Motivación. Gran parte de las señales de nuestra experiencia cotidiana son continuas; sin embargo, cada vez más, se procesan digitalmente.
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- Josefina Valverde Blázquez
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1 c Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal. Dp. Ingeniería de Comunicaciones. Universidad de Canabria. Señales y sisemas. ema 5: Muesreo. OpenCourseWare p. /?? ema 5: Muesreo. Moivación. 2. Esquema. 3. Conocimienos previos. 4. Muesreo uniforme. 5. Reconsrucción ideal. 6. Algunos aspecos prácicos. 7. Resumen.
2 Moivación Gran pare de las señales de nuesra experiencia coidiana son coninuas; sin embargo, cada vez más, se procesan digialmene. El muesreo de señales coninuas, y su reconsrucción a parir de secuencias discreas consiuye la inerfaz enre los mundos coninuo y discreo. La eoría de muesreo desempeña un papel fundamenal en deerminar la exaciud y viabiliad de cualquier esquema de raamieno digial. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.2/7
3 Esquema Ejemplos coidianos de muesreo y reconsucción. Planeamieno del problema. Conocimienos previos necesarios. Muesreo uniforme: eorema de Muesreo. Reconsrucción ideal. Algunos aspecos prácicos. Resumen de los concepos más imporanes. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.3/7
4 Ejemplos coidianos de muesreo y reconsrucción El sonido se almacena en un CD como una secuencia discrea (4400 muesras por segundo). Una película de cine consise en una secuencia de imágenes esáicas (24 por segundo). Sin embargo, nosoros lo percibimos como una secuencia coninua. Una panalla de ordenador muesra las imágenes en una mariz espacial discrea ( , ). Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.4/7
5 Planeamieno del problema 0 Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
6 Planeamieno del problema omamos muesras de x() en = n, n Z. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
7 Planeamieno del problema omamos muesras de x() en = n, n Z. La secuencia x[n] = x(n ) esá unívocamene definida. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
8 Planeamieno del problema omamos muesras de x() en = n, n Z. La secuencia x[n] = x(n ) esá unívocamene definida. Dada x[n], a qué señal coninua represena? Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
9 Planeamieno del problema omamos muesras de x() en = n, n Z. La secuencia x[n] = x(n ) esá unívocamene definida. Dada x[n], a qué señal coninua represena? Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
10 Planeamieno del problema omamos muesras de x() en = n, n Z. La secuencia x[n] = x(n ) esá unívocamene definida. Dada x[n], a qué señal coninua represena? Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
11 Planeamieno del problema omamos muesras de x() en = n, n Z. La secuencia x[n] = x(n ) esá unívocamene definida. Dada x[n], a qué señal coninua represena? Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
12 Planeamieno del problema omamos muesras de x() en = n, n Z. La secuencia x[n] = x(n ) esá unívocamene definida. Dada x[n], a qué señal coninua represena? La respuesa depende de un crierio a priori. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
13 Planeamieno del problema omamos muesras de x() en = n, n Z. La secuencia x[n] = x(n ) esá unívocamene definida. Dada x[n], a qué señal coninua represena? La respuesa depende de un crierio a priori. Especro: señales limiadas en banda. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
14 Conocimienos previos (I) Propiedades de la Dela de Dirac: x()δ( 0 ) = x( 0 )δ( 0 ), x() δ( 0 ) = x( 0 ). Dos punos de visa: dominio emporal y frecuencial. x() F X(j). Propiedades de muliplicación y convolución: x()y() F 2π X(j) Y (j), x() y() F X(j)Y (j). ransformada de Fourier de un ren de delas: F δ( k ) 2π ( δ 2πk ) k= k=. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.6/7
15 Conocimienos previos (II) ransformada de Fourier de un pulso de anchura : { ( ), < /2, F x() = sinc. 0, > /2. 2π sinc(x) 0 x Filro paso bajo ideal de frecuencia de core c : ( ) { c π sinc c F, < c, X(j) = π 0, > c. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.7/7
16 Muesreo uniforme (dominio del iempo) x() Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.8/7
17 Muesreo uniforme (dominio del iempo) x() Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.8/7
18 Muesreo uniforme (dominio del iempo) x() p() = k= δ( k ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.8/7
19 Muesreo uniforme (dominio del iempo) x() x p () = k= x[n]δ( k ) p() = k= δ( k ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.8/7
20 Muesreo uniforme (dominio de la frecuencia) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.9/7
21 Muesreo uniforme (dominio de la frecuencia) X(j) 0 m Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.9/7
22 Muesreo uniforme (dominio de la frecuencia) X(j) 0 m P (j) = 2π k= δ( k s ) 2π 0 s Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.9/7
23 Muesreo uniforme (dominio de la frecuencia) X(j) 0 m P (j) = 2π k= δ( k s ) 2π 0 s Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.9/7
24 Muesreo uniforme (dominio de la frecuencia) X(j) X p (j) = k= X(j( k s )) 0 m 0 s m s m P (j) = 2π k= δ( k s ) 2π 0 s Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.9/7
25 Muesreo uniforme (dominio de la frecuencia) X(j) X p (j) = k= X(j( k s )) 0 m 0 s m s m P (j) = 2π k= δ( k s ) 2π 0 s Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.9/7
26 Muesreo uniforme (dominio de la frecuencia) X(j) X p (j) = k= X(j( k s )) 0 m 0 s m s m P (j) = 2π k= δ( k s ) 2π 0 s Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.9/7
27 Muesreo uniforme (dominio de la frecuencia) X(j) X p (j) = k= X(j( k s )) 0 m 0 s m s m P (j) = 2π k= δ( k s ) 2π 0 s eorema de muesreo: una señal coninua limiada en banda, con ancho de banda m, puede reconsruirse a parir de sus muesras si la frecuencia de muesreo s es mayor que el doble del ancho de banda: s > 2 m. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.9/7
28 Reconsrucción ideal (dominio de la frecuencia) X p (j) = k= X(j( k s )) 0 s m s m Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.0/7
29 Reconsrucción ideal (dominio de la frecuencia) X p (j) = k= X(j( k s )) 0 s m s m Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.0/7
30 Reconsrucción ideal (dominio de la frecuencia) X p (j) = k= X(j( k s )) X(j) 0 s m s m 0 m 0 s 2 Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.0/7
31 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
32 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
33 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) 2 c / s s 2 c h() = sinc ( s 2π ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
34 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) 2 c / s s 2 c h() = sinc ( s 2π ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
35 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) 2 c / s s 2 c h() = sinc ( s 2π ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
36 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) 2 c / s s 2 c h() = sinc ( s 2π ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
37 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) 2 c / s s 2 c h() = sinc ( s 2π ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
38 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) 2 c / s s 2 c h() = sinc ( s 2π ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
39 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) 2 c / s s 2 c h() = sinc ( s 2π ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
40 Reconsrucción ideal (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) x() = n= x[n]sinc ( s 2π ( n )) 2 c / s s 2 c h() = sinc ( s 2π ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p./7
41 Proceso ideal compleo x() F X(j) 0 m 2π p() F P (j) 0 s x p () F X p (j) 0 m s 2 c / s 0 s 2 c h() F H(j) 0 c x p () h() F X p (j)h(j) 0 m Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.2/7
42 Algunos aspecos prácicos Hemos hecho la suposición de que la señal original esá limiada en banda: Filro anialiasing. El filro de reconsrucción ideal es irrealizable: Oros esquemas de reconsrucción. Sobremuesreo. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.3/7
43 Filro anialiasing Muesreo a s < 2 m sin filro anialiasing: s m Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.4/7
44 Filro anialiasing Muesreo a s < 2 m sin filro anialiasing: s m Muesreo a s < 2 m con filro anialiasing: s 2 Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.4/7
45 Reconsrucción prácica (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
46 Reconsrucción prácica (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
47 Reconsrucción prácica (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) h 0 () Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
48 Reconsrucción prácica (dominio del iempo) x p () = n= x[n]δ( n ) x 0 () = n= x[n]h 0 ( n ) h 0 () Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.5/7
49 Reconsrucción prácica (dominio de la frecuencia) X p (j) = k= X(j( k s )) 0 s m s m Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.6/7
50 Reconsrucción prácica (dominio de la frecuencia) X p (j) = k= X(j( k s )) 0 s m s m s 2 s 2 s Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.6/7
51 Reconsrucción prácica (dominio de la frecuencia) X p (j) = k= X(j( k s )) 0 s m s m s 2 s 2 s Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.6/7
52 Reconsrucción prácica (dominio de la frecuencia) X p (j) = k= X(j( k s )) X(j) 0 s m s m 0 m s 2 s 2 s Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.6/7
53 Reconsrucción prácica (dominio de la frecuencia) X p (j) = k= X(j( k s )) X(j) 0 s m s m 0 m H c (j) s 2 s 2 s 0 m Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.6/7
54 Resumen de los concepos más imporanes eorema de Muesreo: Una señal coninua limiada en banda esá perfecamene represenada por una secuencia discrea de muesras equiespaciadas omadas con una frecuencia no inferior al doble del ancho de banda. Aspecos prácicos: Limiación de ancho de banda. Filro anialiasing. El sobremuesreo facilia la reconsrucción. Luis Vielva, Grupo de raamieno Avanzado de Señal, DICOM, UC. Plaza 62, BOE 8/8/200, Ejercicio 2. p.7/7
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