Posición de equilibrio estable. Dinámica directa o simulación dinámica. Dinámica inversa. Linealización de las ecuaciones del movimiento.
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- Marcos Alcaraz Valenzuela
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1 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Defnón Análss Dnáo La Dnáa es la raa la Meána que se oupa l esudo l oveno, onsrando las ausas que lo produen sus efeos. PROBLEMAS DINÁMICOS: Posón equlro esale. Dnáa drea o sulaón dnáa. Dnáa nversa. Lnealzaón las euaones l oveno. J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.
2 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Posón Equlro Esale OBJEIVO: Oenón la posón equlro l eanso soedo a la aón un onjuno solaones eerores. PLANEAMIENO DEL PROBLEMA: Inógnas: Veor oornadas pendenesq. Daos: Daos nerales geoéros l eanso. Solaones eerores. Aproaón nal l veor oornadas. OBSERVACIONES: Se raa un prolea no lneal MÉODOS IERAIVOS J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.
3 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo OBJEIVO: Sulaón Dnáa Deernar la respuesa en el epo l eanso soedo a la aón un onjuno solaones eerores. PLANEAMIENO DEL PROBLEMA: Inógnas: Respuesa en el epo l eanso (posones, velodas, Daos: OBSERVACIONES: aeleraones, reaones en los pares, e.) Daos nerales geoéros l eanso. Solaones eerores. Condones nales los grados lerad. Requere la soluón un ssea euaones dferenales. Las oornadas que fnen el eanso son pendenes. J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.3
4 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo OBJEIVO: Prolea Dnáo Inverso Oenón los esfuerzos oores que orgnan un oveno dado en el eanso. PLANEAMIENO DEL PROBLEMA: Inógnas: Esfuerzos oores que orgnan el oveno. Daos: Daos nerales geoéros l eanso. Solaones eerores. Daos neáos l oveno. OBSERVACIONES: Juno on los esfuerzos oores, es haual el álulo las reaones en los pares neáos. J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.4
5 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Péndulo Sple (I) Dagraa l péndulo Dagraa sóldo lre R θ θ R & & && + g J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.5
6 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Péndulo Sple (II) Es. equlro dnáo F F M o R & R & g ( &&) ( & g) Cneáa L & θ + Lgosθ && g θ + os θ L Losθ Lsenθ & Lsenθθ& & Losθθ& && Lsenθθ&& Losθθ& && Losθθ&& Lsenθθ& Susuendo las euaones la neáa en las euaones equlro dnáo J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.6
7 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Péndulo Sple (III) Funón Lagrangana V g L V (& + & ) (& + & ) g Es. Lagrange d L L d & θ θ L L & θ glsenθ Cneáa Losθ Lsenθ & Lsenθθ& & Losθθ& && g θ + os θ L J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.7
8 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Belaanvela (I) Dagraa l eanso Dagraas sóldo lre B (,) R R R L L (, ) (, ) & & & & R A (,) θ C (s,) R R && + g && + & & s g R 3 J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.8
9 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Euaones equlro dnáo R R R R R + && && Euaones neáa Losθ Lsenθ 3 s (&& + g) R (&& + ) g Belaanvela (II) & Lsenθθ& & Losθθ& & & & & & & 3 & & s& & R R R && + R 3 s && && (&& + g) + R (&& + ) g L && L & && senθθ osθθ L && L & && osθθ senθθ && && && && && && 3 && && && s && J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.9
10 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Belaanvela (III) Operando en las euaones equlro dnáo 7& R (&& && ) ( && + & + ) R + g Susuendo las euaones la neáa en las euaones equlro dnáo 3 && & g ( + sen θ )&& θ + senθosθθ& g + osθ L J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.
11 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Belaanvela (IV) Funón Lagrangana V V (& + & ) + ( & + & ) g + g L & θ + 3L 4 glsenθ sen θθ& L L & θ + 3L sen θθ& 4 Euaones Lagrange d L L d & θ θ + s& glsenθ Cneáa & Lsenθθ& & Losθθ& & & & & & & 3 & & s& & ( + sen θ )&& θ + senθosθθ& g + osθ L J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.
12 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Planeaeno l prolea dnáo. Defnón l olo aeáo Seleón las oornadas. Resoluón la neáa 3. Planeaeno las euaones l oveno Fuerzas nera Fuerzas eerores 4. Inegraón en el epo las es. l oveno Euaones dferenales no lneales º grado J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.
13 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Euaones NewonEuler Euler: DIFICULADES que planean: Euaones l Moveno (I) ( F a ) ( N J ω& ω J ω ) G Conduen a grans sseas euaones. Inluen enre las nógnas las reaones en los pares neáos. En eros eansos, puen apareer ás nógnas que euaones el prolea pue no esar ernado. G J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.3
14 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Euaones LAGRANGE: Prnpo los RABAJOS VIRUALES: Prnpo las POENCIAS VIRUALES: Prnpo HAMILON: Oros: euaones GsAppell,... δ Euaones l Moveno (II) d d L q& L q + Φ q λ Q e ( F Q) δq n ( F Q) &~ q ( ) ( Φ λ) L W d + δ q d + e n J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.4
15 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Energía néa: arz asas Posón l eleeno fnda por dos punos. Fuerzas eerores: fuerzas generalzadas Fuerzas punuales. Resores aorguadores. Forulaón Nuéra n r r j j j j + n j J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.5
16 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Marz Masas (I) ENERGÍA CINÉICA un eleeno rígdo: e r & r& V Posón un puno genéro vene dada por: d r + + ( ) ( ) ( ) ( ) j n j + j n j r n n n n n C n J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.6
17 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Marz Masas (II) Velodad l puno vene dada por: & r& & & & + + ( & & ) (& & ) j n j ( ) ( ) C + n & & & & & & j Susuendo en la epresón la energía néa: e & & r rd V V n j { } ( ) & n& C Cd q& emeq& e M e C V Cd & n& J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.7
18 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Marz Masas (III) La arz asas se esre oo, M e V C Cd M e V ( ) + n ( ) n ( ) + n n ( ) ( ) n n + n ( ) n n n + n n d J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.8
19 EORÍA DE MÁQUINAS EORÍA DE MÁQUINAS Análss Dnáo Análss Dnáo Análss Dnáo J.M. Pnor J.M. Pnor Boroa Boroa J.M. Jénez J.M. Jénez Basones Basones ANÁLISIS COMPUACIONAL ANÁLISIS COMPUACIONAL ANÁLISIS COMPUACIONAL Marz Masas (I Marz Masas (IV) Los ÉRMINOS DE LA MARIZ DE MASAS ÉRMINOS DE LA MARIZ DE MASAS se alulan on: + + n j j j j n n r r n A e V d G G e V V n d d A A
20 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Marz Masas (V)( Los ÉRMINOS DE LA MARIZ DE MASAS se alulan on: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) n d A V V n n d A n V d n n I e G + e I e G e G + e A A I eg e G + e I e G + e J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.
21 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Poenal vrual una fuerza punual: ~ & W r F ~ & F Posón velodad vrual l puno aplaón: r C n Veor FUERZA GENERALIZADA: ~ r& Fuerzas Punuales ~ & C n ~ & { ~ } & n C F Q C F ~ & W ~ r& F ~ & F n F r r r j J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.
22 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Resores Posón los ereos l resore: r C n Valor la fuerza aplada: F r r ( d ) k d C n r r r r El aso se redue a un PROBLEMA DE E FUERZAS PUNUALES: Q C Fr Q C Fr n F r r n r F r J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.
23 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Velodad los ereos l aorguador: r& Valor la fuerza aplada: F C & & n ( r& r& ) ( r r ) ( ) ( ) ( r ) r r r r r r& C Aorguadores El aso se redue a un PROBLEMA DE FUERZAS PUNUALES: & & n Q C F Q C F n n F F r r J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.3
24 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Ensalado l ssea euaones (I) Dagraa l eanso Dagraas sóldo lre B (, ) R R R L L & & & & R A ( a, a ) θ C (, ) R R && + g && + & & s g R 3 J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.4
25 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Ensalado l ssea euaones (II) Eslaón Eslaón & & & & && + g && + g & & s a a a a a a a a a a && && && && a a q q q q a a && && && && q q q q J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.5
26 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Ensalado l ssea euaones (III) Marz asas veor fuerzas l eanso F n a a a q q Q q q a a a a a q + q q q a a + g g a a + + g g g && && && && && && a a J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.6
27 EORÍA DE MÁQUINAS EORÍA DE MÁQUINAS Análss Dnáo Análss Dnáo Análss Dnáo J.M. Pnor J.M. Pnor Boroa Boroa J.M. Jénez J.M. Jénez Basones Basones ANÁLISIS COMPUACIONAL ANÁLISIS COMPUACIONAL ANÁLISIS COMPUACIONAL Ensalado l ssea Ensalado l ssea euaones (IV) euaones (IV) Marz asas veor fuerzas l eanso { } 3 ~ ~ ~ ~ + + g g && && && && & & & & { } 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ + + g g g a a a a a a a a a a a a a a && && && && && && & & & & & &
28 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Mulpladores Lagrange (I) Del Prnpo las Poenas Vruales: ( F Q) q& ( Mq& Q) q & ~ ~ n don el veor velodas vruales esá sujeo a las euaones resrón foruladas la fora: Φq q&~ Las velodas vruales se elnan edane un veor nógnas adonales los MULIPLICADORES DE LAGRANGE: Mq&& + Φ q λ Q J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.8
29 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Mulpladores Lagrange (II) Las euaones dnáas se oplean on las resrones rvadas dos vees: Φqq& Φ& qq& Se llega así a un onjuno euaones dferenales algeraas que se e INEGRAR EN EL IEMPO: M Φ q Φ q q&& λ Φ& & Φ q Q q& Φ& J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.9
30 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Euaones l Mov.. en Coords.. Inpendenes Las oornadas pendenes se epresan oo: q q ( z) Dervando esa euaón para las velodas vruales las aeleraones reales: q ~ & R( z)z ~ & q & Rz && + R& z & En el PRINCIPIO DE LAS POENCIAS VIRUALES: q ~ & & ( Mq&& Q) ( Mq&& Q) ~ z R ( MRz ( && + Rz &&) Q) & R ( Q MRz &&) R R MRz que es un ssea euaones dferenales ordnaras. J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.3
31 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Inegraón Nuéra (I) Caraerísas las euaones l oveno Coord. pendenes Coord. Inpendenes Dferenales algeraas Dferenales ordnaras Segundo orn Segundo orn Nolneales Nolneales M Φ q Φ q q&& λ Q & q Φ& R & MRz & R ( Q MRz &&) Φ q J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.3
32 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Inegraón Nuéra (II) Inegraón euaones segundo orn Inegradores prer orn & f (,) ransforaón las euaones segundo orn en euaones prer orn q q & & q& q f, q&& q& J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.3
33 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Inegraón Nuéra (III) Inegraón en oornadas pendenes q&& MΦq λ Φq q q& Φ& q q& q&& Q q& Φ& q q& + J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.33
34 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Inegraón Nuéra (IV) Algoro álulo en oornadas pendenes. Posón velodad (pendenes) en. Marz asas 3. Marz jaoana 4. Fuerzas eerores 5. érno aeleraones 6. Dervada q&& MΦq λ Φq M Φ Φq q Q ( q) ( & ) Qq,q, Φ& & q q & Φ Φ& q Q q& Φ& J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.34
35 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Inegraón Nuéra (V) Inegraón en oornadas npendenes & z ( ) R MR R ( Q MRz &&) q z& q& && z q z& + J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.35
36 EMA Análss 4 Análss Dnáo Dnáo Inegraón Nuéra (VI) Algoro álulo en oornadas npendenes. Posón (pendene) velodad (npendene) en. Marz ransforaón 3. Velodas pendenes 4. Marz asas 5. Fuerzas eerores R Rq ( ) q & Rz& R MR Mq ( ) R Q Qq,q, ( & ) 6. érno aeleraones & R MRz& 7. Dervada ( ) & z R MR R ( Q MRz && ) J.M. Pnor Boroa J.M. Jénez Basones EORÍA DE MÁQUINAS 4.36
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