EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

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1 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 95 EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS CAPÍTULO TRES 3. INTRODUCCIÓN En ese capíulo nroducmos las herramenas báscas para la resolucón de las ecuacones dferencales de Phlp y de Vres. Esos concepos báscos pueden ser profundzados en Zenkewcz y Taylor (989), y en Fnlayson (97). Una manera clásca de esudar un ssema connuo es dvdrlo en pares o elemenos, cuyo comporameno pueda conocerse sn dfculad, y a connuacón reconsrur el ssema orgnal a parr de dchos componenes. Así, se han do proponendo a lo largo de los años dversos méodos de dscrezacón, basados en aproxmacones ales que, al aumenar el número de elemenos la solucón se aproxme a la real. Uno de los méodos mas ulzados en el problema que nos concerne es el de los elemenos fnos. Enre las conrbucones claves en el desarrollo de los elemenos fnos desacan las de Couran, quen en 943 nroduce el concepo de funcones connuas a ramos en regones rangulares, generalzadas y ulzadas años después,

2 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 96 como funcones de nerpolacón. Turner, Clough, Marn y Toop, en 956, ulzaron un méodo de dscrezacón para analzar esrucuras en avones, y en 965 Zenkewcz y Cheung, presenaron una ampla nerpreacón del méodo. A parr de enonces empeza a formalzarse maemácamene, ulzándolo en una exensa varedad de problemas, ano en el campo de la ngenería como de la físca. Algunas de las prncpales aplcacones fueron elaboradas en el esudo de la conduccón de calor, mecánca de esrucuras, maemácas aplcadas al esudo de ecuacones dferencales no lneales, y recenemene en el campo de la mecánca de fludos, ngenería bomédca, ngenería nuclear, elecromagnesmo y físca de suelos, enre oros. El méodo de los elemenos fnos, es un procedmeno general para la resolucón numérca aproxmada de problemas connuos, planeados por expresones defndas maemácamene por ecuacones dferencales con condcones de conorno y condcones ncales, y basado en la dscrezacón del domno del problema en subdomnos denomnados elemenos. En cada elemeno, la solucón se aproxma por un espaco fno de funcones. Debdo al carácer de la solucón del po de problemas que raamos, el espaco más apropado para expandr la solucón, es el espaco de Sobolev. En elemenos fnos las ecuacones que rgen el problema se planean en forma negral, ben con ayuda de prncpos varaconales, con méodos de resduos ponderados o prncpos de rabajos vruales. Las negrales se compuan como conrbucones de las negrales en cada elemeno. Al fnal de ese proceso y ras el ensamble oal del ssema, se obene un ssema de ecuacones algebracas que perme la solucón del ssema global.

3 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 97 La solucón aproxmada será más exaca cuano mayor sea la dmensón del espaco de Sobolev (número de componenes de la base de funcones), lo que mplca mayor número de elemenos. En lo que a nosoros concerne, la aplcacón fundamenal será la resolucón de las ecuacones de Phlp y de Vres (Tabla.5), sujeas a condcones de conorno y condcones ncales. En la prmera seccón de ese capíulo, presenaremos las bases que permen la resolucón de problemas esaconaros, para nclur más adelane las reglas de recurrenca emporales apropadas, para resolver problemas de propagacón. 3. MODELO FÍSICO DIRECTO Tano en Ingenería como en Físca, exsen problemas en medos connuos que generalmene venen expresados por las adecuadas ecuacones dferencales y condcones de conorno, que se mponen a la funcón o funcones ncógnas.

4 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 98 A( u) A() u. A(u) = = 0 en el domno de problema Ω.. A() n u (F) = y con condcones de conorno B( u) B( u). B(u) = = 0 en el conorno del problema Γ.. B m( u) (3.) El problema expresado en la forma mas general se defne como el modelo físco dreco (F), y consse en deermnar la funcón desconocda u (vecoral o escalar) que sasfaga un deermnado ssema de ecuacones dferencales A(u), y condcones de conorno B(u). Los méodos ulzados para resolver el ssema de ecuacones, pueden ser analícos exacos, como la separacón de varables o ransformadas de Laplace, enre oros, y méodos analícos aproxmados (Raylegh-Rz, Galerkn), generalmene numércos. En la mayoría de los problemas reales no es posble obener la solucón analíca, recurrendo a méodos numércos, enre los cuales cabe desacar el méodo de las dferencas fnas, el de los elemenos fnos y volúmenes fnos. El méodo de los elemenos fnos requere un po de formulacón que veremos a connuacón.

5 3 El Méodo de los Elemenos Fnos FORMULACIONES FUERTE Y DÉBIL Como vmos en el aparado aneror, un problema connuo es raado maemácamene por un conjuno de ecuacones dferencales que caracerza el comporameno del campo, sujeo a condcones de conorno e ncales. Tenendo en cuena el ssema de ecuacones 3., podemos escrbr: n v A(u) d Ω= ( v A ( u )) d Ω=0 (3.) Ω Ω = Γ m w B(u) d Γ= ( w B ( u )) d Γ=0 (3.3) Γ = donde v y w son vecores arbraros de funcones, con el msmo número de funcones ncógnas que el ssema de ecuacones, o que el número de componenes de u. La suma de las expresones negrales anerores se defne como la formulacón fuere del problema: { d Ω + dγ= 0} (3.4) (S) v A(u) w B(u) Ω Γ Por lo ano, podremos decr que s la expresón aneror (S) se cumple para cualquer par de vecores v y w, la formulacón fuere del problema es equvalene al modelo físco dreco: (F) (S) En la dscusón aneror hemos supueso mplícamene que es posble calcular las negrales que aparecen en la ecuacón (S). Eso lma la eleccón de las posbles famlas a las que deben perenecer las funcones v, w y u. Así, las funcones v y w han de ser funcones fnas unívocas. S el mayor orden de dervacón de las funcones u que aparecen en las ecuacones A(u) y B(u) es k, como A

6 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 00 y B esán negradas, u y sus dervadas deben ser connuas hasa el orden k-. El valor k- se conoce como orden varaconal. Las ecuacones que vamos a resolver son ecuacón de dfusón y ranspore de humedad y emperaura escalares pasvos-, que enen un k max =, por lo que u y u han de ser connuas en el domno del problema. En el análss maemáco de problemas con valores de conorno, y por consguene en el análss de elemenos fnos, necesamos nroducr una clase de funcones que posean ceras propedades de negrabldad y dervacón. Los requermenos generales que han de cumplr las funcones de prueba u y de ponderacón w, nos llevan a rabajar en el espaco de funcones de Sobolev, que se defne a connuacón: { } k k k H = H ( Ω ) = w/ w L ; w L ;... ; w L (3.5) donde { } L ( ) / = L w wd Ω = Ω< (3.6) Ω El espaco de Sobolev de orden-k, esá formado por funcones de cuadrado negrable L, dervables hasa el orden k. Tenendo en cuena las resrccones mpuesas a las funcones v, w y u, caracerzaremos dos clases de funcones. La prmera esá compuesa por la solucón propuesa u, que ha de cumplr las condcones de conorno, y perenecer al espaco de funcones de Sobolev H. De esa forma, la funcón u perenecerá a un subespaco S H : { / ; ( ) 0} S = u u H B u = (3.7) donde B(u) corresponde a las ecuacones de conorno.

7 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 0 La segunda clase de funcones esá compuesa por las llamadas funcones de ponderacón. Son smlares a las anerores, pero se les exge que se anulen en el conorno donde esán mpuesas las condcones de conorno forzadas: { / ; ( ) 0} V = v v H v Γ = (3.8) Γ es la pare del conorno donde u, u, o una combnacón de ambos, esán mpuesos. En muchas ocasones es posble efecuar una negracón por pares de la ecuacón (S), y susurla por una expresón alernava de la forma: { Ω Γ= } Ω (3.9) Γ (W) C(v) D(u) d + D(w) F(u) d 0 Ahora, las dervadas que aparecen en los operadores C, D, E y F son de menor orden que las que aparecen en A y B. En ese caso se necesa una connudad de menor orden al elegr las funcones de prueba u, pero de mayor orden en v y w. Las expresones negrales 3.4 (S) y 3.9 (W) son la base de las solucones aproxmadas por elemenos fnos. 3.4 MÉTODO DE LOS RESÍDUOS PONDERADOS Para expresar la solucón u omamos una expresón aproxmada de la forma: _ r Na (3.0) = u u= N a = donde N y a son las funcones de forma y los valores de la funcón ncógna, en cada uno de los nodos de la malla. Así pues, las ecuacones negrales en sus formas fuere o débl, proporconan un ssema de ecuacones ordnaras de las que pueden calcularse los parámeros a :

8 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 0 o ben j d Ω + j dγ= 0 (j = - n) Ω (3.) Γ (S) v A(Na) w B(Na) j d Ω + j dγ= 0 (j = - n) Ω (3.) Γ (W) C(v ) D(Na) D(w ) F(u) S enemos en cuena que A(Na) represena el resduo o error que se obene al susur la solucón aproxmada en la ecuacón dferencal, y B(Na) el resduo al hacer esa susucón en las condcones de conorno, la expresones anerores son las negrales ponderadas de ales resduos. Por eso ese procedmeno de aproxmacón recbe el nombre de méodo de los resduos ponderados. Evdenemene se puede ulzar cualquer conjuno de funcones de ponderacón, sempre que perenezcan al subconjuno V H. Dependendo del po de funcón de ponderacón, el méodo ulzado recbe un nombre dferene: 3.4. Colocacón por punos w = δ donde δ es al que para x x ; y y, w =0 pero w d Ω= I (marz undad) j j j j j j Ω j Ese procedmeno equvale smplemene a hacer nulo el resduo en n punos denro del domno Colocacón por subdomnos w =I en Ω j j y cero en cualquer oro puno. Esencalmene eso hace que la negral del error sobre el subdomno especfcado del domno sea nula.

9 3 El Méodo de los Elemenos Fnos Méodo de Galerkn o de Bubnov-Galerkn wj = Nj. Consse smplemene en elegr como funcones de ponderacón, las funcones de forma orgnales. 3.5 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MÉTODO En el domno del problema la varable es connua. Se dce que posee un número nfno de grados de lberad. En el méodo de los elemenos fnos, el domno es consderado como la unón de un número fno de subdomnos, llamados elemenos fnos, conecados enre s por punos defndos como nodos o punos nodales. Los nodos de un elemeno se encuenran en sus conornos o denro del msmo. Pueso que la varacón del campo denro del medo connuo no es conocda, aproxmaremos la solucón denro de cada elemeno con polnomos, cuyo grado depende del mayor orden de dervacón de la funcón en la ecuacón dferencal. Hacendo un mapeo conforme, pondremos los coefcenes del polnomo en funcón de los valores nodales de la ncógna en cada elemeno, que esarán mulplcados por funcones de nerpolacón, defndas como funcones de forma. Tras aplcar el méodo de los resduos ponderados a cada elemeno, obendremos un ssema de ecuacones acopladas, que una vez ensambladas para odos los elemenos, nos dará un ssema de ecuacones algebracas cuyo número será gual al número de ncógnas o grados de lberad (varables en cada uno de los nodos que conforman el domno). La solucón de ese ssema será la solucón del problema en los nodos, y por ano en odo el domno del problema.

10 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 04 A connuacón se expondrán los pasos que ese méodo requere para la resolucón numérca de problemas reales: 3.5. Dscrezacón del domno Hemos de dscrezar el domno en elemenos, cuyo número, po amaño y densdad, dependen del problema en cuesón. Las formas báscas de los elemenos, dependendo de la dmensón del problema que esudemos, suelen ser recas en una dmensón, rángulos, recángulos, cuadrláeros y paralelogramos en dos dmensones, y eraedros, prsmas recangulares y hexaedros en res dmensones. La solucón será ano mas precsa, cuano mayor sea el número de elemenos que ulcemos para dscrezar el domno, pero es preferble hacer más densas en elemenos aquellas zonas donde se esperen varacones bruscas del campo, ya que el ahorro compuaconal será mayor. Oro puno mporane que hemos de consderar es la numeracón de los nodos en la malla (por malla enenderemos el domno del problema, una vez dscrezado). Dependendo de la numeracón, la marz de rgdez global, esará más o menos dspersa. A la hora de resolver el problema, eso se raducrá en un mayor o menor ahorro compuaconal Seleccón de las funcones de nerpolacón apropadas Denro de cada elemeno se propone una solucón. Generalmene, por movos de connudad, esabldad y ahorro compuaconal, se proponen bases polnómcas. En cada elemeno la ncógna se expande en una base oronormal de funcones en un

11 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 05 subespaco de Sobolev, donde los coefcenes son los valores nodales de la funcón ncógna en el subdomno o elemeno Cálculo de las marces elemenales y de los vecores de carga A parr de la forma débl de las ecuacones que rgen el problema, y hacendo uso de méodos negrales de mnmzacón, como el méodo de los resduos ponderados, el méodo de rabajos vruales, o méodos varaconales, enconraremos ecuacones marcales para cada elemeno de la forma: K e e e Φ = P donde [K e ] es la marz elemenal, conocda, P e es el vecor de carga y Φ e es el vecor de las varables ncógnas en los nodos del elemeno Ensamble de las ecuacones elemenales y solucón del ssema Pueso que las ecuacones se obenen para cada elemeno, hemos de ensamblarlas apropadamene para obener un ssema global de ecuacones del domno compleo, que será de la forma: [K ]Φ = P, donde [K ] es la marz de rgdez del ssema oal, Φ el vecor de desplazamenos nodales, y P es el vecor de carga del ssema oal. Al fnal hemos de modfcar el ssema de ecuacones aneror para nclur las condcones de conorno. Una vez obendo el ssema global de ecuacones, los méodos numércos ulzados dependen del po de marz obenda. Así, por ejemplo, la modelacón de las ecuacones que rgen el comporameno dnámco de una parícula fluda (ecuacones de Naver- Sokes) lleva a marces muy dspersas, en las que es convenene un adecuado almacenameno po Sky-Lne, y una descomposcón LU para resolver el ssema. En problemas de ranspore y dfusón de emperaura en fludos, las marces suelen ser

12 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 06 dagonales y la solucón se obene medane eracones sobre una marz dagonal modfcada o marz Lumped. Para los problemas no lneales y acoplados, las marces son dspersas, y funcones de las propas ncógnas. El méodo que ulzaremos para resolver ese problema modfcado, será un GMRES, comenado en el capíulo 4. Para conclur, podemos señalar que la resolucón de la pare no lneal es uno de los pasos más delcados, en el que hemos de conclar los prncpos físco-maemácos, con las écncas compuaconales adecuadas para cada problema parcular. 3.6 FUNCIONES DE FORMA Para represenar la solucón en cada elemeno, las funcones ulzadas son funcones de nerpolacón. Las más ulzadas son las formas polnomales, debdo a su fácl mplemenacón numérca. Además, s aumenamos el orden del polnomo, la solucón será más precsa (un polnomo de grado nfno correspondería a la solucón exaca). La funcón denro del elemeno la expandmos como u =η α, donde η es el vecor de coordenadas espacales del elemeno y α es el vecor de coefcenes del polnomo de nerpolacón, ambén conocdo como coordenadas generalzadas. Los vecores pueden ser expresados con respeco a un ssema de coordenadas global únco para un domno dado, o ben respeco a un ssema de coordenadas locales suado en o denro de cada elemeno (cenro geomérco, coordenadas soparamércas ec.). Al ulzar coordenadas soparamércas, podemos esandarzar de manera únca odos los parámeros que

13 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 07 consuyen un elemeno fno, como son las funcones de forma, el domno, los nodos y grados de lberad. En dos dmensones y para un polnomo de grado N, rabajando con coordenadas globales: η (x, y)= (, x, y, x, y, xy,..., yn), y α = (α o, α, α, α 3,...,α n) (3.3) Pero nos neresa expresar el polnomo en érmnos de los valores nodales de la funcón ncógna u nodo η nodo unodo ηnodo.. u = = α = η α α = η u u= N u.... u nodo n η nodo n e e e (3.4) donde es la marz de las funcones de forma. N = η η Para el caso de un elemeno lneal en una dmensón y una nerpolacón Lagrangana, las funcones de forma venen dadas por las expresones: N = ( zj z) ( z z ) j N ( z z ) = ( z z ) j (3.5) En la Fgura 3., podemos observar esas funcones y comprobar la connudad enre elemenos.

14 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 08 Funcones de forma para elemenos lneales e e e e N N N N u 0 z z e u j z j z e Fgura 3. Elemenos lneales soparamércos. u k z k En la Fgura 3. se represenan dos elemenos conguos, con coordenadas z, z j y z k. La funcones de forma e N, N perenecen al prmer elemeno z e, y las funcones de e forma e N, N perenecen al segundo z e. La connudad enre las funcones e N e y N e, y las funcones N e y N e, asegura la connudad de las varables en el nodo común enre dos elemenos, como puede observarse en la fgura. Denro de cada elemeno, la varable u se nerpola de la forma: ( ) u z = un+ un. e e e e j 3.6. Creros de convergenca Las funcones de forma han de cumplr ceros requsos, s queremos acercarnos a la solucón exaca. Las condcones báscas que se han de cumplr son las sguenes: C- Tenen que ser funcones connuas en el neror de cada elemeno, Ω e. C- Las funcones de forma enen que ser connuas en los conornos Γ e de cada elemeno, hasa el orden varaconal exgdo. C3- Las funcones de forma enen que formar polnomos compleos.

15 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 09 Para que se cumpla la condcón C3, las funcones de nerpolacón en cada elemeno, han de ser capaces de represenar exacamene un valor consane denro del elemeno cuando asgnemos valores consanes a la varable en los nodos del msmo. 3.7 INTEGRACIÓN NUMÉRICA Para enconrar numércamene el valor de la negral de una funcón de una varable, pueden ulzarse varos procedmenos Cuadraura de Newon-Coes En ese procedmeno, los punos en los que se precsa el valor de la funcón se deermnan a pror, generalmene separados por nervalos guales, hacendo pasar un polnomo por los valores de la funcón en esos punos, y procedendo a su negracón exaca. Como n valores de la funcón defnen un polnomo de grado n-, el error comedo será n del orden O( h ), donde h es el amaño del elemeno. Eso conduce a la fórmula de cuadraura de Newon-Coes: n = ( ξ) ξ = ( ) ξ (3.6) I f d H f Las reglas del rapeco y del erco o de Smpson, son casos parculares, para n= y n=3 respecvamene. En la Tabla 3., se muesran los casos para n = {,3, 4}.

16 3 El Méodo de los Elemenos Fnos 0 Tabla 3. Formulas de Inegracón de Newon-Coes n = I = f ( ) + f ( ) 3 n = 3 I = f ( ) + 4f ( 0) + f ( ) n = 4 I = f ( ) + 3f + 3f + f () 3.7. Cuadraura de Gauss-Legendre. S en lugar de especfcar a pror la poscón de los punos en los que se precsa el valor de la funcón, hacemos que esos se encuenran en punos que se deermnan de manera que se alcance la mayor precsón posble, para un número de punos dado pueden consegurse resulados más exacos. De hecho, s consderamos de nuevo que: n = ( ξ ) ξ = (, ) ξ (3.7) I f d H f H y volvemos a suponer una expresón polnómca, se puede consrur un polnomo de grado n- y buscar las coordenadas de negracón n para obener su negral exaca. En la Tabla 3., mosramos el valor de los coefcenes para los res prmeros punos, que ulzamos en la cuadraura de Gauss para negrar en una dmensón las ecuacones en el capíulo 4. Ese méodo requere un número mínmo de evaluacones, con un error n del orden O( h ), menor que en la regla de Newon-Coes.

17 3 El Méodo de los Elemenos Fnos Tabla 3. Abcsas y coefcenes de peso de la fórmula de la cuadraura de Gauss n ( ξ ) ξ ( ξ ) = = I f d H f ± ξ H n = n = n = CONCLUSIONES En ese capíulo hemos nroducdo los concepos báscos del méodo de los elemenos fnos. Las cuesones acerca de la esabldad y convergenca del méodo, y los esquemas espacal y emporal ulzados, se raarán en el capíulo 4.