Conceptos Básicos para la Construcción y Análisis de Diseños de Bloques Incompletos Balanceados (BIBD s)

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1 Congreso Inernaconal de Invesgacón Academa Journals 5 Coprgh Academa Journals 5 Juárez, Chhuahua, Méxco al 4 de abrl, 5 Concepos Báscos para la Consruccón Análss de Dseños de Bloques Incompleos Balanceados (BIBD s) Dr. Manuel A. Rodríguez M., Dr. Jame Sánchez L., 3 Dr. Manuel I. Rodríguez B., 4 MII Luz Isaura Rodríguez A. Resumen Uno de los prmeros obevos esablecdos cuando se nca un esudo de un proceso, donde exsen flucuacones nconrolables fueres en comparacón con los efecos de los facores, es el dseñar un expermeno de al manera que no exsan respuesas ambguas en la deermnacón de los efecos de los nveles de los facores. Los dseños de bloques en general, son arreglos que preenden conrolar, de una forma ssemáca, la varabldad provenene de fuenes exrañas. Los dseños de bloques ncompleos balanceados (BIBD s: por sus sglas en nglés, Balanced Incomple Block Desgn), como su nombre lo ndca, son arreglos donde cada bloque recbe solamene algunos de los raamenos que serán conrasados, lográndose así reducr el empo el coso de expermenacón. E n ese documeno se planea una alernava de consruccón análss de dseños de bloques ncompleos balanceados. Asmsmo, se planea la forma de análss marcal de los BIBD s, ncluendo las bases para la consruccón de la abla de análss de varanzas. Inroduccón Concepos Báscos de BIBD s Los dseños de bloques en general, son arreglos que preenden conrolar, de una manera ssemáca, la varabldad provenene de fuenes exrañas. Los dseños de bloques ncompleos balanceados (BIBD s: por sus sglas en nglés, Balanced Incomple Block Desgn), como su nombre lo ndca, son arreglos donde cada bloque recbe solamene algunos de los raamenos que serán comparados, lográndose así reducr el empo el coso de expermenacón. Es mporane menconar que los BIBD s son dseños de gran uldad cuando odas las comparacones de los raamenos son gualmene mporanes, las combnacones en el dseño pueden ser selecconadas de una manera balanceada, es decr, cualquer par de raamenos ocurren unos el msmo número de veces en el dseño, propedad que le da el carácer de balanceado Así Raghavarao (97) defne un BIBD como un arreglo de v símbolos en b conunos cada uno de k < v símbolos, que sasfacen las sguenes condcones:. Cada símbolo ocurre al menos una vez en cada conuno.. Cada símbolo ocurre en exacamene r conunos. 3. Cada par de símbolos ocurren unos en exacamene conunos. Los parámeros de un BIBD son v, b, r, k,, esos sasfacen vr = bk (v-) = r(k-) Un dseño es smérco s v = b consecuenemene r = k. Ese po de dseños smércos son los generalmene ulzados, de un orden máxmo de v = b = 7, resrccón que puede ser subsanada medane la consruccón de dseños para un maor número de varedades, por supueso, un maor número de bloques. Ese rabao cubre esa Insuo Tecnológco de Cd. Juárez Insuo Tecnológco de Cd. Juárez 3 Unversdad Auónoma de Cd. Juárez 4 Insuo Tecnológco de Cd. Juárez ISSN Onlne Volumen 7, No., 5 955

2 Congreso Inernaconal de Invesgacón Academa Journals 5 Coprgh Academa Journals 5 Juárez, Chhuahua, Méxco al 4 de abrl, 5 defcenca, proporconando una meodología para la consruccón de ese po de dseños. Asmsmo, se nclue el procedmeno de análss esadísco de los BIBD s, para el cual Tocher (95), esablece las bases para su análss esadísco. Defnamos ahora concepos de gran mporanca para la consruccón el análss de los bloques, ncando con el concepo de dseños de bloques, los bloques ncompleos los dseños balanceados enre oras defncones. Defncón. Sea X un conuno fno de punos sea = {B I} una famla de subconunos de X. Los subconunos son llamados bloques el par {X, } es llamado un dseño basado en el conuno X. El orden de un dseño ( X, ), denoado X, es la cardnaldad del conuno X, { B : B } es el conuno de amaños de bloques del dseño. Defncón. Un dseño se dce que es ncompleo s al menos uno de sus bloques es un subconuno propo de X. De aquí, las varedades en un expermeno corresponden a los punos de X, el dseño del bloque compleo aleaorzado para r bloques, cada uno gual a X. Defncón 3. Un dseño (X, ) se dce que es balanceado por pares (o smplemene balanceado), s para cada par de elemenos de X, esos ocurren en bloques de, para alguna consane. Ese número llama el índce del dseño. Defncón 4. Un dseño en el cual odos los bloques conenen el msmo número de varedades, odas las varedades ocurren en el msmo número de bloques, es llamado un dseño de bloques. Generalmene al referrnos a ales dseños, usamos los símbolos v, b, r, k para represenar al número de varedades, el número de bloques, el número de replcacones el amaño del bloque respecvamene. S al dseño es ambén balanceado, con < k < v, lo llamaremos un dseño de bloques ncompleo balanceado (BIBD) con parámeros (v, b, r, k, ). Defncón 5. Una varedad un bloque se dcen ser ncdenes s la varedad perenece al bloque. Una forma convenene de represenar un dseño es por medo de una marz de ncdenca, la cual se defne enseguda: Defncón 6. Para un dseño (X, ) con v varedades b bloques, la marz de ncdenca es una marz de v x b, A = (a ), al que: a s la varable no perenece al bloque s la varedad perenece al bloque De aquí, en una marz de ncdenca, cada renglón conene r s correspondenes a los r bloques conenendo cada varedad, cada columna conene k s, correspondene a las k varedades perenecenes a ese bloque. Ahora, hagamos que n represene una marz de n x n, mxn una marz de mxn, ambas con odas las enradas guales a, se ene AJ b = rj vxb J va = kj vxb donde A es la marz de ncdenca de un BIBD. Consruccón de BIBD s: El Méodo de Dferencas Sree Sree (987) can que uno de los concepos fundamenales para la consruccón de BIBD;s es el de conunos dferenca. Ese fue propueso por Bose (939), quen consdera lo sguene: ISSN Onlne Volumen 7, No., 5 956

3 Congreso Inernaconal de Invesgacón Academa Journals 5 Coprgh Academa Journals 5 Juárez, Chhuahua, Méxco al 4 de abrl, 5 Sea G un grupo Abelano de orden m, escro advamene. Consdérese por cada elemeno del grupo n símbolos, es decr, s x G, se enen x, x,,x n símbolos correspondenes a ese elemeno. De esa manera se enen en oal mn símbolos. Denóese el conuno de esos símbolos por n (G) = { x :xg, =,,,n) Se dce que dos de esos símbolos perenecen a la msma clase s enen el msmo subíndce. Supóngase que se elge un subconuno, S, de orden k de esos mn símbolos, supóngase que los p símbolos que perenecen a la -ésma clase. Enonces claramene se ene n Denóese medane (), (),..., ( p) p () k x, x,..., x () p los símbolos de la clase perenecenes al conuno S, smlarmene por a los de la clase relavas al elemeno G. Una dferenca x enre dos símbolos ( ) ( ) x dsnos de la clase de elemenos de S se llama una dferenca pura de po (, ) en S. Smlarmene, una dferenca de elemenos x se dce ser una dferenca mxa de po (, ) generada de S. Dado que ( ) ( ), p., p, enemos p (-p ) dferencas puras del po (, ) de S. Smlarmene, dado que ambén exsen p p dferencas mezcladas del po (, ) surgendo de S. Junas exsen n pos de dferencas puras n(n-) dferencas mxas posbles. Bao esas condcones dremos que las dferencas esán smércamene repedas en los conunos S, S,,S s con parámero. Enonces, añadendo cada uno de los elemenos de G en urno a cada uno de los conunos S, S,,S s, se desarrolla un dseño de bloques ncompleo balanceado con parámeros v = mn b = ms r = r k Así, sea B = {,, 4}, B = {, 3, 5}, B 3 = {3, 4, 6}, B 4 = {4, 5, 7}, B 5 = {5, 6, }, B 6 = { 6, 7, }, B 7 = {7,, 3} los cuales consuen un conuno de bloques, es decr, un dseño de bloques ncompleo balanceado, con v = 7, b = 7, r = 3, k = 3, = Enfoque Marcal para la Consruccón de la Tabla de Análss de Varanzas Dados los parámeros del dseño, el prmer paso es la consruccón de la marz de ncdenca, dada en ese BIBD por ISSN Onlne Volumen 7, No., 5 957

4 n Además, se puede escrbr b E b b Raghavarao (979), concde con el análss efecuado por Tocher (95), en la sguene consderacón: s ˆ es el esmado del vecor columna de efecos de raameno, enonces es fácl observar que las ecuacones normales para son dadas por Cˆ donde C = - con ' ) (/ ' / rr bk nn k r Los cálculos para la obencón de los efecos de los raamenos las sumas de cuadrados de los raamenos, bloques, resduales oales se efecúan de la manera sguene: Una vez calculados los oales por renglón por columna T B respecvamene, se obene el vecor de raamenos ausado B nk T la marz C se calcula en base al amaño del bloque la marz de ncdenca como C = r -nk - n en la sguene seccón se descrbe pas a paso la obencón de la nversa generalzada C - para resolver el ssema C C ˆ medane ˆ la SS Traamenos =, la suma de cuadrados de los bloques SS Bloques = (/k)b B-G /bk la suma de cuadrados oales SS T = -G /bk. Las sumas de cuadrados defndas aquí se ncluen en la Tabla de análss de varanzas. Congreso Inernaconal de Invesgacón Academa Journals 5 Coprgh Academa Journals 5 Juárez, Chhuahua, Méxco al 4 de abrl, 5 ISSN Onlne Volumen 7, No., 5 958

5 Congreso Inernaconal de Invesgacón Academa Journals 5 Coprgh Academa Journals 5 Juárez, Chhuahua, Méxco al 4 de abrl, 5 Consruccón de la seudonversa (marz nversa generalzada) Los pasos necesaros para la consruccón de una seudonversa para resolver ssemas de ecuacones mal planeados, o smplemene para marces sngulares son los sguenes:. Defnr la marz del ssema, represenándola por A. Obener la ranspuesa de la marz del ssema, A T 3. Obener la marz produco A T A 4. Calcular los egenvalores de la marz A T A 5. Calcular los egenvecores asocados a los egenvecores de A T A 6. Converr los egenvecores en vecores unaros obenendo la norma de cada vecor dvdendo cada componene enre ella. 7. Obener una marz V oronormal con componenes vecorales v resulanes del paso aneror. 8. Obener la marz produco AA T 9. Calcular los egenvalores de la marz AA T. Obener los egenvecores correspondenes a los egenvalores de AA T.. Obener la marz oronormal V con componenes [v ] resulanes del paso aneror.. Obener la marz V T 3. Obener la marz con los valores, formando la dagonal prncpal con k >, k+= = n = 4. Obener +, la nversa de la marz suma. 5. Calcular la seudonversa de A, A + = V + U T Tabla. Tabla generalzada de Análss de Varanzas para los BIBD s Fuene de Varacón Suma de Cuadrados Grados de lberad Medas G /bk Bloques B B/k-G /bk b- Traamenos - Resduales '- -B B/k Bk-b-+ Toal ' bk Conclusones Los resulados mporanes a menconar son: (a) el maneo de una manera senclla del méodo de consruccón de BIBD s medane la ulzacón de dferencas fnas, (b) la defncón de una meodología para el análss de los BIBD s, ulzando un enfoque marcal, el cual nclue la ulzacón de marces nversas generalzadas, las cuales resuelven problemas de ssemas mal planeados /o marces sngulares, es decr marces que no enen nversas (c) la consruccón de la abla de análss de varanzas basada en un enfoque marcal Bblografía. Agrawal H.L. Prasad J. Some Mehods of Consrucons of Balanced Incomplee Block Desgns wh Nesed Rows and Columns. Bomerka 69, Vol.. (98).. Aknson A.C. Done A.N. Opmum Expermenal Desgns. Clarendon Press, Oxford (99). 3. Bose R. C. On he Consrucon of Balanced Incomplee Block Desgns. Annals of Eugencs, (939). 4. Owen L. Daves. The Desgn and Analss of Indusral Expermens. Hafner Publshng Compan, (954). 5. Fraleh J. B. A Frs Course n Abrac Algebra. Addson-Wesle Publshng Compan, Second Edon. (976) 6. Hll R. Algebra Lneal Elemenal con Aplcacones. Prence Hall. Tercera Edcón. (997). ISSN Onlne Volumen 7, No., 5 959