Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto. 11. Factorización Prima Sobre RH. Parametrización de Controles Estabilizantes

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto 11. Factorización Prima Sobre Hanz Richter, PhD Profesor Visitante Cleveland State University Mechanical Engineering Department 1 / 14

2 Polinomios primos e identidad de en Se dice que 2 polinomios son primos entre sí si no tienen raíces comunes (o divisores comunes): por ejemplo s 2 +s+1 y s+1 (cociente x, residuo 1). Dos polinomios m(s) y n(s) son primos si existen otros dos polinomios x(s) e y(s) tales que xm + yn = 1 (identidad de ). Dos funciones de transferencia m(s) y n(s) de son primas sobre si existen x,y tales que x(s)m(s)+y(s)n(s) = 1 Encontrar x(s) e y(s) para m(s) = s 2 +s+1 y n(s) = s+1 2 / 14

3 en En lo anterior, se definen conceptos similares para matrices de : Las matrices M y N de son primas por la derecha si tienen el mismo número de columnas y si existen X d,y d tales que [ ] M [X d Y r ] = X N d M +Y d N = I Las matrices M y Ñ de son primas por la izquierda si tienen el mismo número de filas y si existen X i,y i tales que [ ] [ M Ñ] Xi = Y MX i +ÑY i = I i Estas definiciones son equivalentes a decir que [M T N T ] T es invertible por la izquierda y [ M T Ñ T ] T es invertible sobre la derecha, con inversas en. 3 / 14

4 izquierda... en Sea P(s) una matriz de transferencia propia y real-racional. Una factorización prima derecha (fpd) de P es una descomposición de la forma P = NM 1 donde M y N son primas por la derecha en. Una factorización prima izquierda (fpi) de P es una descomposición de la forma P = M 1 Ñ donde M y Ñ son primas por la izquierda en. P tiene factorización prima doble si tiene derecha e izquierda y existen X d,y d,x i,y i tales que [ ][ ] Xd Y d M Yi Ñ M = I N X i 4 / 14

5 izquierda... en Teorema (Zhou y Doyle): Sea P(s) una matriz de transferencia propia y real-racional con realización (A,B,C,D) detectable y estabilizable. Sean F y L tales que A+BF y A+LC son estables. Entonces P = NM 1 = M 1 Ñ constituye una factorización prima doble con: [ M Yi N X i [ Xd Y d Ñ M ] ] = = A+BF B L F I 0 C +DF D I A+LC (B +LD) L F I 0 C D I 5 / 14

6 en El siguiente código genera la factorización izquierda de un sistema con 4 estados, 2 entradas y 2 salidas: sis=[tf(1,[1-1]) tf(1,[1-2]);tf(2,[1 0]) tf(1,[1 2])]; [A,B,C,D]=ssdata(sis);rank(ctrb(A,B)),rank(obsv(A,C)) F=-place(A,B,[-1;-3;-5;-7]); L=-place(A,C,[-2;-4;-6;-8]) ; Ai=A+B*F;Ad=A+L*C; M=ss(Ai,B,F,eye(2));N=ss(Ai,B,C+D*F,D); minreal(zpk(n/m)),zpk(sis) Completar el código para encontrar la factorización derecha y X d,y d,x i, e Y i 6 / 14

7 Estabilidad interna en base a en Consideremos de la planta y el compensador de la forma P = NM 1 = M 1 Ñ y K = ˆK = UV 1 = Ṽ 1 Ũ. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: 1. [ El sistema] en lazo cerrado es internamente estable M U 2. es invertible en RH N V. [ ] Ṽ Ũ 3. es invertible en. Ñ M 4. MV ÑU es invertible en. 5. ṼM ŨN es invertible en. 7 / 14

8 en El estudio del problema H requiere una descripción del espacio de controladores admisibles (aquellos que producen estabilidad interna), de tal modo que la optimización se haga sólo sobre ése espacio. Consideremos la interconexión: z w P y K Tomemos G = P con u G(s) = A B 1 B 2 C 1 D 11 D 12 C 2 D 21 D 22 Se asume que (A,B 2 ) es estabilizable y (A,C 2 ) es detectable. 8 / 14

9 ... en Es fácil ver que la estabilidad interna queda determinada por la transferencia en lazo cerrado de u a y (G 22 ) y de y a u (K). Es decir, sólo hace falta estudiar la estabilidad interna de G 22 = (A,B 2,C 2,D 22 ). de Youla-Kučera: Cuando G, el conjunto de controles estabilizantes se describe como: K = Q(I +G 22 Q) 1 para cualquier Q con I +D 22 Q( ) invertible. : Usar la parametrización para encontrar cualquier compensador estabilizante para G 22 (s) = 1 (s+1)(s+2) 9 / 14

10 ... en Si G 22 es inestable, se necesita un resultado más general en forma de espacio de estados. Teorema (Zhou y Doyle) Sean F y L tales que A+LC 2 y A+B 2 F son estables. Entonces todos los controladores K que estabilizan internamente a G se parametrizan como u = Ky = F i (J,Q)y para cualquier Q con I +D 22 Q( ) invertible y J = A+B 2 F +LC 2 +L 22 F L B 2 +LD 22 F 0 I (C 2 +D 22 F) I D / 14

11 en Para el sistema de 4 estados, 2 entradas y 2 salidas anterior, usar la parametrización de Youla para encontrar un compensador estabilizante cualquiera. Verificar la estabilidad interna. 11 / 14

12 Teorema (Zhou y Doyle) Dada la siguiente factorización doble de G 22 : [ ] A+B M 2 F B 2 L Uo = F I 0 N V o C 2 +D 22 F D 22 I [ ] A+LC Ṽ 2 (B 2 +LD 22 ) L o Ũo = F I 0 Ñ M C 2 D 22 I El conjunto de controles estabilizantes se parametriza como K = F i (J y,q y ), donde Q y = M 1 (UZ 1 U o ), con Z = MV ÑU y J y = J del teorema anterior. 12 / 14

13 Para el sistema de 4 estados, 2 entradas y 2 salidas anterior, usar la parametrización de Youla para encontrar un compensador estabilizante cualquiera. Verificar la estabilidad interna. 13 / 14

14 en Finales del Curso Temas fundamentales no cubiertos: 1. Ecuaciones de Riccati 2. Estudio completo de las soluciones óptimas y subóptimas del problema H 3. Conformación de lazo H MIMO 4. Reducción de orden para compensadores Críticas a los métodos lineales robustos: 1. Robustos frente a qué? No se contempla dinámica no lineal. 2. Hagamos lo que hagamos, el resultado no es más que un compensador K(s) lineal, posiblemente demasiado grande. Se perderán ciertas propiedades al efectuar reducción de orden. 3. En general, no es recomendable considerar los efectos no-lineales como una incertidumbre más. Es preferible modelarlos tanto cómo sea posible y usar técnicas de control no lineal (las hay robustas: modos deslizantes y otras). 14 / 14