Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto. 2. Características de los Sistemas MIMO Valores Singulares Normas Matriciales

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto 2. Características de los Sistemas Valores Singulares Matriciales Hanz Richter, PhD Profesor Visitante Cleveland State University Mechanical Engineering Department 1 / 18

2 Descripción en Espacio de Estados p En éste curso trabajaremos con la siguiente representación para la planta nominal: ẋ = Ax+Bu y = Cx+Du donde x R n, u R m, y R p. Cuáles son las dimensiones de las matrices A, B, C y D? Algunas definiciones y técnicas requieren D = 0. Nos limitamos a sistemas lineales, dejando efectos no-lineales como parte de la incertidumbre estructual. Este paso es una decisión de orden práctico. Este curso se limita a métodos lineales. Tomar en cuenta que existen otras técnicas robustas y rigurosas que pueden ser usadas para sistemas no-lineales. 2 / 18

3 Fórmulas Básicas p Solución general: donde y(t) = G(t) u(t) = G(t) = t 0 G(t τ)u(τ)dτ { Ce At B +Dδ(t), t 0 0, t < 0 Matriz de transferencia G(s) = Y(s) U(s) = C(sI A) 1 B +D (1) G ij (s) representa el efecto de la ( )-ésima entrada en la ( )-ésima salida (completar). 3 / 18

4 Polos y Matriz de Fórmulas Básicas p Notaciones: (A,B,C,D); [ A B C D Previamente a cualquier cancelación de polos y ceros, las componentes G ij (s) tienen los mismos polos. A su vez éstos polos coinciden con los autovalores de A. Para detalles ver Kailath, Linear Systems. ] 4 / 18

5 Ceros SIS0 - Revisión Fórmulas Básicas p Qué son los ceros? - Ejemplo ilustrativo. Consideremos G(s) = s+z s(s+p) para z y p constantes reales. Obtengamos una representacion en espacio de estados, con y = Cx+Du. Determinemos la dinámica del estado bajo la restricción y(t) = 0 para todo t. Otra interpretación: Supongamos que u = e zt. Usar la ecuación diferencial para determinar y(t) cuando y(0) = ẏ(0) = 0. En sistemas vibratorios, las frecuencias de los ceros y ciertas condiciones iniciales dan lugar a nodos (antiresonancia). Discusión. 5 / 18

6 Ceros vs. SISO - Ejemplo* Fórmulas Básicas p u 1 y 1 1 s 1 s+2 s+5 s 2 u 2 y 2 s 1 (s+1) 2 [ Y1 (s) Y 2 (s) ] = [ s+1 s(s+2) 0 0 s+2 (s+1)(s+3) ] [ U1 (s) U 2 (s) Polos: 0, -1, -2, -3. Ceros SIS0: -1, -2. Estos ceros son un subconjunto de los polos, pero no se cancelan! * Ejemplo tomado de notas de clase, MAE6483, Eduardo A. Misawa, Oklahoma State University, Mechanical Engineering Dept., ] 6 / 18

7 Ceros Fórmulas Básicas p Lema 3.10 (Zhou y Doyle): Sea G(p) una matriz de transferencia y (A,B,C,D) una realización mínima. Si la entrada es de la forma u(t) = u 0 e λt con u 0 arbitrario, λ no es un polo de G(s) y la condición inicial es x(0) = (λi A) 1 Bu 0, la salida es y(t) = G(λ)u 0 e λt para t 0. Notar que y(t) = 0 cuando λ es un cero de G(s). El estudio de los ceros pertenece a un curso en sistemas lineales o a un curso semestral de control multivariado. En éste curso, basta notar que el conjunto de ceros (ceros de transmisión) no es el mismo que el conjunto de ceros SISO. 7 / 18

8 p Lazo general (planta nominal con ruido y disturbios): r u K d p u p G d y n Ganancia de lazo abierto (salida): L = GK (entrada: L i = KG) Sensibilidad de entrada: S i = (I +L i ) 1. Entonces: u p = S i d p Sensibilidad de salida: S = (I +L) 1. Entonces: y = Sd Sensibilidad complementaria de entrada: T i = I S i = L i (I +L i ) 1 Sensibilidad complementaria de salida: T = I S = L(I +L) 1 Ejercicio: Demostrar: L(I L) 1 = (I L) 1 L (I L) 1 = I +L(I L) 1 8 / 18

9 ... p Respuesta general (verificar cada relación): y = T(r n)+sgd p +Sd e = S(r d)+tn SGd p u = KS(r n) KSd T i d p u p = KS(r n) KSd+S i d p Las características de S requeridas para una respuesta satisfactoria, estabilidad y robustez se pueden delinear intuitivamente a partir de éstas ecuaciones. Por ejemplo, S debe ser pequeña para lograr errores e pequeños. Cómo dar sentido a pequeño o grande a funciones de transferencia como S y a señales como e? 9 / 18

10 Valores Singulares - Revisión/Introducción p Los valores singulares (σ) son muy útiles para entender los efectos direccionales de los sistemas y para precisar las nociones de tamaño de señales y sistemas. Consideremos una transformacion lineal T definida en un espacio vectorial sobre un campo F. Sea A la matriz m n de T con respecto a alguna base. Dado un vector v F n, la imagen de T viene dada por u = T(v) = Av, donde u F m. Recordar: La operación de transposición de una matriz compleja consiste en transponer las filas y columnas y tomar la conjugada de los elementos de la matriz. ( Porqué se hace ésto?) Notación: A. Matlab: A. Para forzar la transposición convencional (importante en cómputo simbólico) usar A.. Una matriz cuadrada en F n n se denota unitaria si A A = A A = I. 10 / 18

11 Descomposición en Valores Singulares p Dada una matriz A F m n, existen matrices unitarias U m m y V n n tales que A = UΣV donde Σ = [ Σ ], donde: Σ 1 = σ σ σ p con σ 1 σ 2...σ p > 0 y p = mín{m,n}. 11 / 18

12 Interpretación Geométrica p Tomemos F = R. La transformación u = Av toma un vector v R n y devuelve un vector u R m. Si variamos v arbitrariamente bajo la restricción v = 1, las imágenes u adoptarán diversas direcciones y magnitudes. Se puede mostrar que: 1. Las imágenes u describen un elipsoide. 2. La longitud del semieje mayor coincide con σ 1 y la del semieje menor con σ p. 3. El vector singular derecho v 1 es la dirección para la cual la amplificación ( u / v = σ 1 ) es máxima. 4. El vector singular v n es la dirección para la cual la amplificación ( u / v = σ p ) es mínima. En Matlab, tt [U,S,V]=svd(A) se usa para obtener la descomposición. 12 / 18

13 Ejemplo p Tomar n = 3 y m = 2. Escribir un programa en Matlab que barra la esfera unidad usando coordenadas esféricas y calcule su imagen bajo una transformacíon con A 2 3 cualquiera. El programa deberá graficar la imagen en 2D y aproximar las direcciones y valores singulares para su verificación con svd. Notación: Usaremos (igual que el resto del mundo) σ para el máximo valor singular y σ para el mínimo. Notar también que los σ 2 i son los autovalores de A A y AA. 13 / 18

14 y Inducidas p Dado un espacio vectorial X, una función real. definida en X es una norma si para todo x,y X se cumplen: 1. x 0 2. x = 0 sólo si x = 0 3. αx = α x, α escalar. 4. x+y x + y p: Para x C n y p 1 definimos: x p = ( n x p i i=1 )1 p Se pueden verificar los 4 requisitos para la definición de norma. 14 / 18

15 p p Las tres siguientes normas de vectores son de uso común: 1. Norma 1: Suma de valores absolutos 2. Norma 2 : Norma euclidiana usual (longitud) 3. Norma : Se define como x = máx x i 4. En Matlab, simplemente: norm(x,p), donde se admite inf para p. Propiedades importantes (ver Zhou & Doyle, Prob. 2.10): x 2 x n x 2 1 n x 2 x 1 x 2 1 n x x 1 x 15 / 18

16 p Sea A C m n. La norma p inducida de A se define como A p = sup x 0 Ax p x p Recordando la interpretación geométrica de los valores singulares vemos que para p = 2, si restringimos x en la definición anterior al conjunto x = 1: máx x =1 Ax = σ(a) Como σ 2 i son autovalores de A A, vemos que la norma 2 inducida se calcula como: A 2 = λmax(a A) = σ(a) En Matlab se usa norm(a,p). 16 / 18

17 p Propiedades Utiles Nota:Para normas 2, se omite el subíndice: x, A. AB A B Para matrices cuadradas A y : σ(a+ ) σ(a) σ( ) σ(a ) σ(a)σ( ) σ(a 1 ) = 1 σ(a) si A es invertible Ejercicio: Seguir la demostración en Zhou y Doyle. 17 / 18

18 Norma de Frobenius p Propiedades Utiles La norma de Frobenius se define como A F = traza (A A) = m i=1 n a ij 2 j=1 En Matlab usamos norm(a, fro ). Notar que I p = 1 para p 1, pero I F 1. La norma de Frobenius no es una norma inducida. 18 / 18