TEMA 3 JUEGOS REPETIDOS: TEOREMAS Y PARADOJAS

Transcripción

1 TEMA 3 JUEGOS REPETIOS: TEOREMAS Y PARAOJAS ORGANIZAIÓN INUSTRIAL EUROPEA GRAO EN EONOMIA Prof. Anrés Faíña OIE.TEMA 3: SUMARIO. Juegos repeos: oncepos báscos y ejemplos. 2. Paraojas en los juegos e equlbro únco con horzone fno y cero: lema e los Presos y aena e Almacenes. 3. Juegos con horzone nfno o ncero: Esraegas e Gallo y e Represala. Mulples equlbros y Teorema Folk.

2 Juegos repeos: El lema e los prsoneros como ejemplo e un negoco EL EJEMPLO: S ambos cumplen su pare el rao, obenen las ganancas normales el negoco. El que efraua gana el oble a expensas el que cumple. S nnguno cumple no hay negoco. E s r a e g a J Esraega e J2 oopera efraua JUEGO EN FORMA NORMAL: G = (S,S2,U,U2) onjunos e Esraegas Puras S = S2 = {, } Funcones e pagos U,U2 El juego e eapa posee el únco equlbro (,) qué ocurre s el juego se repe en períoos sucesvos? Promesas e cooperacon y amenazas e casgo pueen generar cooperacón? JUEGOS REPETIOS: ONEPTOS BASIOS I Sea G un juego en forma normal, G=(S, S 2,..., S n ; U,U 2,..., U n ), es ecr un par e onjunos e Esraegas (S ) y Funcones e Pagos (U ) para caa uno e los jugaores: Se enoará por G T el juego que resula e reper el juego e base o eapa, G, un número T e veces. El concepo e esraega se complca un poco. Ya no puee nerprearse como una smple accón para el juego e eapa. En el juego repeo una esraega ebe especfcar el plan compleo e ecsones el jugaor para caa una e las posbles hsoras el juego, H, en caa uno e los períoos el juego. 2

3 H = 4 H2 = 6 H3 = 64...H J J2 J J2 lasfcacón La hsora en caa nuevo períoo se bfurca en cuaro nuevas ramas. El bloque sombreao e 4 posbles resulaos el juego e eapa Hsoras: lema e los Presos Los subjuegos pueen clasfcarse según los pos e hsoras que los preceen. aa juego e eapa nca un subjuego. Los subjuegos eben empezar en noos one la hsora aneror el juego es e omno públco (un I e únco noo). JUEGOS REPETIOS: ONEPTOS BASIOS II Eso es análogo al concepo e esraega en la formulacón exensva, one el juego, Γ, era el sexeo, Γ=(K, P, Y,, p, h), formao por el árbol, los noos e los snos jugaores, los conjunos e nformacón, las eleccones e los jugaores, las probablaes para el azar y las funcones e pagos. El juego repeo Γ T enoará e forma análoga el juego que resula e la repecón T veces el juego e base o eapa, Γ. Una esraega es un plan compleo e ecsón el jugaor ane cualquera e las conngencas el juego que especfca la eleccón a omar en oos y caa uno e sus conjunos e nformacón. Las esraegas e los jugaores en Γ T eberán especfcar en caa períoo e T una esraega e Γ para caa una e las posbles hsoras el juego hasa ese períoo. Formalmene las esraegas el juego repeo son corresponencas ese el conjuno e oas las posbles hsoras el juego a las esraegas el juego base en los T períoos. 3

4 El lema e los presos repeo: Paraoja con horzone fno y cero El juego acaba en un. períoo cero y fno T. En el úlmo períoo, sea cual sea la hsora el J2 J2 juego, la esraega omnane es efrauar. J J Luego en el períoo aneror T-, ocurre gual J2 J2 y as sucesvamene. El únco equlbro perfeco es efrauar Jugaores J y J2, sempre. No mpora la Esraegas: oopera,, efraua,. uracón e T. os agenes raconales no aprovechan las ganancas e la cooperacón: 00 en 00 períoos, por raar e ancparse al oro para ganar 2 -y no perer - en el períoo 0 y en los nmeaos anerores. LA PARAOJA E LOS JUEGOS REPETIOS UN NUMERO IERTO Y FINITO E VEES La paraoja generaa por la nuccón haca arás (rerospecva) no sólo afeca al lema e los presos: ocurre gual con oos aquellos juegos e eapa que sólo poseean un únco equlbro. La paraoja fue formulaa ncalmene para la aena e Almacenes por SELTEN (978). Pero la aplcacón al lema e los presos es muy mporane porque recoge los lemas e ncenvos mplcaos en las esvacones el equlbro e Nash el Juego e Eapa, como ocurre en casos an mporanes como los e colusón en los moelos Berran y ourno. Empírcamene, los resulaos feren e los obenos por nuccón rerospecva. AXELRO (98) mosró que la la esraega el Talón resulaba ganaora en concursos con lema e los presos repeos. Orgen paraoja: las suacones reales moelzaas como juegos repeos se caracerzan por ser e nformacón ncomplea. 4

5 J Enra Monopolo y juegos enraa J2 No Enra Lucha ompare J 0 J2 0 J J2 J 0,5 J2 2 Sólo un Equlbro perfeco en subjuegos: (E,) S el juego se repe, el monopolsa esará neresao en luchar para esanmar fuuras enraas. esanmar una enraa compensa los coses e un períoo e lucha La Paraoja e la aena e Almacenes Lucha Lucha P Enra M ompare P Enra M ompare No Enra No Enra on nformacón complea: S T cero y fno, la nuccón haca arás genera la paraoja SELTEN (978, T & ): En el úlmo períoo, para cualquer posble hsora, no hay naa que ganar luchano. El enrane T- lo sabe, luego enra. Enonces naa se consgue luchano conra el enrane T-2, quén lo sabe y enra y, así...sucesvamene... El únco equlbro perfeco en subjuegos es: Toos enran y el Monopolsa sempre compare. Esos resulaos no son robusos. uano T es nfno o ncero camban racalmene. Informacón ncomplea: S exsen uas sobre los pagos el enrane (KREPS&WILSON, 982, JET) o sobre los pagos el monopolsa cuano lucha (MILGROM&ROBERTS, 982, JET), aunque sean pequeñas, exsen equlbros razonables one el Monopolsa lucha creano una repuacón que prevene la enraa. 5

6 JUEGOS REPETIOS: ESUENTO EN HORIZONTE INFINITO El facor e escueno: s caa períoo se evenga un po e nerés e r por uno, los valores acuales e los pagos en el períoo sguene se esconarán por: ;0 r 0 r Enre el facor e escueno y la asa e nerés exse la sguene relacón nversa: r ; 0 0 r Propea la sere e poencas e δ converge a un valor fno (suma e los érmnos e una progresón geomérca e razón menor que ) JUEGOS REPETIOS: ESUENTO Y PROBABILIA EN HORIZONTE FINITO PERO INIERTO δ puee nerprearse ambén para analzar los juegos que se repen un número aleaoro e veces. Eso proporcona una analogía formal enre los juegos repeos e horzone nfno y e horzone neermnao. La probabla consane e que el juego e eapa se acabe en una rona es 0<p<. Exse enonces una probabla posva e que el juego connúe un períoo más e (-p). La probabla e que el juego llegue al períoo será (-p). e manera que para el nerés r, el facor esperao e escueno será: p ; 0 ( p) y 0 r 0 r 6

7 Valor ópmo y gananca mea en Juegos Infnamene Repeos El valor ópmo e los subjuegos que arrancan en períoos subsguenes perme analzar ese po e juegos. En el juego repeo nfnamene G cualquer subjuego a parr el períoo es gual al juego orgnal. Es ambén un juego nfno y su valor ópmo será el msmo, V. S es el pago e equlbro e, enonces los valores ópmos e los subjuegos con nco en y en + han e cumplr: _ u V. V efncón: ao el facor e escueno, y la sucesón (nfna) e ganancas, 2, 3,...,,..., se enomna gananca mea el pago o gananca, û, cuyo valor esconao equvale al e la sucesón, eso es: u. u ( ).. EL TEOREMA FOLK FRIEMAN (97) probó que los juegos repeos nfnamene pueen susenar equlbros con pagos superores a los el equlbro el juego base. En el caso e los juegos bpersonales FUEMBERG y MASKIN (986) emuesran que en los juegos repeos nfnamene puee susenarse por un equlbro cualquer vecor e pagos facble que concea a caa jugaor una gananca superor a su pago e reserva (el mayor pago que caa jugaor puee garanzarse con nepenenca e lo que hagan los emás) TEOREMA FOLK (FRIEMAN 97): Sea un juego e eapa con nformacón complea G=(S, ) (enomnamos a las funcones e pagos para que no se confunan con las H e hsoras). Sean e=(e,...,e n ) las ganancas en un equlbro e Nash e G y sean x=(x,...,x n ) oras ganancas facbles cualquera e G. S x >e para caa jugaor y s esá lo sufcenemene cerca e, exse un equlbro e Nash perfeco en subjuegos el juego repeo nfnamene G que proporcona como gananca mea ales pagos facbles e G x=(x,...,x n ). 7

8 EQUILIBRIO E ESTRATEGIA ETONANTE I onseremos la sguene esraega eonane o e gallo (Trgger): Jugar a x en la prmera eapa y, a connuacón, en cualquer eapa -ésma: ) jugar a x s en la hsora H nngún jugaor se ha esvao nunca e a x no exse nngún a en H - y 2) a e en cualquer oro caso. Veamos s es un equlbro e Nash: S oos los jugaores ( ) sguen al esraega, la mejor respuesa e será segurla ambén: En cualquer eapa, con una hsora que conenga alguna esvacón, los resanes jugaores ( ) elgrán a e- e manera que será ópmo para jugar a e En cualquer hsora sn esvacón o en la prmera eapa al jugaor le neresara segur al esraega y jugar a x s el valor esperao es superor al e a. EQUILIBRIO E ESTRATEGIA ETONANTE II 2 Valor esperao e a. e. e.... e. e S es ópmo a Valor ópmoesperao V x. V S es ópmo ax x Jugar ax es una mejor respuesa e x e 8

9 EQUILIBRIO E ESTRATEGIA ETONANTE III omo x e S esa próxmo a, la esraega será e equlbro max para caa se cumple que x e para caa,..., n x e s: Veamos ahora que la esraega eonane es un equlbro perfeco en subjuegos. Efecvamene: ) Los subjuegos cuya hsora no conene nnguna esvacón a son guales al juego compleo y por ano la esraega eonane es un equlbro e Nash y 2) En aquellos oros subjuegos cuya hsora conenga una esvacón a, los jugaores acconan el sparaor y juegan el equlbro el juego e eapa a e que es ambén un equlbro e ese subjuego. TEMA 8: JUEGOS REPETIOS: APLIAIONES EN MOELOS E OLIGOPOLIO. Promesas y amenazas: Esraegas creíbles e premo y casgo 2. olusón en moelos e Berran: precos e ncenvos a meo plazo. Precos e Monopolo y equlbros perfecos e Pareo. 3. olusón en moelos e ourno: anaes e Monopolo y equlbros perfecos e Pareo. 9

10 OMPETENIA E BERTRAN: EQUILIBRIOS Y ESVIAIONES onseremos una funcón lneal e emana normalzaa: P= Q <=> Q = P. onseremos que los coses meos esán ambén normalzaos a cero: c = 0. Las prouccón e monopolo será ½, el preco e monopolo será ambén ½, y el benefco e monopolo será por ano ¼. El equlbro e compeenca en precos el juego e eapa e Berran es P = c = 0 (nula ferenca enre preco y cose meo), la cana prouca oal será, y el benefco e caa empresa 0. Las empresas ganarán más en un acuero e carel que en el equlbro el juego e eapa, la esvacón máxma que pueen obener es benefco e monopolo e un períoo /4 OMPETENIA E BERTRAN Y NUMERO E EMPRESAS: ESVIAIONES Y ESUENTO Nº E E Eapa arel esv. Max. P P P /2 /8 (/2)- /4 0, ½ /2 (/2)- ¼ 0, /2 /6 (/2)- ¼ 0, /2 /20 (/2)- ¼ 0, N 0 0 /2 /4N (/2)- /4 (N-)/N 0

11 OMPETENIA E OURNOT: EQUILIBRIOS Y ESVIAIONES Normalzano a el amaño el mercao y a cero los coses, la funcón e precos e vena resula: P=-Q Los equlbros el juego e eapa en funcón el número e empresas son: a) anaes nvuales q * =/(N+), b) ana oal Q * =N/(N+), c) Preco P=/(N+), ) Benefco =/(N+) 2 En un acuero e cárel la prouccón oal y el preco serán los e monopolo (/2), las prouccones nvuales serán la enésma pare: q M =/2.N. OMPETENIA E OURNOT: EQUILIBRIOS Y ESVIAIONES ONTINUAION El mejor pago que resula e e esvarse el acuero colusvo (esvacón máxma) resulará: max q ( q Q M ) max q ( q q ( q N 4. N N ) 2. N N ) 2. N Lo que mplca : La mejor esvacón será en consecuenca : q 2 N 4. N

12 OMPETENIA E OURNOT Y NUMERO E EMPRESAS: ESVIAIONES Y ESUENTO Nº E. E. ETAPA ARTEL ESV. MAX. q p q p q p 2 /3 /3 0, /4 /2 0,25 3/8 3/8 0,4 0,529 3 /4 /4 0,063 /6 /2 0,083 4/2 4/2 0, 0,57 4 /5 /5 0,040 /8 /2 0,063 5/6 5/6 0,098 0,609 5 /6 /6 0,028 /0 /2 0,050 6/20 6/20 0,090 0,642 6 /7 /7 0,020 /2 /2 0,042 7/28 7/28 0,085 0, N N N ( N ) 2 2N 2 4N N 4N N 4N 2 N 4. N c e OLUSION EN EL MOELO E OURNOT: GRAN NUMERO EMPRESAS Nº Empresas x e ela 2 0,406 0,250 0, 0, ,0900 0,0500 0,0278 0, ,0756 0,0250 0,0083 0, ,07 0,067 0,0039 0, ,0689 0,025 0,0023 0, ,0676 0,000 0,005 0, ,0650 0,0050 0,0004 0, ,0638 0,0025 0,000 0, ,0630 0,000 0,0000 0, ,0628 0,0005 0,0000 0, ,0626 0,0003 0,0000 0,996 2