P 1 = P 2 = P ambiente. h 1 -h 2 = H. Sistemas de control versión 2007 Página 1 de 10. Modelos de nivel de líquido.

Transcripción

1 tema de control 67- verón 007 Págna de 0 Modelo de nvel de líudo. Bucamo una relacón entre Q y H, por el teorema de Bernoull tomemo la eccón en la uperfce lbre del tanue y la eccón en la alda, en ee cao amba preone on guale a la ambente. La dferenca de altura e la profunddad del tanue H. onderando ue el fludo e un líudo ncompreble tomamo un peo epecífco contante. P γ g P γ g P P P ambente - H y llamamo la relacón de lo dámetro de la alda y del tanue β tenendo en cuenta la ecuacón de contnudad φ φ Q Modelo de Nvel de Líudo pág.

2 endo la uperfce de la eccone crculare tema de control 67- verón 007 Págna de 0 π φ combnando eta últma tre expreone tenemo 4 β reemplazando eta expreón en la del teorema de Bernoull y tenendo en cuenta la gualdad de la preone a la ambente en la eccone ue tomamo ueda β 4 g H la velocdad de alda del líudo del tanue ueda g β 4 H entonce la expreón del caudal de alda e: g Q D D β 4 Donde D e el coefcente de decarga ue tene en cuenta la efcenca del orfco de alda agrupamo todo lo ue antecede a la raíz de H como una contante Q H H Modelo de Nvel de Líudo pág.

3 tema de control 67- verón 007 Págna 3 de 0 epreentamo eta relacón de raíz cuadrada no lneal. Tomemo el dferencal prmero para lnealzar la expreón del caudal dq dq d Q, H d Defnremo do concepto ue tenen aplcacón cuando e ace la analogía del problema mecánco a un crcuto eléctrco en general,l, en dtnta confguracone: apactanca: e la razón entre el cambo en la cantdad de líudo acumulado y el cambo de nvel. e ace eta nterpretacón pueto ue en la ecuacón dferencal ocupa el lugar de la uperfce del tanue con lo cual e logra una euvalenca con el modelo de carga del capactor en un crcuto. etenca: e la razón entre el cambo en la dferenca de nvele y el cambo en el caudal de alda uponemo el valor de la dervada en el punto de funconamento contante del valor y a u nvera la llamamo pue concde con la retenca ue opone el orfco a la alda de fludo, 0 Modelo de Nvel de Líudo pág. 3

4 tema de control 67- verón 007 Págna 4 de 0 la letra mnúcula ndcan varacone alrededor del punto de funconamento, colocamo el ubíndce o para mbolzar en ete cao la varacone del caudal de alda, y le colocaremo el ubíndce para mbolzar la varacone del caudal de entrada El volumen ue e acumula en el tanue e la ntegral del caudal entrante meno el alente en el tempo y un dferencal de volumen erá [ ] dt Q Q d o d A la uperfce del tanue e la condera como la capacdad en ete modelo por lo ue por otro lado lo caudale de deño entran umando y retando, por lo ue e cancelan uedando o dt d tranformamo la expreone y no ueda el guente tema ue no permtrá depejar la varacone del nvel en funcón del caudal modulado de entrada o 0 o depejemo la relacón entre el caudal modulado y el aumento de nvel : Modelo de Nvel de Líudo pág. 4

5 tema con do tanue tema de control 67- verón 007 Págna 5 de 0 Q H H Tanue Q Tanue Q Para reolver el problema planteo la expreone de y para cada tanue. Tanue d dt Modelo de Nvel de Líudo pág. 5

6 tema de control 67- verón 007 Págna 6 de 0 Tanue d dt 7 on la ecuacone tranformada 4, 5, 6 y 7 puedo calcular la dtnta tranferenca ue me pdan por ejemplo:, euere,, e debe acer : De 4 e elmnan la utlzando 5 y 7. ** De 6 e elmna uando la 7. De lo ue e obtene e depeja y e lo reemplaza en ** y lto. Modelo de Nvel de Líudo pág. 6

7 tema de control 67- verón 007 Págna 7 de 0 tema con realmentacón eamo en prmer ntanca como reaccona el tanue a una varacón del valor deeado et pont en prncpo ya emo deducdo la tranferenca del tanue en í T el dagrama de bloue n conderar la perturbacón erá: endo la productora de la tranferenca de la ama drecta e decr.. T, y H la productora de la tranferenca de la rama nvera o de realmentacón aplcamo la fórmula deducda para la tranferenca total de lazo cerrado e decr: Modelo de Nvel de Líudo pág. 7

8 tema de control 67- verón 007 Págna 8 de 0 ref. H Demo valore lterale a la tranferenca y veamo a travé del teorema del valor fnal de la tranformada como corrge por ejemplo un algortmo de control olo proporcona, cuando e da a ref un ecalón untaro. En eta condcone tomamo una realmentacón untara e decr admtmo ue la tranferenca de la rama de realmentacón ea untara, de eta manera podemo comparar la varacone ue le damo al valor deeado drectamente con la alda n acer adaptacone de la magntude. Demo gananca etátca genérca n conderarle dnámca alguna a la tranferenca del control y la válvula, admtendo ue reacconan muco ma rápdo ue el tanue. Entonce p gananca proporconal algortmo de control olo proporconal. v v gananca de la válvula repueta nmedata. T e la tranferenca del tanue ya vta, e decr la alda e el nvel y la entrada e el caudal ue manpulamo a travé de la válvula de control. omo emo dco la realmentacón e toma untara H apluemo la fórmula del lazo cerrado. c T H T Hacendo lo reemplazo egún lo valore menconado arrba ueda ref c H Operando obre la mma no ueda c Modelo de Nvel de Líudo pág. 8

9 tema de control 67- verón 007 Págna 9 de 0 apluemo entonce el teorema del valor fnal de la tranformada del Laplace ue vmo dce: f lm lm t t 0 F cual erá entonce la alda del tema cuando le pdo ue e modfue en una undad lm 0 c emo ue el reultado e menor ue la undad ue e lo ue le olctamo como valor deeado por lo ue un algortmo olo proporconal no corrge n error a un tema como el tanue ue e de prmer orden, ma adelante etudaremo eto en ma detalle. < c En el cao de no modfcar el valor deeado pero e produce una perturbacón como la ndcada con N en la fgura al comenzar ete tema en prncpo e debe deducr con álgebra de bloue la tranferenca del nvel repecto de ea perturbacón tenendo en cuenta el dagrama de bloue ue vemo a contnuacón. T T N Modelo de Nvel de Líudo pág. 9

10 tema de control 67- verón 007 Págna 0 de 0 reemplazamo por lo valore dado y aplcamo el teorema del valor fnal para un ecalón untaro den N ucede lo guente lm 0 ue reulta nuevamente con un error permanente pue no debera varar el valor de la varable controlada > 0 emo ue cuanto ma gananca en el controlador menor erá el error permanente, la nvera de la carga tambén nfluye, pero eta nfluenca dmnuye al crecer. emo ue la válvula tene mportanca en el control, u funconamento no no aegura un valor contante de o ben ete varía,en forma no lneal,o a alto dcreto tendremo ya repueta ue e van de la pobldad de un anál con eta erramenta matemátca Modelo de Nvel de Líudo pág. 0