T E S I S UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO PROGRAMA DE MAESTRIA Y DOCTORADO EN INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO PROGRAMA DE MAESTRIA Y DOCTORADO EN INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ANÁLISIS ESTÁTICO DE UNA PLATAFORMA DE SEIS GRADOS DE LIBERTAD T E S I S QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: MAESTRO EN INGENIERIA MECANICA MECANICA APLICADA P R E S E N T A: JORGE DÍAZ VELÁZQUEZ TUTOR: M. I. FRANCISCO CUENCA JIMÉNEZ 27

2 Índce general 1. Generaldades Juscacón Objevo General Meodología Plaaormas espacales Movldad Conguracón cnemáca Grados de lberad Análss Cnemáco Inroduccón Análss de la poscón Marcos de reerenca Trayecora propuesa Poscón angular θ Poscón angular θ Poscón angular θ Poscón angular θ Poscón angular θ Poscón angular θ Análss de la velocdad Velocdad angular θ Velocdad angular θ Velocdad angular θ Velocdad angular θ Velocdad angular θ Velocdad angular θ

3 3. Análss Esáco Inroduccón Fuerza y momeno Análss esáco de la plaaorma Solucón esáca Torque T 4y Fuerza F Fuerza F Fuerza F Fuerza F Momeno M Momeno M Momeno M Momeno M Conclusones 82 Bblograía 84

4 Resumen En esa ess se descrbe la meodología para el análss esáco de una plaaorma de ses grados de lberad, la arquecura del ssema consse en una plaaorma ja de orma rangular unda a una plaaorma móvl de orma hexagonal, el enlace enre ambas se da por medo de ses cadenas cnemácas déncas de res eslabones cada una; a cada lado de la plaaorma ja se une un par de cadenas ormando un manpulador de po paralelo el cual en lo general, presena cera venaja sobre los de po seral por su robusez. El análss del ssema nca con el esudo de la cnemáca nversa; basándonos en el manejo de marces de ransormacón homogénea se deermna la poscón de cada una de las junas de las cadenas para una rayecora denda, poserormene como un prmer paso haca el esudo de la dnámca, se eecúa el análss de velocdad para nalmene pasar al desarrollo del modelo que perme esablecer las ecuacones de equlbro esáco, los resulados obendos en el análss de poscón se oman como dao, para deermnar los valores numércos de la magnud de la uerza resulane y los orques requerdos para manener el equlbro en un puno cualquera de la rayecora elegda. Para odo el análss se presenan los grácos que lusran el comporameno obendo para el ssema propueso.

5 Capíulo 1 Generaldades Ese capíulo presena los aspecos eórcos generales del ema a desarrollar, hacendo énass en los aspecos meodológcos y en el esado del are en el campo de esudo de las plaaormas paralelas. 1.1 Juscacón El esudo, análss y desarrollo de plaaormas paralelas ha sdo de gran nerés para el hombre desde medados de los años sesena, ya que su versaldad, perme una varada gama de aplcacones; a derenca de los manpuladores radconales, en los que exse una sola cadena cnemáca enre la base y el eecor nal, en los ssemas paralelos se ene la venaja que hay un ncremeno de rgdez consderable aunque el área de rabajo sea más reducda, la mayoría de los dseños se basan en el orgnal de Sewar [13] cuya aplcacón más popular es precsamene la de los smuladores de vuelo que requeren de movmenos de precsón sn dejar de lado el conrol de las uerzas que se enen en el ssema. Las plaaormas a ses grados de lberad se han esudado en orma lmada hasa cero puno, pues exsen aplcacones que requeren de movmenos rápdos y precsos en una rayecora prevamene esablecda. En ese rabajo se propone ano una arquecura especíca (g. 1.3) como una rayecora denda; a derenca de algunas plaaormas exsenes que sólo hacen uso de junas roaconales, la propuesa esa ormada por una base ja de po rangular y una plaaorma móvl hexagonal undas por ses cadenas cnemácas déncas en las que se emplean junas de roacón y junas unversales, las cuales son más versáles para eecos de ransmr el movmeno de roacón combnado con la orenacón angular de al manera que se presena el esudo de la poscón geomérca del ssema y el análss esáco del msmo porque es ndspensable conocer las condcones que permen el equlbro del ssema para poder denr bajo que parámeros dnámcos es posble dseñarlo en su oaldad, razón por la que además se ncluye el análss de velocdad como preámbulo al análss dnámco.

6 1. Generaldades Objevo General Desarrollar el modelo maemáco para el análss esáco de una plaaorma paralela de ses grados de lberad. 1.3 Meodología El análss ha sdo dvdo en dos pares para aclar el proceso de cálculo numérco, en prmer érmno se esuda la cnemáca, es decr, se desarrolla el modelo maemáco y se busca la solucón algebraca para la deermnacón de la poscón angular de las junas, poserormene, se desarrolla la solucón numérca como pare de un proceso de vercacón de resulados y se procede al análss de velocdad del ssema; en la segunda pare, se da solucón en orma numérca, al modelo que dene el equlbro esáco del ssema. 1.4 Plaaormas espacales La écnca moderna ha desarrollado ssemas complejos enre cuyos componenes enconramos mecansmos que ncluyen elemenos acuadores y oros dsposvos empleados para proporconar una uerza especíca, ya sea en los elemenos msmos o en las junas. Una plaaorma espacal paralela consse báscamene en un plao (o eecor) móvl que se coneca a una base ja (o sopore) por medo de varas cadenas cnemácas, msmas que son conroladas por acuadores que se acoplan a la base ja. Debdo a la conguracón geomérca y a que la uerza exerna puede ser dsrbuda enre los acuadores, ese po de manpuladores ene una gran capacdad de carga. El dseño de mecansmos smlares denomnados manpuladores paralelos se remona haca el nal de los años 2 cuando James E. Gwnne [6] paenó una plaaorma que se empleaba en las salas de cne para recrear suacones dversas de las películas pues, las buacas se jaban a una base móvl. En 1934 Wllard Pollard Jr.[9] solcó la paene de una máquna para pnar que conssía de un conrol elécrco y un manpulador mecánco, el cuál era en realdad una plaaorma paralela básca y no sería sno hasa el año 1962 cuando Erc Gough y Whehall [5] nvenaron en Inglaerra un máquna unversal para prueba de neumácos; menras que en los Esados Undos, Klaus Cappel [3] se do a la area de abrcar un hexápodo ocaédrco para pruebas de po vbraoro en máqunas, res años después se publcaría el rabajo de Sewar en el que se propone el dseño de una plaaorma a ses grados de lberad que se puede emplear como smulador de vuelo; en el año de 1988 el proesor Raymond Clavel [4] de la École Polyechnque Federale à

7 1. Generaldades 3 Laussane desarrolló la plaaorma dela que es un manpulador de ala velocdad con res grados de lberad y como una varane preseno un erápodo con res movmenos de raslacón y un movmeno roaconal, esa conguracón puede aplcarse a una gran gama de operacones en la ndusra del empaque y la armacéuca, así como en el campo de la medcna. 1.5 Movldad Los ssemas empleados en manuacura a gran escala, aplcacones bomecáncas, vehículos, ec. esán ormados por varos cuerpos que se unen por medo de derenes pos de junas y elemenos de uerza. Las junas son comúnmene empleadas para conrolar la movldad del ssema y resrngr el movmeno a las dreccones deseadas. Los elemenos de uerza son dsposvos que pueden conener enre sus elemenos amorguadores, resores, acuadores, ec.; la combnacón de las junas y los elemenos de uerza perme dseñar ssemas de mulcuerpos capaces de desarrollar dversas areas rayendo como consecuenca un posble ncremeno en el nvel de complejdad para eecos de análss y esudo, de ahí que como pare mporane del dseño de una plaaorma sea necesaro esudar la movldad de sus componenes. En lo general, cualquer ssema mecánco se dseña para operacones especícas esablecdas por su conguracón arquecónca, los componenes de ales ssemas no son lbres de ener un desplazameno arbraro debdo a las resrccones ocasonadas por las junas o elemenos de uerza que los unen; un elemeno de uerza no reduce el número de coordenadas ndependenes necesaras para descrbr la conguracón del ssema, conraro a lo que sucede con las junas que resrngen el movmeno en algunas dreccones. Como se sabe, exsen varos pos de junas, sn embargo, no las descrbremos en su oaldad debdo a que en el presene rabajo se emplea la juna de revolua o roaconal y la juna unversal. La prmera de ellas perme la unón de dos elemenos de una manera al que exse un movmeno de roacón enre uno y oro con respeco a un eje dendo por la geomería de la juna, a cada uno de ales elemenos se les denomna eslabón. Fgura 1.1 Juna de revolucón

8 1. Generaldades 4 La segunda de las unones se conoce ambén como juna cardan en Europa connenal y como juna de Hooke en el Reno Undo, perme la ranserenca de movmeno enre ejes que no son coaxales y es en sí un sencllo mecansmo esérco de cuaro barras, la juna en sí consse de dos junas de revolucón cuyos ejes son orogonales una a oro y es común enconrarla congurada con un elemeno cruzado al como se muesra en la gura 1.2. Fgura 1.2 Juna unversal 1.6 Conguracón cnemáca La gura 1.3 muesra la esrucura cnemáca propuesa la cual consse en un arreglo en paralelo de ses cadenas cnemácas déncas que se dsrbuyen por pares en una base rangular ja y se unen a una base móvl hexagonal ormando así la plaaorma que se esuda en esa ess. Fgura 1.3 Plaaorma propuesa

9 1. Generaldades 5 Consderando que las cadenas son déncas será sucene con descrbr a dealle una de ellas al como se muesra en la gura 1.4. Fgura 1.4 Cadena 1.7 Grados de lberad Los grados de lberad (GL) del ssema en esudo se deermnan por medo de la órmula sguene [15] en donde se ene que j GL = λ(l j 1 ) + I d (1.1) =1 GL = Grados de lberad de la plaaorma λ = Grados de lberad del ssema de reerenca en el que se analza el mecansmo l = número de eslabones j = número de junas = grados de lberad de la -ésma juna I d = grados de lberad de po pasvo

10 1. Generaldades 6 En nuesro caso se sgue que λ = 6 (Se raa de una mecansmo espacal) l = 2 j = 24 = 36 I d = GL = 6(2 24 1) + 36 = 6 Por lo que la plaaorma que esudaremos es de 6 grados de lberad.

11 Capíulo 2 Análss Cnemáco 2.1 Inroduccón El análss cnemáco se enoca al esudo de la geomería de los eslabones y su movmeno sn consderar las causas que lo orgnan, en ese capíulo se desarrolla el análss de poscón y velocdad de la plaaorma espacal para poserormene realzar el análss esáco empleando las ecuacones de equlbro correspondenes. El prmer paso consse en deermnar las varables que se requeren para generar el desplazameno, así, se esablece la poscón y la orenacón de los eslabones del ssema, enseguda se procede al análss de velocdad, dervando respeco al empo las expresones obendas en el análss de poscón. La plaaorma se puede represenar en orma esquemáca como una cadena cnemáca de eslabones undos por junas, el exremo del prmer eslabón se une a la base ja y el exremo del úlmo eslabón de la cadena se une a la base que conene al eecor nal. La cnemáca nversa se aplca para el análss y el problema se resuelve empleando marces de ransormacón homogéneas y dado que se raa de un arreglo en paralelo, las expresones algebracas ulzadas se generalzan empleando un índce que omará los valores de 1 a 6 para hacer reerenca a la cadena cnemáca correspondene, por úlmo se presenan las grácas que descrben el comporameno de cada una de las cadenas cnemácas y con el propóso de suavzar la rayecora propuesa para la plaaorma, se emplea un polnomo de quno grado.

12 8 2. Análss Cnemáco 2.2 Análss de la poscón Para eecuar el análss de la poscón de un cuerpo rígdo en el espaco, consderamos en prmer lugar, un puno del msmo cuerpo y lo ubcamos con respeco a un ssema de reerenca, la orenacón la evaluamos consderando la roacón de un marco de reerenca adherdo al cuerpo con respeco a oro marco de reerenca; las marces de ransormacón homogénea que se emplean en el análss se denen en la orma sguene: Marces de Traslacón ( ) ( ) ( ) = = = z z y y x x z z z T T T (2.1) En ese caso enemos que T z1 corresponde a la ransormacón lneal en el eje x del ssema de reerenca, T z2 corresponde a la ransormacón lneal en el eje y menras que T z3 se asoca a la ransormacón lneal en el eje coordenado z; en cada caso hemos anoado como varable de la ransormacón un desplazameno lneal que en lo general desgnamos por x, y, z menras que será común que en el desarrollo del rabajo la desgnacón correspondene ambén se asoce a longudes consanes como d j Marces de Roacón ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ = θ θ θ θ θ = θ θ θ θ θ = θ z z z z z z y y y y y z x x x x x z c s s c c s s c c s s c T T T (2.2) Para el caso de la roacón enemos que T z4 nos ndca que hay una ransormacón homogénea con relacón al gro del ssema con respeco al eje x, sendo en lo general el ángulo de gro, θ x ; las ransormacones asocadas a

13 2. Análss Cnemáco 9 los gros con respeco al eje y y al eje z son, respecvamene T z5 y T z1 con los ángulos de gro equeados como θ y y θ z. En odos los casos de roacón se desgnarán los gros con una lera del alabeo grego y es mporane ener presene que las uncones rgonomércas seno y coseno han sdo represenadas como s y c con el propóso de abrevar la escrura de las ecuacones Marcos de reerenca El análss pare de la relacón exsene enre odos los eslabones del ssema con respeco a la base de reerenca nercal (x, y, z ), para ello se crean bases que se adheren a cada eslabón del ssema, ésas, serán llamadas "bases locales" (x j, y j, z j ) y en donde el subíndce j nos ndca el número de base y el subíndce el número de cadena cnemáca. Las marces de raslacón se emplean para descrbr la dsanca enre las bases (ecs. 2.1) y las marces de roacón (ecs. 2.2) son usadas para obener los cambos de dreccón. El uso de las marces homogéneas es ssemáco, es sucene con ordenar el produco de esas, menras se recorre la arquecura de la plaaorma, los producos son agrupados por parejas y se renombran con la lera mayúscula T (por ransormacón) seguda de un subíndce que nos ndca las bases nvolucradas, a manera de ejemplo, presenamos el desarrollo de las marces requerdas para alcanzar la base local 4 a parr de la base nercal. 1. Nos alneamos en dreccón de la cadena cnemáca selecconada, grando un ángulo δ 1 alrededor del eje z para ormar la base local (x 1, y 1, z 1 ), es decr T z6 (δ 1 ). Fgura 2.1 Transormacón 1

14 2. Análss Cnemáco 1 2. Nos desplazamos una dsanca d 2 sobre el eje x 1 para ormar la base local (x 2, y 2, z 2 ) es decr T z1 (d 2 ). Fgura 2.2 Transormacón 2 3. Gramos un ángulo δ 3 alrededor del eje z 2 para ormar la base local (x 3, y 3, z 3 ), eso es T z6 (δ 3 ). Fgura 2.3 Transormacón 3 4. Ahora se gra alrededor del eje y 3 un ángulo θ 4 para ormar la base local (x 4, y 4, z 4 ) hacendo concdr el eje x 4 con la orenacón del eslabón 1, es decr T z5 (θ 4 ). Fgura 2.4 Transormacón 4

15 2. Análss Cnemáco 11 En las guras sguenes se muesra el reso de los componenes de la cadena cnemáca, ndcando cada una de las bases que se esableceron para desarrollar el análss de poscón de la plaaorma. La gura 2.5 muesra el eslabón 1 compleo con las bases que llevan a la ubcacón de la prmera horqulla de la juna unversal, menras que la gura 2.6 nos muesra el eslabón 2 con las bases que conducen el análss de la horqulla del exremo neror. Fgura 2.5 Eslabón 1 con bases locales Fgura 2.6 Eslabón 2 con bases locales

16 2. Análss Cnemáco 12 La gura 2.7 represena al eslabón nal (3) que une la cadena a la plaaorma móvl, menras que en la gura 2.8 se muesra la plaaorma móvl con su base local (x p, y p, z p ). Fgura 2.7 Eslabón 3 con bases locales Fgura 2.8 Plaaorma móvl

17 2. Análss Cnemáco 13 De acuerdo a la base nercal y a las bases móvles, enemos que la ecuacón de lazo vecoral que debemos emplear para el análss de poscón es la sguene: T z6 (δ 1 )T z1 (d 2 )T z6 (δ 3 )T z5 (θ 4 )T z1 (d 5 )T z3 (-d 6 )T z5 (θ 7 )T z4 (θ 8 )T z3 (-d 9 )T z4 (θ 1 ) Hagamos: y enonces: T z5 (θ 11 )T z3 (-d 12 ) = T z1 (x p )T z2 (y p ) T z3 (z p )T z6 (θ)t z4 (ψ)t z6 (φ)t z6 (δ 13 )T z1 (d 14 )T z6 (θ 15 ) T 2 = T z6 (δ 1 )T z1 (d 2 ) T 26 = T z6 (δ 3 )T z5 (θ 4 )T z1 (d 5 )T z3 (-d 6 ) T 69 = T z5 (θ 7 )T z4 (θ 8 )T z3 (-d 9 ) T 912 = T z4 (θ 1 )T z5 (θ 11 )T z3 (-d 12 ) T P = T z1 (x p )T z2 (y p )T z3 (z p )T z6 (θ)t z4 (ψ)t z6 (φ) T P15 = T z6 (δ 13 )T z1 (d 14 )T z6 (θ 15 ) T 2 T 26 T 69 T 912 = T P T P15 (2.3) De esa orma, nuesro problema se reduce a lo sguene: Análss Cnemáco Inverso Dada la poscón y la orenacón de la plaaorma móvl, x p, y p, z p, θ, ψ y φ, hallar los valores θ 4, θ 7, θ 8, θ 1, θ 11 y θ 15 que denen el movmeno de las junas que conorman la plaaorma. Las poscones angulares correspondenes a cada cadena con respeco a la plaaorma dependen de la orenacón y de la rayecora de la msma, los valores para el cálculo numérco son los sguenes: con: δ 11 = 3º δ 31 = 3º δ 131 = 3º δ 12 = 33º δ 32 = 3º δ 132 = 33º δ 13 = 15º δ 33 = 3º δ 133 = 15º δ 14 = 9º δ 34 = 3º δ 134 = 9º δ 15 = 27º δ 35 = 3º δ 135 = 27º δ 16 = 21º δ 36 = 3º δ 136 = 21º

18 2. Análss Cnemáco 14 d 2 =.15 m d 5 =.3 m d 6 =.5 m d 9 =.4 m d 12 =.4 m d 14 =.75 m Trayecora propuesa El movmeno de un cuerpo en el espaco consse de dos pares: Una rayecora lneal o curva en el espaco que sgue un puno del cuerpo (el cenro de gravedad o el eecor nal de un manpulador) y la orenacón angular del cuerpo. Ambas pares deben sasacer condcones de poscón, velocdad y aceleracón ano lneal como angular y ser realzadas en un empo dendo prevamene. A connuacón se desarrolla la rayecora lneal y la rayecora angular que se propone para la plaaorma en uncón del empo. Trayecora Lneal Se dene la curva en el espaco como una reca para el movmeno a segur por un puno del cuerpo. z S p p Q o R y x Fgura 2.9. Reca en el espaco La ecuacón vecoral de poscón se dene a parr de la gura 1: R = Q + S = Q + s u (2.4) donde s es la magnud del vecor S y u es el vecor unaro que dene la orenacón de S. Para denr R en uncón del empo, se requere que la magnud s, cambe con respeco al msmo, es decr: R() = Q + s()u (2.5) Las ecuacones vecorales de velocdad y aceleracón se denen como la prmera y segunda dervada respeco al empo de la ecuacón 2.5: V() = s()u A() = s()u (2.6)

19 2. Análss Cnemáco 15 ya que Q y u no varían respeco al empo, porque esán dendos por punos jos en el espaco. La magnud s() debe sasacer condcones ncales y nales de poscón, velocdad y aceleracón, es decr debe sasacer 6 condcones, según se muesra en la gura 2.1. s d s s Fgura 2.1 Condcones ncales La prmera gráca ndca el cambo del magnud del vecor S, que rá varando de en un empo ncal, a d = S para un empo nal, los valores de empo, y los denmos de manera arbrara. La segunda gráca es la rapdez con que la magnud del vecor S camba respeco al empo. Es decr, es la rapdez con que realza el raslado del puno p a p, para un empo ncal y un empo nal. La ercera gráca es el cambo de la rapdez (aceleracón) con que la magnud del vecor S camba respeco al empo, para un empo ncal y un empo nal.

20 2. Análss Cnemáco 16 Para sasacer las 6 condcones, se empleará un polnomo de quno grado, ya que ese cuena con 6 coecenes a deermnar. De esa manera, se ene: = a + a 1 + a a a a 5 5 = a 1 + 2a 2 + 3a a a 5 4 (2.7) = 2a 2 + 6a a a 5 3 Debdo a que exsen condcones ncales y nales de velocdad y aceleracón, se obenen las dervadas respeco al empo del polnomo de s(). A parr de la gura 2.1, para = = se enen las 3 condcones ncales: al susurlas en las ecs.(2.7) se obene: Smplcando: = = = = (2.8) = = = = a + a 1 () + a 2 () 2 + a 3 () 3 + a 4 () 4 + a 5 () 5 = = a 1 + 2a 2 () + 3a 3 () 2 + 4a 4 () 3 + 5a 5 () 4 = = 2a 2 + 6a 3 () + 12a 4 () 2 + 2a 5 () 3 = a = a 1 = 2a 2 Fnalmene, los 3 prmeros coecenes son: a = a 1 = (2.9) a 2 = A parr de la gura 2.1 y rependo el proceso para = se enen las 3 condcones nales: = d = p p = (2.1) = donde p = (x, y, z ) y p = (x, y, z ), son las coordenadas de los punos ncal y nal de la rayecora respecvamene.

21 2. Análss Cnemáco 17 La magnud de la derenca enre ellos, represena la dsanca d que necesamos recorrer en la línea reca. Al susur las ecs. (2.9) y (2.1) en la ec. (2.7) se obene: p p = a a a 5 5 = 3a a a 5 4 = 6a a a 5 3 el ssema de ecuacones se expresa de la sguene manera: a a a p = p (2.11) al resolver el ssema de la ec. (2.11) se obenen los 3 úlmos coecenes: p p a 3 = 1 3 p p a 4 = 15 (2.12) 4 p p a 5 = 6 5 Susuyendo las ecs.(2.9) y (2.12) en la ec. (2.7): p p = 1 3 p p p 4 p p p = 3 3 p p p 3 p (2.13) p p = 6 3 p p p 2 p Fnalmene se obenen las ecuacones que represenan el cambo de la magnud de la poscón, velocdad y aceleracón en uncón del empo:

22 18 2. Análss Cnemáco + = p p p p p p p p + = p p p p p p p p (2.14) + = p p p p p p p p donde = empo para realzar el movmeno y = empo nal para ermnar el movmeno. Reescrbendo las ecs. (2.5) y (2.6) en uncón de los punos de la reca: R() = Q + s() u = (p ) + s() ( ) p p p p V() = s() u = s() ( ) p p p p (2.15) A() = s() u = s() ( ) p p p p susuyendo las ecs. (2.14) en las ecs. (2.15), se obene nalmene la ecuacón vecoral de poscón, la ecuacón de velocdad y la de aceleracón que debe segur la plaaorma móvl: R() = p (p p ) V() = (p p ) (2.16) A() = (p p )

23 2. Análss Cnemáco 19 Orenacón Angular Para la orenacón se sgue un procedmeno smlar, en el enenddo de que para ese caso, solo se desea pasar de valores ncales a nales, para la poscón, velocdad y aceleracón angular de la plaaorma móvl, ya que no se requere cumplr con una rayecora parcular en el espaco. Eso conducrá a las sguenes ecuacones: β() = β (β β ) = (β β ) (2.17) = (β β ) donde el vecor β = (ψ, θ, ϕ). De la msma manera β = (θ, ψ, ϕ ) y β = (θ, ψ, ϕ ), que se reeren a los valores ncales y nales. Para el ssema bajo esudo se propone que la rayecora del cenro de la plaaorma móvl (x p, y p, z p ), enga como coordenadas ncal y nal, las sguenes: p = (.15,.15, -.25) m y p = (,, -.5) m sendo la orenacón: β = (3º, 3º, ) y β = (,, ) Para nuesro análss omamos un nervalo de empo de un segundo, presenándose enonces, el sguene comporameno de desplazameno, velocdad y aceleracón para el cenro de la plaaorma móvl.

24 2. Análss Cnemáco 2 S HmL Fgura 2.11 Desplazameno del cenro de la plaaorma móvl V HmêsL Fgura 2.12 Velocdad lneal del cenro de la plaaorma móvl A Hmês 2 L Fgura 2.13 Aceleracón lneal del cenro de la plaaorma móvl

25 2. Análss Cnemáco 21 β HºL Fgura 2.14 Orenacón angular del cenro de la plaaorma móvl 5 β H r a d êsl Fgura 2.15 Velocdad angular del cenro de la plaaorma móvl β H r a d ês 2 L Fgura 2.16 Aceleracón angular del cenro de la plaaorma móvl

26 2. Análss Cnemáco Poscón Angular θ 4 Para el cálculo de la poscón angular θ 4 del eslabón morz consderamos la conguracón sguene: Fgura 2.17 Arreglo cnemáco A parr de ella se esablece la ecuacón sguene: R 2 + R 5 + R 6 + R 9 + R 12 R 14 R p = (2.18) de esa expresón, eecuamos el despeje de R 9 : R 9 = (R p + R 14 R 12 ) (R 2 + R 5 + R 6 ) (2.19) para esa ecuacón se ene que las ransormacones homogéneas nos conducen a:

27 2. Análss Cnemáco 23 R 9 = T P T P15 T z3 (d 12 )n T 2 T 26 n (2.2) con: n = [,,,1] T La magnud del vecor R 9 es: d 9 = R 9 = R 9, R 9 d 2 9 = R9, R 9 \, 2 d 9 = (2.21) Consderando que esa expresón es una uncón de la poscón angular de enrada para el ssema, se ene que la solucón algebraca nos conduce a una ecuacón de la orma: A cos θ 4 + B sen θ 4 + C = (2.22) en donde las varables A, B y C son: A = 2(d 2 d 5 cδ 3 + d 6 (z p + d 12 cψ) d 5 (x p c(δ 1 + δ 3 ) + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) + sψ(d 12 d 5 s(δ 1 + δ 3 θ) + d 14 d 6 s(δ 13 + φ)) B = 2(d 5 (z p + d 12 cψ) d 2 d 6 cδ 3 ) + d 6 (x p c(δ 1 + δ 3 )+ d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 )+ d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) + sψ(d 14 d 5 s(δ 13 + φ) d 12 d 6 s(δ 1 + δ 3 θ)) C = d 12 ² + d 14 ² + d 2 ² + d 5 ² + d 6 ² d 9 ² + x p ² + y p ² + z p ² 2d 2 x p cδ 1 + d 14 x p c(δ 13 θ + φ) d 14 d 2 c(δ 13 + δ 1 θ + φ) + d 14 x p c(δ 13 + θ + φ) d 14 d 2 c(δ 13 δ 1 + θ + φ) + 2d 12 z p cψ 2d 2 y p sδ 1 2d 14 cψs(δ 13 + φ)(d 2 s(δ 1 θ) + x p sθ y p cθ) d 14 y p s(δ 13 θ + φ) + d 14 y p s(δ 13 + θ + φ) + 2sψ(d 12 d 2 s(δ 1 θ) + d 12 x p sθ + d 14 z p s(δ 13 + φ) d 12 y p cθ) La solucón a la ecuacón rascendenal se obene al consderar que podemos susur: θ4 2an 2 sen θ 4 = (2.23) 2 θ4 1+ an 2

28 2. Análss Cnemáco 24 y 2 θ4 1 an 2 cos θ = 4 (2.24) 2 θ4 1+ an 2 Lo que nos conduce a: 2 θ4 θ4 1 an 2an 2 2 A + B + 2 C 4 2 θ θ 4 1+ an 1+ an 2 2 = La reduccón algebraca correspondene nos perme obener la ecuacón cuadráca sguene: sendo enonces la solucón: θ + 2 θ ( C A ) an 2B an ( A + C ) = B ± B C + A θ = 4 2 arcan (2.25) C A A connuacón se muesran las grácas del ángulo θ 4 para las cadenas cnemácas cuando la plaaorma recorre la rayecora descra en el aparado aneror, para un empo de un segundo. 3 2 θ 4 H G rado s L θ41 θ Fgura 2.18 Gracas de poscón angular θ 4 de las cadenas 1 y 2

29 2. Análss Cnemáco 25 3 θ 4 H G rado s L θ43 θ Fgura 2.19 Grácas de poscón angular θ 4 de las cadenas 3 y θ 4 H G rado s L θ45 θ Fgura 2.2 Grácas de poscón angular θ 4 de las cadenas 5 y Poscón Angular θ 7 Una vez calculado el valor de θ 4, procedemos a calcular el valor del ángulo θ 7, de acuerdo a la ecuacón (2.3) y a las dencones dadas para las ransormacones homogéneas, la evaluacón se realza consderando que: donde: T 69 = T 26 ¹T 2 ¹T P T P15 T 912 ¹ (2.26)

30 26 2. Análss Cnemáco θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = c c d c c s c s s d s c s c d s c s s c T y T 26 ¹T 2 ¹T P T P15 T 912 ¹ = a a a a a a a a a a a a Se procede a selecconar los elemenos a 14 y a 34 de cada marz debdo a que conenen longudes y ángulos conocdos: a s c d = θ θ a c c d = θ θ Despejando d 9 cθ 8 enemos: s a c d θ = θ c a c d θ = θ Al gualar ambas expresones se esablece que: c a s a θ = θ Así: a 14 cθ 7 = a 34 sθ 7 De esa orma podemos esablecer enonces que: = a a arcan θ (2.27)

31 2. Análss Cnemáco 27 con: a 14 = d 2 cδ 3 cθ 4 + x p c(δ 1 + δ 3 )cθ 4 + d 14 cδ 13 c(δ 1 + δ 3 θ)cθ 4 cφ + y p cθ 4 s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cθ 4 cφcψsδ 13 s(δ 1 + δ 3 θ) d 12 cψsθ 4 z p sθ 4 d 14 c(δ 1 + δ 3 θ) cθ 4 sδ 13 sφ d 5 + d 14 cδ 13 cθ 4 cψs(δ 1 + δ 3 θ)sφ sψ(d 12 cθ 4 s(δ 1 + δ 3 θ) + d 14 sθ 4 s(δ 13 + φ)) a 34 = d 6 + cθ 4 (z p + d 12 cψ + d 14 sψs(δ 13 + φ)) + sθ 4 (d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + x p c(δ 1 + δ 3 ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) d 2 cδ 3 + s(δ 1 + δ 3 θ)(d 14 cψs(δ 13 + φ) d 12 sψ)) Como en el caso aneror, las grácas asocadas a la poscón angular en cada una de las cadenas cnemácas al recorrer la rayecora son las sguenes: θ 7 H G rado s L θ71 θ Fgura 2.21 Grácas de poscón angular θ 7 de las cadenas 1 y 2 7 θ 7 H G rado s L θ74 θ Fgura 2.22 Grácas de poscón angular θ 7 de las cadenas 3 y 4

32 2. Análss Cnemáco 28 θ 7 H G rado s L θ76 θ Fgura 2.23 Grácas de poscón angular θ 7 de las cadenas 5 y Poscón Angular θ 8 Para la deermnacón de la poscón del exremo superor del eslabón 3 (Fgura 2.6) nos basamos de nueva cuena en la ecuacón (2.26) omando ahora en consderacón los elemenos a 24 y a 34 para calcular la varable deseada, que en ese caso es θ 8. Los valores asocados a cada varable son: a 24 = d 9 sθ 8 a 34 = d 9 cθ 7 cθ 8 despejando d 9 en cada ecuacón: gualando se obene: a 34 sθ 8 = a 24 cθ 7 cθ 8 por lo que se esablece:

33 2. Análss Cnemáco 29 (2.28) En ese caso la varable a 34 es conocda y a 24 oma el valor: a 24 = y p c(δ 1 + δ 3 ) + d 2 sδ 3 x p s(δ 1 + δ 3 ) d 14 c(δ 13 + φ)s(δ 1 + δ 3 θ) d 12 sψ + c(δ 1 + δ 3 θ)(d 14 cψs(δ 13 + φ) De esa manera las grácas que muesran la poscón angular θ 8 de odas las cadenas al recorrer la rayecora propuesa se muesran a connuacón: θ 8 H G rado s L θ82 θ Fgura 2.24 Grácas de poscón angular θ 8 de las cadenas 1 y 2 5 θ 8 H G rado s L θ84 θ

34 2. Análss Cnemáco 3 Fgura 2.25 Grácas de poscón angular θ 8 de las cadenas 3 y 4 2 θ 8 H G rado s L θ86 θ Fgura 2.26 Grácas de poscón angular θ 8 de las cadenas 5 y Poscón Angular θ 1 La poscón angular del exremo neror del eslabón 3 (g. 2.6) se deermna despejando T 912 de la ecuacón (2.3), eso es: T 912 = T 69 ¹T 26 ¹T 2 ¹T P T P15 (2.29) Para ese caso la ransormacón T 912 es: T 912 = cθ11 sθ1sθ11 cθ1 sθ11 cθ1 sθ1 sθ11 cθ11 sθ1 cθ11 cθ1 d12sθ11 d 12cθ11 sθ1 d12cθ11 cθ1 1 y T 69 ¹T 26 ¹T 2 ¹T P T P15 = b11 b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33 b14 b 24 b34 1 Para resolver la poscón angular, gualamos los elemenos de la columna 4 en las las 2 y 3 de la marz aneror con los elemenos que le corresponden del lado derecho de la ransormacón T 912, eso es:

35 2. Análss Cnemáco 31 d 12 cθ 11 sθ 1 = b 24 d 12 cθ 11 cθ 1 = b 34 El despeje de d 12 cθ 11 nos conduce a: gualando: b 34 sθ 1 = b 24 cθ 1 por lo que se concluye que b 24 θ 1 = arcan (2.3) b34 sendo las varables b 24 y b 34 las sguenes: b 24 = cθ 8 (d 2 sδ 3 s(δ 1 + δ 3 )(x p + d 14 cθc(δ 13 + φ) d 14 cψsθs(δ 13 + φ))) + c(δ 1 + δ 3 )(cθ 8 (y p + d 14 c(δ 13 + φ)sθ + d 14 cθcψs(δ 13 + φ)) + s(θ 4 + θ 7 )sθ 8 (x p + d 14 cθ c(δ 13 + φ) d 14 cψsθs(δ 13 + φ))) + sθ 8 (d 6 cθ 7 d 5 sθ 7 + sθ 7 + s(θ 4 + θ 7 )(s(δ 1 + δ 3 )(y p + d 14 c(δ 13 + φ)sθ + d 14 cθcψs(δ 13 + φ)) d 2 cδ 3 ) + c(θ 4 + θ 7 )(z p + d 14 s(d 13 + φ)sψ)) b 34 = d 9 + d 6 cθ 7 cθ 8 + z p c(θ 4 + θ 7 )cθ 8 d 5 cθ 8 sθ 7 + y p (cθ 8 s(δ 1 + δ 3 )s(θ 4 + θ 7 ) c(δ 1 + δ 3 )sθ 8 ) d 2 (cδ 3 cθ 8 s(θ 4 + θ 7 ) + sδ 3 sθ 8 ) + x p (c(δ 1 + δ 3 )cθ 8 s(θ 4 + θ 7 ) + s(δ 1 + δ 3 )sθ 8 ) + d 14 sδ 13 ( ((c(δ 1 + δ 3 )cθ 8 s(θ 4 + θ 7 ) + s(δ 1 + δ 3 )sθ 8 )(cφcψsθ + cθsφ)) + (cθ 8 s(δ 1 + δ 3 )s(θ 4 + θ 7 ) c(δ 1 + δ 3 )sθ 8 )(cθcφcψ sθsφ) + c(θ 4 + θ 7 ) cθ 8 cφsψ) + d 14 cδ 13 ((cθ 8 s(δ 1 + δ 3 )s(θ 4 + θ 7 ) c(δ 1 + δ 3 )sθ 8 )(cφsθ + cθcψsφ) + (c(δ 1 + δ 3 )cθ 8 s(θ 4 + θ 7 ) + s(δ 1 + δ 3 )sθ 8 )(cθcφ cψsθsφ) + c(θ 4 + θ 7 )cθ 8 sφsψ) Los grácos que muesran el comporameno del ángulo θ 1 en el eslabón 3 para la rayecora propuesa son los sguenes:

36 2. Análss Cnemáco 32 1 θ11 θ 1 H G rado s L 5-5 θ Fgura 2.27 Grácas de poscón angular θ 1 de las cadenas 1 y 2 θ 1 H G rado s L θ13 θ Fgura 2.28 Grácas de poscón angular θ 1 de las cadenas 3 y 4 θ 1 H G rado s L θ16 θ Fgura 2.29 Grácas de poscón angular θ 1 de las cadenas 5 y 6

37 2. Análss Cnemáco Poscón Angular θ 11 Tano el exremo superor como el neror del eslabón 3 (g. 2.7) presena un comporameno cnemáco que dene la poscón de la plaaorma móvl, para el exremo superor la poscón queda denda por el ángulo de gro θ 11 msmo que puede ser evaluado consderando de nueva cuena la expresón (2.29) y selecconando los elemenos de la columna 4 y los renglones 1 y 3 de al orma que se ene: d 12 sθ 11 = b 14 d 12 cθ 11 cθ 1 = b 34 despejando d 12 : Igualando ambas expresones: de donde enemos que: b 34 sθ 11 = b 14 cθ 1 cθ 11 b 14cθ1 θ11 = arcan (2.31) b34 La varable b 34 se conoce del cálculo aneror por lo que para ese caso se ene que: b 14 = ¼(z p s(θ 4 + θ 7 ) 4d 5 cθ 7 4d 6 sθ 7 c(θ 4 + θ 7 )(x p c(δ 1 + δ 3 ) d 2 cδ 3 + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ) + d 14 sψs(θ 4 + θ 7 )s(δ 13 + φ))) Las grácas del comporameno cnemáco para el ángulo θ 11 de acuerdo a la rayecora propuesa en el aparado se muesran a connuacón.

38 2. Análss Cnemáco θ 1 1 H G rado s L θ112 θ Fgura 2.3 Grácas de poscón angular θ 11 de las cadenas 1 y 2-5 θ 1 1 H G rado s L θ113 θ Fgura 2.31 Grácas de poscón angular θ 11 para las cadenas 3 y 4-5 θ 1 1 H G rado s L θ115 θ Fgura 2.32 Grácas de poscón angular θ 11 para las cadenas 5 y 6

39 2. Análss Cnemáco Poscón Angular θ 15 El úlmo ángulo a calcular θ 15, corresponde a la juna de unón enre el eslabón 3 y el plao móvl, (g. 2.8), en ese caso, la ecuacón de lazo marcal, a parr de la ec. (2.3) es: T P ¹T 2 T 26 T 69 T 912 = T P15 La ransormacón T P ¹T 2 T 26 T 69 T 912 es: T P ¹T 2 T 26 T 69 T 912 = 1 menras que la ransormacón T P15 es: T P15 = (2.32) 1 1 Selecconamos los valores de la columna 1, renglón 1 y 2 para deermnar la varable θ 15, al gualar con el lado zquerdo de la ecuacón se ene que: resolvendo para sθ 15 y cθ 15 se obene: c 11 = c 21 = y sθ 15 = c 21 cδ 13 c 11 sδ 13 cθ 15 = c 11 cδ 13 + c 21 sδ 13 por lo que se concluye que: (2.33) Para ese caso, las varables c 11 y c 21 quedan dendas de la sguene manera: c 11 = (s(δ 1 + δ 3 θ)(cφsθ 11 s(θ 1 + θ 8 )+ cψ(sθ 11 sφc(θ 1 + θ 8 )s(θ 4 + θ 7 ) cθ 11 c(θ 4 + θ 7 )) + cθ 11 cφc(δ 1 + δ 3 θ)c(θ 4 + θ 7 ) sθ 11 cφc(θ 1 + θ 8 )s(θ 4 + θ 7 ) + cψsφs(θ 1 + θ 8 ))) (c(θ 4 + θ 7 )c(θ 1 + θ 8 )sθ 11 + cθ 11 sφsψs(θ 4 + θ 7 )

40 2. Análss Cnemáco 36 c 21 = cθ 11 cθ 4 cθ 7 cφcψsδ 1 sδ 3 sθ + cθ 8 cφcψsθ 1 sθ 11 c(δ 1 + δ 3 θ) cθ 1 cθ 7 cθ 8 cφ cψsδ 1 sδ 3 sθsθ 11 sθ 4 cθ 1 cθ 4 cθ 8 cφcψsδ 1 sδ 3 sθsθ 11 sθ 7 cθ 11 cφcψsδ 1 sδ 3 sθ sθ 4 sθ 7 + ½(cθ 1 c(δ 1 + δ 3 θ φ)sθ 11 sθ 8 ) ½(cθ 1 c(δ 1 + δ 3 θ + φ)sθ 11 sθ 8 ) + c(δ 1 + δ 3 θ)cθ 1 cφcψsθ 11 sθ 8 + cθ 7 cφcψsδ 1 sδ 3 sθsθ 1 sθ 11 sθ 4 sθ 8 + cθ 4 cφ cψsδ 1 sδ 3 sθsθ 1 sθ 11 sθ 7 sθ 8 + cθcθ 11 cθ 4 cθ 7 sδ 1 sδ 3 sφ + cθ 8 s(δ 1 + δ 3 θ)sθ 1 sθ 11 sφ cθcθ 1 cθ 7 cθ 8 sδ 1 sδ 3 sθ 11 sθ 4 sφ cθcθ 1 cθ 4 cθ 8 sδ 1 sδ 3 sθ 11 sθ 7 sφ cθcθ 11 sδ 1 sδ 3 sθ 4 sθ 7 sφ + cθcθ 7 sδ 1 sδ 3 sθ 1 sθ 11 sθ 4 sθ 8 sφ + θcθ 4 sδ 1 sδ 3 sθ 1 sθ 11 sθ 7 sθ 8 sφ + cδ 3 (cθ 11 c(θ 4 + θ 7 ) sθ 11 c(θ 1 + θ 8 )s(θ 4 + θ 7 ))(cφcψ) s(δ 1 θ) sφc(δ 1 θ)) + cδ 1 sδ 3 (cθ 11 c(θ 4 + θ 7 ) c(θ 1 + θ 8 )s(θ 4 + θ 7 )sθ 11 ) (cθcφcψ sθsφ) cφsψ(sθ 11 c(θ 4 + θ 7 )c(θ 1 + θ 8 ) + cθ 11 sθ 4 + θ 7 )) Para ese úlmo caso las grácas correspondenes son: 2 θ 1 5 H G rado s L -2-4 θ152-6 θ Fgura 2.33 Grácas de poscón angular θ 15 de las cadenas 1 y 2 15 θ 1 5 H G rado s L 1 5 θ154 θ Fgura 2.34 Grácas de poscón angular θ 15 de las cadenas 3 y 4

41 2. Análss Cnemáco 37 6 θ 1 5 H G rado s L 4 2 θ156-2 θ Fgura 2.35 Grácas de poscón angular θ 15 de las cadenas 5 y Análss de la velocdad El análss de velocdad pare del supueso de que se conoce por compleo la poscón y la orenacón de cada componene del ssema porque son el resulado del análss de poscón, es mporane porque en el caso de connuar con el esudo hasa la dnámca nos permrá, por ejemplo, calcular la poenca requerda en el ssema para producr y conrolar el movmeno propueso. El análss de velocdad es el sguene paso en el esudo para pasar, de un análss esáco a uno dnámco, y es posble obenerla al dervar la ecuacón de poscón con respeco al empo, en nuesro caso, la velocdad angular para cada una de las junas se obene en orma algebraca consderando la solucón de poscón del aparado aneror. Análss Cnemáco Inverso Dada la velocdad lneal del cenrode de la plaaorma móvl,,, y su velocdad angular,,, hallar la velocdad angular de cada una de las junas, a saber,,,,,, en cada una de las ses cadenas.

42 2. Análss Cnemáco Velocdad Angular Recordemos que nuesra ecuacón de poscón es smplemene: A cθ 4 + B sθ 4 + C = Dervando respeco al empo la ecuacón aneror y smplcando, se obene: Donde: C C C C C C (2.34) C = A sθ 4 B cθ 4 C 1 = 2d 5 c(δ 1 + δ 3 ) C 2 = 2d 5 s(δ 1 + δ 3 ) C 3 = 2d 6 C 4 = 2d 5 (d 14 c(δ 13 + φ)s(δ 1 + δ 3 θ) + c(δ 1 + δ 3 θ)(d 12 sψ d 14 cψs(δ 13 + φ))) C 5 = 2d 14 (d 5 c(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ) + c(δ 13 + φ)(d 6 sψ - d 5 cψs(δ 1 + δ 3 - θ))) C 6 = 2(cψd 12 d 5 s(δ 1 + δ 3 θ) + d 14 d 6 s(δ 13 + φ)) + (d 14 d 5 s(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ) d 12 d 6 )sψ) C 7 = 2d 6 c(δ 1 + δ 3 ) C 8 = 2d 6 s(δ 1 + δ 3 ) C 9 = 2d 5 C 1 = 2d 6 (d 14 c(δ 13 + φ)s(δ 1 + δ 3 θ) + c(δ 1 + δ 3 θ)(d 12 sψ d 14 cψs(δ 13 + φ))) C 11 = 2d 14 (c(δ 13 + φ)(d 6 cψs(δ 1 + δ 3 θ) + d 5 sψ) d 6 c(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) C 12 = 2(cψ(d 12 d 6 s(δ 1 + δ 3 θ) d 14 d 5 s(δ 13 + φ)) + (d 12 d 5 + d 14 d 6 }s(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ))sψ) C 13 = 2(x p d 2 cδ 1 + d 14 cθc(δ 13 + φ) d 14 cψsθs(δ 13 + φ) + d 12 sθsψ) C 14 = 2(y p d 2 sδ 1 + d 14 c(δ 13 + φ)sθ + d 14 cθcψs(δ 13 + φ) d 12 cθsψ) C 15 = 2(z p + d 12 cψ + d 14 s(δ 13 + φ)ψ) C 16 = 2(d 2 c(δ 1 θ) y p sθ)(d 14 cψs(δ 13 + φ) d 12 sψ) + 2cθ(d 14 y p c(δ 13 + φ) d 14 x p cψs(δ 13 + φ) + d 12 x p sψ) 2d 14 c(δ 13 + φ)(d 2 s(δ 1 θ) + x p sθ) C 17 = d 14 (y p c(δ 13 + θ + φ) y p c(δ 13 θ + φ) 2c(δ 13 + φ)cψ(d 2 s(δ 1 θ) + x p sθ y p cθ) x p s(δ 13 θ + φ) + d 2 s(δ 13 + δ 1 θ + φ) x p s(δ 13 + θ + φ) + d 2 s(δ 13 δ 1 + θ + φ) + 2z p c(δ 13 + φ)sψ) C 18 = 2cψ(d 12 d 2 s(δ 1 θ) + d 12 x p sθ + d 14 z p s(δ 13 + φ) d 12 y p cθ) 2d 12 z p sψ + 2d 14 (d 2 s(δ 1 θ) + x p sθ y p cθ)s(δ 13 + φ)sψ C 19 = C 1 cθ 4 + C 7 sθ 4 + C 13 C 2 = C 2 cθ 4 + C 8 sθ 4 + C 14 C 21 = C 3 cθ 4 + C 9 sθ 4 + C 15 C 22 = C 4 cθ 4 + C 1 sθ 4 + C 16 C 23 = C 5 cθ 4 + C 11 sθ 4 + C 17 C 24 = C 6 cθ 4 + C 12 sθ 4 + C 18

43 2. Análss Cnemáco 39 Las grácas que nos muesran la velocdad angular de las derenes cadenas cnemácas durane el recorrdo de la rayecora propuesa son las sguenes: θ 4 H r a d êsl θ Fgura 2.36 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 1 y 2 θ 41 θ 4 H r a d êsl θ 43 θ Fgura 2.37 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 3 y 4 θ 4 H r a d êsl θ 45 θ Fgura 2.38 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 5 y 6

44 2. Análss Cnemáco Velocdad Angular La solucón a la ecuacón de lazo marcal (ec. 2.26) nos lleva a obener para la poscón angular la expresón sguene: a 34 sθ 7 = a 14 cθ 7 De esa orma, al susur las consanes a 14 y a 34 y dervar con respeco al empo se obene, luego de smplcar, la expresón algebraca sguene: Donde: D D D D D D (2.35) D = a 34 cθ 7 + a 14 sθ 7 D 1 = c(δ 1 + δ 3 )cθ 4 D 2 = cθ 4 s(δ 1 + δ 3 ) D 3 = sθ 4 D 4 = cθ 4 (d 14 (δ 13 + φ)s(δ 1 + δ 3 θ) + (cδ 1 + δ 3 θ)(d 12 sψ d 14 cψs(δ 13 + φ))) D 5 = d 14 c(δ 13 + φ)(cψcθ 4 s(δ 1 + δ 3 θ) sψsθ 4 ) d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)cθ 4 s(δ 13 + φ) D 6 = (d 12 sψ - d 14 cψs(δ 13 + φ))sθ 4 cθ 4 s(δ 1 + δ 3 θ)(d 12 cψ + d 14 s(δ 13 + φ)sψ) D 7 = (d 2 cδ 3 x p c(δ 1 + δ 3 ) d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) y p s(δ 1 + δ 3 ) + s(δ 1 + δ 3 θ)(d 12 sψ d 14 cψs(δ 13 + φ)))sθ 4 cθ 4 (z p + d 12 cψ + d 14 s(δ 13 + φ)sψ) D 8 = c(δ 1 + δ 3 )sθ 4 D 9 = s(δ 1 + δ 3 )sθ 4 D 1 = cθ 4 D 11 = (d 14 c(δ 13 + φ)s(δ 1 + δ 3 θ) + c(δ 1 + δ 3 θ)(d 12 sψ d 14 cψs(δ 13 + φ)))sθ 4 D 12 = d 14 (c(δ 13 + φ)(cθ 4 sψ + cψs(δ 1 + δ 3 θ)sθ 4 ) c(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)sθ 4 ) D 13 = cθ 4 (d 14 cψs(δ 13 + φ) d 12 sψ) s(δ 1 + δ 3 θ)(d 12 cψ + d 14 s(δ 13 + φ)sψ)sθ 4 D 14 = cθ 4 (x p c(δ 1 + δ 3 ) d 2 cδ 3 + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + s(δ 1 + δ 3 θ)(d 14 cψs(δ 13 + φ) d 12 sψ)) (z p + d 12 cψ + d 14 s(δ 13 + φ)sψ)sθ 4 D 15 = D 1 cθ 7 D 8 sθ 7 D 16 = D 2 cθ 7 D 9 sθ 7 D 17 = D 3 cθ 7 D 1 sθ 7 D 18 = D 4 cθ 7 D 11 sθ 7 D 19 = D 5 cθ 7 D 12 sθ 7 D 2 = D 6 cθ 7 D 13 sθ 7

45 2. Análss Cnemáco 41 D 21 = D 7 cθ 7 D 14 sθ 7 D 22 = D 15 + (C 19 D 21 )/C D 23 = D 16 + (C 2 D 21 )/C D 24 = D 17 + (C 21 D 21 )/C D 25 = D 18 + (C 22 D 21 )/C D 26 = D 19 + (C 23 D 21 )/C D 27 = D 2 + (C 24 D 21 )/C La velocdad angular 7, de las ses cadenas cnemácas para la rayecora propuesa es la sguene: θ 7 H r a d êsl θ 71 θ Fgura 2.39 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 1 y θ 7 H r a d êsl θ 73 θ Fgura 2.4 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 3 y 4

46 2. Análss Cnemáco 42 θ 7 H r a d êsl θ 75 θ Fgura 2.41 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 5 y Velocdad Angular La ec. (2.26) nos conduce ambén a la solucón para la velocdad angular 8, la eleccón de los componenes a 24 y a 34 del arreglo marcal nos perme escrbr: a 34 sθ 8 = a 24 cθ 8 y al consderar la dervada respeco al empo de esa expresón enemos: E E E E E E (2.36) En ese caso cada uno de los coecenes oma los valores sguenes: E = a 34 cθ 8 + a 24 θ 7 s(θ 7 cθ 8 )s(θ 8 ) E 1 = s(δ 1 + δ 3 ) E 2 = c(δ 1 + δ 3 ) E 3 = d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + s(δ 1 + δ 3 θ)(d 14 cψs(δ 13 + φ) d 12 sψ) E 4 = d 14 (c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ)cψ + s(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) E 5 = c(δ 1 + δ 3 θ)(d 12 cψ + d 14 sψs(δ 13 + φ)) E 6 = E 1 c(θ 7 cθ 8 ) D 8 sθ 8 E 7 = E 2 c(θ 7 cθ 8 ) D 9 sθ 8 E 8 = D 1 sθ 8 E 9 = E 3 c(θ 7 cθ 8 ) D 11 sθ 8

47 2. Análss Cnemáco 43 E 1 = E 4 c(θ 7 cθ 8 ) D 12 sθ 8 E 11 = E 5 c(θ 7 cθ 8 ) D 13 sθ 8 E 12 = D 14 sθ 8 E 13 = a 24 cθ 8 s(θ 7 cθ 8 ) E 14 = E 6 (C 19 E 12 /C ) + (D 22 E 13 /D ) E 15 = E 7 (C 2 E 12 /C ) + (D 23 E 13 /D ) E 16 = E 8 (C 21 E 12 /C }) + (D 24 E 13 /D ) E 17 = E 9 (C 22 E 12 /C ) + (D 25 E 13 /D ) E 18 = E 1 (C 23 E 12 /C ) + (D 26 E 13 /D ) E 19 = E 11 (C 24 E 12 /C ) + (D 27 E 13 /D ) En las grácas sguenes se muesra el comporameno en velocdad angular de la poscón θ 8 para las derenes cadenas cnemácas de la plaaorma al recorrer la rayecora propuesa. θ 8 H r a d êsl θ 82 θ Fgura 2.42 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 1 y 2 θ 8 H r a d êsl θ 84 θ Fgura 2.43 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 3 y 4

48 2. Análss Cnemáco 44 θ 8 H r a d êsl θ 86 θ Fgura 2.44 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 5 y Velocdad Angular La solucón algebraca de la ecuacón de poscón (2.29) nos conduce en ese caso a: b 34 sθ 1 = b 24 cθ 1 de donde al dervar con respeco al empo se puede esablecer áclmene que la velocdad angular asocada a la poscón angular θ 1 es: F F F F F F (2.37) las varables a emplear son las sguenes: F = b 24 sθ 1 b 34 cθ 1 F 1 = cθ 8 s(δ 1 + δ 3 ) + c(δ 1 + δ 3 )s(θ 4 + θ 7 )sθ 8 F 2 = c(δ 1 + δ 3 )cθ 8 + s(δ 1 + δ 3 )s(θ 4 + θ 7 )sθ 8 F 3 = c(θ 4 + θ 7 )sθ 8 F 4 = d 14 (s(δ 1 + δ 3 θ)(c(δ 13 + φ)s(θ 4 + θ 7 )sθ 8 + cθ 8 cψs(δ 13 + φ)) + c(δ 1 + δ 3 θ) (cθ 8 c(δ 13 + φ) cψs(θ 4 + θ 7 )sθ 8 s(δ 13 + φ))) F 5 = d 14 (c(δ 1 + δ 3 )(c(δ 13 + φ)cψ(cθcθ 8 sθs(θ 4 + θ 7 )sθ 8 ) (cθ 8 sθ + cθs(θ 4 + θ 7 ) sθ 8 )s(δ 13 + φ) + s(δ 1 + δ 3 )(c(δ 13 + φ)cψ(cθ 8 sθ + cθs(θ 4 + θ 7 )sθ 8 ) + (cθcθ8 sθ s(θ 4 + θ 7 )sθ 8 )s(δ 13 + φ)) + c(θ 4 + θ 7 )c(δ 13 + φ)sθ 8 sψ) F 6 = d 14 s(δ 13 + φ)(c(θ 4 + θ 7 )cψsθ 8 (c(δ 1 + δ 3 θ)cθ 8 + s(δ 1 + δ 3 θ)s(θ 4 + θ 7 ) sθ 8 )sψ)

49 2. Análss Cnemáco 45 F 7 = sθ 8 ( (z p s(θ 4 + θ 7 )) + c(θ 4 + θ 7 )( (d 2 cδ 3 ) + x p c(δ 1 + δ 3 ) + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ) c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) d 14 s(θ 4 + θ 7 )s(δ 13 + φ)sψ) F 8 = sθ 8 ( d 5 cθ 7 d 6 sθ 7 z p s(θ 4 + θ 7 ) + c(θ 4 + θ 7 )( (d 2 cδ 3 ) + x p c(δ 1 + δ 3 ) + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ) d 14 s(θ 4 + θ 7 )s(δ 13 + φ)sψ) F 9 = (c(δ 1 + δ 3 )sθ 8 (y p + d 14 c(δ 13 + φ)sθ + d 14 cθcψs(δ 13 + φ))) + c(δ 1 + δ 3 )cθ 8 s(θ 4 + θ 7 )(x p + d 14 cθc(δ 13 + φ) d 14 cψsθs(δ 13 + φ)) sθ 8 (d 2 sδ 3 s(δ 1 + δ 3 ) (x p + d 14 cθc(δ 13 + φ) d 14 cψsθs(δ 13 + φ))) + cθ 8 (d 6 cθ 7 d 5 sθ 7 + s(θ 4 + θ 7 ) (s(δ 1 + δ 3 )(y p + d 14 c(δ 13 + φ)sθ + d 14 cθcψs(δ 13 + φ)) d 2 cδ 3 ) + c(θ 4 + θ 7 )(z p + d 14 s(δ 13 + φ)sψ)) F 1 = c(δ 1 + δ 3 )cθ 8 s(θ 4 + θ 7 ) + s(δ 1 + δ 3 )sθ 8 F 11 = s(δ 1 + δ 3 )cθ 8 s(θ 4 + θ 7 ) c(δ 1 + δ 3 )sθ 8 F 12 = c(θ 4 + θ 7 )cθ 8 F 13 = d 14 ( (sθ 8 (c(δ 1 + δ 3 )cθc(δ 13 + φ) + cφcψsδ 13 s(δ 1 + δ 3 θ) sδ 13 s(δ 1 + δ 3 ) sθsφ)) + cδ 13 ( (sθ 8 (cφs(δ 1 + δ 3 )sθ + cψs(δ 1 + δ 3 θ)sφ)) + cθ 8 s(θ 4 + θ 7 ) (cφs(δ 1 + δ 3 θ) cψs(δ 1 + δ 3 )sθsφ)) cθ 8 s(θ 4 + θ 7 )(cφcψsδ 13 s(δ 1 + δ 3 )sθ + sδ 13 s(δ 1 + δ 3 θ)sφ + c(δ 1 + δ 3 )cθcψs(δ 13 + φ))) F 14 = d 14 ( (sθ 8 (c(δ 1 + δ 3 )cθc(δ 13 + φ)cψ + cφsδ 13 s(δ 1 + δ 3 θ) cψsδ 13 s(δ 1 + δ 3 )sθsφ)) + cδ 13 ( (sθ 8 (cφcψs(δ 1 + δ 3 )sθ + s(δ 1 + δ 3 θ)sφ)) + cθ 8 s(θ 4 + θ 7 ) (cφcψs(δ 1 + δ 3 θ) s(δ 1 + δ 3 )sθsφ)) + cθ 8 ( (s(θ 4 + θ 7 )(cφsδ 13 s(δ 1 + δ 3 )sθ + cψsδ 13 s(δ 1 + δ 3 θ)sφ + c(δ 1 + δ 3 )cθs(δ 13 + φ))) + c(θ 4 + θ 7 )c(δ 13 + φ)sψ)) F 15 = d 14 s(δ 13 + φ)(cθ 8 cψc(θ 4 + θ 7 ) + (sθ 8 c(δ 1 + δ 3 θ) (cθ 8 s(δ 1 + δ 3 θ)s(θ 4 + θ 7 )))sψ) F 16 = cθ 8 (c(θ 4 + θ 7 )(x p c(δ 1 + δ 3 ) d 2 cδ 3 + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) d 14 s(θ 4 + θ 7 )s(δ 13 + φ)sψ z p s(θ 4 + θ 7 )) F 17 = cθ 8 (c(θ 4 + θ 7 )(x p c(δ 1 + δ 3 ) d 2 cδ 3 + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) d 14 s(θ 4 + θ 7 )s(δ 13 + φ)sψ d 5 cθ 7 d 6 sθ 7 z p s(θ 4 + θ 7 )) F 18 = cθ 8 (s(δ 1 + δ 3 )(x p + d 14 cθc(δ 13 + φ) d 14 cψsθs(δ 13 + φ)) d 2 sδ 3 ) c(δ 1 + δ 3 )(cθ 8 (y p + d 14 c(δ 13 + φ)sθ + d 14 cθcψs(δ 13 + φ)) + s(θ 4 + θ 7 )sθ 8 (x p + d 14 cθ c(δ 13 + φ) d 14 cψsθs(δ 13 + φ))) sθ 8 )(d 6 cθ 7 d 5 sθ 7 + s(θ 4 + θ 7 )( d 2 cδ 3 + s(δ 1 + δ 3 )(y p + d 14 c(δ 13 + φ)sθ + d 14 cθcψs(δ 13 + φ))) + c(θ 4 + θ 7 )( z p + d 14 s(δ 13 + φ)sψ)) F 19 = F 1 cθ 1 + F 1 sθ 1 F 2 = F 2 cθ 1 + F 11 sθ 1 F 21 = F 3 cθ 1 + F 12 sθ 1 F 22 = F 4 cθ 1 + F 13 sθ 1 F 23 = F 5 cθ 1 + F 14 sθ 1 F 24 = F 6 cθ 1 + F 15 sθ 1 F 25 = F 7 cθ 1 + F 16 sθ 1 F 26 = F 8 cθ 1 + F 17 sθ 1 F 27 = F 9 cθ 1 + F 18 sθ 1 F 28 = F 19 + (C 19 F 25 /C ) + (D 22 F 26 /D ) + (E 14 F 27 /E ) F 29 = F 2 + (C 2 F 25 /C ) + (D 23 F 26 /D ) + (E 15 F 27 /E )

50 2. Análss Cnemáco 46 F 3 = F 21 + (C 21 F 25 /C ) + (D 24 F 26 /D ) + (E 16 F 27 /E ) F 31 = F 22 + (C 22 F 25 /C ) + (D 25 F 26 /D ) + (E 17 F 27 /E ) F 32 = F 23 + (C 23 F 25 /C ) + (D 26 F 26 /D ) + (E 18 F 27 /E ) F 33 = F 24 + (C 24 F 25 /C ) + (D 27 F 26 /D ) + (E 19 F 27 /E ) Las grácas de la velocdad angular para la rayecora propuesa, en cada una de las cadenas son las sguenes: θ 1 H r a d êsl θ 12 θ Fgura 2.45 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 1 y 2 1 θ 1 H r a d êsl θ 13 θ Fgura 2.46 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 3 y 4

51 2. Análss Cnemáco 47 θ 1 H r a d êsl θ 16 θ Fgura 2.47 Gráca de la velocdad angular en las cadenas 5 y Velocdad Angular Para el caso de la poscón angular θ 11, se resuelve ambén la ecuacón (2.29) consderando los elemenos de la columna 4, las 1 y 3, de al manera que enemos: b 34 sθ 11 = b 14 cθ 1 cθ 11 expresón que al dervar con respeco al empo nos conduce a: G G G G θ G φ G ψ (2.38) En esa ecuacón los coecenes son: G = b 34 cθ 11 + b 14 cθ 1 sθ 11 G 1 = c(δ 1 + δ 3 )c(θ 4 + θ 7 ) G 2 = s(δ 1 + δ 3 )c(θ 4 + θ 7 ) G 3 = s(θ 4 + θ 7 ) G 4 = d 14 c(θ 4 + θ 7 )(c(δ 13 + φ)s(δ 1 + δ 3 θ) cψs(δ 13 + φ)c(δ 1 + δ 3 θ)) G 5 = d 14 (c(θ 4 + θ 7 )(cψc(δ 13 + φ)s(δ 1 + δ 3 θ) c(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) sψc(δ 13 + φ)s(θ 4 + θ 7 )) G 6 = (d 14 s(δ 13 + φ)(cψs(θ 4 + θ 7 ) + sψc(θ 4 + θ 7 )s(δ 1 + δ 3 θ))) G 7 = s(θ 4 + θ 7 )(x p c(δ 1 + δ 3 ) d 2 cδ 3 + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) c(θ 4 + θ 7 )(z p + d 14 s(δ 13 + φ)sψ) G 8 = d 6 cθ 7 (s(θ 4 + θ 7 )(x p c(δ 1 + δ 3 ) d 2 cδ 3 + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) d 5 sθ 7 + c(θ 4 + θ 7 )(z p + d 14 s(δ 13 + φ)sψ))

52 2. Análss Cnemáco 48 G 9 = cθ 8 c(δ 1 + δ 3 )s(θ 4 + θ 7 ) + sθ 8 s(δ 1 + δ 3 ) G 1 = cθ 8 s(δ 1 + δ 3 )s(θ 4 + θ 7 ) c(δ 1 + δ 3 )sθ 8 G 11 = c(θ 4 + θ 7 )cθ 8 G 12 = d 14 ( (sθ 8 }(cθc(δ 1 + δ 3 )c(δ 13 + φ) + cφcψsδ 13 s(δ 1 + δ 3 θ) sθsφsδ 13 s(δ 1 + δ 3 ))) + cδ 13 ( (sθsθ 8 (cφs(δ 1 + δ 3 ) + sφcψs(δ 1 + δ 3 θ))) + cθ 8 s(θ 4 + θ 7 )(cφs(δ 1 + δ 3 θ) sθsφcψs(δ 1 + δ 3 ))) cθs(θ 4 + θ 7 )(sθcφcψsδ 13 s(δ 1 + δ 3 ) + sδ 13 s(δ 1 + δ 3 θ)sφ + c(δ 1 + δ 3 )cθcψs(δ 13 + φ))) G 13 = d 14 ( (sθ 8 (cθcψc(δ 1 + δ 3 )c(δ 13 + φ) + cφsδ 13 s(δ 1 + δ 3 θ) sθsφcψsδ 13 s(δ 1 + δ 3 ))) + cδ 13 ( (sθ 8 (sθcφcψs(δ 1 + δ 3 ) + s(δ 1 + δ 3 θ)sφ)) + cθ 8 s(θ 4 + θ 7 ) (cφcψs(δ 1 + δ 3 θ) sθsφs(δ 1 + δ 3 ))) + cθ 8 ( (s(θ 4 + θ 7 )(sθcφsδ 13 s(δ 1 + δ 3 ) + sφcψsδ 13 s(δ 1 + δ 3 θ) + cθc(δ 1 + δ 3 )s(δ 13 + φ))) + sψc(θ 4 + θ 7 )c(δ 13 + φ))) G 14 = d 14 s(δ 13 + φ)(cθ 8 cψc(θ 4 + θ 7 ) + ( (cθ 8 s(δ 1 + δ 3 θ)s(θ 4 + θ 7 ) + c(δ 1 + δ 3 θ)sθ 8 )sψ) G 15 = cθ 8 ( (z p s(θ 4 + θ 7 )) + c(θ 4 + θ 7 )(x p c(δ 1 + δ 3 ) d 2 cδ 3 + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) d 14 s(θ 4 + θ 7 )s(δ 13 + φ)sψ) G 16 = cθ 8 (-d 5 cθ 7 d 6 sθ 7 z p s(θ 4 + θ 7 ) + c(θ 4 + θ 7 )(x p c(δ 1 + δ 3 ) d 2 cδ 3 + d 14 c(δ 1 + δ 3 θ)c(δ 13 + φ) + y p s(δ 1 + δ 3 ) + d 14 cψs(δ 1 + δ 3 θ)s(δ 13 + φ)) d 14 s(θ 4 + θ 7 )s(δ 13 + φ)sψ) G 17 = cθ 8 (s(δ 1 + δ 3 )(x p + d 14 cθc(δ 13 + φ) d 14 cψsθs(δ 13 + φ)) d 2 sδ 3 ) c(δ 1 + δ 3 )(cθ 8 (y p + d 14 sθc(δ 13 + φ) + d 14 cθcψs(δ 13 + φ)) + s(θ 4 + θ 7 )sθ 8 )(x p + d 14 cθ c(δ 13 + φ) d 14 cψsθs(δ 13 + φ))) sθ 8 (d 6 cθ 7 d 5 sθ 7 + s(θ 4 + θ 7 )( d 2 cδ 3 + s(δ 1 + δ 3 )(y p + d 14 c(δ 13 + φ)sθ + d 14 cθcψs(δ 13 + φ))) + c(θ 4 + θ 7 )(z p + d 14 s(δ 13 + φ)sψ)) G 18 = G 1 cθ 1 cθ 11 G 9 sθ 11 G 19 = G 2 cθ 1 cθ 11 G 1 sθ 11 G 2 = G 3 cθ 1 cθ 11 G 11 sθ 11 G 21 = G 4 cθ 1 cθ 11 G 12 sθ 11 G 22 = G 5 cθ 1 cθ 11 G 13 sθ 11 G 23 = G 6 cθ 1 cθ 11 G 14 sθ 11 G 24 = G 7 cθ 1 cθ 11 G 15 sθ 11 G 25 = G 8 cθ 1 cθ 11 G 16 sθ 11 G 26 = G 17 sθ 11 G 27 = b 14 cθ 11 sθ 1 G 28 = G 18 + (C 19 G 24 /C ) + (D 22 G 25 /D ) (E 14 G 26 /E ) (F 28 G 27 /F ) G 29 = G 19 + (C 2 G 24 /C ) + (D 23 G 25 /D ) (E 15 G 26 /E ) (F 29 G 27 /F ) G 3 = G 2 + (C 21 G 24 /C ) + (D 24 G 25 /D ) (E 16 G 26 /E ) (F 3 G 27 /F ) G 31 = G 21 + (C 22 G 24 /C ) + (D 25 G 25 /D ) (E 17 G 26 /E ) (F 31 G 27 /F ) G 32 = G 22 + (C 23 G 24 /C ) + (D 26 G 25 /D ) (E 18 G 26 /E ) (F 32 G 27 /F ) G 33 = G 23 + (C 24 G 24 /C ) + (D 26 G 25 /D ) (E 19 G 26 /E ) (F 33 G 27 /F ) El comporameno de la velocdad angular, para las derenes cadenas cnemácas de acuerdo a la rayecora propuesa es el sguene: