UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Paraná

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1 UNIVERSIDAD TENOLÓGIA NAIONAL Faclad Rgonal Paraná Dparamno Maras Báscas EUAIONES DIFERENIALES SISTEMAS DE EUAIONES DIFERENIALES APLIAIONES DE LAS EUAIONES DIFERENIALES Aors: Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Spmbr d

2 Ecacons Dfrncals Tma : Ecacons Dfrncals - Dfncón - Ordn Grado. Tma : Solcons d na Ecacón Dfrncal. Tma : ondcón Sfcn d Esnca Uncdad d la Solcón. Tma : Pno d Vsa Gomérco d las Solcons - ras Ingrals Tma : Tracoras Orogonals. Tma 6: Enoln d na Famla d ras. Tma 7: Ecacons Dfrncals d Varabls Sparabls. Tma 8: Ecacons Dfrncals Homogénas d Ordn. Tma 9: Ecacons Dfrncals Rdcbls a Homogénas d Ordn Tma : Ecacons Dfrncals Lnals d Ordn. Tma : Ecacón Dfrncal d Brnoll o Rdcbls a Lnal d Ordn. Tma : Ecacón Dfrncal Eaca. Tma : Rdccón a Ecacons Dfrncals Eacas - Facor Ingran Tma : Ecacons Dfrncals Lnals Homogénas - Dfncón Propdads Gnrals. Inrodccón Tórca.- Ejrcacón.- Aoalacón.- Esdo con Mahmaca.- Rspsa a los Ejrccos.- Rspsas a las Aoalacons.-

3 Tma : Ecacons Dfrncals Lnals Homogénas d Ordn con ofcns onsans. Tma 6: Ecacons Dfrncals Lnals Homogénas d Enésmo Ordn con ofcns onsans. Tma 7: Ecacón Dfrncal Lnal No Homogéna d Ordn Tma 8: Ecacons Dfrncals Lnals No Homogénas d Ordn con ofcns onsans - Méodo d los ofcns Indrmnados. Tma 9: Ssmas d Ecacons Dfrncals d ofcns onsans. Tma : Rdccón d n Ssma a na Ecacón d n-smo Ordn. Tma : Méodo d Elr para n Ssma d Ecacons Dfrncals Lnals Homogénas con ofcns onsans. Tma : Méodo d Varacón d las onsans. Tma : Aplcacons d Ecacons Dfrncals. Inrodccón Tórca.- Ejrcacón.- Aoalacón.- Esdo con Mahmaca.- Rspsa a los Ejrccos.- Rspsas a las Aoalacons.-

4 TEMA : EUAIONES DIFERENIALES - DEFINIION - ORDEN Y GRADO. Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Ecacons Dfrncals a-) Dfncón: Llamamos cacón dfrncal a na cacón q rlacona: la arabl ndpndn ; la arabl dpndn [o fncón ncógna =f()] las dradas: ; ; () ; () ;... (n). Esa cacón n la forma: () () ( n) F ; ; ; ; ;... dond s na fncón d. D sa rlacón d dpndnca q lga a, ss dradas bscamos obnr sa fncón = f() q s la solcón d la cacón dfrncal q s obn por ngracón como rmos más adlan. S sa fncón = f() dpnd d na sola arabl ndpndn ( n s caso) la cacón dfrncal s llama: cacón dfrncal ordnara. S n la cacón dfrncal ha más d na arabl ndpndn las dradas parcals con rspco a na o más d sas arabls la cacón dfrncal s llama: cacón dfrncal n dradas parcals. Ejmplo: d d s na cacón dfrncal ordnara. z s na cacón dfrncal n dradas parcals. z z z s na cacón dfrncal n dradas parcals. = s na cacón dfrncal ordnara. ' s na cacón dfrncal ordnara. d d s na cacón dfrncal ordnara ps: d d s: d d b-) Ordn El ordn d na cacón dfrncal s l ordn d la drada spror q nrn n lla.

5 Ecacons Dfrncals c-) Grado: Es l grado d la drada d maor ordn q fgra n lla, na z q la cacón dfrncal ha sdo raconalzada s han qado los dnomnadors rspco a odas las arabls. Ejmplo: lasfcar las sgns cacons dfrncals ndcar l ordn grado d las msmas. 6 Ordnara, Ordn, Grado. 6 Ordnara, Ordn, Grado. 6 Ordnara, Ordn, Grado. Ordnara, Ordn, Grado. 6 sn z z z En Dradas Parcals, Ordn, Grado. z z z En Dradas Parcals, Ordn, Grado. d d d Ordnara, Ordn, Grado. d d ps: d d d Ordnara, Ordn, Grado. d ps: d Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

6 TEMA : SOLUIONES DE UNA EUAIÓN DIFERENIAL a-) Solcón: Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Ecacons Dfrncals () () ( n) Dada la cacón dfrncal F ; ; ; ; ;... s dnomna solcón d la cacón dfrncal a oda fncón = f() al q nrodcda lla ss dradas n la cacón dfrncal la ransforma n na dndad. La solcón s sl llamar ngral d la cacón dfrncal ps n la maoría d los casos sa s obn ngrando. Por jmplo s nmos la cacón dfrncal: 6 dcmos q s na solcón d lla, ps s calclamos, las rmplazamos n lla, obnmos na dndad. Vrfqémoslo: S rmplazamos n: 6 6 Lgo s na solcón d la cacón dfrncal 6. Tommos oro jmplo sncllo dond por ngracón calclmos la solcón. Sa la cacón dfrncal = (ordnara, d ordn grado ). S = = ps: = d Lgo = d Dbo olr a ngrar q s la solcón. Es dn q al arar, obndrmos nfnas solcons. d

7 Ecacons Dfrncals Vndo so clasfcarmos las solcons n: b-) Solcón Gnral: Al rsolr la cacón dfrncal como mos, cada z q s ngra s obn na consan. La solcón gnral s la ngral q conn anas consans como ordn n la cacón dfrncal. Lgo s la solcón gnral d la cacón dfrncal ordnara d ordn =. Tambén podmos dcr q s la solcón gnral d la cacón dfrncal ordnara d sgndo ordn: 6 (lo dmosrarmos n n ma posror). Lgo n gnral podmos dcr q la fncón,,... s la solcón gnral d, n () () ( n) ; ; ; ; ;... F s rmplazada n sa la ransforma n na dndad. La solcón gnral ambén pd obnrs n forma mplíca:,,,,... n D la solcón gnral conclmos q: () () ( n). Sasfac a la cacón dfrncal F ; ; ; ; ;... para calqr alor d las consans.. alqra sa la condcón ncal = para = s pd nconrar n conjno d alors para las consans ; ; ;... n d al modo q la solcón,,,... n sasfaga a la cacón dfrncal a las condcons ncals dadas. c-) Solcón Parclar S nmos na cacón dfrncal lnal: ; ; gnral srá dl po ;. Ahora, oda solcón Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6 F s solcón ; ddcda d la solcón gnral dando a la consan n alor drmnado s dnomna solcón parclar. S la cacón dfrncal s d ordn n: () () ( n) ; ; ; ; ;... F S solcón gnral srá:,,..., n

8 Ecacons Dfrncals s solcón parclar srá obnda para alors drmnados d las consans, sndo:,,,... n. Ejmplo: Dada la cacón dfrncal: d d Traarmos d sparar ss arabls, djando odas las n n mmbro con s dfrncal odas las n l oro con s dfrncal, con l objo d podr ngrar. d d S ngramos d ln( ) d ln ln ln ln Lgo, la solcón gnral s: S ponmos na condcón ncal: = para = la rmplazamos n la solcón gnral podrmos hallar l alor d q la sasfac. Para dspjar omamos logarmos: ln( ) ln (sndo ln = ) ln Rmplazando n la solcón gnral obndrmos la solcón parclar: Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7

9 ln Ecacons Dfrncals d-) Solcón snglar En algnos casos spcals la cacón dfrncal adm admás d la solcón gnral oras solcons no ncldas n la solcón gnral. Esas solcons s llaman solcons snglars. TEMA : ONDIION SUFIIENTE DE EXISTENIA Y UNIIDAD DE LA SOLUION. El orma q sdarmos sablc las condcons sfcns para q la solcón d na cacón dfrncal dl po: d f (, ) sa sa únca. d Torma: Dada la fncón d arabl ral: f(,), la cal s conna n n cro domno D dl plano, q conn al pno P (, ), noncs l problma d alor ncal d f (, ) q sasfac la condcón d ( ) = n al mnos na solcón n n nralo abro q prnc a conn a =. f S s cmpl ambén q la drada parcal s conna n D, noncs la solcón s únca n algún nralo abro, posblmn más pqño pro q conn a =. Obsracón: Aún cando no s cmplan las condcons anrors pd ocrrr q san las solcons san úncas n l domno D dl plano,. No dmosrarmos s orma, pro rmos con algnos jmplos s aplcacón. Ejmplo: d Dada la cacón dfrncal: d la solcón parclar para () =. cos, hallar s solcón calclar Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8

10 Ecacons Dfrncals En s jmplo f(,) = cos() s conna (;), por lo ano la solcón d sa cacón dfrncal s para = ( ). S calclamos f cos s conna, por lo ano la solcón s únca. alclmos la solcón gnral d cos S sparamos arabls ngramos d d d cos Ejmplo: ln sn ln sn ln ln ln sn ln sn sn sn sn sn s la solcón s únca. d Dada la cacón dfrncal, hallar s solcón gnral d calclar la solcón parclar para () =. Solcón: La fncón s conna n odo s domno, so garanza q la cacón dfrncal n al mnos na solcón, q pasa por P (;) q prnc al domno. f S calclamos q no s conna n = por lo ano la solcón pd no sr únca n =. d S rsolmos d Para llo sparamos arabls ngramos Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

11 d d Ecacons Dfrncals s = ; = = + lgo = ( ) s na solcón Pro s ambén solcón sasfac la condcón () =. f omo mos al no sr conna la n P (;) ha dos solcons q cmpln q () =. Ejmplo: d Dada la cacón dfrncal analzar ss solcons con l d orma d snca ncdad. Solcón: f, : Es dsconna n = (o sa odo pno sobr l j, ncldo l pno P(,). En P(,) s dsconna. El orma no garanza na solcón a raés d (,) por sr f(,) dsconna n s pno n (,). Pro s rsolmos la cacón dfrncal mos q ha solcons q pasan por s pno. on so qda bn claro q la conndad d f(,) s na condcón sfcn, pro no ncsara para la snca d solcons n l pno. Ejmplo: d Dada la cacón dfrncal d, sdar s solcón n (,) 8 Solcón: f (, ) : no s conna n =. 8 f no s conna n =. Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

12 S rsolmos 8 8 d d d d sparando arabls ngrando: 8 s, Ecacons Dfrncals s solcón n (,), lgo la condcón no s ncsara para 8 la snca d solcons. Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

13 Ecacons Dfrncals TEMA : PUNTO DE VISTA GEOMETRIO DE LAS SOLUIONES URVAS INTEGRALES. Dsd l pno d sa gomérco la solcón gnral d na cacón dfrncal rprsna na famla d cras llamadas cras ngrals. Para cada alor d la consan ha na cra q s la rprsnacón gráfca d la solcón parclar. S nmos na cacón dfrncal lnal F(,, ) = s solcón gnral =f(;) rprsna na famla d cras, n cambo la solcón = f(, ) rprsna a na d las cras s na solcón parclar. d Por jmplo: s nmos la cacón dfrncal: d d d d d S sparamos las arabls ln ln ln S ngramos: ln ln ln ln(. ) ln (la cons. s pd prsar como ln. ) (solcón gnral) La solcón gnral s na famla d hpérbolas qláras con asínoas rcals = horzonals =. S grafcamos algnas cras d la famla Sndo dsconna n = no ha solcón n l j d ordnadas. S damos n alor ncal sndo por jmplo = para = nconramos la solcón parclar q pasa por l pno P (,) Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

14 Ecacons Dfrncals Sndo ; s La solcón parclar s ; s rprsnacón gráfca s la hpérbola. P Por jmplo s rsolmos la cacón dfrncal S sparamos arabls.d =.d S ngramos d d d d (solcón gnral) La solcón gnral n s jmplo rprsna na famla d crcnfrncas con cnro n l orgn d coordnadas rado r. Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

15 TEMA : TRAYETORIAS ORTOGONALES. Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Ecacons Dfrncals Dado n haz d cras n l plano o na famla d cras ca cacón s (,,)=, bscamos la cacón d ora famla d cras al q n cada pno dl plano sas cras san prpndclars a (,,)=. () Por jmplo n haz d rcas q pas por l orgn d coordnadas (d cacón = ) s prpndclar n cada pno al haz d crcnfrncas concénrcas + = con cnro n l orgn d coordnadas. S dramos la fncón mplíca (,,)= s drada srá: d d () d d S formamos n ssma d cacons con () (): ; ; d () d lmnamos d s ssma. Al lmnar dl ssma () d obndrmos na cacón F,, (). d d En () la drada s la pndn d la cra n cada pno M(,). d Al dcr cra nos rfrmos a la cra ngral. S prndmos hallar na racora orogonal s pndn n s pno db sr rcíproca cambada d sgno rspco a la d (). Por lo ano d T d d d S n () nrodcmos sa pndn obndrmos la cacón dfrncal d las racoras orogonals a (,,)=. d d Obnmos F,, () S rsolmos sa cacón dfrncal obndrmos la cacón d la T,, (6) famla d cras orogonals

16 Ecacons Dfrncals S grafcamos: / To (,,) (,,) Ejmplo: Hallar las racoras orogonals al haz d parábolas = c.. Solcón: S planamos l ssma () so n la oría ndrmos d () d Dbmos ahora lmnar d s ssma. Dspjamos d la prmra cacón la rmplazamos n la sgnda d d () d d d S n () rmplazamos por ndrmos la cacón dfrncal: d d d d d () d d Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

17 Ecacons Dfrncals S n () sparamos arabls ngramos: d d d d (6) La cacón d la famla d lpss (6) s orogonal n odo pno d nrsccón con la famla d parábolas =. Ejmplo: Hallar las racoras orogonals al haz d rcas =. Solcón: Planamos l ssma () d d S lmnamos n () obnmos () d () d Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6

18 d S n () rmplazamos por d d dl haz d racoras orogonals Ecacons Dfrncals ndrmos la cacón dfrncal d Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7

19 S ngramos: d d d d () d d Ecacons Dfrncals (6) (6) s la cacón d na famla d crcnfrncas concénrcas con cnro n l orgn d coordnadas prpndclars a las rcas =. S grafcamos: En oordnadas Polars S prndmos hallar las racoras orogonals al haz d cras d ; ; d d sas srán ; ; d Ejmplo: Las racoras orogonals al haz d cardods sn s d d drmnan drando rspco a : cos d cos d Ssndo n la cacón dada d d cos sn cos d d sn Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8

20 Ecacons Dfrncals d d S ssmos por d cos ndrmos:. S d d d sn sparamos arabls ngramos: d sc g d ln ln ln sc g ln cos ln cos sn sn g orogonals. q s l haz d racoras Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

21 Ecacons Dfrncals TEMA 6: ENVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE URVAS. d S rsolmos na cacón dfrncal dl po f, s d solcón srá,, () q gráfcamn rprsna na famla d cras o n haz d cras. Para cada alor q l damos a la cacón () rprsna na cra dl plano,. Por jmplo = rprsna n haz d parábolas para cada alor q l asgnamos a obnmos na parábola dfrn. Bscamos la cacón d na cra q s llama noln dl haz d cras,,, d al manra q la cra noln sa angn a na cra dl haz n cada no d ss pnos. Sa = f() la cacón d la noln q sponmos conna drabl. S grafcamos: P(, ) = f() (,,) = S omamos n pno P(,) sobr = f() s pno prnc ambén a na d las cras dl haz,,. En sa cra, n n alor drmnado, dado por la cacón = (,). Para odos los pnos d = f() s rfca q ; ;, () S (,) s no consan drabl n la rgón dl plano, n sdo, amos a drmnar l cofcn anglar d la angn a la noln n P(,). Dramos () con rspco a. d d d d d d Rordnando: d d d d Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

22 Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Ecacons Dfrncals omo n la cra dl haz dado s na consan, noncs l cofcn anglar d la angn al haz dado s dspja d d d sndo d d En la noln (,) (no s consan), lgo: d d Enoncs para los pnos d la noln s:,, Lgo para hallar la cacón d la noln s db lmnar dl ssma:,,,, Al lmnar d sas cacons obnmos = f(), q s drabl (dond no s na consan sobr sa cra). Esa cra = f() s la noln dl haz. Ejmplo: Hallar la noln dl haz d crcnfrncas Solcón: r Dramos la cacón dl haz dado rspco a : Ahora formamos l ssma:,, r,, Elmnamos dl ssma. Para llo dspjamos d la sgnda cacón la rmplazamos n la prmra. r r r r q son dos rcas horzonals parallas. S grafcamos: r -r = r = -r

23 Ecacons Dfrncals Ejmplo: Hallar la noln d las racoras d las balas d n cañón al sr dsparadas con dsnos ánglos rspco a la horzonal dl pso. La cacón d la racora s n coordnadas paramércas cos ; sn g, sndo la locdad ncal d la bala g la aclracón d la gradad. Solcón: S hallamos la cacón d la racora n coordnadas carsanas sa g srá: g q s la cacón dl haz d parábolas cos dscrpas por las balas. g A s n alor consan admás g. cos Lgo g A g A s hacmos g = dond s l parámro. S dramos con rspco a obnmos A Formamos ahora l ssma A A S dspjamos d la sgnda cacón la rmplazamos n la prmra, obnmos: A A Esa s la cacón d na parábola q s la noln dl haz d cras q son racoras d las balas. S grafcamos: Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

24 Ecacons Dfrncals Ejmplo: Hallar la noln d la famla d crcnfrncas con cnro n la rca = ( >, > ) q pasan por l orgn d coordnadas. Solcón: La crcnfrnca con cnro n P(a,a) q pasa por l orgn n por cacón: a a a a = a (Esa s la cacón dl haz d crcnfrncas al omar a dsnos alors). S la dsarrollamos: a S dramos con rspco a a: + ( + ) = a Obnmos l ssma Elmnando a dl ssma obnmos = ; = + =. Lgo = - q s la rca bscrz dl sgndo caro cadran s la noln. S grafcamos: Y = - Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

25 Ecacons Dfrncals EJERIIOS XIII -) En las sgns cacons dfrncals ndcar s son ordnaras o n dradas parcals drmnar s grado ordn. a-) b-) z z c-) d-) -) f-) sn g-) 6 h-) -) j-) z z z sn -) Dadas las sgns cacons dfrncals rfcar s las fncons dadas son na solcón d la msma ndcar l po d solcón. a-) 6 ; b-) 6 ; c-) 6 ; d-) 6 ; 8 -) ; f-) ; g-) ; h-) ; d -) ; d = Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

26 Ecacons Dfrncals j-) d d ; -) Qé famla d cras rprsna la solcón d las sgns cacons dfrncals? a-) = b-) = c-) d d d d-) d d -) cos d -) Hallar la cacón dfrncal ca solcón s l haz d parábolas =. -) Hallar la cacón dfrncal ca solcón s l haz d rcas =. 6-) Drmnar l haz d cras ngrals q son la solcón d d a-) d d b-) d d c-) d 7-) Hallar las racoras orogonals al haz d crcnfrncas + =. 8-) Idm para l haz d hpérbolas - =. 9-) Dado l haz d crcnfrncas d rado cnro n l j, hallar la cacón dfrncal dl haz la o las cacons d las cras nolns. Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

27 Rsla la Aoalacón N Ecacons Dfrncals Ej. -) Hallar la cacón dl haz d cras o racoras orogonals al haz. Ej. -) Hallar la cacón dfrncal ca solcón s l haz d crcnfrncas + =. Ej. -) Drmnar l haz d cras ngrals q son la solcón d la d cacón dfrncal. d Ej. -) Hallar la famla d cras q son la solcón d la sgn cacón dfrncal d. d Ej. -) Hallar la famla d cras q son la solcón d la sgn d cacón dfrncal. d Tabla d rndmnos Ej. Ej. Ej. Ej. Ej. Toal Vr rslados al fnal dl capílo Noa: s obo mnos dl 8 %, la a sdar los concpos anrors. S obo 8 % o más, pas a los mas sgns. Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6

28 Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7 Ecacons Dfrncals TEMA 7: EUAIONES DIFERENIALES DE VARIABLES SEPARABLES. S consdramos na cacón dfrncal d prmr ordn d f, d s llama d arabls sparabls s f(,) pd prsars como l prodco d na fncón d por na fncón d o por l cocn d sas fncons. d d g g h d h ó ó d d h d g S pdn prsnar los sgns casos: d a-) g h S sparamos las arabls ngramos d d gd h b-) g d hd S ngramos gd hd c-) g h d gh d S ddmos ambos mmbros por gh g h h g d d S ngramos h g h g g g h h d d d-) La cacón dfrncal d prmr ordn d f s la más smpl d s solcón s drca. d f d d f d s F() s la prma d f() F Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d 9

29 Ecacons Dfrncals Solcón: Sparamos las arabls ngramos d d 9 Ejmplo: 9 Rsolr la cacón dfrncal d d Solcón: (s la solcón gnral) Sparamos las arabls ngramos. d d d d ln arcg arcg arcg (s la solcón gnral) Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal drmnar la solcón parclar q cmpl con la condcón ncal () =. d d Solcón: Sparamos las arabls ngramos. Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8

30 d d d d d d d d d ln ln ln ln d ln s la solcón gnral. La solcón parclar para = = s ( ) Ejmplo: Ecacons Dfrncals Solcón parclar para () =. Rsolr la cacón dfrncal Solcón: d d Sparamos las arabls ngramos d d d d q s la solcón gnral n forma mplíca. D lla podmos dspjar : Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

31 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Solcón gnral plíca Ejmplo: Rsolr rfcar d d Solcón: S sparamos las arabls d d d d S ddmos d d S ngramos d d gnral solcón ln ln ln ln ln Vrfcacón: para llo dfrncamos la solcón gnral:

32 d d d q rfca l rslado. d d Ecacons Dfrncals d d d d d TEMA 8: EUAIONES DIFERENIALES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN. a-) Dada na fncón f(,) s dc q sa fncón s homogéna d grado n rspco a las arabls s al rmplazar por por s rfca la dndad n f ; f ; Ejmplo: La fncón f ; f Ejmplo: s homogéna d grado, ps ; La fncón f f,, s homogéna d grado, ps Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

33 Ecacons Dfrncals Ejmplo: La fncón f, s homogéna d grado (cro), ps f, Una cacón dfrncal d prmr ordn s dc homogéna s n la forma: d f, () d dond f(,) s na fncón homogéna d grado, o sa q: ; f ; f f ; () b-) Solcón d la cacón dfrncal lnal homogéna S nmos: f ; hacmos = / noncs f ; f ; f ; () Por sr f(,) homogéna d grado cro nmos q: f, f, f, d () () s hacmos la sscón () f, f, f, () sndo =. lgo: d d d d d d d d (6) d d S rmplazamos () (6) n () ndrmos d f, d d f, d Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

34 Ecacons Dfrncals q s na cacón dfrncal d arabls sparabls. S sparamos las arabls: d f, d d d f, S ngramos obnmos la solcón d d f (7), Al ngrar obnmos na solcón (,,). En sa solcón dbmos rmplazar por para obnr la solcón gnral bscada (,,). Noa: la cacón dfrncal: M, d N, d s homogéna s M(,) N(,) son homogénas dl msmo grado. Por jmplo: d d Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal Solcón: d d Vrfqmos s s homogéna d grado cro la fncón f(,). f ; (s homogéna d grado cro).. Aplcamos la fórmla (7) sndo f, d d f, sndo Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

35 d d d d d ln d d ln ln ln sndo ln ln s la solcón gnral Ecacons Dfrncals Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d Solcón: Vrfqmos s f f, s homogéna d grado cro, (s homogéna d grado cro) Aplcamos la fórmla (7) sndo f, Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

36 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br d d d d d d f d sndo sndo ln ln arcg ln. ln, ln ln arcg s la solcón gnral. Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal ( + )d - d = Solcón: ( + ) s homogéna d grado ambén s homogéna d grado por lo ano la cacón dfrncal dada s homogéna. S dspjamos d d Lgo f f,, S aplcamos la formla (7) solcón gnral la s sndo c c c d d d c d f d ln ln ln ln ln,

37 Ecacons Dfrncals TEMA 9: EUAIONES DIFERENIALES REDUIBLES A HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN. a-) Ecacons dfrncals dl po d a b c () dond a, b, c, a, b c son consans. d a b c S c = c = s rsln d la forma sa n l ma 8, ps sría homogéna. d d sndo a b a b S c ; c o ambos c c son dsnos d cro d a b c () no s homogéna. d a b c Para lograr q la cacón () sa homogéna ralzarmos l sgn cambo d arabls. h sndo d d () d d S rmplazamos n () d a h b c d a h b c S ordnamos d a b ah b c () d a b ah b c En () dbmos omar h d al manra q s anl ah b c ah b c () Al rsolr s ssma nconrarmos los alors d h q rdcn () a na cacón homogéna. d a b () d a b A sa cacón l aplcamos la solcón sa n l ma 8. d d a b (6) sndo a b Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6

38 Ecacons Dfrncals En la solcón hallada habrá q rmplazar por por h. h Podrá dars l caso spcal q l ssma () no nga solcón llo ocrrría s l drmnan prncpal dl ssma s cro a b a o sa ab a b =. b d a b a b (7) sndo a = da b = db S rmplazamos n la cacón dfrncal () d a b c d da db c d a b c (8) d da b c S ssmos = a + b (9) d d d a b sdspjamos d d d d d a () d b d b S rmplazamos n (8) las prsons (9) () d a c b d b d c En sa cacón podmos sparar las arabls ngrar d b c a d d d b c a d c c d () En la solcón d () habrá q rmplazar por a + b b-) La solcón q hmos nconrado para la cacón dfrncal () n ss dsnas alrnaas s snclla; sgndo n procdmno smjan s pdn rsolr cacons dfrncals d la forma: d a b c f d a b c d c-) Al planar na cacón dfrncal d la forma: f, (r d ma 8), pd ocrrr q f(,) no sa homogéna d ordn cro. S la cacón n dada por la forma: Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7

39 Ecacons Dfrncals M(,)d + N(,)d = pd ocrrr q M(,) N(,) no san homogénas dl msmo grado. En sos casos algnas cacons pdn rsolrs planando la sscón p p d p q la ransforma n homogéna s s slccona corrcamn l alor d p como rmos n l jmplo sgn: Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d Solcón: Ednmn no s homogéna. Traarmos d llarla a na cacón homogéna ralzando la sscón: p p d p S rmplazamos: p p p d p alclmos l alor d p d al manra q la sma d los ponns sa gal n cada no d los smandos p p p p p p La sscón a ralzar s. S rmplazamos n la cacón d d dfrncal dada sndo d d d d d d smplfcando Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8

40 Ecacons Dfrncals d d d d d Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

41 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br d d ln ln ln ln ln sndo ln ln ln ln Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d Solcón: A smpl sa mos q no s homogéna. S hacmos la sscón ndrmos con dmnsón n ano con dmnsón -. S ; d d d S rmplazamos n la cacón dfrncal dada: d d d d d S sparamos arabls ngramos d d d d d d ln ln ln

42 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d Solcón: d d Hacmos h d d d d r () r () h h d d h h d d dond h h r () S rsolmos l ssma () obnmos h = ; =. Lgo La cacón dfrncal homogéna qdará ahora: 7 7 d d () a solcón s obn d d f d, (6) dond 7 7 d d d d d d ln ln ln ln

43 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br gnral. la solcón s ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln

44 Ecacons Dfrncals TEMA : EUAIONES DIFERENIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Sa la cacón dfrncal q n la forma: d P Q () d Sndo P() Q() fncons d o consans. a-) S Q() = d P () d podmos sparar las arabls ngrar ps s na cacón d arabls sparabls. d P d d P d ln P d ln ln P d Pd () b-) S Q() Propondrmos na solcón para la cacón dfrncal () d la forma = ().() () o sa l prodco d dos fncons d. S hallamos la drada d () con rspco a d d d () d d d S rmplazamos () () n () d d P Q d d S sacamos facor común d d P Q (6) d d Podmos slcconar para q lo q sá dnro dl parénss s anl. Smlar a () Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

45 Ecacons Dfrncals d P (7) d Esa s na cacón dfrncal d arabls sparabls. S la rsolmos d P d d P d d P d Pd (8) La consan la nrodcrmos al fnal. La cacón (6) nos qda: d Q d q ambén s d arabls sparabls Q d d Q d (9) La solcón s =.. D (8) (9) Pd Q d () Vamos algnos jmplos: Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d 8 d Solcón: P() = 8 Q() = Es na cacón dfrncal lnal d prmr ordn, P Q son connas. Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

46 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8 8 d P d d P 8 d d d d Q Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d Solcón: S ddmos por la llamos a la forma () d d sndo f dsconna n =. Q conna.

47 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6 d d d Q d d P d P ln ln

48 Ecacons Dfrncals Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal ln d ln d Solcón: Prmro amos s s lnal ln d d ln d ln d ln ln P ln dsconna para Q dsconna n = d P d ln ln ln P d lnln ln Q( ) d ( ) d d ln ln d ln ln () ln ln ln ln Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7

49 Ecacons Dfrncals TEMA : EUAIÓN DIFERENIAL DE BERNOULLI O REDUIBLES A LINEAL DE PRIMER ORDEN. Sa la cacón dfrncal q n la forma: d n P( ) Q( ) () d con n n. Por mdo d na sscón podmos llarla a na lnal d prmr ordn. P() Q() son fncons connas d o consans. S ddmos () por n : d ( ) n P Q( ) () n d hacmos la sscón () d n d n d d n () d d d n d Rmplazando () () n () n d P( ) Q( ) n n d n d P( ) Q( ) n d d P( ) n Q( ) n () d S llamamos P().(-n) = P () Q().(-n) = Q () d Enoncs P ( ) Q( ) (6) d Esa s na cacón dfrncal lnal s solcón d acrdo a lo so n l ma s sndo P d Q d (7) P d (8) Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8

50 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9 La solcón n fncón d los daos ncals s d n Q d P n d P n n (9) Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal 8 d d Solcón: Es na cacón dfrncal d Brnoll. n = ; P() = 8 Q() = - ambas connas ) ( 8 ) ( 8 ) ( d P n d d P n d d d n Q S aplcamos la fórmla (9) 8 8

51 Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Ecacons Dfrncals TEMA : EUAIÓN DIFERENIAL EXATA. Es ambén como las anrors na cacón dfrncal d prmr ordn prmr grado. S nmos na fncón (,) = d d d En gnral podmos dcr q d M(, ) d N(, ) d Podmos dcr q M (, ) d N(, ) d () s llama cacón dfrncal oal; s M(,) N(,) son fncons connas drabls q cmpln la galdad: M N () () s la condcón ncsara para q () sa na cacón dfrncal aca. Dmosrarmos q () s la condcón ncsara. S (,) = d(,) = d d d d M (, ) d N(, ) d sndo M (, ) N(, ) M N S dramos hallamos la M (, ) N (, ) Por l orma d la conmabldad d las dradas parcals db sr: M N con lo q la condcón qda dmosrada. alclarmos ahora la solcón d () S M (, ) () (, ) M (, ) d ( ) ()

52 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Sndo N ), ( () S n () ralzamos la drada sa srá N(,) ), ( ), ( N d M (6) o sa q d M N ), ( ), ( (7) Lgo d d M N ), ( ), ( (8) Rmplazando n () d d M N d M ), ( ), ( ), ( ), ( (9) Q s la solcón gnral d la cacón dfrncal aca d prmr ordn. Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d Solcón: Vamos s s aca N N M M N M por lo ano s aca. alclamos prmro d d M ), ( alclamos ahora d M ), ( Lgo calclamos:

53 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br ), ( ), ( d d d M N Lgo, aplcando (9) s la solcón gnral. Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d Solcón: ), ( M M ), ( N N N M s aca. alclamos d d M ), ( d d d d M N d M ), ( ), ( ), ( Aplcando la fórmla (9) s la solcón gnral. Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d

54 Ecacons Dfrncals Ing. Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br Solcón: ; ), ( ; ), ( N N M M N M por lo ano s aca. alclamos ln ), ( d d M d d d d M N d M ln ), ( ), ( ), ( Aplcando la fórmla(9) s la solcón gnral ln ln ln

55 Ecacons Dfrncals Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br TEMA : REDUION A EUAIONES DIFERENIALES EXATAS FATOR INTEGRANTE. S M(,).d + N(,).d = () no s na cacón dfrncal aca, n algnos casos mlplcando odos los érmnos d () por na fncón f(,) ésa s ransforma n na cacón dfrncal aca. O sa q f(,).m(,).d + f(,).n(,).d = () s aca dbrá cmplrs q N f M f ), ( ), ( ), ( ), ( () S hacmos la drada dl prodco M N f f N f M f N N f f M M f ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( S ddmos por f(,) ambos mmbros M N f f N f f M ), ( ), ( ), ( ), ( () M N f N f M ), ( ln ), ( ln () S la cacón dfrncal () adm n facor ngran q sólo dpnd d ndrmos q: ), ( ln f N. Enoncs f ), ( ln g M M N (6) por lo ano d g (7) s l facor ngran d () S la cacón dfrncal () adm n facor ngran q sólo dpnd d ndrmos q: ), ( ln f M

56 N M ln f (, ) Enoncs h (8) N hd por lo ano (9) s n facor ngran d () Ecacons Dfrncals Obsracons: a-) S la cacón dfrncal () s homogéna M + N noncs s n facor ngran d (). M N b-) S la cacón dfrncal () s d la forma:.p(,).d +.Q(,).d = sndo P(,) Q(,) noncs s n P(, ) Q(, ) M N facor ngran d (). Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d Solcón: d M (, ) N(, ) No s aca ps M M N M ; M N ; M N 8 N g d ln ln El facor ngran s g d S mlplcamos la cacón dfrncal dada obndrmos na aca. El facor s. Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br

57 Ecacons Dfrncals Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6 d d

58 Ecacons Dfrncals Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7 alclamos d d M ), ( d d d d M N d M ), ( ), ( ), ( Aplcando la fórmla (9) dl ma Ejmplo: Rsolr la cacón dfrncal d d Solcón: N N M M ; ), ( ; ), ( N M N El facor ngran s d d h ln Mlplcamos la cacón dada por l facor ngran d d qdando aca. La rsolmos: ), ( ), ( ), ( ), ( d d d M N d M d d M Lgo, la solcón s

59 Ecacons Dfrncals EJERIIOS XIV Hallar la solcón gnral d las sgns cacons dfrncals, d arabls sparabls. -) d d d -) d d -) d -) d d d -) d d d 6-) d d 7-) d d d d 8-) d d 9-) d d d d d d -) -) d d d d -) d d -) Enconrar la solcón parclar q sasfac las condcons ncals -) d d d n = ; = d -) n = ; = d 6-) d d n = ; Hallar la solcón gnral d las sgns cacons dfrncals homogénas d prmr ordn d 7-) d d d 8-) Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8

60 9-) d d -) d d -) -) -) d d -) cos sn d cos d Ecacons Dfrncals Enconrar la solcón gnral d las sgns cacons dfrncals ordnaras rdcbls a homogénas d prmr ordn. -) d d 6-) d d 7-) d d d d 7 7 d 7 d d 6 d d d 8-) 9-) -) -) Enconrar la solcón gnral d las cacons dfrncals lnals d prmr ordn. d -) d d -) d d -) d -) d d d 6-) g a d 7-) d sn d d 8-) sn cos Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

61 Ecacons Dfrncals 9-) d d d -) d d d Enconrar la solcón gnral d las sgns cacons dfrncals d Brnoll (rdcbls a acas). d -) d d -) d -) d d d -) d -) d d d Enconrar la solcón gnral d las sgns cacons dfrncals acas. 6-) d d 7-) d d 8-) d d 9-) d d -) d d -) d d -) r sn dr r cos r sn d cos -) 6 d d d -) d -) Enconrar la solcón parclar d sn d cos d sndo Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6 Enconrar la solcón gnral d las sgns cacons dfrncals rdcbls a acas.

62 Ecacons Dfrncals 6-) d d 7-) d d 8-) d d 9-) d d d Enconrar la solcón gnral d las sgns cacons dfrncals (o las solcón parclar s s dan condcons ncals) d 6-) d d 6-) d d 6-) sndo () = d d 6-) d 6-) b a 6-) b d 66-) cos sn d d 67-) d 68-) d d sndo () = d 69-) d d d d d 7-) ln d 7 7 d 7 d d 7-) d d d 7-) d 7-) 7-) Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6

63 Ecacons Dfrncals d 7-) sndo () = d Rsla la Aoalacón N Ej. -) Rsolr la sgn cacón dfrncal d d Ej. -) Rsolr la sgn cacón dfrncal d cos sn d Ej. -) Rsolr la sgn cacón dfrncal d d Ej. -) Rsolr la sgn cacón dfrncal d sja a () = d Ej. -) Rsolr la sgn cacón dfrncal d 6 d Ej. 6-) Rsolr la sgn cacón dfrncal d d Tabla d rndmnos Ej. Ej. Ej. Ej. Ej. Ej. 6 Toal Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6

64 Ecacons Dfrncals Vr rslados al fnal dl capílo Noa: S obo mnos dl 8 %, la a sdar los concpos anrors. S obo 8 % o más, pas a los mas sgns. Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6

65 Ecacons Dfrncals TEMA : EUAIONES DIFERENIALES LINEALES HOMOGENEAS - DEFINIION Y PROPIEDADES GENERALES. Dfncón : S dc lnal s s d prmr grado rspco a la fncón dsconocda. a Sí n n n a a an f f lnal homogna. f lnal no homogna. a ; a ; a ;...; a n f() son fncons d o consans sndo connas a hacmos a =. Torma : S son dos solcons d '' + a ' + a = () noncs + s solcón. S s solcón '' + a ' + a = S s solcón '' + a ' + a = S + s solcón dbrá rfcar (). Rmplazando: ( + )'' + a ( + )' + a ( + ) = '' + '' + a ' + a ' + a + a = a a a a Lgo + s solcón d (). Torma : c sa solcón d a a rfca Vrmos q ambén s solcón d () S s solcón '' + a ' + a = S s solcón dbrá rfcar a (). ( )'' + a ( )' + a = '' + a ' + a = a a rfca a () Lgo s solcón d (). Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6

66 Ecacons Dfrncals Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 6 Dfncón : Dos solcons d () son lnalmn ndpndns n l nralo [a, b] s s razón no s consan. c f Son lnalmn dpndn s c f Dfncón : S son dos fncons d noncs l drmnan s llama Wronsano s smbolza. W(, ). Torma : San dos solcons d (). Sí son lnalmn ndpndns n [a, b], l Wronsano W(, ) s déncamn nlo n [a, b]. S W Torma : S l Wronsano W(, ) d dos solcons d na cacón dfrncal lnal homogéna no s anla n = dl nralo [a, b], n l cal los cofcns (a ) d la cacón son connos, noncs no s anla n nngún pno d s nralo [a, b]. S s solcón '' + a ' + a = S s solcón '' + a ' + a = S mlplco la prmra por (- ) la sgnda por ( ) las smamos. W so s W so s W a d dw W a W a a a a a,, d a W dw (a s fncón d o c.)

67 Ecacons Dfrncals Rsolndo sa cacón dfrncal d arabls sparabls nos qda: lnw ln W ln W dw W ad a d ln a d a d W Llamada formla d Loll. alclarmos para q s sasfagan la condcons ncals. (para = srá W = W ). W W a d W ad W W Por hpóss w, noncs w [a, b] dado q la ponncal s dsna d cro. Noa: s W(, ) = para = so q W =. Torma : S las solcons d la cacón () son lnalmn ndpndns n l nralo [a, b], W(, ) no s anla n nngún pno d s nralo. D) Spongamos W(, ) = a d W, S ddmos por (sndo ) c Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 66

68 Ecacons Dfrncals = o sa son dpndns s W = ; so nos dc q s: son lnalmn ndpndns n [a, b]; W(, ) [a, b]. Torma 6: S son dos solcons lnalmn ndpndns d () noncs = + srá la solcón gnral. D) d los ormas conclmos q = + s solcón. S sponmos las sgns condcons ncals. para Dmosrarmos q calqra san sas condcons s posbl lgr dos consans arbraras al q + sasfaga las condcons ncals dadas. Rmplazando n la spsa solcón gnral. D s ssma podmos calclar pso q: Ejmplo: Dada la cacón dfrncal. Ss solcons son: La solcón gnral srá Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 67 (Ps son lnalmn ndpndns). Torma 7: S s conoc na solcón parclar d na cacón dfrncal lnal homogéna d ordn, la búsqda d ora solcón lnalmn ndpndn por lo ano la solcón gnral s rdc a na ngracón d fncons. Sa '' + a ' + a = ().

69 S conocmos (solcón parclar). La solcón gnral srá. = + (no conozco ) Rcordando q: W(, ) = ' - ' = S ddmos por ( ) La solcón gnral srá: d d a d. a d (Loll).. d.. a d d a d a d solcón parclar. = + a d Ecacons Dfrncals d Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 68

70 Ecacons Dfrncals TEMA : EUAIONES DIFERENIALES LINEALES HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN ON OEFIIENTES ONSTANTES. Sa '' + p' + q = () Sndo p q consans rals. S probamos na solcón = sndo = c. S = ' = '' = S rmplazamos n () obnmos. + p + q = ( + p + q) = como R. Srá + p + q = (llamada cacón caracrísca). S aplcamos la rsoln a sa cacón d grado ndrmos las solcons. p p p q p q p p p p q q Pdn dars rs casos. ) Q R R ) Q = = R ) Q san compljos conjgados. ) S son rals dsnos. Proponmos como dos solcons parclars. D acrdo a la dfncón, s l cocn d dos solcons no s na consan, sás son lnalmn ndpndns. Ralcmos l cocn Vmos q no s consan. Lgo d acrdo con l orma 6 la solcón gnral srá: Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 69

71 Ecacons Dfrncals Ejmplo: Dado '' - ' + 6 = hallar la solcón gnral. Planamos la cacón caracrsca = Las solcons son: La solcón gnral srá: Eso s pd gnralzar para ordn n (sndo las raícs d la cacón caracrísca odas rals dsnas). Ejmplo: Dado ''' + '' -' = hallar la solcón gnral. Planamos la solcón caracrísca. + - = ( + -) = = 8 La solcón gnral srá: = ) Sndo = rals. Sndo p p p p p q q = p Para = srá q q sndo = = S consdramos na solcón parclar. Bscarmos ora solcón parclar d la forma Vamos a drmnar q alor corrspond a (). Para llo hallarmos ss dradas. p Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7

72 Rmplazando n la cacón dfrncal dada. Agrpando ndrmos. Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7 Ecacons Dfrncals p q.. p q p p q S rcordamos q: Qdando ahora: p p p p p q Sndo solcón d la cacón caracrísca srá + p + q =. qdando como srá '' = lgo ' = A A =. lgo = A + B B =. Sndo = (A + B) omo bscamos na solcón parclar podmos consdrar A = B = = La solcón gnral srá: = + = + = ( + ) Ejmplo: Dada '' - 6' + 9 =. Hallar la solcón gnral. Planamos la solcón caracrísca = La solcón s: La solcón gnral srá: = ( + )

73 Ecacons Dfrncals Eso lo podmos gnralzar para ordn n combnar l caso. Ejmplo: Rsolr () - () + () + () - 8' = La cacón caracrísca srá: = ( ) = = omo la sma d los cofcns s cro = srá raíz. Aplcando Rffn la rdcmos Qdando = Aplcando la rsoln ndrmos: La solcón gnral srá: = ( + ) ) S son compljos conjgadas. p p p p q q srán compljos conjgados s p q Srá Las solcons parclars srán d la forma: p p q S Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7

74 Ecacons Dfrncals Obsracón: Vmos s algna fncón complja d arabl ral s solcón d: '' + p' + q =. Sa = () +.() sa fncón. S s solcón rmplazada n la cacón dfrncal db rfcarla. [() +.()]'' + p[() +.()]' + q[() +.()] = Agrpando. ('' + p' + q) + ('' + p' + q) = Para q so s cmpla s db rfcar q: p q p q Eso nos dc q () () son solcons. S rcordamos q: cos cos Las fncons rals sgns srán solcons. cos sn sn sn Esas solcons son lnalmn ndpndns dado q s cocn no s consan. cos co g c. sn Eso nos dc q la solcón gnral srá cos sn cos sn Ejmplo: Dada '' - ' + = hallar la solcón gnral. Planamos la cacón caracrísca. - + = S solcón s: La solcón gnral srá. 6 6 cos sn Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7

75 Ecacons Dfrncals TEMA 6: EUAIONES DIFERENIALES LINEALES HOMOGENEAS DE ENESIMO ORDEN ON OEFIIENTES ONSTANTES. Sa (n) + a (n-) + a (n-) + + a n- = (). Sndo a ; a ; a ; ;a n- consans. S ; ; ; ; n son solcons d () lnalmn ndpndns nr sí. La solcón gnral srá: = n n Sndo ; ; n consans arbraros. La solcón d () s ralza d la msma forma q lo ralzado para na d sgndo grado. La cacón caracrísca srá. n + a n a n- = () Al rsolrla podmos nconrarnos con las sgns alrnaas. ) S las raícs d () son odas rals dsnas: ; ; ; ; n. La solcón gnral srá: ) S n () ha raícs múlpls rals. Por jmplo hallamos s raícs gals a l rso dsnas. Srá s < n. La solcón gnral srá. n s s s s n ) A odo par d raícs compljas conjgadas l corrspondn solcons parclars lnalmn ndpndns. = cos = sn S las solcons son = + = - ) A odo par d raícs compljas conjgadas d ordn d mlplcdad s l corrspondn solcons lnalmn ndpndns. cos sn cos sn cos sn s- cos s- sn La solcón gnral srá la sma d n solcons lnalmn ndpndns mlplcadas cada na por las consans arbraras. n n Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7

76 Ecacons Dfrncals TEMA 7: EUAIÓN DIFERENIAL LINEAL NO HOMOGENEA DE SEGUNDO ORDEN. Es d la forma: '' + p' + q = f() () Sndo p q rals consans. Torma: La solcón gnral d la cacón dfrncal () s prsa como la sma d calqr solcón parclar * d sá cacón d la solcón gnral h d la homogéna corrspondn. Dmosracón: S h s solcón d la homogéna srá h '' + p h ' + q h = () Dmosrarmos q = h + * () s solcón d (). S s solcón d () db rfcarla. ( h + *)'' + p( h + *) = f() Ordnando p q p q f h h h Eso s cro por () scmpl ps *s solcón d la homogéna. Eso nos dc q h + * s solcón d () Vamos a dmosrar q = h + * s solcón gnral d (). S s solcón gnral s pdn lgr las consans arbraras al q: para para Llamadas condcons ncals. Sndo p; q f() connas n R. La solcón d la homogéna s: h = + La solcón srá: = + + * En rd d las condcons ncals ndrnos. * D s ssma podmos calclar dado q: Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 7

77 Ecacons Dfrncals W(, ) =.' - '. ps son lnalmn ndpndns. Eso no dc q = + + * s la solcón gnral. Torma: Sa '' + p' + q = f () + f () (). Sa solcón parclar d '' + p' + q = f () Sa solcón parclar d '' + p' + q = f () Enoncs + s solcón parclar d (). D) S rmplazamos + ss dradas n () ndrmos: ( + )''+ p( + )' + q( + ) = f () + f () Ordnando: ( '' + p ' + q ) + ( '' + p ' + q ) = f () + f () Eso s na dndad prba l orma. Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 76

78 Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 77 Ecacons Dfrncals TEMA 8: EUAIONES DIFERENIALES LINEALES NO HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN ON OEFIIENTES ONSTANTES - METODO DE LOS OEFIIENTES INDETERMINADOS. Dado '' + p' + q = f() () p q R I) S f() = P n () () Sndo P n () n polnomo d grado n Esdarmos aras alrnaas. a) S l númro no s raíz d la cacón caracrísca. La solcón parclar * q probarmos srá d la forma: * = ( n + n- + + n ) = Q n () () S dramos * obnndo *' *'' las rmplazamos n () ndrmos: *' = Q n '() + Q n () *'' = Q n ''() + Q n '() + Q n '() + Q n () *'' = Q n ''() + Q n '() + Q n () Q n ''() + Q n '() + Q n () + p Q n '() + p Q n () + qq n () = P n () Q n ''() + ( + p) Q n '() + ( + p + q) Q() = P n () () Q n () s polnomo d grado n Q n '() s polnomo d grado n- Q n ''() s polnomo d grado n- Oprando n l prmr mmbro d () qdará n polnomo d grado n Igalando los cofcns d los érmnos d gal grado d ambos mmbros d () obndrmos n ssma d (n+) ncógnas ( ; ; ; ; n ). Rslo s ssma s calclan ; ; ; ; n q rmplazados n () drmnan la solcón parclar * d la no homogéna. La solcón d () srá: n n n n () Obsracón: S n la prsón () f() = P n () sría = =. La solcón a nsaar sría : * = n + n- + + n

79 Ecacons Dfrncals Ejmplo: Rsolr: '' - ' + 6 = + Solcón: a) Prmro rsolmos la homogéna. '' - ' + 6 = La cacón caracrísca srá: = h = + (7) b) La solcón a nsaar srá: * = + + (8) *' = + *'' = Rmplazando n (6) -( + ) + 6( + + ) = = + (6 ) + (- + 6 ) + ( ) = + + Igalando los cofcns d los érmnos d gal grado d ambos mmbros ndrmos l ssma. Rsolndo l ssma srá: = Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 78

80 Ecacons Dfrncals (9) solcón parclar [rmplazada n (6) la rfca] Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 79

81 Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8 Ecacons Dfrncals La solcón bscada srá: = h + * [d (7) (9)] b) S l númro s raíz smpl d la cacón caracrísca. = Sndo f() = P n () S probamos con la solcón * = Q n () sndo Q n () d grado n nos nconraríamos con l sgn problma n la cacón (). Q n ''() + ( + p) Q n '() + ( + p + q) Q() = P n () (). p q Sndo Q n s d grado n - Q s d grado n - n por sr raíz d la cacón cararísca. Eso nos dc q () no pd sr na dndad calqra san ; ; ; ; n. Por so s propon na solcón. * = Q n () * = ( n + n- + + n ) () Aplcando l méodo d los cofcns ndrmnados podmos calclar los alors d ; ; ; n. q nos dan la solcón parclar. Ejmplo: Rsolr '' - ' + 6 = ( + ) (). Solcón: a) La solcón d la homogéna '' - ' + 6 = s aplcando la cacón caracrísca = h = + () b) Sndo f() = ( + ) Vmos q na raíz d la cacón caracrísca s = l ponn s =. Por so la cacón propsa srá: * = ( + + ) () *' = ( + + ) + ( + + ) + ( + ) *'' = ( + + ) + ( + ) + ( + + ) +

82 Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8 Ecacons Dfrncals + 9( + + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) Rmplazando n () nmos: [ ] = ( + ) Smplfcando: + + (6 + ) + ( + ) = + + El ssma qda: 6 Rsolndo l ssma nmos: = 6 (-) + = - + = = = La solcón parclar srá: * = ( + + ) c)la solcón gnral srá [d () ()]. () c) S l númro s raíz dobl d la cacón caracrísca. p

83 La solcón a proponr srá: * = Q n () * = ( n + n- + + n ) (6) Ps s omamos () Q n ''() + ( + p) Q n '() + ( + p + q)q n () = P n () + p = ps p + p + q = ps s raíz d la cacón caracrísca. Q n ''() s n polnomo d grado (n-). Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8 Ecacons Dfrncals Ejmplo: Hallar la solcón gnral d : '' + 9 = ( + ) () Solcón: a) La solcón d la homogéna srá: = = -9 = n = ( cos + sn) (8) b) Proponmos la solcón parclar. * = ( + + ) *' = ( + + ) + ( + ) *'' = 9 ( + + ) + ( + ) + ( + ) + + ( ). Rmplazando n (7). 9( + + ) + ( + ) + ( + ) ( + + ) = ( + ) Igalando obnmos l ssma: La solcón parclar s: c) La solcón gnral s: cos sn 8 7 8

84 Ecacons Dfrncals Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8 d) Vrfcacón: Vrfca: la solcón parclar: sá bn. II) S l sgndo mmbro n la forma. f() = P() cos + Q() sn Sndo P() Q() polnomos. S rmplazamos cos sn Qdará: f() = P() + Q() Q P Q P f Los corchs connn polnomos d grado gal al maor grado d P() Q(). Eso nos dc q hmos ransformado l caso II n l caso I. Lgo: s l sgndo mmbro d la cacón dfrncal n la forma f() = P() cos + Q() sn. Tndrmos: a)s l númro + no s raíz d la cacón caracrísca la solcón parclar propsa srá: * = U() cos + V() sn. U() V() son polnomos con grado gal al maor grado d P() Q(). b) S l númro + s raíz smpl d la cacón caracrísca, la solcón parclar propsa srá:

85 Las solcons son aldas s: * = [U() cos + V() sn.] P Q Q P Ecacons Dfrncals sn cos Obsracón: Un caso parclar s n cando: f() = M cos + N sn M N consans. a)s no s raíz d la cacón caracrísca la solcón propsa srá: * = A cos + B sn. b) S s raíz d la cacón caracrísca la solcón propsa srá: * = (A cos + B sn.). Ejmplo: Hallar la solcón gnral d '' + ' + = cos. Solcón: a)la solcón d la homogéna srá: + + = h = - ( cos + sn) b) La solcón parclar propsa srá: * = A cos + B sn *' = -A sn + B cos *'' = -A cos - B sn Rmplazando: -A cos - B sn - A sn + B cos + A cos + B sn = cos (-A + B + A)cos + (-B - A + B)sn = cos + sn. A B A B A B A = B A = B A B - A B A A A B - A 8B B Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8

86 cos sn La solcón gnral srá: cos sn cos sn Ecacons Dfrncals Ejmplo: Hallar la solcón gnral d '' + = cos Solcón: a) La solcón d la homogéna srá: Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 8 h = cos + sn b) La solcón parclar propsa. * = (Acos + Bsn) *'=Acos + Bsn - Asn + Bcos *'' = -Asn + Bcos - A(sn + cos) + B(cos - sn) -Asn + Bcos - Asn - Acos + Bcos - Bsn + Acos + Bsn = cos Bcos - Asn = cos + La solcón gnral srá: Ejmplo: Rsolr '' - = cos B = B -A = A = sn cos sn sn Solcón: a) La solcón d la homogéna s: - = = = - h = + - b) La solcón parclar propsa srá: * = (A cos + B sn)

87 Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 86 Ecacons Dfrncals *' = (A cos + B sn) + (-A sn + B cos) *'' = (A cos + B sn) + (-A sn + B cos) + (-A sn + B cos) + (-A cos - B sn) '' - = (A cos + B sn) + (-A sn + B cos) + (-A cos - B sn) - (A cos + B sn) = cos (A + B - A - A) cos = cos (B - A - B -B) sn = sn A B A B A 8B 6 A B B B 6 6 A 6 8B 6 A cos sn c) La solcón gnral srá: Ejmplo: Rsolr ''' - 7'' + 6' - = cos sn Solcón: = h + * a) ''' - 7'' + 6' - = = = ; = ; = h = ( + ) + b) * = (A + B + ) s la solcón parclar propsa. *' = (A + B + ) + (A + B) *' = [A + (B + A) + ( + B)] *'' = [A + (B + A) + ( + B)] + [A + B + A] *'' = [A + (B + A) + ( + B + A)] *''' = [A + (B + A) + ( + B +A)] + [A + B + A] *''' = [A + (B + 6A) + ( + B + 6A)] Rmplazando l la cacón dfrncal dada. [A + (B + 6A) + ( + B + 6A)] - 7 [A + (B + A) + ( + B + A)] + 6 [A + (B + A) + ( + B)] - [A + B + ) =

88 A 7A 6A A B 6A 7 B A 6 B A B B 6A 7 B A6 B A A B 8A B A = -; B = -6; = - Ecacons Dfrncals c) la solcón gnral srá: = ( + ) + + ( ) TABLA DEL METODO DE OEFIIENTES INDETERMINADOS. f() Ingral parclar () * A. n n Z A n + A n- + +A n. n p R A. p p cosq Acosq + Bsnq q. snq Acosq + Bsnq q n p cosq (A n + A n- + +A n ) p cosq p + q n p snq + (B n + B n- + +Bn) p snq n p p (A n + A n- + + A n ) p p snq p cosq p (Acosq + Bsnq) p + q Noa: s los númros d la colmna (*) son raícs d la cacón caracrísca: + p + q =, las fncons () d la sgnda colmna dbn sr mlplcadas por n dond n s l ordn d mlplcdad d dchas raícs. S f() s la sma d fncons d la prmra colmna, la () propsa s la sma d las corrspondns fncons d la da colmna. Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 87

89 Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 88 Ecacons Dfrncals Ejmplos d aplcacón d la abla dl méodo d los cofcns ndrmnados. Dada la cacón; n cada no d los jmplos, hallar la solcón homogéna planar la solcón parclar propsa d acrdo a la abla. Ejmplo: '' - 7' + = + H = + * = A + B + + D Ejmplo: '' + 9 = cos H = cos + sn * = (Acos + Bsn) Ejmplo: '' + 9 = sn H = cos + sn * = (Acos + Bsn) Ejmplo: '' - ' + = cos H = ( cos + sn) * = (Acos + Bsn) Ejmplo: '' - ' + = cos H = ( cos + sn) * = [(A + B + ) cos + (D + E + F) sn] Ejmplo: '' = - + H = + * = (A + B + ) Ejmplo: '' = H = cos + sn * = A

90 Ecacons Dfrncals Ejmplo: '' - ' + = H = ( + ) * = A + Ejmplo: '' - ' + = ( + ) H = ( + ) * = (A + B + ) Ejmplo: '' - ' + + = '' - ' + = - H = ( + ) * = (A + B + + D) + E Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 89

91 Ecacons Dfrncals EJERIIOS XV Rsolr las sgns cacons dfrncals homogénas ) '' - ' - = ) '' - 6' + = ) '' - ' + = ) '' - 6' + 9 = ) '' - ' + = 6) '' - ' + = 7) ''' + 6'' + ' = 8) ''' - '' + ' = 9) ''' + '' = ) ''' - 9'' + 7' - 7 = ) () - () + () - 8' + 8 = ) () - 6 () + 9 () = ) ' - = ) ''' - '' - ' = ) ''' - 6'' + ' - 8 = 6) () + () + () = 7) () - () + () = 8) ''' - '' + ' = 9) ''' - '' + 7' - = ) () - 6 = Rsolr las sgns cacons dfrncals no homogénas. Aplcar l méodo d los cofcns ndrmnados. ) '' - 7' + = ) '' + ' + = - ) '' + 9 = ) '' + ' + 6 = - + ) '' + 9 = cos 6) '' - ' + = 7) '' - ' + = 8) '' + ' + = - 9) '' + = cos + cos ) '' + ' - = + - ) '' - = cos ) '' - = Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

92 Ecacons Dfrncals ) ''' - 7'' + 6' - = Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

93 Ecacons Dfrncals ) () - = - sn + cos ) () + () - = sn + 6 6) ''' + '' - = - 7) () - () = 8) () - ' = 9) '' - ' + = + sn ) ''' + '' - '- = + Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

94 Rsla la Aoalacón N Ecacons Dfrncals Ej) Rsolr '' - ' + = Ej) Rsolr () + () - 6 = Ej) Rsolr '' - ' = sn Ej) Rsolr ''' - ''- ' + = ( + + ) Ej) Rsolr '' - 9 = + - sn Tabla d Rndmnos Ej Ej Ej Ej Ej Toal Vr Rslados al fnal dl capílo Noa: S obo mnos dl 8%, la a sdar los concpos anrors. S obo l 8% o más pas a los mas sgns. Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

95 Ecacons Dfrncals TEMA 9: SISTEMAS DE EUAIONES DIFERENIALES DE OEFIIENTES ONSTANTES. S llama ssma lnal d cacons dfrncals con cofcns consans al ssma: d a f d j S a s f n j j fncons d j f l ssma s homogéno Un ssma homogéno s: d a a a a nn d d a a a an d dn an an an ann d El conjno d fncons n n ; ; ; n n n drmnadas; dfrncabls, con dradas connas n (a, b) s llama solcón dl ssma () n s nralo s las fncons () conrn a las cacons d () n dndads q s cmpln (a, b) El problma d hallar las solcons ach. () n () n s llama problma d Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9

96 Ecacons Dfrncals TEMA : REDUIÓN DE UN SISTEMA A UNA EUAIÓN DE N - ESIMO ORDEN. Un méodo sncllo d ngrar n ssma s rdcrlo a na cacón dfrncal lnal d ordn n. Sa l ssma: d a b f d d c d g d Sndo a, b, c, d consans f() g() fncons d d b d d d d a f d b d d D () dspjo a f sndo S rmplazo () () n () d a b d d d f Smplfcando qdaría: d b d c d a f g d d B D d d A () Sndo A, B, consans. Esa s na cacón dfrncal d ordn (n s caso, n gnral d ordn n). Esa cacón () s rsl aplcando la cacón caracrísca, hallando la solcón d la homogéna na solcón parclar por l méodo d los cofcns ndrmnados. = (; ; ) s (n la cacón caracrísca) onocndo pdo calclar calclar = (; ; ) p (6) d d q rmplazada n ()m prm Ejmplo: d d d d Ing.Flca Dora Zraga Ing. lsno Bno Br 9