Crecimiento económico y gasto público: una interpretación de las experiencias internacionales y del caso colombiano ( ) *

Transcripción

1 Crecmeno económco y gaso públco: una nerpreacón de las experencas nernaconales y del caso colombano (98-999) * Carlos Eseban Posada ** José Fernando Escobar *** Resumen En ese documeno se presenan los resulados de la esmacón economérca del modelo de gaso públco y crecmeno económco de Barro (99). La esmacón fue de po panel ulzando daos de frecuenca anual de 83 países (con poblacones mayores a mllones en 98) a lo largo del período Cuando se juzgan los crecmenos del gaso públco y del produco ano de Colomba como de oros países de ngreso medo a la luz de las esmacones del modelo surge una conclusón: el gaso públco colombano se volvó excesvo durane la segunda mad de los años 9 y, por ano, conrbuyó a la reduccón de la asa de crecmeno de la economía. Absrac Ths paper presens a panel esmaon of he Barros s (99) model on economc growh and governmen expendure. The sample consss of annual daa ha spans from 98 up o 999, for 83 counres. The resuls of he esmaon are sasfacory. In erms of growh of boh governmen expendure and oupu for some mddle-ncome counres, ncludng Colomba, he model suggess ha he Colomban governmen expendure became excessve n he second half of he 9 s, and could help o explan he reducon of economc growh rae durng he same perod. Palabras claves: crecmeno económco, gaso públco, elascdad-capal del produco, esmacón panel. Keywords: economc growh, governmen expendure, capal elascy of produc, panel daa esmaon. Clasfcacón JEL: C33, H5, O, O4 * Borrador para comenaros. Ese documeno fue elaborado bajo la responsabldad exclusva de sus auores y no compromee, por ano, a las drecvas del Banco de la Repúblca. Los auores agradecen la colaboracón de Wlman Gómez, Lus Fernando Melo e Hsash Tanzak, y los comenaros de Lus Eduardo Arango, Marha Msas, Hernando Vargas, Dego Vásquez y de los assenes al semnaro nerno del Banco de la Repúblca en el cual se presenó una versón aneror. Los errores e nsufcencas que subssan, a pesar de los comenaros a pesar de los comenaros y colaboracones, sguen sendo responsabldad únca de los auores. Correspondenca: cposadpo@banrep.gov.co ** Invesgador, Subgerenca de Esudos Económcos, Banco de la Repúblca. *** Invesgador assene, Subgerenca de Esudos Económcos, Banco de la Repúblca

2 I. Inroduccón Un ema mporane de análss de la economía colombana es el de los efecos del gaso públco sobre la asa de crecmeno del produco. De un lado, la asa meda de crecmeno anual del PIB real per cápa del período 975-, 3.5% (con varanza de 5.7), fue nferor a la del período , 5.% (con varanza de 3.), y las asas observadas enre los años y (.9%,.4%, y.5%) son basane nferores a la meda ya menconada del úlmo cuaro del sglo XX. De oro lado, el gaso públco uvo un crecmeno veloz durane el pasado deceno: la asa meda anual de aumeno del ejecuado por el secor públco no fnancero, sn conar nereses, fue 9.%, y su nvel ascende en la acualdad a 33.4% del PIB real, aproxmadamene, un porcenaje que parece basane alo, al menos s se lo compara con el de muchos oros países en desarrollo, como se verá poserormene. Más aún, exsen movos para pensar que un elemeno que pudo haber conrbudo a la reduccón del rmo de crecmeno de la economía colombana durane los úlmos 6 años fue el rápdo aumeno del gaso públco. El objevo de ese rabajo es re-examnar la hpóess menconada al fnal del párrafo aneror. Para ello adopamos como puno de parda el modelo eórco de Barro (presenado en Barro 99, Barro y Sala--Marn 995, y Sala--Marn ). Ese modelo supone que el gaso públco es producvo y puede conrbur de manera posva a la asa de crecmeno de la economía pero mplca que s supera un cero nvel su conrbucón se orna negava. Ese puno de parda parece más razonable para el propóso de juzgar el caso colombano que suponer que el gaso públco carece de efecos posvos sobre la produccón. Ese documeno ene ses seccones prncpales, una de las cuales es esa nroduccón. La seccón II presena el modelo eórco y sus mplcacones; la seccón III descrbe la base esadísca que ulzamos; la seccón IV resume el rabajo economérco realzado para poner a prueba el modelo eórco y esmar sus parámeros, y presena los resulados Ese porcenaje es una esmacón para que no ncluye servco de la deuda públca. La esmacón es de Posada y Gómez (, Tabla 3). En varos números del Informe de la Juna Drecva (del Banco de la Repúblca) al Congreso de la Repúblca (por ejemplo, los de marzo de y julo de ) se consdera que una de las causas de la desaceleracón del crecmeno económco (con poserordad a 997) fue el crecmeno del gaso públco. En Ospna (997), Urbe (997), Comsón de Raconalzacón del Gaso y de las Fnanzas Públcas (997), Posada y Arango () y Lozano () se encuenran hpóess sobre la nconvenenca, desde el puno de vsa de la esabldad macroeconómca, de un crecmeno excesvo del gaso públco y expresones relavas a la ala probabldad de que el gaso públco colombano esuvese alcanzando ya nveles excesvos.

3 prncpales; la seccón V revsa el caso colombano y lo juzga a la luz del modelo eórco y de las esmacones economércas de ése; la úlma seccón ncluye un breve resumen y las conclusones más mporanes. En el anexo A se presenan los resulados nermedos de la esmacón, ncluyendo las pruebas de especfcacón realzadas, y en el anexo B se presena una propuesa meodológca para la esmacón del modelo. II. El modelo eórco En esa seccón presenamos el modelo eórco cuyo orgen se debe a Barro. Nuesra presenacón se hace en empo dscreo y en érmnos esocáscos. El puno de parda es una descrpcón de la produccón de la economía en érmnos reales. Se supone que la funcón de produccón agregada es del po Cobb-Douglas: Y = A K ( g L ) Sendo Y el nvel de produccón, A el parámero de escala, K el capal físco, g el gaso públco real per cápa (un ben rval y excluble meddo en érmnos del produco Y), L la candad de rabajo ulzada, y la elascdad del produco al capal. La produccón esá sujea a rendmenos de escala consanes y margnales decrecenes ( < < ). La funcón supone que el gaso públco se raduce en un flujo de servcos producvos no acumulable que eleva la capacdad producva de los rabajadores. Dvdendo a ambos lados por L, se ene: ( ) y = Ak g Sendo k el capal por rabajador. Supondremos, además, que el parámero de escala ene un comporameno emporal esaconaro en orno a un valor medo consane y que el efeco de los choques aleaoros sobre aquel se elmnan lenamene (a ravés de varos períodos); es decr, supondremos que al parámero sgue un proceso esaconaro auo-regresvo con derva : ( 3. a ) A = ϖ ψa u ; ϖ > ; < ψ < ; ( 3. b) u ~ N (, σ ) u De ora pare, se consdera que la socedad esá adecuadamene represenada por un agene que busca maxmzar una funcón de benesar. Ése se mde por el valor presene de una sere de uldades que se exende hasa el nfno. La uldad de cada período depende de manera posva del consumo per cápa. 3

4 4 El problema del agene represenavo es, por ano, el sguene: Sendo la asa de descueno de la uldad fuura, n la asa de crecmeno poblaconal, c el consumo per cápa, δ la asa de deprecacón del capal, y τ la asa (meda) mpuesos/ngreso. Es úl despejar el consumo de la resrccón, e nroducrlo en la funcón objevo: [ ] k n k g A k c = δ τ 5) ( Por ano: [ ] = = ) (4. k n k g Ak u E W b δ τ De ese modo el problema se reduce a maxmzar la ecuacón (4.b) enendo a k como varable de conrol; eso mplca dervar la ecuacón con respeco a k e gualar a cero. De allí resula la sguene condcón de prmer orden: [ ] [ ] (6) = n g k A c u c u E δ τ Pero, al descomponer la esperanza del produco se obene que: [ ] [ ] [ ], = τ δ τ g k A c u c u Cov n g k A E c u c u E Sea: V g k A c u c u Cov = τ, En lo que sgue supondremos que V es consane 3. Suponer que τ, g k A c u c u Cov es consane mplca que para odo [ ] τ τ g k A E g k A c u c u E c u c u E posee el 3 Ese supueso es usual; véase, por ejemplo, Obsfeld y Rogoff (996, p. 86). [ ] k n c g Ak k a sujeo c u E W Maxmzar a = < = = δ τ ; ) (4.

5 msmo valor, es decr, la esperanza del produco de los errores de predccón sobre la asa margnal de susucón del consumo y la producvdad margnal del capal ajusada por mpuesos deberá ser nvarable en el empo. La expresón 6 se convere en: u E u ( c ) ( c ) V = [ E [ ( τ ) A k g ] [ ( δ n) ] ( c ) c u Por ende : { E [ ( τ ) A k g ] [ ( δ n) ]} = E V u Nóese que s la covaranza endese a cero, es decr, s la asa margnal de susucón del consumo y la producvdad margnal del capal no esuvesen correlaconadas la expresón se ransformaría en el facor de descueno: V. V A connuacón daremos una forma específca a la funcón de uldad peródca, u ( c ). Una de uso común, y que srve a nuesros propósos de obener una expresón para la asa de crecmeno, es la logarímca ( u ( c) = logc). En al caso: E ( c ) = V [ ( τ ) A k g ] [ ( n) ] { E } c δ ( c Para una mayor smplfcacón llamaremos ) γ a la asa brua de crecmeno, es c decr, uno más la asa de crecmeno de la economía, consderando sólo las suacones en las cuales el consumo crece a la msma asa que el produco. En consecuenca: (7. a) E [ γ ] = V { E [ ( τ ) A k g ] [ ( n) ]} δ Pueso que hay un agene represenavo y el horzone se exende hasa el nfno cualquer supueso que se hcese sobre la fnancacón del gaso públco medane deuda endría efecos rrelevanes (Romer 996, cap. ). Por eso se supone que en cada período el gaso públco se fnanca con mpuesos: E [ γ ] = E V Es decr: g ( τ ) A τ [ ( δ )] n = τ y. Así, la ecuacón (7.a) se ransforma en: 5

6 (7. b ) γ = E δ V ( τ ) A τ [ ( n) ] e Sendo e un error del po ruído blanco (RB) cuyo valor esperado es ( e ~RB). La ecuacón (7.b) predce, enre oras cosas, que la asa de crecmeno del produco per cápa es esable s los parámeros de la funcón de produccón, la asa de rbuacón (o proporcón gaso públco/produco), la asa de deprecacón y la asa de crecmeno poblaconal son esables. Por ano, ese modelo hace pare de los llamados de crecmeno endógeno. En vsa de que nuesra aencón se cenra en la relacón que exse enre el gaso públco y el crecmeno económco, convene realzar un análss adconal de la ecuacón 7.b. Caracercémosla por los sgnos de su prmera dervada y veamos la represenacón gráfca de su conrapare deermnísca (fgura ). dγ dγ dγ > τ < ; = τ = ; < τ > dτ dτ dτ A V γ [ ( δ n) ] Fgura. El gaso ópmo [ ( δ n) ] V ( ) τ = τ De la prmera dervada y la gráfca de la versón deermnísca de la ecuacón 7.b se desprenden algunas observacones sobre la relacón sugerda por el modelo, así: el nvel V más bajo que puede alcanzar el crecmeno económco es [ ( δ n) ] (valor que es evdenemene negavo) cuando la relacón gaso públco/pib alcanza sus valores exremos ( ó ). El nvel ópmo de la razón gaso públco/pib es gual a la elascdad del produco per cápa con respeco al gaso per cápa, denfcada por. Todo nvel de 6

7 gaso públco/pib que se ubque por encma o por debajo de su ópmo orgna asas de crecmeno económco menores al máxmo eórco; sn embargo, por debajo del ópmo los aumenos poseen efecos posvos sobre el crecmeno, menras que por encma del ópmo odo aumeno deprme el crecmeno. III. Daos Como se menconó en la nroduccón nuesro objevo cenral fue realzar una evaluacón economérca del modelo aneror a fn de nerprear la experenca colombana. Para ello ulzamos la base de daos denomnada World Developmen Indcaors del Banco Mundal. A parr de esa base conformamos una muesra represenava de países con las sguenes caraceríscas: a) poblacón mayor o gual a mllones en 98; b) seres compleas de crecmeno del PIB per cápa y gaso públco como proporcón del PIB (frecuenca anual). Aquellos países con alguna nformacón perenecene a esa base de daos pero que no cumplían con alguna de esas dos condcones no fueron omados en consderacón; fue así como quedaron 83 países en nuesra muesra (véanse los cuadros, y 3 presenados en la sguene seccón). Con el fn de que odos los daos fuesen comparables enre países la varable que ndca (de manera aproxmada) el gaso públco es el ejecuado por el goberno cenral excluyendo el pago de nereses; y la rbuacón se refere, ambén, a la del goberno cenral (ese úlmo dao sólo fue empleado en la elaboracón del gráfco ). Una lmacón que deberá manener presene el lecor se derva de nuesro ndcador de gaso públco. En efeco, pueden exsr casos de países en los cuales el goberno cenral es el gran ejecuor del gaso públco, sendo cas nulo el de los gobernos locales, en ano que puede ocurrr lo conraro en muchos oros casos. S esa lmacón no fuese excesvamene gravosa sería porque es pernene la sguene hpóess: en general los movmenos emporales y las magnudes relavas del gaso del goberno cenral de un país van de la mano con los correspondenes al de su gaso públco consoldado. Los gráfcos y presenan dos nubes de punos. El prmero corresponde a las 83 parejas (una por país) recaudos rbuaros - gasos de goberno cenral (proporcones medas del produco en el período ); a smple vsa se observa que el supueso de una gualdad enre ngresos rbuaros y gaso públco, represenado por la línea de 45 o que acompaña a los daos, es claramene volada en muchos casos. El segundo gráfco corresponde a oras 83 parejas: asas de crecmeno de la economía - proporcones gaso 7

8 públco/pib (promedos ); la observacón de ese segundo gráfco no deja la mpresón de una curva nída, como la relacón hpoéca represenada en la Fgura, pero eso puede esar orgnado por la gran heerogenedad enre las nacones de la muesra. Gráfco. τ versus g Ingresos 999 (%PIB) Gaso 999 (%PIB) 8

9 . Gráfco. g versus y y.8 Crecmeno promedo del PIB per cápa (98-99) Valor promedo de la relacón Gaso/PIB (98-99) Convene agregar que 6 de las 83 economías de la muesra uveron crecmeno anual medo posvo de su PIB per cápa, y de esas 45 redujeron la proporcón gaso públco/pib a lo largo del período de esudo. Adconalmene, de las economías que más creceron en el período (Chna, Corea del Sur, Talanda, Irlanda, Sngapur, Malasa, Inda, Chle, Hong Kong e Indonesa) sólo Inda no redujo la relacón gaso públco/pib. IV. La esmacón del modelo y los resulados generales El modelo a esmar es la ecuacón de la asa de crecmeno del produco per cápa (ecuacón 7.b). Pueso que dsponemos de seres de empo (frecuenca anual) para 83 países el méodo más ndcado es el de panel. La esrucura de panel conempla orgnalmene la mayor candad posble heerogenedades enre las economías y en el empo; para ver al presenacón general remmos al lecor al anexo A. El modelo aquí presenado corresponde a la especfcacón hallada bajo pruebas esadíscas. Presenamos, enonces, la ecuacón 7.b de la forma: γ = A ( τ ) τ [ ( δ n) ] e ; V Bajo los sguenes supuesos: 9

10 A u = ϖ ψ A u ~ N (, σ ) u e N(, σ ); ~ e E ( u e js ) = =,,..83; = 98,983,..999,, ψ, ϖ : " efecos fjos" [ ( δ n) ] :" efecos aleaoros" En vsa que no exsen los daos para generar una sere de [ ( δ n) ], consderaremos esa magnud como un coefcene más en la regresón. La esmacón del modelo y las pruebas esadíscas a las que fue somedo no condujeron a rechazar las hpóess prevamene menconadas, a saber: relacón no lneal enre la asa de crecmeno económco y la asa de gaso públco semejane a la dervada del modelo eórco, normaldad de los componenes esocáscos, predomnanca de efecos fjos y efecos aleaoros de la manera supuesa (excepo en el caso del coefcene ψ, cuya magnud esmada, como se verá, resuló común a odos los países), valores para los parámeros denro de los rangos prevsos, ec. Los resulados prncpales se presenan en varos cuadros y gráfcos 4. La varabldad de los parámeros enre países mulplca por 83 cada uno de los resulados; por ano, pese a que la esmacón se realzó con la oaldad de la muesra los resulados se dvderon en res grupos para faclar su lecura. En los cuadros, y 3 se halla un resumen de las esadíscas de los países dvdéndolos de acuerdo con su produco per cápa: países pobres (PIB per cápa menor o gual a dólares de poder adqusvo comparable de 995); países medos (ngreso per cápa enre y dólares) y países rcos (más de dólares de ngreso per cápa). En esos cuadros se ncluyen los valores medos de sus asas de crecmeno económco y gaso públco. 4 Todas las parculardades de esa esmacón se pueden consular en los anexos.

11 País Cuadro. Países pobres Crecmeno promedo de PIB per cápa Nvel promedo de la relacón gaso/pib Varacón promedo de la relacón gaso/pib Bangladesh Benn Bolva Burkna Faso Burund Camerún Chna Cosa de Marfl Eopía Ghana Haí Honduras Inda Indonesa Kenya Madagascar Malaw Malí Mozambque Nepal Ncaragua Níger Ngera Paksán Rwanda Senegal Sr Lanka Togo Uganda Zamba Zmbabwe País Cuadro. Países medos Crecmeno Nvel promedo de promedo de PIB la relacón per cápa gaso/pib Varacón promedo de la relacón gaso/pib Argela Brasl Bulgara Chle Colomba Corea del Sur Cosa Rca Ecuador Egpo

12 El Salvador Flpnas Guaemala Hungría.6..8 Irán Jamaca Jordana Malasa Marruecos Méxco Papua-Nueva Gunea Paraguay Perú Republca Domncana Sra Sudáfrca Talanda Túnez Uruguay Venezuela País Cuadro 3. Países rcos Crecmeno promedo de PIB per cápa Nvel promedo de la relacón gaso/pib Varacón promedo de la relacón gaso/pib Ausrala Ausra Bélgca Canadá Dnamarca España Esados Undos Fnlanda Franca Greca Hong Kong Irlanda Israel Iala Japón Noruega Nueva Zelanda Países Bajos Porugal Reno Undo Sngapur Sueca

13 Suza Los cuadros 4, 5 y 6 presenan los resulados báscos de la esmacón del modelo para odos los grupos y subgrupos. Es mporane aclarar uno de los resulados que se presenan en ales cuadros: la úlma línea, donde aparece la palabra grupales, consgna los esmadores para el grupo; esos no son un promedo arméco sno un promedo ponderado por sus marces de varanzas y covaranzas. País Cuadro 4. Resulados del modelo para los países pobres Esadísco Esadísco asocado a asocado a [ ( ρ n) ] ϖ * Bangladesh Benn Bolva Burkna Faso Burund Camerún Chna Cosa de Marfl Eopía Ghana Haí Honduras Inda Indonesa Kena Madagascar Malaw Malí Mozambque Nepal Ncaragua Níger Ngera Paksán Rwanda Senegal Sr Lanka Togo Uganda Zamba

14 Zmbabwe Grupales Ese valor corresponde a un parámero cuyo comporameno es esocásco con meda [ ( δ n) ] =. 94 y una varanza de.7; la prueba esadísca se realza sobre la varanza, a la que corresponde el esadísco z = que rechaza la hpóess de que sea gual a cero. * Al esar esos parámeros asocados al comporameno de A, que es una varable no observable, una prueba esándar de sgnfcanca no enrega nformacón confable, pese a los rechazos ssemácos de la hpóess nula. Noa: El érmno ψ, que se supuso dferene enre países, debó omarse dénco en vrud de la evdenca esadísca. Una prueba χ con hpóess nula de parámeros guales, arroja un esadísco de.564 que no rechaza la hpóess, y a favor de un solo ψ con valor de.368. País Cuadro 5. Resulados del modelo para los países medos Esadísco Esadísco asocado a asocado a [ ( ρ n) ] Argela Brasl Bulgara Chle Colomba Corea del Sur Cosa Rca Ecuador Egpo El Salvador Flpnas Guaemala Hungría Irán Jamaca Jordana Malasa Marruecos Méxco Nueva Gunea Paraguay Perú Republca Domncana Sra Sudáfrca Talanda Túnez Uruguay Venezuela Grupales ϖ 4

15 País Cuadro 6. Resulados del modelo para los países rcos Esadísco Esadísco asocado a asocado a [ ( ρ n) ] ϖ Ausrala Ausra Bélgca Canadá Dnamarca España Esados Undos Fnlanda Franca Greca Hong Kong Irlanda Israel Iala Japón Noruega Nueva Zelanda Países Bajos Porugal Reno Undo Sngapur Suza Sueca Grupales Los gráfcos 3, 4 y 5 lusran la relacón que, en promedo y para odo el período , parecería predomnar enre la asa de crecmeno económco y la proporcón gaso públco/pib en los dferenes países. En el caso de los países pobres, la asa ópma de gaso, eso es, la que hace máxma su asa de crecmeno económco, es 9,% (recuérdese que nos esamos refrendo a gaso de goberno cenral excluyendo el pago de nereses), en ano que la de los países de clase meda (enre los cuales esá Colomba) es 9%, y la de los países rcos,6% 5. Oro resulado que se observa en esos gráfcos es la esmacón de la asa máxma de crecmeno (promedo de grupo y para odo el período): ésa es menor 5 Ese po de esmacón no ha sdo usual; lo usual ha sdo esmar relacones lneales enre crecmeno y gaso públco. Así, una evaluacón del modelo neoclásco de crecmeno (Solow-Swan sencllo y amplado con capal humano y oros facores) para 98 países a lo largo del período realzada por Kngh e al. (993) mplcó que un aumeno de % de la relacón nversón públca en capal fjo/pib generaba un aumeno de % de la asa de crecmeno del PIB por rabajador en países en desarrollo. 5

16 para países pobres (,7% anual per cápa), que para países de ngreso medo (,4%); y ésa, a su urno, es menor que la correspondene a países rcos (,7%) 6. Gráfco 3. Países pobres PIB per cápa menor o gual a. dólares 995 en poder adqusvo consane. (.9,.7) Tasa brua de crecmeno del PIB per cápa Gaso públco/pib 6 Las asas máxmas de crecmeno se calcularon con los valores de A correspondenes al largo plazo. Esos valores, según se puede deducr fáclmene de la ecuacón 3.a, son ϖ ψ. 6

17 Gáfco 4. Países de ngresos medos PIB per cápa mayor a. dólares y menor o gual a..4. (.9,.4) Tasa brua de crecmeno del PIB per cápa Gaso públco/pib Gráfco 5. Países rcos PIB per cápa mayor a..4. (.6,.7) Tasa brua de crecmeno del PIB per cápa Gaso públco/pib 7

18 Ese úlmo resulado es conssene con el modelo eórco, que no predce convergenca enre los producos per cápa de países pobres y rcos, y según el cual la asa de crecmeno depende posvamene del parámero de escala de la funcón de produccón (véase de nuevo la ecuacón 7.b). Pueso que las asas observadas de gaso (proporcones gaso públco/pib) y las de crecmeno económco enen varacones anuales, se puede deducr cuales son, en cada economía y en cada año, las brechas enre los valores observados de ales asas y sus ópmos (en lo que sgue denomnaremos asas de crecmeno ópmas a las máxmas: las correspondenes a los gráfcos 3, 4 y 5). Eso es: Brecha del produco = γ Observado ϖ ψ ( ) [ ( δ n) ] Observado g Brecha del gaso = ( ) y Ambos ópmos eórcos son consanes en el empo; el ópmo del gaso lo es por la nauraleza de la esmacón que correspondó al parámero, pero en el caso del ópmo del crecmeno fue necesaro concebrlo como su valor de largo plazo, es decr, el máxmo valor que la funcón perme omar al crecmeno evaluada en el valor de largo plazo ϖ correspondene al parámero de escala A = ; por lo ano las desvacones del ψ produco con respeco a su ópmo eórco no sólo son responsabldad de los desmanes del gaso públco sno que ambén esán explcados por shocks soporados por el facor de escala. De allí que el juco más sensao del desempeño de una economía exja compararlo con el de sus pares. Los sguenes dos gráfcos (6 y 7) presenan, para cada uno de los res grupos ya menconados, las dferencas anuales enre los promedos de las asas observadas de crecmeno y las ópmas obendas con los esmadores grupales. 8

19 Gráfco 6. Brecha del crecmeno Brecha = observado menos ópmo de largo plazo Países pobres Países medos Países rcos Gráfco 7. Brecha de gaso Países pobres Países medos Países rcos 9

20 V. El caso colombano 7 Aunque las cfras de gaso del goberno cenral colombano (sn nereses) ncludas en la base de daos de ese rabajo no concden con las que se ulzan en Colomba (véase el gráfco 8) ambas seres muesran, grosso modo, endencas smlares 8. Por ano podemos consderar váldo el ejercco de juzgar el caso colombano con la msma mérca ulzada para nerprear las experencas de los 8 países resanes de la muesra: un msmo modelo eórco, una msma base de daos elaborada con una meodología homogénea y un conjuno de esmacones economércas realzadas bajo un conjuno únco de creros. 7 Ese análss emplea los resulados del modelo panel, consderando los resulados de Colomba conra los de sus pares. 8 Las ransformacones ejecuadas sobre las seres para permr la comparacón enre nacones pueden ser razones para al dspardad.

21 Gráfco 8. Colomba: una comparacón de los daos Comparacón de relacones gaso/pib: Cfras Banco de la Repúblca versus Banco Mundal (Goberno cenral sn nereses) BR BM El Gráfco 9 presena las esmacones para el caso colombano. Según el modelo eórco, la menconada base de daos y los resulados del ejercco economérco, a la economía colombana le correspondería un nvel ópmo de gaso públco (goberno cenral) de 9,4% del PIB, y con al gaso podría alcanzar la máxma asa de crecmeno para su produco per cápa:,% anual.

22 Grafco 9. Relacón enre gaso públco y crecmeno economco: Colomba. (.94,.) Tasa brua de crecmeno del PIB per cápa Gaso públco/pib Gráfco. El caso colombano (Daos del Banco Mundal) Brecha de gaso versus brecha de crecmeno Brecha de crecmeno Brecha de gaso Al comparar las asas observadas de crecmeno anual y de gaso con sus nveles ópmos enconramos lo sguene: desde 98, por lo menos, el gaso observado ha superado el nvel ópmo, y al exceso se acenuó con poserordad a 993. De ora pare, la brecha de crecmeno (la dferenca enre la asa observada y la correspondene al nvel ópmo de

23 gaso) empezó a declnar un año después de aumenar la brecha de gaso, hasa volverse negava a parr de 997 (Gráfco ). El cuadro 7 muesra las magnudes de las brechas de crecmeno económco y de gaso públco ano de Colomba como del grupo de países con los cuales podemos comparar a Colomba: el reso de países de ngreso medo. Como se observa allí, los excesos de gaso y las nsufcencas de crecmeno no han sdo caraceríscas exclusvas del caso colombano; ambén han caracerzado el desempeño macroeconómco de sus pares. Por ano, lo pernene a la hora de juzgar el caso colombano es examnar las dferencas enre las brechas de crecmeno y de gaso enre Colomba y el reso de los países de ngreso medo. Tales dferencas o brechas relavas son sínomas de que hubo algo específco al caso colombano. En efeco, la brecha relava de gaso públco se ornó posva en Colomba a parr de 994, y la de crecmeno se hzo negava desde 996. Año Colomba Cuadro 7. Brechas de crecmeno y gaso Colomba versus reso de países de ngreso medo Reso de países de ngreso medo Dferenca enre Colomba y el reso de países de ngreso medo Brecha de crecmeno Brecha de gaso Brecha de crecmeno Brecha de gaso Brecha de crecmeno Brecha de gaso Fuene: Los daos reales se obuveron de la base de daos de Banco Mundal (World Developmen Indcaors) y los valores eórcos con los que se realza la comparacón son cálculos de los auores a parr de esmacones economércas. 3

24 Gráfco. Brecha del crecmeno Colomba versus el reso de países de ngreso medo Reso de países de ngresos medos Colomba Gráfco. "Brecha de gaso" Colomba versus el reso de países de ngreso medo Colomba Reso de países de ngreso medo Fue el exceso de gaso públco la causa de que la brecha de crecmeno se hubese ornado negava a parr de 997? Al comparar los desempeños de Colomba y del reso de los países de ngreso medo, juzgándolos con el msmo parón de medda (Cuadro 7 y gráfcos 4

25 , y 3), podemos afrmar que: a) en Colomba se mpuso, a parr de 993, una endenca de aumeno del gaso públco que no sólo lo hzo aún más excesvo sno en conravía del movmeno observado por el gaso de los demás países de ngreso medo, y b) a parr de 995 la brecha de crecmeno colombano se deeroró según se deduce de su comparacón con la de los oros países de ngreso medo. Tenendo en cuena esos comporamenos dsímles de Colomba y de sus pares, parece posble afrmar que el aumeno del gaso públco colombano fue, probablemene, una de las causas de la caída de la asa de crecmeno de la economía colombana durane la segunda mad de los años 9 9. Gráfco 3. Cómo juzgar a Colomba? Brecha de gaso Colomba menos brecha de gaso reso de países de ngreso medo versus brecha de crecmeno Colomba menos brecha de crecmeno reso de países de ngreso medo Dferenca de las brechas de crecmeno Dferenca de las brechas de gaso La afrmacón aneror es refrendada por el análss de la elascdad del crecmeno con respeco al gaso, enendo en cuena el valor de largo plazo del facor de escala. 9 Los mecansmos medane los cuales una expansón del gaso públco reduce la asa de crecmeno de la economía pueden ser múlples en una economía abera, y adconales al conemplado por el modelo eórco (que es de economía cerrada). Por ejemplo, la expansón rápda del gaso públco colombano probablemene se juzgó nadecuada e nsosenble y condujo a saldas neas de capales, aaques a la banda cambara a medados de 998, en juno y en sepembre de 999 (Colomba uvo hasa sepembre de 999 un ssema de echo y pso para una asa nomnal de cambo que podía flucuar en su neror) y conraccones monearas endógenas dadas la exsenca de la banda y una asa de cambo pegada a su echo. Sobre esos sucesos y su orgen parcal en la expansón del gaso públco véase el Informe de la Juna Drecva (del Banco de la Repúblca) al Congreso de la Repúblca de marzo de. 5

26 6 La elascdad es: = = y g y g y g y g y g y g γ ψ ϖ γ ψ ϖ γ γ En el cuadro 8 presenamos los valores promedo para los años novena. Cuadro 8. Elascdades medas del crecmeno al gaso públco Indvduo Elascdad Países Pobres Países de ngreso medo -.74 Países rcos Colomba VI. Resumen y conclusones La eoría económca ndca que el gaso públco puede ser producvo pero que más allá de un cero nvel es un freno a la produccón. El modelo eórco de Barro expresa de una forma específca esa ess al esablecer una curva para la asa de crecmeno del produco per cápa en funcón de la proporcón gaso públco/produco: s el gaso públco es nferor o superor a una cera magnud la asa de crecmeno de la economía será nferor a la máxma, y s el gaso públco es al magnud se alcanza la asa máxma de crecmeno. En las págnas anerores se resumó un rabajo de evaluacón economérca de al modelo. La esmacón fue de po panel ulzando daos de frecuenca anual de 83 países (con Con respeco a eso la eoría económca es más general: The approprae comparson, as publc fnance economss have known snce Pgou (98), s beween he benefs ha would flow from he ncreased spendng and he cos of fnancng ha spendng, ncludng he deadwegh losses assocaed wh rasng ha revenue and wh he parcular form of spendng. (Feldsen, 996, p. 3).

27 poblacones mayores a mllones en 98) a lo largo del período Los resulados de la esmacón permen consderar verosíml el modelo. Cuando se juzgan los crecmenos del gaso públco y del produco ano de Colomba como de oros países de ngreso medo a la luz de las esmacones surge una conclusón: el gaso públco colombano, que desde los años 8 ya era excesvo con respeco a lo requerdo para hacer máxma la asa de crecmeno del produco, se hzo aún más excesvo durane la segunda mad de los años 9, exhbendo un comporameno alcsa conraro al del conjuno de los países de ngreso medo, y, por ano, según el modelo, conrbuyó a la reduccón de la asa de crecmeno de la economía observada con poserordad a 997. Referencas Barro, Rober (99); Governmen Spendng n a Smple Model of Endogenous Growh, Journal of Polcal Economy, Vol. 98, No. 5, Par II. Barro, Rober, y Xaver Sala--Marn (995); Economc Growh, McGraw-Hll. Blmes, Jeff e Inernaonal Compuer Scence Insue (998); A genle uoral of he EM algorhm and s applcaon o parameer esmaon for gaussan mxure and hdden markov models, Inernaonal Compuer Scence Insue; dsponble en: hp:// Breung, Jörg y Mchael Lechner (997); Alernave GMM mehods for nonlnear panel daa models, Research Projecs- Economerc Mehods for Nonlnear Panel Daa Models; dsponble en: hp:// Comsón de Raconalzacón del Gaso y de las Fnanzas Públcas (997); Informe fnal. Tema I. Dagnósco y prncpales recomendacones, Repúblca de Colomba, Mnsero de Hacenda y Crédo Públco. Feldsen, Marn (996); How Bg Should Governmen Be?, NBER Workng Paper 5868 (dcembre). Gelfand, Alan E., y Adran F. M. Smh (99), Samplng-based approaches o calculang margnal denses, Journal of he Amercan Sascan Assocaon, Vol. 85, No. 4. 7

28 Glber, Sco (); Tesng he dsrbuon of error componens n panel daa models, Dscusson Paper Seres-Souhern Illnos Unversy; dsponble en: hp:// Greene, Wllam (); Fxed and random effecs n nonlnear models ; dsponble en: hp:// Hamlon, James (99); Analyss of me seres subjec o changes n regme, Journal of Economercs, Vol. 45, No. -. Hansen, Henrk, y Jurgen A. Doornk (994); An omnbus es for unvarae and mulvarae normaly, Economcs Papers Seres (Nuffeld College, Unversy of Oxford ); dsponble en: hp:// Honoré, Bo E. (); Non-lnear models wh panel daa, cemmap workng paper; dsponble en: hp://cemmap.fs.org.uk/docs/cwp3.pdf. Hsao, Cheng (99); Analyss of panel daa, Cambrdge Unversy Press. Kngh, Malcolm; Norman Loayza, y Delano Vllanueva (993); Tesng he Neoclasscal Theory of Economc Growh: A Panel Daa Approach, IMF Saff Papers, Vol. 4, No. 3. Lechner, Mchael (995); Some specfcaon es for prob models esmaed on panel daa, Journal of Busness and Economc Sascs, Vol. 3, No. 4. Leuchmann, Ulrch (998); Runa NORMTEST.SRC para WnRas, dsponble en: hp:// Lozano, Ignaco (); Colomba s Publc Fnance n he 99s: A Decade of Reforms, Fscal Imbalance, and Deb, Borradores de Economía (B. de la R.), No. 74. Nelsen, Soren Feodor (); On smulaed EM algorhms, Journal of Economercs, Vol. 96, No.. Obsfeld, Maurce, y Kenneh Rogoff (996); Foundaons of Inernaonal Macroeconomcs, MIT Press. Ospna, Pedro Nel (997); Ajuse fscal: cuando y como?, Debaes de Coyunura Económca (Fedesarrollo), No. 4. Posada, Carlos Eseban y Lus Eduardo Arango (); Podremos sosener la deuda públca?, Borradores de Economía (B. de la R.), No

29 Posada, Carlos Eseban, y Wlman Gómez (); Crecmeno económco y gaso públco: un modelo para el caso colombano, Borradores de Economía (B. de la R.), No. 8. Romer, Davd (996); Advanced Macroeconomcs, McGraw-Hll. Sala--Marn, Xaver (); Apunes de crecmeno económco (segunda edcón), Anon Bosch. Tahmscoglu, A. Kaml (); Ineremporal varaon n fnancal consrans on nvesmen: A me-varyng parameer approach usng panel daa, Journal of Busness & Economc Sascs, Vol. 9, No.. Tanzak, Hsash (); The me-varyng parameer model revsed, Kobe Unversy Economc Revew, Vol. 45; dsponble en: hp://h.econ.kobeu.ac.jp/~anzak/cv/workng/vpm.pdf. Tanzak, Hsash y John Geweke (); Bayesan esmaon of sae space models usng he meropols-hasngs algorhm whn Gbbs samplng, versón faclada por H. Tanzak. Urbe, José Darío (997); Haca un ajuse fscal sosenble, Debaes de Coyunura Económca (Fedesarrollo), No. 4. Anexo A. La secuenca de pasos para la esmacón El problema de esmacón que se planea es complejo; por al razón se opó por escrbr un segundo anexo (Anexo B) que descrbe el desarrollo de la esmacón máxmo-verosíml con el uso de algormos auxlares. Por ello, en el presene anexo se narra la secuenca de pasos segudos al esmar el modelo sn ahondar en la meodología economérca. En prmer lugar se presenan los resulados de las pruebas de raíz unara sobre las varables empleadas. La prueba ejecuada fue dseñada para panel: la prueba Im-Pesaran-Shn (IPS), cuya dea es la sguene: y k, =, l, l, ;, l= ρ y ε H : ρ =, l, José Fernando Escobar es el auor de los anexos A y B de ese documeno. Las esmacones se hceron con la herramena OPTIMUN de MATLAB. 9

30 Para la cual H ρ es equvalene a la exsenca de una raíz unara. El rezago :, l = máxmo escogdo fue de 4. Esadísco de prueba P - Valor Crecmeno del PIB per cápa La relacón gaso/pib La esmacón se nca con lo que denomnaremos el modelo de mayor generaldad, el cual se defne como: γ = A con: = ϖ A ω A ψ A A ( ) τ τ [ ( δ n) ] e ; A u = ϖ ω ψ = ϖ ω ψ φ ϖ ω ψ φ φ φ φ u A u =, con φ = [ ( δ n) ] u φ Bajo esa formulacón es posble probar drecamene la mejor especfcacón del modelo, pues con la obencón de la marz de varanzas y covaranzas para u k se pueden generar pruebas del po de razón de la verosmlud esándares 3 sobre la sgnfcanca y gualdad enre ndvduos para los coefcenes; la ausenca de mayor desarrollo eórco ras esas pruebas nos nclnó a realzar un ejercco de Mone Carlo para la poenca de la msma conservando el amaño de muesra y con un número oal de 5 replcacones; la poenca obenda fue de.97. A connuacón, se presenan ablas resumen con los resulados de las pruebas realzadas para obener la especfcacón fnal del modelo. H Especfcacón de Prueba Esadísco de prueba Valor P : ϖ =ϖ, j A A j, H : ϖ A =, H : A = A,, ω ω.5.89 A 3 Es decr, esmado el modelo bajo la hpóess nula como resrccón y bajo la ausenca de al resrccón. 3

31 H : ψ =ψ, j.58. A A j, H : ψ A = H Especfcacón de Prueba Esadísco de prueba Valor P : ϖ ϖ, j = j, H : ϖ =, H : ω = ω,,.75. H = j, : ψ ψ, j H = : ψ H Especfcacón de Prueba Esadísco de prueba Valor P : ϖ ϖ, j 59.. = j, H : ϖ =, H : ω = ω,, H = j, : ψ ψ, j H = : ψ H Especfcacón de φ Prueba Esadísco de prueba Valor P : ϖ ϖ, j φ = φ j, H : ϖ φ =, H : ω = ω,, H φ φ φ = φ j, : ψ ψ, j H φ = : ψ De las pruebas anerores se desprende que la sguene especfcacón del modelo es la ópma: γ = A Con: ( ) τ τ [ ( δ n) ] e ; 3

32 A u = ϖ ψa Pero aún queda la preguna de la clasfcacón de, y [ ( δ n) ]. Para deermnar s corresponde a efecos fjos o aleaoros se obenen las correlacones con las varables explcavas, y dependendo de s son o no esadíscamene guales a cero se opa por efecos fjos o aleaoros respecvamene; eso en vrud de que la dferencacón eórca realzada sobre esos dos pos de efecos mplca una correlacón dferene de cero para los efecos fjos; veamos: g Correlacones con y Parámero Correlacón.896 (efecos fjos).746 (efecos fjos) [ ( δ n) ]. (efecos aleaoros) Dada la caracerzacón complea de la funcón que se obene, al deermnar la clasfcacón de los efecos asocados a los parámeros resanes del modelo se realza la esmacón cuyos resulados se presenan en el cuerpo prncpal del rabajo. Para enconrar la especfcacón del modelo se supuso en odo momeno normaldad en los errores; la evdenca perme consderar plausble esa hpóess. Veamos, prmero, las pruebas de raíz unara (IPS) para los errores y, luego, dos pruebas de normaldad sobre esos. Los resduales del modelo e, Esadísco de P - Valor prueba ˆ Los resduales del cambo écnco u, ˆ Las pruebas de normaldad que se presenan oman dos dferenes enfoques. El prmero ene en cuena la nauraleza panel de los errores, y corresponde al desarrollo de Glber (). El segundo enfoque es el de la prueba Omnbus de normaldad mulvarada, 3

33 propuesa por Hansen y Doornk (994) 4, para la cual se ha de consderar el vecor de los errores generados por cada ndvduo como una sere ndependene. Ambos enfoques se concenran en la comparacón de las kuross ( apunameno ) y asmerías observadas con los valores eórcos que se desprenden de una dsrbucón normal. Prueba de Glber para e ˆ, Prueba Esadísco de prueba H : Desvacón es gual a cero.369 * H : Kuross es gual a res.557 * * El valor de rechazo al % es de.658 Prueba Omnbus para e ˆ, Prueba Esadísco de prueba H : Normaldad.489 * * El valor de rechazo al 5% es de.958 Prueba de Glber para u ˆ, Prueba Esadísco de prueba H : Desvacón es gual a cero.874 * H : Kuross es gual a res.569 * * El valor de rechazo al % es de.658 Prueba Omnbus para u ˆ, Prueba Esadísco de prueba H : Normaldad.965 * * El valor de rechazo al 5% es de.958 Pese a que las pruebas esadíscas y la nucón económca corroboran la presenca de un componene dnámco en la esmacón de panel, específcamene en el coefcene de cambo écnco, se realzó la esmacón de un modelo alernavo de especfcacón más senclla que gnorase al componene. Ese modelo alernavo concbe odos los 4 Se empleó la runa de RATS generada por Ulrch Leuchmann (998). 33

34 coefcenes como deermnados por un efeco fjo y conserva solamene el érmno de error en el cambo écnco. Los resulados de al especfcacón no resularon sasfacoros en érmnos de la sgnfcanca de los parámeros n del buen comporameno de los errores. Anexo B. Una meodología para panel no lneal con combnacón de parámeros El presene anexo propone un méodo que emplea resulados de uso común en las seres de empo, pero cuya valdez no resule compromeda al pasar al análss panel. Con el objevo de nroducr mayor generaldad se ncluyen nuevas fuenes de posble heerogenedad en los parámeros y una funcón objevo no lneal. La funcón a esmar descrbe una relacón no lneal genérca enre los parámeros y las varables pero sugere que el érmno de error que afeca drecamene la funcón es separable de la msma: ( x, ) e y = h λ Sendo x un vecor de k varables explcavas, y la varable ndependene, λ el vecor de p coefcenes de la funcón y e el érmno de error. Para poder realzar una esmacón de la ecuacón () es necesaro suponer alguna regla de comporameno de los parámeros procurando perder la menor generaldad posble; la regla de comporameno supuesa es una combnacón de las más comúnmene empleadas: ( ) λ u v µ = ψ λ Sendo µ un érmno de error; es común en la leraura ano de seres de empo como de panel consderarlo como no correlaconado con el érmno de error del modelo, es decr, (, e ) = s,, j Cov µ js, ; u y v son efecos (fjos o aleaoros, al como los supone el modelo propueso por Hsao (99), y ψ es una marz dagonal p x p. La complcacón adconal más mporane de nuesro modelo a esmar es la denfcacón de dferenes fuenes de heerogenedad de los coefcenes. Por esa razón es deseable un méodo que perma soluconar de forma ndependene dos problemas: la no lnealdad de la funcón objevo y los múlples orígenes de la heerogenedad de los coefcenes. A connuacón se explcará el méodo a segur. Un resulado de uso común en el análss de seres de empo, al cual recurre Tahmscoglu () para su ejercco de panel, es el sguene: la probabldad conjuna de un varable observable y de una no observable, sendo ésa úlma el conjuno de los coefcenes (que 34

35 recogen una heerogenedad no observable), es gual a la probabldad de la varable no observable mulplcada por la probabldad de la varable observable condconada a la no observable. La proposcón aneror puede ser escra de la sguene manera: ( Y, Λ ) = P( Y Λ ) P( u v ) ( 3) P Λ, Sendo N y T el número de ndvduos y de observacones en el empo, respecvamene, y λ λ T y y T Λ =, Y = λ N λ y N y A su vez: N ( Λ u, v ) = P ( λ ) T N { }{ P ( λ, u, v )} λ λ ( 4) P λ = = = T N ( Λ ) = Py ( y ) ( 5) P Y λ = = La ecuacón (5) corresponde a un problema ya anes resuelo, a saber, la obencón de lo que maemácamene sería equvalene a una funcón de verosmlud muesral para la funcón no lneal () 5 ; la (4) supone un ejercco de mayor complejdad. Para obener un valor específco de P λ se necesa realzar algún supueso sobre la y y dsrbucón de los errores e y µ ; el supueso es el raconal: los errores son normales. Por ano: ( 6) P Y, λ = = πσ e σ e (7) N = P = P λ T N ( Λ ) = exp y h( x ) ( Λ u, v ) = = T N ( λ ) exp ( λ ψ λ u v ) Q ( λ ψ λ u v ) π Q Sendo u = E, E u ( u u ) ( v v ) µ v = v y Q la marz de varanzas-covaranzas de los érmnos correspondenes a cada ndvduo; por necesdad de smplfcacón del cómpuo se supondrá que al marz es dagonal. Por lo aneror se puede re-escrbr la ecuacón (3) así: 5 En Greene () se pueden enconrar solucones a ese po de problemas. Los ejerccos realzados por Greene son más complcados pues nroducen el érmno de error en la funcón no lneal. 35

36 (3. a) = T N = = = P N (, Λ ) P Y λ T N exp σ e ( y h( x, λ )) ( λ ) exp ( λ ψ λ u v ) Q ( λ ψ λ u v ) πσ e = = π Q O, luego de aplcar logarmo naural: (3. b) ln N [ P( Λ, Y )] = ln( π ) P ( λ ) T N = = T N Q = ( λ ψ λ u v ) Q ( λ ψ λ u v ) T N T N { σ } y h( x, λ ) = = e = λ = = σ e Sn embargo, una maxmzacón dreca de (3.b) es mposble, por el hecho de que λ es un vecor varables no observables, razón por la cual es necesaro hacer algunas consderacones adconales sobre el comporameno de λ ; en especal suponer algo λ, sendo Λ y acerca de P ( Λ Λ, Y ), Λ el pasado y el fuuro del conjuno de la varable, es decr, Λ = { λ λ, λ } y Λ { λ λ, λ },, =,, T, con el objeo de deermnar el modo en que se realzarán las exraccones aleaoras bajo muesreo de Gbbs. Es posble demosrar que de los supuesos anerores [Tanzak ()] se desprende que: P λ λ, u, v λ P ( λ Λ, Λ, Y ) P y λ P λ λ, u, v P λ λ, u, v y λ λ P ( y λ ) P ( λ λ, u, v ) y T T λ T T T s = (prmer valor) s =,,, T s = T (úlmo valor) 36

37 A parr de lo cual se puede decr que λ Λ Y dsrbuye normal enre ndvduos, Λ, con meda y varanza cambanes en el empo, deermnadas por la formulacón arrba descra, lo cual es úl para obener valores aleaoros de λ compables con su dsrbucón; esos valores se aproxman asnócamene a los reales dados los resulados de Gelfan y Smh (99) y los más recenes de Nelsen () para el muesreo de Gbbs 6 asumendo como especfcacón preva la dsrbucón unforme de los parámeros en el orgen. Para observar s esas especfcacones deermnaban fueremene los resulados se omaron alernavas posbles; en nnguno de los casos los resulados fueron sgnfcavamene dferenes. Persse el problema de maxmzar una funcón de verosmlud que depende ambén de valores no observados; por ano la maxmzacón de la msma debe hacerse a ravés de su expecava condconada a las varables observadas, pues pese a que el muesreo de Gbbs perme exraer unos valores facbles esos deben hacer máxma la funcón de verosmlud, en oras palabras. El proceso resane se lleva a cabo medane el algormo EM ( expecaons maxmzaon ), bajo el cual el problema se convere en: ( ln[ P( Y )] Y ) E Λ σ e, Q Max, Obenéndose que: e [( y h( x, )) Y ] ( 8) σ = E λ ( 9) Q = E λ ψ λ u v λ ψ λ u v Y T T T ψ = ( ) ( E λλ YT E λ λ YT ) T = T = Los resulados (8), (9) y () exgrían cómpuos de dmensones áncas, defeco ípco al usar máxma verosmlud 7. Para obvar lo aneror se hzo el sguene supueso: σ es la msma en el empo. e Desde luego, debe enerse al menos alguna nucón acerca de la venaja del supueso arrba menconado, es decr, su apore a una mayor facldad en los procedmenos de cómpuo sn una pérdda demasado grande de generaldad. El supueso ulzado es 6 Ese méodo podría descrbrse de modo snéco como un muesreo recursvo basado en las dsrbucones eórcas que se puedan obener. 7 Para un análss de esas dfculades véase Bregung y Lechner (997), Lechner (995) y Honoré (). T 37