El Método de Monte Carlo para la Solución de la Ecuación de Transporte

Transcripción

1 Anál de Reacore Nucleare Faculad de Ingenería-UNAM Juan Lu Franço El Méodo de Mone Carlo para la Solucón de la Ecuacón de Tranpore En la prácca, mucho problema de ranpore no e pueden reolver por méodo analíco, por lo que hay que hacer uo de méodo numérco, ale como lo baado en negracón numérca o lo baado en el méodo de Mone Carlo. La prmera caegoría cone eencalmene de vara écnca para negrar numércamene una ecuacón negral o dferencal. En el méodo de Mone Carlo, la hora de lo neurone e reproduce en dealle en una compuadora. E mporane recordar que en cada eapa de la vda de un neurón, u comporameno fuuro e puede deermnar con ayuda de vara funcone de drbucón de probabldad. Por ejemplo, la localzacón de una neraccón e deermna con la funcón p( = Σ exp( Σ ; el po de neraccón e deermna por aa de eccone efcace (por ejemplo, / e la probabldad de que una neraccón ea una dperón eláca; el ángulo de (ϑ ; y aí dperón del neurón ( e dperado e obene de la eccón efcaz dferencal ( ucevamene. En un cálculo de Mone Carlo, ea drbucone de probabldad on muereada por una compuadora de al forma que la hora calculada de lo neurone ean reproducda exacamene como ocurrría en un problema fíco real. Por lo ano, con ee méodo e poble obener pao por pao el rayeco aleaoro de la parícula a ravé del medo, obenendo aí la drbucón exaca de lo neurone. Dado que el méodo de Mone Carlo e baa eencalmene en concepo eadíco, el reulado obendo no e únco, no una emacón con un nervalo de confanza alrededor del valor verdadero. Por lo aneror, una de la devenaja del méodo e la magnud del error obendo aocado con el reulado. Con la fnaldad de reducr el error a un nvel acepable, e requere egur un gran número de hora de parícula dede u nacmeno haa u muere, lo que mplca empo de cómpuo muy grande. Trayecora de la Parícula. La vda de una parícula nca con u nacmeno, ya ea por una fuene de neurone exerna o por una fón, y ermna con la aborcón o con el ecape del ema. Lo eveno que ocurren durane la vda del neurón e regran y e converen en la hora del neurón, pero, como e menconó anerormene, debdo a que la hora de una ola parícula no e repreenava del ema, e debe evaluar una candad adecuada de hora para decrbr realmene lo fenómeno del ema de neré. Condéree la rayecora de una parícula que vaja a ravé de un medo homogéneo, dado que la parícula e dperada frecuenemene, u rayecora erá en zg-zag, al como e muera en la Fgura. Suponendo que la parícula e orgna en la pocón A, con dreccón y energía conocda, al nco endrá un vuelo lbre haa que ene una colón con algún áomo del medo, que podría reular en la aborcón de la parícula y la nmedaa ermnacón de u hora. Pero, uponendo que la neraccón e de dperón, la parícula ufre un cambo en energía y en dreccón. Tano el cambo en energía como el cambo en dreccón on proceo eadíco (e decr, no hay una únca energía y dreccón depué de la dperón, para lo cuale hay una drbucón de probabldad. En la Fgura e oberva como Derecho reervado Págna de 7

2 Anál de Reacore Nucleare Faculad de Ingenería-UNAM Juan Lu Franço depué de la prmera dperón, la mma parícula ene oro vuelo lbre y poerormene colona, y aí ucevamene. Para rarear a la parícula durane u vaje e necearo conocer: u coordenada epacale ( x, y z, la coordenada eférca de u dreccón ( 0 0, 0 ufcene para defnr el eado, α, de la parícula, donde: θ, φ y u energía. Ea varable on α α( x, y, z; E; θ, φ ( z (x 2, y 2,z 2 S 2 (x 3, y 3,z 3 A (x 0, y 0,z 0 S 0 S y (x, y,z x Fgura. Trayecora Aleaora de una Parícula a ravé de un Medo. El ema de coordenada eférca que defnen la dreccón de la parícula e lura en la Fgura 2. z θ Ω Dreccón de la parícula en el epaco y φ x Noa: el ema de coordenada orogonal ( x', y', z' ( x, y, z baco de referenca de la fgura. e paralelo al ema Fgura 2. Dreccón de la Parícula en Coordenada Eférca ( θ, φ. Derecho reervado Págna 2 de 7

3 Anál de Reacore Nucleare Faculad de Ingenería-UNAM Juan Lu Franço La rayecora de una parícula e puede conrur de colón a colón como una uceón de eado α α,...,, α n 0, donde el -émo eado e: α α x, y, z ; E ; θ, φ (2 ( Por lo ano, en el -émo eado, una parícula ene la coordenada epacale del puno en donde ocurre la colón y ano la energía y dreccón de la parícula depué de dcha colón. A excepcón del eado ncal, cada eado ucevo ea en funcón del eado prevo y de la leye de dperón obedecda por la parícula en el maeral de neré. Por ejemplo, el eado α 0 comenza con condcone ncale y por muereo aleaoro de la drbucone de probabldad correpondene a cada po de neraccón e deermna el eado α, y aí ucevamene, conruyendo de ea forma la hora de la vda de cada parícula. Obvamene, e requere de procedmeno maemáco para elecconar la pocón de la guene colón, aí como la nueva energía y dreccón de la parícula, e que obrevve a una colón. Condéree un parícula que ha ufrdo u -éma colón (una dperón, la coordenada del puno de u guene colón e obenen de la guene manera: e la longud de la rayecora que la parícula vaja haa u próxma colón, la probabldad de que la parícula vaje la danca n ener una neraccón e e Σ. La probabldad de que la parícula endrá una neraccón en el nervalo d e Σ d, por lo ano, la probabldad de que la parícula endrá una neraccón enre y + d e: Σ Σ e d, (3 donde Σ e la eccón efcaz macrocópca oal. El guene pao e eablecer un procedmeno para elecconar aleaoramene un valor de ( de la funcón de probabldad dada por la ecuacón (3. Una vez deermnado el valor de, la coordenada de la guene colón e obenen de: x y z = x = z = y + ( enθ coφ + ( enθ enφ + (coθ (4 De forma mlar, la energía de la parícula depué de la dperón e obene muereando la funcón de probabldad apropada. Por ejemplo en el cao de un foón el proceo de dperón e la dperón Compon, y la funcón de drbucón correpondene eá dada por la eoría de Klen-Nhna, obenendo aí la nueva energía, E. Lo ángulo locale depué de la dperón ( θ 0, φ ambén pueden deermnare, θ 0 e el ángulo de defleccón y φ e el ángulo azmual (ver Fgura 3. Uualmene el ángulo φ e drbudo aleaoramene en el nervalo de 0 a 2 π. Fnalmene, con lo ángulo locale ( θ 0, φ e puede deermnar la nueva dreccón de la parícula, θ, φ. ( Derecho reervado Págna 3 de 7

4 Anál de Reacore Nucleare Faculad de Ingenería-UNAM Juan Lu Franço dreccón arbrara en el plano perpendcular a la dreccón aneror φ nueva dreccón θ 0 dreccón aneror cenro de dperon Fgura 3 Angulo locale de Dperón de la Parícula. Haa aquí e ha decro como e obenen eórcamene la rayecora de la parícula, conforme e dfunden a ravé de un medo, dede u nacmeno haa u aborcón o haa que ecapan del ema. Técnca de Muereo Aleaoro. Por ahora e claro que con el méodo de Mone Carlo e nena deducr el comporameno promedo de oda la parícula en un medo, mplemene muereando aleaoramene el comporameno de alguna de ella. El requo fundamenal para dearrollar el méodo de Mone Carlo e relaconar un número aleaoro a un eveno fíco, de al forma que eén frmemene lgado a la leye de probabldad. Eo generalmene e cumple obenendo una funcón de dendad de probabldad, frecuenca relava de u varable aleaora p(, la cual decrbe la x y defnda en el nervalo de odo lo valore poble que puede omar x. En la eccón aneror e moró un ejemplo mporane, e decr: con la longud de la rayecora de la parícula. Oro ejemplo mporane e la funcón de drbucón de Maxwell-Bolzmann, para la drbucón de energía de lo neurone en equlbro érmco con lo áomo del medo, la cual ea dada por: Σ e Σ, relaconada n( E = cee / 2 e ( E / kt (5 Má formalmene, una funcón de dendad de probabldad (pdf, por u gla en nglé probably deny funcon e defne como gue. Sea prob( x < X < x + Δ, la probabldad de que una varable aleaora enga valore en el nervalo ( x, x + Δ. La pdf p( eá relaconada a ea probabldad por la gualdad: Derecho reervado Págna 4 de 7

5 Anál de Reacore Nucleare Faculad de Ingenería-UNAM Juan Lu Franço prob ( x < X < x + Δ = p( como Δx 0, Uando noacón dferencal, e puede nerprear ( x, x + d nervalo o: p ( dx = ( x dx como la probabldad de ocurrenca de x en el p probabldad de que ocurrrá una neraccón enre x y x+dx. x ocurre en un nervalo connuo, enonce: p( b prob ( a < x < b = p( dx. (6 Dado que una pdf decrbe la frecuenca relava de ocurrenca de poble valore de x, e gue que: a x obre odo el nervalo de 0 p(, p( dx = para oda x (7 En la prácca, la funcón puede er connua como e defnó anerormene, o puede er dcrea cuando hay un número fno de poble reulado. Por ejemplo, el epecro de energía de lo neurone de fón p( χ (E, e una funcón de dendad de probabldad connua. Un ejemplo de una funcón dcrea e puede conrur noando que dperón en un maeral, repecvamene, con a / y / on la probabldade de aborcón y la eccón efcaz mcrocópca oal. Decrpcón del Códgo MCNP-4B. El códgo MCNP-4B (por u gla en nglé: Mone Carlo N-Parcle verón 4B, e uno de lo códgo má ulzado en fíca de reacore y conderado como una referenca. E un códgo de ranpore de propóo generale y geomería generalzada que ulza el méodo numérco de Mone Carlo para la olucón de problema y que puede uare en dferene modaldade: ranpore de neurone, foone o elecrone, ranpore de neurone/foone, neurone/foone/elecrone, foone/elecrone o elecrone/foone, ademá de cálculo de crcdad de ema fíle con la obencón de un facor de mulplcacón de neurone,. Su aplcacone pueden er muy varada: egurdad nuclear, cálculo de blndaje, anál y deño de deecore, domería peronal, ec. El códgo emplea una bbloeca de dao nucleare conínua en energía, baada prncpalmene en la evaluacone del ENDF/B-VI (por u gla en nglé Evaluaed Nuclear Daa Fle y del ENDL (por u gla en nglé Evaluaed Nuclear Daa Lbrary. A connuacón e da una decrpcón general del méodo de Mone Carlo para realzar cálculo de crcdad. Derecho reervado Págna 5 de 7

6 Anál de Reacore Nucleare Faculad de Ingenería-UNAM Juan Lu Franço Cálculo de Crcdad. Como e abe, en cálculo de crcdad, e de gran mporanca emar el valor del facor de mulplcacón efecva de neurone (. En eo cálculo, un grupo de hora de neurone e refere a un cclo de (en eoría de reacore e defne como una generacón de neurone, donde el facor de mulplcacón eá dado por la razón del número de neurone generado en lo eveno de fón que e preenan en el cclo, enre el número de neurone cuya hora on evaluada en ee cclo (e decr, el número de neurone al nco de la generacón. El valor eperado del facor de mulplcacón e ema, promedando obre lo eveno en el cclo de. De la mma forma, ambén e puede obener el valor eperado de la probabldad de fuga o la fraccón de eveno que llevan a capura. El error relavo en la emacón de uualmene dmnuye conforme el número de cclo de aumena, por lo que e necea un gran número de cclo para obener una buena emacón. El facor de mulplcacón e ema medane la guene expreón: k = N N k = (8 donde k e el facor de mulplcacón emado para el ema de neré, y mulplcacón emado en el -émo cclo. k e el facor de La aproxmacón de Mone Carlo e puede reumr como gue: una ecuenca de número aleaoro ( 0 < r < e ua para producr una drbucón aleaora de candade que mulan el problema de neré. Un ejemplo de cómo funcona el méodo de Mone Carlo para obener el facor de mulplcacón en un medo mulplcavo e el guene: r. Para el prmer cclo del cálculo del facor de mulplcacón de neurone (, deermnar la pocón ncal del neurón. 2. Ulzar un número aleaoro para elecconar la energía del neurón. 3. Uar el guene número aleaoro para deermnar la dreccón coeno del neurón. 4. Deermnar la localzacón de la guene colón con el guene número aleaoro (la danca que recorra el neurón depende de la eccón efcaz del maeral. 5. Verfcar la nueva pocón del neurón para deermnar ha ecapado del ema; eo ocurre, agregar un uno a lo ecape oale y regrear al pao empezando ora hora o cclo; de ora forma, connuar. 6. Deermnar qué po de neraccón ocurró en la nueva pocón baado en el guene número aleaoro. Cada po de neraccón ene aocada una eccón efcaz que deermna u probabldad de ocurrenca: a S la neraccón e una dperón, deermnar la energía del neurón depué de la dperón ulzando el guene número aleaoro. Connuar en el pao 3 para aber la rayecora del neurón dperado. b S la neraccón e una aborcón, regrear al pao y empezar oro cclo con un nuevo neurón. Derecho reervado Págna 6 de 7

7 Anál de Reacore Nucleare Faculad de Ingenería-UNAM Juan Lu Franço c S la neraccón e una fón, deermnar cuáno neurone e producen en ee eveno de fón (ulzando la bbloeca del códgo y deermnar el número oal de neurone que e han producdo en el cclo. Tambén deermnar la pocón de lo neurone que e produjeron en la fón para que rvan como nco de oro cclo (eo reemplaza al pao en fuuro cclo de. 7. Cuando e han compleado la hora que e han olcado (la ufcene para una eadíca adecuada, evaluar la dvdendo el número de nuevo neurone creado en ee cclo por el número de hora evaluada en el cclo. Reper el proceo para ano cclo como ean requerdo para obener una eadíca apropada. Emacón del Error. MCNP da lo reulado en forma de coneo (alle relaconado a la correne de parícula, flujo de parícula y a la depocón de energía, donde un ally e la candad a emar (core promedo, obendo al umar odo lo core de oda la hora. Lo alle de MCNP on normalzado por parícula ncadora y on mpreo en la alda, acompañado por un egundo número, R, que e el error relavo emado y que e defne como la devacón eándar emada del promedo ( S dvdda por el promedo emado ( x. En MCNP, la candade requerda para emar ee error, on calculada depué de cada hora complea de Mone Carlo, que condera el hecho de que la dferene conrbucone a un ally de la mma hora eán correlaconada. Para un ally ben comporado, R erá proporconal a / N donde N e el número de hora, de al forma que e deea dmnur a la mad R, e debe ncremenar el número oal de hora cuaro vece. Para un ally pobremene comporado, puede ncremenare conforme el número de hora ncremena. R El error relavo emado e puede uar para obener nervalo de confanza alrededor del promedo emado, permendo hacer una declaracón acerca de cuál e el reulado verdadero. El Teorema del Líme Cenral eablece que conforme N ende a nfno hay una probabldad del 68% de que el reulado verdadero e encuenre en el nervalo x ± R, una probabldad del 95% en el nervalo x ± 2R y una probabldad del 98% en el nervalo ± x 3R. Una declaracón repeco a la exacud requere un anál deallado de la ncerdumbre en lo dao fíco, modelado, écnca de muereo y aproxmacone, ec., uado en un cálculo. x Derecho reervado Págna 7 de 7