JUEGOS RESTRINGIDOS MULTICRITERIO. Amparo Mª Mármol Conde Luisa Monroy Berjillos Victoriana Rubiales Caballero 1

Transcripción

1 éodo aemáco para la Economía y la Emprea JUEGOS RESTRINGIDOS UTICRITERIO Amparo ª ármol Conde ua onroy Berllo Vcorana Rubale Caballero Deparameno Economía Aplcada III Unverdad de Sevlla Reumen: a eoría de uego euda problema de decón mulperonale y proporcona una meodología mporane para el anál cuanavo en la cenca ocale. Denro de ee marco, lo uego rerngdo permen una formulacón má reala y prácca de cero problema de decón bao ncerdumbre. Ee po de uego urgen cuando la eraega de uno o má ugadore eán omeda a cera rerccone lneale. El obeo de ee rabao e eudar lo uego marcale vecorale rerngdo y poner de manfeo u poencaldad para analzar y reolver problema en lo que aparecen decore y crero en conflco. Proponemo un procedmeno para reolver el uego rerngdo cuando la rerccone adconale a la que eán omeda la eraega de lo ugadore, deermnan un ubconuno polédrco del conuno de u eraega mxa. Ee procedmeno cone en reolver un uego no rerngdo, cuya marz lleva ncorporada la nformacón adconal de que e dpone. Ademá, en eo problema, el apeco compuaconal cobra epecal relevanca, pue no ólo e mporane el anál eórco de la exenca de olucone no ambén e convenene dponer de procedmeno efcace para obener la olucone y analzar u propedade. Palabra clave: Teoría de uego, uego mulcrero, programacón lneal mulobevo. a nvegacón de la auora eá parcalmene ubvenconada por el nero de Educacón y Culura. Proyeco n. PB

2 ármol A.., onroy., Rubale V.. Inroduccón o uego rerngdo on aquello en lo que la eraega de uno o de ambo ugadore eán uea a cera rerccone adconale. Ee po de uego permen una formulacón má reala y prácca de cero problema de decón bao ncerdumbre. Aí, un ugador puede ncorporar al conuno de u eraega rerccone que repreenen lmacone obre lo recuro, relacone écnca o cualquer oro po de rerccón que pueda preenare. De la mma forma, e mporane que el ugador pueda conderar cualquer nformacón acerca de la frecuenca relava con que u oponene ulza u eraega. En uego ecalare, donde hay una únca regla de decón para cada ugador, el uego rerngdo puede repreenare equvalenemene como un uego en forma normal nroduccendo eraega peudopura, (Charne (953)), que e correponden con lo puno exremo del poledro convexo de eraega mxa rerngda. En un enorno de decón má general, e hace necearo la conderacón de má de un crero de decón para eablecer la eraega que van a ulzare en la realzacón del uego. Ea uacone e modelzan como uego en lo que lo pago on vecore. o prmero reulado obre uego mulcrero, o uego vecorale, rerngdo urgen en un neno de exender lo ya exene para uego ecalare. Chandra y Durga Praad (992) eudaron la relacone enre cero uego vecorale rerngdo y un par de problema mulobevo. Sngh y Rueda (994), guendo el rabao de Chandra y Durga Praad (992), eudaron la conexón enre un puno de equlbro de un uego vecoral rerngdo y un puno de lla generalzado, de do problema de programacón no lneal aocado. En ee rabao analzamo y reolvemo lo uego marcale rerngdo mulcrero, conderando como concepo de olucón la eraega de egurdad Pareoópma, eablecdo por Ghoe y Praad (989), y poerormene eudado por Fernández y Puero (996) y onroy (996). Proponemo un procedmeno para reolver el uego rerngdo cuando la rerccone adconale a la que eán omeda la eraega de lo ugadore, deermnan un ubconuno polédrco del conuno de u eraega mxa. Ee procedmeno cone en reolver un uego no rerngdo, cuya marz lleva ncorporada la nformacón adconal de que e dpone. Ademá, en eo problema, el apeco compuaconal cobra epecal relevanca, pue no ólo e mporane 534

3 éodo aemáco para la Economía y la Emprea el anál eórco de la exenca de olucone no ambén e convenene dponer de procedmeno efcace para obener la olucone y analzar u propedade. El rabao eá organzado de la guene forma. En la eccón 2 preenamo el modelo y eablecemo la defncone báca que e ulzarán en el reo del rabao. En la eccón 3 eudamo lo uego mulcrero rerngdo. A connuacón, en la eccón 4, lo reulado obendo e luran con un eemplo de un modelo publcaro. El rabao fnalza con una eccón dedcada a la concluone. 2. odelo y reulado prevo Conderemo un uego fno bperonal de uma nula en forma normal, con marz de pago A = ( a ), n, m. Cada elemeno a de la marz A e un vecor k- dmenonal, a = ( a (),..., a ( k)), que deermna k marce de orden nxm de la forma A( ) = ( a ( )), k, n, m o ugadore lo denoamo por JI y JII. o epaco de eraega mxa para JI y JII on repecvamene X Y = { x R n = { y R m / / n = m = x =, y =, y x,, =,..., n } =,..., m } El pago eperado del uego cuando lo ugadore ecogen u eraega mxa x X y Y vene dado por el vecor v( x, y ) = x Ay = ( v ( x, y ),...,v ( x, y )) donde v ( x, y ) = x A( )y =,...,k Cada eraega x X, (repecvamene y Y ) defne k nvele de egurdad v ( x ) (repecvamene ( y ) ) como lo pago con repeco a cada crero v v, =,...,k cuando JII (repecvamene JI) nena maxmzar (repecvamene mnmzar) el crero. De aquí k e v ( x) = mnv ( x, y) = mn x A( ) y y Y y Y v( y) = maxv ( x, y) = max x A( ) y x X x X endo el vecor nvel de egurdad para cada ugador ( v ( x),..., v ( x) ) v( y) ( v ( y),..., vk ( )) v( x) = k = y 535

4 ármol A.., onroy., Rubale V. Uando nuera noacón, nroducmo la defncón de eraega de egurdad Pareoópma (POSS) eablecdada por Ghoe y Praad (989). Defncón 2.. Una eraega x * X e una eraega de egurdad Pareo-ópma para JI no exe * * x X al que v( x ) v( x ), v( x ) v( x ). Una eraega y * Y e una POSS para JII no exe Dada una eraega * y Y al que v( y ) v( y ), v( y ) v( y ). x X, el nvel de egurdad -émo de JI vene dado por * v ( x ) = mnv ( y Y x, y ) = mn x y Y A( )y El problema a reolver e un problema lneal ecalar, por ano, ene una olucón ópma enre lo puno exremo del poledro Y. Por ello, podemo exprear n v ( x) = mn x a ( ) o marcalmene v ( x) mn x A( ) m = = Conderemo el guene problema de programacón lneal mulobevo que llamamo el problema lneal del uego mulcrero (PJ) ( PJ ) Teorema 2.. Una eraega max.. v,..., v x A( ) ( v,..., v ) n = x x k = =,..., k x * * * * X e una POSS y v = ( v,..., vk ) u vecor de nvel de egurdad aocado para JI y ólo ( v ) *, x * e una olucón efcene del problema (PJ). (Fernández y Puero, 996). 3. Juego vecorale rerngdo En ea eccón vamo a analzar lo uego en lo que lo ugadore no pueden conderar oda u eraega mxa, e decr, ea eraega eán uea a rerccone adconale. S ea rerccone venen dada medane relacone lneale, deermnan un ubconuno polédrco del conuno de la eraega mxa. En ea uacón, proponemo un procedmeno para reolver el uego rerngdo que cone en reolver un uego no rerngdo cuya marz e ranforma en funcón de lo puno exremo de lo nuevo conuno de eraega. 536

5 éodo aemáco para la Economía y la Emprea Sea A = ( a ), n, m, la marz del uego vecoral de uma nula, = y funcón de pago v( x, y ) = x Ay = ( v ( x, y ),...,v ( x, y )) con a ( a (),..., a ( k)) donde v ( x, y) = x A( ) y, =,..., k. o conuno de eraega para JI y JII on repecvamene r S = { x X / x B b, B, b R } T = { y Y / Dy d, D, d R } nxr Sean P y Q la marce de puno exremo de S y T repecvamene. Teorema 3.. S α* e una eraega de egurdad Pareo-ópma del uego vecoral de uma nula de marz P AQ=(P A()Q,...,P A(k)Q) y v* u vecor de nvel de egurdad aocado para JI, enonce x * = Pα * e una eraega de egurdad Pareo-ópma del uego rerngdo de marz A, y v* u vecor de nvel de egurdad para JI. Demoracón: S x S, y T, enonce x = Pα, donde P α = ( α,..., α ) α = h nxp p p h αh h= y = Qβ, donde Q β = ( β,..., β ) β = mxq q q β = a POSS del ugador I e obenen reolvendo el problema de maxmzacón vecoral max { ( mn x A() y,..., mn x A( k) y)} x S y T y T xm k que e equvalene al problema max { mnα ( P A() Q) β,..., mnα ( P A( k) Q) β )} α X ' β Y ' β Y ' con p p q X ' = { α R / αh = αh h } Y ' = { β R / β = β } h= de donde e gue que α* e la olucón de ee problema, enonce x*=pα* e olucón del problema ncal. Obérvee que ea manera de obener la eraega del uego rerngdo puede ulzare cuando e conderan oro concepo de olucón como lo puno de equlbro o la olucone maxmn. Aímmo, e aplcable a lo uego ecalare rerngdo donde el concepo de eraega de egurdad Pareo-ópma concde con el de eraega maxmn. Un cao parcular de ee reulado general urge cuando el ugador no dpone de nformacón obre la eraega del oro ugador, por lo que la marz del uego q = 537

6 ármol A.., onroy., Rubale V. ranformado e P A. En ee cao, el conuno de POSS del uego rerngdo eá formado por la POSS del uego orgnal que verfcan la rerccone y exen POSS que no lo eran en el uego orgnal, e encuenran obre la fronera del conuno que generan la nueva rerccone. S el ugador dpone de nformacón obre la eraega del oro ugador pero no rernge el conuno de u eraega, enonce la marz del uego ranformado e AQ. En ee cao, e modfcan lo nvele de egurdad que el ugador obene con cada una de u eraega (con repeco a lo que obene en el uego orgnal) dando lugar a una modfcacón en el conuno de la POSS. El reulado que eablece el eorema aneror e epecalmene úl cuando e fácl deermnar lo puno exremo de lo poledro que generan la rerccone del uego. En cero cao parculare nereane lo puno exremo e obenen de forma dreca (ármol, Puero y Fernández 998a, Puero y oro 2). En el cao general, lo puno exremo de lo poledro de nformacón pueden obenere de forma ecuencal (ármol, Puero y Fernández, 998b). A connuacón analzaremo el raameno de lo uego en alguno de eo cao. Una uacón nereane e cuando lo ugadore uponen un orden en la probabldade con que adoparán u eraega pura. Sn pérdda de generaldad, upongamo que JI ugará u eraega con probabldade x n x, x2,..., x ale que x x2,...,, y upone que u oponene ugará u eraega pura con probabldade y,..., expreare marcalmene como, y 2 y m ale que y y2,..., ym Nx θ, y θ. Ea relacone pueden, donde n N = O, = O con N,, e decr lo conuno de nformacón on nxn mxm S = { x X, Nx, N nxn}, T = { y Y, y, mxm }. 538

7 éodo aemáco para la Economía y la Emprea Ea marce enen nvera no negava, por lo que lo puno exremo de lo conuno S y T on, repecvamene, la columna de la marz N -, -, normalzada para umar la undad (ver Carrzoa y oro, 995). Eo e, la marce de puno exremo de S y T on: P = / 2 / 2 /3 /3 /3 O / n / n / n / n Q = / 2 / 2 / 3 / 3 / 3 O / m / m / m / m a k marce que deermna el uego ranformado on B() = P A()Q, =,..., k, cuyo elemeno on b ( ) = ar =,..., n =,..., m r = = Nóee que no e necearo que exan n y m relacone repecvamene, pue en cao de exr meno, nroducmo la relacone naurale x, y, que ean ndependene con la anerore. En general, la rerccone adconale obre el conuno de la eraega de un ugador, pueden exprear comparacone enre la probabldad que e agna a una eraega y combnacone lneale de la reane, e decr e ncorporan al uego relacone de la forma x m x. Sempre que la marz que eablece ea condcone enga nvera no negava, el conuno de puno exremo que deermnan la relacone vene dado por la columna de u marz nvera normalzada para umar la undad, por lo que la nformacón que proporconan puede ncorporare fáclmene al uego. Oro po de rerccone que puede raare de ea forma on la que eablecen relacone nervalare en la probabldade, relacone de orden con facor de dcrmacón, y en general, relacone lneale no homogénea. 4. Eemplo: Campaña publcara compeva. En ea eccón analzamo un modelo de neraccón eraégca enre emprea, cuando éa deben planfcar una campaña publcara. 539

8 ármol A.., onroy., Rubale V. Do emprea dponen de un mllón de undade moneara (u.m.) cada una para gaar en publcdad de u produco. Pueden ulzar rado, elevón y prena ecra para realzar u campaña publcara que va a r drgda a re grupo de clene poencale, e decr, la publcdad va a ener efeco en re ecenaro dno. El reulado eperado que producrán la dna pobldade de publcdad vene recogdo en la guene marz Rado Televón Prena Rado (, -.2, ) ( -.5,,.2 ) (,.5,.5 ) Televón (2,.5,.7 ) (-.5,.8,.7) (.5,.,.3) Prena (,.2, -.5) (-.5,.4, ) (,.7,.2) Cada enrada de la marz de pago e un vecor cuya componene repreenan la candad de ngreo exra obendo en cada grupo cuando cada emprea gaa u dnero en lo dferene medo. a emprea valora u eraega medane lo pago que congue con ella. Ee modelo puede analzare como un uego marcal mulcrero (ármol y onroy, 999), donde la marz de pago vecorale e decompone en la re marce guene A( ) = A(2) =.5.8. A(3) = Una eraega mxa x = x, x, ) para una emprea repreena la probabldad ( 2 x3 con que debe conderar cada medo para realzar u publcdad, o ben la proporcón de la candad oal de dnero que debe gaar en cada medo. Reolvendo el problema lneal mulobevo aocado medane el programa ADBASE obenemo la guene eraega de egurdad Pareo-ópma exrema y lo correpondene vecore de nvel de egurdad aocado para la emprea : 54

9 éodo aemáco para la Economía y la Emprea x = (, 8/, 3/) v = ( -/2, 342/495, 3/ ) x 2 = (/8, 62/99, 7/22) v 2 = (-/2, 677/99, 663/98 ) x 3 = (4/9, 5/9, ) v 3 = (-/2, 7/9, 75/9 ) x 4 = (,, ) v 4 = (-/2, -/5, ) (,,) (,,) 2 Fgura 3 4 (,,) a fgura repreena el epaco de eraega mxa de la emprea, donde lo vérce de ee rángulo correponden a la re eraega pura. a emprea debe ulzar alguna de la eraega que eé en la línea polgonal que une lo puno y 4. Por eemplo, la eraega x 3 = (4/9, 5/9, ) ndca que ulzando la rado con probabldad 4/9 y la elevón con probabldad 5/9, e aegura una dmnucón de ngreo de no má de /2 en el prmer egmeno de la poblacón y un aumeno de ngreo de al meno 7/9 y 75/9 en el egundo y ercero repecvamene, y eo nvele no on meorable conunamene. Supongamo que amba emprea realzan un eudo de mercado que ndca que la drbucón de probabldad obre el conuno de u eraega pura debe omeere a la ordenacone x x2 x3, y y2 y3, repecvamene. En ea uacón, lo conuno de eraega para amba emprea on repecvamene S = { x X / x x2 x3 } T = { y Y / y y2 y3 Eo conuno pueden repreenare en funcón de u puno exremo como } S T 3 = { x X / x = Pα, α R, 3 = { y Y / y = Pβ, β R, 3 = 3 = α β =, α =, β, =,2,3}, =,2,3} endo P la marz de puno exremo 54

10 ármol A.., onroy., Rubale V. P = / 2 / 2 / 3 / 3 / 3 El problema e ranforma en un uego mulcrero n rerngr que deermna re marce P A( ) P =.25.4 P A(2) P = P A(3) P = a olucone exrema efcene del problema lneal mulobevo aocado proporconan la guene POSS del uego rerngdo y u nvele de egurdad aocado: x = (/2, /2, ) v = (.25,.5,.85) x 2 = (.72,.28, ) v 2 = (.36,,.94) x 3 = (/3, /3, /3) v 3 = (.25,.5,.4) x 4 = (3/4, /4, ) v 4 = (, -.25,.925) x 5 = (,, ) v 5 = (-.25, -.2, ) Obérvee que la eraega pura, (,,) que e una POSS del uego orgnal, ambén lo e cuando el ugador I dpone de la nformacón aneror. Sn embargo, el ener nformacón obre cómo ugará el oro ugador u eraega hace que meore el vecor de nvele de egurdad aocado. Conderemo ahora el cao en el que ólo la emprea 2 realza el eudo de mercado que eablece la ordenacón y y2 y3, y que la emprea dpone de dcha nformacón. o conuno de eraega de la emprea y 2 on, repecvamene S=X y T = y Y / y y y }, por lo que el uego ranformado deermna la marce { A( ) P = 2.75 A(2) P = A(3) P = Obérvee que en ea uacón, la valoracón que hace la emprea de u eraega, cuando la emprea 2 uega u prmera eraega, e la mma que en el uego orgnal. S la emprea 2 ulza u egunda eraega, la valoracón que hace la emprea 542

11 éodo aemáco para la Economía y la Emprea de u eraega vene dada por la meda de lo pago que obene, en el uego orgnal, con la prmera y egunda eraega de la emprea 2. S la emprea 2 ulza u ercera eraega, la valoracón que hace la emprea e la meda de lo pago que obene con la prmera, egunda y ercera eraega de la emprea 2, en el uego orgnal. a eraega de egurdad Pareo-ópma del uego rerngdo y u correpondene nvele de egurdad aocado on: x = (,, ) v = (.75,.5,.57) x 2 = (.365,.635, ) v 2 = (.385,.244,.89) x 3 = (,.75,.25) v 3 = (.624,.675,.398) x 4 = (.75,.285, ) v 4 = (.35,,.94) x 5 = (,.727,.272) v 5 = (.64,.69,.373) x 6 = (.75,.25, ) v 6 = (, -.25,.925) x 7 = (,.47,.583) v 7 = (.458,.737, ) x 8 = (,, ) v 8 = (.25, -.2, ) x 9 = (,.25,.75) v 9 = (.375,.762, -.98) x = (,.85,.85) v =(.32,.772, -.278) Supongamo ahora que ólo la emprea realza el eudo de mercado que eablece la ordenacón x x2 x3. En ee cao, lo conuno de eraega de la emprea y 2 on, repecvamene S = x X / x x x }, T = Y, por lo que el { 2 3 uego ranformado deermna la marce P A( ) =.5.75 P A(2) = P A(3) = a emprea valora u eraega medane lo pago que congue con ella, lo que gnfca que valora u prmera eraega con lo pago del uego orgnal. Su egunda eraega la valora por la meda de lo pago que le proporcona u prmera y egunda eraega en el uego n rerngr. a valoracón de la ercera eraega vene dada por la meda de lo pago que congue con u prmera, egunda y ercera eraega, en el uego orgnal. a eraega de egurdad Pareo-ópma del uego rerngdo y u correpondene nvele de egurdad aocado on: 543

12 ármol A.., onroy., Rubale V. x = (/3, /3, /3) v = (-.5,.5,.4) x 2 = (/2, /2, ) v 2 = (-.5,.5,.85) x 3 = (8/25, 7/25, ) v 3 = (.5,,.92) x 4 = (,, ) v 4 = (-.5, -.2, ) (,,) 2 3 (,,) (,,) Fgura 2 4 a zona ombreada de la fgura 2 repreena el epaco de eraega de la emprea, que verfcan la rerccone adconale. o puno, 2, 3 y 4 repreenan la POSS para dcha emprea. Obérvee que en ee cao la eraega (,,) que era una POSS en el uego orgnal, ambén lo e en el uego rerngdo. Ademá, lo nvele de egurdad de cada eraega no camban con repeco al problema orgnal. 5. Concluone a ncorporacón de nformacón adconal obre la drbucón de probabldad de la eraega pura en un uego marcal mulcrero, e puede hacer reolvendo un problema lneal mulobevo, en el que e ncorpora dcha nformacón ranformando la marce de pago del uego orgnal. En lo cao parculare en lo que e dpone de ordenacone obre la frecuenca de ulzacón de la eraega, la valoracone de éa venen dada por la meda de la uma acumulada de la valoracone orgnale. Ea manera de reolver lo uego rerngdo mulcrero no conlleva un aumeno en la carga compuaconal. 544

13 éodo aemáco para la Economía y la Emprea 6. Referenca Carrzoa, E., Conde, E., Fernández, F.R., Puero, J. (995): "ulcrera Analy wh Paral Informaon abou he Weghng Coeffcen". European Journal of Operaon Reearch, Vol. 8, pp Chandra, S., Durga Praad,.V. (992): "Conraned Vecor Valued Game and ulobecve Programmng". Opearch, Vol. 29, Nº, pp. -. Charne, A. (953): "Conraned Game and near Programmng". Proceedng of he Naonal Academy of Scence, Vol. 39, pp Fernández, F.R., Puero, J. (996): "Vecor near Programmng n Zero-um ulcrera arx Game". Journal of Opmzaon Theory and Applcaon, Vol. 89, pp Ghoe, D., Praad, U.R. (989): "Soluon Concep n Two-Peron ulcrera Game". Journal of Opmzaon Theory and Applcaon, Vol. 63, Nº2, pp ármol, A.., Puero, J., Fernández, F.R. (998a): "The Ue of Paral Informaon on Wegh n ulcrera Decon Problem". Journal of ulcrera Decon Analy, Vol. 7, pp ármol, A.., Puero, J., Fernández, F.R. (998b): "Sequenal Incorporaon of Imprece Informaon n ulple Crera Decon Procee". Prepublcacón /98. Faculad de aemáca, Unverdad de Sevlla. ármol, A.., onroy,. (999): "Aplcacone Económca". En Avance en Teoría de Juego con Aplcacone Económca y Socale, J.. Blbao, F.R. Fernández Ed. Secrearado de Publcacone de la Unverdad de Sevlla, Sevlla. onroy,. (996): "Anál de Juego Bperonale con Pago Vecorale". Te Docoral. Dpo. Eadíca e Invegacón Operava. Unverdad de Sevlla. Puero, J., ármol, A.., onroy,., Fernández, F.R. (2): "Decon Crera wh Paral Informaon ". Inernaonal Tranacon n Operaonal Reearch. Vol. 7, pp Sngh, N., Rueda, N. (994): "Conraned Vecor Valued Game and Generalzed ulobecve nmax Programmng". Opearch, Vol. 3, Nº 2, pp