2.6 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES MEDIANTE EL METODO DE LOS OPERADORES
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- Gonzalo Sáez Castilla
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1 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 6 SOLUCION E SISTEMAS E ECUACIONES IFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES MEIANTE EL METOO E LOS OPERAORES En sa sión aprndrmos a rsolvr sismas d uaions difrnials linals A sos sismas los llamarmos sismas linals El ma abara l sudio d los sismas linals d primr ordn, así omo d ordn suprior, on dos o más funions dsonoidas, n asos homogénos no homogénos Todos los sismas linals qu s raan n s ma son d ofiins onsans bido a so, s posibl uiliar l méodo d los opradors difrnials para rsolvr sismas d uaions difrnials linals on ofiins onsans El méodo s basa n la liminaión qu s uilia para la rsoluión d sismas d uaions algbraias En l aso d sismas d uaions difrnials linals, l méodo d liminaión rdu l sisma a una sola uaión difrnial d ordn n on ofiins onsans n érminos d una d las variabls Para apliar l méodo s nsario prsar l sisma n érminos dl oprador difrnial Vamos algunos jmplos d ómo prsar un sisma linal n érminos d Ejmplo Esriba los sismas dados n érminos dl oprador difrnial 7 7 a b d 6 6 f g Obsrv qu los sismas prsados n érminos dl oprador difrnial sán srios n la forma gnral La noaión mariial para un sisma srio n érminos d involura una
2 mari uos lmnos son opradors difrnials Por sa raón, a sa mari s l llama mari opraional Vamos algunos jmplos d noaión mariial d sismas prsados n érminos d Ejmplo Eprs n noaión mariial los sismas siguins: a La par iquirda dl sisma pud sribirs omo l produo mariial d la mari opraional por l vor soluión: { { A Mari opraional o "mari d ofiins " dl sisma X Vor soluión F Vor d érminos no homogénos Obsrv qu la mari dl sisma onin opradors difrnials Por sa raón s l llama mari opraional, a qu pud inrprars omo un oprador qu opra sobr un vor uos omponns son funions b { { X F A Al sribir los sismas n forma mariial n érminos d, noamos qu la noaión mariial para l aso d sismas srios n la forma normal, s disina Eso s db a qu para s aso pariular is noaión spial qu s la qu s sudió n l ma anrior No qu odos los opradors difrnials qu aparn n las maris d los jmplos anriors, son d ofiins onsans Ahora qu sabmos omo prsar un sisma linal on ofiins onsans n érminos dl oprador difrnial, n forma mariial, omnarmos a rsolvr sismas d uaions difrnials Primro vrmos l aso homogéno Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7
3 6 Soluión d sismas linals homogénos on ofiins onsans Para la rsoluión d los sismas usarmos l méodo d liminaión El méodo opra al rvés qu n l aso dl ma anrior n dond s prsaba una uaión difrnial d ordn n omo un sisma d uaions difrnials d primr ordn on n uaions Para ilusrar l méodo d liminaión onsidr l siguin jmplo Ejmplo Rsulva l siguin sisma d uaions difrnials por l méodo d liminaión S raa d un sisma linal homogéno d primr ordn on ofiins onsans Para mpar a rsolvrlo primro prsamos l sisma n érminos dl oprador difrnial Ahora apliamos la liminaión n forma parida a omo s rsulv un sisma d uaions algbraias En s aso podmos liminar a la funión al mulipliar la primra uaión por l oprador, la sgunda por - lugo sumarlas: 6 6 La uaión qu rsula s una uaión difrnial linal homogéna d ofiins onsans n érminos d la funión : La uaión auiliar d sa uaión s: 6 Las raís son:, por lo ano la funión s: Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7
4 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 Ahora nsiamos nonrar la funión para onor la soluión ompla dl sisma Para nonrar a nmos dos opions La primra s rsolvr al sisma liminar a para rsolvr a : La uaión difrnial rsulan s: 6 su uaión auiliar s : 6 Las raís son:, por lo ano la funión s: Las onsans no nsariamn son iguals a nonradas para la funión Sin mbargo, dado qu s raa d un sisma on dos uaions difrnials d primr ordn, s ndrá una onsan por ada uaión Para nonrar la rlaión nr las onsans,,,, susiuimos las funions nonradas n una d las uaions dl sisma Tommos la uaión dos a qu s la más snilla: A Puso qu las funions, son linalmn indpndins n ualquir inrvalo a qu son los lmnos d un onjuno fundamnal d soluions d una E linal homogéna d ofiins onsans, nons la ombinaión linal prsada n A db umplirs solo para l aso n qu las onsans san odas ro, so s, / / Enons la funión s:
5 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 La soluión dl sisma X s El vor X s la soluión gnral dl sisma, n l snido n qu ualquir soluión dl sisma pud prsars d sa forma Una forma más snilla d nonrar la funión una v onoida, s uiliar l sisma para obnr una uaión para n érminos d Por jmplo, al dspjar a d la uaión dl sisma obnmos: susiundo aquí la prsión obnida para obnmos: El rsulado s l mismo qu l nonrado on l prodimino largo Ahora omprobamos la soluión obnida Para so apliamos la mari opraional al vor soluión obnido: El vor X saisfa al sisma, por lo qu s soluión dl mismo En gnral l prodimino uiliado para rsolvr l jmplo funiona para ualquir sisma linal d ordn n on ofiins onsans Vamos algunos jmplos d ordn suprior
6 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 6/7 Ejmplo Rsolvr l sisma Primro sribimos l sisma n noaión d opradors: Ahora liminamos a la funión dl sisma: La uaión difrnial rsulan n érminos d s: Su uaión auiliar s: 6 ; ± Enons la funión s: Para nonrar la funión uiliamos l sisma para prsar a n érminos d sus drivadas Para so obsrv qu d la primra uaión dl sisma podmos dspjar a lugo ingrar para obnr : d dond la drivada d s: Enons:
7 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 7/7 La soluión gnral dl sisma s: Obsrv qu la soluión gnral onin uaro onsans a qu rsolvimos un sisma d dos uaions difrnials d sgundo ordn Ahora omprobamos qu la soluión obnida saisfa l sisma Para la omprobaión nsiamos las sgundas drivadas d, por lo qu nsguida las alulamos Sabmos qu, nons: Susiundo n l sisma: S saisfa la primra uaión rivmos la sgunda S saisfa la sgunda uaión Hmos omprobado qu la soluión nonrada saisfa al sisma Ahora vamos un jmplo d ordn Soluión
8 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 8/7 Ejmplo Rsulva l sisma Primro sribimos l sisma n noaión d oprador: Ahora liminamos a dl sisma: - - La uaión auiliar d la E rsulan s: La funión s: Ahora para nonrar a liminamos a dl sisma a qu no podmos obnr una prsión para uiliando las uaions dl sisma - La uaión auiliar d la E rsulan s:
9 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 9/7 Enons la funión s: Susiuimos n una uaión dl sisma para nonrar la rlaión nr las onsans Usarmos la primra uaión ; ; ; ; Susiundo: Apliarmos la sgunda uaión dl sisma a qu aún fala por drminar la prsión para Enons la soluión gnral dl sisma s: Noamos qu la soluión gnral solamn in dos onsans aún uando l sisma d uaions difrnials una on una uaión d rr ordn En sos asos uando l númro d onsans qu ndrá la soluión gnral no s vidn, s posibl rurrir al drminan d la mari opraional dl sisma, a qu l grado dl polinomio difrnial dl sisma india l númro d onsans d la soluión gnral El prodimino s l siguin La mari opraional dl sisma s: Haindo opraions on l polinomio difrnial dl sisma: A P d Soluión
10 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 El grado dl polinomio difrnial s dos, lo qu india qu la soluión gnral dl sisma in dos onsans Eso onurda on l rsulado obnido al rsolvr l sisma Ahora omprobamos la soluión obnida ; Susiundo n l sisma: La soluión saisfa al sisma Hasa ahora solo hmos rsulo sismas on dos uaions dos inógnias El méodo d liminaión ambién pud apliars para sismas on más inógnias, omo vrmos n l siguin jmplo Ejmplo 6 Rsulva l sisma Primro sribimos l sisma n noaión d opradors Ahora uiliamos las dos primras uaions para liminar a lugo omamos las dos ulimas para har lo mismo A - B
11 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 El sisma n érminos d s forma on las uaions rsulans A B: Arrglando: Ahora liminamos a d s sisma: La E rsulan sá solamn n érminos d : sn i i i os, ; - ; La uaión auiliar s : ± ± ± Ahora liminamos dl sisma para obnr a La uaión difrnial rsulan s:
12 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 Su uaión auiliar s srib: i ± ± Enons la funión busada s: sn os Para nonrar la rlaión nr los sismas uiliarmos las uaions dl sisma, sumando las dos uaions para obnr n funión d Primro alulamos las drivadas: sn sn sn sn sn sn sn sn sn s : sumar las uaions d qu rsula al n érminos d Ahora la prsión d os os os os os os os os os Susiundo nmos: sn sn sn sn sn sn sn os os os os os os os os os sn sn Enons las funions son: sn sn os os Aún fala nonrar a Para so omamos la sgunda uaión dl sisma original dspjamos a :
13 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 Susiundo n sa uaión nmos: sn - - os - - os - sn os os sn sn os - sn os os sn sn os - os sn sn sn sn os os os sn sn os Finalmn sribimos la soluión gnral dl sisma: La omprobaión dl jriio anrior s dja al lor Pud raliar la omprobaión n mapl, omo s hio aquí para vrifiar l rsulado obnido Ahora qu a sabmos rsolvr sismas linals homogénos, vrmos l aso no homogéno 6 Soluión d sismas linals no homogénos on ofiins onsans El méodo d liminaión uiliado n l ma anrior para sismas homogénos s aplia igual para l aso no homogéno, on la únia difrnia d qu las uaions difrnials rsulans dl proso d liminaión, son no homogénas dbn rsolvrs por los méodos aprndidos n apíulos anriors Comnarmos on los jmplos d apliaión Ejmplo 7 Rsulva l sisma Esribimos l sisma n noaión dl oprador Eliminamos a dl sisma: Soluión sn sn sn os os os
14 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 La uaión difrnial rsulan s: En s aso la funión s onsan s nonró n forma dira sin nsidad d apliar algún méodo para rsolvr la E no homogéna En los jmplos siguins vrmos qu no simpr s así d snillo Para nonrar a dspjamos a d la primra uaión dl sisma: nmos : Susiundo d d Una v onoidos,,, podmos susiuir n la sgunda uaión dl sisma para nonrar a : Enons la soluión gnral dl sisma s: En s aso la soluión s nonró mu fáilmn Vamos más jmplos Ejmplo 8 Rsulva l sisma ; / Soluión
15 Esribimos l sisma n noaión dl oprador: sn Eliminamos a dl sisma: sn sn os La uaión rsulan s: os os os os La E rsulan s linal no homogéna d primr ordn Enons su soluión gnral s: µ Q d µ Tnmos qu: P, µ d d µ d µ Q os osd µ P d µ Q os La ingral rsulan la valuamos mdian una abla d ingrals: a os nu nsnu au au os nudu a n Tnmos qu: Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7
16 a n u osd os sn os sn Enons la soluión d la uaión difrnial s: µ os sn µ os sn, os sn os sn dond µ Para nonrar a dspjamos a d la primr uaión dl sisma: Calulando : sn os Susiundo n : sn os os sn sn os d snd osd d os sn Ahora para nonrar la rlaión nr las onsans susiuimos n una uaión dl sisma: Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 6/7
17 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 7/7 sn sn sn sn os os os os sn sn sn sn sn Enons la soluión gnral dl sisma s: Ejmplo 9 Rsulva l sisma 7 Las uaions a uiliar son: 7 Eliminando a dl sisma nmos: Manipulando la E rsulan: La uaión difrnial no homogéna rsulan A, la rsolvmos mdian l méodo d ofiins indrminados a qu n s aso s apliabl dada la forma dl érmino no homogéno El oprador anulador d q s A Apliando A a la uaión nmos: Soluión sn sn os os
18 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 8/7 i i A q AL,,,, La funión s: sn os La soluión d la E homogéna asoiada d s: sn i n os,, 6 ± Enons la forma d la soluión pariular d s: p Esa soluión db saisfar a, s dir, q L p, nons: p L 6 Tnmos qu: p L 6 6 ; / Rsribindo la soluión gnral d nmos: sn os
19 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 9/7 Para nonrar a uiliamos la primra uaión dl sisma: Calulando las drivadas d : sn sn os os Susiundo n : sn sn sn os os - os 7 Enons la soluión gnral dl sisma s: En s jmplo fu posibl uiliar l méodo d los ofiins indrminados para rsolvr las uaions difrnials no homogénas rsulans dl proso d liminaión Eso fu posibl a qu la forma d los érminos no homogénos s rsó para la apliaión dl méodo d ofiins indrminados Cuando so no sa posibl, dbrá apliars l méodo d variaión d parámros para rsolvr las uaions difrnials rsulans Vamos l siguin jmplo Variaión d parámros Ejmplo Rsulva l sisma s Esribindo l sisma n noaión d oprador nmos: s Soluión sn sn os os
20 Eliminando a dl sisma: s s s La E rsulan s: s g s g La E homogéna asoiada s: i, i La soluión d la E homogéna s: {, } { os sn} n os sn; B, Enons la soluión pariular d uno, d aurdo on l méodo d variaión d parámros sá dada por: p v os v sn El Wronskiano dl onjuno {, sn} w os os s: os, sn os sn sn sn os Las funions v, v sán dadas por: q q v d v w, w, d dond q s g Susiundo n las prsions d v v nmos: Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7
21 v v s g sn d g d v os g sn gd os snd g os snd v s g os d gd Enons la soluión pariular p s: os os p os g sln s sn gos snln s p La soluión gnral d s: osd ln s sn Soluión os sn snln s gos Para nonrar uiliamos la primra uaión dl sisma: s rivando a : sn os snoss g osln s sn os gsn os s sn os sn g osln s sn os sn g s Susiundo n : g sn ln s os s La soluión gnral d s sisma s: Soluión os sn snln s gos g sn ln s os s Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7
22 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 En s problma llgar a la soluión gnral fu algo laborioso, a psar d qu l sisma rsulo s mu snillo Eso musra las ompliaions qu pudn obnrs uando los érminos no homogénos dl sisma oman formas difíils Ahora vamos algunos problmas d valors iniials para sismas linals Problmas d valor iniial Ejmplo Rsulva l siguin problma d valors iniials, Para rsolvr l problma primro dbmos nonrar la soluión gnral dl sisma lugo valuar las ondiions iniials para obnr la soluión pariular busada Esribindo l sisma n noaión d oprador nmos: Eliminando a dl sisma: La E rsulan s: Su uaión auiliar s:, 9 6 Enons la funión busada s:
23 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 Ahora dspjamos a dl sisma: rivando : Susiundo n : Enons la soluión gnral dl sisma s: Ahora valuamos las ondiions iniials para nonrar a, A B Ahora rsolvmos l sisma d uaions formado por A B: ; ; Susiundo n la soluión gnral dl sisma: La soluión pariular busada s: Soluión
24 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 Cofiins indrminados Ejmplo Rsulva l problma d valors iniials Esribindo l sisma n noaión d oprador: Eliminando a dl sisma: La E rsulan s: S raa d una E no homogéna La soluión d su E homogéna asoiada sá dada por las raís d la uaión auiliar: sn i i i n os, 8 ± ± ± La soluión pariular d la E no homogéna la obnmos on l méodo d los ofiins indrminados: Soluión
25 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd /7 os,, L sn i i p p p p La funión sá dada por : p n os sn spjando a d la primra uaión dl sisma nmos: Calulando : sn sn os os Susiundo n : os os sn sn Apliando las ondiions iniials para obnr una soluión pariular: ; os os os sn sn Y C sn Enons la soluión pariular busada s:
26 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 6/7 En s ma hmos viso qu l méodo d liminaión s mu úil para rsolvr sismas linals homogénos no homogénos on ofiins onsans d primr ordn ordn suprior, on dos o más funions inógnias El méodo s rlaivamn snillo d apliar omo odos los méodos, in limiaions El méodo no pud apliars uando l drminan d la mari opraional dl sisma s igual a ro A s ipo d sismas s ls llama dgnrados Un sisma d s ipo pud nr un númro infinio d soluions o no nr soluión Cuando nos nfrnamos a un sisma d s ipo lo qu s db har s raar d obnr una prsión n érminos d las funions inógnias, qu prs la forma d las soluions Vamos algunos jmplos d sismas dgnrados Sin soluión Ejmplo Rsulva l sisma Esribindo l sisma n forma mariial: Calulando l drminan d la mari opraional dl sisma: El drminan s ro por lo qu l sisma pud nr infinidad d soluions o no nr soluión En s aso noamos qu l sisma s onradiorio por lo ano no in soluión, s dir, l sisma s inonsisn Infinidad d soluions Ejmplo Rsulva l sisma El drminan d la mari opraional dl sisma s ro: Soluión os os os sn sn sn
27 Euaions difrnials Profsor Bogar Ménd 7/7 En s aso l sisma no s onradiorio, por lo qu in infinidad d soluions Para obnr una prsión qu di la forma d sas soluions, usarmos las uaions dl sisma para obnr una prsión n érminos d sin qu sus drivadas inrvngan Las uaions dl sisma son: Si mulipliamos por - a la primra uaión lugo la sumamos a la sgunda obnmos: La uaión rsulan s: Enons odas las soluions dl sisma dbn saisfar sa uaión Las soluions así obnidas srán odas linalmn indpndins nr sí Soluión
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