L.O. Cotaquispe Z. Facultad de Ciencias e Ingeniería, Pontificia Universidad Católica del Perú Lima, Perú

Transcripción

1 Procedmenos maemácos para la modelacón geomérca de denes de engranajes de perfl evolvene Mahemacal procedures for geomercal modelng of nvolue profle spur gear ooh L.O. Coaquspe Z. Faculad de Cencas e Ingenería, Ponfca Unversdad Caólca del Perú Lma, Perú lcoaqu@pucp.edu.pe R. Franco R., J. Moya R. Faculad de Ingenería Mecánca, Unversdad Cenral Mara Abreu de Las Vllas Sana Clara. Vlla Clara. Cuba rfranco@fm.uclv.edu.cu jorgemr@fm.uclv.edu.cu Resumen En el presene rabajo se desarrolla un méodo que perme obener el modelo geomérco de un dene de engranaje exeror, reco y de perfl evolvene. El méodo consse en susur la zona evolvene del flanco del dene y la zona de redondeo rocodal del pe del dene por aos de cunferenca. El msmo ene un enfoque general, permendo modelar ruedas corregdas y con cualquer número de denes, por lo que es aplcable en ssemas CAD que requeran obener esos modelos con elevada precsón. Palabras claves: Modelacón geomérca, engranajes, rocode. Absrac A mehod ha allows obanng he geomerc model of a spur gear ooh wh nvolue profle s developed n hs work. The mehod consss on subsung he nvolue flank and rochodal flle of he gear ooh by cular as. Ths s a general mehod ha allows o model gears wh modfed addendum and wh any number of eeh. I can be used n CAD sysems ha requre accurae models. Key words: Geomercal modelng, gears, rochodal flle. Inroduccón Son pocos los ssemas CAD que permen la modelacón geomérca de los denes de engranaje de perfl evolvene, y los que lo hacen, como es caso del Mechancal Deskop Power Pack de Auodesk, susuyen las curvas que forman el perfl del dene por segmenos recos. La ulzacón de ese méodo, aunque puede ser el más sencllo, rae como consecuencas que, para susur con elevada precsón el perfl del dene se necese un gran número de segmenos recos y de punos; por ora pare los fenómenos relaconados con el conaco de los denes pueden sufrr rregulardades aprecables. No cabe dudas de que, s las curvas que forman el perfl del dene son susudas por aos de cunferenca, se obene un modelo de mayor caldad. En prmer lugar puede dsmnurse consderablemene la candad de aos a ulzar en relacón con los segmenos recos, obenéndose precsones smlares e ncluso mayores. En segundo lugar el conaco de los denes segurá sendo enre curvas suaves muy próxmas a la realdad. A parr de esas consderacones se decde emprender el rabajo que se desarrolla a connuacón, con el objevo de obener un méodo que perma susur las curvas que forman el perfl del dene por aos de cunferenca. Revsa Cenca e Ingenería. Vol. 4 No.. 003

2 0 Coaquspe y col. Caracerzacón de las curvas que forman el perfl del dene Sobre la curva evolvene que forma el flanco de un dene de engranaje exse ampla nformacón. Práccamene en odos los exos que raan la geomería y cnemáca de los engranajes evolvenes se descrben las caraceríscas de esa curva. Sn embrago, la curva que defne la zona de redondeo del pe del dene es mucho menos raada en la leraura especalzada, el nombre que comúnmene recbe esa curva es rocode. En la Fg. se pueden aprecar las zonas evolvenes y rocodal de un dene, en la msma puede observarse que la zona rocodal va dsmnuyendo a medda que aumene el número de denes de la rueda. x = facor de correccón de la rueda αc = ángulo de nclnacón del dene de la herramena Z = número de denes de la rueda Evolvene Trocode Evolvene Trocode Z=5 Z=5 Z=50 Fg.. Zonas evolvene y rocodal para dferenes números de denes La zona evolvene del perfl es generada por la pare reca de la herramena, menras que la rocode es generada por el rado de redondeo de la puna del dene de la msma. En la Fg. -a aparece represenada la mad de un dene, omando como eje de smería la línea vercal (eje Y, ambén se ha dbujado una seccón de la herramena generadora del perfl correspondene a esa poscón. La herramena ha sdo desplazada una dsanca s en relacón con su poscón normal, es decr, se esá represenando una rueda corregda que es el caso más general. En la Fg. -b se ha represenado la obencón de la rocode y la poscón de ésa y de la evolvene. Tomando como referenca esa fgura puede observarse que el puno de nco de la evolvene sobre el rado básco ro se defne a parr del ángulo β, el cual puede deermnarse, conocendo el espesor del dene So por esa cunferenca, medane la sguene expresón: So β = ( ro El espesor del dene por la cunferenca básca se deermna como: π x g( αc So = ro nv( αc ( Z Fg.. a Poscón relava enre el dene y la herramena b Ubcacón de la rocode y de la evolvene La deermnacón de la rocode es un problema un poco más complejo que la conocda evolvene. Como se menconó anes esa curva es generada por el rado de redondeo de la puna del dene de la herramena, pero el puno generador, es decr, el puno de conaco enre la herramena y la rueda varía en dependenca de la poscón relava enre ellas. Sn embargo dcho puno, por perenecer al ao de redondeo, se enconrará sempre a la msma dsanca del cenro A (ver Fg. -b. Eso sgnfca que el puno generador formará una curva equdsane o paralela con respeco a la rayecora del cenro A, sendo la separacón enre esas curvas gual a. Por ano, el nerés se cenrará prmeramene en deermnar la rayecora del puno A, resulando necesaro analzar el movmeno relavo enre la rueda y la herramena. Revsa Cenca e Ingenería. Vol. 4 No.. 003

3 Procedmenos maemácos para la modelacón... La cunferenca de paso del engranaje, con rado rp, rueda sempre sn deslzameno por encma de una línea de dvsón de la herramena, en la Fg. -a esa es la línea defnda por los punos P y A. Como el puno A perenece a la herramena, enonces esá rígdamene undo a la línea anes menconada y su rayecora descrbe, consderando fja la cunferenca de paso, una evolvene alargada. El orgen de esa curva se oma comúnmene cuando el puno A concde con el puno de angenca de la reca y de la cunferenca de paso, poscón represenada en la Fg. -b. El ángulo γ, que deermna el puno de nco de la evolvene alargada, debe encerrar en la cunferenca de paso un ao de longud gual al segmeno PA ', sendo enonces: d = AA' = he s (9 s = x m (0 S la rocode forma una curva paralela a la evolvene alargada a una dsanca, enonces su ecuacón paramérca puede obenerse a parr de (8 como: PA' γ = (3 rp PA' = (he.g( αc (4 cos( αc l = mad del espaco enre denes de la herramena por la línea de referenca he = alura de la cabeza del dene de la herramena En el ssema de módulo las magnudes l, he y se deermnan de la sguene forma: π l = m (5 4 ( f c m he = (6 = fr m (7 m = módulo de la herramena (mm f = facor de alura del dene (comúnmene f= c = facor de holgura radal (comúnmene c=0.5 fr = facor del rado de redondeo (comúnmene fr=0.4 La ecuacón paramérca (omando como parámero el ángulo ϕ de la evolvene alargada se escrbe normalmene para la poscón que se muesra en la Fg. 3-a: y = rp d sen ( ϕ rp ϕ sen( ϕ ( ϕ rp ϕ cos( ϕ x = rp d cos φ = ángulo enre el rado rp, perpendcular a la reca generarz, con el eje x d = dsanca del puno a la reca generarz (8 x = x y = y Pueso que : Fg. 3. a Evolvene alargada y rocode b Evolvene común y& y& y& dx = = d sen( ϕ rp ϕ cos( ϕ d dy y& = = d cos( ϕ rp ϕ sen( ϕ d ( ( Revsa Cenca e Ingenería. Vol. 4 No.. 003

4 Coaquspe y col. Susuyendo las ecuacones (8 y ( en (, y reducendo érmnos semejanes se obenen fnalmene las ecuacones paramércas (3 de la rocode. La ecuacón paramérca (omando como parámero el ángulo ϕ e de la evolvene común se escrbe normalmene para la poscón que se muesra en la Fg. 3-b, omando la forma que se refleja en la ecuacón (4. x = rp d d y = rp d x = ro cos y = ro sen d d ( rp ϕ d ( rp ϕ ( rp ϕ rp ϕ sen ( rp ϕ cos rp ϕ cos ( ϕ ( ϕ sen ( ϕe ro ϕe sen( ϕe ( ϕ e ro ϕ e cos( ϕ e ( γ β y sen( γ β ( γ β y cos( γ β ( ϕ ( ϕ (3 (4 φ e = ángulo que forma el rado ro = perpendcular a la reca generarz, con eje X Para que la evolvene y la rocode dada por las ecuacones (3 manengan la msma poscón relava que la mosrada en la Fg. -b, resula necesaro grar el ssema de coordenadas de la Fg. 3-b un ángulo gual a (γ - β. Luego las ecuacones de la evolvene se obenen ransformando las expresones (4 como sgue: xe = x cos ye = x sen xe = ro ro sen ye = ro ro sen [ cos( γ β sen( γ β ϕe] cos( ϕe [ ( γ β cos( γ β ϕe] sen( ϕe [ cos( γ β sen( γ β ϕe] sen( ϕe [ ( γ β cos( γ β ϕ ] cos( ϕ e e (5 (6 3 Deermnacón del puno de nerseccón enre la evolvene y la rocode Una vez obendas las ecuacones de la evolvene (6 y de la rocode (3, con respeco a un msmo ssema de referenca, puede deermnarse el puno de nerseccón de ambas curvas (ver puno Q Fg. -b, lo cual es de gran mporanca para esablecer los límes del perfl del dene. La condcón que deermna el puno de nerseccón esá dada por: x e = x (7 y = (8 ϕ e = e y Las gualdades (7 y (8 forman un ssema de ecuacones no lneales con dos ncógnas, que son ϕ e y ϕ. S se elevan al cuadrado ambos membros en ambas ecuacones y luego se suman, se obene ϕ e en funcón de ϕ : rp d d ro ( rp ϕ d ( rp ϕ ( rp ϕ Susuyendo x de (3 y x e de (6 en (7 se obene: ( ϕ E sen( ϕ T cos( ϕ T sen( ϕ 0 (9 E cos e e = (0 E = ro [ cos( γ β sen( γ β ϕe ] ( [ sen( γ β ( γ β ϕe E = ro cos ] ( T = rp d ( (3 d rp ϕ T = rp ϕ (4 d ( rp ϕ La solucón de la ecuacón (0, luego de susur ϕ e por (9, perme obener el valor de ϕ correspondene al puno de nerseccón o fnal de la rocode ( ϕ f. Para soluconar la ecuacón (0 resula evdene que debe aplcarse algún méodo numérco, lo cual no se aborda en ese rabajo. f El valor calculado ϕ se susuye en (9 y se obene el valor de ϕ e para el msmo puno de nerseccón o nco de la evolvene ( ϕ e. De esa manera quedan deermnados los valores exremos de los parámeros ϕ e y ϕ, es decr, los valores que defnen los punos de nco y fn de las curvas evolvene y rocode que forman el perfl del dene. Para el caso de la zona formada por la rocode el parámero ϕ varía desde cero ( ϕ = 0, puno sobre el rado f de fondo r hasa el valor calculado ϕ. Para la zona evolvene el parámero ϕ e varía desde el valor calculado ϕ e hasa el valor correspondene al puno sobre el rado exeror re, el cual se deermna por: Revsa Cenca e Ingenería. Vol. 4 No.. 003

5 Procedmenos maemácos para la modelacón... 3 f re ϕ e = (5 ro 4 Susucón de las curvas orgnales por aos de cunferenca El procedmeno para la susucón de ambas curvas es smlar. El rango de valores del parámero, deermnado por los punos de nco y fn de la curva correspondene, se dvde en n nervalos de gual magnud ( ϕ, quedando defndos n punos sobre dcha curva, lo que se expresa de la sguene forma: f ϕ ϕ ϕ = (6 n y k = y ( ϕ ( k ϕ ϕ ( k ϕ x k = x k =,...,n (7 ( ϕ = ángulo de nco de la curva correspondene f ϕ = ángulo fnal de la curva correspondene x k, y k = coordenadas del puno k sobre la curva Los aos de cunferenca se razan para cada pareja de punos conguos, eso sgnfca que el número de aos será gual al número de nervalos (n. Cada ao deberá cumplr la condcón de angenca en el puno de unón con el ao aneror, de manera que se manenga la suavdad de la curva que forma el perfl del dene. cenro, enre oros. Tomando como base esa fgura se deduce que: ( x x ( y y lk = k k k k (8 y ξ = k yk k ag xk xk (9 lk Rc k cos( ψ k ξ k (30 ( ψk ψ xck = xk Rck cos yck = yk Rck sen( k (3 yc ψ = k yk k ag (3 xck xk lk = longud del segmeno que une los punos k y k ξk = ángulo del segmeno lk con respeco al eje X Rck = rado de curvaura enre los punos k y k xck, yck = coordenadas del cenro de rado de curvaura k ψk = ángulo del segmeno que une el segundo puno del ao k y su cenro, respeco al eje X Para el prmer nervalo (prmer ao el ángulo ψ debe deermnarse según el po de curva, y esá dado por la unón del prmer puno con el cenro del rado de curvaura de ése. Para el caso de la rocode el rado de curvaura en el prmer puno concde con el eje X (ver Fg.3-a, por ano: ψ = 0 (33 Para la evolvene el rado de curvaura es sempre angene a la cunferenca básca, es decr que concde con la reca generarz. A parr de la Fg. 3-b, enendo en cuena el gro que debe darse a ese ssema como ya se explcó, se obene: π ψ = ϕ e γ β (34 5 Conclusones y recomendacones Fg. 4. Enorno a la susucón de una curva por aos de cunferenca En la Fg. 4 se observa una curva arbrara donde se represenan los parámeros que nervenen en la obencón del rado del ao susuo y de las coordenadas de su El méodo presenado en ese rabajo perme conocer un poco más sobre la verdadera geomería de los denes de engranajes evolvenes que se obenen por generacón, sobre odo en lo relaconado con la curva de redondeo en la zona del pe del dene, denomnada rocode. El enfoque general de la solucón propuesa, aplcable Revsa Cenca e Ingenería. Vol. 4 No.. 003

6 4 Coaquspe y col. para ruedas con cualquer número de denes y desplazameno de la herramena, perme conar con un méodo precso para la modelacón de esos elemenos, el cual garanza que durane el análss del conaco de los denes no se comean errores sgnfcavos. Se recomenda que para la mplemenacón del méodo se analce la posbldad de obener una ecuacón de regresón más senclla, a parr de la solucón numérca de la ecuacón no lneal abordada en el rabajo. Referencas hp:// df, Geomery of he Involue Gear Tooh, Appendx B. Baránov GG, 988, Curso de la eoría de mecansmos y máqunas, Edcones MIR, Moscú. Moya JL, 988, Proyeco de curso eoría de mecansmos y máqunas, UCLV. Rekorys K, 968, Prehled uzé maemaky, Praha. Revsa Cenca e Ingenería. Vol. 4 No.. 003