Análisis e implementación secuencial y paralela de un algoritmo iterativo para resolución de grandes sistemas lineales

Transcripción

1 Unversdad de Buenos Ares Faculad de Cencas Exacas y Naurales Deparameno de Compuacón Tess de Lcencaura Análss e mplemenacón secuencal y paralela de un algormo eravo para resolucón de grandes ssemas lneales Drecor Dr. Hugo Scoln Alumnos Eseban Franquero eaf@dc.uba.ar Xmena Psan xpsan@dc.uba.ar

2 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Absrac En ese rabajo se esuda e mplemena un algormo eravo para resolucón de grandes ssemas lneales denomnado AcCm ([]), que es una alernava acelerada a los méodos PPAM. Con ese nuevo méodo se obuveron buenos resulados en la mayoría de los casos sn necesdad de precondconameno prevo de los ssemas, ncluso para aquellos consderados dfícles como los de Bramley y Sameh ([4]). Para oros problemas cuyos resulados aún presenaban dfculades de convergenca, se esudó el uso de precondconadores y de una nueva esraega de descomposcón en bloques que rabaja en conjuno con el algormo. Organzacón En la prmera seccón presenaremos una breve nroduccón eórca a los méodos eravos de resolucón de ssemas de ecuacones lneales conssenes. Nos enfocaremos en los méodos de proyeccones y aquellas varanes relevanes al rabajo que realzamos. En las sguenes res seccones se presena el rabajo desarrollado explcando, para cada versón, los dealles relevanes y las dfculades enconradas durane la mplemenacón, el análss de coso, las decsones omadas, los resulados obendos y los problemas numércos que fueron marcando varos de los pasos a segur. Tambén se mosrarán comparacones de efcenca y precsón conra oro solver eravo para ssemas lneales que es comúnmene usado hoy en día. Fnalmene, en los apéndces presenaremos el pseudo-códgo compleo de los algormos, dealles de las ejecucones de los resulados que presenamos, una breve descrpcón de los problemas con los que rabajamos y por úlmo los formaos conocdos ulzados para almacenar las marces ralas con el objevo de dsmnur el consumo de memora.

3 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Agradecmenos A Hugo, por ser un excelene drecor de ess, sempre dspueso a llevar odo ese rabajo adelane y a dedcarnos empo a pesar de no enerlo. A las chcas de La Plaa, Nelly y Maré, por su consane ayuda, buena predsposcón y pacenca. Son genales! A la gene de SIDERCA, por darnos un enorno de aplcacón para nuesro rabajo. Xmena y Eseban A Eseban, por ser ambén un gran compañero de ess. A m mamá, que me apoyó y alenó sempre en esa carrera. No engo palabras sufcenes para agradecerle. A ms hermanos Bruno, Federco y Julea, porque es buenísmo enerlos. A m abuela Malu, que sempre fue y es una mporane compañía. A m papá y a m abuela Tan, porque nunca dejaron de esar conmgo. A la UBA y a los docenes de esa carrera, por la educacón que brndan. Y a odos los maesros, ayudanes y profesores que me enseñaron, movaron e nspraron durane m formacón. En especal a Gracela, Pedro, Joaquín y Hugo. Xmena A ms padres, porque gracas a ellos esoy donde esoy. Al reso de m famla por bancarme durane odos esos años. A la UBA por la educacón que me do. A odos los docenes del DC, porque ambén gracas a su esfuerzo llegué hasa acá. A odos ms amgos de la faculad, que hceron que eso sea más neresane. A Juan Sanos y Julo Jacobo, para que no me desaprueben el fnal que me queda :) A Spawn, Gaoso y a la Rana, por quedarse conmgo menras esudaba o rabajaba a la noche. A Xmena, no es necesaro decr por qué... Gracas... oales!! Eseban 3

4 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Indce Inroduccón 7 Teoría básca 9 Méodos de proyeccones 9 Eleccón de la combnacón lneal 9 Eleccón de la longud del paso Méodos de proyeccones por bloques Forma general de los méodos de proyeccones por bloques Eleccón de la combnacón lneal Méodos de proyeccones agregadas (PAM) Méodos de proyeccones paralelas (PPAM) 3 Méodo para la eleccón de los pesos en PPAM 3 Sucesón ópma 4 Aceleracón 5 Sucesón ópma 6 Convergenca global 6 Descomposcón en bloques 7 Implemenacón de AcCm para marces densas 9 Dealles de Implemenacón 9 Análss de coso 9 Coso emporal 9 Coso espacal Creros de parada Opcones de complacón Paralelzacón Lbrerías 4 Implemenacón de AcCm para marces ralas 7 Dealles de mplemenacón 7 Marces ralas smércas 8 Análss de coso 8 Coso emporal 8 Coso espacal 9 4

5 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Análss de convergenca 9 Precondconameno 36 Balanceo 36 Precondconameno dagonal 37 Resulados obendos 37 Comparacón con oros solvers 39 Descomposcón en bloques 4 Algormo de descomposcón 4 Dealles de mplemenacón 4 Análss de coso 4 Algormos de resolucón 43 Dealles de mplemenacón 43 Análss de coso 43 Resulados 45 ALG vs. ALG 45 Varacones de µ 46 Ssemas mal condconados 47 Conclusones 49 Trabajo Fuuro 5 Apéndces 5 Formaos de almacenameno de marces ralas 5 Indce de flas y columnas 5 Compressed Sparse Row (CSR) 5 Compressed Sparse Column (CSC) 5 Marces smércas 5 Formao de almacenameno en dsco 5 Descrpcón de los problemas 5 Ssemas H n 53 Bramley & Sameh 53 SIDERCA 53 Algormos 55 Algormo AcCm 55 Algormo ALG 56 Algormo ALG 57 Algormo de descomposcón en bloques 58 5

6 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Reproduccón de pruebas 59 Ejecuables dsponbles en el CD 59 AcCm 59 AcCmMT 59 AcCmSP 59 Ulzacón de precondconadores 6 Referencas 6 6

7 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Inroduccón L os méodos drecos para resolver ssemas de ecuacones lneales son muy ulzados debdo a que por lo general obenen muy buenos resulados en érmnos de precsón y velocdad. El problema es que a medda que el amaño de los ssemas aumena, ambén lo hace el espaco de memora requerdo para facorzar la marz. Los méodos eravos, por el conraro, al no facorzar el ssema y por lo ano no ulzar ana memora, son la únca alernava para ssemas de grandes dmensones. Esos ambén son una buena opcón cuando se necesa consegur una rápda aproxmacón a la solucón de ssemas más pequeños, permendo obenerla en menor candad de operacones que las que puede requerr complear la resolucón del ssema medane méodos drecos, en cuyos casos el resulado recén esá dsponble al fnalzar el procedmeno. Enre los méodos eravos más usados para ssemas no smércos se encuenran los basados en subespacos de Krylov como GMRES ([6]) y B-CGSTAB ([7]). Un subespaco de Krylov es aquel generado por los vecores b, Ab, A b,, A n b, donde A es una marz de dmensón n n. En la prácca B-CGSTAB es más úl porque sus requermenos de memora no crecen con el número de eracones, pero aunque esos algormos son muy rápdos y efcenes, no sempre convergen. Por ejemplo, cualquer combnacón de algormo y precondconador dsponble en SPARSKIT ([8]) falla en al menos dos de los ses problemas de Bramley y Sameh ([3], en el apéndce de problemas hay una descrpcón de esos y oros casos de prueba ulzados en ese rabajo). En el caso de GMRES, como la -ésma eracón mnmza el resduo en el subespaco K = b, Ab, K, A b y como K K, el msmo decrece de manera monóona. De + odas formas, a dferenca de los méodos que presenaremos, GMRES no ene una demosracón de convergenca global (pues acoa el resduo, y no la dsanca a la solucón real). En ese rabajo descrbremos res algormos eravos para resolucón de grandes ssemas lneales. Esos algormos, ncalmene presenados en [] y [], se denomnan AcCm, ALG y ALG. Dado que para la mayoría de los ssemas el méodo AcCm muesra una convergenca acelerada, en general no requere del uso de precondconadores. Sn embargo, experencas con el precondconador de Canga-Becer y los ssemas de SIDERCA (ver apéndce de problemas) han demosrado que al aumenar la penalzacón de los msmos no varía el número de eracones requerdas para la convergenca. En una prmera eapa de ese rabajo se mplemena una versón para marces densas. Sobre esa versón se defnen dealles de mplemenacón, se esuda el coso de 7

8 Tess de Lcencaura Franquero, Psan ejecucón, se comprueba el comporameno numérco sobre ceros ssemas, se analza la efcenca lograda con dsnos méodos de complacón y se consderan opmzacones como la ulzacón de funcones BLAS de dferenes lbrerías. Fnalzando esa eapa se mplemena una versón que exploa el paralelsmo nrínseco de ceras operacones de esos méodos y perme comprobar las dferencas de performance. Luego se mplemena una versón para marces ralas que perme resolver ssemas de dmensones mayores, uno de los prncpales objevos de ese po de solvers. En especal en ese puno se empeza a rabajar sobre ssemas exraídos de problemas reales y de mayor complejdad. Para ésos, se presena un análss deallado de convergenca dado que presenan dfculades geomércas y mal condconameno. En vsa de resulados obendos por AcCm con ssemas muy mal condconados, y con el objevo de exender su alcance, poserormene se analza el uso de precondconadores sobre los ssemas y una écnca de parcón en bloques que fue especalmene desarrollada para ese algormo, pero que no había sdo mplemenada para marces ralas. Todas las mplemenacones presenadas fueron escras en el lenguaje de programacón C/C++ y compladas con el complador de Inel. Las pruebas se ejecuaron en una compuadora con dos procesadores Ianum de.5 GHz, GB de RAM y el ssema operavo Lnux con GB de swap fle. 8

9 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Teoría básca Méodos de proyeccones Los méodos de proyeccones para resolver ssemas de ecuacones lneales conssenes + generan una nueva erada x proyecando el puno acual x sobre los hperplanos que conforman el ssema, y luego combnan esas proyeccones para obener una nueva dreccón sobre la que avanzar. Hay dferenes formas de hacer eso. El méodo de Kaczmarz ([9]) proyeca secuencalmene sobre odos los hperplanos hasa que converge. En el méodo de Cmmno ([8]), en cambo, desde el puno se calculan las proyeccones a odos los hperplanos y luego se las combna para generar una nueva dreccón sobre la que esará el puno + x x. En sus formulacones cláscas, la convergenca de esos méodos usualmene es muy lena s los ssemas esán mal condconados. Esa clase de méodos presena dos problemas a resolver. Por un lado cómo deben combnarse las proyeccones para obener una nueva dreccón, y por oro cuáno avanzar sobre esa dreccón. x Méodo de Kaczmarz Méodo de Cmmno x * represena la solucón exaca, y es la proyeccón de x sobre el hperplano, d = y x y d es la combnacón de los d. Eleccón de la combnacón lneal Un enfoque clásco es ulzar una combnacón convexa de las dreccones, elgendo los pesos según las dsancas a los hperplanos. 9

10 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Eleccón de la longud del paso Un vez que se ene una dreccón sobre la cual avanzar, es necesaro calcular la longud del paso sobre la msma. Hay varas formas de hacer eso. A connuacón presenaremos una formulacón que se puede ulzar para ssemas con marz smérca defnda posva para mnmzar a lo largo de cualquer dreccón. En parcular es ulzada por el méodo de gradenes conjugados ([]). n n Para resolver el ssema Ax = b, con A R smérca y defnda posva, se buscan los ceros de la funcón g ( x) = Ax b. Para eso, se defne la funcón f ( x) = x Ax b x al que sus mínmos concden con los ceros de g ( x) (debdo a que f ( x) = Ax b = g( x)). Mnmzando para λ la funcón F( λ ) f ( x + λp), = donde p es una dreccón de descenso (por ejemplo la dreccón obenda medane la combnacón lneal de las proyeccones) y λ es la longud del paso que se quere calcular, se obene: F ( λ) = ( x + λp) A( x + λp) b ( x + λp) = [( x + λp) ( Ax + λap) ] b x λb = = [ x ] Ax x + λ Ap + λp Ax + λ p Ap b x [ x Ax x Ap p Ap] λ + + λ b x λb p Dervando ahora con respeco a λ, se ene: F' ( λ) = x Ap + λp Ap b p Fnalmene, gualando a y despejando: ( ) F' λ = b p x Ap x λ = = p Ap r p = p Ap Donde r = Ax b. Ap b p = p Ap p λb ( x ) A b p ( Ax b) El problema de los méodos asocados a buscar los mínmos de una forma cuadráca en una dreccón es que requeren que la marz p Ap = p p Ap p sea smérca y defnda posva, lo cual lma su aplcacón. Sn embargo, sempre pueden ulzarse para el ssema A Ax = A b, aunque su número de condcón es el cuadrado del orgnal. A

11 Tess de Lcencaura Méodos de proyeccones por bloques m n Dado el ssema Ax = b, con A R, los méodos de proyeccón por bloques consderan una parcón del ssema A en q bloques de la sguene forma: A b A b q = m n A =, b, A R,, M M m = m = Aq b q y la correspondene parcón de b. q m, Eso genera una parcón del conjuno { } q los índces de las flas de n { x R A x b } Ax = b Franquero, Psan,,, m = I I K I, donde conene perenecenes a K A x = b. Se defne S = : = (4) con =, K,q, el conjuno de solucones del -ésmo bloque. La dea básca de esos méodos es que, dado un puno y I, se calcula un nuevo puno más cercano a S para cada =, K, q, y la nueva erada se defne, movéndose a x parr de x con una dreccón que es una combnacón de las dreccones d = y x generadas. Esos méodos enen dos caraceríscas que los hacen aracvos: Las proyeccones sobre cada bloque pueden calcularse en forma paralela, aprovechando las capacdades de mulprocesameno dsponbles. Elgendo los bloques de manera convenene se puede consegur un mejor condconameno en cada uno de ellos, y de esa forma mejorar la caldad numérca de las proyeccones. Los méodos radconales para la consruccón de los bloques son menos cososos, pero las proyeccones que se obenen pueden esar seramene afecadas por el mal condconameno. Forma general de los méodos de proyeccones por bloques Dada una solucón x, para cada =, K, q : En el caso de las proyeccones exacas, se calcula, para cada, la proyeccón de x y : = P ( x ) = arg mn y S { y x } S S Como alernava, para cada se pueden calcular proyeccones aproxmadas y bajo ceras condcones que aseguren convergenca, como por ejemplo: y x < x x

12 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Para asegurar la convergenca a una solucón x se defne d como una combnacón convexa de las proyeccones d = y x, de forma al que d = q = w d, con w y =. q w = Fnalmene, la nueva erada se defne como x + = x + λ d de relajacón al que λ < en esa clase de méodos. < donde λ es un parámero Como puede verse, dos problemas mporanes que se presenan son el cálculo del peso w de la proyeccón sobre cada bloque en la dreccón combnada resulane, y la longud del paso λ sobre la nueva dreccón. Eleccón de la combnacón lneal En el méodo clásco de Cmmno los pesos son consanes. En parcular, elegr cualquer sucesón de pesos { } w con w > para odo,, lleva a un méodo Cmmno paralelo (ver []). Los msmos auores muesran que s algún ε > arbraro, y que s w = + para I q S = converge al puno x*. = ε λ ε, para odo y para =,..., q, enonces la sucesón { x } Méodos de proyeccones agregadas (PAM) Los méodos de proyeccones agregadas (Projeced Aggregaon Mehods, PAM) para resolver ssemas de ecuacones lneales generan una nueva erada hasa un nuevo hperplano + x movéndose H generado medane una combnacón lneal de los hperplanos orgnales, que conene a la dreccón ópma. El paso sobre la dreccón generada se hace mnmzando la dsanca a la solucón. En [][][4] y [5], se nrodujeron esquemas de aceleracón para resolver ssemas de ecuacones e necuacones lneales respecvamene, denro de un conexo PAM. En dchos rabajos, la dea básca es forzar a la sguene erada a perenecer al nuevo hperplano agregado o a la regón convexa defnda por el hperplano separador, calculada en la eracón acual. El algormo AcCm presenado en [] y expueso más adelane, es la base para el cálculo de esas proyeccones. x * x

13 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Méodos de proyeccones agregadas En la fgura puede verse como una mejor eleccón del hperplano agregado produce un mayor acercameno a la solucón. La eleccón de ese hperplano, que depende de los valores de los pesos w, es clave en el rendmeno del méodo ya que serán necesaras menos eracones para lograr la convergenca. En [] se presena un nuevo méodo para elegr en forma ópma los pesos en méodos PAM, que descrbremos más adelane. Méodos de proyeccones paralelas (PPAM) Son varanes de los méodos PAM. En esos méodos las proyeccones se calculan en forma smulánea, aprovechando de esa forma las capacdades de mulprocesameno de las compuadoras (por ejemplo los nuevos procesadores mul-core). En el méodo de Cmmno puede paralelzarse por compleo el cálculo de las proyeccones, debdo a que no hay dependencas enre ellas. El méodo de Kaczmarz por el conraro, no es paralelzable debdo a que es nrínsecamene secuencal. El méodo AcCm perenece a la clase de los PPAM. Méodo para la eleccón de los pesos en PPAM + La erada x es la proyeccón de x sobre el hperplano agregado H n { x R d ( ) ( )} x x = d x x = : * (5), donde d ( x x ) = = n H { ( ) ( )} = x R d x x = d x * x q * w d es una combnacón de los hperplanos : para =,..., q. 3

14 Tess de Lcencaura En [] se presena un méodo para elegr los pesos { combnacón ópma de las dreccones { d } q = w } q que resula de usar Franquero, Psan = de forma al de obener una w q = arg mn x + wd q w R = x * (6). + q De eso se obene el paso eravo x = x + w d sendo w R la solucón al sguene problema cuadráco F q = ( w) = mn{ x x * } + w D ( x x *) w D D w + q w R donde D [ d,..., d ] =. q Para obener la solucón, dervamos respeco a w : F' ( w) = D ( x x *) w = + w D ( ) D D D ( x * x ) D = Como en cada eracón se oman solamene dreccones lnealmene ndependenes, resula que ran( D ) = q q. Por el Lema.() de [] ( ( x * x ) obene la sguene expresón explíca para w, w = ( D ) D d d q (7) d = d ) se,...,. Combnando esos resulados con el méodo PPAM general, se obene el algormo ALG (Algormo.3 de []), que reproducmos en el apéndce. Sucesón ópma La sucesón { x } generada por el méodo ALG sasface x + x * = x x * α * dónde q α * = w d = d (8). = Dado que la combnacón lneal de las dreccones { d } q = usadas en ALG es ópma, se obene que α w d * α =, sendo α = el valor defndo para el méodo PPAM d 4

15 Tess de Lcencaura Franquero, Psan por García-Palomares ([]). De esa manera se demuesra que la sucesón { x } generada por ALG es ópma. Aceleracón Como de x se obene movéndose hasa un hperplano H ya menconada (5), resula que el ncremeno ese hperplano. H, y consderando la defncón x * x se encuenra denro de Debdo a eso, la dea es generar la sguene erada sobre dcho hperplano elegdo de forma ópma en base a los creros ya descrpos en (6) y (7). Una opcón es proyecar la dreccón ópma denoada por d, calculada por ALG sobre el hperplano H. Esa dreccón, d ~ q ~, es = d w P d, con v = x x y P el proyecor orogonal v M = sobre el subespaco orogonal a como ~ + x = x ~~ + λd, donde ( ) range ( M ). De esa forma, la nueva erada se defne ~ λ = arg mn x λ ~ + λd x * (9). Los sguenes resulados (demosrados en []) se ulzan para explcar la convergenca ~ del méodo acelerado que para usa la dreccón d = P d, donde d ~ es la combnacón ópma obenda por ALG. ( ) v La dferenca v = x (C) v ( x * x ) = x sasface las condcones: (C) v = d d, para = Kq Lema S en x,, x x *, se consdera la dreccón ópma d = D w defnda por ALG, y s v sasface las condcones (C) y (C), enonces:. P ( d ) > v P d <. ( ) v d Teorema S ~ + x = x ~~ + λd, con ~ λ defnda en (9), en la eracón, donde ~ d = P ( d ) v, v = x x d ~ defnda según ALG y sasface (C) y (C), enonces ~ + x x * = x x * ~ α, con ~ * α >. α 5

16 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Para consrur el nuevo méodo acelerado se consdera ese úlmo resulado, donde la dreccón usada perenece al subespaco [ P ( d ) KP ( d )] la dsanca enre { ( ) ~ + x = x q } = P v d parendo de x. ~ + d y v x *, se elge v q. Como la dea es mnmzar d ~ Dado que x,, x x *, la sguene erada x la solucón del problema cuadráco w = arg mn q w R ~ { x + D w x * } [ v v q ] q { P v ( d )} = ~ donde D = P ( d ) KP ( d ) ndependenes de (), y como la mejor combnacón de + = x ~ + D es el número de dreccones lnealmene w q, donde w R es. Combnando la nueva forma de calcular la dreccón ópma con el méodo aneror, se obene fnalmene el méodo acelerado ALG que se reproduce en el apéndce. q Sucesón ópma Cualquer sucesón { x } generada por ALG sasface + x x * = x x * ~ α con ~ * α >, lo que demuesra la opmaldad de la msma. α Convergenca global Lo anerormene expueso muesra que la sucesón { x * } x es convergene. Resa, enonces, ver que la sucesón { x } ambén lo es. Para esudar la convergenca de esa sucesón, se ulza la noacón P {, K, q} I =, S (ver (4)), d, la dsanca = ( x C) S P n n euclídea enre x R y el conjuno convexo cerrado C R. Tambén se defne Φ ( x ) = max{ d( x, C )} P Una sucesón { }. x se dce Féjer-monóona con respeco al conjuno C s para algún + x* C, x x * x x * para odo. 6

17 Tess de Lcencaura Teorema Sean C R n conjunos convexos cerrados para odo S la sucesón { x } sasface:. { x } es Féjer-monóona con respeco a C. lm Φ( x ) = Enonces { } x converge a x* C. I Franquero, Psan P, y C = al que C φ. C P Lema Cualquer sucesón { x } generada por ALG o ALG sasface ambos casos del eorema aneror, consderando C =, s x S para odo. S Dado que se asume que el ssema Ax = b ene solucón, y consderando el lema y el eorema aneror, fnalmene se llega a que cualquer sucesón { x } generada por ALG o ALG, converge a una solucón x * de Ax = b. Descomposcón en bloques Ahora presenaremos una descrpcón del méodo de descomposcón en bloques orgnalmene nroducdo en []. Ese méodo perme formar bloques con a lo sumo µ ( A ) κ flas y al que el número de condcón esmado ~ κ ( A ) parámeros del méodo.. Tano µ como κ son Se asume que el ssema orgnal ha sdo normalzado por flas, y se denoa como al j- ésmo vecor canónco y como d al j-ésmo elemeno de la marz dagonal D. Supongamos que se esá generando un bloque de jj A x = b que ya ene j flas del ssema orgnal, con j < µ, y que se conoce la descomposcón de Cholesy de A A = L j D El esmador j L { } j h j. β del número de condcón ( ) τ κ A A se defne como β = δ τ = max d hh y δ = mn { d } j. En [] se demuesra que = hh h= que d para odo h j. hh β = δ, donde e j dado que d = y A Además se defne el bloque A aumenado con al, la l-ésma fla de A, como A ~ =. al 7

18 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Se agregará una nueva fla al -ésmo bloque s y solo s dcha fla no perenece a nngún oro bloque, y el esmador del número de condcón del bloque aumenado no supera κ. De esa forma, para acepar una nueva fla en el -ésmo bloque, y usando que se conoce la descomposcón de Cholesy de A A, se acualza recursvamene la facorzacón de A ~ A ~ y se re-calcula el número de condcón del bloque aumenado ( ) κ ~ κ A ~, enonces se agrega a a A. l A ~. S se cumple que El algormo compleo, que como resulado secundaro calcula los facores de las marces ( ) D D usadas para el cálculo de las dreccones opmzadas de los méodos PAM, se descrbe en el apéndce. 8

19 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Implemenacón de AcCm para marces densas Dealles de Implemenacón El rabajo se ncó con la mplemenacón secuencal del algormo AcCm para marces densas. El pseudo-códgo del algormo mplemenado en esa eapa es el que esá documenado en el apéndce de algormos como AcCm. En esa versón las marces fueron mplemenadas medane un array de puneros a vecor. El proceso de normalzacón se lleva a cabo físcamene sobre los elemenos de la marz durane la fase de ncalzacón y luego se opera sn ransformarla nuevamene. Esa prmera mplemenacón permó ermnar de defnr dealles del algormo como el crero de parada y dealles de cálculos específcos, medr la efcenca lograda medane dferenes opcones de complacón, analzar en forma emprana su comporameno numérco con dsnos ssemas de prueba y ener una base para nvesgar opmzacones y alernavas de paralelzacón. A connuacón presenamos el análss de coso de esa versón y los dsnos emas analzados a parr de esa. Análss de coso Coso emporal Sguendo el pseudo-códgo de AcCm presenado en el apéndce de algormos, se puede calcular que su coso ene un orden de: [ M n] + [ 3( M + n) + 5n + c] + [ ITER( ( M + n) + 9n + c) ] +. Donde M es el coso de recorrer la marz, n su dmensón, ITER es el número de eracones que son ejecuadas anes de lograr la convergenca y c y c consanes. El prmer érmno corresponde al coso requerdo para la normalzacón del ssema, el segundo al de la fase de ncalzacón y el ercero al del proceso eravo. Para smplfcar esa expresón, podemos hacer el sguene cálculo: [ M + n] + [ 3( M + n) + 5n + c] + [ ITER( ( M + n) + 9n + c) ] = 5M + 9n + c + ITER ( M + n + c) 9

20 Tess de Lcencaura Ese coso ene un orden de ( M ITER ( M + n) marz densa es de densas será de n Franquero, Psan O + ). Y dado que el coso de recorrer una, el coso oal de ejecucón de la versón de AcCm para marces ( n + ITER ( n + n ) = O( n ( ITER + ) niter) O + S ben la candad de eracones necesaras depende del condconameno y las caraceríscas geomércas del ssema, la candad de eracones eórcas necesaras para lograr una buena aproxmacón no debería superar la dmensón de la marz, y en muchos casos es consderablemene menor.. Coso espacal En cuano al coso espacal, ese esá deermnado prncpalmene por la necesdad de almacenar una esrucura de elemenos de puno floane. Ese es un coso basane elevado que resrngó la posbldad de correr pruebas sobre ssemas cuyas marces uveran una dmensón mayor a aproxmadamene n 55 55, rabajando con números de puno floane de doble precsón en una compuadora con GB de RAM. Creros de parada < ε. Como crero de parada al proceso eravo, se decdó usar r max(, r ) Es decr, se fnalza la ejecucón cuando el resduo es menor que cero valor o ben ha expermenado una mejora consderable respeco al resduo ncal. Por oro lado, dado que en dsnos casos el valor defndo como épslon para el prmer crero de parada puede resular demasado exgene para un ssema y requermeno de empo específco, se decdó dar la opcón de forzar la ermnacón a un máxmo permdo de eracones que ambén es defndo como parámero del programa. Fnalmene, se decdó agregar oro crero que conempla el caso en el que por un número deermnado de eracones el resduo no dsmnuya de forma sgnfcava. Ese úlmo se nrodujo en respuesa al análss de convergenca que se presenará más adelane. Los valores de ε de cada crero de fnalzacón, el máxmo número de eracones permdas, y la oleranca en la candad de eracones que producen un esancameno en la evolucón del resduo son valores que pueden ser defndos paramércamene al momeno de la ejecucón del solver. Esos valores, s ben pueden modfcar el resulado fnal obendo debdo al número de eracón en el que producen el resulado, no modfcan en nngún caso la convergenca de los ssemas.

21 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Opcones de complacón Se evaluaron dsnas écncas de complacón a fn de selecconar aquella que resule más efcene para ese programa en parcular. Las opcones consderadas fueron las sguenes: Complacón sn opmzacones. Produce un programa oalmene secuencal y sn opmzacones por pare del complador. Fue consderada solamene a fn de esablecer una base conra la cual puedan compararse las oras opcones. Complacón opmzada. Produce un programa secuencal con opmzacones por pare del complador, ncluyendo sofware ppelnng, que es una écnca de opmzacón de cclos dsponble en la arquecura Ianum. Complacón opmzada ulzando drecvas OpenMP. El códgo del programa cuena con drecvas para el complador de forma que ese agregue a sus opmzacones normales el uso de hreads en aquellas seccones donde el programador ndca la exsenca de paralelsmo. Para ese caso ambén se evaluó la efcenca obenda varando el número de hreads que se crean a fn de ejecuar las seccones paralelas, pero eso no produjo dferencas sgnfcavas. Complacón opmzada ulzando drecvas OpenMP y la opcón profle guded opmzaon (PGO). Al caso aneror se le suma una segunda eapa de complacón. En la prmera eapa el programa es complado y luego ejecuado una candad de veces a fn de generar archvos que defnen un perfl de ejecucón que es ulzado en la segunda eapa de complacón. Cada uno de esos programas fue ejecuado sobre ssemas H n (descrpos en el apéndce de problemas) de dmensón crecene a fn de obener una esadísca sobre la efcenca de cada écnca. El sguene gráfco lusra esos resulados.

22 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Comparacón de empos para dsnos méodos de complacón Secuencal Secuencal opmzada Opmzada + OpenMP Opmzada + OpenMP + PGO 3 Tempo (clocs) Dmensón Nauralmene la mejora obenda por la ejecucón de la versón secuencal con opmzacones con respeco a la versón secuencal sn opmzacones fue sgnfcava. Sn embargo la msma no fue superada por la versón opmzada con OpenMP. Eso lo arbumos a que OpenMP agrega un cero overhead en la ejecucón pero fue efecvamene exploado en pocos fragmenos de códgo, por lo que esa pérdda de efcenca no llegó a compensarse. En la sguene seccón mosraremos que al ulzar programacón paralela explíca sí se obuveron mejoras sgnfcavas en los empos de ejecucón. Por úlmo, no solo no se produjo nnguna mejora al agregarle PGO, sno que los empos fueron mayores. En vsa de esos resulados, en adelane decdmos ulzar complacón secuencal con opmzacones del complador, que es una écnca smple que no requere nngún esfuerzo de programacón y resuló esar enre las dos opcones más efcenes. Paralelzacón En un programa la paralelzacón puede darse a dsnos nveles: Sofware ppelnng. Esa paralelzacón esá a cargo del complador y s ben la ejecucón de esa versón sgue sendo práccamene secuencal, las nsruccones son reordenadas para obener paralelsmo en los cclos. Eso fue consegudo usando las opcones de complacón opmzada. Ulzacón mplíca de hreads. Esa écnca consse en nclur drecvas para el complador en deermnadas líneas del programa en donde la exsenca de

23 Tess de Lcencaura Franquero, Psan paralelsmo podría exploarse. La msma ya fue evaluada en la seccón aneror medane la ulzacón de OpenMP. Ulzacón explíca de hreads. Fnalmene el paralelsmo se puede alcanzar con la creacón y ejecucón explíca de hreads en el programa. Para lograr eso se ulzó la lbrería phreads ([3]) en una nueva versón que fue llamada AcCmMT. En esa versón una candad de hreads son creados al efeco de calcular las proyeccones. De esa forma, ésas se calculan en forma oalmene paralela sobre dsnas seccones de la marz. Dado que rabajamos con una máquna con dos procesadores sngle-core y que el programa es CPU-bound, solo dos hreads son creados para ser ejecuados smuláneamene. Ulzar un número mayor no produjo mejoras en los resulados. El programa obendo ambén fue ejecuado con ssemas esables de dmensón crecene a fn de poder esablecer una comparacón con las versones anerores. En el sguene gráfco se puede observar esa comparacón. Tempos obendos por AcCm secuencal y AcCm mulhreadng 5 45 AcCm AcCmMT 4 35 Tempo (clocs) Dmensón 3

24 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Porcenaje de mejora de AcCm mulhreadng con respeco a AcCm secuencal 5 Porcenaje (%) Dmensón De ambos gráfcos se puede conclur que la gananca obenda con la versón paralela fue sgnfcava y que la msma se ncremena a medda que aumena la dmensón de los ssemas. Lbrerías En un prncpo usamos mplemenacones propas para las funcones de cálculo de normas y produco marz-vecor que defne el algormo. A connuacón mosramos los resulados obendos por versones que mplemenamos a parr de la versón secuencal y paralela ya presenada, pero hacendo uso de funcones BLAS perenecenes a las lbrerías comercales MKL de Inel ([]) y MLIB de HP ([3]). 4

25 Tess de Lcencaura Franquero, Psan 4 Tempos de las versones secuencales de AcCm con uso de funcones de dsnas lbrerías AcCm AcCm + MKL AcCm + MLIB Tempo (clocs) Dmensón Tempos de las versones mulhreadng de AcCm con uso de funcones de dsnas lbrerías AcCmMT AcCmMT + MKL AcCmMT + MLIB 6 Tempo (clocs) Dmensón Comparacón de las versones secuencal y mulhreadng con uso de dferenes lbrerías 4 AcCmMT AcCmMT + MKL AcCmMT + MLIB AcCm AcCm + MKL AcCm + MLIB Tempo (clocs) Dmensón 5

26 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Como se puede ver en los gráfcos, no enconramos mejoras de empo n de precsón hacendo uso de esas lbrerías. Debdo a eso connuamos rabajando con mplemenacones propas de esas funcones. 6

27 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Implemenacón de AcCm para marces ralas El objevo de AcCm y del rabajo presenado es dsponer de un algormo que perma llegar a resolver ssemas de dmensones mucho mayores, por lo que resula mprescndble conar con una mplemenacón de AcCm para marces ralas. Por ese movo, en esa eapa se modfcó compleamene la esrucura nerna con la que rabaja el algormo y por ende oda la mplemenacón. Dealles de mplemenacón En el apéndce de formaos de almacenameno se encuenran explcadas esrucuras ulzadas para ese po de ssemas. En resumen ellas son: Compressed Sparse Column (CSC) Compressed Sparse Rows (CSR) Smérca, que es equvalene en ambos formaos ya que almacena la seccón rangular superor en CSR smérca y rangular nferor en CSC smérca El formao sobre el que se decdó rabajar fue CSC debdo a que en un prncpo no había razones claras para nclnarse especalmene por alguno de los dos y a que es el formao usado en el almacenameno de los ssemas con los que se esaba rabajando. Debdo al cambo en la esrucura de represenacón de los daos, fue necesaro remplemenar las operacones que rabajan sobre esas esrucuras para que sean resuelas en forma efcene. En parcular, se modfcó el parón de accesos a las msmas. Como un ejemplo de eso, en la versón densa, al mulplcar una marz por un vecor se accedía a cada fla y se la mulplcaba por el vecor. En esa versón, el coso de acceder a una fla es muy alo, ya que requere recorrer oda la marz. Es por eso que a medda que se recorre esa marz se opera smuláneamene sobre odas las flas. Como un ejemplo de la dnámca con la que se opera en ese po de operacones, a connuacón se muesra un pseudo-códgo del produco marz-vecor mplemenado. res = zeros(n); for (j = ; j < n; ++j) { for ( = colsr[j]; < colsr[j + ]; ++) { res[rownd[]] = res[rownd[]] + values[] * v[j]; } } Una mplemenacón como esa, que resuelve las dsnas operacones sobre la esrucura de la marz en forma global, dfcula la posbldad de mplemenar fáclmene una versón paralela para marces ralas ya que deja de ser rval obener una dvsón de los daos sobre los que debería rabajar cada hread. Sn embargo permó obener una gananca mayor que la obenda al ejecuar una versón paralela sn elmnar la opcón de 7

28 Tess de Lcencaura Franquero, Psan poder hacerlo medane el uso de nuevas esrucuras u oras solucones de mplemenacón. Marces ralas smércas Esa versón ambén sopora la resolucón de ssemas con marces ralas smércas. Un nconvenene que se presenó con ese po de marces fue que, al momeno de la normalzacón del ssema, cada valor no nulo de la marz es dvddo por la norma de la fla a la que perenece, pero cada valor almacenado físcamene en las msmas, a excepcón de los valores correspondenes a la dagonal, corresponde a dos poscones de la marz perenecenes a dsnas flas. Para resolver ese problema se mplemenaron dos solucones: Creacón de un vecor que conene la norma de cada fla de la marz. De esa forma cada vez que un elemeno ( j) M, es acceddo luego de la normalzacón del ssema, se devuelve el valor correspondene a (, j) que se encuenra almacenado en la marz orgnal, dvddo por la norma correspondene almacenada en ese vecor. Exensón de la marz rala smérca a rala no-smérca. La marz es exendda y luego normalzada como en el caso no-smérco. Esa úlma opcón resuló ser menos efcene que la prmera, por lo que por defeco el solver ulza la opcón de la creacón del vecor de normas. Análss de coso Coso emporal El coso de ejecucón de AcCm para marces densas, que esaba en el orden de ( n + ITER ( n n ) O +, puede ser reducdo al rabajar con marces ralas s se ulzan esrucuras de daos adecuadas. Eso se debe a la candad de elemenos nulos sobre los que no es necesaro operar. Como ya menconamos, el coso de ejecucón del algormo AcCm esá en el orden de M + ITER ( M + n), donde M es el coso de recorrer la marz, n su dmensón e ITER el número de eracones que son ejecuadas anes de lograr la convergenca. Tenendo en cuena las esrucuras ulzadas para el almacenameno de marces ralas presenado en el apéndce de formaos de almacenameno, podemos conclur fáclmene que el coso de recorrerla es de nz + n operacones. 8

29 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Fnalmene, reemplazando M en la fórmula aneror por el coso requerdo para recorrer una marz rala, obendremos que el coso de ejecucón de la versón de AcCm para marces ralas será de O (( nz + n) + ITER (( nz + n) + n) ). Eso úlmo es váldo porque la mplemenacón presenada conserva la propedad de que las operacones que rabajan con la marz rala lo hacen recorrendo la marz la msma candad de veces que era necesaro hacerlo en la mplemenacón de AcCm para marces densas. Coso espacal En cuano al coso espacal, ese camba al cambar la forma en que la marz es almacenada. Menras que solo valores eran requerdos para almacenar una marz densa, valores son requerdos para almacenar una marz rala sguendo las esrucuras defndas en el apéndce de formaos de almacenameno para marces ralas. De esos, solo sgno. nz + n nz n son elemenos de puno floane, y el reso son valores eneros sn En el caso de que la marz rala sea smérca, el espaco puede ser reducdo aún más. Eso es porque aquellos valores fuera de la dagonal, y sus poscones, son almacenados una sola vez. Por ese movo, en ese caso solo se requeren aproxmadamene valores para almacenar la marz y nz + n nz + n valores al normalzarla, enendo en cuena que luego de esa operacón se requere conservar un vecor de normas de sus flas. Análss de convergenca A connuacón se muesran los resulados obendos por la versón de AcCm para marces ralas en los conjunos de ssemas de SIDERCA y B&S (para una descrpcón de los msmos, ver el apéndce de problemas). 9

30 Tess de Lcencaura Nombre Resulados fnales obendos luego de A x N b Ax b x x * n eracones x x * x * Franquero, Psan x x * Tempo (segs) base7p 3, , ,844-5,84-5 6, ,43 base7p3 3,736-3,9394,8578 4,8564-6, ,93 base7p5 5,75-5,9733,597 5,55-7,6-374,684 base7p7 5, ,539,875 5,7355-7, ,6 B&S P 6,349 -,8397-8,94-6, , ,5 B&S P,59-7,43-5 4,5968-4,4498-6, ,77 B&S P3 6, , , , , ,5364 B&S P4,74-7 3, , ,3443-6, ,33 B&S P5 3,5843-8, , , , ,4349 B&S P6 4,7543-8, ,833-5, , ,933 Nombre Resulados fnales obendos luego de 3 eracones A x N b Ax b x x * x x * x * x x * Tempo (segs) base7p,938-4, , , , ,3547 base7p3 8, ,947,7338 5,4343-7,474-84,3664 base7p5, ,698,74 5,9597-7, ,3459 base7p7 3,5-6 9,54,733 5,9577-7,75-84,93 B&S P 6,349 -,8397-8,94-6, ,75-7 9,3589 B&S P,59-7,43-5 4,5968-4,4498-6, ,3764 B&S P3, ,74-4 4, , ,43-4 9,3696 B&S P4,3385 -,37 -,37-4,56-3,665-9,383 B&S P5 3, , , , , ,376 B&S P6 4,7543-8, ,833-5, ,67-6 9,3677 Se puede observar que para el conjuno de ssemas de B&S las solucones alcanzadas son sasfacoras en odos los casos. Sn embargo eso no sucede para el conjuno de ssemas de SIDERCA. Para analzar esos casos se presenan, a connuacón, las sguenes evolucones obendas durane las prmeras 3 eracones de ejecucón del algormo AcCm: la evolucón del resduo A x N b para la marz A normalzada la evolucón del resduo Ax b para la marz A orgnal la evolucón de la dsanca a la solucón exaca x * x, calculada medane un méodo dreco 3

31 Tess de Lcencaura Franquero, Psan A x N b,6e+,4e+,e+,e+ 8,E- 6,E- 4,E-,E-,E Ieracón Ax b,e+,e+ 8,E+ 6,E+ 4,E+,E+,E Ieracón x * x 4,E+ 3,5E+ 3,E+,5E+,E+,5E+,E+ 5,E-,E Ieracón base7p 3

32 Tess de Lcencaura Franquero, Psan A x N b,8e+,6e+,4e+,e+,e+ 8,E- 6,E- 4,E-,E-,E Ieracón Ax b 9,E+ 8,E+ 7,E+ 6,E+ 5,E+ 4,E+ 3,E+,E+,E+,E Ieracón x * x 4,E+ 3,5E+ 3,E+,5E+,E+,5E+,E+ 5,E-,E Ieracón base7p3 3

33 Tess de Lcencaura Franquero, Psan A x N b,8e+,6e+,4e+,e+,e+ 8,E- 6,E- 4,E-,E-,E Ieracón Ax b 9,E+4 8,E+4 7,E+4 6,E+4 5,E+4 4,E+4 3,E+4,E+4,E+4,E Ieracón x * x 4,E+ 3,5E+ 3,E+,5E+,E+,5E+,E+ 5,E-,E Ieracón base7p5 33

34 Tess de Lcencaura Franquero, Psan A x N b,8e+,6e+,4e+,e+,e+ 8,E- 6,E- 4,E-,E-,E Ieracón Ax b 9,E+6 8,E+6 7,E+6 6,E+6 5,E+6 4,E+6 3,E+6,E+6,E+6,E Ieracón x * x 4,E+ 3,5E+ 3,E+,5E+,E+,5E+,E+ 5,E-,E Ieracón base7p7 34

35 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Debdo a los resulados obendos, se realzó en esa eapa un análss sobre aquellos ssemas que presenaron problemas de convergenca. El msmo consse en evaluar los ángulos enre odas las flas de la marz con el objevo de conocer la esrucura geomérca del espaco que generan. El resulado mosró que los ssemas problemácos conenían flas cas paralelas, con lo cual resulan numércamene sngulares. Los resulados obendos se resumen en el sguene cuadro, ulzando un ε = -3. Nombre Flas en las que cos( α ) < ε cos( α ) base7p - base7p3 7-6 base7p5 7 - base7p7 7-4 Los resulados anerores permen observar caraceríscas de convergenca y alcance del algormo AcCm para resolver dsnos pos de problemas. Como se menconó en el apéndce de problemas, el conjuno de ess proporconado por SIDERCA presena una sucesón de ssemas cuyo número de condcón es cada vez mayor a la vez que su geomería menos favorable. Observando las caraceríscas de esos ssemas y las evolucones obendas, se puede ver que cuando el ssema se encuenra ben condconado y su geomería es favorable, como es el caso de base7p, el algormo presena un comporameno deal en el que se pueden observar las sguenes caraceríscas: La convergenca es rápda. S ben connúa mejorando haca el fnal de la evolucón, ya a las 3 eracones se cuena con una buena solucón. La evolucón del resduo con respeco a la marz orgnal esá denro del msmo orden que la evolucón del resduo con respeco a la marz normalzada. Eso ndcaría que con ese po de ssemas se puede ener cera confanza de que la solucón obenda con el ssema normalzado para cera precsón será válda como solucón del ssema orgnal con una precsón de orden smlar. La dsanca de los sucesvos x a la solucón exaca decrece rápdamene acompañando el comporameno que presena la evolucón del resduo Ax b. Esas caraceríscas van desaparecendo a medda que el número de condcón del ssema se ncremena y la geomería se hace menos favorable. Tambén se observa que el resduo decrece rápdamene al prncpo para esancarse luego de cera candad de eracones. S ben la convergenca connúa, el acercameno obendo con cada eracón es cada vez menor. En vsa de ese resulado se decdó agregar a los creros de parada uno que fnalce el proceso eravo cuando la gananca 35

36 Tess de Lcencaura Franquero, Psan obenda luego de una candad paramérca de eracones resule nsufcene como para jusfcar que el msmo connúe. Precondconameno Traando de exender el alcance de ese algormo para los ssemas en los que AcCm no obuvo an buenos resulados, y dado que se concluyó que esa dfculad concdía con el mal condconameno de los msmos, se pasó a analzar la opcón de usar precondconadores para esos casos. A connuacón mosraremos los precondconadores evaluados. Balanceo Ese precondconador ([]) nena obener un balanceo de las magnudes del ssema medane el sguene procedmeno:. Calcular ρ, el mayor rado enre dos elemenos perenecenes a una msma columna de la marz j r, s A { a a } rj sj del ssema, ρ = max max, para a. sj. Escalar el ssema por flas. Para eso se dvde cada fla de la marz A y su rhs correspondene por { } { } max a mn a j j, para a j j j. 3. Escalar el ssema por columnas dvdendo cada columna de A por ( mn{ } mn{ }) j aj a, para a. j 4. Calcular ρ, el mayor rado enre dos elemenos perenecenes a una msma columna de la marz r, s A { a ' a' } rj sj modfcada, ρ = max max, para a '. j 5. En caso que de cumplrse la condcón sj ρ ρ ρ volver al puno, y sno ermnar. Vemos que con ese procedmeno el ssema es modfcado en cada eracón en los pasos y 3. 36

37 Tess de Lcencaura Franquero, Psan En el paso se realza una dvsón por flas que mplca pre-mulplcar ambos lados del ssema por una marz dagonal cuyos valores esán dados por las magnudes por las que se dvde cada fla. Eso produce un ssema A ' x = rhs' equvalene al orgnal. En el paso 3 se realza una dvsón por columnas equvalene a pos-mulplcar la marz del ssema por una marz dagonal cuyos valores esán dados por las magnudes por las que se dvde cada columna. En ese paso no se conserva la equvalenca del ssema, por lo que habrá que hacer cálculos poserores a la resolucón. Se observa enonces que, luego de eracones, se habrá aplcado la sguene sucesón de operacones sobre el ssema orgnal: ( Df... Df Df A Dc Dc... Dc ) x = Df... ( Df A Dc) x = Df rhs Df Df rhs Luego de resolver ese nuevo ssema se deberá recuperar un ssema equvalene al orgnal. Dado que la sguene expresón es válda, Dc ( Dc Dc Dc ) Dc... Dc Dc... Dc Dc = Dc Dc... Dc... Para eso se deberán haber guardado la sucesón de marces dagonales Dc Dc... Dc durane el proceso de balanceo. Eso permrá poder pre-mulplcar la solucón obenda por la nversa de ese produco. Dado que la marz Dc es dagonal y el produco de marces dagonales ambén es dagonal, manener esa sucesón solo requró manener una marz dagonal, la cual es almacenada en un vecor de la dmensón del ssema. Precondconameno dagonal Ese méodo consse en pre-mulplcar ambos lados del ssema por la nversa de la marz D defnda como: d a = a en oro caso Es decr, dvdr cada fla de A y elemeno correspondene de rhs por la nversa del elemeno de la dagonal de dcha fla en caso de que ese no sea nulo. Ese méodo ransforma el ssema orgnal en uno equvalene, con lo que la solucón obenda sobre el nuevo ssema resulará válda para el prmero. Resulados obendos Nnguno de los dos méodos resuló úl para mejorar la convergenca sobre los ssemas que se raaban de resolver en esa eapa. En los casos evaluados la msma no presenó dferencas sgnfcavas hacendo uso de precondconadores. Eso puede verse en los sguenes gráfcos. 37

38 Tess de Lcencaura base7p3 - Evolucón de x * x con el uso de dsnos precondconadores Franquero, Psan 4,E+ 3,5E+ 3,E+ Sn Precondconar Precondconador Dagonal Balanceo,5E+,E+,5E+,E+ 5,E-,E Ieracón base7p5 - Evolucón de x * x con el uso de dsnos precondconadores 4,E+ 3,5E+ Sn precondconar Precondconador Dagonal Balanceo 3,E+,5E+,E+,5E+,E+ 5,E-,E Ieracón base7p7 - Evolucón de x * x con el uso de dsnos precondconadores 4,E+ 3,5E+ 3,E+ Sn Precondconar Precondconador Dagonal Balanceo,5E+,E+,5E+,E+ 5,E-,E Ieracón 38

39 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Más allá de esos resulados, se noó que no es convenene realzar operacones sobre los ssemas para la obencón de oros equvalenes cuando esos son an nesables como los ssemas que esamos raando de resolver, en especal s el méodo requere un raameno poseror a la obencón de la solucón. Por ese movo, en la seccón sguene evaluaremos ora opcón, dferene al uso de ese po de precondconadores. Comparacón con oros solvers Para fnalzar, en esa seccón compararemos la performance en empo y precsón obenda por AcCm con la obenda por el solver eravo para marces ralas GMRES (Generalzed Mnmal RESdual, [4]). Para esa comparacón fueron usados los problemas de B&S ya presenados sn hacer uso de precondconadores. A connuacón se muesran los resulados obendos por ambos algormos. Tempo Solver B&S P B&S P B&S P3 B&S P4 B&S P5 B&S P6 AcCm,584,84366,6736 7,45664,5648,46658 GMRES,578,5,5,5,969, AcCm GMRES P P P3 P4 P5 P6 Precsón obenda Solver B&S P B&S P B&S P3 B&S P4 B&S P5 B&S P6 AcCm 9,68-8,955-5,54-4 6,9-6,5-6 5,733-6 GMRES,67-6 5,64-4,745 -,88 + 3,339-4,467-4 La precsón obenda por AcCm fue mejor en odos los casos, y en los dos problemas en que AcCm no es superado en empo ese logra una solucón de mayor precsón. Por oro lado, es mporane desacar que GMRES no garanza convergenca a la solucón exaca en odo po de marces menras que AcCm s lo hace. 39

40 Tess de Lcencaura Franquero, Psan Descomposcón en bloques Dado que la aplcacón de precondconadores sobre los ssemas más dfícles de SIDERCA no produjo una mejora en las solucones obendas, la sguene alernava a evaluar fueron los méodos de descomposcón en bloques y poseror resolucón del ssema que fueron presenados en la nroduccón eórca. Algormo de descomposcón Como ya se djo en la nroduccón eórca, ese proceso consse en parconar la marz a fn de obener una dvsón en bloques ben condconados que ayuden a obener mejores resulados al hacer las proyeccones. Vale aclarar que la dvsón en bloques que resula de ese proceso puede ser reulzada para resolver dferenes ssemas con la msma marz. A connuacón explcamos algunos dealles relevanes sobre la mplemenacón de ese méodo, cuyo pseudo-códgo mosramos en el apéndce de algormos. Dealles de mplemenacón Para represenar la parcón de una marz, se ulzó una esrucura como la que lusra el sguene gráfco. Esrucura de parcón de una marz de 5 5 en dos bloques blocsr 3 6 blocind El vecor blocsr, cuya dmensón concde con la candad de bloques oal (que en adelane noaremos como q ) más uno, conene en blocsr[] la poscón en la que se comenzan a enumerar las flas del -ésmo bloque en el segundo vecor blocind. Por lo ano ese úlmo, de dmensón n, conene los números de odas la flas de la marz en el orden en que se encuenran repardos en cada bloque. El número de la úlma fla del -ésmo bloque se enconrará en la poscón blocsr[+]-, es decr, un lugar anes de que comencen a numerarse las flas del sguene bloque. Los bloques obendos son armados enendo en cuena el máxmo de flas por bloque ( µ ) y la oleranca para el número de condcón de cada uno (κ ), ambos valores defndos como parámeros. 4