Arbitraje y Valoración de Activos Financieros

Transcripción

1 Arbraje y Valoracón de Acvos Fnanceros Julo G. Vllalón Josefna Marínez Barbeo Casa de la Galería, s/n Campus de Elvña 507 A Coruña E-mal: g.vllalon@era.es barbeo@sx.udc.es Resumen Una oporundad de arbraje, es una esraega de nversón que garanza un resulado posvo con respeco a cera conngenca con nnguna posbldad de obener un resulado negavo y sn realzar nversón alguna. Todos los méodos de valoracón de acvos dervados ulzan la nocón de arbraje. Los precos de los acvos se obenen en condcones ales que evan oporundades de arbraje. En los méodos de valoracón equlbro, la ausenca de oporundades de arbraje es pare de las condcones de equlbro general. Las oporundades de arbraje pueden surgr de dos formas dferenes. En la prmera, se puede hacer una sucesón de nversones sn nnguna oblgacón acual y esperar obener un benefco posvo. En las oporundades de arbraje segunda clase, una carera puede asegurar una comsón nea negava hoy, menras que proporcona benefcos no negavos en el fuuro. Por nuesra pare, después de hacer referenca a los sguenes aspecos: precos de los acvos y esados de la nauraleza; rendmenos y desembolsos; consderamos el Teorema de Arbraje y se propone una generalzacón. Palabras clave: Oporundades de arbraje, valoracón de acvos dervados, méodos de valoracón equlbro, Teorema de arbraje, MEDAF, CAPM, nversor alcsa, nversor bajsa, carera de arbraje, marngala, Ecuacones Dferencales Esocáscas.

2 . Inroduccón La eoría arbraje de valoracón de acvos la desarrolló Ross [7,8,9] como una alernava al Modelo de Equlbro de Acvos Fnanceros (MEDAF), de versón anglosajona Capal Asse Prcng Model (CAPM), cuya conclusón prncpal es que la carera de mercado es efcene meda-varanza. u consderacón formal mplca la sguene noacón. Un deermnado acvo ene de rendmeno medo E y la carera de mercado ene de rendmeno E m y varanza σ m. La covaranza enre el rendmeno del acvo y el rendmeno de la carera de mercado es σ m y el ano de nerés sn resgo r. El MEDAF afrma que E r + λ b (.) donde λ E m r (.) y σ σ b m m es el coefcene bea del acvo. La normaldad de los rendmenos de los acvos de capal o ben las preferencas cuadrácas de sus poseedores son las hpóess que conducen a la (.) y (.). Teórca y empírcamene es dfícl jusfcar las hpóess del MEDAF. Además, el MEDAF es crcado debdo a su dudoso conendo. La carera de mercado es práccamene no observable y una declaracón respeco a la carera de mercado (al como el MEDAF) es dfícl de conrasar empírcamene. n embargo, la relacón lneal (.) es aplcable por su smplcdad y por sus fácles nerpreacones. El Modelo de Valoracón fundado en el Arbraje (MVA, cuya versón anglo-sajona es Arbrage Prcng Theory, APT), es un modelo alernavo a las eorías meda-varanza, alernava que mplca una relacón aproxmadamene lneal como la (.). La prncpal venaja del Modelo de Valoracón medane arbraje (MVA) de Ross es que su conrasabldad empírca no depende del conocmeno de la carera de mercado. Desgracadamene, el análss de Ross no es fácl de segur. No sumnsra una defncón explíca de arbraje y su demosracón mplca hpóess respeco a las preferencas de los agenes así como hpóess de no arbraje.. Precos de los Acvos El índce represena el empo. Los íulos (valores) ales como opcones, fuuros, conraos a plazo y mercancías se represenan medane un vecor de precos de los íulos denoado por : ( ) () (.) N (), puede sgnfcar pedr presado o presar sn resgo; (), puede denoar un íulo parcular; 3 (), una opcón call suscra sobre ese íulo, 4 (), la correspondene opcón pu y así sucesvamene. El subíndce en ndca que los

3 precos perenecen al momeno represenado por el valor de. En los precos de los íulos empo dscreo se puede expresar como 0,,,, +,. Ahora ben, en empo connuo el subíndce puede omar cualquer valor enre cero e nfno, es decr [ 0, ). (.) En general, 0 denoa el momeno ncal y el momeno presene. escrbmos < s (.3) ndcamos que s es un momeno fuuro. 3. Esados de la Nauraleza Denoamos por W el conjuno de odos los posbles esados de la nauraleza : w W (3.) w k donde cada w, represena un resulado que puede aconecer. Esos esados son muuamene excluyenes y, al menos, esá garanzado que puede acaecer uno de ellos. En general, los acvos fnanceros endrán valores dferenes y proporconarán resulados dferenes en esados de la nauraleza dferenes w. uponemos que hay un número fno k de ales posbles esados. 4. Rendmenos y Desembolsos Los esados de la nauraleza w, debdo a que en dferenes esados de la nauraleza los rendmenos de los íulos serían dferenes. Denoamos por d j el número de undades monearas pagadas por undad del íulo en el esado j. Esos desembolsos endrán dos componenes. El prmer componene es las ganancas o pérddas de capal. Los valores de acvos aprecados o no aprecados. Para un nversor que es alcsa respeco al íulo, una aprecacón conduce a una gananca de capal y una deprecacón a una pérdda de capal. Para los que son bajsas respeco al acvo, las ganancas y pérddas de capal serán nversas. El segundo componene de la d j son desembolsos ales como dvdendos o pagos de cupones. Algunos acvos no enen ales desembolsos, por ejemplo las opcones call y pu y las oblgacones acualzadas enre oros. Pero oros enen desembolsos, apare de los íulos que pagan dvdendos y cupones, por ejemplo, la nversón en fuuros. La prácca de operar en el mercado conduce a desembolsos daramene para el poseedor de un conrao. n embargo, en el caso de fuuros esos desembolsos pueden ser posvos o negavos. 3

4 La exsenca de varos acvos, juno con la hpóess de muchos esados de la nauraleza sgnfca que para cada acvo hay varos posbles d j. Ulzamos el cálculo marcal para represenar ales ordenacones. Así, para los N acvos en consderacón, los desembolsos d j se pueden represenar marcalmene medane una marz d k D Nk (4.) d N Nk donde cada fla represena los desembolsos por undad de un deermnado íulo en los dferenes esados de la nauraleza y cada columna represena los pagos a dferenes acvos en un deermnado esado de la nauraleza. los precos acuales de odos los acvos son dferenes de cero, enonces se puede dvdr la -ésma fla de D Nk por la correspondene y obener los rendmenos bruos en los dferenes esados de la nauraleza. La D Nk, endrá un subíndce en el caso de que los desembolsos dependan del empo. Por ora pare, recordemos que una carera es una combnacón parcular de acvos. Para formar una carera se necesa conocer las poscones adopadas por cada acvo en consderacón. El símbolo Π, represena la oblgacón conracual con respeco al -ésmo acvo, es decr, { Π,,,, N} represena la carera. Un Π posvo mplca una poscón al alza en aquel acvo, menras que un negavo represena una poscón a la baja. un acvo no esá ncludo en la carera, el correspondene Π es cero. una carera proporcona el msmo resulado en odos los esados de la nauraleza, enonces su valor se conoce exacamene y la carera se denomna sn resgo. 5. Ejemplo de Valoracón de Acvos Vamos a ver un sencllo ejemplo para explcar los resulados más mporanes relavos a la valoracón de acvos dervados. Traamos de lusrar la lógca ulzada en la valoracón de acvos dervados e nroducr los nsrumenos maemácos necesaros para llevar a cabo esa lógca en las aplcacones práccas. upongamos que el horzone emporal consa de dos períodos separados por un nervalo de longud. Consderamos un caso en el que el parcpane en el mercado esá neresado solamene en res acvos:. Un acvo sn resgo al como Leras del Tesoro, cuyo rendmeno bruo hasa el próxmo período es ( + r ). Ese rendmeno es consane ndependene del esado de la nauraleza.. El segundo íulo es un acvo subyacene, por ejemplo, un íulo ( ). upongamos que durane el pequeño nervalo, el ( ) puede omar solamene 4

5 uno de los dos posbles valores. ( ) es arresgado porque su resulado es dferene en los dos esados posbles de la nauraleza. 3. El ercer íulo es un acvo dervado, una opcón call con prma C() y un preco de ejercco C 0. La opcón vence en el período próxmo. Dado que el acvo subyacene ene dos posbles valores, la opcón call ambén omará dos posbles valores. Esa esrucura fnancera es basane smple. Hay 3 acvos (N 3) y dos esados de la nauraleza (k ). Uno de los acvos es el íulo subyacene; el oro es la opcón. El ercer acvo es pedr presado o presar a un ano fjo. El ejemplo no es rrealsa. Un comercane que opera en empo real (connuo) puede consderar omar una poscón (especulava) en una opcón parcular. el nervalo de empo consderado es pequeño, los precos de esos acvos pueden no cambar más que en una subda o en un descenso. Por ano, la hpóess de dos esados de la nauraleza puede ser una aproxmacón razonable. Resummos esa nformacón medane la noacón marcal. Los precos de los acvos forman un vecor de res elemenos B( ) ( ) (5.) C( ) donde B() es pedr presado o presar sn resgo; es un íulo y C() es el valor de la opcón call suscra sobre ese íulo La ndca el momeno en que se aplcan esos precos. Los resulados se agrupan en una marz D. Hay 3 acvos, lo cual ndca que la marz D ene 3 flas. Tambén hay dos esados de la nauraleza. Por ano, la marz D endrá dos columnas. La B() expresa pedr presado o presar sn resgo. La () es arresgado y su valor puede subr a ( + ) o bajar a ( + ). Fnalmene, el valor de mercado de la opcón call C() cambará de acuerdo con los cambos en el preco del acvo subyacene (). Por ano en ese caso parcular la D vendrá dada por: B( )( + r ) B( )( + r ) D ( + ) ( + ) (5.) C ( + ) ( + ) C donde r es el ano de rendmeno sn resgo. 6. Teorema de Arbraje Ahora ya podemos nroducr un resulado fundamenal en eoría fnancera que se puede ulzar para calcular los valores equavos de mercado de íulos dervados. En prmer lugar, vamos a smplfcar la noacón. La candad pedda presada y presada al ano sn resgo se seleccona por el nversor. Por ano, sempre podemos esablecer que B() (6.) 5

6 El empo que ranscurre, en ese caso (6.) Enonces, el Teorema de Arbraje se puede esablecer en los érmnos sguenes: Dados los y D defndos en (5.) y (5.) y que los dos esados enen probabldades de acaecmeno posvas.. las consanes posvas α y α se pueden obener ales que los precos de los acvos sasfagan ( + r) ( + r) α ( ) ( + ) ( + ) (6.3) α C( ) C( + ) C ( + ) enonces no hay posbldades de arbraje. Observemos que s +r >, se precsa que α + α <. Eso se obene de la prmera fla de la ecuacón marcal.. no hay oporundades arbraje, enonces se pueden enconrar consanes posvas α, α que sasfagan la (6.3). La relacón (6.3) se denomna represenacón. No es una relacón que se pueda observar en realdad. En efeco, ( + ) y ( + ) son posbles valores fuuros del acvo subyacene. olamene será observado uno de ellos el que perenece al esado que se ha realzado. Qué represenan las consanes α y α? De acuerdo con la represenacón mplcada por el Teorema de Arbraje, s un íulo paga en el esado y 0 en el esado, enonces () () α (6.4) Por ano, los nversores esán raando de pagar α undades (ahora) por una pólza de seguros que ofrece una undad moneara en el esado y nada en el esado. Análogamene, α ndca cuáno esarían dspuesos a pagar los nversores por una pólza de seguros que pague en el esado y nada en el esado. Evdenemene, gasando α + α se puede garanzar undad moneara en el fuuro ndependenemene de qué esado se haya presenado. Eso es lo que expresa la prmera fla de la represenacón (6.3). De acuerdo con esa nerpreacón α, α se denomnan precos de los esados. Respeco a la cuesón de qué pos de resulados práccos (s exsen) se obenen de la exsenca de α y α? Dremos que la represenacón dada por el eorema de arbraje es muy mporane para la valoracón prácca de acvos. El eorema de arbraje proporcona un neresane méodo general para valorar acvos dervados. Consderemos la represenacón: ( + r) ( + r) α ( ) ( + ) ( + ) (6.5) α C( ) C( + ) C ( + ) mulplcando la prmera fla de la marz dvdendo D por el vecor α, α obenemos 6

7 ( + r) α + ( + r) α (6.6) Defnmos: ~ ~ P ( + r) α y P ( + r) α (6.7) Debdo a la posvdad de los precos y a la (6.6) ~ ~ ~ 0 < P y P + P Por ano, las P ~ son números posvos y suman uno. Enonces pueden ser nerpreadas como dos probabldades asocadas a los dos esados consderados. Decmos nerpreadas porque las verdaderas probabldades que rgen el acaecmeno de los ~ ~ dos esados de la nauraleza, en general, serán dferenes de P y P. Esán defndas por la (6.7) y no sumnsran nformacón dreca respeco a las verdaderas ~ probabldades asocadas a los dos esados de la nauraleza. Por esa razón, { P, P ~ } se denomnan probabldades snécas ajusadas al resgo. Por ora pare, ulzando probabldades ajusadas al resgo, podemos deducr un mporane resulado para la valoracón de acvos. En la represenacón lbre de resgo dada por la (6.5), dvdmos ambos membros de la gualdad por el preco acual del acvo y mulplcamos ambos membros por ( + r), ano de rendmeno sn resgo bruo. uponendo dsnos de cero los precos de los acvos, obenemos ( + ) () ( + ) () ~ ~ P + P + ( r) (6.8) ( + ) () ( + ) () ~ C ~ C P + P ( + r) (6.9) C C En prmer lugar, observamos que las relacones ales como ( + ) ( + ) Y (6.0) () () son los anos de rendmeno bruos de () en los esados y respecvamene. Las ~ ~ gualdades (6.8) y (6.9) mplcan que s se ulzan P y P para calcular los valores esperados, odos los acvos endrían el msmo rendmeno esperado. De acuerdo con ~ ~ ese nuevo resulado según las P y P odos los rendmenos esperados son guales al ano de rendmeno lbre de resgo r. Resulado de amplo uso en la valoracón de acvos fnanceros. 7. Algunas generalzacones Hasa ahora la esrucura fnancera ha sdo muy senclla. En general, ales ejemplos sencllos no se pueden usar para valorar acvos fnanceros reales. A connuacón, vamos a consderar algunas generalzacones que se necesan para lograrlo. 7

8 7. Índce emporal Hasa ahora, hemos consderado empos dscreos,,,3,... En los modelos de valoracón de acvos empo connuo supondremos que es connuo [ 0, ) (7.) En ese caso, podemos consderar nervalos nfnesmales denoados por d. En empo connuo, los valores que puede omar un acvo no se lman a dos. Hay nnumerables posbldades y un connuo de esados de la nauraleza. Para capar ales generalzacones, necesamos nroducr las llamadas Ecuacones Dferencales Esocáscas (EDE). Por ejemplo, los ncremenos de los precos de íulos se pueden modelar ulzando la ecuacón d µ d + σ dw (7.) Donde el símbolo d represena un cambo nfnesmal en el preco del íulo; µ d, es el movmeno prevso durane un nervalo nfnesmal d y σ dw es una perurbacón aleaora nfnesmal mpredecble. Por ora pare, cuando es connuo, el facor de acualzacón vendrá dado por δ e (7.3) dondeδ es el ano nsanáneo de capalzacón. 7. Generalzacón del Teorema de Arbraje De acuerdo con el eorema de arbraje, s no hay posbldades de arbraje, enonces α ales que cada preco de acvo hoy es gual a una hay precos esados sopore { } combnacón lneal de posbles valores fuuros. Tambén se verfca el recíproco. exsen ales precos esados (sopore), enonces no hay oporundades de arbraje. Para esablecer el eorema de arbraje de forma general, empezamos por defnr los símbolos subyacenes ea la marz de resulados d K D (7.4) d N NK donde N es el numero oal de íulos y K, el número oal de esados de la nauraleza. Defnmos una carera α, como el vecor columna de compromsos fnanceros para cada acvo α α (7.5) α N En érmnos bursáles, α da las poscones omadas en un cero nsane. Mulplcando α por, obenemos el valor de la carera α : N () ' α α (7.6) Esa es la nversón oal en la carera α en el momeno. El desembolso para la carera α en el esado j es N d j α 8

9 Marcalmene: d N α D α (7.7) dk NK α N Ahora podemos defnr una carera de arbraje de la forma sguene: α, es una carera de arbraje, o smplemene un arbraje, s se cumple una de las sguenes condcones:. α 0 y D α > 0. α < 0 y D α 0 De acuerdo con eso, la carera α garanza cero rendmeno posvo en odos los esados, sn embargo esa no cuesa nada comprarla. Es decr, garanza un rendmeno no negavo menras que ene un cose negavo hoy. El eorema sguene es la generalzacón de las condcones de arbraje dscudas anerormene.. no hay oporundades de arbraje, enonces exse un α > 0 al que Dα (7.8). se verfca la condcón (.), enonces no hay oporundades de arbraje. Eso sgnfca que en una suacón de lbre arbraje exsen α ales que d K α N d N NK α N Observemos que de acuerdo con el eorema, se debe verfcar α > 0 para odo s cada esado en consderacón ene una probabldad de acaecmeno no nula. (7.9) Ahora supongamos que consderamos un po especal de marz rendmeno donde d K D (7.0) d N NK En la marz D, los elemenos de la prmera fla son consanes e guales a. Eso mplca que el rendmeno del prmer acvo es el msmo sn mporar el esado de la nauraleza en que se encuenre. Por ano, el prmer íulo es sn resgo. Ulzando el eorema de arbraje y mulplcando la prmera fla de D por el vecor preco esado α, obenemos α + + α K (7.) O ben, defnendo K α (7.) El α 0 es el descueno en la pecón de presado sn resgo. α 0 9

10 8. Conclusones El eorema de arbraje proporcona una meodología poderosa para deermnar en la prácca valores de mercado de acvos fnanceros. Los pasos más mporanes de esa meodología aplcada a los dervados fnanceros son los sguenes:. Obener un modelo lo sufcenemene aproxmado para nvesgar la dnámca del preco del acvo subyacene.. Calcular cómo el preco del íulo dervado expresa el preco del acvo subyacene al vencmeno o en oros momenos. 3. Obener las probabldades ajusadas al resgo. 4. Calcular los resulados esperados de los dervados al vencmeno ulzando las probabldades ajusadas al resgo. 5. Acualzar esa expecava ulzando el rendmeno lbre de resgo. Con el fn de poder aplcar esa meodología de valoracón, es necesaro famlarzarse con los sguenes pos de nsrumenos maemácos: En prmer lugar, la nocón de empo se necesa defnr cudadosamene. e debe desarrollar los nsrumenos para manejar cambos en los precos de los acvos durane períodos de empo nfnesmales. Eso requere un análss empo connuo. En segundo lugar, necesamos manejar la nocón de aleaoredad durane ales períodos nfnesmales. e necesa defnr cudadosamene los concepos ales como probabldad, esperanza, valor medo y volaldad durane los períodos nfnesmales. Eso requere la consderacón del llamado cálculo esocásco. e raa de dscur la nucón ras las hpóess que conducen a mejores resulados en el cálculo esocásco. En ercer lugar, necesamos comprender cómo obener las probabldades ajusadas al resgo y cómo deermnar el facor de acualzacón correco. El Teorema Grsanov, esablece las condcones según las cuales se pueden usar las probabldades ajusadas al resgo. El eorema ambén da la forma de esas dsrbucones de probabldad. La nocón de marngalas es esencal para el eorema Grsanov y, por ano, para la comprensón de la nauraleza neural frene al resgo. Fnalmene, cuando se presena la cuesón de cómo relaconar los movmenos de varas candades enre sí a lo largo del empo, eso se logra ulzando ecuacones dferencales en el cálculo esándar. Ahora ben, en un ambene aleaoro se ulzan las llamadas Ecuacones Dferencales Esocáscas (EDE). 0

11 Bblografía. Duffe, D. (996). Dynamc Asse Prcng. Prnceon Unversy Press. Harrson, J.M. and Kreps, D. (979). Marngales and arbrage n mulperod secures markes. Journal of Economc Theory, (0)3, pp Hull, J.C. (993). Opons, Fuures and Oher Dervave secures. Prence Hall 4. Ingersoll, R.J. (987). Theory of Fnancal Decson Makng. Rosman-Llefeld 5. Qunar, A. e Zsswller, R. (985). Théore de la Fnance. Puf 6. Roll, R. and Ross,. (980). An emprcal nvesgaon of he arbrage prcng heory. J. Fnance 35, pp Ross,.A. (976a). Reurn, rsk and arbrage. In Rsk and Reurn n Fnance, ed. I. Frend and J. Bcksler, Cambrdge, mass: Ballnger 8. Ross,.A. (976b). The arbrage heory of capal asse prcng. Journal of Economc Theory. 3(3), December, pp Ross,.A. (978). A smple approach o he valuaon of rsky sreams. Journal of Busness 5(3), July, pp