonales se han realzado esudos smlares al Tambén se han obendo resulados numércos de ensayos de flexón en res punos en los que se ene en cuena la propagacón dnámca de la fsura. Para hacer ese po de esudos es necesaro, ben suponer una velocdad de propagacón de la fsura v, y calcular K I v, o ben, parr de una relacón, K I v, conocda, para obener la velocdad de propagacón de la fsura Méodos expermenales Los méodos que se denomnan expermenales son aquellos que permen obener nformacón sobre el campo de deformacones, ensones o desplazamenos en la probea, para, a parr de ellos, calcular el facor de nensdad de ensones en condcones dnámcas. Enre los dferenes procedmenos ulzados para alcanzar dcho objevo, cabe desacar los méodos ópcos, y enre ellos, los sguenes: Méodos basados en fooelascdad. Se han usado écncas fooeláscas ano por ransmsón, úncamene aplcable a sóldos brrefrngenes o a réplcas Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 0

22 Ensayos de flexón dnámca Capíulo realzadas con ese po de maeral, como por reflexón, en los que es necesaro recubrr el sóldo con una fna capa de maeral brrefrngene. Por esos procedmenos se puede vsualzar el lugar geomérco de los punos del sóldo donde la dferenca de las ensones prncpales es una consane conocda. Méodo de las cáuscas. El méodo perme deermnar el desplazameno de los punos de una superfce ncalmene plana en dreccón perpendcular a dcha superfce y consse en lumnar la superfce medane luz colmada, recogendo las rayos ransmdos o reflejados, dependendo de s es un sóldo ransparene, o una superfce especular, en una panalla suada en un plano que dsa una magnud conocda de la superfce lumnada. Debdo a los cambos a los cambos de espesor en el sóldo y al hecho de que se focalza en un plano dsno al plano del msmo, pare de los rayos no son recogdos, producéndose una zona oscura lmada por una línea lumnosa, que es la denomnada cáusca. Analzando la forma y amaño de esa cáusca se pueden calcular los desplazamenos perpendculares a la superfce en la zona vsualzada. Para que aparezca una cáusca, es precso que exsa una mporane deformacón no coplanara en la zona analzada. Ese hecho perme su ulzacón en probeas de fracura, donde exse una fuere concenracón de deformacones en el exremo de una fsura. Ilumnando el campo cercano al exremo de ésa, aparece una cáusca cuyo amaño se puede relaconar con el facor de nensdad de ensones. Méodos basados en dfracomería Moré. Ese méodo consse en nserar en el haz de luz que ha de ser coherene, un modelo de dos rejllas separadas una cera dsanca. Así consguen medr varacones del desplazameno no coplanaro con la superfce que se observa. A parr de esa nformacón, y ulzando la solucones elasodnámcas, se puede evaluar el facor de nensdad de ensones. Aunque con ese méodo no se pueden Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas

23 Ensayos de flexón dnámca Capíulo deermnar deformacones coplanaras, ene la venaja de que es nsensble a vbracones del ssema. Las aplcacones de los méodos menconados requeren el regsro de las correspondenes mágenes para su poseror procesado. Dado el carácer dnámco de los evenos que se preenden capar, es necesaro dsponer de cámaras de foografía y vdeo de ala velocdad. Oro méodo que se ha ulzado para la obencón de K I es el de la colocacón de bandas exensomércas cerca del exremo de la fsura para medr la deformacón longudnal en la dreccón de la banda, y a parr de ese dao obener el facor de nensdad de ensones. Dado que, con los méodos expermenales cados, el facor de nensdad de ensones se obene a parr de las solucones elasodnámcas que descrben los campos de ensones, deformacones y desplazamenos en un sóldo fsurado, la precsón con que pueden evaluar dcha magnudes ensones, deformacones, desplazamenos, es que gran mporanca. Oros procedmenos mucho más complejos, y por ello menos ulzados, son los basados en la medda del cambo de emperaura en el exremo de la fsura y de la emsón acúsca. Además de la complejdad de la nsrumenacón, ya menconada, dchos méodos sólo son aplcables al caso de greas que se esán propagando. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas

24 Ensayos de flexón dnámca Capíulo.3.4. Méodos mxos En ese po de méodos puede ser ncludo el denomnado como "méodo de la curva de respuesa al mpaco". Consse báscamene en suponer que se cumple la sguene expresón: dn K I = K I es k. donde K I es es el facor de nensdad de ensones calculado en condcones esácas y k dn en una funcón que ha de ser evaluada expermenalmene. Para ello se pueden ulzar bandas exensomércas suadas cerca del exremo de la fsura o el méodo de las cáuscas. Se ha pueso de manfeso que, cuando k dn se expresa en funcón de la varable admensonal c 0 /W, dcha funcón es ndependene de facores como la masa del elemeno mpacador, la velocdad de mpaco y el espesor de la probea, menras que depende, sn embargo, de la relacón enre la longud de la fsura y el cano a/w, y de la relacón enre le cano la dsanca enre apoyos W/L. Es mprescndble car, pues sobre ellos raa el presene esudo, los rabajos que han usado un procedmeno mxo, numérco-expermenal, basados en modelos descros anerormene, donde ulzando ssemas de nfnos grados de lberad se calculan las frecuencas y modos propos de vbracón de flexón de una vga de Euler-Bernoull fsurada en su seccón cenral y se aplca el méodo de superposcón modal para calcular el desplazameno del puno de carga, conocda la fuerza que se ejerce sobre la probea, en el que se ulza, como daos de parda para evaluar el facor de nensdad de ensones, las meddas expermenales de la fuerza ejercda por el elemeno mpacador sobre la probea y de la fuerza de reaccón ejercda por los apoyos. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 3

25 Ensayos de flexón dnámca Capíulo.4. Obencón del facor de nensdad de ensones en ensayos de flexón dnámca en un puno Ese ensayo consse en mpacar con una masa móvl una probea fsurada como en el caso de un ensayo de flexón en res punos, pero con la mporane dferenca de que la probea, ahora, no esá apoyada y por lo ano las ensones y deformacones que se producen en ella esán movadas, exclusvamene, por las fuerzas de nerca fgura.6. S, como consecuenca del esado de cargas generado, se alcanzan condcones crícas en el exremo de la fsura, esa se propagará. La masa que mpaca la probea puede ser el marllo de un péndulo Charpy, el percuor de una orre de caída de peso o ben una masa lanzada medane dsposvos neumácos. Tambén se han desarrollado ssemas de carga basados en la barra Hopknson modfcada. Normalmene, los ensayos de flexón en un puno se realzan ulzando el msmo po de probea que la usada en los ensayos de flexón en res punos, aunque recenemene se ha propueso la ulzacón de probeas en forma de arco, para aplcacones específcas. Fgura.6: Esquema de ensayo de flexón en un puno. Para obener el facor de nensdad de ensones en los ensayos de flexón en un puno se puede acudr a los msmos méodos menconados para el caso de flexón en res punos. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 4

26 Ensayos de flexón dnámca Capíulo.4.. Méodos analícos smplfcados Se ha modelado el ensayo de flexón en un puno analzando el comporameno de una vga de Euler-Bernoull sn apoyar y con una fsura en su seccón cenral, someda a una carga concenrada P en esa msma seccón, y ras calcular las frecuencas y modos propos de la vga en flexón, aplcando el méodo de superposcón modal, se puede obener el desplazameno del puno de aplcacón de carga, así como, ambén, el momeno flexor ransmdo por la seccón fsurada. El facor de nensdad de ensones se calcula hacendo la hpóess de que es proporconal, ben al momeno ransmdo por la seccón fsurada, ben a la dferenca enre el desplazameno del puno de carga y el desplazameno del puno que hubera esado apoyado en caso de un ensayo de flexón en res punos. Las consanes de proporconaldad usadas son las correspondenes al caso de flexón en res punos en condcones esácas..4.. Méodos numércos Los ensayos de flexón en un puno se han smulado numércamene ulzando el méodo de los Elemenos Fnos y el méodo de las Dferencas Fnas. La smulacón numérca de ese po de ensayos es más smple, dado que son más fácles de mponer las condcones de conorno, al no exsr ssema de apoyo. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 5

27 Ensayos de flexón dnámca Capíulo.4.3. Méodos expermenales En ese caso, el méodo consse en colocar bandas exensomércas cerca del exremo de la fsura. El ssema es dénco al que se descrbó en el caso de ensayos de flexón en res punos. Comparando los ensayos de flexón en un puno con los de flexón en res punos, se puede decr que la venaja de los prmeros se derva de la ausenca de apoyos, lo cual smplfca el dsposvo de ensayo y elmna las neraccones enre la probea y el ssema de apoyos. Sn embargo, como han pueso de manfeso análss numércos comparavos de ambos pos de ensayo, los de flexón en un puno sólo son aplcables a maerales muy frágles, dado que, para las msmas condcones, los valores máxmos de K I que se alcanzan son nferores a los de flexón dnámca en res punos..5. Obencón del empo de fracura La deeccón del nsane en el que comenza la propagacón de la fsura es de gran mporanca en la deermnacón de la enacdad de fracura dnámca de ncacón, K Id. La mayoría de las veces se ulza una banda exensomérca suada cerca del exremo de la fsura para deecar ese nsane. La banda regsrará una cera deformacón hasa el momeno en el que se produzca la propagacón de la fsura, nsane en el que en la banda se producrá una caída de dcha deformacón. Tambén se pueden usar bandas de hlo conducor sobre la fsura para deecar el nsane en el que comenza la propagacón. En ocasones se ha ulzado un procedmeno conssene en magnezar lgeramene la Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 6

28 Ensayos de flexón dnámca Capíulo probea, regsrándose con un dsposvo apropado la varacón del campo magnéco que se produce cuando la fsura empeza a crecer. Para la deermnacón de dcho nsane en ensayos de flexón en un puno se propone en algunos esudos la ulzacón del méodo basado en la colocacón de bandas exensomércas cerca del exremo de la fsura, sempre y cuando el empo que ranscurre desde que comenza el proceso de carga hasa que se nca la propagacón de la fsura, sea mayor de 50 ps. Cuando el empo hasa la fracura es menor de los cados 50 ps, se recomenda ulzar un méodo basado en la comparacón de la evolucón del facor de nensdad de ensones obendo por algún procedmeno numérco o analíco con el obendo expermenalmene..6. Influenca de la velocdad de deformacón en K Id Varos nvesgadores han pueso de manfeso que en maerales como, por ejemplo, los aceros esrucurales, cuando la roura es de po frágl, la enacdad de fracura dsmnuye cuando aumena la velocdad de solcacón. Ese hecho no se puede explcar recurrendo exclusvamene a modelos basados en la Mecánca de Medos Connuos, sno que requere conocer los mcromecansmos que desencadenan la roura en cada caso. Un modelo clásco aplcable a los cados maerales aceros esrucurales con roura frágl es el conocdo como K, según el cual, en un sóldo que conene una fsura, ésa comenzará a propagarse cuando la ensón prncpal máxma supere una ensón críca, σ f, a una cera dsanca del exremo de la fsura, dsanca que esá relaconada con caraceríscas mcroesrucurales del maeral. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 7

29 Ensayos de flexón dnámca Capíulo Por ora pare, alrededor del exremo de la fsura se forma una zona plásca recuérdese que la solucón elásca lneal predca ensones y deformacones nfnas en el msmo exremo de la fsura, denro de la cual las ensones y las deformacones se pueden descrbr ulzando las solucones del modelo H. Aplcando el crero local de roura, anes menconado modelo K, a dcha solucón ensonal, oros esudos han esablecdo que el facor de nensdad de ensones en el momeno en que la fsura empeza propagar, K c K Id en el caso esáco y K Id en el caso dnámco, se puede obener a parr de la expresón: K c σ σ y λn f. donde σ f es la ensón críca anes menconada, σ y es el líme elásco del maeral, y λn es una funcón del coefcene de endurecmeno por deformacón del maeral, n. Hay evdenca expermenal de que el líme elásco de los aceros esrucurales aumena con la velocdad de deformacón, menras que la ensón críca, o es consane o aumena en menor medda. Por lo ano, con esas premsas y con la relacón 4 se jusfca la dsmnucón de K Id, observada en los aceros esrucurales con roura frágl, cuando aumena la velocdad de solcacón. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 8

30 Capíulo 3 Méodos de cálculo

31 Méodos de cálculo Capíulo Planeameno del problema Se preende analzar el comporameno en flexón dnámca en res punos usando la eoría de vgas de Tmoshenko, pero permendo la posbldad real de pérdda de conaco enre probea y apoyos. El problema se va a formular consderando una vga de Tmoshenko fsurada sn apoyos someda a la carga ncdene F y a las cargas de reaccón, que se deben obener como pare de la solucón. Fgura 3.: Esquema del problema esudado. Para la resolucón del problema se aplcará Méodo de Superposcón Modal, para lo cuál hay que calcular, como prmer paso, las frecuencas y modos propos de vbracón de la probea ensayada. 3.. Obencón de las frecuencas y modos propos de vbracón de una vga fsurada lbre de apoyos Para obener las frecuencas y modos propos de vbracón de una vga fsurada en su seccón cenral como la mosrada en el esquema fgura 3., aplcamos la eoría de vgas de Tmoshenko, donde se supone que la presenca de Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 30

32 Méodos de cálculo Capíulo 3 la fsura sólo afeca al momeno de nerca de la vga en las cercanías de la fsura. Por ello la probea se asmla a una vga prsmáca con res regones: dos regones laerales con momeno de nerca I g =BW 3 / y una regón cenral con un momeno de nerca menor. Tal varacón del momeno de nerca se descrbe como funcón de la varable admensonal ξ=x/l en la expresón Iξ=I g [-Dδξ-/] 3. donde δ es la funcón Drac-dela y D depende del cocene a/w. El parámero D se obene comparando el desplazameno esáco de la seccón cenral de la vga usando la varacón del momeno de nerca dado en la ecuacón aneror 3., con el desplazameno obendo medane un análss de ensones: φ D = 3. 6 L / W donde λ 87.3λ 05λ, φ = λ 8.3λ 03.5λ para W/L=4 para W/L=8 3.3 y λ=a/w 3.4 Para valores dsnos de W/L el valor de φ se obendrá medane nerpolacón lneal a parr de los dos valores anerores. Con esa descrpcón de la varacón del momeno de nerca, el análss de las frecuencas y modos propos de vbracón de una vga de Tmoshenko fsurada se lleva a cavo hacendo uso de la ransformada de Laplace en la forma en que se descrbe a connuacón. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 3

33 Méodos de cálculo Capíulo 3 Fgura 3.: Geomería de las probeas. como Las ecuacones acopladas de una vga de Tmoshenko pueden ser escras y y ρa = κga ψ, L ξ L ξ 3.5 ψ y EI ξ ψ ρi g = κga ψ L ξ L ξ L ξ 3.6 donde aparecen los sguenes parámeros y coordenada en el eje ransversal de la probea ρ densdad del maeral A área de la seccón ransversal de la vga E módulo de Young G módulo de elascdad en coradura κ coefcene de coradura ψ el gro de la vga. Como se consdera que la presenca de la fsura solo afeca al momeno de nerca, las ecuacones anerores se pueden rescrbr como κga ρaÿ = y" Lψ ', L 3.7 κga E ρi g & ψ = y' Lψ [ I ξ ψ '], L L ξ 3.8 Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 3

34 Méodos de cálculo Capíulo 3 donde smbolza la dervada con respeco al empo y la dervada con respeco a la coordenada admensonal ξ. Suponendo las solucones del movmeno armónco de la forma y jω = Y ξ e y j = Ψ ξ e ω, 3.9 ψ donde j = ω es la frecuenca propa de vbracón de la vga, consegumos las sguenes ecuacones para las funcones espacales de Y y Ψ Y '' = n q Y LΨ ' = I ξ q Ψ' n q I g Y ' r Ψ = 0 L 3. con r q n I g = 3. AL υ κ = r ω AL = 3.4 EI g ρ υ coefcene de Posson Para smplfcar la solucón aneror, las ecuacones 3.0 y 3. pueden ser desacopladas medane la elmnacón de Ψ, obenendo así la sguene ecuacón para Y Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 33

35 Méodos de cálculo Capíulo 3 Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 34 [ ] A L A A q r n q Yd q r n n Y I I q r n Y I I g g 3 ' ' = = ξ ξ ξ ξ 3.5 donde A -A 3 son consanes de negracón. Susuyendo el valor de Iξ 3., e nroducendo dos consanes lnealmene ndependenes, B y B, dervadas de A, la ecuacón dferencal para el movmeno ransversal de la vga se puede escrbr como '' B B Yd q r n n Y q D r n Y D = = ξ ξ ξ δ ξ δ 3.6 Aplcando la ransformada de Laplace se obene la ecuacón de los modos propos de vbracón asocada a los desplazamenos como funcón de la varable admensonal ξ, 3.7 donde H es la funcón de Heavsde, y a y b son parámeros descros explícamene como / 4 / = n r q r q n b a m, 3.8 y B 3 y B 4 son consanes ndeermnadas., / / ] / sn / sn [ cos cos sn sn cos cos sn sn / / 4 3 a b H b b a a Y q n D Y b b a a B b b a a B b a B b b a a B Y = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

36 Méodos de cálculo Capíulo 3 Susuyendo la ecuacón 3.7 en 3.0, e negrando la expresón resulane, se obene una ecuacón para los modos propos de vbracón asocada a los gros ambén como funcón de ξ. C Ψ ξ = B a B C C cos aξ b cos a ξ C 4 4 cosbξ B cos b ξ B 4 C a a C 3 3 C sn aξ b sn a ξ b C 4 4 cosbξ cos b ξ 3.9 D C 3 cos a ξ C 4 cos b ξ H ξ D a sn a ξ b sn b ξ δ ξ }/ b a L, donde C C 3 a n q =, b n q =, 3. n q D = D Y, 3. / Y/ / ξ = ξ 3.3 Las consanes B -B 4 se evalúan defnendo las condcones de conorno en ξ=0 y ξ=. El valor nulo del momeno flecor y del esfuerzo corane en ξ=0, expresadas como Ψ = Y LΨ 0, permen evaluar las consanes B y B como = B = 0, 3.4 B b a n q 4 =. 3.5 B consanes Aplcando las condcones de conorno en ξ=, se obenen las oras dos Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 35

37 Méodos de cálculo Capíulo 3 B B 3 4 ac3 sn a bc 4 sn b = D cos a cosb C4b sn b cos b / / C b sn a 3 cos a / C3C4 C4 sn a a / = cos a cosb d D d C b 3 sn b 3.6 Después de susur las consanes B, la funcón Yξ, resrngda al nervalo nervalo 0 ξ /, se puede escrbr como sgue Y ξ D Y = d / n q Y/ { d [ a sn a ξ b sn b ξ ] b a [ C cos a ξ C cosb ξ]} De la evaluacón de Y / e Y / en la ecuacón aneror resula la ecuacón de frecuenca d [ a C sn a / b C sn b / ] d C C [ cos a / cos b / ] L / W b a = 0. φ Tenendo en cuena la smería de la vga fsurada, la ecuacón de Yξ 3.7 se puede smplfcar en la forma Y ξ C [ a a ξ b sn b ξ ] C [ C cos a ξ C cosb ξ] =, 3.9 sn 4 3 donde C4 a C3 b C = sn sn, 3.30 a b Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 36

38 Méodos de cálculo Capíulo 3 b = cos a C cos. 3.3 Y usando la ecuacón 3.9 con 3.0 se obene la funcón Ψ Ψ C C C3C4 ξ = [ C cos a ξ C cosbξ ] sn a ξ sn bξ L L a b 3.3. Evaluacón numérca de la fuerza resulane y del desplazameno de la vga en los apoyos Los ensayos nsrumenados de probeas prefsuradas han sdo amplamene usados para la deermnacón de la enacdad de fracura de maerales frágles. Durane esos ensayos la deformacón de la probea esá causada por las reaccones en los apoyos y por la fuerza aplcada. Sn embargo, es habual que an solo se regsren los valores de la fuerza ncdene, F. Debdo al desconocmeno de los valores de las reaccones en los apoyos para defnr las condcones de conorno en el análss eórco, es usual que se asuma el conaco permanene enre la probea y los apoyos. Desaforunadamene esa smplfcacón conradce las observacones expermenales y puede conducr a errores noables en la deermnacón de K. Los ensayos esándar no dsponen de la nsrumenacón necesara para la medda de los valores de F y, fuerza ncdene y fuerza de reaccón en los apoyos, smuláneamene. Por lo ano, se deben hallar los valores de a parr de los de F medane oros méodos. A connuacón se descrbe uno de ellos, donde se propone la aplcacón del Méodo de Superposcón Modal MSM. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 37

39 Méodos de cálculo Capíulo 3 Para defnr la neraccón enre la probea y los apoyos se han mpueso las sguenes condcones: El maeral de la probea es elásco, lneal e sóropa. Los apoyos son ndeformables. La neraccón enre la probea y los apoyos se defne medane dos fuerzas punuales e guales. Se consdera el modelo D de la fgura Fgura 3.3: Modelo bdmensonal de la probea ensayada. El Modelo de Superposcón Modal usado predce dos suacones en los punos de apoyo de la probea. En la prmera la probea permanece en conaco con los apoyos, y el desplazameno de la msma, δ, es cero, menras que en la segunda no exse al conaco, y el desplazameno se calcula medane la ecuacón de movmeno de la probea. Tenendo en cuena el ssema de coordenadas de la fgura, ambas condcones se pueden escrbr como 0 u > 0 δ = 3.33 u u 0 Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 38

40 Méodos de cálculo Capíulo 3 donde u es la componene y del desplazameno de la probea en los punos de conaco con los apoyos. Dcha componene se puede escrbr en dos pares. La prmera es el movmeno de la probea como un sóldo rígdo, u sr = F τ τ dτ τ τ dτ, 3.34 m 0 m 0 donde m es la masa de la probea τ es la varable emporal de negracón y es posvo haca arrba, en el sendo conraro a F. probea, La segunda pare de u es el desplazameno debdo a la flexón de la u flexón escrbr como. Usando el Modelo de Superposcón Modal, ésa se puede u N flexón = F τ sn ω τ = N Y τ sn ω τ 0 = F Y Y ω m ω m 0 dτ dτ 3.35 s son endos en cuena N frecuencas propas smércas ω, y modos propos de vbracón asocados a los desplazamenos Y e F Y smércos, de una probea lbre de apoyos. No se enen en cuena los modos propos ansmércos debdo a que no causan la aperura de la fsura, y por ano facores de Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 39

41 Méodos de cálculo Capíulo 3 Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 40 nensfcacón de ensones dsnos de cero. Los superíndces en F Y e Y ndcan el cálculo del modo propo en los punos de aplcacón de F y respecvamene, según la varable espacal admensonal ξ, es decr, F F Y Y ξ = con ξ F =x F /L Y Y ξ = con ξ =x /L Las masas asocadas a cada modo propo, m, se defnen como Ψ = / 0 ξ ξ ξ ρ d A I Y AL m 3.37 donde ambén aparecen los modos propos de vbracón asocados a los gros, Ψ, de los que, gualmene, solo se enen en cuena aquellos que son smércos. Combnando las ecuacones 3.33, 3.34 y 3.35 resula = = = N N F d m Y m d m Y Y m F 0 0 sn sn τ τ ω ω τ τ τ τ ω ω τ τ δ 3.38 que es la ecuacón que represena los desplazamenos de los punos ncalmene apoyados.

42 Méodos de cálculo Capíulo Algormo de cálculo Frecuencas y modos propos de vbracón Las frecuencas propas de vbracón de la probea son los valores de ω que cumplen la ecuacón de frecuenca 3.8, d [ a C sn a / b C sn b / ] d C C [ cos a / cos b / ] 6 L / W b a = Esudando dcha ecuacón es fácl ver que odos los facores presenes en la msma dependen de propedades geomércas y mecáncas de la probea, odas ellas consanes, y de coefcenes defndos enre las msmas. Solo la frecuenca, ω, presene en la defncón del coefcene admensonal n 3.4, φ n ω AL = EI g ρ 4 es ncógna en dcha ecuacón. La resolucón de la ecuacón conssrá en varar el valor del coefcene n, ncremenándolo en pequeños nervalos desde cero. Así se compararán los valores que oma la funcón enre un puno y el sguene, comprobando s se produce un cambo de sgno, en cuyo caso, por ser connua, omará un valor nulo en algún lugar del nervalo. Para obener con más exacud qué valor de n anula la funcón se recurrrá dferenes méodos de búsqueda de ceros, como los de la Bsecrz y la Inerpolacón. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 4

43 Méodos de cálculo Capíulo 3 Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 4 Tras haber recorrdo el ramo necesaro de la varable n para enconrar la candad de ceros deseados se recurrrá a la expresón 3.4, con el fn de obener los valores de las frecuencas propas de vbracón, ω, que corresponden a cada n anerormene calculada eaccones y desplazamenos en los apoyos Medane el desarrollo de la expresón de movmeno 3.38 = = = N N F d m Y m d m Y Y m F 0 0 sn sn τ τ ω ω τ τ τ τ ω ω τ τ δ se calcularán los desplazameno de la probea en las seccones de los apoyos y las reaccones que aparecen en esos como consecuenca de las fuerzas que la probea ejerce sobre los msmos. Suponendo las funcones, δ, F y lneales a ramos, la ecuacón aneror se puede resolver analícamene y rescrbr como τ τ ω τ τ τ τ ω τ τ δ δ d f m d h m F N N = = = sn sn 3.39 donde F F F F = τ τ, 3.40 = τ τ, 3.4

44 Méodos de cálculo Capíulo 3 Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 43 F m Y Y h ω =, F m Y Y f ω = 3.4 y los valores de las masas equvalenes se hallarán aplcando la regla del rapeco en pequeños nervalos de su varable de negracón. esolvendo las negrales y agrupando érmnos para abrevar, la expresón fnal que se obene es = = = N N G m H m F F 3 6 δ δ 3.43 donde = sn cos F F F h H ω ω ω ω ω, = sn cos f G ω ω ω ω ω 3.44 y F F F =, =, = 3.45 La suposcón de que las funcones son lneales por ramos esá jusfcada en ese caso, pues las reaccones y desplazamenos se calculan a parr de de los valores que oma la fuerza ncdene, daos que son obendos medane procedmenos expermenales. Los resulados serán ano más reales cuano

45 Méodos de cálculo Capíulo 3 mayor sea la frecuenca con la que se regsran los valores de fuerza ncdeneempo desde el nsane del prmer conaco enre elemeno ncdene-probea. Para resolver la ecuacón 3.43, donde las ncógnas son δ y, se comenza por susur los valores ncales de δ y, que corresponden al nsane de la oma del prmer dao de fuerza ncdene y empo. En dcho momeno la fuerza ncdene odavía es cero, por ano el desplazameno ambén lo es, y las reaccones en los apoyos valen la mad del peso de la probea, de magnud desprecable. De esa forma se calcularán los valores de δ y, que referdos al nsane de la segunda oma de daos de. Procedendo de gual manera con los sguenes daos de fuerza ncdene y empo se obendrán los valores correspondenes al sguene puno de la gráfca de F, y así sucesvamene hasa el úlmo nervalo. Para poder resolver la ecuacón se debe defnr maemácamene la relacón que exse enre las ncógnas, δ y, en cada uno de los dos casos posbles, haya o no conaco enre la probea y los apoyos: a Prmero se supondrá que no hay conaco, por ano la reaccón será nula, =0, y se resolverá la ecuacón 3.43 para calcular δ. La suposcón será acerada solo cuando δ <0, resulado que corroborará que, efecvamene, en el nsane la probea ha perddo el conaco con los apoyos. esulados dferenes para δ sgnfcarán que la suposcón de la pérdda de conaco es errónea, y que por el conraro el ensayo se enconrará en la segunda de las posbldades. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 44

46 Méodos de cálculo Capíulo 3 Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 45 b Cuando la probea esé en conaco con los apoyos el desplazameno de la probea será sempre nulo, δ =0, debdo a la suposcón de que los apoyos no pueden deformarse, condcón que excluye los valores de δ >0. Enonces aparecerán fuerzas de reaccón como oposcón a las que ejerce la probea sobre los apoyos. Las reaccones podrán omar ano valores muy cercanos a cero como oros de la msma magnud que los de la fuerza ncdene, lo que quere decr que 0. Susuyendo δ =0 y operando en la solucón analíca de la ecuacón de movmeno, 3.43, se obendrá como resulado el valor de las reaccones en los apoyos en el nsane. A connuacón se muesran los desarrollos de ambos casos a parr de la solucón analíca de la ecuacón de movmeno a Al susur el valor =0 el desplazameno δ se calcula como = = = N N f m H m F F sn cos 3 6 ω ω ω ω δ δ 3.46 b Susuyendo δ =0 y sacando facor común y se obene que = = = = N N N f m f m H m F F sn 3 sn cos ω ω ω ω ω ω ω δ 3.47

47 Méodos de cálculo Capíulo 3 Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 46 y por lo ano sn 3 sn cos 3 6 = = = = N N N f m f m H m F F ω ω ω ω ω ω ω δ Breve descrpcón del programa Frecuencas y modos propos de vbracón En la prmera línea del códgo del programa ceros se defnen las varables de enrada y salda de la funcón, que se referen a las propedades geomércas y físcas de la probea las prmeras, y como varable prncpal de salda, las frecuencas propas de vbracón de la probea. A connuacón, hasa la línea 3, se pde la nroduccón de los valores geomércos y físcos de la probea a ensayar así como el número de frecuencas propas que se desea buscar, y se defnen y calculan parámeros geomércos, como el área de la seccón ransversal, el momeno de nerca de la msma o un cocene enre la profunddad de fsura y el cano de la probea. La sguene senenca condconal, líneas 4 a calcula el parámero ph medane dos expresones dferenes para sendos valores fjos del cocene de la longud de la probea enre su cano, e nerpola su valor a parr de los anerores en los demás casos.

48 Méodos de cálculo Capíulo 3 En ese puno línea 3 se han calculado odos los parámeros que permanecen consanes en el programa, y se comenza el cálculo de los ceros de la funcón de frecuenca, f. Las operacones necesaras para ello se reperán anas veces como el número de ceros a buscar defndo anerormene gracas al bucle whle líneas 8 a 58 y a su conador l, ncalzado prevamene y que se ncremenará cada vez que se encuenre un cero. Ya se ha dcho que exsrá un cero en los nervalos en que dcha funcón camba de sgno, es decr, enre el puno f y el aneror, f, cuyos valores dependen de los que oma de la varable n enre el puno nj, y el aneror, n, respecvamene, esos úlmos separados por un paso ncn. La referenca al puno aneror requere que se ncalce el prmer puno de f y n. Cuando se da con al nervalo, condcón represenada con la senenca f líneas 39 a 56, se recurre a la funcón de Malab fzero, que se encarga de aplcar reeradamene los méodos de la bsecrz e nerpolacón a la funcón de frecuenca hasa enconrar un cero con la precsón especfcada. Para ello recurre a una subfuncón, fun, donde se defne la funcón de frecuenca y sus parámeros úncamene como funcón de n líneas 04 en adelane. Los daos de los parámeros que resulan en el cero, así oros parámeros dependenes de ésos, y la frecuenca correspondene, se almacenan en la poscón l de vecores con su nombre para su poseror uso, ras lo cual se ncremena el conador l, el nervalo somedo a esudo en ncn, y f oma el valor calculado para f. En el caso de no darse el cambo de sgno necesaro para la exsenca de un cero solo se ncremena el nervalo de esudo y el valor de f y, como ambén ocurre en el caso aneror, el proceso connua hasa consegur el número de ceros requerdos. Por ser de uldad, se ha ncludo en ese programa el cálculo de la masa equvalene asocada a cada modo propo, códgo que se explcará en el sguene. Fnalmene los resulados del programa se almacenan para su poseror consula. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 47

49 Méodos de cálculo Capíulo eaccones y desplazamenos en los apoyos Como anes, en las prmeras líneas se defnen las varables del programa y se cargan ano los daos de la probea comos los resulados del programa aneror, almacenados en los archvos probea y ceroymasa. A connuacón se pde que se defna el número de modos propos que el programa endrá en cuena, y se calculan parámeros consanes, como la masa de la probea, la poscón del prmer apoyo, y las poscones admensonalzadas con L del prmer apoyo y de la fuerza ncdene líneas a. En prmer bucle for lneas a 5 se calculan y almacenan los Y de cada modo propo smérco recorrendo los vecores necesaros obendos en el programa aneror. F Y e Los sguene es calcular la masas equvalenes líneas 6 a 3 de cada modo propo, para lo que el bucle for recorre los modos smércos, y medane el bucle andado whle se ncremena la varable de negracón ch en nervalos prevamene defndos, nervalos enre los que se calcula la negral de m aplcando la regla del rapeco. El valor oal de la negral se consgue smplemene sumando el resulado del úlmo cálculo ejecuado con el que enía la varable anerormene. La ercera pare del programa líneas 3 a 60 se encarga del cálculo de las reaccones y desplazamenos en los punos que marcan los vecores de la fuerza ncdene conra el empo, lo que consgue recorrendo ésos con el prmer bucle for. Anes es necesaro ncalzar los prmeros valores de y dela, y una vez denro del bucle se defnen los valores de los ncremenos de F y T para cada paso y se ponen a cero oros parámeros. Sendos bucles andados for calculan Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 48

50 Méodos de cálculo Capíulo 3 los sumaoros de parámeros dependenes de los modos propos de forma smlar a como se hace en el cálculo de m. En la línea 44 se verfca el valor de dela, calculado en la aneror suponendo que hay pérdda de conaco enre probea y apoyos, que de ser cero sgnfcaría que las reaccones en ese nsane son cero línea 45. En caso conraro, lo que represena con el condconal elsef, se da a dela valor cero y se realzan las operacones necesaras para calcular las reaccones. Fnalmene se almacenan los vecores obendos de ndependenemene y en forma de marz. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 49

51 Capíulo 4 Casos analzados, resulados y dscusón

52 Casos analzados, resulados y dscusón Capíulo Caso de referenca analzado El prmer caso analzado será uno en el que, medane la nsrumenacón adecuada de los dsposvos del ensayo, se regsraron los valores de la fuerza ncdene. Se ensayó sobre una probea de Aralde B, cuya geomería y propedades mecáncas se muesran a connuacón juno con la confguracón del ensayo: Fgura 4.: Geomería de la probea y confguracón del ensayo. y cuyos valores son los sguenes L= 4 mm ρ= 6 kg/m 3 W=00 mm E= 3380 MPa B= 0 mm υ= 0.33 a= 30 mm κ= 5/6 S= 400 mm I g = mm 4 Las meddas de fuerza ncdene y empo regsradas durane el ensayo se represenan gráfcamene a connuacón. Ensayos de flexón dnámca sobre vgas fsuradas 5