1.1 Introducción 1.2 Ecuaciones Lineales 1.3 Ecuaciones de Bernoulli 1.4 Ecuaciones separables 1.5 Ecuaciones Homogéneas 1.6 Ecuaciones exactas

Transcripción

1 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn. Inroducción. Ecuacions Linals. Ecuacions d Brnoulli. Ecuacions sparabls.5 Ecuacions Homogénas.6 Ecuacions acas.7 Facor Ingran.8 Esabilidad dinámica dl quilibrio.9 Aplicacions Objivos. S prsigu qu l sudian: Encunr solucions gnrals /o pariculars d Ecuacions Difrncials d primr ordn Drmin Esabilidad dinámica cuaniaiva /o cualiaivamn Rsulva problmas d aplicacions conómicas

2 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn. INTRODUIÓN En ciras ocasions rsolvr un problma pud conducir a planar una cuación qu conin drivadas. Por jmplo, suponga qu noncs d ; la razón d cambio rlaiva d, dspjando nmos rprsna una cuación difrncial. sría. Esa úlima prsión.. Dfinición d Ecuación Difrncial Una cuación qu conin drivadas d una o más variabls dpndins con rspco a una o más variabls indpndins s dnomina Ecuación Difrncial. Ejmplo dond f Si la función dsconocida dpnd d una sola variabl, como s l caso dl jmplo anrior, s la llama Ecuación Difrncial Ordinaria. Si la función dsconocida dpnd d más d una variabl s llama Ecuación Difrncial Parcial o n Drivadas Parcials. Ejmplo z z z dond z f, Aquí nos ddicarmos sólo al sudio d las Ecuacions Difrncials Ordinarias... Ordn d una cuación difrncial El ordn d una Ecuación difrncial sá dado por la más ala drivada prsn n la cuación: Ejmplos d d. Una Ecuación Difrncial Ordinaria d primr ordn

3 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn d. Una Ecuación Difrncial Ordinaria d Sgundo Ordn d d d. d d Una Ecuación Difrncial Ordinaria d uaro Ordn.. Grado d una cuación difrncial El grado d una Ecuación difrncial sá dado por l ponn nro posiivo d la más ala drivada prsn n la cuación. Ejmplos. 5 Una Ecuación Difrncial Ordinaria d sgundo ordn primr grado. Una Ecuación Difrncial Ordinaria d Primr ordn sgundo grado.. Ecuacions Linals Una Ecuación Difrncial s linal si lo s n odas sus drivadas ambién n su variabl dpndin. Ejmplos d. d d d. d d Una Ecuación Difrncial Ordinaria Linal d primr ordn Una Ecuación Difrncial Ordinaria d Linal d Sgundo Ordn omo jmplos d Ecuacions Difrncials no linals, nmos: Ejmplos. 5.. d d. cos 5.

4 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Usualmn una Ecuación Difrncial Linal Ordinaria s pud rprsnar n forma polinómica d la siguin manra: n n [ a ] [ a ] [ a ] g n n..5 Solución d una Ecuación Difrncial S dic qu una función f dfinida n un inrvalo I, s solución d una cuación difrncial n l inrvalo I, si susiuida n la cuación difrncial s obin una proposición vrdadra; s dcir, s convir n una idnidad. Ejmplo Drminar si la función f 6 s solución d la cuación. SOLUIÓN: D 6 s obin Rmplazando rsula: 6 / / 6 Por ano, la función si s solución d la Ecuación Difrncial.. EUAIONES DIFERENIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Una Ecuación Difrncial linal d primr ordn s pud prsar d la siguin forma: [ p ] g Bin, ahora drminmos su solución. p d Muliplicando a ambos mimbros d la cuación por la función, nmos:

5 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn p d [ p ] p d p d p d p g p d g Obsrv qu l mimbro d la izquirda rprsna l difrncial dl p d produco d la función buscada con la función, s dcir: d p d Ingrando mimbro a mimbro: d p d p d p d p d p d g g d g d Finalmn, s obin p d llamarmos Solución Gnral. p d g d. La cual Ejmplo Enconrar la solución gnral para SOLUIÓN: Para s caso nmos: p g alculando primro, Lugo uilizando la formula p d d p d d o lo qu s lo mismo:. Solución Gnral p d g d, rsula: Ejmplo Enconrar la solución gnral para sn SOLUIÓN: Para s caso nmos: p g sn 5

6 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Primramn Lugo: p d d ln. sn sn cos c cos c Ejmplo Enconrar la solución gnral para sn SOLUIÓN: Dividindo para " ", nmos: sn sn sn Enoncs: p g Por lo ano: d ln ln sn d sn d La ingral qu rsula s la ncunra mplando la écnica d ingración por Pars. u du d Hacindo dv sn d v sn d cos cos sn rsula: sn d cos cos d Por lo ano: [ cos sn ] s la solución gnral.. Torma Si las funcions p g son coninuas n un inrvalo a, b qu conin l puno, noncs is una función única f qu saisfac a la cuación 6

7 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn difrncial p g, para a, b qu cumpl la condición inicial Ejmplo Enconrar la solución paricular SOLUIÓN: Dividimos para " ": si Enoncs: p g Por lo ano: p d d ln ln d SOLUIÓN GENERAL [ ] on la condición s obin: Finalmn SOLUIÓN PARTIULAR Ejmplo 5 Enconrar la solución paricular ; SOLUIÓN: Aquí nmos qu p g p d d Enoncs: Rmplazando rsolvindo rsula: d d La ingral qu rsula s la ncunra ingrando Por Pars. u du d Hacindo dv d v rsula: d 7

8 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn d d Por lo ano: [ ] s la SOLUIÓN GENERAL. Emplando la condición inicial, nconramos [ ] Finalmn [ ] s la SOLUIÓN PARTIULAR. Ejmplo 6 Enconrar la solución paricular ; g para a b g g SOLUIÓN: a Si g, noncs: d d, b Si g, noncs: ; d d 8

9 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo 7 Enconrar la solución d SOLUIÓN: La cuación dada NO ES LINEAL con rspco a " " d d d d d d Pro s linal con rspco a " ", noncs: [ ] d d d Sgundo Méodo: Hacindo cambio d variabl rsula: d d d d d d La úlima s una cuación linal, por lo ano: [ ] d d d Finalmn, rgrsando la variabl: [ ] 9

10 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso. Encunr la solución d las siguins Ecuacions Difrncials Linals:. ' 9. '. d. ' d d. d. sn, d d d. d., d d d 5. ' d. d d 6. d 5. ' 7. ', cuando 6. ' 8. '. d.. EUAIONES DE BERNOULLI Eisn Ecuacions Difrncials qu no son linals pro s pudn ransformar n Linals. Una d sas s la dnominada Ecuación d Brnoulli. Una Ecuación d Brnoulli in la forma n n. Para nconrar su solución, s sigun los siguins pasos: PASO : Dividir para n. n p n n p g n n n g n p g dond PASO : ambiar d variabl: v n Admás, drivando la nuva variabl con rspco a obin:, s

11 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn dv n d dv n d d d n n n dv d n n n d d d d dv d Al ralizar las susiucions ncsarias simplificando rsula: n n n p dv n d dv d n n g p v g p v g La úlima cuación s linal con rspco a la nuva variabl v, Paso : Enconrar v. Paso : Enconrar, mplando l cambio d variabl uilizado. Ejmplo Enconrar la solución gnral d SOLUIÓN: PASO : Dividindo para Ecuación d Brnoulli Dividindo para PASO : Aquí l cambio d variabl sría: d d dv d v Rmplazando n, noncs s obin: dv d o ambién d d

12 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn dv v d dv v d PASO : Enconrar v. La úlima cuación s linal con rspco a v, por ano podmos nconrarla d la manra dscria anriormn. v v 5 PASO : Enconrar omo v noncs Y al dspjar, s obin: 5 d c ln 5 ln d c 5 c 5 ± ± c c 5 c 5 6 d Ejmplo Enconrar la solución gnral d SOLUIÓN: Paso : Primro la llvamos a la forma d Brnoulli Dividindo para, s obin: Paso : El cambio d variabl sría: v. Drivando s obin: dv d d d d dv Dspjando s obin: d d

13 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Rmplazando s obin: v d dv v d dv Paso : Enconrando v d v d Ingrando por pars: v v 9 9 Paso. Enconrando omo noncs v Ejmplo Enconrar la solución gnral d d d SOLUIÓN: Paso : Primro ramos d llvarla a la forma d Brnoulli d d d d No s posibl así al como sá. ambiando d variabl s in: d d Ahora l damos la forma d Brnoulli. d d d d Dividindo para, s obin: Paso : cambio d variabl v.

14 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Drivando s obin: d d d dv Dspjando s obin: d dv d d Rmplazando s obin: v d dv v d dv v d dv Paso : Enconrando v v v d v d v d ln ln Paso. Enconrando omo v noncs v - ± Finalmn, rgrsando a la variabl original: ±

15 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso. Encunr la solución d las siguins Ecuacions Brnoulli: d., d ln d d. '. d d.. EUAIONES SEPARABLES Son Ecuacions Difrncials, linals o no linals, qu s pudn prsar d la forma: M d N d Enoncs, l méodo d solución srá ingrando, ambos mimbros. Ejmplo Enconrar la solución gnral d d d SOLUIÓN: Dspjando para obnr d un lado d la cuación función d dl oro lado función d, lugo ingrando. Rsula: d d d d d d Ejmplo Enconrar la solución paricular d ; SOLUIÓN: Dspjando para obnr d un lado d la cuación función d dl oro lado función d, lugo ingrando. Rsula: 5

16 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Emplando la condición Inicial d d d d d d, nconramos, s dcir: Enoncs la solución paricular sría: Eisn cuacions difrnciabl qu con un cambio d variabl s convir n sparabl. Ejmplo Enconrar la solución paricular d g SOLUIÓN: La cuación dada no s linal ampoco s sparabl dirca, pro hacindo l cambio d variabl u s podrá sparar las variabls. d d Drivando la prsión d la nuva variabl s obin: Enoncs du d u -. Rmplazando rsolvindo, rsula: g u - g u u g u du g u d du sc u d La úlima cuación s sparabl, rsolvindo nmos: d d 6

17 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn du sc u d du d sc u cos udu [ cosu] du sn u u Y rgrsando d variabl, quda: sn d SOLUIÓN GENERAL Ejrcicio Propuso. Encunr la solución d las siguins Ecuacions Sparabls: d. 5. ' d d d d d d d d d 8. 5, d. d d 9., d d., d. g d d '' ', 5, ' EUAIONES HOMOGÉNEAS Si una Ecuación Difrncial pud sr prsada d la forma f, s la dnomina Ecuación Difrncial Homogéna. Para nconrar su solución s raliza l cambio d variabl v, para convrirla n una cuación dond s puda sparar sus variabls. d Para obnr s hac lo siguin: d Dspjando nmos: v Drivando con rspco a " ", s obin: d dv v d d dv v d 7

18 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo Enconrar la solución gnral d SOLUIÓN: omo s una cuación homogéna hacmos l cambio d variabl v d dond dv v. d Rmplazando, rsolvindo rsula: dv v v d v dv v v d v dv v v v d v dv v v v d v dv v v d v v d dv v v En la úlima cuación sán sparadas sus variabls podmos procdr a ingrar cada mimbro: v d dv v v ln v v ln Finalmn, dbmos rmplazar v ln ln SOLUIÓN GENERAL Ejmplo d Enconrar la solución gnral d ; d SOLUIÓN: dv Hacmos l cambio d variabl v d dond v d Rmplazando, rsolvindo rsula: d d dv v v v d dv v d 8

19 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn En la úlima cuación s pudn sparar las variabls. dv d v dv v d ln v ln Rgrsando d variabl: ln Emplando la condición inicial rsula Finalmn: ln SOLUIÓN PARTIULAR ln Ejmplo cos d Enconrar la solución gnral d ; π d SOLUIÓN: cos d d d cos d dv Hacmos l cambio d variabl v d dond v. d dv v v cos v d Rmplazando, rsolvindo rsula: dv cos v d Sparando variabls: cos v Emplando la condición inicial dada: dv d g v ln g ln π g ln Finalmn: g ln SOLUIÓN PARTIULAR 9

20 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso. Encunr la solución d las siguins Ecuacions Homogénas:. ' 5. d d. d d d d. d d d d 7.,. d d 6..6 EUAIONES EXATAS f f Sa la función z f,. Su difrncial oal s df d d Si f, noncs df, dc f f d d Suponga ahora qu s in una cuación difrncial d la forma: M, d N, d qu rprsn la difrncial oal d una función dsconocida z f,. Enoncs l asuno sría nconrar la función dsconocida..6. TEOREMA DE EXATITUD Una cuación difrncial M, d N, d M N s aca si sólo si Ejmplo d cos Enconrar la solución gnral d d sn SOLUIÓN: En s caso la forma difrncial d la cuación s: cos d sn d M, Vamos si qu s aca N,

21 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn N M cos cos omo las drivadas cruzadas son iguals, por ano la cuación difrncial si s aca procdmos a nconrar la función solución. Sn Sn d d N f d d M f sn,, sn cos,, Ejmplo Enconrar la solución gnral d: d d SOLUIÓN: La forma difrncial d la cuación s: d d Vamos si qu s aca 6 6 aca s Si N M Enconrando la función poncial nmos: f f f f,, Emplando la condición inicial para nconrar, rsula: - Por ano la solución paricular sría:

22 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso.5 Encunr la solución d las siguins Ecuacions Difrncials Eacas: d., 5. d 6 d d d d ; d. 7. ' d cos 8. '. d d sn d. 9. ' d 6..7 FATOR INTEGRANTE M N En la cuación difrncial M, d N, d, si a vcs s posibl ransformarla n aca si s la muliplica por una función R, ; s dcir: R, [ M, d N, d] RMd RNd Suponga qu R R noncs RM RN M R N NR R N R N N R N R M R M R La úlima prsión s una cuación difrncial linal para R Por lo ano R N M d N R M N d N N M d N d

23 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo Enconrar la solución gnral d: SOLUIÓN: Hallmos R d d d M d d d d R d ln M N d N d N d ln por Muliplicando la cuación d d rsolvindo, rsula: d En s caso alculando f,, rsula: f, f, Por ano la solución gnral sría: d d si s aca. d d d R d Si no is R R, suponga ahora qu R R noncs:

24 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn R N M M R N R M R MR N R M R R M RN RM La úlima prsión s una cuación difrncial linal para R Por lo ano d M N M d N M M R d R Ejmplo Enconrar la solución gnral d d d SOLUIÓN: N M d d no s aca Hallmos R d d N M N R No s función, por ano no is. Enconrmos, ahora R ln ln R d d d M N M Muliplicando la cuación d d por R rsula: N M d d a s aca s pud nconrar, f d f d f,, Por ano la solución Gnral sría: c

25 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso.6 Encunr la solución d las siguins Ecuacions Difrncials:. d d d, d. d d..8 Esabilidad dinámica dl quilibrio S raa ahora d sablcr l comporamino d una racoria inrmporal. Drminar qu ocurr con cuando ha. ranscurrido mucho impo si lím Para so isn dos méodos: ANÁLISIS UANTITATIVO. Suponga qu s conoc la rgla d corrspondncia. Enoncs, is s dirá qu s DINÁMIAMENTE ESTABLE, s dcir s sabiliza o convrg a un valor finio, al cual dnoarmos como s l llamará l nivl d quilibrio inrmporal. aso conrario, s dcir si lím s dirá qu la racoria d s DINÁMIAMENTE INESTABLE o ambién divrg dl nivl d quilibrio ANÁLISIS UALITATIVO. d Suponga qu s in una cuación difrncial d la forma f d Enoncs s posibl drminar si s dinámicamn sabl o no, sin ncsidad d nconrar la rgla d corrspondncia d. Eso s logra analizando l gráfico vs, l cual lo vamos a llamar DIAGRAMA DE FASE. uando > posiiva noncs s crcin; por ano, arriba dl j dibuj unas flchas sobr la curva d fas movindos d izquirda a drcha. Y cuando < ngaiva noncs s dcrcin; por ano, dbajo dl j dibuj unas flchas sobr la curva d fas movindos d drcha a izquirda. Una vz hcho so, s concluirá si s acrca o s alja dl nivl d quilibrio qu ocurr cuando. 5

26 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo Analizar la sabilidad dinámica d SOLUIÓN: d d ANALISIS UANTITATIVO 8 7 ; Obsrv qu la cuación difrncial dada s linal obnr su solución d manra rápida. 7 d 7 7 [ ] onsidrando la condición inicial, rsula: 7 Enoncs: n la cuación difrncial d d 7 Tomando lími al infinio nmos: lím lím 7 Por ano, s conclu qu Admás, al graficar 7 no s sabl dinámicamn. 7 s obsrva s comporamino. por ano s facibl No qu cuando ha ranscurrido mucho impo la racoria s alja divrg dl nivl d quilibrio 7 ANALISIS UALITATIVO. Graficando la curva d fas, nmos: 6

27 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Por ano la racoria para no s sabl dinámicamn. Ejmplo Analizar la sabilidad dinámica d n la cuación difrncial d ; 5 d SOLUIÓN: Ahora mpcmos con l análisis cualiaivo para lugo ir al análisis cuaniaivo. ANÁLISIS UALITATIVO. El diagrama d fas para la cuación dada sría: Por ano s obsrva qu s sabl dinámicamn qu ind a sabilizars n 8 No qu la sabilidad no dpnd d la condición inicial POR QUÉ? ANÁLISIS UANTITATIVO. Obnindo la solución para, rsula: 7

28 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn d d 8 onsidrando la condición inicial nmos: 8 Por ano: Tomando lími al infinio nmos: lím lím Por ano, s conclu qu Admás, al graficar s dinámicamn sabl. 8 7 s obsrva s comporamino. Ejmplo Analizar la sabilidad dinámica d n la cuación difrncial d 6 ; d SOLUIÓN: Aquí lo más facibl s ralizar un análisis cualiaivo. Por qué? El gráfico d la curva d fas sría: Por ano, no s sabl dinámicamn. 8

29 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicios Propusos.7 Dibujar la curva d fas drminar si. d d. d 5 d. d d. d 9 d 5. d 9 d ; d d ; 7. d 8 5 d 6. s sabl dinámicamn o no..9 Aplicacions d las Ecuacions difrncials d primr ordn Algunas siuacions problémicas conllva a planar cuacions difrncials para llgar a su solución. Ejmplo URVA APRENDIZAJE La razón a la qu las prsonas on hablar acrca d un nuvo aumno n los impusos prdials s proporcional al númro d prsonas n l país qu no ha oído hablar al rspco. a Plan la cuación difrncial qu dscrib l modlo b Encunr la solución gnral d la cuación difrncial planada. c Grafiqu la solución gnral obnida analic la sabilidad dinámica. SOLUIÓN: Sa Q : anidad d prsonas qu han oído hablar sobr l aumno B : Población Toal B Q : anidad d prsonas qu no han oído hablar sobr l aumno k : onsan d proporcionalidad dq a La cuación para l modlo sría: d k B Q dq b La cuación d kq kb s linal, por ano su solución sría: Q k kb d kd Q k k kb k Q B k 9

30 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn c la gráfica d la curva aprndizaj sría: S obsrva qu cuando ha ranscurrido mucho impo Q convrg a B. Ejmplo URVA LOGISTIA. El rimo a qu s propaga un rumor n un país s conjunamn proporcional a la canidad d prsonas qu s han nrado dl rumor al númro d prsonas qu no s han nrado dl rumor. a Plan la cuación difrncial qu dscrib l modlo b Encunr la solución gnral d la cuación difrncial planada. c Grafiqu la solución gnral obnida analic la sabilidad dinámica. SOLUIÓN: Sa Q : anidad d prsonas nradas dl rumor B : Población Toal B Q : anidad d prsonas qu no s han nrado dl rumor k : onsan d proporcionalidad dq a La cuación para l modlo sría: d kq B Q dq b La cuación kbq kq s d la forma d Brnoulli, por ano su d solución sría: Dividindo para Q : Q Q Q Q kbq Q kbq kq Q k du Hacindo cambio d variabl u Q noncs Q Q rsula: d u kbu k Enconrando u kbu k u nmos:

31 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn u kbd kb kb k d kb k kb kb kb u B kbd k d Enconrando Q nmos: u B Q B B Q B kb kb kb B Q B kb c Su gráfica sría: B B Obsrv qu Q B, por ano s convrgn kb B

32 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo DINAMIA DE MERADO. Suponga qu l prcio p d drminado arículo varía d modo qu su razón d cambio con rspco al impo s proporcional a la scasz D S dond D 8 p S p son las funcions d dmanda ofra. a Si l prcio s $ 5 cuando $ cuando, hall p. b Drmin lo qu ocurr con p a largo plazo. SOLUIÓN: dp. d a La cuación dl modlo s: k D S Rmplazando nmos: dp k D S d p k 8 p p k Ahora hallando p omo p [ p ] 6 p p kp 6k p k k kd 6k k p 5 noncs: 5 6k k k 6k k kd d k p d como p noncs: k p 6k 6k 6k ln 6k ln 6k ln k.8 Por ano:.8.5 p Y su gráfica sría:

33 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn b A largo plazo sría cuando ha ranscurrido mucho impo, s dcir:.5 lím p lím p s sabiliza n l prcio d quilibrio p Ejrcicios Propusos.8. El númro d prsonas implicadas n ciro scándalo gubrnamnal aumna a un rimo conjunamn proporcional al númro d prsonas a implicadas al númro d prsonas rlacionadas con l caso qu aún no han sido implicadas. Suponga qu 7 prsonas furon implicadas cuando un priódico hizo público l scándalo por primra vz, qu 9 prsonas más rsularon implicadas n los mss siguins oras n los mss posriors. uánas prsonas aproimadamn saban involucradas n l scándalo?. El rimo a qu s propaga una pidmia n una comunidad s conjunamn proporcional al númro d rsidns qu han sido infcados al númro d rsidns propnsos a la nfrmdad qu no ha sido infcado. Eprs l númro d rsidns qu han sido infcados como una función dl impo n smanas, si la comunidad in rsidns propnsos a la nfrmdad, si 5 rsidns nían la nfrmdad inicialmn si 855 rsidns habían sido infcados hacia finals d la primra smana.. Suponga qu n l Ecuador, l rimo al qu s propaga la noicia dl aumno dl prcio d la gasolina s conjunamn proporcional al númro d prsonas qu s nran dl aumno al númro d prsonas qu no s han nrado odavía. Si acualmn l 5% d los habians sab la noicia una smana más ard l 5% s han nrado d dicha noicia: a FORMULE una cuación difrncial para drminar la canidad d prsonas qu s nran d la noicia dl aumno dl prcio d la gasolina n cualquir impo. b RESUELVA la cuación difrncial para nconrar la canidad d prsonas qu s nran d la noicia n función dl impo. c Qué porcnaj d prsonas s habrán nrado d la noicia,, 5 smanas más ard?. Suponga qu l prcio p d drminado arículo varía d modo qu su razón d cambio dp s proporcional a la scasz D - S dond: d D 7 p S p son las funcions d dmanda ofra dl arículo. a Si l prcio s d $6 cuano $ cuando. Hall p. b Dmusr qu cuando crc sin lími p s aproima al prcio d quilibrio. 5. La ofra la dmanda d ciro bin sán dadas n mils d unidads, rspcivamn, por: D p 5p', S 6 p p'. En l prcio dl bin s d 5 unidads. onsidrando l qulibrio dl mrcado. a Enconrar l prcio n cualquir impo posrior obnr su gráfico. b Drmin si ha sabilidad d prcio l prcio d quilibrio.

34 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn 6. La ofra la dmanda d un bin sán dadas n mils d unidads, rspcivamn por: D p p', S 6 5 p p'. En l prcio dl bin s d unidads. onsidrando l qulibrio dl mrcado a Encunr l prcio n cualquir impo posrior obnr su gráfico. b Drmin si ha sabilidad d prcio l prcio d quilibrio si is. 7. Para progr sus ganancias, un producor dcid qu la asa a la cual incrmnará los prcios dbría sr numéricamn igual a vcs su invnario. Asumindo qu la ofra la dmanda sán dadas n érminos dl prcio p por: S 8 p, D 5 p qu p n, ncunr l prcio n cualquir impo. 8. La ofra la dmanda d un bin sán dadas n mils d unidads, rspcivamn por: D 8 p p', S 6p p'. En l prcio dl bin s d unidads. onsidrando l qulibrio dl mrcado a Encunr l prcio n cualquir impo posrior obnr su gráfico. b Drmin si ha sabilidad d prcio l prcio d quilibrio si is. 9. En cira zona dl país l prcio dl pollo n la acualidad s $ por kilogramo, s sima qu dnro d smanas l prcio crcrá a una razón d cnavos por smana. uáno cosará l pollo dnro d 8 smanas?. iro pozo prolífro qu produc 6 barrils d prólo crudo al ms s scará n años. En la acualidad, l prcio dl prólo crudo s $ por barril s spra qu aumn a una razón consan d 8 cnavos mnsuals por barril. Si l prólo s vnd an prono como s ra dl sulo, cuál srá l INGRESO FUTURO TOTAL obnido dl pozo?. El valor d rvna d cira maquinaria indusrial dcrc a un rimo proporcional a la difrncia nr su valor acual su valor rsidual d $ 5. La maquinaria s compró nuva por $ valía $ dspués d años. uáno valdrá la maquinaria cuando nga 8 años?. Una prsona in una foruna invrida, qu aumna a una asa proporcional al cuadrado d su capial acual. Si nía $ millón hac un año, ahora in $ millons. uáno ndrá dnro d sis mss?. Supongamos qu un fabrican calcula qu un nuvo oprario producirá A objos l primr día d rabajo qu cuando va adquirindo princia, producirá los objos más rápidamn hasa qu produzca un máimo d M objos por día. Sa Q la canidad d arículos producidos l día para >, suponga qu l rimo d producción s proporcional a M - Q. a Obnga una fórmula para Q. b Suponindo qu M, Q 5 Q 8, sim l númro d objos producidos n l vigésimo día.

35 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Misclános. Encunr la Solución d las siguins Ecuacions Difrncials. d d ; d. d. d d ; dk. K 5K d 5. d sn d d d d d 8. d d 9. d d ln d.. cos.. d d. d sn d 5. d d sc π ; π sn g d d d d d d 9. d d d. ; d. d co sn cos d.. d d d d. 5. d d sn 6. ' d d d d ; d d 9. ;. d d. Suponga qu una prsona invir n un banco una foruna qu aumna a una asa proporcional a la canidad d dinro acualizada. Si nía $ hac un año ahora in $. a Drmin la cuación difrncial qu modl l problma. b Rsuélvala drmin cuano impo in qu pasar para qu la canidad qu nía hac un año s quinupliqu.. La dmanda la ofra d un ciro bin sán dadas n mils d unidads D 8 p p S p p. Suponindo qu la asa d cambio dl prcio s igual a vcs su cdn S-D, qu inicialmn l prcio dl bin s d $, drmin la racoria mporal d p sablzca si s dinámicamn sabl o no.. La ofra la dmanda d un bin sán dadas por las cuacions: S a p a p a D b p b p b a Encunr l prcio n cualquir impo considrando l quilibrio d mrcado. b Esablzca qu condicions dbrán cumplir los coficins para qu puda isir una sabilidad dinámica d quilibrio n su solución. c Si a ; a ; a ; b ; b ; b 8, ncunr l prcio n cualquir impo l prcio d sabilidad si is. 5

36 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn 5. iro ngocio aumna su valor a una razón proporcional a la raíz cuadrada d su valor acual. Si s ngocio valía $ millón hac un año n la acualidad val $. millons. Drmin: a La cuación difrncial para l modlo. b cuándo valdrá $ millons? 6. El PIB d ciro país aumna n forma proporcional a su propia canidad. Su asa d proporcionalidad fu 6.% duran l año pasado. Si coninua aumnando a sa asa. a Modl la cuación difrncial dl problma. b Rsuélvala drmin n cuanos años l PIB s duplicará. c Grafiqu la racoria. 7. La asa d crcimino dl volumn d vnas V a mdida qu dcrc l prcio p, s dircamn proporcional al volumn d vnas invrsamn al prcio mnos una consan A. Hall la rlación nr dicho volumn d vnas l prcio, si V V o, cuando p p o. 6

37 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn. Ecuación Difrncials d sgundo ordn con coficins consans... Ecuacions difrncials d ordn suprior. Análisis ualiaivo Objivos. S prsigu qu l sudian: Encunr solucions gnrals /o pariculars d Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Drmin Esabilidad dinámica cuaniaiva /o cualiaivamn.

38 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn. EUAIONES DIFERENIALES DE SEGUNDO ORDEN ON OEFIIENTES ONSTANTES. Una cuación difrncial d sgundo ordn s d la forma: p q g Si g s llama Ecuación homogéna caso conrario; s dcir, si g s llama Ecuación no homogéna. Una cuación difrncial d sgundo ordn con coficins consans s d la forma: a b c g dond a, b c IR a.. EUAIONES DIFERENIALES DE SEGUNDO ORDEN ON OEFIIENTES ONSTANTES HOMOGÉNEA Una cuación difrncial d Sgundo Ordn con coficins consans homogéna s d la forma: a b c La función " ", solución gnral d la cuación difrncial anrior, s d la r forma k Por qué?. Dond " k " s una consan qu da la gnralidad d la solución. Enoncs l objivo ahora srá hallar l valor d r. Bin, d la solución gnral nmos: kr kr r r Rmplazando n a b c nmos: akr k r r bkr r ck [ ar br c] Ahora bin, k porqu si no uviéramos las solución rivial como r ambién, noncs ar br c. A sa prsión s la dnomina Ecuación Auiliar s úil para hallar r. Obsrv qu la cuación auiliar s una cuación cuadráica cuas raics s las pud drminar mplando la formula gnral r

39 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn aso I r, r b ± Aquí s prsnan rs casos. b a Discriminan posiivo [ ac > ] ac b. Enoncs r r son raícs rals difrns. En s caso s dic qu isn dos solucions fundamnals k r k La solución Gnral saría dada por la combinación linal d las solucions fundamnals aso II iguals. aso III Discriminan cro [ ac ] r r k k En s caso la solución Gnral sría: Discriminan ngaivo [ ac < ] raícs compljas conjugadas Rmplazando n omo r b. Enoncs r son raícs rals r r k k b. Enoncs r λ µ i r λ µi son r λµ i λ λ µ i i µ µ λ r λµ i µ i µ i µ i [ ] iµ nmos: cos µ i sn cos µ i sn µ Rmplazando nmos: λ λ [ cosµ i sn µ cosµ i sn µ ] [ cosµ i isn µ ] Por lo ano la solución sría λ [ k sn µ k cos µ ] Ejmplo Encunr la solución gnral para SOLUIÓN: En s caso la cuación auiliar sría r r r

40 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Hallando las raícs nmos 6 6 r r r r Por ano: k k k k 6 6 Podmos comprobar qu fcivamn sa s la función qu saisfac la cuación difrncial dada. Obngamos la primra la sgunda drivada k k k k Lugo, rmplazando k k k k k k Ejmplo Encunr la solución gnral para, SOLUIÓN: En s caso la cuación auiliar sría r r Hallando las raícs nmos 9 ± ± r r r r Por ano, la solución gnral sría: k k omo las condicions inicials sán dadas dbmos nconrar las consans k k omo noncs k k k k k k Obnindo la primra drivada: k k

41 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn omo noncs k k k k k k k k Rsolvindo simulánamn k k nmos: k k Por ano, la solución paricular s: Ejmplo Encunr la solución gnral para SOLUIÓN: En s caso la cuación auiliar sría r r r r Hallando las raícs nmos r r k k Por ano, la solución gnral sría: Ejmplo Encunr la solución gnral para 6 ; ; SOLUIÓN: En s caso la cuación auiliar sría 6 ± r, r 6 ± 6 r, r 6 6 ± 6 Hallando las raícs nmos: r, r 6 ± i r, r r i r i i En s caso λ µ, por ano la solución gnral sría: omo noncs [ k sn k cos ] [ k sn k cos ] [ k k ] k 5

42 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn [ k ] cos k sn [ ksn k cos ] omo noncs [ k ] cos k sn [ ksn k cos ] k k k k Rsolvindo simulánamn k k Por ano, la solución gnral sría [ sn cos ] Ejrcicios propusos. Encunr la solución d las siguins cuacions difrncials d sgundo ordn. ;,.. 9. ;, ;, 7. ;, ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMIA En l capíulo anrior s mncionó qu la sabilidad dinámica d una racoria s la drmina con lím. Podmos ir analizando por casos. r aso I, r k k Si las raícs son rals difrns, sas inn qu sr ngaivas para qu la racoria sa dinámicamn sabl. r r aso II, k k. Si las raícs son rals iguals noncs r in qu sr ngaiva r < para qu la racoria sa dinámicamn sabl aso III [ λ k cosu k sn u Si las raícs son compljas conjugadas noncs la par ral λ in qu sr ngaiva λ < para qu la racoria sa dinámicamn sabl. ] 6

43 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn.. EUAIONES DIFERENIALES DE SEGUNDO ORDEN ON OEFIIENTE ONSTANTE NO HOMOGÉNEAS Una cuación difrncial d sgundo ordn con coficins consan érmino g variabl s d la forma: a b c g La Solución Gnral s una combinación linal d dos ipos d solucions, una solución complmnaria una solución paricular. c p SOL OMPL La Solución complmnaria SOL PART a b c c c saisfac la cuación homogéna Por ano, para drminarla s db rsolvr d acurdo a lo mncionado anriormn. La Solución paricular P c saisfac la cuación no homogéna a p b p c p g Esa solución, si s d forma polinómica o ponncial o rigonomérica d snos cosnos, s la pud drminar mplando l llamado Méodo d los coficins indrminados. En sos casos, d acurdo a la forma d s dducibl. Obsrv l siguin cuadro. n n Si g a a a a Si Si g P g, la solución paricular s n n n n K noncs p [ An An K A A ] α s α a noncs [ A ] g a sn β a cosβ p s noncs [ Asnβ B cosβ] p p s No qu la solución paricular aparc muliplicada por, so s para l caso d qu isan solucions pariculars qu no san linalmn indpndins d las solucions complmnarias. Es dcir, a ncsidad s pud uilizar s,, 7

44 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Ejmplo Sa " ' 9 Hallar la solución Gnral SOLUIÓN: La solución gnral s d la forma c P Primro hallmos c. La solución complmnaria saisfac la cuación homogéna " c ' c 9c. La cuación auiliar s r r 9. Hallando las raícs nmos r, ± r ± r, r ± r, r ± r, r ± r, r r r i 5i r 5i r 5i 5i Por ano [ k sn 5 k cos 5 ] c Sgundo, hallmos P omo g polinomio d grado noncs la solución paricular s d la forma p A B polinomio gnralizado d grado. Lugo dbmos drminar los coficins A, B. La solución paricular db saisfacr la cuación no homogéna; s dcir, p" p ' 9 p Hallmos la primra la sgunda drivada para p A B p ' A b p" A Rmplazando agrupando 9A A 8A b 9A 8A 9b A b 9c b c Si dos polinomios son iguals, sus coficins dbn sr iguals 8

45 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn 9A Enoncs 8 A 9B A B 9 Rsolvindo l sisma simuláno nmos: Por, ano p Finalmn la solución gnral sría: 9 9 A, B c [ k sn 5 k cos 5 ] Ejmplo Sa " 6sn Hallar la solución Gnral SOLUIÓN: Primro hallmos c. La solución complmnaria saisfac la cuación homogéna " c c. La cuación auiliar s r. Hallando las raícs nmos: Por ano r r ± r ± r i r i [ k sn k cos ] c c k sn k cos Sgundo, hallmos omo P g 6 sn noncs la solución paricular s d la forma p Asn B cos. Lugo dbmos drminar los coficins A B. La solución paricular db saisfacr la cuación no homogéna; s dcir " P P 6 sn Hallmos la primra la sgunda drivada Rmplazando agrupando p ' Acos B sn p" 9Asn 9B cos 9

46 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn " 6sn p p 9Asn 9B cos Asn B cos 6sn cos Igualando coficins, nmos: 5A 6 5B Rsolvindo l sisma simuláno nmos: 6 A B 5 6 Por, ano p sn cos 5 Finalmn la solución gnral sría: 6 k sn k cos sn 5 5A sn 5B cos 6sn cos Ejmplo Hallar la solución para " ;, '. SOLUIÓN: Primro hallmos c. La solución complmnaria saisfac la cuación homogéna " c c. La cuación auiliar s r. Hallando las raícs nmos: Por ano r r ± r ± r i r i [ k sn k cos ] c c k sn k cos Sgundo, hallmos omo P g combinación linal d polinomio con ponncial noncs la solución paricular s d la forma p A B D. Lugo dbmos drminar los coficins A, B, D. La solución paricular db saisfacr la cuación no homogéna; s dcir p" p

47 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Hallmos la primra la sgunda drivada Rmplazando agrupando p' A B D p" A D A D A B D A B A 5D Igualando coficins, nmos: A B A 5D Rsolvindo l sisma simuláno nmos: Por, ano p Finalmn la solución gnral sría: on on ' Finalmn A B D k sn k cos 8 5 nmos nmos 9 k k 7 sn 7 9 cos No qu no s dinámicamn sabl. Por qué? 8 5 Ejrcicios propusos. Encunr la solución d las siguins cuacions difrncials d sgundo ordn cos sn. 5. 8

48 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn 6. 5 sn 7. 5 sn 7 8. cos sn ; 9. ;. sn ;. 7 ; 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN SUPERIOR Para rsolvr cuacions difrncials d ordn suprior, si son linals d coficins consans, podmos pnsar n procdiminos análogos. Ejmplo Hallar la solución para IV 6 " 6' 8 SOLUIÓN: Primro, nconramos la solución complmnaria IV c 6 c c" 6c' 8c. c qu saisfac la cuación homogéna La cuación auiliar sría r 6r r 6r 8. Enconramos las raícs por división sinéica Por ano Sgundo, la solución paricular r r 6r r r ± r, r 6 ± r, r r i 8 8 r i r r [ k sn k cos ] c k k p s d la forma p A porqu g.

49 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Enoncs p' p" p IV p Rmplazando calculando IV p 6 p " p 6' p 8 p 6 6 8A A Por ano k k [ k sn k cos ] Obsrv qu s dinámicamn sabl, s dcir qu convrg al nivl d quilibrio Ejrcicios propusos. Encunr la solución d las siguins cuacions difrncials. ``` 7 `` 5` 9. ``` `` `. ``` 6`` ` 8 8. ANÁLISIS UALITATIVO Para cuacions difrncials linals homogénas con coficns consans, podmos uilizar l siguin análisis si s raa d drminar la sabilidad.. Torma d Rouh Sa la cuación polinómica d grado n a n n n n r ar ar ar K an r an La par ral d odas las raícs son ngaivas si sólo sí los " n " primros drminans d la siguin sucsión: a ; a a a a Son odos posiivos Noa: am Si ; m > n a a a a a a a a 5 ; a a a a a a a a a a 5 a a a a ;...

50 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Ya usd ha nido la oporunidad d obsrvar qu para qu una racoria, solución d una cuación difrncial linal con coficins consans érmino consan, sa dinámicamn sabl s rquir qu las raícs d la cuación auiliar o la par ral n l caso d las raícs compljas san odas ngaivas. Enoncs para drminar lo anrior basa con mplar l Torma d Rouh. Ejmplo Drmin cualiaivamn la sabilidad dinámica para IV 6 " 6' 8 SOLUIÓN: Emplando l Torma d Rouh. La cuación auiliar s r 6r r 6r 8 a a 6 En s caso n admás a a 6 a 8 Los cuaros drminans srían: a 6 ; a a ; a a a a a5 a a a a a omo odos los drminans son posiivos noncs odas las raícs son ngaivas; por ano la solución s dinámicamn sabl Ejmplo Drmin cualiaivamn la sabilidad dinámica para SOLUIÓN: " 7 ' 8 Emplando l Torma d Rouh. La cuación auiliar s r r 7r 8 a a En s caso n admás a 7 a 8 Los cuaros drminans srían: a a 8 a ; 5 a a 7 ;

51 Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn a a a5 a a a a a omo los drminans no odos son posiivos noncs no odas las raícs son ngaivas; por ano la solución s NO dinámicamn sabl. Ejrcicios propusos. Drmin si las solucions d las cuacions difrncials son racorias mporals convrgns o no. Empl l orma d Rouh. ``` `` 7 `8. ``` `` ` 5. ``` `` 5` Misclános. Hallar la sri d Talor alrddor d la d la función f cos. Encunr la solución d las siguins cuacions difrncials indiqu si la solución complmnaria convrg o no. sn a b c " d " 6 9 ;,. Un sudio d ploación d un rcurso naural, uiliza la cuación difrncial: d β d a a d β d β a a a Probar qu β dond a, β son solucions d la cuación homogéna. b Si a 5 β 9 ncunr la solución gnral indiqu si la solución convrg a largo plazo. 5

52 MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos 9 APITULO : Ecuacions Difrncials d Primr Ordn Ejrcicios Propusos.. ln cos sn ln.. ln Ejrcicios Propusos ln 9. Ejrcicios Propusos.. ln

53 MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos ln ln sn. Ejrcicios Propusos.. ln. ln ln. ln ln. ln ln 5. ln 6. ln ln 7. ln ln Ejrcicios Propusos cos 9. Ejrcicios Propusos.6... Ejrcicios Propusos.7. No s sabl. Div rg d. Si s sabl. onvrg a 5. Si s sabl. onvrg a. No s sabl. Div rg d 9 5. Divrg d convrg a 5 6. onvrg a div rg d 7. onvrg a divrg d 5 Ejrcicios Propusos.8

54 MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos B. I. I kb B.86 N.7. S. a p b p a p 5 b Div rg 6. a p 5 5 b p a p 6 8. a p 8 b p 8 p b p a. a I.8 6 b I a Q 5 5 b $ a Q b Dnro d sis mss ndrá $ millons. a Q 5 ; b 8 objos aproimadamn. ln.. ln K cos sin ln. sin. ln.. cos. an ln ln ln 8. sin sin 9. Misclános

55 MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos. o. cos. ln.. 5. PARTE II. PROBLEMAS dq. a kq ;.8 Q b 9 años aproimadamn d.. a p 6 c 9 a b b a a b p a b b a b a b ó a b a b p 6 ; p $ a Q b 5 años dq 6. a.6q b aproimadamn d p A 7. V p V p A k APITULO : Ecuacions Difrncials d Sgundo Ordn Ejrcicios Propusos.. cos sin. k k. k sin k cos. 5. k k cos sin 8. k k 9. k sin k cos. k k Ejrcicios Propusos... k k k k k sin k cos sin. 5. k sin k cos k k 9 9

56 MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos 8 ksn kcos sin cos k k sin cos cos sin cos sin sn Ejrcicios Propusos.. k k k. k k k. k ksn k cos Ejrcicios Propusos.. No s sabl dinámicamn. SI sabl. No sabl Misclános 5 5. a k k 6 9 b k k k sn cos 9 c k cos k sn 7 8 d b 6 k k convrg a 5 5 APITULO : Ecuacions Ordn n Difrncias d Primr

57 MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos Ejrcicios Propusos Ejrcicios Propusos... k.. sn cos Ejrcicios Propusos.. Div rg. convrg oscilanmn. Divrg oscilanmn. onvrg Ejrcicios Propusos.. p k 5. 5 p k. p k. 6 p k 5. p p k 7. p k. 7. a Divrg bonvrg Misclános. a.7. 7 c k. p k, Oscilan convrgn p k, Oscilan div rgn p k.5. Div rgn k.5.k m U k.5 k m 9 7. p k consan APITULO : Ecuacions n Difrncias d Sgundo Ordn

58 MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos Ejrcicios Propusos cos sn. 8 5 cos sn k k 6. k k 6 7. k k k cos arcg k sn arcg. 5 kcos arcan k sn arcan k k 8. k cos k sn. k k. kcos ksin k k k k 5 cos sin. 5. Ejrcicios Propusos. k k k. k k k. Ejrcicios Propusos.. No onv rg. onvrg. k k Misclános. k k k APITULO 5: Sismas d Ecuacions n Difrncias Difrncials Ejrcicios Propusos 5. 5

59 MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos. Y. Y. Y k k k k Ejrcicios Propusos Y. 6 6 Y. Y Y Ejrcicios Propusos a 5. a Nodo convrgn b Nodo Div rgn c Puno d silla d Puno d Silla Puno d silla Ejrcicios Propusos 5... k k Puno d silla k k k k Puno d silla k k. k k k k Puno d Silla Misclános ksn k cos Foco convrgn k sn k cos 6. 6

60 MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos k k Puno d silla k k 7