Interpretación dinámica de la Mecánica Estadística.

Transcripción

1 Inerpreacón dnámca de la Mecánca Esadísca. Evolucón de un ssema: Proceso esocásco Ω 1 Ω Ω 3...Ω n... Sea P 1 Ω 1 ; Ω ; 3 Ω 3 ;...; n Ω n ;... la probabldad de la secuenca de confguracones a empos dscreos. 1 < < 3 <..< n. Sea P 1 Ω 1 ; Ω ;...;. n-1 Ω n-1 n Ω n la probabldad condconada... Proceso de Markov: P 1 Ω 1 ; Ω ;...;. n-1 Ω n-1 n Ω n P n-1 Ω n-1 n Ω n WΩ n-1 Ω n W n-1n Enonces P 1 Ω 1 ; Ω ; 3 Ω 3 ;...; n Ω n P 1 Ω 1 W 1 W 3 W 34 W W n-1n

2 Ecuacón de Chapman-Kolmogorov CK : Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω P P P Para procesos connuos CK Ecuacón F-P. Para procesos dscreos CK Ecuacón Maesra. Ω Ω Ω j j j j j W P W P d dp Para un proceso esaconaro PΩ es ndependene del empo. La condcón sufcene fuere para que eso ocurra es balance deallado BD. 0 Ω Ω j j j W P W P

3 Conclusón: s un proceso de Markov W j cumple BD la secuenca de confguracones converge a una probabldad de equlbro esaconara PΩ. Para el Conjuno Canónco: / ep T k E E P P W W B j j j j Ω Ω Ω Ω Aplcacón: Smulacón Monecarlo. Problema: Dnámca arfcal.

4 Movmeno Brownano: Hsora: Brown 188 Ensen 1905 Langevn 1908 Perrn1911. Ensen 1905: ecuacón para la dsrbucón de probabldad : P r D r P r Ecuacón de Dfusón. Dsrbucón de probabldad no esaconara.

5 Langevn 1908 : Ecuacón dferencal esocásca. m d r d η r + ξ -ηr es un rozameno vscoso y ξ es una fuerza esocásca cuyas propedades esadíscas son: <ξ> 0 y <ξξ > η k B Tδ- de aquí se deduce D k B T/η relacón de Ensen. S la parícula esá someda a un poencal Vr: m d r d η r V r + ξ Ecuacón de Langevn: descrbe la dnámca de una parícula en equlbro con un baño érmco a emperaura T.

6 En general s enemos un proceso esocásco dado por una ecuacón general 1d de Langevn: b a d d ξ + con <ξ> 0 y <ξξ > δ-. podemos enconrar una ecuacón equvalene para la dsrbucón de probabldad P. [ ] [ ] [ ] [ ] donde 1 1 P b P a J J P b P a P + + Ecuacón de Fokker-Planck. Para varas varables: a es un vecor y b es una marz. Casos parculares: b 0. Dnámca deermnsa. Ecuacón de Louvlle. a 0. Dnámca esocásca. Ecuacón de Dfusón.

7 Prncpo Ergódco: los promedos calculados a lo largo de una rayecora en el espaco de confguracones concden con los promedos calculados en un deermnado formalsmo o conjuno mecano-esadísco. A 1 A Ω P Ω dω lm d τ A τ τ 0 Podemos recorrer el espaco de confguracones de dsnas formas: Medane una cadena de Markov Smulacón Mone Carlo Medane ecuacones del movmeno hamlonanas o no Smulacón de Dnámca Molecular Medane ecuacones del movmeno esocáscas Smulacón de Dnámca Molecular de Langevn.

8 MÉTODOS DE SIMULACIÓN Smulacones Mone Carlo: Méodo esocásco Requere el conocmeno de las energías. Dnámca Molecular: Méodo deermnsa. Requere el conocmeno de las fuerzas. Dnámca Langevn: Méodo deermnsa/esocásco. Requere el conocmeno de las fuerzas. Energías y Fuerzas: Vr Fr Poencales Empírcos. Cálculos ab no. F r V r

9 Méodos Mone Carlo: Algormo de Meropols: Smula el Conjuno Canónco T V N. Ese algormo cumple la condcón de BD y por ano nos llevará a la dsrbucón de probabldad canónca.

10 Aplcacón al modelo de Isng en d ΔE 8J ΔE 0J Algormos: - Meropols W nm mn 1 ep - ΔE/kT. - Glauber W nm 1/ 1 + epδe/kt. - Hea Bah W nm ep Es /kt/ep Es /kt+ep - Es /kt.

11 Dnámca de Kawasak. Conservacón del parámero de orden. Oras dnámcas Mone Carlo cluser algorhm : Swendsen Wang. Wolf. Parallel Temperng.

12 Análss de la smulacones numérca cálculo de promedos.

13 Efeco de amaño fno fne sze scalng

14 Deermnacón de la emperaura de ranscón cumulane de Bnder:

15 Números aleaoros: * La mayoría de los compladores enen su propo generador de números pseudo-aleaoros. * El méodo mas sencllo esá basado en el méodo congruencal. I [ ] mod + 1 ain c m rd I m n + n n / Obenemos un número aleaoro unformemene dsrbudo en el nervalo [01. La eleccón de a c y m depende de la máquna y el cclo mámo es m. * Algormo de Bo-Muller: nos perme obener números aleaoros con dsrbucón gaussana. g1 lnrd1 cosπrd g lnrd1 snπrd que `ene las propedades < g >0 y <g g j > δ j.

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17 Dnámca Molecular: S conocemos las fuerzas que acúan sobre cada parccula f r 1 r... r N. Las ecuacones de Newon nos dan: d r d f r1... r S el ssema es Hamlonano las ecuacones del movmeno asumendo Energía Cné`ca ; p /m: d r d p m d p d H r N V r La dsrbucón de probabldad se conserva dp/d0 facílmene deducble de la ecuacón de Louvlle.

18 Méodos de Inegracón: d/d f Se basan en la dscre`zacón del `empo Δ y en el desarrollo en sere de poencas:... '' 0 0 ' ' Δ + Δ + + Δ + Δ f f f f f f f Algormos: Verle: r r v m f r r r Δ Δ + Δ Δ + Δ + Δ Verle: con velocdades eplícas. m f f v v m f v r r Δ + + Δ + + Δ Δ + Δ + + Δ

19 Leap- frog: defnmos velocdades a `empos nermedos v Δ v + Δ y con ellas r r Δ / ; Δ r + Δ r / Δ r+δr + Δ v+δ/ v+δ/ v- Δ/+ Δ f/m Oros algormos: Beeman Predcor- correcor Runge- Kuja. Compromso enre precsón y cálculo de fuerzas. Conservacón de la energía en ssemas hamlonanos : `empos coros vs. `empos largos reversbldad del `empo y conservacon áreas algormos smpléc`cos.

20 La DM hamlonana smula el conjuno mcrocanónco EVN Ece y T flucúa T 1 m v C T T En MC TVN C E E Como smular en DM el Conjuno Canónco?

21 Reescalado de velocdades: Se calcula la energía cné`ca meda y por ano la emperaura en cada paso de `empo y se mul`plca las velocdades v v T * /T 1/.T * es la emperaura a la que queremos llegar y T es la emperaura acual. Consgue la emperaura correca pero no da la dsrbucón correca de velocdades. Algormo de Andersen: conaco con un ermosao Las parcculas sufren colsones con probabldad de Posson P ν ν ep- ν. Enonces la probabldad de sufrr una colsón en un `empo Δ es νδ. S una parccula sufre una colsón la nueva velocdad se ob`ene de la dsrbucón de Mawell- Bolzmann de velocdades. Pv ep- mv/

22 Algormo de Nosé- Hoover: Se smula un ssema fc`co con un grado de lberad más que escala las velocdades s o los `empos. H Nosé N p 1 m s + U r r... r 1 N + ps Q + gk B T ln s El parámero g se ajusa para que de los los promedos correspondenes a TVN. Q es una masa fc`ca para la varable s. Las varables reales son rʹ r y pʹ p/s. U`lzando H Nosé las ecuacones para esas varables quedan: r ʹ pʹ m ξ 1 Q pʹ m gk U p ʹ ξpʹ r B T d ln s s / s d ξ donde es ξ s p s un coefcene de frccón y se debe omar g3n.

23 U`lzando esas varables se conserva " H Nosé N pʹ " m 1 + U r r 1... r N ξ Q + + gk B T ln s

24 Dnámca de Langevn solucón numérca. Perme la smulacón de el conjuno canónco denro de un esquema de DM. Algormos de negracón de ecuacones dferencales esocás`cas SDE: - - Convergenca en las rayecoras. Convergenca en los promedos. Consderemos SDE d/d f+ D 1/ ξ. Runge- Kuja º Orden: g 1/ 1 f o + ΔD λ1z g 1/ f o + Δβg1 + ΔD λz 1/ o + Δ A1 g1 + A g + ΔD λ0z donde λ 1 λ λ 0 β A 1 y A son los parámeros del algormo. Z es un número aleaoro de dsrbucón gaussana. Una eleccón posble de parámeros es: A 1 A ½ β1 λ 0 1 y λ 1 1 λ 0 o λ 1 0 λ 1

25 Modelos esocáscos. S defnmos En general s F F φ gradφ p. e. una energía lbre de GL. Modelo A o TDGL model.

26 La ecuacón de FP para el modelo A es Donde hemos defndo una densdad de correne En condcón esaconara

27 y por ano y de aquí

28 Modelo B: Parámero de orden conservado. Queremos mplemenar una dnámca en la que el parámero de orden se conserve Reemplazamos La condcón de equlbro para

29 Luego las ecuacones de Langevn quedan: Y el parámero de orden se conserva: Ecuacón de Cahn- Hllard. F dr φ +φ 4 φ

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31 Nucleacón y decomposcón espnodal apromacón al eq.:

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