T8 T9. Capítulo. Dinámica de los sistemas libres de un grado de libertad

Transcripción

1 Capíulo T8 T9 Dnáca de los sseas lbres de un grado de lberad 9. INTODUCCIÓN A lo largo de ese capíulo, se va a planear la respuesa de los sseas dnácos resolvendo analícaene las ecuacones que aparecen. Así so, se presará especal aencón a los valores de aorguaeno de los sseas y cóo esos nluyen en las derenes respuesas que se producen. En ese capíulo se abordarán solaene los sseas lbres, es decr sn excacón exerna y en consecuenca, el oveno se produce por un desplazaeno ncal del puno de equlbro. En la gura se uesra un ssea de un grado de lberad que consse en una asa que se desplaza horzonalene sn rozaeno y que esá sujea a la pared por edo de un resore de rgdez K, y un aorguador de coecene de aorguacón. S el ssea se pone en oveno debdo a un desplazaeno ncal y/o una velocdad ncal, la asa vbrará lbreene.

2 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d Fgura. Masa que se desplaza horzonalene. Fgura. Bond-Graph del odelo. Flujo Esuerzo p/ Kx p/ 3 p/ p Kx En la gura se uesra el Bond-Graph del odelo; coo sepre, las ecuacones derencales del odelo son las dervadas respeco al epo de las varables ulzadas. En nuesro ejeplo las varables ulzadas son p, x y sus dervadas respeco al epo: esuerzo del grao 3. x lujo del grao. Kx - -

3 Bond-Graph x Al raarse de un ssea osclane, la respuesa será del po: p e s x X e s En donde es el epo,, X son las apludes, enras que s es un paráero desconocdo que oblgaoraene debe ser un núero coplejo para que la uncón exponencal represene a un oveno osclane. Dervando las expresones se ene: p s e s s x s X e Y susuyendo en las ecuacones derencales orgnales: s e s K X e s e s s X e s O ben: e s s K X e X s e s 0 s 0 Aunque el epo sea cero, la exponencal no puede ser nula y en consecuenca se deberá cuplr que: s K X 0 X s 0 Y en ora arcal: s K s X 0 0 Una posble solucón podría ser que y X ueran cero, pero esa solucón no ene sendo ya que s las apludes del oveno son nulas, no exse el oveno. En consecuenca es necesaro que se cupla que: - 3 -

4 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d de s esolvendo el deernane. s s K K s 0 0 Esa ecuacón algebraca de segundo grado se denona ecuacón caracerísca del ssea y coo ecuacón de segundo grado ene dos solucones: S, ± 4K Coo recordará el lecor, los valores de s deben ser núeros coplejos para que la respuesa sea un oveno osclane. Coo se deduce de la expresón aneror, para que los valores de s sean núeros coplejos es necesaro que la expresón conenda por la raíz cuadrada sea negava. Es decr: 4K < 0 Que se cuple cuando: < 4K De donde despejando el valor de, se obene: < 4 Cuando se cuple esa condcón los valores de s se pueden expresar coo: s α s α β β En donde la pare real α es: α Y la pare agnara β : β 4-4 -

5 Bond-Graph En donde, coo observará el lecor se han nverdo los érnos que se encuenran denro de la raíz, debdo a que ahora b se encuenra ulplcado por el érno agnaro. Al exsr dos respuesas de s, habrá dos solucones de las uncones planeadas, es decr, se endrá: p e s p e s X e s x X e s x Tal que la respuesa nal, para sseas lneales en donde se cuple el prncpo de superposcón, es: x x x X e s X e s p p p e s e s Tenendo en cuena que la respuesa es sua de uncones exponencales coplejas y ulzando las órulas de Euler, se puede llegar a una expresón nal de la respuesa del po: p e α sen x X e α sen ( β φ ) p ( β φ ) x En donde, X son consanes a deernar y φ, φ X son ángulos de desase que abén es necesaro deernar. Coo se observa, la expresón de las respuesas esán oradas por el produco de una uncón exponencal que ene coo exponene la pare real de s, ulplcada por una uncón senodal de recuenca la pare agnara. En la gura 3, se uesra una uncón exponencal de exponene negavo en uncón del epo. Fgura 3. Funcón exponencal con exponene negavo

6 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d Coo se observa en la gura, una uncón exponencal con exponene negavo ende asnócaene a cero conore auena el epo. Eecvaene, en ese caso: α Al ener valor negavo el exponene: e e Y por lo ano ende a cero conore auena el epo. En la gura 4, se uesra una uncón senodal desasada. Fgura 4. Funcón senodal desasada. Coo la respuesa es produco de una uncón exponencal decrecene, por una uncón senodal, la respuesa en denva es una uncón osclane de aplud decrecene que llega a anularse

7 Bond-Graph Fgura 5. El produco de una uncón exponencal decrecene por una uncón senodal es una uncón osclane decrecene 9.. SISTEMAS AMOTIGUADOS CÍTICAMENTE Y SOBEAMOTIGUADOS Un caso especal de los sseas se produce cuando el aorguaeno es al que no se cuple la condcón expuesa en el aparado aneror. ara que la respuesa de un ssea uera osclane es necesaro que el aorguaeno cupla la condcón: < 4 Esa era la condcón para que los valores de s ueran coplejos y en consecuenca la respuesa osclane. Veaos qué sucede cuando no se cuple esa condcón. or ejeplo, supongaos que: 4 En ese caso los valores de s, son: s, ± 4 ± 0-7 -

8 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d En consecuenca cuando s s Y adeás son núeros reales. s o s o En abas respuesas la pare agnara es nula. La respuesa del ssea será coo sepre: x x x X e s X e s p p p e s e s 4 los dos valores de s son guales ecuerde el lecor que ese planeaeno de que x es sua de x y x, sólo puede hacerse cuando el ssea es lneal y por lo ano se cuple el prncpo de superposcón. Los sseas que enen un valor de aorguaeno al que: 4 y que por lo ano enen valor nulo en la raíz, se dce que presenan aorguaeno críco. Al ener la pare agnara de s nula, la respuesa es la sua de dos uncones exponencales con exponene real

9 Bond-Graph Fgura 6. espuesa con aorguaeno críco. Eecvaene, coo se observa en la gura cuando el ssea ene aorguaeno críco, la repuesa no es un oveno osclane. Ese hecho es por ora pare obvo, ya que un oveno osclane sólo puede ser represenado por una uncón exponencal cuando el exponene es un núero coplejo, y coo se ha deosrado con aorguaeno críco el exponene de la uncón es un núero real. Sseas sobreaorguados Ora posbldad que puede producrse es > 4 que, en ese caso se ene: s, ± candad > 0 Y, en consecuenca s y s son núeros reales pero dsnos y abos negavos. Cuando el aorguaeno es ayor que el críco, se dce que el ssea esá sobreaorguado. La respuesa del ssea puede escrbrse coo: e s p X e s e s X x e s Donde X, X,,, son consanes que dependen de las condcones ncales. Las solucones de p, x son sua de dos uncones exponencales cuyos exponenes enen valor real y negavo. or ese ovo conore ranscurre el epo y ayor se hace ese, las uncones s e y s e enden a cero

10 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d Al gual que en el caso del aorguaeno críco, cuando el ssea se desplaza ncalene una dsanca x de su puno de equlbro y luego se suela, vuelve al puno de equlbro con un oveno no osclane, al y coo se ndca en la gura 7. Cuano ayor es el aorguaeno, ayor es el epo que arda el ssea en volver al puno de equlbro. Fgura 7. espuesa de un ssea sobreaorguado. ara obener el epo que arda el ssea en volver a su puno de equlbro, basa con planear la ecuacón de la candad de oveno y ener en cuena que cuando, la velocdad del ssea se anulará y en consecuenca p 0 ara p 0 e s e s De donde: e s e s e ( s s ) De donde, se puede despejar el valor de. s s ln Obencón de las consanes,, X, X ara obener los paráeros,, X, X, se pare de las ecuacones ncales del odelo. s X e s 0-0 -

11 Bond-Graph Xs e s 0 ara el nsane ncal 0 y en consecuenca: e s o s X Xs 0 0 ara la solucón s se endrá: X s X s 0 Susuyendo s por su valor: s 0 4 Y después de algunas anpulacones algebracas, puede observarse que abas ecuacones son equvalenes a una sple ecuacón. 4 X 0 De donde no pueden despejarse los valores de X y pero sí obener la relacón enre ellos. Del so odo planeando las ecuacones para la solucón s, se obene: 4 X 0 ara obener denvaene los valores de,, X, X, es necesaro planear dos ecuacones ás. Esas ecuacones se planean por edo de las condcones ncales. Así, s para 0 se ene que: x x 0 p p 0 Se pueden planear: 0 e s 0 0 e s p 0 x X e s 0 0 X O en denva: e s 0 p 0 - -

12 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d x 0 X X Con las dos relacones enre los valores de, X y, X y esas dos úlas ecuacones, se pueden obener denvaene las expresones de,, X, X. De esa ora ya denvaene se ha obendo la respuesa del ssea dnáco. e s p e s x X e s X e s 9.3. SISTEMAS NO AMOTIGUADOS Un caso parcular se produce cuando el ssea no ene aorguaeno, es decr, cuando 0. Fgura 8. Ssea no aorguado. Anulado el valor de en las expresones de s y s, se obene: s, ± 4 ± Coo puede observarse se enen dos solucones que resulan ser agnaras. Denonando: β Se ene en denva: s s β β En donde es el operador agnaro dendo coo - -

13 Bond-Graph Las solucones del ssea serán: p p p e s e s x x x X e s X e s En ese caso s, s son dos núeros coplejos conjugados con la pare real nula. Susuyendo en la ecuacón de p se ene: ( α β ) ( α β ) p e e e α e β e β e a es gual a por ser a 0, y la uncón exponencal copleja e b y e - b, puede escrbrse en érnos de uncones rgonoércas, usando las órulas de Euler. e β cosβ sen β e β cosβ sen β Después de algunas anpulacones algebracas, la solucón denva de p, puede expresarse coo: p sen ( β φ ) En donde y φ son las consanes a hallar en uncón de las condcones ncales. Cuando la pare real es nula, p es una uncón arónca de recuenca b desasada un ángulo F. Fgura 9. espuesa de un ssea sn aorguaeno

14 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d 9.4. AZÓN DE AMOTIGUAMIENTO En la prácca se ulza ucho la razón del aorguaeno ulzado en el ssea, respeco a su aorguaeno críco. Sea el aorguaeno del ssea y recordando que el aorguaeno críco enía la expresón: Críco 4 Se denona x a la razón de aorguaeno, al que: ξ 4 S x el aorguaeno es críco. S x < el ssea es subaorguado. S x > el ssea es sobreaorguado. or oro lado s se denona: que es la recuenca de osclacón de la asa cuando el ssea no enía aorguaeno, los valores de s, pueden expresarse coo: s ξ ξ s ξ ξ La pare agnara es la recuenca naural del ssea aorguado. Denonando a esa recuenca naural w d, se ene: ξ d Y operando esa expresón puede ponerse coo: d ξ Esa relacón enre la recuenca naural del ssea sn aorguaeno w y con aorguaeno w d, en uncón de la razón de aorguaeno x, puede represenarse en un gráco, al y coo se uesra en la gura

15 Bond-Graph Fgura 0. Gráco de recuencas naurales en uncón de x. En esa gura, se observa coo para pequeños valores de aorguaeno, las recuencas naurales con y sn aorguaeno se aproxan ucho. Cuando x se aproxa a y por ano, el aorguaeno se acerca al valor del aorguaeno críco, w d dsnuye rápdaene hasa que cuando x se guala a, w d vale 0, es decr; el oveno ya no es osclaoro DECEMENTO LOGAÍTMICO Coo se ha vso en los aparados anerores, la solucón en los sseas subaorguados puede escrbrse coo: x ξ X e sen d ( φ ) En donde la aplud X y el ángulo de ase son consanes que se deernan en uncón de las condcones ncales. La solucón x es el produco de una uncón exponencal que decrece con el epo y una uncón arónca. La respuesa en ese caso es osclaora, al y coo se ndca en la gura. La velocdad x se obene derencando con respeco al epo la ecuacón de x. ξ x X e [ ξ sen ( φ ) cos ( φ )] d Los pcos de desplazaenos osrados en la gura, pueden ser obendos hacendo cero. d d x gual a ξ X e [ ξ sen( φ ) ( φ )] 0 d d cos d - 5 -

16 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d Sendo el epo en el que se produce el pco. Fgura. cos de desplazaenos en osclacones sucesvas. De la ecuacón aneror se deduce que: [ ξ sen ( φ ) ( φ )] 0 Y operando: an d ( φ ) d d ξ dcos ξ ξ Usando la dendad rgonoérca: sen θ an θ an θ La ecuacón puede escrbrse: sen ( φ ) ξ d d Susuyendo ahora esa ecuacón en la orgnal de x, se puede calcular el desplazaeno de pco. x ξ Xe ξ - 6 -

17 Bond-Graph Esa ecuacón puede ser ulzada para desarrollar un éodo que pera deernar experenalene, el coecene de aorguacón de un ssea subaorguado de un grado de lberad. La ecuacón aneror dene la aplud para el cclo. En el cclo sguene () que ocurre en el epo d se endrá: ( τ ) ξ Xe d x ξ En donde d es el epo de un cclo. π τ d d Dvdendo las ecuacones de x, x : ξ x ξ Xe x ξ ξ Xe d ( τ ) ξ τ e d En donde puede verse cóo el cocene de dos apludes sucesvas, es una consane que no depende del epo. Esa ecuacón puede ser expresada abén coo. ln x x ξ τ δ d En donde δ es una consane que se denona decreeno logaríco. Usando esa ecuacón y enendo en cuena la dencón de τ d y de w d, d ξ El decreeno logaríco d puede ser escro coo: δ x π ξ ln x ξ S d puede ser deernado experenalene, dendo dos apludes sucesvas, se puede calcular el acor de aorguaeno del ssea x que despejado de la ecuacón aneror ene la sguene expresón: ξ δ δ 4π 9.6. INESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS Coo se ha vso en los aparados anerores, los sseas lbres cuya solucón de la ecuacón caracerísca es un núero coplejo del po s ab presenan una respuesa que es el produco de una consane por una uncón exponencal y por una uncón arónca

18 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d x α X e sen ( β φ ) En el ejeplo planeado de asa, uelle aorguador, la pare real del núero coplejo s era sepre negava y en consecuenca, la uncón exponencal endía a cero. Fgura. espuesa de un ssea con a negavo. Exsen sseas en los cuales la pare real de s es posva. Una uncón exponencal con exponene posvo ende al nno conore crece el epo. Fgura 3. Funcón exponencal con a>

19 Bond-Graph El produco de una uncón exponencal con a>0 y una uncón arónca, resula una uncón osclane de aplud que crece en cada cclo y que ende al nno. Fgura 4. espuesa de un ssea con pare real de s posva. Cuando un ssea ene la pare real de s posva, al ser separado de su puno de equlbro, oscla pero cada vez lo hace con ayor aplud endendo esa al nno. A ese enóeno se lo conoce con el nobre de nesabldad y en esas condcones se dce que el ssea es nesable. Sseas nesables hay en odos los donos de la ísca, aunque en unos ás que en oros. En Ingenería Mecánca aparece en eas uy concreos coo por ejeplo, la dreccón de los vehículos auoóvles, los procesos de arranque de aeral en las áqunas herraenas y la dnáca errovara. En sseas elécrcos es ás correne la aparcón de coporaenos nesables y por úlo, en el conrol de procesos y de ecansos es basane recuene s no se elgen adecuadaene los paráeros de conrol. ara conrasar grácaene lo lejos o cerca que un ssea se encuenra de la nesabldad, se suelen represenar los valores de s en el plano coplejo suando la pare real de s en el eje de las abscsas y la pare agnara en el eje de ordenadas. Sólo son esables los sseas que se encuenran a la zquerda del eje de ordenadas, ya que solaene en ese caso la pare real de s es negava

20 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d Fgura 5. epresenacón de s en el plano coplejo DINÁMICA DE LOS SISTEMAS FOZADOS DE UN GADO DE LIBETAD En la gura se uesra un odelo de un grado de lberad orado por una asa que se desplaza horzonalene y esá unda edane un resore y un aorguador, a una base cuyo oveno en uncón del epo es conocdo. Fgura. Masa que se desplaza excada por una base de oveno conocdo. En los aparados anerores se han esudado los sseas de un grado de lberad en su respuesa lbre, es decr cuando se ueven debdo a condcones ncales no nulas, pero no exse nnguna excacón exerna. En ese aparado se va a abordar la respuesa de los odelos de un grado de lberad orzados, es decr, cuando esán soedos a una excacón exerna

21 Bond-Graph Fgura. Bond-Graph del odelo Flujos Esuerzos V() Kx [V() - /] / Kx [V() - /] 3 V() - / Kx [V() - /] 4 V() - / [V() - /] 5 V() - / Kx 6 / Kx [V() - /] Las ecuacones derencales del odelo son las dervadas respeco al epo de las varables, x. & x v () x& v () Ordenando las ecuacones y dejando en el segundo ebro la excacón, se ene: & x& x v () v () - -

22 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d Esas ecuacones concden con las que se obenían para el odelo ncal de ese capíulo, con la salvedad de que en aquel caso no había excacón y por lo ano las ecuacones eran hoogéneas, es decr, eran guales a cero. La solucón de las ecuacones derencales no hoogéneas es la sua de la solucón enconrada para la ecuacón hoogénea ás una solucón parcular. Es decr: x () h () p () () () () xh xp En donde p () es la solucón de la ecuacón no hoogénea, p h () la solucón de la ecuacón hoogénea y p p () la solucón parcular. Lo so sucede para la varable x (). En los párraos anerores se ha esudado la obencón y la ora de la solucón de la ecuacón hoogénea y por lo ano, ahondareos ahora solaene en la obencón de la solucón parcular y para el caso en que la excacón es una uncón arónca. S la excacón es una uncón arónca, se endrá: () V V cos e Ve En donde el operador e sgnca la pare real de la uncón exponencal copleja Ve ecuerde el lecor que la exponencal copleja es: e cos sen Y por lo ano: e e I e cos sen S la excacón del odelo es una uncón arónca de recuenca w, las respuesas parculares serán abén uncones aróncas y en consecuenca: x p () e X e X cos () e e cos Dervando y susuyendo en las ecuacones derencales del odelo, se ene: e e X e V e - -

23 Bond-Graph V e e e X En donde coo observará el lecor, se ha suprdo el operador e. Eso puede hacerse hasa que se han copleado odas las operacones y enonces oar solaene la pare real del resulado nal. Las ecuacones ahora planeadas consuyen un ssea algebraco cuyas ncógnas son X,. Splcando y ordenando, se ene: V X V X Aplcando la regla de Craer para resolver el ssea: ( ) V V V V V V X Las apludes X, de las uncones exponencales coplejas que consuyen la solucón parcular de la respuesa del odelo orzado, son cocenes de los núeros coplejos que varían con la recuenca de la excacón w. No ene nnguna dculad hallar X y para cualquer valor de w, sn ás que recordar que solaene se necesa la pare real, debdo a que anerorene y por cooddad se había prescnddo del operador real e. No obsane es ás neresane deernar coo X y varían conore w va desde cero a nno. En la gura 3 se uesra la varacón de en uncón del cocene de la recuenca de excacón w enre la recuenca naural del ssea, para derenes valores de la razón de aorguaeno.

24 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d Fgura 3. espuesa de en uncón del cocene w /w, para derenes valores de x. En la gura 3 se observa cóo s la recuenca de excacón concde con la naural del ssea y no exse aorguaeno, es decr x 0, la aplud de ende al nno, es decr se produce la resonanca del odelo. En cuano la razón de aorguaeno es dsna de cero, ya no se produce el enóeno de la resonanca aunque la recuenca de la excacón concda con la naural del odelo. En cualquer caso la aplud de la respuesa es sepre ayor conore la recuenca de excacón se acerca a la recuenca naural ESUESTA TOTAL DE LOS SISTEMAS DE UN GADO DE LIBETAD Coo se ha planeado en los aparados anerores las ecuacones: & x v () x& v () Tenen coo solucón la sua de dos solucones, la de la ecuacón hoogénea p h () ás la solucón parcular p p () para el caso de p, y x h () ás x p () para la varable x

25 Bond-Graph () ph () pp() () () () p x xh xp Coo abas ecuacones son derencales ordnaras de prer orden, las solucones son del so po. En consecuenca, a parr de ahora nos reerreos solo a una de ellas. En el aparado correspondene a los sseas lbres, se dedujo que la solucón de la ecuacón hoogénea para la varable x era: x h () X e α sen( β φ ) En donde a es la pare real de la solucón de la ecuacón caracerísca s, b es la pare agnara y φ es el ángulo de desase. Esa solucón esá orada por el produco de una uncón exponencal por una uncón arónca. Cuando el exponene de la uncón exponencal es negavo, x h () resula una uncón osclane de aplud decrecene que ende a cero conore al epo crece. Esa uncón osclane decrecene ene de recuenca la naural del ssea y depende exclusvaene de los paráeros del odelo y no de la excacón. x h () X e α sen( β φ ) Fgura 4. Solucón hoogénea x h (). En cuano se reere a la solucón parcular x p (), al y coo se ha planeado en el aparado aneror es una uncón arónca de recuenca la de excacón w.. x p () X cos - 5 -

26 D n á c a d e u n s s e a d e u n g r a d o d e l b e r a d Fgura 5. Solucón parcular x p (). x () () () Xe α sen( β φ ) X cos xh xp Fgura 6. Solucón oal x(). Al ser la solucón oal la sua de la hoogénea ás la parcular la respuesa oal del ssea ene una prera pare oalene nluencada por la solucón hoogénea que coo el lecor conoce dsnuye con el epo y llega a anularse. Cuando la solucón hoogénea desaparece sólo queda la solucón parcular que al ser una uncón arónca peranece en el epo hasa que desaparece la excacón