FILTROS NO LINEALES PARA RECONSTRUIR SEÑALES DE ELECTROCARDIOGRAMAS NONLINEAR FILTERS TO RECONSTRUCT ELECTROCARDIOGRAM SIGNALS

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1 REVISTA DE MATEMÁTICA: TEORÍA Y APLICACIONES (2) : CIMPA UCR ISSN: FILTROS NO LINEALES PARA RECONSTRUIR SEÑALES DE ELECTROCARDIOGRAMAS NONLINEAR FILTERS TO RECONSTRUCT ELECTROCARDIOGRAM SIGNALS SABA INFANTE LUIS SÁNCHEZ FERNANDO CEDEÑO Receved: 7/May/2012; Revsed: 19/May/2014; Acceped: 21/May/2014 Deparameno de Maemácas, Cenro de Análss, Modelado y Traameno de Daos (CAMYTD), Faculad de Cenca y Tecnología, Unversdad de Carabobo. Valenca, Venezuela. E-Mal: snfane@uc.edu.ve Deparameno de Maemácas, Faculad de Cencas de la Educacón, Unversdad de Carabobo. Valenca, Venezuela. E-Mal: lsanchez8@uc.edu.ve Deparameno de Maemácas, Cenro de Análss, Modelado y Traameno de Daos (CAMYTD), Faculad de Cenca y Tecnología, Unversdad de Carabobo. Valenca, Venezuela. E-Mal: fjcedeno@uc.edu.ve 199

2 200 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO Resumen Las señales de los elecrocardogramas han sdo usadas en paologías cardíacas para deecar enfermedades del corazón. El objevo prncpal de ese rabajo es proponer écncas de flraje de señales para reducr el rudo, exraer nformacón, reconsrur los esados, y propedades morfológcas de los lados del corazón. Adconalmene se preende represenar la acvdad cardíaca en forma smple, nformava, precsa, y de fáclnerpreacón para los Cardólogos. Para lograr esos objevos seproponen mplemenar los sguenes algormos: flro de parículasgenérco(fpg), flro de parículas con remuesreo (FPR), flro de Kalman sn esenca (FKSE), y el flro de parículas sn esenca (FPSE), consderando la esrucura básca del modelo dnámco snéco de McSharry e al. (2003) [16]. Los resulados demuesran que los flros se desempeñan muyben en la reconsruccón de los esados del ssema del rmo cardíaco, aun nroducendo pequeñas varacones en las varanzas de los rudos de la ecuacón de observacón; es decr, los méodos ene la capacdad de reproducr la señal orgnal del modelo snéco smulado y del modelo snéco con daos reales en forma precsa. Fnalmene se evalúa el desempeño de los flros en érmnos de la desvacón esándar empírca, observándose poca varabldad enre los errores esmados y una rápda ejecucón de los algormos. Palabras clave: modelo snéco ECG; flros no lneales; morfología de las ondas. Absrac ECG sgnals have been used n cardac pahology o deec dsease hear. The man objecve of hs paper s o propose sgnal flerngechnques o reduce nose, exrac nformaon, o reconsruc he saes and properes Morphologcal hearbea. In addon, ams o represen hecardacacvy n a smple, nformave, accurae, and easy o nerpre for cardologss. To acheve hese objecves are proposed o mplemen he followngalgorhms: generc parcle fler (GPF), resamplng parcle fler (RPF), unscened Kalman fler (UKF) and he unscened parcle fler (UFP) consderng he basc srucure of synhec dynamc model McSharry e al. (2003) [16]. The resuls show ha fler performs very well n hereconsrucon of he saes hear rae sysem, whle nroducng small varaons n he varances of he noses of he equaon observaon, e, he mehods have he ably o reproduce he orgnal sgnal he synhec model smulaed and he synhec model wh real daa accuraely. Fnally evaluaes he performance of he flers n erms of he emprcal sandard devaon, showng lle varably among he esmaed errors and fas execuon of algorhms.

3 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 201 Keywords: synhec ECG model; nonlnear flers; morphology of waves. Mahemacs Subjec Classfcaon: 62L12. 1 Inroducón El corazón esa formado por un músculo que ene la capacdad de generar mpulsos elécrcos a ravés de un ssema de conduccón, que se propagaaravés de las aurículas y venrículos, con el propóso de conraerse en forma rímca. Las varacones del poencal elécrco durane el cclo cardíaco producen las ondas caraceríscas del elecrocardograma (ECG); su análss es de gran mporanca porque descrbe la cronología de los evenos cardíacos. Formalmene un ECG es un regsro gráfco que descrbe la acvdad elécrca producda por el flujo de la correne ónca que causan la conraccón de lasfbrasdelcorazón yqueposerormenepermeunesadoderelajacón. ElECGse obene medane el regsro de la dferenca de poencal enre varoselecrodoscolocados en la superfce corporal, ese proceso se regsra en papel mlmerado en forma de ondas, sendo las prncpales, las ondas denfcadas por: P, Q, R, S y T, las cuales se repen peródcamene en una persona sana, conlasfrecuencasde los lados cardíacos. En la Fgura (1) se muesra un lado smulado ulzando el modelo McSharry e al. (2003) [16], donde se evdencan las ondas anes menconadas. volage[mv] P R T Q S empo[seg] Fgura 1: Señal ípca del ECG.

4 202 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO La onda P es una deflexón posva por encma de la línea base provocada por la depolarzacón aurcular manfesada en el corazón por la conraccón aurcular y es muy úl en el esudo de las arrmas, su duracón normal es aproxmadamene de 0.10 segundos. El complejo QRS comprende 3 ondas: Q, R, S, yrepresenaladepolarzacóndelmocardovenrcular.la onda Q represena el poencal de accón que vaja a ravés del sepum nervenrcular, las ondas R y S ndcan conraccón del mocardo, las anormaldades en el complejo QRS pueden ndcar: aqucarda de orgen venrcular, hperrofa venrcular u oras anormaldades venrculares, su duracón normal es aproxmadamene gual a 0.06 segundos a 0.10 segundos. La onda T represena la repolarzacón de los venrículos. El procesameno de señales se realza con el propóso de mejorar la precsón de las medcones, reproducr la señal cuando se compara con las medcones manuales, y cuando la exraccón de la nformacón no se obene en forma clara. Por ora pare, los regsros del ECG pueden ser conamnados por muchas fuenes de error, ales como: nerferencas elécrcas en los equpos, conaco ncorreco de los elecrodos, músculo conraído, movmeno en los equpos cuando se realza el ECG, errores en el proceso de conversón dgal, ec. Dado que esas nerferencas morfológcamene se confundenconla acvdad cardíaca, se requere emplear écncas de flrado que perman la exraccón exaca y efecva de la nformacón. Los méodos de flrado preservan las caraceríscas clíncas mporanes menras que proporconan una ala reduccón del rudo (Sayad e al. (2010) [27]). Las écncas ulzadas hasa ahora para flrar y elmnar el rudo son: descomposcón de ondículas (Nkolaev e al. (2000) [18]), análss por componenes prncpales (Paul e al. (2000) [19], Moody & Mark (1989) [17]), análss de componenes ndependenes (Poer e al. (2002) [20], Barros e al. (1998) [3], He e al. (2006)) [10], reduccón de rudo no lneal (Schreber & Kaplan (1996) [28]), redes neuronales (Clfford & Tarassenko (2001) [6]). Recenemene se han ulzado las écncas del flro de Kalman exenddo, (Sayad y Samen (2007) [23], Sayad y Shamosollah (2008a) [24], Sayad y Shamosollah (2008b) [25], Sayad y Shamosollah (2009) [26], Samen e al. (2005) [21], flro de Kalman exenddo suavzado (Sayad e al. (2010) [27]) y flro de Kalman sn esenca (Vepa (2010)[33]), enre oros. Dado que las señales generadas por los lados del corazón enen un comporameno no lneal, el objevo prncpal de ese rabajo es reconsrur el modelo dnámco snéco elecrocardograma (ECG) desarrollado por Mc- Sharry e al. (2003) [16], usando las écncas de flros de parículas (FP) y alguna de sus modfcacones. Hay muchas varanes de esos méodos, en ese rabajo se mplemenarán los sguenes algormos: flro de parículas genérco

5 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 203 (FPG), flro de parículas con remuesreo (FPR), el flro de Kalman sn esenca (FKSE) y el flro de parículas sn esenca (FPSE), sobre el ssema dnámco dscrezado propueso por McSharry e al. (2003) [16]. Para unarevsónexensa de esos méodos se recomenda revsar los rabajos de: Arulampalame al. (2002) [2], Gordon e al. (1993) [9], Douce e al. (2000) [7], Sorvk (2002) [30], Douce e al. (2001) [8], Smon (2006) [29], Andreu e al. (2010) [1], van der Merwe e al. (2000) [31], van der Merwe (2004) [32], Vepa (2010) [33], y Sánchez & Infane (2013) [22], enre oros. El reso del arículo es organzado como sgue. En la Seccón 2 se resumen: los maerales y méodos; en la Seccón 3 se muesran los resulados obendos; yenlaseccón4 se realza una dscusón de los resulados y se esablecen unas conclusones. 2 Maeralesy méodos Un ssema dnámco es un proceso que consse en un conjuno de posbles esados, bajoun conjunode reglas quedeermnanlos esadospresenes en érmnos de los esados pasados. La relacón enre las observacones y ylasvarablesde esados desconocdos x se puede represenar en forma compaca por un ssema dnámco esocásco no lneal en empo dscreo, como sgue: x = M (x 1 )+u ; u N(0,Q ) (1) y = H (x )+v ; v N(0,R ) (2) La ecuacón dada en (1), se conoce como la ecuacón de esado, M es un operador de ranscón que mapea el espaco de esados denro del msmo espaco de esados, x X R n denoa un vecor de esados desconocdos en un empo, u es un vecor de errores aleaoros de esmacón de los esados, y Q es la marz de covaranza de los errores de los esados. Por ora pare, la ecuacón dada en (2), represena la ecuacón de observacón, y Y R n denoa un vecor de observacones, H es un operador que mapea el espaco de los esados denro del espaco de las observacones, v es un vecor de errores aleaoros comedo en las medcones de las observacones, y R es la marz de covaranza de los errores de las observacones. Una area mporane es esmar los esados desconocdos x 0: =(x 0,...,x ),basándoseenlasmeddasobendas aparrdelprocesodeobservacóny 1: =(y 1,...,y ). La dea prncpal es esmar recursvamene en el empo la dsrbucón a poseror p(x 0: y 1: ),y sus caraceríscas asocadas ncluyendo la dsrbucón margnal p(x y 1: ),la esperanza a poseror E(x y 1: ),ylavaranzaaposerorvar(x y 1: ),enre

6 204 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO oras candades de nerés. En algún empo, sepuedeesmarladsrbucón aposerorusandoelteoremadebayes: p(x 0: y 1: ) p(y 1: x 0: )p(x 0: ) p(y1: x 0: )p(x 0: )dx 0: (3) En la prácca neresa esmar la dsrbucón margnal P (x y 1: ),quesasface la sguene forma recursón: Paso 1 Predccón: p(x y 1: 1 )= p(x x 1 )p(x 1 y 1: 1 )dx 1 (4) Paso 2 Acualzacón: p(x y 1: )= p(y x )p(x y 1: 1 ) p(y y 1: 1 ) donde: p(y y 1: 1 )= p(y x )p(x y 1: 1 )dx (5) En general hay problemas para calcular las ecuacones (4), y (5). En ese rabajo se proponenlas sguenesécncasde flradode señalespara esmar la dsrbucón a poseror margnal de los esados: flro de parículas genérco, flro de parículas con remuesreo, flro de Kalman sn esenca, y flro de parículas sn esenca. 2.1 Flro de parículas genérco Supóngase que se smulan N muesras ndependenes déncamene dsrbudas llamadas { parículas } de una varable aleaora, que se denoa por: x () 0:,=1,...,N de acuerdo a una dsrbucón p(x 0: y 1: ).Unesmador empírco para esá dsrbucón es dado por: p N (x 0: y 1: )= 1 N N =1 δ(x 0: x () 0: ) (6) donde δ(x 0: x () 0: ) denoa un puno de masa de la funcón Dela de Drac localzada en x () 0:.Enesoconsseelméododemuesreodemporanca(MI).El MI

7 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 205 puede ser modfcado para obener el esmador p N (x 0: y 1: ) de p(x 0: y 1: ) sn modfcar las rayecoras smuladas {x () 0:, =1,...,N}. Eso sgnfca consderar una funcón de mporanca q(x 0: y 1: ) en el empo que adme una dsrbucón margnal en el empo 1,dgamos: erando, se obene: q(x 0: y 1: )=q(x 0: 1 y 1: 1 )q(x x 0: 1, y 1: ) (7) q(x 0: y 1: )=q(x 0 ) q(x k x 0:k 1, y 1:k ) (8) k=1 Enoncesla funcónde mporanca perme evaluar recursvamene en el empo los pesos de mporanca: w () w () 1 p(y x () )p(x () q(x () x () 0: 1, y 1:) x () 1 ) (9) Un caso parcular, es consderar que la dsrbucón a pror p(x 0: ) como una dsrbucón de mporanca, eso es: q(x 0: y 1: )=p(x 0: )=p(x 0 ) En ese caso el peso de mporanca sasface: w () p(x k x k 1 ) (10) k=1 w () 1 p(y x () ) (11) El algormo del flro de parículas genérco (FPG) se resume: Paso 1. Incalzacón: para =0; y =1,...,N; se muesrea: x () 0 p(x 0 ) w () 0 p(y 0 x () 0 ) w () 0 = w() 0 N j=1 w(j) 0. Paso 2. Muesreo de mporanca: para =1, 2,..., T; y =1,..., N:

8 206 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO x () q(x x () 0: 1, y 1:) yseformaelconjuno: Se evalúan los pesos de mporanca: x () 0: =(x() 0: 1,x() ) (12) w () w () 1 p(y x () )p(x () q(x () x () 0: 1, y 1:) x () 1 ) (13) Se normalzan los pesos de mporanca: w () = w () N j=1 w(j) (14) Paso 3. Saldas: dsrbucón a poseror, valor esperado y la covaranza a poseror. p N (x 0: y 1: ) N =1 w () 0: δ(x 0: x () 0: ) (15) x = E(x y 1: ) N =1 w () x () (16) P N =1 w () (x () x )(x () x ) T (17) 2.2 Flro de parículas con remuesreo El problema que se presena con el algormo de flro de parículas genérco es el fenómeno de la degeneracón. Es conocdo que después de unas pocas eracones las parículas pueden ener pesos desprecables lo quemplca,quela varanza de los pesos de mporanca pueden ncremenarse en elempo.douce e al. (2000) [7], esableceron dos proposcones que permen selecconar una funcón de mporanca que mnmza la varanza de los pesos sobre las rayecoras de los esados smulados {x () 0: }.Unameddaadecuadaparasolvenarel problema de degeneracón de los pesos es calcular el amaño demuesraefecva

9 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 207 (N TME ) nroducdo en Kong e al. (1994) [14] y Lu (1996) [15], y que se defne como: N TME = N 1+Var q(. y1: )(ŵ () ) en la prácca es complcado calcular N TME,peroseesmapor: ˆN TME = (18) 1 N =1 [ w() ] 2 (19) enonces se compara ˆN TME con un umbral prefjado M U = N 2 [4]). El algormo modfcado se resume como sgue: (Chen (2003) Paso 1. Incalzacón: para =0y =1,...,N; se muesrea: x () 0 p(x 0 ) w () 0 p(y 0 x () 0 ) w () 0 = w() 0 N j=1 w(j) 0. Paso 2. Muesreo de mporanca: para =1,...,T;y =1,...,N: x () q(x x () 0: 1, y 1:);yseconsruyeelconjuno: Se evalúan los pesos de mporanca: x () 0: = {x() 0: 1,x() } (20) w () w () 1 p(y x () )p(x () q(x () x () 0: 1, y 1:) x () 1 ) (21) Se normalzan los pesos de mporanca: w () = w () N j=1 w(j) (22) Se evalúa: ˆN TME = 1 (23) N =1 [ w() ] 2

10 208 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO Paso 3. Remuesreo: S ˆN TME M U,sehacex () 0: = x() 0:,para =1,...,N. S ˆNTME <M U,para =1,...,N se muesrea un índce j() dsrbudo de acuerdo a la dsrbucón dscrea con N elemenos que sasfacen p r {j() =l} = w (l),paral =1,...,N.Enoncessehace x () 0: = xj() 0: y w () = 1 N. Paso 4. Las saldas del algormo se obenen usando las ecuacones dadas en (15), (16) y (17). 2.3 Transformacón sn esenca La ransformacón sn esenca (TSE) es un méodo para calcular los esadíscos de prmer y segundo orden como: la meda y la covaranza de una varable aleaora que sufre de una ransformacón no lneal y = f(x) ysebasaenel prncpo probablísco que dce que es más fácl aproxmar unadsrbucónde probabldad que una funcón no lneal arbrara (Juler y Uhlmann (2004)); es una forma elegane y exaca de calcular la meda y la covaranza de la funcón y medane la expansón de una sere de Taylor. Sea x un vecor de dmensón n x que ene meda x ymarzdevaranzacovaranzap xx.latsecalculalameda ylacovaranzadey = f(x) como sgue: Paso 1 Deermníscamene se generan 2n x +1punos sgmas S = {x,w }: Se calcula x 0 = x, para =0. Se generan x : ( ) x = x + (nx + λ)p xx ( ) x = x (nx + λ)p xx Se calculan w (m) donde: y w (c) de la sguene manera: w (m) = λ n x + λ ; =0 w (c) w (c) ; =1,...,n x = w (m) 0 +(1 α 2 + β) ; =0 = w (m) 1 = [2(n x + λ)] λ = α 2 (n x + κ) n x ; = n x +1,...,2n x (24) ; =1,...,2n x (25)

11 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 209 Paso 2 Se propagan los punos sgmas a ravés de la TSE: y = f(x ) ; =0,...,2n x. Paso 3 Se calcula la meda y la covaranza de y = f(x): 2n x ȳ = =1 w (m) 2n x y ; P yy = =1 w (c) (y ȳ)(y ȳ) T. λ es un parámero de escala que deermna la dreccón de los punos sgma; α mde la dspersón de los punos sgma alrededor de la meda x (0 α 1); κ es un segundo parámero de escala que varía enre 0 <κ<3 n x ; β represena los grados de lberad exra usado para nroducr algún conocmeno a pror de la dsrbucón de x,ademáseselercerparámeroquencorporalosefecosde ( (nx ) orden superor de la dsrbucón; + λ)p xx es la -ésma fla o columna de la raíz cuadrada de la marz (n x + λ)p xx y w son un pesos asocados con el ésmo puno sgma al que 2n x =0 w =1. La exacud de la meda y la covaranza de y = f(x) es garanzada medane la expansón de la sere de Taylor, ndependenemene de la forma de f(x). Lospunossgmagenerados garanzan la convergenca debdo al mecansmo del méodo Mone Carlo, dado en Juler (2000) [11]. 2.4 Flro de Kalman sn esenca El FKSE es un esmador de error cuadráco medo mínmo que seusacomoalernava al flro de Kalman exenddo (FKE) para esmar lasseñalesqueenen un comporameno no lneal. El FKSE debe su nombre de la ransformacón sn esenca desarrollada por Juler & Uhlmann (2004) [13]. En elfkseladsrbucónde los esados es represenada por una varable aleaora Gaussana que se especfca medane un conjuno mínmo de punos muesrales escogdos deermníscamene. Se aumena el modelo espaco esado hasa que ncluya las componenes de los esados orgnales y las varables rudos x a =(x T u T ) T.El esquema de seleccón de los punos sgma es aplcado a ese nuevo vecor de esados aumenados para calcular la correspondene marz sgmax a,. Luego el flro acualza la meda y la covaranza medane una aproxmacón usando las ecuacones del flro de Kalman (ver a van der Merwe e al. (2000) [31]), para mayores dealles. El FKSE se resume, para un ssema dnámco no lneal dscreo general: x = f(x 1 )+u y = h(x )+v (26)

12 210 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO donde: u N(0,Q ),yv N(0,R ). x R nx es un vecor de esados n x 1, y R m es un vecor de meddas m 1, u R q es un vecor de rudos de los esados q 1,yv R r es un vecor de rudos de las observacones r 1; como sgue: Paso 1. Incalzacón: para =0. ˆx a = E(x a ) P a = E[(x a ˆx a )(x a ˆx a ) T ]. Paso 2. Generacón de los punos sgma: para =1,...,T x a, = ([ ]) ˆx a ; ˆx a + (n x + q + λ)p a ; ˆx a (n x + q + λ)p a. (27) Paso 3. Propagacón: x a,+1 = f(x a,) 2(n x+q) ˆx +1 = =0 2(n x+q) P+1 = =0 y,+1 = h(x a,+1 ) 2(n x+q) ŷ+1 = =0 2(nx+q) P yy +1 = =0 2(nx+q) P xy +1 = =0 w (c) x a,+1 w (m) (x a,+1 ˆx +1 )(xa,+1 ˆx +1 )T w (c) y,+1 w (m) (y,+1 ŷ+1 )(y,+1 ŷ+1 )T + R w (m) (x a,+1 ˆx +1 )(y,+1 ŷ +1 )T. (28) Paso 4. Acualzacón: K +1 = P xy yy +1 (P+1 ) 1 ˆx + +1 =ˆx +1 + K +1(y ŷ ) P + +1 = P +1 K +1P yy +1 KT +1. (29)

13 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG Flro de parículas Kalman sn esenca El nuevo flro que resula de usar el FKSE denro de la esrucura de los flros de parículas (FP) es llamado flro de parícula sn esenca (FPSE). La dea prncpal es usar el FKSE para generar las muesras de la dsrbucón propuesa requerda en el FP, es decr: x () q(x () x 0: 1, y 1: ) () = N(ˆx (), ˆP () ) donde ˆx () y ˆP () es la meda y la covaranza de los punos sgma x,generados por el procedmeno del FKSE. Un cclo del FPSE puede ser resumdo como sgue: Paso 1. Incalzacón: en un empo =0, y =1,...,N. x () 0 p(x 0 ) w () 0 = p(y 0 x () 0 ) w () 0 = w() 0 N j=1 w(j) 0 ˆx () 0 = E(x () 0 ) P () 0 = E{(x () ( x a,() x () 0 = 0 w 0 P a,() 0 = (. 0 ˆx() 0 )(x() 0 ˆx() 0 )T } ) P () Q () 0 Paso 2. Muesreo de Imporanca: para =1,...,T y =1,...,N; ). Se acualzan las parículas con el FKSE, para esmar la meda y la covaranza; las cuales se aproxman generando los punos sgma. Se calculan los punos sgmas: x a,() = [ ˆx a,() ; ˆx a,() ˆx a,() + (n x + q + λ)p a,() ] (n x + q + λ)p a,(). ;

14 212 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO Predccón: x x,() j,+1 = f(xa,() ) 2(nx+q) ˆx () +1 = j=0 2(nx+q) P () +1 = j=0 w (m) j x x,() j,+1 w (c) j (x x,() j,+1 ˆx() +1 )(xx,() j,+1 ˆx() +1 )T y () j,+1 = h(xx,() j,+1 ) (30) 2(nx+q) ŷ () +1 = j=0 w (m) j y () j,+1 2(n x+q) P+1 vv = w (c) j (y () j,+1 ŷ() +1 )(y() j,+1 ŷ() +1 )T + R j=0 2(nx+q) P xy +1 = j=0 K +1 = P xy vv +1 (P+1) 1 ˆx () +1 =ˆx() +1 + K +1 w (c) j [x x,() j,+1 ˆx +1 ][y () j,+1 ŷ() +1 ]T [ y h(ˆx () +1 ) ] ˆP () +1 = P () +1 K +1P vv +1 KT +1. (31) Para =1,...,N;semuesreadeladensdaddemporanca: x () yseformaelconjuno x () 0: =(x() 0: 1, x() ). Para =1,...,N;seevalúanlospesos: w () N(ˆx () (), ˆP ) (32) = p(y x () )ŵ () 1. (33) Para =1,...,N;senormalzanlospesosdemporanca: Se evalúa ˆN TME. ŵ () = w () N j=1 w(j). (34)

15 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 213 Paso 3. Remuesreo: { } s ˆNTME < M U se remuesrea, { a parr} de la poblacón x () 0:, ŵ(),yseobeneunnuevoconjuno x () 0:, 1 N con pesos unformes. Paso 4. Las saldas del algormo se obenen usando las ecuacones dadas en (15), (16) y (17). Para valdar los resulados obendos se usará como medda de adecuacón,la desvacón esándar empírca (DEE), defnda por: DEE(x)= Var(x l )= 1 N N 1 M =1 M (x (j) x (j) l j=1 ) (35) donde: es el esado verdadero para la j ésma smulacón; x (j) = N l =1 w() l xj,(),eselesmadormonecarlodex = E(x y 1: ) para la j ésma señal de prueba; x j,() es la ésma rayecora smulada asocada con la señal j; y w () = ŵ() es el peso de mporanca. El propóso de ulzar el crero de la desvacón esándar empírca es proveer respuesas confables y efcenes de los resulados y deermnar que an apropada es laaproxmacón mplemenada a la solucón esperada. x (j) 2.6 El modelo dnámco snéco McSharry e al. (2003) propuseron un modelo snéco del ECG usando un conjuno de ecuacones de esados que genera una rayecora rdmensonal con coordenadas (x, y, z). El modelo consse en un cclo líme crcular de rado uno en el plano (x, y), elcualmpulsalarayecorahacaarrbayhacaabajo menras se aproxma al puno de nflexón en el ECG. Las formas delasondas son descra por procesos Gaussanos que corresponden aracores posvos ynegavosenladreccóndelejez. La cas-perócdad del modelo es reflejada por los movmenos de la rayecora alrededor del cclo líme, menras la varacón nerlados del corazón es reproducda usando los movmenos de la rayecora en la dreccón del eje z. Elmodeloesdefndoporunconjunode res ecuacones dferencales ordnaras:

16 214 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO ẋ = αx ω ẏ = αy + ωx ż = {P,Q,R,S,T } ( ) a θ exp θ2 2b 2 (z z 0 ) (36) donde: ẋ = dx d, ẏ = dy d, ż = dz d, α =1 x 2 + y 2, θ =(θ θ )mod2π, θ = aan2(y, x), θ [ π, π], ω =2πf es la velocdad angular de la rayecora, y f es la frecuenca enre lados del rmo cardíaco. Cada uno de los pcos P, Q, R, S, T son modelados usando una dsrbucón Gaussana localzada en la poscón angular de θ =(θ P,θ Q,θ R,θ S,θ T ).Losparámerosa, b, y θ ; {P, Q, R, S, T}, correspondenalaamplud,anchura(empodeduracón), y cenro de los parámeros. La línea base del ECG es modelada usando el parámero z 0 () =A sn(2πf 2 ),quesesuponequeesuncomponenedebaja amplud snusodal acoplado con la frecuenca respraora f 2 (McSharry e al. (2003) [16]), donde A =0.15mV.Lacoordenadaz de esa rayecora es represenada gráfcamene conra el empo para obener el ECG snéco. Samen e al. (2005) [21] ransformó las ecuacones dnámcas dadas en (36), enlaforma polar de la sguene manera: ṙ = r(1 r) θ = ω ż = {P,Q,R,S,T } ( ) a θ exp θ2 2b 2 (z z 0 ) (37) donde: ṙ = dr d, θ = dθ d,yż = dz d. El nuevo conjuno de ecuacones ene algunos benefcos comparado con las ecuacones orgnales. Laformapolar es muy smple de nerprear, la prmera ecuacón puede ser omda ya que no afeca al reso de las ecuacones, y los parámeros de fase esa dada en forma explíca lo que facla la localzacón angular de las ondas P, Q, R, S y T. El modelo dado en la ecuacón (37) en la forma espaco esado dscrea es: θ +1 = θ + ωδ z +1 = z {P,Q,R,S,T } ( ) δa θ exp θ2 2b 2 + η (38) donde: δ es un empo de muesreo, θ es una señal que ene forma de dene de serra que se espera que sea cero en los R pcos, y es de forma lneal enre π y π para las muesras de ECG enre dos R pcos sucesvos, y η es un rudo aleaoro que represena los efecos del paseo de resgo base y algunas oras fuenes

17 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 215 de error relaconadas con el modelo. Los parámeros a, b y θ son la amplud, dspersónangular y localzacones de las funcones Gaussanas usadas para modelar cada componene del ECG. Para usar los flros propuesosse debe colocar los modelos en la forma espaco esado, se consderan θ y z como varables de esados y los parámeros más mporanes del modelo son: w = {a P,...,a T,b P,...,b T,θ P,...,θ T,ω,η} (39) donde: w es un vecor de rudo del proceso, con marz de covaranza Q = E(w w T ). La relacón enre la ecuacón de esado y la ecuacón de observacón depende de la localzacón de los elecrodos φ en el pacene y los errores comedos en las medcones m yserelaconanconelvecordeesados,por: ( ) ( )( ) ( ) φ 1 0 θ u (1) = + m 0 1 z u (2) donde: u = ( u (1) u (2) es un vecor de rudos de la ecuacón de observacón, con marz de covaranza R = E(u u T ). Las marces Q y R se consderan ndependenes y dagonales. Fnalmene, para relaconar los parámeros del modelo con los regsros del ECG real, se defnen los a como: a = α ω b 2 ) ; {P, Q, R, S, T}. (40) Por ora pare, dado que se usa una mezcla de cnco Gaussanas para esmar las ondas P, Q, R, S, yt,sedefneunavarablealeaoracondsrbucón normal como sgue: s x N(µ, σ 2 ) enonces la funcón de densdad de probabldad vene dada por: ( ) g(x; µ; σ 2 1 )= exp (x µ)2 2πσ 2 2σ 2 (41) donde: 1 2πσ 2, µ y σ2 deermnan la amplud, el cenro y la dspersón de la funcón g respecvamene. Dado que los pcos de las ondas del ECG corresponden a los cenros de funcones Gaussanas se defne µ = θ,paradeermnarlas localzacones de los pcos como sgue: P = θ P ; Q = θ Q ; R = θ R ; S = θ S ; T = θ T. (42)

18 216 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO Análogamene, b = σ especfca la desvacón esándar de la poscón de los pcos de θ. La desvacón defne los punos ncales y fnales de la mezcla de densdades que descrbe el proceso mulmodal PQRST,eseresuladose manene sempre y cuando se suponga smería para cada onda del ECG. 3 Resulados En ese rabajo se mplemenaron en lenguaje de programacón Malab los sguenes algormos: FPG, FPR, FKSE, y FPSE, para la reconsruccón de una señal generada por el modelo snéco de un ECG propueso por McSharrye al. (2003) [16], y un modelo real de ECG de señales obendas de un ndvduo sano omado de la base de daos physone que se encuenra dsponble en la sguene dreccón: hp:// Por ora pare, el modelo snéco consderado fue dscrezado por el méodo de Euler de prmer orden, consderando x +1 = x + hf(x ),conunpasodeamaño h = Laecuacóndeesadodscrezadaresulanees: x +1 = x + h (αx ωy )+u 1 y +1 = y + h (αy + ωx )+v 1 ( ) z +1 = z + h a θ exp θ2 2b 2 (z z 0 ) + e {P,Q,R,S,T } (43) donde: u 1 N(0,σ 2 u1 ), v 1 N(0,σ 2 v1 ),ye N(0,σ 2 e). Por lo general no se dsponen de las observacones expermenales del ssema dnámco que se quere esudar, enonces las observacones requerdas para evoluconar se generan a ravés de una ecuacón de observacón lneal (ecuacón de observacón) sugerda por Chu y Chen (2009) [5]; es decr: r +1 = x + ζ donde: r =(x,y,z ) T, x =(x,y,z ) T,yζ N(0,σζ 2 I), 0 es un vecor de ceros, y donde la marz I es la marz dendad. Para ncalzar el FPG, consderamos las sguenes dsrbucones a pror: x 0 =1, y 0 =0, z 0 =0.04, u 1 N(0, 10 3 ), v 1 N(0, 10 3 ), e N(0, 10 3 ), ζ N(0, 10I). Para ncalzar el FPR, consderamos las sguenes dsrbucones a pror: x 0 =1, y 0 =0, z 0 =0.04, u 1 N(0, 10 3 ), v 1 N(0, 10 3 ), e N(0, 10 4 ), ζ N(0, 10I). EnlosFPGyFPRseelgócomofuncóndemporancauna

19 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 217 dsrbucón normal, como se elge en Arulampalam e al. (2002). Losvalores ncales para FKSE fueron los sguenes: ˆx + 0 =(1, 0, 0 04), P 0 + = Q = , R = , Los valores ncales para FPSE fueron, los sguenes: ˆx + 0 =(1, 0, 0 04), P 0 + = Q = R = Además para el FKSE y FPSE se ene que: α =10 3, κ =0yβ =2. En la Fgura (2), se muesra la morfología que descrbe los cnco exremosdelas ondas P, Q, R, S, yt en el círculo unaro generado por el modelo snéco dado en (43), conjunamene con los valores esmados por los algormosfpg yfpr, observándosesmludenrepcossmuladosylospcos esmados. En la Fgura 3 se muesra la msma gráfca dada en 2, pero con valores esmados usando los algormos FKSE, y FPSE, respecvamene. En la Fgura 4 se muesra el elecrocardograma generado por el modelo snéco verdadero, conjunamene con las medas a poseror de los esados esmados por elfpgyfpr.en el gráfco se observa una buena aproxmacón de los algormos propuesoscon respeco al modelo snéco. En la Fgura 5 se muesra el modelo snéco verdadero, conjunamene con las medas a poseror de los esados esmados por los algormos FKSE y FPSE, observándose más varabldad en losesmados con respeco a las saldas del modelo verdadero. En la Tabla 1 se muesra un resumen de la desvacón esándar empírca para N =5000parículas de longud M =200usando el modelo snéco del ECG y se esmó la desvacón.

20 218 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO Fgura 2: Reconsruccón de rayecoras: ECG snéco, FPG y FPR. Fgura 3: Reconsruccón de rayecoras: ECG snéco, FKSE y FPSE. esándar empírca del esado de la varable de nerés z, en la Tabla 1 no se observan dferencas sgnfcavas en los errores esmados, esdecr;ladferenca

21 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 219 Fgura 4: ECG snéco y medas a poseror esmadas por FPG y FPR. Fgura 5: ECG snéco y medas a poseror esmadas por FKSE y FPSE. enre el valor real y el valor esmado es mínma. Poserormene y para valdar los resulados smulados, se ajusó el modelo snéco de un ECG,peroahora

22 220 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO Flros FPG FPR FKSE FPSE DEE(z) CPU Tme (seg) Tabla 1: Comparacón de la desvacón esándar empírca: modelo snéco smulado. usando daos reales omados sobre un ndvduo sano, donde la frecuencade muesreo fue de 125Hz, la frecuenca cardíaca meda fue de 1.2Hz o 72 lados por mnuos. Para ncalzar los FPG y FPR se consderaron los sguenes valores a pror: x 0 =1, y 0 =0, z 0 =0.04, u 1 N(0, 10 1 ), v 1 N(0, 10 1 ), e N(0, 10 1 ), ζ N(0, 10I). Para los algormos FPG y FPR se elgó una funcón de mporanca como se elge en Arulampalam e a. (2002). Los valores ncales a pror para FKSE fueron los sguenes: ˆx + 0 =(1, 0, 0 04), P 0 + = Q = , R = , Los valores ncales a pror para FPSE fueron los sguenes: ˆx + 0 =(1, 0, 0 04), P 0 + = Q = ,R = Además para el FKSE y FPSE α =10 3, κ =0y β =2. En la Fgura 6 se muesra una represenacón de la señal generada por el modelo snéco con daos reales, conjunamene con las medas a poseror de los esados esmados por los algormos FPG y FPR, además en la Fgura 7 se muesra la señal de ECG real, conjunamene con las medas aposerorde los esados esmados por los algormos FKSE y FPSE, en ambos gráfcosse

23 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 221 Fgura 6: ECG real, FPG y FPR. Fgura 7: ECG real, FKSE y FPSE. observaque los valores esmadosy valores reales enen el msmo parón. En la Tabla 2 se muesra un resumen de la desvacón esándar empírca para el modelo

24 222 S. INFANTE L. SÁNCHEZ F. CEDEÑO snéco con daos reales del ECG, no se observan dferencas sgnfcavas en los errores esmados. Flros FPG FPR FKSE FPSE DEE(z) CPU Tme (seg) Tabla 2: Comparacón de la desvacón esándar empírca: modelo snéco ndvduo sano. 4 Dscusóny conclusones La dsponbldad de modelos compuaconales que smulen snécamene el comporameno de las señales de los elecrocardogramas puede complemenar la nformacón expermenal obenda en la clínca sobre pacenes con problemas cardovasculares. La uldad de algún dagnósco clínco basado en un elecrocardograma, recae sobre la caldad de la señal dsponble. Las perurbacones orudosenlaseñalpuedenconducradagnóscosnadecuados y pronóscos falsos. Las écncas de flrado propuesa en ese rabajo han sdo ulzadas en oros conexos para lmpar los rudos en las señales. En ese arículo se ulzan algunas esraegas de cómpuo para flrar las señales quesegenerande un elecrocardograma snéco; es decr, se mplemenan los algormos: FPG, FPR, FKSE, y FPSE, para esmar y reconsrur la morfología de las ondas generadas por el modelo snéco. Tambén se reconsruyen las ondas generadas por señales de un elecrocardograma real omada de un ndvduosano. Losresulados demuesran que FPG, FPR, y FPSE esma los esados con exacud, sn embargo esos flros enen un coso compuaconal mayor que el FKSE,debdo al problema degeneravo de los pesos, lo cual rae como consecuenca que la varanza de los pesos de mporanca enden a ncremenarse enelempo,pero enen la vrud que son muy generales y no requeren de nngún supuesosobre la dsrbucón de las señales y la forma funconal que lasgenera.enconra pare, el FKSE se obene una esmacón menos exaca, sn embargo su empo de cómpuo es ópmo debdo al menor numero de muesras requerdas por cada undad de empo, además se requere del supueso de normaldad en la dsrbucón de la señal. Esos algormos nos permen en empo real cuanfcar la dnámca subyacene de los esados de la señal del elecrocardograma, procesar la nformacón de acuerdo a su generacón, y a la vez perme monorear las caraceríscas morfológcas del elecrocardograma, es decr, las ondas P, Q, R, S y T del modelo snéco smulado, y del modelo snéco con daos reales.

25 FILTROS NO LINEALES PARA PROCESAR SEÑALES DE ECG 223 Fnalmene se esma la desvacón esándar empírca para medr el desempeño de los flros, en odos los casos esudados se obuveron valores pequeños para los errores esmados con poca varabldad. Agradecmenos Esa nvesgacón fue parcalmene fnancada por el Consejo de Desarrollo Cenífco y Humanísco de la Unversdad de Carabobo, proyeco CDCH HM Referencas [1] Andreu, C; Douce, A; Holensen, R. (2010) Parcle Markov chan Mone Carlo mehods, Journal Royal Sascal Socey, B, 72(3): [2] Arulampalam, S.; Maskell, S.; Gordon, N.; Clapp, T.A. (2002) Tuoral on parcle flers for on-lne non lnear/non Gaussan Bayesan rackng, IEEE Transacons on Sgnal Processng 50(2): [3] Barros, A; Mansour, A; Ohnsh, N. (1998) Removng arfacs from elecrocardographc sgnals usng ndependen componens analyss, Neurocompung 22(1-3): [4] Chen, Z. (2003) Bayesan flerng: From Kalman flers o parcleflers, and beyond, Techncal repor, Adapve Sysems Lab, McMaser Unversy. [5] Chu, C; Chen, G. (2009) Kalman Flerng wh Real-Tme Applcaons, Fourh Edon. Sprnger, Berln. [6] Clfford, G.; Tarassenko, L. (2001) One pass ranng ofopmalarchecure auo assocave neural nework for deecng ecopc beas, Elecroncs Leers 37(18): [7] Douce, A.; Godsll, S.; Andreu, C. (2000) On sequenal Mone Carlo samplng mehods for Bayesan flerng, Sascs and Compung 10: [8] Douce, A.; De Freas, J.F.G.; Gordon, N., Eds. (2001) Sequenal Mone Carlo Mehods n Pracce.SprngerVerlag,NewYork.

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