Capítulo 2. Flujo variable en lámina libre

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1 .. Inroduccón 4 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre.. Inroduccón En ese capíulo se presenan las ecuacones del flujo varable del agua en lámna lbre o ecuacones de San Venan, ecuacones que deben resolverse para la modelacón de la propagacón de avendas en ríos (objeo de esa ess). En la prmera pare del capíulo se deducen las ecuacones a parr de las leyes físcas de conservacón que rgen el flujo de un fludo en general. Parcularzando a un fludo ncompresble e sóropo, como es el agua, se obenen las ecuacones de Naver-Sokes para el movmeno nsanáneo y de ellas se deducen, consderando varables medas en el empo, las ecuacones de eynolds. Esas serían las ecuacones báscas que habría que resolver en el caso de flujo rdmensonal de agua. Su resolucón egría una dscrezacón rdmensonal del domno de esudo y el esquema numérco sería complejo pero sobreodo muy cososo compuaconalmene. Como se ha comenado, la mayoría de las veces el flujo de agua en cauces naurales presena unas caraceríscas que permen smplfcar esas ecuacones más generales y obener resulados sufcenemene precsos con mucho menos cose. De las ecuacones de eynolds, negrando en la profunddad para elmnar en ellas la dmensón vercal, se obenen las ecuacones de San Venan bdmensonales, váldas cuando el flujo que se quere represenar ene ambén ese carácer bdmensonal, con velocdades vercales pequeñas, pendenes del fondo del cauce suaves, y en general, las dmensones horzonales predomnanes sobre la vercal. Gran pare de esa ess raa la resolucón de esas ecuacones. A connuacón de su deduccón, en ese capíulo se dscuen los érmnos que aparecen en la forma más general de las ecuacones de San Venan, y especalmene cómo se pueden apromar y cuáles se pueden desprecar para smplfcar las ecuacones al mámo sn que dejen de represenar lo mejor posble los fenómenos de propagacón de avendas en ríos que nos neresan. a sguene smplfcacón es el paso a las ecuacones de San Venan undmensonales. Ecuacones cláscas en hdráulca que muchas veces son sufcenes para represenar correcamene el movmeno no permanene en lámna lbre en cauces, naurales o arfcales, debdo a la marcada undmensonaldad de ésos. El objevo fnal es la resolucón conjuna en una y dos dmensones, ulzando la smplfcacón que consga un mejor compromso enre precsón y economía en cada zona de nuesro domno. as ecuacones de San Venan forman un ssema de ecuacones dferencales en dervadas parcales, hperbólco y cuas-lneal. El esudo de ese po de ssemas y sus solucones, concreando para las ecuacones de San Venan undmensonales y bdmensonales, consuye la úlma pare de ese capíulo. a eoría de las caraceríscas perme obener formas más sencllas de epresar los ssemas de ecuacones, formas que quzás no srvan drecamene para la obencón de la solucón, pero serán una gran ayuda a la hora de formular las condcones de conorno necesaras en los esquemas numércos y, sobreodo, para poner de manfeso propedades de los ssemas hperbólcos y sus solucones que permrán, en los capíulos poserores, obener esquemas numércos más efcenes. Se presenan las superfces caraceríscas desde un puno de vsa maemáco, como aquellas superfces sobre las cuales el problema de valores ncales no esá ben defndo: de esa manera su sgnfcado físco se hace paene enseguda como superfces de ransmsón de nformacón prvlegadas. Fnalmene se hace hncapé en las posbles solucones dsconnuas de las ecuacones de San Venan. En un cauce naural con flujo bdmensonal, o ncluso en el caso undmensonal, es probable que en alguna zona aparezca una dsconnudad en la solucón (cambo de régmen, frene de onda). Aunque no es el objevo fnal

2 4 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre la modelacón deallada y precsa de esas dsconnudades, sí se preende que el esquema numérco las pueda represenar y no supongan un obsáculo a la obencón de la solucón en el reso del domno. as solucones dsconnuas de ssemas de ecuacones dferencales cuas-lneales consuyen fenómenos físcos ondulaoros y radconalmene han consudo un objevo proraro en mecánca de gases. Para ello es muy úl la solucón del problema de emann, que consse en ver qué ondas aparecen y cómo se propagan a parr de dos esados consanes que enran en conaco de repene. El problema de emann esá úncamene ben defndo en el caso undmensonal, pero las propedades que se obenen de su esudo y los méodos de resolucón apromada desarrollados por varos auores (conocdos como appromae emann solvers) son la clave para la resolucón del problema bdmensonal. Con la dscrezacón en volúmenes fnos del domno bdmensonal, se puede consderar que en cada conorno de cada volumen fno ese precsamene un problema de emann undmensonal. Algunos de los emas raados en ese capíulo (como la dscusón de los érmnos urbulenos de las ecuacones, la forma de las superfces caraceríscas y sus propedades, la propagacón de ondas asocadas a ssemas cuaslneales o la resolucón del problema de emann) son sufcenemene eensos e neresanes como para desarrollarlos mucho más de lo que se ha hecho. Aquí se ha nenado no perder de vsa el objevo fnal y enrar en cada uno de ellos lo necesaro para jusfcar an solo aquellas propedades que serán úles en capíulos poserores.

3 .. Ecuacones de San Venan bdmensonales 43.. Ecuacones de San Venan bdmensonales... eyes físcas para el flujo de un fludo en general. El flujo de un fludo en general vene gobernado por las sguenes leyes físcas de conservacón (Tan, 99), (Baeman, 993):. ey de conservacón de la masa o ecuacón de connudad d ( m ) = 0 (.) d donde m es la masa del fludo y la epresón d drepresena la dervada maeral.. ey de conservacón de la candad de movmeno (segunda ley de Newon) o ecuacón del movmeno: d ( m V) = F (.) d donde V es el vecor velocdad y F las fuerzas eerores, que en general son vecores de res componenes concdenes con las res dmensones espacales. 3. Propedades ermodnámcas de los fludos (a parr de las cuales se obenen las ecuacones consuvas). 4. ey de conservacón de la energía o prmera ley de la ermodnámca d dj dw ( E) = + (.3) d d d donde E es la energía de la masa m (ano nerna como mecánca), J es el calor (ano el nercambado con el medo como el producdo por frccón o el asocado a la varacón de volumen), y W es el rabajo desarrollado por las fuerzas eerores. 5. Segunda ley de la ermodnámca: dj ds 0 (.4) T donde S es la enropía y T la emperaura absolua A menudo se represena el movmeno de un fludo con las dos prmeras leyes (conservacón de la masa y de la candad de movmeno) ya que en ellas aparecen eplícamene las varables que descrben el movmeno. Sn embargo, ellas solas son, en general, nsufcenes para descrbr odos los procesos físcos que nervenen en el movmeno de un fludo (a parr úncamene de esas dos leyes se obenen ssemas de ecuacones con más ncógnas que ecuacones), por lo que se necesan las condcones adconales dadas por las oras res leyes, o, por lo menos, por alguna de esas oras res leyes.

4 44 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre Al consderar las propedades ermodnámcas de los fludos se obenen relacones que permen, en algunos fludos parculares (fludos ncompresbles, agua), cerrar el ssema de ecuacones, como serían las ecuacones consuvas (relacón enre las ensones y la velocdad de deformacón del fludo). Para fludos en general se obenen las ecuacones de esado que relaconan, por ejemplo, presón, densdad y emperaura absolua, y que a menudo son apromacones más o menos empírcas a la realdad. En la ley de conservacón de la energía, la energía oal de una masa m es la suma de la energía nerna y la energía mecánca. Se podría suponer que el proceso de calenameno del fludo es ndependene del movmeno mecánco, con lo que podríamos descomponer la ley menconada en dos, una relaconada con la energía nerna o érmca y ora con la energía mecánca. S consderamos además que el movmeno del fludo no depende de la emperaura, la ecuacón de conservacón de la energía nerna, que descrbe el cambo de energía nerna debdo a la ransferenca de calor (y a la deformacón del fludo s ése no es ncompresble) queda desacoplada del reso de ecuacones y por lo ano no hace fala enerla en cuena para el cálculo del movmeno del fludo. Con las hpóess del párrafo aneror, la ley de conservacón de la energía mecánca ene las msmas varables que la ley de conservacón de la candad de movmeno, ya que el produco de ésa por la velocdad es precsamene la energía mecánca. Podríamos, por lo ano, represenar el movmeno del fludo medane una de esas dos leyes de conservacón (candad de movmeno o energía mecánca) junamene con la ecuacón de connudad. De odos modos, las suposcones hechas en el párrafo aneror respeco a la ndependenca de la energía mecánca y la energía nerna no son eacamene ceras, ncluso pueden ser basane nceras en movmeno rápdamene varable (por ejemplo en la dspacón de energía en un resalo hdráulco), por lo que es más correco consderar la ecuacón de connudad juno con la de conservacón de la candad de movmeno. a segunda ley de la ermodnámca se ulza sobreodo como comprobacón de que las solucones obendas son posbles, y en concreo para rechazar algunas solucones, posbles maemácamene, que físcamene son ncorrecas ya que volan dcha ley. Para el caso del flujo de agua en lámna lbre en prncpo no consderamos la varacón de calor, por lo que la segunda ley queda en que la varacón de enropía ene que ser mayor o gual a cero. Con las cnco leyes menconadas, se puede obener un ssema cerrado de ecuacones para cualquer fludo, aunque para flujos complejos o fludos con propedades ermodnámcas complcadas, a menudo algunos érmnos son desconocdos o se basan en apromacones empírcas.... Ecuacones de Naver-Sokes En parcular, para un fludo newonano, e sóropo (las propedades del fludo no camban con la dreccón), el conjuno de leyes anerores se concrea en las ecuacones de Naver-Sokes, que se obenen drecamene de las ecuacones de connudad (.) y del movmeno (.) (Tan, 99), (Toro, 996). a ecuacón de connudad será drecamene la epresón de la ley de conservacón de la masa. a ecuacón del movmeno, se obene de analzar la nauraleza de las fuerzas que acúan sobre el fludo por undad de volumen. Esas fuerzas son las que ejerce el propo fludo más las fuerzas eerores que puedan esr. En la deduccón de las ecuacones se planea el equlbro de fuerzas sobre un volumen de conrol. as fuerzas que se ejercen sobre el conorno de ese volumen de conrol, por pare del propo fludo o de un conorno maeral, son unas ensones sobre la superfce del msmo que se pueden represenar con un ensor de ensones σ, de manera que los elemenos de la dagonal de ese ensor son las fuerzas normales por undad de superfce en el conorno del volumen y el reso de componenes serían las componenes angencales de dchas fuerzas. Por equlbro de momenos se demuesra que el ensor de ensones es smérco. El reso de fuerzas eerores las agrupamos bajo el érmno b (fuerzas por undad de masa), aunque en general sólo consderaremos la gravedad y la fuerza de Corols debdo a la roacón de la erra. Aplcando drecamene la ley de conservacón de la candad de movmeno con las consderacones anerores sobre el volumen de conrol, y ulzando el eorema de Gauss o de la dvergenca en la superfce cerrada que es su conorno, se obene:

5 .. Ecuacones de San Venan bdmensonales 45 dv ρ d = σ + ρb (.5) El ensor de ensones se puede descomponer a su vez, para el caso de fludo ncompresble, en la suma de dos. El prmero represena su pare sóropa, que es una marz dagonal 33 de componenes guales, menras que el reso se podría llamar ensor de ensones vscosas τ, es decr: donde I represena la marz dendad y p es un escalar que vene dado por σ = pi + τ (.6) r( σ) p = 3 (.7) r( σ) es la raza (suma de los elemenos de la dagonal) del ensor de ensones, que para un fludo en movmeno se conoce por presón dnámca. Para el caso de fludos compresbles (ecepo en el caso de gases monoaómcos) eso no es eacamene cero ya que habría que consderar la nfluenca de una vscosdad adconal debda a la dlaacón volumérca del fludo. Sokes formuló la hpóess de que esa nfluenca se podría desprecar sempre; en ese caso, de las dos ecuacones anerores se desprende que la raza de τ es gual a cero. El ensor de ensones vscosas represena la pare no sóropa del ensor de ensones. Sus elemenos de la dagonal son las ensones vscosas normales, menras que el reso son las ensones vscosas angencales, por lo que la hpóess de Sokes mplca que la suma de las ensones vscosas normales es cero. Un fludo newonano es aquel que cumple la ley de Newon, según la cual la ensón angencal enre dos capas de fludo en movmeno es proporconal a la velocdad relava enre dchas capas. Maemácamene eso se raduce en que el ensor de ensones oales es proporconal a la pare smérca del ensor velocdad de deformacón, y se escrbe como: σ= µe (.8) Donde E es la pare smérca del ensor velocdad de deformacón que, en componenes, responde a la epresón: e j u u j = + j (.9) donde u k sería la componene de la velocdad en la dreccón del espaco dada por k. µ es el coefcene de vscosdad dnámca que relacona el ensor de ensones con el ensor velocdad de deformacón Susuyendo la ley de Newon (.8) en la ecuacón (.9), y enéndola en cuena a su vez en la epresón de la presón (.7) se obene que: µ τ = µ E ( V) I (.0) 3 Esa epresón, junamene con la ecuacón del movmeno (.) y algunas operacones maemácas nos perme obener la ecuacón del movmeno para un fludo sóropo, newonano, que, junamene con la ecuacón de connudad (.), enendo en cuena que la densdad del fludo ρ es precsamene la masa por undad de volumen, consuyen las ecuacones de Naver-Sokes: ρ ( ρ ) 0 + V = (.)

6 46 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre dv µ ρ = p + ρ b+ µ V+ ( V ) (.) d 3 donde, como hemos vso, V es el vecor velocdad, ρ es la densdad del fludo, p la presón, b el vecor de fuerzas eerores por undad de masa. En las epresones anerores d drepresena la dervada maeral, que puede epresarse como la dervada local más la componene convecva: d d = + V. Se recuerda que el operador aplcado a un vecor es la dvergenca de ése, menras que aplcado a un escalar es su gradene. as dervadas respeco del empo, d d, que aparecen en las leyes de conservacón (.) a (.3), ambén deben enenderse en ese sendo. os dos úlmos érmnos de la ecuacón del movmeno corresponden a la dvergenca del ensor de ensones. Para fludo ncompresble, ulzando la ecuacón de connudad (.), se puede ver que el úlmo érmno de la derecha de la ecuacón del movmeno (.) es gual a cero: en ese caso las ecuacones de Naver-Sokes quedarían, en componenes, de la sguene forma: u = 0 (.3) u u p u + uj = + b + ν j ρ j j j (.4) Donde u, j, k son las res componenes del vecor de velocdad V, b las componenes del vecor de fuerzas por undad de masa b y ν el coefcene de vscosdad cnemácaν = µ ρ. Se ulza la noacón de Ensen donde componenes repedas ndcan sumaoro. as componenes del ensor de ensones son enonces: τ j u ν = (.5) j En el caso de un fludo deal, ( µ = 0 ), las ecuacones de Naver-Sokes (.), (.) juno con la ecuacón de conservacón de la energía (.3), recben el nombre de ecuacones de Euler. a búsqueda de méodos de resolucón para las ecuacones de Euler ha sdo muy mporane para el avance en méodos numércos para la resolucón de ssemas de ecuacones en dervadas parcales hperbólcos. Gran pare de los méodos de resolucón para las ecuacones en lámna lbre (que guardan un gran parecdo maemáco con alguna de las varanes de las ecuacones de Euler), que se eplcan en capíulos poserores, y especalmene los méodos de ala resolucón, fueron desarrollados en un prncpo para la resolucón de las ecuacones de Euler. En concreo, las ecuacones de Euler para flujo undmensonal con la hpóess de que la enropía es consane en cualquer puno (ecuacones senrópcas), se pueden escrbr como: U + F( U) = 0 (.6) U ρ ρu = ; ρu F = ρu+ ρa (.7) donde U es el vecor de varables dependenes y F el vecor de flujo. a varable u represena la velocdad del fludo y a la velocdad del sondo. El movo de escrbr aquí esas ecuacones es poder observar luego el gran parecdo que enen con las ecuacones del flujo de agua en lámna lbre que se presenarán a connuacón en ese capíulo, de manera que el flujo de agua en lámna lbre se puede esudar de la msma manera que el flujo de un gas deal compresble. Una ehausva eposcón de las dsnas versones de las ecuacones de Euler para fludos con dsnas propedades, y de los méodos numércos ulzados por dsnos auores para su resolucón, se puede enconrar en Toro (996).

7 .. Ecuacones de San Venan bdmensonales Flujo urbuleno. Ecuacones de eynolds as ecuacones de Naver-Sokes descrben eacamene el flujo de un fludo newonano, ncompresble e sóropo. En el caso del agua, las ecuacones son váldas ano para el caso de movmeno lamnar como para el movmeno urbuleno. En movmeno lamnar las velocdades son pequeñas y la vscosdad molecular es sufcene para ordenar el flujo, pero s la velocdad aumena hay un momeno en que eso ya no ocurre (como observó eynolds en su epermeno) y cualquer pequeña aspereza del conorno o perurbacón del flujo ende a desordenarlo. Aunque las ecuacones sgan sendo eacas, y a pesar de los grandes avances que ha habdo recenemene en la ecnología de los ordenadores, en movmeno urbuleno no es posble resolver eacamene las ecuacones de Naver-Sokes. Como epone od (980) eso es debdo a que el movmeno urbuleno conene elemenos cuyo amaño es muchos ordenes de magnud más pequeño que el domno del esudo, de manera que para poder represenarlos correcamene sería necesara una dscrezacón aún más pequeña. En flujos reales eso requerría por un lado una capacdad de memora y una velocdad de los ordenadores muy por encma de las acuales; menras que por oro lado la nformacón necesara para mponer adecuadamene las condcones de conorno sería an grande que probablemene nunca se pueda consegur, ya que habría que represenar correcamene cualquer prouberanca en los conornos sóldos y cualquer varacón de las varables, ano en el espaco como en el empo, en los conornos fludos, hasa ordenes de magnud an pequeños como las osclacones urbulenas. En la prácca el conocmeno eaco de las flucuacones urbulenas no posee demasado nerés; por ello el flujo urbuleno se esuda consderando que cualquer varable se puede descomponer medane la suma de una varable promedo en un cero ncremeno de empo (coro en relacón a la escala de empos del flujo medo pero largo comparado con las flucuacones urbulenas), más las flucuacones urbulenas. Esa dea sugerda por prmera vez por eynolds, perme epresar una varable cualquera u como: donde u es la varable promedada según: u = u + u (.8) u = ud (.9) y u las flucuacones urbulenas. Para flujos ncompresbles, a parr de las ecuacones de Naver-Sokes y promedando en el empo se pueden obener las ecuacones de eynolds, que, en componenes, se pueden escrbr como: u = 0 (.0) u u p u + uj = + b + ( µ ρuu j) ρ ρ j j j (.) donde u, j, k y u, j, k son respecvamene el promedo emporal y las flucuacones urbulenas de las componenes de la velocdad u, j, k. as ecuacones de eynolds son eacas ano para el flujo lamnar como para el urbuleno, pues en ellas no se han nroducdo más suposcones que las de las ecuacones de Naver- Sokes. El érmno µ ( u j) se suele denomnar ensones lamnares, menras que el érmno ρ uu j que represena el ranspore de la candad de movmeno debdo a las flucuacones urbulenas, se conoce como ensones urbulenas o ensones de eynolds. Esrcamene hablando, ese úlmo no es un érmno de ensones, sno que procede de realzar el promedo en el empo de los érmnos convecvos de las ecuacones de Naver-Sokes. Es neresane remarcar que s no fuera por las ensones urbulenas, las ecuacones de eynolds para las varables promedadas concdrían eacamene con las de Naver-Sokes para las varables nsanáneas.

8 48 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre Para resolver las ecuacones de eynolds se debe deermnar de alguna manera el valor de las ensones urbulenas. Eso no se puede hacer de manera eaca y es el objevo de los dsnos modelos de urbulenca...4. Inegracón vercal de las ecuacones de eynolds. Ecuacones del flujo bdmensonal en lámna lbre o ecuacones de San Venan En gran pare de los flujos en lámna lbre, y especalmene en problemas de propagacón de avendas en ríos, que son el objeo del presene rabajo, el valor de las varables camba poco en una msma vercal. Esa consderacón perme pensar en una smplfcacón de las ecuacones de eynolds a dos dmensones medane un promedo vercal de las ecuacones rdmensonales. Para poder hacer esa smplfcacón se consderan las hpóess sguenes:. Profunddad de la capa de agua pequeña con relacón a las oras dmensones del problema.. Dsrbucón hdrosáca de presones en la vercal 3. Pendene de solera reducda. Esas res hpóess esán esrechamene lgadas. Para que se cumpla la hpóess de dsrbucón hdrosáca de presones es necesaro que la curvaura de las líneas de correne sea pequeña. El cumplmeno de esas hpóess mplca además que las componenes de la velocdad y aceleracón en el eje z son desprecables frene a las componenes en los oros ejes, y ambén que ésas úlmas enen una marcada unformdad vercal. Para la negracón de las ecuacones de eynolds en la profunddad, se defne la velocdad promedada como U = ( u, u ) donde cada una de las componenes es respecvamene: u z0+ h u dz z0 h ; u + = z = u dz h 0 h z0 (.) z es el eje de coordenadas vercal hasa ahora ambén llamado 3 ; z0 es la coa del fondo y h es la profunddad de la lámna de agua. a negracón consse en aplcar a las ecuacones de eynolds (.0), (.), la negral desde la coa de fondo a la de la superfce lbre: z0 + h u dz = 0 (.3) z0 u u p u ( u ) dz ( b ( uu )) dz z0+ h z0+ h + j = + z + µ ρ j 0 z0 j ρ ρ j j (.4) enendo en cuena que la presón es la hdrosáca (es decr p = (0,0, ρ g), con g la aceleracón de la gravedad). Ulzando la regla de ebnz de dervacón bajo el sgno negral, y consderando que las úncas fuerzas por undad de masa que acúan son la fuerza de la gravedad y la fuerza de Corols debda a la roacón de la erra, las ecuacones que se obenen al realzar ese proceso se pueden escrbr como: z ( hu ) ( hu ) + + = 0 (.5) τ + τ ( hu ) + ( hu ) + ( hu u ) = gh ( h + z ) + fhu + ( ht ) + ( ht ) (.6) ρ ρ ρ 0 s 0

9 .. Ecuacones de San Venan bdmensonales 49 τ + τ ( hu ) + ( hu u ) + ( hu ) = gh ( h + z ) + fhu + ( ht ) + ( ht )(.7) ρ ρ ρ 0 s 0 donde τ 0 y τ s son los ensores de ensones (de segundo orden) conra el fondo y la superfce lbre respecvamene, f el coefcene de Corols para ener en cuena la roacón de la erra (..5.6), menras que T responden a la epresón: j z0 + h u u j T = ρν ρuu ( )( ) j z j ρ u u uj uj dz h + 0 j (.8) y se conocen por ensones efecvas (..5.7), ya que conenen érmnos que no son esrcamene ensones sno que proceden del promedo emporal para la deduccón de las ecuacones de eynolds y del promedo en la vercal que hemos hecho al deducr las ecuacones (.3), (.4). as ecuacones (.5), (.6) y (.7) son las ecuacones bdmensonales del flujo en lámna lbre o ecuacones de San Venan bdmensonales en su epresón más complea en forma conservava. Inroducendo la ecuacón de connudad en las ecuacones del movmeno, se pueden escrbr esas msmas ecuacones en forma no conservava como: h ( hu ) ( hu ) + + = 0 (.9) u u u h z τ + τ = + + ( ) + ( ) (.30) ρh ρh ρh 0 0 s u u g g fu ht ht u u u h z τ + τ = + + ( ) + ( ) (.3) ρh ρh ρh 0 0 s u u g g fu ht ht..5. Dscusón sobre los dsnos érmnos de las ecuacones de San Venan..5. Aceleracón local os érmnos de aceleracón local u y u represenan la varacón de la velocdad con el empo en un puno fjo. Son los responsables del carácer no permanene del flujo...5. Aceleracón convecva Son los érmnos, u u, u u, u u y u u que represenan el efeco del ranspore con el flujo del gradene de la velocdad. Son los responsables de la formacón de vórces, y su efeco es más mporane cuano mayor sea el número de eynolds (relacón enre fuerzas vscosas y fuerzas de nerca), como se desprende de un análss admensonal de las ecuacones. En presenca de alas velocdades o pequeña vscosdad, y desde el puno de vsa maemáco, son los responsables de la no-lnealdad del ssema de ecuacones. a suma de la aceleracón local y la convecva es la dervada maeral, que represena la aceleracón oal de las parículas del fludo Pendene de la superfce lbre Es el érmno ( h+ z0 ), que mulplcado por la aceleracón de la gravedad g, represena la accón de las p fuerzas gravaoras, y se ha obendo negrando en la vercal el érmno de las ecuacones de ρ eynolds ulzando la hpóess de presón hdrosáca.

10 50 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre Ese érmno se puede descomponer en la suma de la pendene del fondo ( So = z o, So = z o ) y el gradene del calado, dónde la prmera es conocda ya que depende sólo de la geomería del problema. a pendene del fondo es la prncpal responsable de la no homogenedad de las ecuacones, y su presenca aumena la complejdad de los esquemas numércos de resolucón de forma consderable Tensones en el fondo os érmnos debdos a la frccón conra el fondo τ 0 ρ h enen un efeco no lneal de reardo del flujo. Apromando el rado hdráulco por el calado se ene τ0 = ρghs f (Chaudhry 993), donde S f es la pendene morz. Para ésa, una epresón comúnmene ulzada es la fórmula de Mannng. Con ella, para el caso de flujo bdmensonal, la pendene morz se puede calcular como: S u u + u n u u + u n = = (.3) h h f ; S 43 f 43 donde n es el coefcene de rugosdad de Mannng. a fórmula de Mannng se puede conemplar como un caso parcular de la fórmula de Chezy: S u u + u u u + u = = (.33) Ch Ch f ; S f donde C es el coefcene de Chezy. Para 6 C = h nse obene la fórmula de Mannng. Cuando no se consdera nngún modelo de urbulenca, lo cual es muy común en modelacón de flujo en canales y cauces naurales como veremos más adelane, la dspacón de energía debda a las ensones efecvas se puede suponer que se ncluye en la pendene morz, es decr, medane la fórmula de Mannng no se preende apromar solamene el efeco de las ensones en el fondo, sno ambén el efeco de odo el ermno de ensones efecvas Tensones angencales en la superfce lbre a presenca de ensones angencales en la superfce lbre τ s puede ser mporane en grandes superfces con venos fueres. Esen dsnas fórmulas propuesas para esmar ese érmno, que ene mporanca prncpalmene para esudos oceanográfcos, a parr de la velocdad del veno (Cunge, 980), (Tan, 99) Fuerzas por undad de masa as fuerzas por undad de masa que acúan sobre el fludo son, en general, la fuerza de gravedad y la fuerza geosrófca o de Corols. a prmera, que en las ecuacones de Naver-Sokes se represenaba con el érmno del gradene de presones, queda, al realzar la negracón en la vercal, como la pendene de la superfce lbre de la cual ya se ha hablado (aparado..5.3). a segunda se puede escrbr como: fu b c = (.34) fu donde bc es el vecor de fuerza de Corols y f = ωsnλ es el coefcene de Corols, con ω la velocdad angular de roacón de la erra y λ la laud, dando lugar a los érmnos correspondenes de las ecuacones. En ese aparado ambén se podría nclur el efeco de las mareas, que es ambén una fuerza por undad de masa debda a la araccón de la luna y del sol. Ese érmno endría un efeco no desprecable an solo para masas de

11 .. Ecuacones de San Venan bdmensonales 5 agua de amaño muy grande, como los mares y océanos, pero no ano en ríos. Su esudo no es el objeo de esa ess y por ano no lo consderamos Tensones efecvas a epresón (.8) de las ensones efecvas muesra que ésas consan de res conrbucones. El prmer sumando es el érmno de ensones vscosas (o ensones vscosas lamnares), el únco de los res que represena unas ensones reales, debdo a la vscosdad del fludo. El segundo érmno de las ensones efecvas son las ensones urbulenas, fruo del promedo emporal de las ecuacones de Naver-Sokes para obener las ecuacones de eynolds en varables promedadas. Para flujos urbulenos desarrollados las ensones vscosas lamnares son mucho más pequeñas que las urbulenas y sólo enen mporanca en una pequeña capa próma a los conornos (Nezu, 993), por lo que, o ben se suelen desprecar o ben se consderan conjunamene con las segundas medane un modelo de urbulenca. El neno de modelar correcamene las ensones urbulenas ha dado orgen a oda la eoría de urbulenca y a los dsnos modelos de urbulenca (aparado..6). Para flujo gradualmene varable la mporanca de ese érmno con respeco a las ensones del fondo suele consderarse desprecable (aparado..6.3). Fnalmene el ercer érmno o érmno de ensones convecvas resula de la negracón sobre la profunddad de los érmnos convecvos rdmensonales. Ese érmno, ambén llamado érmno de dspersón (Nezu, 993) o de adveccón dferencal (Vreughdenhl, 994), se anularía s realmene la dsrbucón de velocdades fuera unforme en la vercal, y es más relevane cuano más nos alejamos de la hpóess de presón hdrosáca. Es un érmno úncamene fruo del promedo en la vercal, por lo que no ene nada que ver con los fenómenos urbulenos. Pese a que ha habdo algunos nenos de modelar ese érmno, ello no ene demasado sendo ya que solamene es mporane cuando nos alejamos de las hpóess de deduccón de las ecuacones, es decr, cuando ésas dejan de ser váldas. En el caso de no poder desprecar las ensones convecvas, habría que consderar flujo rdmensonal con sus correspondenes ecuacones (Nezu, 993)...6. Consderacones sobre urbulenca..6. Descrpcón físca de la urbulenca a urbulenca, o flucuacones de las parículas alrededor de una rayecora meda, se puede descrbr físcamene como una sere de movmenos en forma de vórce o orbellno que cubren un amplo rango de amaños con su correspondene especro de frecuencas de flucuacón. a dsrbucón de los vórces es alamene aleaora y no permanene en el empo. os vórces más grandes, asocados con frecuencas de flucuacón más bajas, venen provocados por las condcones de conorno del flujo y su amaño puede ser del msmo orden de magnud que las ondas del flujo medo. os vórces más pequeños, asocados con alas frecuencas de flucuacón, son producdos por las fuerzas vscosas. El especro de amaños de vórce aumena con el número de eynolds. od (980) y Nezu (993) hacen una descrpcón deallada de los fenómenos urbulenos. os vórces más grandes conrbuyen al ranspore de la candad de movmeno. Al ser del msmo orden de magnud que el flujo medo, los vórces nerferen con ése susrayéndole energía cnéca. A su vez esos vórces más grandes nuren a los más pequeños de manera que la energía cnéca se va ransmendo haca vórces cada vez más pequeños y fnalmene es dspada por las fuerzas vscosas. Vemos pues, que aunque la dspacón de energía ene lugar en los vórces más pequeños, la energía cnéca que pasa del movmeno medo al movmeno urbuleno, y por ano la energía que fnalmene es dspada en los procesos urbulenos, vene condconada por las caraceríscas del movmeno medo y de los vórces de mayor amaño. os vórces mayores, de la msma manera que el movmeno medo, venen condconados por las condcones de conorno del problema. En las hpóess de aguas poco profundas, el movmeno horzonal predomna sobre el vercal, y eso es cero ano para el movmeno medo como para las flucuacones urbulenas de mayores amaños. Esa sensbldad a una dreccón se va perdendo a medda que consderamos vórces más pequeños hasa el puno que, s el flujo es urbuleno desarrollado, el movmeno de los vórces a escala más pequeña es sóropo.

12 5 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre Maemácamene, los modelos de urbulenca conssen en apromar de alguna manera el érmno correspondene a las ensones de eynolds relaconándolo con las varables medas, de modo que los modelos de urbulenca no descrben los dealles de las flucuacones urbulenas, sno el efeco de dchas flucuacones sobre las varables medas. a mayoría de modelos de urbulenca se han desarrollado para flujos en res dmensones, aunque se encuenran varos ejemplos de aplcacón a las ecuacones promedadas en la profunddad...6. Vscosdad urbulena y modelos de urbulenca a prmera propuesa para modelar las ensones urbulenas, y en la que se basan la mayor pare de modelos de urbulenca esenes fue formulada por Bousnesq y se raa del concepo de vscosdad urbulena o vscosdad de remolno. Bousnesq supuso que, al gual que pasa con el movmeno lamnar, las ensones urbulenas son proporconales al gradene de la velocdad meda, de manera que se pueden escrbr, para el caso general de movmeno rdmensonal, como : u u j uu j = ν + kδ j j 3 (.35) donde ν es la vscosdad urbulena o vscosdad de remolno, δ j es la dela de Kronecker y k la energía cnéca meda por undad de masa de la urbulenca: k = ( uu ) (.36) de esa manera la suma de las ensones urbulenas normales uu es precsamene la energía cnéca k (od, 980), (Nezu, 993), (Berezowsky, 993). Al susur la epresón de las ensones urbulenas en las ecuacones de eynolds se obenen unas ecuacones donde, en prncpo, las úncas ncógnas son las varables promedadas en el empo. El problema ahora consse en deermnar la vscosdad urbulenaν. Esa vscosdad urbulena no es una propedad del fludo sno que depende del esado de la urbulenca y puede varar de un puno a oro y a lo largo del empo. Aunque esen algunos modelos de urbulenca que no ulzan el concepo de vscosdad urbulena, esos son la mnoría y práccamene no se han ulzado en hdráulca (Nezu, 993). S se acepa el concepo de vscosdad urbulena, los modelos de urbulenca se pueden clasfcar en el número de ecuacones que hace fala añadr para deermnar el coefceneν. os modelos más sencllos serían pues los modelos de cero ecuacones, y enre ellos, el más elemenal sería el que supone un valor deν consane en odo el fludo. Como desaca od (980), ese po de modelos no enen nada que ver con la modelacón de la urbulenca, ya que no pueden ener en cuena dferencas en la propa urbulenca en punos dsnos. El modelo de vscosdad urbulena consane más sencllo y quzá más ulzado (modelo MIKE), (Menéndez, 985), (Molls y Chaudry, 995), (Ponce, 99), (Szymkewcz, 993), (Tngsanchal y Chrananon, 99), (modelo MA-), propueso por prmera vez por Kupers y Vreughdenhl (973) supone que los érmnos correspondenes a las ensones efecvas en las ecuacones de San Venan bdmensonales (.9) (.30)) (.3) se pueden escrbr como: u u ( ht ) + ( ht ) = ν + ρh ρh (.37) u u ( ht ) + ( ht ) = ν + ρh ρh (.38) menras que oros ulzan las epresones resulanes de susur (.35) (.36) en (.8)) y desprecar las ensones vscosas y convecvas (Ambros, 994), (Molnaro, D Flppo y Ferrar, 994), (Molls y Chaudrhy, 995), (modelo HIVED), obenéndose:

13 .. Ecuacones de San Venan bdmensonales 53 T ρν ( hu ) = h (.39) T ρν ( hu) ( hu) = + h (.40) T ρν ( hu ) = h (.4) os modelos de urbulenca propamene dchos más sencllos serían los que relaconan drecamene ν con la velocdad meda o su gradene. Esos modelos, ambén de cero ecuacones, suponen que la urbulenca se dspa donde se genera, es decr, no enen en cuena el ranspore de la urbulenca (o de las varables que la caracerzan). El prmer modelo en ese sendo fue el modelo de longud de mezcla de Prandl, que supone que la vscosdad urbulena es proporconal a una meda de la velocdad urbulena y a una longud caracerísca o longud de mezcla. a prmera puede escrbrse en funcón de la segunda, por lo que la longud de mezcla es un parámero que necesa especfcarse a parr de la eperenca. En la realdad la urbulenca en una zona puede depender de la urbulenca generada en ora, o de la urbulenca generada en el pasado. Para poder ener en cuena ese ranspore de la urbulenca, se desarrollaron una sere de modelos que ulzan ecuacones de ranspore para algunas candades que caracerzan la urbulenca. El más ulzado de ellos es el llamado modelo k-ε que supone que el coefcene de vscosdad urbulena se puede escrbr como: k ν = C µ (.4) ε donde C µ es una consane empírca, k es la energía cnéca de la urbulenca y ε su asa de dspacón. Para calcular ν se añaden al ssema de ecuacones dos ecuacones de ranspore (para k yε ) que permen calcular k y ε y que deben ser resuelas conjunamene con la ecuacón de connudad y la del movmeno (Berezowsky, 993), (Chaudhry, 993), (Shear y Murhy, 996) Turbulenca en el flujo en lámna lbre a mayoría de modelos para la resolucón de las ecuacones del flujo en lámna lbre o ben no ncluyen nngún modelo de urbulenca, de manera que el efeco de la urbulenca se ene en cuena solamene en el ermno de frccón conra el fondo (Alcrudo, 99), (Alcrudo y García-Navarro, 994), Aral, Zhang y Jn, 998), (Becheler, Nujc y Oo, 994), (Beffa y Faeh, 994), (Benkhaldoun, 994), (Franco, 996), (Bonllo, Vázquez, Suárez y Pueras, 998), (Braqsch, Dadone y Galla, 994), (Cena y ajar, 994), (D Alpaos y Delfna, 994), (D Ganmarco y Todn, 994), (Ello y Chaudhry, 989), (Fennema y Chaudhry, 989), Fracarollo y oro, 995), (Glaser, 988), (Jímenez y Chaudhry, 987), (Kaopodes, 984), (Molnaro, 99), (Naam y Brugno, 994), (Paquer, 994), (ajar y Cena, 994), (Scara, 993), (Tan, 99), (Urban y Zelke, 985), (Valan, 99), Zhang y Cundy, 989), (Zhao, Shen, Tabos III, a y Tan, 994), (Zhao, Shen, Tabos III, a, 996), o ben ulzan un coefcene de vscosdad urbulena consane (Ambros y Saler, 994), (modelo MIKE), (TEEMAC), (Menéndez, 985), (Molnaro, D Flppo y Ferrar, 994), (Molls y Chaudry, 995), (Ponce y Yabusak, 99), (ccard, 994), (Szymkewcz, 993), (Tngsanchal y Chrananon, 99), (modelo MA-), (Valan, 99), (modelo HIVED), (Vázquez-Cendón, 996), (Vllanueva, 999), (Brufau, 000). En alguna ocasón se ha ulzado un modelo de urbulenca k ε (Cena y ajar, 994), (Shear y Murhy, 996) e ncluso un modelo de longud de mezcla (eclerc, 990). Para el cálculo hdrodnámco en cursos de agua naurales, preender modelar correcamene la urbulenca medane un coefcene de vscosdad urbulena consane no ene demasado sendo (od, 980), (Nezu, 993). En la mayor pare de las aplcacones los érmnos de las ensones urbulenas suelen ser desprecables comparados con oros érmnos y el únco efeco noable de la urbulenca es a ravés de las ensones en el fondo; aquí la nclusón de un modelo de urbulenca no endría práccamene nnguna nfluenca. Incluso en el caso en que los érmnos urbulenos fueran mporanes, una correca modelacón de la urbulenca egría una

14 54 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre dscrezacón muy fna. En las aplcacones a ríos, lo más probable es que la dscrezacón para ener empos de cálculos acepables sea demasado burda para poder modelar ben la urbulenca. Menéndez (985) afrma que las ensones efecvas enen mporanca para flujos en que la curvaura de las líneas de correne sea comparable a la profunddad, menras Cena y ajar (994) llegan a la conclusón que un modelo refnado de urbulenca no apora nnguna mejora a la modelacón de un flujo rápdamene varable en un ensanchameno brusco, medane la comparacón de un modelo físco con dos modelos numércos: uno sn consderar los érmnos urbulenos y oro ncorporando un modelo k ε. Algunas veces, y especalmene para esquemas numércos de elemenos fnos, se ulza un coefcene de vscosdad urbulena consane para añadr cera dfusón al esquema numérco con la fnaldad de hacerlo más esable, al como se dce eplícamene en Baes, Anderson y Hervoue (995), eclerc (990), y los manuales de MA- y HIVED, perdéndose odo el sgnfcado físco de dcho coefcene. El caso más eremo es el de algunos modelos comercales (MA- y HIVED) que ajusan auomácamene el coefcene para obener esquemas esables, o que recomendan al usuaro ulzar un coefcene sufcenemene grande para esablzar el esquema, pero a la vez lo más pequeño posble para que la solucón no se aleje demasado de la realdad. Tambén se ha jusfcado la nclusón de un coefcene de vscosdad urbulena para poder obener recrculacones (Menéndez, 985), (Ponce y Yabusak, 99), (ccard, 994), (Molls y Chaudhry, 995), enendendo cómo ales campos de velocdades con líneas de correne que se cerran sobre sí msmas. Aunque la forma de las recrculacones sí puede depender del coefcene de vscosdad urbulena (ccard, 994), con un coefcene consane no se esá represenando correcamene la urbulenca, menras que las recrculacones ambén suelen aparecer por la propa dfusón numérca de los esquemas ulzados, y parece que n squera un modelo k ε perme represenarlas correcamene en una modelacón bdmensonal. (Hervoue y Jann, 994). En el caso de consderar un coefcene de vscosdad urbulena consane en defnva se esá añadendo un parámero más que podría servr para calbrar el modelo.. a dspersón del valor de dcho coefcene en la bblografía es noable: 50 m s en (Ambros y Saler, 994), 0.00, y 00 m s en (Szymkewcz, 993), 0 y 300 m s en (Menéndez, 985) y (ccard, 994), 0 y 0.00 m s en (Molls y Chaudhry, 993), valores dependenes de la malla y el ncremeno de empo según ν ( ) = α con α = 0 y 0. en (Ponce, 99) y α = 0.8 y 0.9 en (Tngsanchal y Chrananon, 99), y valores varables para ener esabldad del esquema numérco (modelos MA- y HIVED). Por odo lo dcho, como descrben od (980) y Berezowsky (993) y se lusra medane la comparacón con resulados epermenales en los rabajos de Cena y ajar (994), Molls y Chaudhry (995) y Bonllo, Vázquez, Suárez y Pueras (998) para esudos en cursos de agua naurales de una cera dmensón espacal, donde la urbulenca se debe báscamene a la frccón y el movmeno es prncpalmene horzonal (hpóess de aguas poco profundas), el uso de modelos de urbulenca no parece necesaro n se puede asegurar que ésos den buenos resulados con dscrezacones normales; ncluso se dscue desde un puno de vsa eórco la propedad de represenar la urbulenca medane un modelo bdmensonal (Hervoue y Jann, 994). Podríamos decr, en cera manera, que para el cálculo hdrodnámco el error comedo al consderar váldas las hpóess de flujo bdmensonal es del msmo orden que el error comedo al no consderar nngún modelo de urbulenca, por lo que hacerlo no aporaría mejoras sensbles a la solucón menras que sí podría añadr complejdad, resar efcenca al esquema numérco, y añadr confusón al ener más parámeros que ajusar sn un crero claro para hacerlo. Cualquer modelo de urbulenca conene parámeros que deben ajusarse medane un esudo epermenal, de manera que nngún modelo de urbulenca se debería acepar sn un buena verfcacón epermenal. Por oro lado, aunque el flujo medo sea emnenemene bdmensonal, los fenómenos urbulenos pueden ener componenes vercales mporanes que nunca se pueden modelar ben con las ecuacones de San Venan bdmensonales. Un modelo de urbulenca compleo en el cálculo del flujo del agua en lámna lbre sí que puede ener sendo en flujos urbulenos rdmensonales (Nezu y Nakagawa, 993), (Hervoue y Jann, 994), y para cero po de flujos (cambos de régmen, varacones bruscas en dreccón y módulo de la velocdad, ec.), ulzando enonces las ecuacones de eynolds rdmensonales. Es de desacar, sn embargo, que para problemas ermodnámcos donde neresa conocer dsrbucones de emperaura (nervene la ecuacón de la energía), o ben para problemas de dspersón de conamnanes (en los cuales se ulza una ecuacón de conservacón para la concenracón), aparece un flujo urbuleno de calor o concenracón que sí es mporane frene a los oros érmnos de la ecuacón, y debe ser modelado correcamene. Por ello, en esudos ermodnámcos o de dspersón de conamnanes, es convenene ulzar un modelo de urbulenca compleo (Mohammad y Pronneau, 994), (Bonllo, Vázquez, Suárez y Pueras, 998).

15 .. Ecuacones de San Venan bdmensonales 55 En ese po de esudos a menudo se han ulzado esquemas que consderan un modelo de urbulenca (más o menos complejo) en la ecuacón de conservacón de la energía o concenracón, pero no lo hacen en las ecuacones de connudad n del movmeno...7. Smplfcacón de las ecuacones de San Venan en dos dmensones Tras la dscusón del aparado aneror, s no se consdera la fuerza de Corols, que para cauces de ríos no suele ser sgnfcava, n las ensones efecvas, que enen poca mporanca con respeco a los oros érmnos, n las ensones producdas por el veno en la superfce lbre, se pueden escrbr las ecuacones de San Venan bdmensonales como: h ( hu) ( hv) + + = 0 (.43) y h ( hu) + ( hu + g ) + ( huv) = gh( S0 S f ) (.44) y h ( hv) + ( huv) + ( hv + g ) = gh( S0 y S fy) (.45) y donde se ha ulzado la noacón e y para las dreccones y, así como u y v para u y u. En ese ssema de ecuacones, con el que se rabajará en adelane, se ha supueso pues que el efeco de la fuerza de Corols y la ensón debda al veno en la superfce lbre son desprecables enendo en cuena la nauraleza de los problemas en los que se cenra ese rabajo, aunque su nclusón en el esquema numérco puede hacerse sn dfculad.. Tampoco se ha consderado aquí nngún modelo de urbulenca, por lo que la dspacón de los érmnos de ensones efecvas solamene se puede ener en cuena, de manera muy apromada, en el érmno de la pendene morz, junamene con las ensones de fondo. Ulzando noacón vecoral, se pueden escrbr esas ecuacones de San Venan en dos dmensones en forma conservava como: U+ F = H (.46) donde U es el vecor de varables de flujo, F es el ensor de flujo y H es el ermno ndependene o érmno fuene, que responden a las epresones: hu hv h 0 h U = hu ; hu g huv F = + ; gh( So S f ) H = (.47) hv gh( Soy S fy ) h huv hv + g a ecuacón (.46) consa de res érmnos. Como se desprende del planeameno que se ha hecho de las ecuacones a parr de las leyes de conservacón, el prmer érmno represena la varacón emporal local de las varables hdráulcas: masa y candad de movmeno; el segundo érmno represena la varacón espacal de los flujos de dchas candades; el ercer érmno (érmno ndependene) represena la gananca o pérdda de masa y candad de movmeno por undad de empo en un volumen dferencal que se mueve con el fludo. Evdenemene la varacón de masa debe de ser nula, por lo que la prmera componene del vecor de varables ndependenes es cero.

16 56 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre a conrbucón eeror a la candad de movmeno, con las hpóess realzadas, ene dos razones: la varacón de energía poencal (reflejada en la pendene del fondo) y las fuerzas de frccón con el conorno (reflejada en la pendene morz). as ecuacones de San Venan son un caso concreo de ssema de ecuacones dferencales en dervadas parcales hperbólco, cuas-lneal y con ermno ndependene. as propedades de ese po de ssema, cuyo conocmeno perme obener méodos numércos adecuados, se analzan en el aparado.4. de ese capíulo. Inroducendo la ecuacón de connudad en las ecuacones del movmeno, o drecamene a parr de las ecuacones (.9), (.30) y (.3), se pueden escrbr las ecuacones de San Venan en forma no conservava como: h ( hu) ( hv) + + = 0 (.48) y u u u h + u + v + g = g( S0 Sf ) (.49) y v v v h + u + v + g = g( S0 y Sfy) (.50) y y as ecuacones de San Venan en forma conservava presenan grandes venajas a la hora de planear esquemas de resolucón que perman obener solucones con dsconnudades, como se comena en el capíulo sguene, apare de que son la epresón más dreca de las leyes de conservacón que gobernan el fenómeno físco.

17 .3. Ecuacones de San Venan undmensonales Ecuacones de San Venan undmensonales Muchos problemas de hdráulca general, y hdráulca fluval en concreo, enen un carácer marcadamene undmensonal. Oras veces la undmensonaldad no es an clara pero el hecho de raarlo como un problema bdmensonal no es posble por dsnas razones, como por ejemplo, de obencón de nformacón necesara. Por oro lado el esudo de las ecuacones undmensonales puede ser úl al ser ésas más sencllas que las bdmensonales, pudéndose obener conclusones más fáclmene y luego eenderlas a las ecuacones bdmensonales. Para obener las ecuacones de San Venan undmensonales se pueden segur dos camnos: a) a parr de las ecuacones bdmensonales suprmr las dependencas de la dmensón y, lo que equvaldría a hacer un promedo en la anchura; eso sólo es facble para cauces recangulares, y b) deducr drecamene las ecuacones ulzando las leyes de conservacón de la masa y de la candad de movmeno. El segundo camno se puede aplcar a cauces de seccón arbrara, ncluso no prsmácos menras se pueda consderar cera la hpóess de undmensonaldad, es más lusravo sobre el sgnfcado de los dsnos érmnos de las ecuacones, y se puede consular en dsnas fuenes (Cunge, 980), (Gómez, 988), (Alcrudo, 99), (Chaudhry, 993), (Franco, 996). as ecuacones de San Venan para canal no prsmáco que resulan son: U+ F = H (.5) con: Q A 0 U = F = H = (.5) ; Q ; Q + gi gi + ga( S0 Sf A ulzando como varables el área de la seccón mojada A y el caudal crculane Q. I es la fuerza debda a la presón del agua en una seccón, que puede escrbrse como el momeno geomérco, o momeno de prmer orden de la seccón respeco de la superfce lbre: h I = ( h η) b(, η) dη (.53) 0 donde b es el ancho superfcal y h el calado. I es la conrbucón de las fuerzas de presón del conorno defnda como: h b (, η) I = ( h η) dη (.54) 0 En canales prsmácos, aunque engan una seccón cualquera, el érmno I es déncamene gual a cero, menras que en canales no prsmácos es dsno de cero. Eso, juno con el hecho de no poder poner el área como una funcón úncamene del calado, provoca que algunos de los méodos de ala resolucón que dan muy buenos resulados en canales prsmácos y en flujo bdmensonal, no lo hagan ano cuando se modelan canales no prsmácos con las ecuacones undmensonales. Para canales recangulares, donde el área es el ancho mulplcado por el calado, las ecuacones se pueden smplfcar ulzando como varables hdráulcas el calado y el caudal, resulando:

18 58 Capíulo. Flujo varable en lámna lbre U+ F = H (.55) con: hu h 0 U = F = H = (.56) ; ; h hu hu + g gh( S0 S f ) Esa versón, donde u represena la velocdad, es la smplfcacón dreca de las ecuacones bdmensonales (.46), (.47) a una dmensón. S en las ecuacones undmensonales para cauces no prsmácos ncorporamos la ecuacón de connudad en la del movmeno, podemos obener ora forma de las msmas ecuacones, la forma no conservava, como: A Q + = 0 (.57) Q Q h + + ga = ga( S0 Sf ) A (.58) Para la deduccón de esas ecuacones en forma no conservava a parr de las ecuacones (.5)(.5) se ha ulzado que la dervada de I respeco de la dreccón se puede escrbr, ulzando la regla de ebnz de dervacón bajo el sgno negral, como: I h = I + A (.59) Se pueden enconrar oras epresones para las ecuacones de San Venan en forma no conservava, ulzando por ejemplo las varables (A, u) en lugar de (A, Q), o fusonando la pendene del fondo y el gradene del calado en una sola dervada que eprese la varacón de la coa de la superfce lbre, ec., pero del msmo modo que en el caso bdmensonal, y como se comenará en el sguene capíulo, la forma que ene más venajas de cara a la obencón de solucones en el caso más general es la forma conservava, que además es la epresón más nmedaa de las leyes de conservacón.

19 .4. Análss de las ecuacones de San Venan Análss de las ecuacones de San Venan En ese aparado se realza un análss de las ecuacones de San Venan, que forman un ssema de ecuacones dferencales en dervadas parcales no lneales e hperbólco. En prmer lugar se verá la defncón y algunas propedades de ese po de ssemas, propedades que serán fundamenales en los capíulos sguenes para la obencón de esquemas numércos para su resolucón. Paralelamene se rá vendo como se concrean esas propedades en el caso de las ecuacones de San Venan, la esrucura de su solucón y algunos ejemplos báscos de flujo en lámna lbre que ponen de manfeso algunas de las propedades más relevanes de las ecuacones..4.. Ssemas de ecuacones dferencales en dervadas parcales hperbólcos En general podemos consderar un ssema de m ecuacones del po: n U U + A = H (.60) = donde U (, ) = ( u (, ),, um (, )) es el vecor de m componenes de varables dependenes y = (,, n ) el vecor de varables ndependenes de n componenes. A son marces m m que en general dependen de U, y, y de dervadas de U con respeco de las dreccones, al gual que el vecor del érmno ndependene H. Para el ssema (.60) podemos decr que s los elemenos de las marces A y las componenes del vecor H son consanes, el ssema es lneal con coefcenes consanes, s A = A(, ) y H = H(, ) el ssema es lneal con coefcenes varables. S A y H dependen de U pero no de sus dervadas, o sea A = A(,, U ), se dce que el ssema es cuas-lneal (un ssema cuas-lneal es pues un caso parcular de ssema de ecuacones no lneales). Por oro lado, s H = 0 el ssema es homogéneo. Se defne el ssema (.60) como ssema hperbólco en un puno P de (, ) s los ceros λ, λm del polnomo caracerísco n QP (, α, λ) de αa( P) λi (.6) = son odos reales para cualquer vecor unaro α = ( α,, α n ) de, y s esen m vecores propos (o más concreamene, vecores propos por la derecha) e, e que sasfacen la ecuacón, m n αa( P) λji e j = 0 (.6) = o, lo que es lo msmo, n αa( P) e = λe (.63) = y son lnealmene ndependenes. os valores λ, λ son los valores propos de la marz m