Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto. 1.Introducción

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: 1.Introducción Hanz Richter, PhD Profesor Visitante Cleveland State University Mechanical Engineering Department 1 / 19

2 Objetivos básicos del control realimentado R(s) + E(s) K(s) + + D p (s) G(s) Y (s) Mantener y(t) suficientemente cerca de r(t) y mantener estabilidad aún cuando se presenten: Perturbaciones d p (t) impredecibles y muchas veces no medibles o estimables mediante sensores (ejm. autopilotos: ráfagas) Incertidumbre en los parámetros del modelo G(s) usado para diseñar el controlador K(s) Variaciones de los mismos parámetros en el tiempo Errores estructurales en el modelo G(s): dinámica no modelada (ejm. modos vibracionales de orden superior) 2 / 19

3 Control Robusto vs. Adaptivo Existen 2 metodologías principales concebidas para atacar el problema anterior: el enfoque robusto y el enfoque adaptivo. En el diseño robusto, se busca un controlador (algoritmos, fórmulas...) cuya estructura y parámetros (ganancias) son fijos en el tiempo. Esto implica que, dada una estructura, los parámetros fijos a usarse deben provenir de alguna forma de optimización. En contraste, los controladores adaptivos tienen una estructura fija, sin embargo emplean refinamiento contínuo o recursivo de parámetros (ley adaptación). Tradicionalmente, las leyes de adaptación se derivan de acuerdo a criterios de estabilidad de Liapunov o de requerimientos de ajuste a un modelo de referencia. 3 / 19

4 Principales Aplicaciones del : Discusión Control Robusto vs. Adaptivo En cuanto a publicaciones y dinero invertido en investigación e implementación: Discos duros, regulación y posicionamiento del brazo lector. Control de propulsíon en turbinas aeronáuticas. Control de vuelo (lazos preestabilizantes en aviones y helicópteros) Control de procesos industriales, nucleares y químicos. 4 / 19

5 Revisión de técnicas SISO:Funciones de transferencia claves Control Robusto vs. Adaptivo Transferencia en lazo abierto (loop transfer function): L(s) = Y(s) E(s) = G(s)K(s) Transferencia en lazo cerrado ( complementaria) T(s) = Y(s) R(s) = L(s) 1+L(s) Transferencia de disturbio de proceso Y(s) D p (s) = G(s) 1+L(s) Función de S(s) = 1 1+L(s) 5 / 19

6 Observaciones Control Robusto vs. Adaptivo En el caso SISO, GK = KG. Hay que tener mucho cuidado en el caso MIMO. Porqué T se conoce como complementaria? Ejercicio: Determinar las funciones de transferencia para disturbios de salida o ruido en la salida Ejercicio: Si se considera una dinámica del sensor H(s) (en el lazo de retorno), determinar L, T y S en este caso. 6 / 19

7 Estabilidad: El criterio de estabilidad de Nyquist puede expresarse en términos de L ó S. Precisión y rapidez del control de salida: T 1 en el espectro de frecuencias planeado para R. Esto implica que la magnitud de L debe ser grande ( 1) en éste rango de frecuencias. Debido a que S +T = 1 ésto equivale a requerir que S sea cercana a cero en éste rango. Rechazo de disturbios: La S debe ser baja en el espectro de frecuencias anticipado para D p. Esto implica que S debe ser pequeña ( 1) en éste rango de frecuencias. Equivalentemente, L 1 en éste rango. 7 / 19

8 (cont.) Supresión de ruido: El ruido puede considerarse como un disturbio de salida con un espectro de frecuencia predominantemente alto. Como se vió en el ejercicio anterior, su transferencia es esencialmente T. Entonces, T debe ser peque a (S 1) en el rango de frecuencias del ruido. Atenuación de efectos dinámicos no modelados: Por ahora basta decir que L (ganancia de lazo) debe ser pequeã en el rango de frecuencias donde el modelo está sujeto a incertidumbre significativa (resonancias). Discusión. 8 / 19

9 Nyquist con S y T 1 1+L L Cuando L = 1, 1+L = 1/S es la distancia del punto de operación al punto crítico 1+0j. Mostrar los márgenes de fase y ganancia en el diagrama y en el diagrama de. 9 / 19

10 Conflictos Nyquist con S y T Para mantener buenos márgenes de estabilidad, S debe ser pequeña cerca del cruce de L por 0 db. Al mismo tiempo, se requiere S 1 para frecuencias mayores al ancho de banda del sistema. Como se verá, S exhibirá un pico al pasar por la región de cruce (integral de de ). Tanto el rechazo de disturbios como el control de salida requieren S 0 (ganancia de lazo L alta) La supresión del ruido y la atenuación de efectos dinámicos no modelados requiere S 1 (L 0) Cuando las referencias a seguir son rápidas (contenido espectral alto, cercano al del ruido), se produce un conflicto de requerimientos para S. Notar que el ruido se combina con las referencias. El sistema de control no sabe como discriminar entre ruido y referencia. Lo mismo se aplica a la dinámica no modelada: S 0 vs. S / 19

11 L L L 1 0 db transición: -20 db/dec w ancho de banda L 1 w / 19

12 0 db S = 1 1+L Baja : Control de salida Pico pronunciado: Proximidad al punto crítico Rechazo de disturbios S 1 : w Atenuación de ruido Dinámica no modelada 12 / 19

13 Fórmulas Clásicas: Conformación del lazo L (ver Dorf) Las fórmulas se basan en las propiedades de respuesta para un sistema prototipo de segundo orden: L o (s) = w 2 n s(s+2ζw n ) La lazo cerrado correspondiente es T o (s) = w 2 n s 2 +2ζw n s+w 2 n Tiempo de respuesta 2% : t s = 4 ζw n Sobretiro: P.S.= 100e ( ζ 1 ζ 2)π Ancho de banda: w b = ( 1,196ζ +1,85)w n Frecuencia de cruce para L: w c w b /1,6 Margen de fase: ζ PM / 19

14 Ejemplo Epecificaciones: Error estacionario cero para entradas escalón Sobretiro menor que 35% Tiempo de respuesta 2% menor que 0.2 s Atenuación de ruido: para w 300 rad/s Representar los requerimientos de diseño en el dominio de la frecuencia (lazo objetivo L). 14 / 19

15 Ganancia-Fase de Teorema (, 1945). Si todos los ceros y polos de L tienen partes reales negativas (estable y fase mínima) y además L(0) = 0: L(jw 0 ) = 1 π para todo w 0, donde ν = ln(w/w 0 ). dln L(je ν ) dν lncoth ν 2 dν 1. Esta fórmula explica que L = 90r y d L /dw = 20r db/dec, donde r es el grado relativo. 2. La regla de diseño: d L /dw 20 db/dec en la región de cruce para buen margen de fase también proviene de ésta fórmula. 15 / 19

16 Cama de Agua 0 ln S(jw) dw = π Re (p k ) π 2 lím s sl(s) donde p k son los polos de L con partes reales positivas. Si L es estable y de grado relativo al menos 2: ln S(jw) 0 ln S(jw) dw = 0 0 db w 16 / 19

17 Ejemplo 1: Conformación de Lazo Manual (SISO) Cama de Agua : G(s) = 1 s(s+1)(s+2) 1. Error estacionario cero para entradas escalón 2. Sobretiro: 37% 3. T s : 16 s. Recordar que K(s) debe ser propia (no más ceros que polos) y estable. PID es una excepción aceptable al requerimiento de grado relativo. Se recomienda efectuar la conformación del lazo usando herramientas como sisotool en Matlab. 17 / 19

18 Ejercicio Recomendado Cama de Agua Repetir el ejercicio anterior con: 1. Error estacionario cero para entradas escalón y rampas 2. Sobretiro: 5% 3. T s : 1 s. Luego de obtener el K(s) final, graficar ln S(jw) en escala logarítmica. 18 / 19

19 2 Observaciones Cama de Agua 1. Cuando el sistema de control tiene varias entradas y salidas (MIMO), los conceptos de control de salida, rechazo de disturbios, atenuación de ruido y adquieren mayor complejidad debido a efectos direccionales (detalles por desarrollar). Se requiere una metodología ordenada para discutir éstos problemas de manera lógica y rigurosa. 2. Cuando existe incertidumbre (paramétrica o estructural) en la dinámica de planta G(s) = G o (s)+ G(s) ó G(s) = (1+ G(s))G o (s), deben establecerse resultados que permitan asegurar el cumplimiento de propiedades como la estabilidad y el desempeño (performance) para cualquier (s) dentro del rango admisible: estabilidad robusta y desempeño robusto. 19 / 19