FLUCTUACIONES ECONOMICAS, PUNTOS DE GIRO Y CLASIFICACION CICLICA 1

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1 Informe para el proyeco Tools and Pracices For Business Cycle Analysis in Naional Saisical Insiues of EU (BUSY). WP: Reviewing and evaluaing saisical mehods for daing. FLUCTUACIONES ECONOMICAS, PUNTOS DE GIRO Y CLASIFICACION CICLICA Ana Mª Abad Alfredo Crisóbal Enrique M. Quilis INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA Ocubre 000 Las opiniones expuesas en ese rabajo son de los auores y no corresponden, de forma necesaria, con las del INE. Se agradecen los comenarios de Juan Bógalo.

2 CONTENIDO. Inroducción. Idenificación de punos de giro: méodos empirisas.. El procedimieno de Bry-Boschan.. El procedimieno <F> 3. Idenificación de punos de giro: méodos basados en modelos 3.. Auorregresiones por umbrales (TAR) 3.. Auorregresiones con régimen cambiane Markoviano (MS-AR) 4. Clasificación cíclica: méodos bivarianes 4.. El procedimieno <G> 4.. Clasificación cíclica mediane la función de correlación cruada 4.3. Clasificación cíclica mediane la función de coherencia especral 5. Clasificación cíclica: méodos mulivarianes 6. Conclusiones

3 . INTRODUCCION Flucuaciones, punos de giro y clasificación cíclica son res concepos clave para el analisa de la coyunura. Las flucuaciones o ciclos económicos consiuyen la maeria prima del coyunurisa, de forma que dedica gran pare de su iempo a su esimación, valoración y predicción. Los punos de giro son aconecimienos especialmene relevanes en el desenvolvimieno habiual de los ciclos, de forma que su presencia señala cambios de fase en la coyunura económica que han de ser examinados con especial aención, previsos con la máxima precisión y analiadas sus implicaciones con odo dealle. Por úlimo, la clasificación cíclica es una labor que amplía susancialmene el conocimieno del analisa sobre el sisema económico, de manera que puede explicar con mayor fundameno el comporamieno de las variables analiadas y elaborar predicciones y diagnósicos más precisos. En ese senido, el uso de indicadores adelanados puede ser de gran ayuda. La esrucura del rabajo es la siguiene. En la segunda sección se analian dos méodos para idenificar los punos de giro de una serie emporal mediane el uso de méodos empirisas o no paraméricos. Ambos comparen el uso de filros lineales así como la codificación mediane programas de ordenador de las reglas de decisión que los analisas del ciclo han venido uiliando para deecar punos de giro. A coninuación, se examinan dos modelos no lineales de series emporales que permien una definición explícia del concepo de puno de giro así como una cuanificación de su verosimiliud. Esos modelos conciben el fenómeno cíclico como un elemeno consusancial al mecanismo de propagación de los shocks. La cuara sección esá dedicada a la clasificación cíclica bivariane. Uno de los usos más comunes de las cronologías cíclicas consise en la deección de relaciones de desfase enre indicadores, de manera que algunos puedan servir como índices adelanados y permian la idenificación emprana de cambios de fase en la coyunura económica. Esa area de idenificación dinámica ambién puede realiarse mediane el análisis de las funciones de correlación cruada y de coherencia especral, que ambién son expuesas. Finalmene, en la quina sección, se presena un méodo mulivariane de clasificación cíclica basado en un modelo facorial dinámico. Ese modelo permie idenificar parones comunes de evolución, desfases así como el diseño de índices sinéicos de adelano, coincidencia y reraso. El rabajo concluye evaluando los disinos méodos y ofreciendo una guía esrucurada de análisis que permia la aplicación habiual de esas écnicas en el análisis de la coyunura y el ciclo así como el desarrollo de herramienas informáicas úiles para dicho análisis. Anes de iniciar la exposición conviene adverir que, como resulado de la división de areas denro del proyeco BUSY, la esimación del componene cíclico no será examinada en ese rabajo. No obsane, el lecor ineresado puede consular Melis (983), Góme (998), Kaiser y Maravall (999), enre oros. 3

4 . IDENTIFICACION DE PUNTOS DE GIRO: MÉTODOS EMPIRISTAS El análisis empirisa de los punos de giro consise en la idenificación de dichos punos mediane un conjuno de reglas de decisión que reflejan la experiencia prácica acumulada por los analisas del ciclo así como sus nociones a priori acerca de la nauralea de las flucuaciones económicas. En ese ipo de análisis no se emplean modelos esadísico-economéricos explícios para represenar a la serie que se desea analiar. Por el conrario, se adopa una perspeciva basane amplia que se concenra en las propiedades finales, observables, de la serie cuyos punos de giro se desea fechar. Ese carácer no paramérico es, al mismo iempo, una venaja y un inconveniene. La venaja se deriva de la simplicidad de su aplicación y del hecho de que no emplean premisas discuibles, por lo que resulan más neurales y fáciles de acepar por analisas con orienaciones eóricas diferenes. El inconveniene se deriva de la dificulad para realiar inferencias con esos méodos ales como, por ejemplo, generar predicciones sobre la ocurrencia de un puno de giro. Los méodos empirisas uilian en grados diversos una combinación de écnicas de filrado lineal, para obener una señal cíclica suficienemene exena de irregularidad, y de algorimos de búsqueda para idenificar los máximos y mínimos cíclicos. Finalmene, esos méodos suelen aparecer codificados como programas informáicos doados de una parameriación relaivamene esrica. A coninuación se exponen dos de esos programas: Bry y Boschan (97) y <F> (Abad y Quilis, 996, 997). Oros méodos pueden examinarse en Boldin (994) y Chin e al. (000)... El procedimieno de Bry-Boschan La meodología del Naional Bureau of Economic Research (NBER) para el análisis del ciclo económico se basa, de forma crucial, en la idenificación univariane de los punos de giro de las series emporales objeo de esudio. En el clásico rabajo de Burns y Michell (947) la deección de ales punos se realió examinando cuidadosamene las represenaciones gráficas de las series e incorporando las consideraciones a priori respeco al comporamieno cíclico que se había desilado en el NBER desde que esa insiución comenara su esudio sisemáico de las flucuaciones económicas. Debe enfaiarse que ales consideraciones reflejaban nociones de ipo esadísico, puramene insrumenales pero no concepciones emanadas de la eoría económica. De esa forma, el análisis del NBER consiuye la primera expresión de lo que, en la década de los ochena, se conocería como macroeconomía empírica. Nauralmene, la réplica del proceso de fechado seguido por Burns y Michell requería la codificación de sus reglas de decisión en un marco formal, suscepible de represenación compuacional, de forma que pudiera ser aplicado por analisas disinos de manera inersubjeiva. El rabajo de Bry y Boschan (97) es, precisamene, la codificación más conocida de los méodos de fechado de Burns y Michell. El méodo de Bry y Boschan consise en la aplicación sucesiva de un algorimo de idenificación de punos de giro a una secuencia de series filradas, evolucionando el grado de suavidad de mayor a menor. Así, se uilia en primer lugar una media móvil de érminos (MM()), a coninuación un filro de Spencer, después una media móvil de 3 érminos (MM(3)) y, finalmene, la serie original sin suaviar. Los punos de giro finales son deerminados en esa úlima serie, maneniendo la coherencia con los que se han deerminado previamene en sus versiones suaviadas y asegurando el cumplimieno de una serie de resricciones, desacando que las duraciones oales y parciales de los ciclos han de ser, como mínimo, de 6 y de 6 meses, respecivamene. 4

5 Asimismo, debe resalarse que la serie de parida a la que se aplica el procedimieno debe carecer de oscilaciones esacionales, bien por su propia nauralea bien por haber sido someida a un proceso de desesacionaliación. Los res filros que emplea el méodo de Bry y Boschan son casos pariculares de un filro de media móvil simérico de la forma: s j j j js j [.] H(B) h B con h h j siendo h j /5 para MM(), h j /5 para MM(3) y h[0.33, 0.094, 0.438, , , , , ] para el filro de Spencer. Las principales eapas del procedimieno de Bry y Boschan son: a. Deerminación de exremos y susiución de los mismos. b. Deerminación de los ciclos en la serie MM(), previa eliminación de exremos. b.. Idenificación de máximos y mínimos locales en un enorno con un radio de 5 meses. b.. Asegurar la correca alernancia de los punos de giro, seleccionando el mayor de los diversos máximos (el menor de los diversos mínimos). c. Deerminación de los correspondienes punos de giro en la curva de Spencer (previa eliminación de exremos). c.. Idenificación del mayor (o menor) valor en un enorno de ±5 meses de los punos de giro seleccionados previamene en la serie MM(). c.. Cumplimieno de una duración mínima de los ciclos de 5 meses, eliminando los menores máximos y los mayores mínimos que definen ciclos menores. d. Deerminación de los correspondienes punos de giro en la serie MM(3) o MM(6), dependiendo del cociene MCD (monhs for cyclical dominance, meses requeridos para el dominio cíclico). d.. Idenificación del mayor (o menor) valor en un enorno de ±5 meses de los punos de giro seleccionados previamene en la curva de Spencer. e. Deerminación de los punos de giro en la serie no suaviada. e.. Idenificación del mayor (o menor) valor en un enorno de ±4 meses (o de MCD meses, dependiendo de cuál sea mayor) de los punos de giro seleccionados previamene en la serie MM(3) (o MM(6)). e.. Eliminación de los punos de giro que se encuenran a menos de 6 meses del comieno y del final de la serie. e.3. Eliminación de los máximos (o mínimos) que son menores (mayores) que los valores próximos a los exremos. e.4. Eliminación de los ciclos cuya duración es inferior a 5 meses. e.5. Eliminación de las fases cuya duración es inferior a 5 meses. f. Presenación final de los punos de giro idenificados. En el procedimieno de Bry y Boschan exisen res elemenos fundamenales: (a) una idenificación preliminar de los punos de giro en la serie MM(), (b) una proyección emporal de dichos punos sobre secuencia de series ransformadas mediane filros de paso bajo hasa llegar a la serie no ransformada y (c) la imposición final de odas las resricciones de duración y ubicación endenes a asegurar que los punos de giro idenificados son compaibles con la definición habiual de ciclo.. El procedimieno <F> El procedimieno <F> es un algorimo de idenificación empirisa de punos de giro que uilia como inpu una señal cíclica pura, eso es, libre de la influencia de elemenos irregulares. Ese 5

6 procedimieno deermina los punos de giro deecando en dicha señal los máximos y mínimos locales que saisfagan dos resricciones fundamenales: a. Que la disancia enre dos punos de giro del mismo ipo (p.e., dos máximos cíclicos) sea, como mínimo, L meses. b. Que la disancia enre dos punos de giro del disino ipo (p.e., un máximo y un mínimo cíclico) sea, como mínimo, M meses. Ese procedimieno ha sido codificado en el lenguaje Pascal con el fin de faciliar su aplicación sisemáica y ofrecer una cronología enaiva para el análisis del ciclo, véase Abad y Quilis (996, 997) para una descripción deallada. El proceso compleo de fechado puede ser formaliado de la manera siguiene: [.] f < F > c < F5 >< F6 >< F5 >< F4 >< F3 >< F >< F > c donde c es la señal cíclica esimada según los procedimienos anes comenados, f es la serie indicadora de la presencia y ipo de un puno de giro y <F i > son los filros (no lineales, por lo general) que, aplicados en cascada, deerminan el fechado. La secuencia opera de derecha a iquierda, comenando por un fechado preliminar muy poco resricivo para ir imponiendo progresivamene condiciones más exigenes. La serie de fechado final debe verificar: [.3] y f c max [ c L..c + L ] [ c..c ] c min L + L 0 en los demás casos [.4] f f 0 s.. M ± s Esa dos condiciones hacen referencia, respecivamene, a las duraciones oales y parciales que han de ener los ciclos idenificados mediane el procedimieno <F>. Por defeco, L6 meses y M6 meses. Cada uno de los filros <F i > esá encapsulado en un procedimieno Pascal cuya mecánica inerna se describe a coninuación: [.5] f, < F > c donde: c max [ c..c + ] [ c..c ] f, c min + 0 en los demás casos Ese es un fechado preliminar muy poco resricivo y que idenifica los punos de giro como máximos o mínimos en un enorno de dimensión mínima. Los siguienes procedimienos refinan ese fechado. [.6] f, < F > f, 6

7 donde: f, f, [ + L..n L ] 0 en los demás casos En esa eapa se suprimen los punos de giro que aparecen en los exremos de la serie. Por defeco, L 6 y L 3. [.7] f 3, < F3 > f, donde: f 3, 0 (f, ) y (C.. C + L ) 3 [ ] (C m ) y..+ L4 0 (f, ) y (C.. C+ L ) 3 (C m ) y [..+ L4] 0 (f, ) y (Cn L.. C ) 4 n (C m) y [ n L4..n] 0 (f, ) y (Cn L.. Cn ) 4 (C m) y [ n L4..n] f, en los demás casos Siendo M y M los promedios de las L 3 primeras y úlimas observaciones de C, respecivamene. En esa fase se eliminan los punos de giro que son menores (en valor absoluo) que los valores (promedio) próximos a los exremos y que además esán inscrios en una rayecoria monóona. Por defeco, L 3 y L 4 8. [.8] f 4, < F4 > f 3, donde: f 4, f f 3, c (f 3, ) y c max [ c L..c + L ] [ c..c ] 3, c (f 3, ) y c min L + 0 en los demás casos L En esa fase se impone la condición de que la duración oal de los ciclos idenificados ha de ser, como mínimo, de L meses. Por defeco L6. [.9] f 5, < F5 > f 4, donde: 7

8 f 5, (f (f 4,v 4,v f f f 4, 4,s 4,s ) y (f ) y (f 4, 4, 0 0 en los demás casos [ v +..s ] [ v +..s ] ) ) siendo f 4,v y f 4,s, respecivamene, los punos de giro anerior y poserior a f 4,. Ese procedimieno garania la coherencia de la secuencia obenida, de forma que simpre exisa un máximo (mínimo) enre dos mínimos (máximos). [.0] f 6, < F6 > f 5, donde: f 6, 0 f 5,f 5,± s < 0 s..m f 5, en los demás casos En esa fase se impone la condición de que las duración parcial de los ciclos idenificados ha de ser, como mínimo, de M meses. Por defeco M6. Finalmene, se vuelve a aplicar el procedimieno de secuenciación con el fin de garaniar la coherencia del fechado: [.] f f 7, < F5 > f 6, El algorimo de fechado, incorporado en el programa <F>, asume un elevado grado de suavidad en la serie que se desea fechar. Si ese grado no es suficiene, el programa puede aplicar un filro auorregresivo de paso bajo a peición del analisa para eliminar los elemenos de carácer irregular que dificulan el fechado, véase Abad y Quilis (996, 997) para dealles adicionales. 8

9 3. IDENTIFICACION DE PUNTOS DE GIRO: METODOS BASADOS EN MODELOS La idenificación empirisa de los punos de giro consise, simplificando quiás de forma abusiva, en asociar una eiquea a unas deerminadas observaciones en función de la relación de sus valores con un crierio de clasificación exerno (la condición de máximo o mínimo local). De una forma similar, se agrupan las observaciones de una serie en valores crecienes o decrecienes, en función del signo de su asa de variación. En consecuencia, la propiedad de una deerminada observación de ser puno de giro es algo esencialmene ajeno a la propia serie: es, ni más ni menos, una forma úil y conveniene para el analisa de clasificar sus observaciones. El análisis de los punos de giro basado en modelos esadísicos explícios para la serie de inerés, considera que dichos punos son un elemenos inrínseco en el funcionamieno habiual de la serie, eso es, que su propia dinámica inerna genera unas observaciones especiales que permien idenificar inervalos diferenciados en su evolución. En consecuencia, los punos de giro son observaciones que señalan la ransición de la serie de un régimen a oro. La mayor pare de los modelos que se usan en el análisis del ciclo desde una perspeciva explícia son de ipo no lineal. En paricular, los más uiliados son las auorregresiones por umbrales (hreshold auoregression, TAR) y las auorregresiones con régimen cambiane Markoviano (Markov swiching auoregression, MS-AR). En ambas clases de modelos es la propia dinámica inerna de la serie la que hace que adope un esado u oro, siendo los punos de giro aquellas observaciones en las que aconece la ransición. A coninuación se exponen las principales caracerísicas de los modelos TAR y MS-AR así como una meodología complea de especificación, esimación e inferencia. Dealles adicionales se encuenran, para los modelos TAR, en Tong (983, 990), Tsay (989), Tiao y Tsay (994) y Mongomery e al. (998) y, para los modelos MS-AR, en Hamilon (989, 994), Filardo (993, 994), McCulloch y Tsay (994a, 994b) y Filardo y Gordon (998). 3.. Auorregresiones por umbrales (TAR) Se considera que la serie evoluciona según un modelo auorregresivo por umbrales (TAR) si puede ser expresada según: p( j) i i j d j i ( j) ( j) ( j) [3.] µ + φ + a si r < r siendo j.. k donde j designa el número de regímenes y r j son los correspondienes umbrales. En lo que sigue pmax[p(j)]. Para complear el modelo TAR se consideran los siguienes elemenos: Reardo del umbral: d Deermina la variable -d que define el régimen de comporamieno de según la expresión [3.]. Esa variable acúa como índice de esado (observable) que pariciona el espacio de comporamieno de en k regiones disjunas. Umbrales Son los valores que definen la parición de -d y, en consecuencia, el régimen que seguirá : [3.] - r 0 <r < <r k <r k+ Innovaciones 9

10 Se asume, como caso general, que las innovaciones son siempre gaussianas, de media nula y con variana dependiene del régimen en que se encuenra la serie: ( j) [3.3] a : iid N(0, V ) j Se verifica que las innovaciones correspondienes a regímenes disinos son independienes enre sí: ( j) (h ) [3.4] E(a a ) 0 j,h, s s El modelo TAR es un modelo lineal por ramos que, globalmene, presena un comporamieno no lineal. Un modelo TAR puede represenar cieras caracerísicas que uno lineal (p.e., ARIMA) no puede: ciclos límie, ampliud dependiene de la frecuencia, ciclos asiméricos, cambios de nivel, ec. Resula conveniene resalar algunos aspecos específicos de esos modelos: a. El orden del operador AR puede diferir enre regímenes. De esa manera, la dinámica de cada uno de ellos puede diferenciarse no sólo porque los parámeros del operador AR sean disinos sino ambién porque el propio operador sea diferene. b. Un caso paricular ineresane es aquél en el que la única diferencia enre los regímenes se debe a que la variana de la innovación depende del esado. En ese caso se iene un modelo lineal no homogéneo. c. El modelo TAR se reduce a un modelo AR de nivel aleaorio (random level AR) si sólo el érmino consane φ 0 difiere enre regímenes. Ese caso y el anerior permien considerar al modelo TAR como una herramiena úil para el análisis de valores anómalos: cambios de variana (caso b) y cambios de nivel (caso c). d. El elemeno básico que induce fala de linealidad en el modelo TAR es la dependencia de los parámeros respeco a los valores (desfasados) de la propia variable: [3.5.a] p( j) φ0 ( d ) + i φ ( ) + a i d i [3.5.b] a : iid N(0,V( )) d La aplicación de un modelo TAR requiere, como paso preliminar, la idenificación del reardo umbral (d), de los propios umbrales (r j ) y de los órdenes p(j) de los operadores AR vigenes en cada uno de los regímenes. Tsay (989) propone una meodología de idenificación enaiva basada en cuaro eapas:. Modeliación lineal preliminar.. Selección del reardo del umbral. 3. Deerminación del los umbrales. 4. Especificación de los operadores AR de cada régimen. El modelo finalmene especificado es esimado por MCO, considerando k series formadas por las observaciones perenecienes a cada régimen. Finalmene, se uilian los conrases de diagnósico habiuales para acepar como válido el modelo y, en caso conrario, modificarlo en la dirección apropiada. A coninuación se exponen brevemene las cuaro eapas de la meodología de Tsay.. Modelo lineal preliminar Se considera un modelo AR(p) para oda la serie: 0

11 [3.6] µ 0 + φi i + a p i Tsay recomienda que la especificación de p se realice mediane las funciones de auocorrelación simple y parcial, con preferencia frene a crierios de penaliación como los Crierios de Información de Akaike (AIC) o bayesiano (BIC). El modelo [3.6] permie disponer de una esimación inicial de los p(j) y puede servir ambién como modelo de referencia para uleriores comparaciones.. Selección del reardo del umbral El crierio propueso para seleccionar -d es: [3.7] d max F(p,v) v donde p ha sido deerminado en la eapa anerior y F(.) es un conrase de no linealidad de ipo F basado en Tsay (986). El máximo valor de F(.) sirve como indicador de la inensidad de los efecos no lineales y permie, en consecuencia, deerminar el valor más apropiado para el reardo del umbral. El procedimieno seguido en esa eapa puede formularse mediane el siguiene bucle: Para d..p: Obener y como ordenada omando a -d como índice. Esimar un AR(p) para y. Obener los residuos recursivos e correspondienes. Esimar una regresión enre e e Y [, y,, y -d ]. Obener los residuos recursivos f correspondienes. Realiar un conrase F de significación global de los parámeros de una regresión enre e y f. Esa eapa es crucial en el proceso de especificación propueso por Tsay. Si la ordenación de se realia en función de la verdadera variable umbral -d, las observaciones ordenadas y esarán agrupadas dependiendo de los disinos regímenes exisenes, de manera que no exise cruamieno alguno, eso es, la serie y aparece como el resulado de la unión de k series disinas colocadas una derás de ora. En consecuencia, los residuos del modelo AR(p) aplicado a y mosrarán un comporamieno heerogéneo, replicando la esrucura segmenada de y. Pero, qué explica esa segmenación? Pues precisamene los valores adopados por y que son a su ve función de los de -d. Ese hecho da como resulado que regresores y residuos no sean orogonales y que un conrase F en una regresión enre ambas variables no rechace la hipóesis de dependencia enre ambas series. Nauralmene, el valor de d no es conocido por lo que es necesario efecuar una búsqueda sobre su espacio de comporamienos guiada por el principio de maximiar el valor del conrase F ya que, en ese caso, el valor de d que lo hace máximo esá indicando que -d acúa como el discriminane más poene, al paricionar y de forma máximamene heerogénea enre grupos y máximamene homogénea denro de cada grupo. Recuérdese que pmax[p(j)].

12 3. Deerminación del los umbrales En la eapa anerior se ha deerminado si exise o no un comporamieno no lineal en la serie y, en el primer caso, el reardo del umbral correspondiene (d). A coninuación, hay que especificar los valores de los umbrales r r k que complean la especificación de la ransición de la serie observada de un régimen a oro. Tsay (989) propone el uso de méodos gráficos para realiar esa area. En paricular, el examen de la nube de punos de los -raios de los parámeros del modelo AR(p) esimados recursivamene frene a los valores de -d. De esa manera, el valor de esa variable capa de generar un cambio en el comporamieno de los parámeros φ frene a -d señala la presencia de un umbral r así como su magniud cuaniaiva 3. Asimismo, el esudio de la nube de punos de los residuos recursivos del modelo AR(p) frene a los valores de -d ambién puede usarse como herramiena de idenificación: los valores de -d que señalan un cambio de comporamieno en su relación con los residuos, indican los valores más apropiados para los umbrales. 4. Especificación de los operadores AR de cada régimen Una ve que se ha deerminado ano el reardo del umbral d como los propios umbrales r r k, se puede refinar la especificación considerando los valores de en cada uno de los regímenes como k series disinas, aplicando a coninuación los procedimienos habiuales de idenificación de modelos lineales: funciones de auocorrelación simple y parcial y crierios de penaliación como el AIC o BIC. La idenificación de los punos de giro en un modelo TAR es inmediaa. Asumiendo k se iene que las observaciones en las que -d r definen la ransición de un esado a oro y son, por lo ano, los punos de giro de la serie analiada. 3.. Auorregresiones con régimen cambiane Markoviano (MS-AR) Los modelos MS-AR presenan imporanes semejanas con los TAR, sobre odo en lo que se refiere a su combinación de elemenos no lineales (salos discreos doados de un parón sisemáico) y lineales (una esrucura auorregresiva local). No obsane, ano su proceso de especificación como, especialmene, de esimación son muy diferenes de los que se aplican usualmene a los modelos TAR. En los modelos MS-AR el comporamieno dinámico de la serie varía en función del régimen o esado en que se encuenre siguiendo, denro de cada uno de ellos, una evolución lineal de ipo auorregresivo. p( j) ( j) ( j) ( j) [3.8] µ + φi i + a si s j siendo j.. k i Donde s una variable de esado binaria e inobservable que define el régimen en que se encuenra el sisema. Se supone que las innovaciones son normales, de media nula y con variana dependiene del régimen en que se encuenre la serie: ( j) [3.9] a : iid N(0, V ) j 3 Véase la expresión [3.5.a].

13 Hasa ese puno la especificación de un modelo MS-AR es muy similar a la de uno TAR, por lo que rigen los mismos comenarios que ya se han realiado. La evolución de la variable de esado (inobservable) s que define el régimen en que se encuenra la serie obedece a una cadena de Markov de primer orden: [3.0] prob(s i s j) ε (0,) i, j.. k i, j Con el fin de faciliar la exposición se asumirá que sólo exisen dos esados: j (expansión o ascenso) y j (conracción o descenso). La mari de ransición será: ε ε [3.] ε ε El elemeno clave del modelo MS-AR y que lo diferencia acusadamene del modelo TAR, es la esrucura markoviana de la variable de esado s. Ese esquema permie una definición precisa y rigurosa de los punos de giro al mismo iempo que los ubica en un marco formal explício. Si se considera que s () designa esados recesivos (expansivos), enonces ε (ε ) cuanifica la probabilidad de observar un máximo (mínimo) cíclico. Nauralmene, -ε (-ε ) miden la probabilidad de coninuidad de las fases de expansión (conracción). De esa forma, el esado subyacene del sisema evoluciona de acuerdo con una ley inerna de movimieno que hace que la ransición enre las disinas fases del ciclo sea un proceso inrínseco. Por ora pare, las probabilidades de ransición ε i permien la represenación de algunas caracerísicas de los ciclos económicos que no son fáciles de expresar con oros modelos. He aquí algunos ejemplos: Asimería Si ε ε se apreciará una asimería enre las fases de expansión y conracción. Así, si ε <ε las primeras serán más duraderas que las segundas, Hamilon (989, 994). Dependencia de la duración Si ε i muesra una dependencia funcional del número de períodos ranscurridos desde el anerior puno de giro, se formalia la noción de que la probabilidad de observar un puno de giro aumena a medida que ranscurre la acual fase cíclica, Lam (997). Dependencia esacional Aparece cuando ε i varía acorde con la esación. Eso indicaría la presencia de una ineracción enre el componene cíclico y el esacional que daría lugar, por ejemplo, a que los mínimos cíclicos no se observaran en el rimesre esival, Ghysels (994). Indicadores adelanados Usualmene se considera que x es un indicador adelanado de si su consideración mejora la predicción de los punos de giro de esa úlima. Una manera sencilla de formaliar esa posibilidad es verificando si ε i depende de x, usualmene a ravés de un modelo de elección discrea (ipo Logi o Probi) que vincula las probabilidades de ransición con los valores presenes y preérios del indicador x, véase Filardo (993, 994). La esimación de un modelo MS-AR es complicada debido a la nauralea no lineal de su represenación en el espacio de los esados y, por consiguiene, a las aproximaciones numéricas que ha de realiar el filro de Kalman en cada una de sus ieraciones, véase Hamilon (989). Una forma de eviar esos problemas consise en uiliar el muesreo de Gibbs, como proponen McCulloch y Tsay (994). A coninuación se expone de forma condensada su procedimieno. 3

14 En el modelo [3.8]-[3.0] con k se considera que sus parámeros son variables aleaorias cuyas disribuciones marginales a priori se deallan a coninuación. El vecor formado por odos los parámeros auorregresivos sigue una disribución normal: [3.] φ N( φ, Σ ) ~ φ donde usualmene Σ φ es una mari diagonal. Por su pare, las varianas de las innovaciones evolucionan según una gi-cuadrado inverida, convenienemene escalada: [3.3] V ~ w λ / χ i, i i i w i Para la modeliación de las probabilidades de ransición se recurre, por su flexibilidad, a una disribución Bea: [3.4] ε Bea( ϕ, ϕ ) i, i ~,i, i Finalmene, los érminos independienes seguirán una disribución normal que verifique la resricción µ >µ : [3.5] ~ N( µ, Σ )I( µ ) µ µ donde I(µ) es una variable indicadora del cumplimieno de la resricción: [3.6] I( µ ) 0 si µ si µ > µ µ Esa forma de proceder obliga a esablecer valores numéricos para odos los parámeros que definen las disribuciones marginales a priori. Esos valores, llamados hiperparámeros son: [3.7] φ, Σ ; w λ ; µ, Σ ; ϕ, ϕ ) τ ( φ i i µ Anes de aplicar el muesreo de Gibbs hay que fijar el valor de τ juno con las condiciones iniciales: s 0 y 0 p, con pmax(p,p ). El ciado muesreo se define a ravés del siguiene algorimo: Repeir N+M veces: - Generar probabilidades de ransición según: ε Bea( ϕ, ϕ ) i, ; - [α]: Generar {s..n s 0, ε}; - Esimar µ, condicionado a s; - Esimar φ, condicionado a µ; - Esimar V, condicionado a φ; - Esimar e (residuos), condicionados a s, µ y φ; - Esimar s, condicionado a e ; - Esimar ε, condicionado a s - Ir a [α]; Desechar las M primeras realiaciones; i ~,i, i 4

15 Esimar los parámeros como promedios de los N valores finales de las correspondienes disribuciones a poseriori. Esas disribuciones proporcionan las varianas correspondienes. Aunque los dealles del muesreo de Gibbs pueden ser complejos, la idea básica es muy sencilla: si se conoce el esado subyacene del sisema s podemos paricionar inmediaamene la muesra en dos pares: la que se corresponde con períodos de descenso (s ) o ascenso (s ). A parir de ahí, como promedio simple, se esima µ. Ajusando la muesra de ese valor, se puede esimar φ por MCO. Esimado los parámeros de los operadores AR, resula inmediao disponer de los residuos y, a parir de los mismos, de las varianas de las innovaciones. Una ve que se dispone de los residuos se puede refinar los valores de s. La idea es que, si los primeros son muy elevados en valor absoluo, se ha comeido un error de asignación. Así, si se declara s cuando es realmene s aparecerán residuos significaivamene posiivos que sugerirán como corrección cambiar el por un. Nauralmene, los inervalos de confiana se calcularán uiliando las varianas V i previamene esimadas. A parir de esa esimación refinada de s se vuelven a calcular las probabilidades de ransición, eniendo en cuena la información proporcionada por el número de salos de un esado a oro: [3.8] k i #(salos del esado i al j en s) con i, j, En consecuencia, la nueva disribución Bea será: [3.9] ε Bea( ϕ + k, ϕ + n k ) i, i ~,i i,i i i 5

16 4. CLASIFICACION CICLICA: METODOS BIVARIANTES La idenificación de indicadores de adelano, coincidencia y reraso para un sisema económico consiuye una de las principales areas del análisis cíclico, cuyo origen se remona a principios del siglo XX con los esudios del NBER sobre la economía de los Esados Unidos. Los procedimienos más uiliados consideran que exise una serie especial que acúa como parón de comparación, bien por su relevancia económica (p.e., el PIB) bien por sus propiedades esadísicas (p.e., el IPI). A coninuación, las series que se desea clasificar (x ) son relacionadas, una por una, con la de referencia (y ). Los procedimienos de clasificación cíclica pueden uiliar los desfases enre los punos de giro, la función de correlación cruada o la coherencia especral. Los dos primeros méodos esán definidos en el dominio del iempo mienras que el ercero lo esá en el de la frecuencia. 4.. Clasificación cíclica mediane los punos de giro: el procedimieno <G> La clasificación cíclica basada en los punos de giro raa de idenificar pauas sisemáicas de adelano, coincidencia o reraso omando como cronología básica la que proporcionan los punos de giro de la serie de referencia (f y ). Así, si la serie que se desea clasificar, x, iene sus punos de giro mosrando un desfase mediano 4 comprendido enre 3 y 3 meses con respeco a los de la serie de referencia, se considera que ambas son coincidenes. Si el ciado desfase mediano es menor (mayor) que 3 (3) meses, se esima que x adelana (rerasa) a y. Los siguiene gráficos ilusran esas siuaciones: Gráfico 3.: Adelano, coincidencia, y reraso.5 X <a> Y FX FY.5 X <c> Y FX FY.5 X <r> Y FX FY También puede aparecer una cuara posibilidad: que los punos de giro de x no guarden correspondencia con los de y debido a la ausencia de un ciclo común enre ambas series, usualmene debido a una diferencia imporane enre las frecuencias fundamenales de ambos ciclos. Los siguienes gráficos muesran esa siuación: 4 Se uilia la mediana por ser un esimador de posición robuso frene a exremos, por lo que es especialmene úil en un conexo de muesras pequeñas como el que habiualmene se encuenra en esa clase de análisis. 6

17 Gráfico 3.: Aciclicidad.5 X <i> Y FX FY FX FY El procedimieno <G> opera de la siguiene forma: a parir de los punos de giro de las series de referencia (f y ) y clasificada (f x ) idenificados por medio de alguno de los méodos descrios en las secciones aneriores, se esablece una correspondencia enre ellos en res pasos:. se asocia cada puno de giro de la serie f y con el más próximo de f x,. se asocia cada puno de giro de la serie f x con el más próximo de f y, 3. se eliminan los emparejamienos unidireccionales, reeniéndose exclusivamene los bidireccionales. Esa relación se denomina doble y presena la caracerísica de que dos punos de giro de una serie no pueden esar asociados a un mismo puno de giro de la ora, por lo cual pueden exisir punos de giro sin correspondencia. Si el número de punos de giro sin correspondencia es elevado, se considera que no hay relación cíclica enre los punos de giro de x e y. Ese procedimieno de clasificación ambién ha sido programado en Pascal y se denomina <G> (Abad y Quilis, 997). El siguiene ejemplo será de uilidad para comprender la mecánica de dicho programa. Sean las series de punos de giro de y y x, represenadas esquemáicamene: 7

18 Gráfico 3.3: Cronologías cíclicas.5.0 FY b FX d a c e La siguiene abla ilusra la aplicación del programa <G> a las dos series aneriores: Tabla 3. Mecánica del procedimieno <G> Eapa () () (3) y ---> x x ---> y y <---> x Origen Imagen Origen Imagen Origen Imagen a a * a b b b 3 e * c * 3 ** 4 d d 4 c ** 5 e * e 5 4 d 5 e * Punos de giro con origen múliple ** Punos de giro sin relación doble En ese ejemplo, el puno de giro 3 de la serie y ha quedado desemparejado, ya que la primera eapa del proceso lo asignaba con el e de la serie x, pero ése ha enconrado correspondencia doble con el 5 de y. Dado que es la relación en los dos senidos la que prevalece, el puno de giro 3 de y queda sin correspondencia en la asignación final. El caso del puno de giro c de la serie x es idénico. Formalmene: si C y y C x denoan el conjuno de odos los punos de giro de y y x, respecivamene, y CC y y CC x el de los que ienen relación doble, se puede esablecer la siguiene definición: [4.] R cardinal(cc ) / cardinal(c ) [ 0,] s { Y, X} s s s Los raios R y y R x consiuyen una medida sinéica del grado de conformidad enre dos series. Que ambos sean próximos a la unidad es condición necesaria para que exisa una relación cíclica enre 8

19 las dos series. Si, por el conrario, ambos son próximos a cero se considera que no exise relación cíclica enre las series o, en la erminología del programa <G>, la serie x es cíclicamene inclasificable en relación con la serie y (x <i> y). Los casos en que R y o R x ienden a cero (pero no ambos a la ve) indican siuaciones inermedias en las que puede exisir ciera conformidad local pero no global, lo cual es indicio de inconsisencia. En esos casos, para mayor seguridad, se ha opado por considerar ambién ambas series como inclasificables. Los límies de admisión, L y y L x, son esablecidos 'a priori' y, por defeco, el programa <G> asume L y L x Si y y x son conformes (x <G> y) se calculan los desfases enre los pares de punos de giro con relación doble, uiliando el desfase mediano global de x respeco a y (DMG) como crierio de clasificación. Si ése no supera los res meses en valor absoluo, se considera que y y x son coincidenes. Si el DMG es mayor que res en valor absoluo, la serie no es coincidene; en ese caso se esudia el signo del DMG: si es posiivo la serie x esá rerasada en relación con la serie y, y si es negaivo esá adelanada. Así pues, la clasificación final vendrá deerminada de la siguiene manera: Denoándose las relaciones enre x e y de la siguiene forma: x <i> y: 'x es cíclicamene inclasificable con y', x <c> y: 'los punos de giro de x son coincidenes con los de y', x <a> y: 'los punos de giro de x adelanan a los de y', x <r> y: 'los punos de giro de x rerasan a los de y'. Al igual que ocurre con los resulados auomáicos del <F>, es conveniene cualificar los del <G>. A ese respeco, no debe olvidarse que el programa proporciona una clasificación omando en consideración odos los punos de giro doblemene relacionados de x e y, es decir, no disingue enre máximos y mínimos. Es recomendable considerar las correspondencias enre máximos y enre mínimos por separado, con el objeo de deecar posibles relaciones dinámicas asiméricas enre las dos series. Esos ejercicios son uno de los principales aracivos de esa meodología de análisis cíclico. Por úlimo, merece la pena desacar la objeividad que impone el programa <G> en una de las eapas más compromeidas del análisis cíclico. La experiencia acumulada con ese programa indica que el crierio de disancia mínima uiliado impide ano la proyección de consideraciones apriorísicas sobre la nauralea de las series como la fijación arbiraria de las correspondencias enre sus punos de giro. 4.. Clasificación cíclica mediane la función de correlación cruada El uso de la función de correlación cruada (fcc) es una de las formas más habiuales y exendidas de analiar la relación enre los ciclos de dos series emporales. Su facilidad de cómpuo y su sencille han conribuido a esa difusión. Sean x e y dos señales cíclicas. La fcc enre ambas series es: 9

20 (y µ y )(x k µ x ) [4.] ρ y,x (k) k 0, ±, ±,... (y µ ) (x µ ) + donde µ es el valor medio de la serie. y La fcc proporciona una esimación del grado de asociación lineal enre y y los valores desfasados de x +k, ano rerospecivamene (k<0) como prospecivamene (k>0). La fcc permie definir un crierio sencillo de clasificación cíclica. Sea: * [4.3] k arg max( ρ (k) ) y, x donde. denoa valor absoluo. Enonces: adelanada rerasada * [4.4] x es coincidene respeco a y si k [ L, L] x (, L) (L, ) donde L es un valor fijado a priori (usualmene, L3 si la serie es mensual o L si es rimesral). Asimismo, como - ρ y,x (k) se puede deerminar el carácer cualiaivo de la relación cíclica enre x e y. Dicho crierio se puede formaliar de la siguiene forma: [4.5] x es anicíclic a acíclica procíclica respeco a y si ρ(k * ) [, C) [ C,C] ( ] C, donde C es un valor críico asociado a un deerminado nivel de significación Clasificación cíclica mediane la función de coherencia especral Finalmene, la relación cíclica enre x e y puede ser analiada desde el dominio de la frecuencia. Para ello se calcula la función de coherencia especral enre ambas series según: [4.6] C (w) YX f YX(w) f (w)f (w) X Y donde w es la frecuencia (expresada en radianes), f x (w) y f y (w) son, respecivamene, los especros de las series x e y, f yx (w) es el especro cruado enre x e y. Por úlimo. denoa la operación módulo. La coherencia es una medida no paramérica, comprendida enre cero y uno, que expresa el grado de asociación, ano lineal como no lineal, enre dos series en una frecuencia dada. Así, un valor próximo a uno (cero) en una frecuencia w s denoa una elevada (escasa) conformidad enre las oscilaciones con período π/w s de ambas series. Ora medida ineresane asociada al análisis especral es la función de fase. Formalmene: 0