aletos TEMA 11 MOMENTO LINEAL DE UNA PARTÍCULA

Transcripción

1 aleos Esado dnáco de una arícula Se denona esado dnáco de una arícula el que queda deernado or su asa, oscón veloc - dad. S se conoce en un nsane dado el esado dnáco de una arícula, es decr, s se conoce: su asa,, su oscón, r( su velocdad, v( la ora en que varía con el eo la uerza resulane ΣF( que acúa sobre la sa, su oveno queda oalene deernado. En eeco: conocendo la uerza resulane ΣF( la asa de la arícula, se uede calcular la aceleracón en cada nsane or edo de la segunda le de Newon: a( = ΣF (, a arr de la aceleracón se uede calcular dv, a que a( = dv ( d de aquí, dv = a(d = ΣF ( d, or ano, se uede calcular la velocdad en el nsane +d, a que, v( +d = v( +dv = v(+ ΣF ( d, a su vez, coo v( = dr d desejando dr dr = v(d, or ano, se uede calcular el vecor de oscón en el nsane +d r( +d = r( +dr = r(+v(d De ora que, conocendo ΣF(, queda deernado el esado dnáco de la arícula en cualquer nsane s se conocen, coo a se ha ndcado anerorene, la asa de la arícula, su oscón r( su velocdad v(. Esa ora de eseccar el oveno de la arícula, deducendo cuál es su esado dnáco en el nsane +d a arr del esado dnáco en el nsane, ene carácer derencal, las ecuacones que deernan dcho oveno son ecuacones derencales. A arr de dchas ecuacones, or negracón, se obenen las lees que rgen su oveno. Ha oras oras de descrbr la suacón de una arícula, que noran arcalene del esado dnáco de la sa cuando no se dsone de la noracón necesara ara segur el roceso de negracón descro anerorene, o ben cuando no neresa la solucón colea del so. Algunas de las varables dnácas que sunsran noracón arcal acerca del esado dnáco de una arícula son: su oeno lneal, su oeno angular su energía Moeno lneal El oeno lneal de una arícula de asa, velocdad v, es or dencón: = v [11.1]

2 11.2 aleos Es, or ano, un vecor de gual dreccón sendo que v cuo ódulo se obene ullcando el ódulo de v or la asa de la arícula. Veaos qué o de noracón nos uede sunsrar esa agnud vecoral. Al esudar la segunda le de Newon vos que odía ser exresada en la ora: ΣF = dd (v = dv d d +v d Y s se oan solaene los dos reros ebros de las gualdades anerores, ΣF = dd (v = d d Por consguene, s se conoce la uerza resulane ΣF, la ecuacón aneror ere calcular (+d a arr de ( a que, ( +d = (+d [11.3] de la relacón [11.2], susuendo en [11.3], da, d = ΣFd ( +d = (+d = (+ ΣFd ero no odeos conocer r(+d. Eso es lo que se quere dar a enender cuando se dce que esa agnud roorcona noracón arcal acerca del esado dnáco de la arícula Teorea de conservacón del oeno lneal [11.2] [11.4] A arr de se deduce que, s ΣF = 0, enonces,, or ano, ΣF = dd (v = d d d d = 0 = ce Es decr: S la uerza resulane que acúa sobre una arícula es nula, su oeno lneal es consane durane el oveno. El enuncado aneror corresonde al llaado eorea de conservacón del oeno lneal, que, en el caso de una arícula, es una consecuenca nedaa de la segunda le de Newon Convene unualzar, al gual que se hzo con las lees de Newon, ceros asecos oranes en la nerreacón de dcho eorea de conservacón. En rer lugar, debe quedar claro que la consanca del vecor lca que su ódulo, dreccón sendo son consanes enras se cula la condcón ΣF = 0. Puede suceder que, en deernadas condcones ecáncas, la condcón se cula solaene durane un cero nervalo de eo. En ese caso, el vecor se conservará consane durane dcho nervalo de eo. En oras alabras: Para oder arar que el oeno lneal es consane durane un deernado nervalo de eo, es necesaro saber que en cada d, es decr, en cada nsane de dcho nervalo, se cule la condcón ΣF = 0 Cuando se conocen las condcones en las que se encuenra un ssea en cada d, coo se ha ndcado anerorene, se dce que se dsone de noracón derencal.

3 aleos 11.3 Oro aseco orane a ener en cuena, es que a arr de la relacón vecoral: ΣF = dd (v = d d se ueden obener res ecuacones corresondenes a las res coonenes sobre los ejes de coordenadas X, Y, Z, que suondreos erenecenes a un ssea nercal de reerenca: = d x d, ΣF = d d, ΣF = d z z d Convene dscur la conservacón del oeno lneal de esa ora orque uede ocurrr, or ejelo, que un ssea aeral se encuenre en las sguenes condcones: = 0, ΣF, ΣF z con lo cual, evdeneene, ΣF, or lo ano, no se conserva el oeno lneal. Sn ebargo, la dscusón debe enocarse de ora anera. Pueso que: d = 0, x = 0, or ano, x =Ce d coo d asso, ueso que ΣF ΣF z,, d d z d se deduce que, se deduce que, Ce z Ce De odo que, coo x ce. x ce., el oeno lneal oal no es consane, lo que concuerda, nauralene, con la conclusón hecha anerorene. Ahora ben, uede ocurrr que la consanca de x sea sucene ara resolver el roblea ese aseco uede asar desaercbdo s se dscue la conservacón del oeno lneal a arr de la ecuacón: ΣF = d d 11.4 Iulso de una uerza Llaareos, or dencón, ulso lneal eleenal de una uerza F a: Fd. Por ano, Fd es un vecor de gual dreccón sendo que F, su ódulo es el roduco del ódulo de F or d. A arr de ahora debe enenderse que F, ara slcar la noacón, reresena lo so que ΣF, es decr, la resulane de odas las uerzas exerores que acúan sobre un ssea. Enre esa agnud vecoral, Fd, el oeno lneal, exse la relacón [11.4], ΣFd = d Se uede arar, ues, que: El eeco roducdo or el ulso lneal eleenal de una uerza F durane un nervalo de eo eleenal d, es una varacón nnesal, o eleenal, d, del oeno lneal del ssea sobre el cual acúa la uerza resulane F. S se consdera un nervalo de eo no, Δ =, se denona ulso lneal no de una uerza F, a la exresón, Fd Veaos cuál es su sgncado qué relacón exse enre esa agnud el oeno lneal.

4 11.4 aleos A arr de la dencón aneror, enendo en cuena que Fd = d, se ene, Fd = d = ( ( = Δ De anera que: El eeco roducdo sobre un ssea or el ulso lneal no de una uerza F durane el nervalo de eo, Δ =, es una varacón na Δ = ( ( de su oeno lneal. Debe enerse en cuena que la negral, Fd reresena el eeco global que roduce sobre el ssea la accón de la uerza resulane F durane el nervalo de eo Δ. Por ano, la negral da cuena úncaene de la varacón global de, es decr, del ncreeno Δ que exerena el oeno lneal, ero no nos sunsra noracón acerca de cóo varía en cada nsane, o lo que es gual, en cada d. Debe enenderse, or ora are, que, en la exresón del oeno lneal no, la negral reresena una sua vecoral se debe ener en cuena que una negral no sua, en general, vecores coo s ueran núeros, es decr, escalares, salvo que odos los vecores sean de gual dreccón. S la dreccón del vecor F varía conore ranscurre el eo, se debe descooner dcho vecor en sus res coonenes caresanas, e negrar or searado cada una de dchas coonenes. Para ello, se escoge un conveno de sgnos ara cada eje con objeo de arbur sgnos ouesos a las coonenes de sendo conraro sobre cada eje. De ese odo, cada negral se convere en una sua algebráca de coonenes a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas: F x d = d x = x ( x( = Δ x F d = d = ( ( = Δ F z d = d z = z ( z( = Δ z S se verca que: se deduce de la relacón [10.5] que: es decr, Fd = 0 ( ( = Δ ( = ( lo cual no sgnca que haa eranecdo consane. De odo que la condcón Fd = 0 no lca la conservacón del oeno lneal. Úncaene uede ararse que: ( = ( ero no se uede asegurar nada acerca de la consanca de. Para ello necesaríaos saber qué sucede en cada d, es decr, en cada nsane, la negral del ulso úncaene nos nora del eeco global roducdo durane el nervalo de eo Δ =. El ulso no de una uerza, [11.5], es arcularene úl en el esudo de lo que, en el lenguaje coloqual se denona un gole o una ercusón. En la aor are de los casos es osble conocer la uerza que acúa sobre una arícula durane el breve nervalo de eo que dura un gole o una ercusón. Se suone que las uerzas de ese o, denonadas uerzas ercusvas, son u nensas, a juzgar or los eecos que roducen, ero no se conocen con sucene dealle. Pueso que el eo durane el cual acúan ales uerzas es exraordnaraene equeño, el deslazaeno de la arícula es desrecable. = 0 [11.5]

5 aleos 11.5 De ora que, s en el nsane, nedaaene anes del gole o ercusón, las varables dnácas de la arícula son: su asa, su vecor de oscón r su velocdad v, en el nsane, nedaaene desués del gole, las varables dnácas serán,, r v+δv. En esas condcones: Fd = d = ( ( = v( v( = Δv Y de aquí se deduce que, s se conoce la asa de la arícula el ulso no de la uerza F, aunque ésa no sea conocda, se uede calcular la varacón que exerena la velocdad de la arícula. O vceversa: S se conoce la asa de la arícula la varacón de su velocdad, se uede calcular el ulso de la uerza F, s ben dcha uerza no se uede llegar a conocer, a enos que se suonga consane, en cuo caso: Fd = F d = F ( = FΔ que, coarada con la relacón aneror, da: de aquí, FΔ = Δv F = v ( v(