Descomposiciones Canónicas

Transcripción

1 Observabilidad p. 1/12 Descomposiciones Canónicas Las descomposiciones canónicas de las ecuaciones de estado permiten establecer la relación entre Controlabilidad, Observabilidad, y una matriz de transferencia con sus realizaciones mínimas. Considere la ecuación de estado, ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du (1) Donde A R n n ; B R n p ; C R p n ;D R q p. Sea x = Px, donde P es no singular, P R n n. Entonces sabemos que la ecuación de estado, x = Ā x + Bu y = C x + Du Donde Ā = PAP 1 ; B = PB; C = CP 1 ; D = D; es algebraicamente equivalente a (1).

2 Observabilidad p. 2/12 Descomposiciones Canónicas Teorema:(Descomposición controlable/no controlable) Considere la ecuación de estado n-dimensional (1) y suponga que rango(c) = rango([b AB... A n 1 B]) = n 1 < n (luego, el sistema no es controlable). Sea P la matriz n n matrix de cambio de coordenadas definida como P 1 = [q 1 q 2... q n1... q ni ] donde las primeras n 1 columnas son cualquier n 1 columnas linealmente independientes en C, y el resto se escogen arbitrariamente tales que P sea no singular. Entonces la transformación de equivalencia x = Px transforma (1) a [ ] x C x C = ] [ ] [ĀC Ā 12 xc + 0 Ā C x C y = [ CC C C] x + Du [ ] BC u 0

3 Observabilidad p. 3/12 Descomposiciones canónicas Controllable Los estados en las nuevas coordenadas se descomponen en x C : n 1 estados controlables u C y x C : n n 1 estados no controlables. C Uncontrollable La ecuación de estado de orden reducido de los estados controlables x C = ĀC x C + B C u ȳ = C C x + Du es controlable y tiene la misma función de transferencia que la ecuación de estado original (1). La función de MATLAB ctrbf transforma una ecuación de estado en su forma canónica controlable/no controlable.

4 Observabilidad p. 4/12 Descomposiciones canónicas Teorema (Descomposición Observable/No observable ). Considere la ecuación de estado n-dimensional (1) y suponga que p 1 C p 2 CA rango O = rango... = n 2 < n; P R n n... p n2 CA n 1... p n P es la matriz de cambio de coordenadas con las primeras n 2 filas cualquier n 2 filas independientes en O, y el resto se escogen arbitrariamente para que P sea no singular. Entonces la transformación x = Px transforma (1) en [ x O x Ō ] = [ĀO 0 Ā 21 Ā Ō y = [ C O 0] x + Du ] ] [ ] [ xo BO + u x Ō B Ō

5 Observabilidad p. 5/12 Descomposiciones canónicas Los estados en las nuevas coordenadas se descomponen en: Õ x O : n 2 estados observables xõ : n n 2 estados no observables u Unobservable O y Observable La ecuación de estado de orden reducido de los estados observables x O = ĀO x O + B O u ȳ = C O x + Du es observable y tiene la misma función de transferencia de la ecuación de estado original (1). La función de MATLAB, obsvf transforma una ecuación de estado en su forma canónica observable/ no observable.

6 Observabilidad p. 6/12 Descomposición de Kalman La descomposición de Kalman combina las descomposiciones Controlable/ No controlable y Observable/No observable. u CÕ Unobservable CO y Cada ecuación de estado puede transformarse, por transformación de equivalencia, en una forma canónica que separa los estados en Estados controlables y observables. CO Estados controlables pero no observables. CÕ Uncontrollable Estados no controlables pero observables. Estados no controlables y no observables.

7 Observabilidad p. 7/12 Descomposición de Kalman La descomposición de Kalman lleva al sistema a la forma x CO x C Õ = x CO x CÕ Ā CO 0 Ā 13 0 x CO Ā 21 Ā C Õ Ā 23 Ā 24 x C Õ 0 0 Ā CO 0 x CO 0 0 Ā 43 Ā CŌ x }{{ CÕ } x y = [ C CO 0 C CO 0] x + Du + B CO B C Õ 0 0 Una realización mínima del sistema se obtiene usando solo los estados controlables y observables de la descomposición de Kalman. x CO = ĀCO x CO + B CO u ȳ = C CO x + Du u

8 Observabilidad p. 8/12 Descomposición de Kalman Ejemplo. Considere el sistema en la forma canónica modal, λ λ ẋ = x + u 0 0 λ λ 3 2 y = [ ]x El teorema 6.8 del libro de Chen establece la controlabilidad y observabilidad de ecuaciones en forma modal. En el ejemplo, se ve que El primer λ 1 es controlable y observable. λ 2 no es controlable, aunque observable. λ 3 es controlable y observable. con función de transferencia G(s) = 1 s λ s λ 3 Llevando a la realización mínima x = λ 1 0 x + 1 u 0 λ 3 2 y = [1 1] x

9 Observabilidad p. 9/12 Descomposiciones canónicas Ejemplo (descomposición Controlable/No controlable). Considere el sistema: ẋ = x u y = [1 1 1]x rango(c) = rango[b AB A 2 B] = rango = 2 < 3; Luego el sistema no es controlable. Haciendo el cambio de coordenadas formado por las dos primeras columnas de C y una tercera arbitraria independiente de las dos primeras, P 1 = Q

10 Observabilidad p. 10/12 Descomposiciones canónicas Ejemplo(continuación). Haciendo x = Px se obtienen las ecuaciones equivalentes x = y = x [ ] x [ ] y el sistema controlable reducido x 1 0 = x y = [ 1 2 ] x u [ ] 1 0 u 0 1 misma función de transferencia que el sistema original G(s) = [, el cual tiene la s+1 s 2 2s+1 ] 2 s 1

11 Observabilidad p. 11/12 Sistemas de tiempo discreto Para la controlabilidad y observabilidad de un sistema de tiempo discreto x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] y[k] = Cx[k] + Du[k] podemos usar las mismas pruebas de rango de las matrices de controlabilidad y observabilidad que tenemos para sistemas de tiempo continuo. rangoc = rango[b AB... A n 1 B] = n Controlabilidad C rangoo = rango CA... = n Observabilidad CA n 1 Las descomposiciones canónicas son análogas.

12 Observabilidad p. 12/12 Resumen Cuando un sistema es no controlable o no observable, podría haber una parte del sistema que aún es controlable y observable. Las matrices de controlabilidad y observabilidad se pueden usar para separar (por un cambio de coordenadas) una ecuación de estado en sus partes controlable/no controlable y observable/no observable. La parte controlable y observable de una ecuación de estado lleva a una realización mínima. Así, se concluye que para una ecuación de estado: realización mínima controlable y observable.