UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE ECONOMIA TEORIA DE JUEGOS Profesora: Marcela Eslava. Solución Parcial 2 19 de abril de 2010 NOMBRE:

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1 VERSDAD DE LOS ADES FACLTAD DE ECOOMA TEORA DE JEGOS Profesora: Marcela Eslava Solucón Parcal 9 de abrl de 00 OMBRE: Tene hasa las 3:0 pm para responder. o puede usar calculadora n celular. o responderemos pregunas durane el examen Se le pde consgnar algunas respuesas drecamene en ese cuesonaro; esas respuesas deben quedar consgnadas en esfero. Las demás respuesas y procedmenos pueden esar en la hoja adconal y pueden esar en lápz.. El País del Sagrado Corazón esá en época elecoral: en pocas semanas habrá eleccones presdencales. Enre los canddaos se encuenran el señor JM Sanero y la señora osann, ambos canddaos gobernsas. El presdene en funcones les ha peddo públcamene a los dos canddaos que se unan para foralecer la probabldad de connudad de sus polícas. Cada uno de los dos canddaos debe hacer una declaracón en los medos de comuncacón dcendo s acepa lo propueso por el presdene, dejando de lado sus propas aspracones para unrse al oro canddao. La declaracón de cada uno se hará sn conocer anes la decsón del oro. S nnguno cede sus aspracones, cada uno va por separado a las eleccones y se queda con el poencal elecoral que le da la úlma encuesa: 30% para Sanero y % para osann. S uno sólo cede, el oro queda como canddao y obene 4% de nencón de voo. S ambos ceden, van en conjuno a las eleccones y obenen 4% de la nencón, aunque la uldad de cada uno se ve dsmnuda por el hecho de que uvo que ceder. Tenendo en cuena lo aneror, los pagos de ese juego esáco esán dados en la sguene marz, donde C represena ceder y no ceder : Sanero osann C C 40, 40 0, 4 4, 0 30, La nformacón acerca de esos pagos es complea: ambos jugadores los conocen. Ambos jugadores descuenan el fuuro con un facor de descueno enre dos perodos consecuvos de.

2 a. (0.6 punos) Suponga que ambos canddaos esperan segur parcpando en eleccones fuuras, sn ener claro hasa cuándo. En cada perodo elecoral el juego es dénco y los pagos se caracerzan por la aneror marz de pagos. Argumene que esa suacón se puede modelar como un juego repedo con horzone nfno, aún cuando ambos canddaos saben que no vvrán eernamene y que enre perodo y perodo puede ocurrr algún eveno que les mpda segur parcpando. Responda en esfero en el espaco a connuacón, de manera clara y ordenada (pense anes de escrbr!). Esa suacón mplca que cada eleccón se puede omar como una ronda del msmo juego repedo. Suponga que enre un perodo y el oro cada canddao asgna una probabldad de que el juego connúe a la próxma ronda y una probabldad - de que el juego no connúe. En el úlmo caso su uldad a parr del sguene perodo es 0. Enonces, cada jugador espera que su uldad sea = [ u + ( ) * 0] = = = u oe que esos msmos pagos se obendrían en un juego que leralmene se repe al nfno, en el que enre dos perodos hay un descueno de. b. (0.6 punos) La señora osann le dce a Sanero que no ene sendo fracconar el apoyo elecoral y por ano ambos deben ceder en cada eleccón. Sanero le preguna cómo puede confar en que ella no lo raconará escogendo cuando él se compromea a escoger C. Ella le responde que se sabe que, s alguno racona al oro, se desbaraará la alanza para las eleccones fuuras. El hecho de que a nnguno le convene el rompmeno de la alanza, dce ella, es lo que asegura que no se vayan a raconar en el prmer perodo. Escrba una esraega desencadenane que represene la propuesa de osann. Escrba los pagos que cada uno de los jugadores recbe s se cumple la esraega desencadenane. Responda en esfero en el espaco a connuacón, de manera clara y ordenada Esraega desencadenane: En = jueguen (C,C) En > jueguen: o (C,C) s se jugó (C,C) en cada perodo prevo o (,) en caso conraro S se cumple esa esraega se jugará sempre (C,C) y los pagos serán de = = para = osann, Sanero. =

3 c. (0.6 punos) Demuesre que los pagos de la esraega desencadenane propuesa por osann se pueden lograr en un Equlbro Perfeco de Subjuegos de ese juego repedo al nfno. Responda en la hoja adconal, de manera clara y ordenada. oe que los pagos 40/-, y los pagos promedo asocados de 40, son pagos posbles en el juego esáco base de ese juego (son pagos promedo). Son además, mayores para ambos jugadores que los pagos del únco Equlbro de ash del juego base, (,). Cumplen enonces los requsos exgdos por el Teorema Popular para poderse mplemenar en un Equlbro Perfeco de Subjuegos del juego que repe de manera nfna el juego base, sempre y cuando sea sufcenemene cercano a. Tambén se puede responder ese puno hacendo el análss de cada po de subjuego y enconrando que (C,C) se puede sosener en subjuegos sn desvacones prevas s es sufcenemene alo : Subjuegos con desvacones prevas (Tpo ). osann quere jugar, dado que Sanero juega s: ( a =, a = ) = + ( a =, a = ) ( a,, = C, a = ) = 0 + ( a,, = C, a = ) Es decr, s 0, lo que se cumple porque <. 30 De forma smlar, Sanero juega porque 0 Se ene enonces: = y S 30 = Subjuegos sn desvacones prevas: Cada uno juega C s el oro juega C sempre y cuando se cumpla: ( a = C, a = C) = 40 + ( a,, =, a,, = C) = 4 + Para osann la condcón es: ( ) 30 5 Sólo se necesa una de las dos respuesas.

4 Para Sanero la condcón es: ( ) 6 La segunda condcón (la que corresponde a Sanero) es más esrca, por lo que se necesa que para poder logar (C,C) en EPS con esa esraega desencadenane. 6 d. (0.6 punos) El que efecvamene se pueda mplemenar en equlbro el conjuno de pagos menconado en el leral aneror requere que el facor de descueno neremporal sea lo sufcenemene alo. Explque la nucón por la que ese requso es necesaro. Responda en esfero en el espaco a connuacón, de manera clara y ordenada Suponendo que el oro jugador juega C en el perodo, el jugador ene ncenvos para jugar en lugar de C, pues su pago pasa de 40 a 4. Sn embargo, es posble que se absenga de jugar, pues hacerlo mplcaría en el fuuro no poder jugar (C,C) sno (,). Eso reducría los pagos fuuros de de a en el caso de =Sanero y 40 de a en el caso de =osann. Ésa úlma pérdda se empeza a percbr en el sguene perodo, por lo que se descuena con un facor de. Para que esa pérdda supere el benefco en el perodo de desvarse a, se requere enonces que sea sufcenemene alo. e. (0.6 punos) Suponga ahora que el juego enre osann y Sanero ene sólo dos rondas (en lugar de un horzone nfno). Eso es conocdo por ambos canddaos desde el nco del juego Exse un Equlbro Perfeco de Subjuegos de ese juego donde la alanza que osann propone se pueda dar? Responda en la hoja adconal, argumenando de manera clara y ordenada. o, porque el juego base ene un únco Equlbro de ash (,) y hay un resulado general que ndca que s un juego G ene un únco E, el juego (G,T) donde T es fno ene un únco EPS que mplca jugar el E del juego base T veces. En ese caso, enonces, se jugaría (,) en cada ronda, lo que rñe con la esraega desencadenane propuesa. oa: Tambén se puede responder analzando por nduccón hacía arás.

5 . ( punos) Concénrese ahora sólo en la eleccón acual (sn consderar fuuras rondas de eleccones). Suponga que, por cualquer razón, la alanza enre osann y Sanero no se do. Sanero decde olvdarse de doña osann y del juego del puno aneror. Se busca más ben una alanza con oro de los canddaos, el señor G Varguez. Sanero avenaja a Varguez de forma mporane, pero necesa los voos de Varguez. Las encuesas dcen que Sanero ene una probabldad de 0.3 de ganar, menras que Varguez ene 0.. S se unen, su coalcón ene probabldad 0.4 de ganar. Suponga que Sanero y Varguez dscuen s se unen y, en caso de que lo hagan, qué fraccón del programa conjuno que propondrán será omado del programa de Varguez. Llamaremos a esa fraccón F. La fraccón resane, (-F), será omada del programa de Sanero. Cada canddao le da mporanca a maxmzar la probabldad de ganar (o esar en una coalcón que gane) y a que su propo programa sea adopado. En parcular, las funcones de uldad son: S = 0.4*(-F) s se unen, S = 0.3* s no se unen V = 0.4*(+F) s se unen, V = 0.* s no Suponga que la dscusón enre los dos canddaos oma la forma de una negocacón con dos rondas, de la sguene manera. En la prmera ronda, Sanero propone un valor de F y luego de observar esa propuesa Varguez decde s acepa o no. S acepa, la negocacón ermna, van undos a las eleccones y el valor de F es el propueso por Sanero. S rechaza, Varguez propone un nuevo valor de F y luego de observar la propuesa Sanero decde s la acepa o no. S acepa, la negocacón ermna, van undos a las eleccones y el valor de F es el propueso por Varguez. S rechaza, la negocacón ermna y van defnvamene separados a las eleccones. Encuenre el valor que cada canddao propone para F en la respecva ronda de negocacón en un Equlbro Perfeco de Subjuegos. Dga s en cada una de esas rondas el que recbe la propuesa la acepa o no. Suponga que en caso de ndferenca cada jugador acepa la propuesa del oro. Suponga ambén que, desde la perspecva de la ronda, los jugadores descuenan pagos recbdos al fnal de la ronda con un facor =0.8. Haga el análss en la hoja adconal de forma muy clara. Escrba en esfero su respuesa (propuesa de F y s se acepa o no) para cada una de las rondas en el espaco a connuacón. Prmera ronda: S propone F=0. y V acepa. Segunda ronda: V propondría (de llegarse a esa ronda) F=0.5 y S acepa.

6 =. S Fs =. A V R 0.4(-Fs) 0.4(+Fs) V =. Fv S =. A R [0.4(-Fv)] [0.4(+Fv)] Como es un juego dnámco con nformacón complea se resuelve por nduccón haca arás: En =.. Sanero acepa s: 0.4( Fv) 0.6 Fv En =.. Varguez decde enre proponer Fv >, que Sanero rechazaría y, por ano, v = 0. o proponer Fv que va a ser acepado por Sanero. En el úlmo caso, y dado que v es crecene en Fv, Varguez propone Fv = y su uldad es v = 0.4( + 0.5) = Como 0.6 > 0., Varguez propone un Fv gual a 0.5.

7 En =.. Varguez acepa s: 0.4( + Fs ) 0.6 (dado que 0.6 es la uldad que obendría s la negocacón va a segunda ronda). Enonces, acepa s: 0.4( + Fs) 0.48 Fs 0. En =.. Sanero compara ofrecer un Fs menor a 0., que será rechazado por Varguez y le generaría (a Sanero) una uldad de s = [ 0.4( 0.5)] = 0.6 = (en segunda ronda), conra ofrecer Fs = 0. (porque su uldad es decrecene en Fs) y obener una uldad de s = 0.4( 0.) = Como 0.7 > enonces Sanero ofrece un Fs de 0. y Varguez lo acepa. En ese orden de deas, las decsones de los canddaos para cada una de las rondas son las sguenes: =.: Sanero ofrece Fs=0.. =.: Varguez acepa. =.: Varguez ofrece Fv=0.5. =.: Sanero acepa.