MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES. Teoría de circuitos y sistemas

Transcripción

1 MUESREO Y RECONSRUCCIÓN DE SEÑALES oría d circuios y sismas

2 Inroducción Sabmos modlar sismas coninuos Laplac o sismas discros Z. Pro n muchos casos los sismas coninn ano bloqus coninuos como bloqus discros. Emplo: conrol d un sisma físico coninuo mdian un compuador discro. S ncsian lmnos qu prmian inrconcar sismas coninuos con sismas discros. Esos lmnos dbn srvir para convrir una sñal coninua n una scuncia y vicvrsa: Musrador: convir una sñal coninua n una scuncia. Bloquador: convir una scuncia n una sñal coninua. 2

3 Conxión bloquador y musrador SISEMA CONINUO Sñal coninua x MUESREADOR Sñal discra {x K } SISEMA DISCREO Emplo n l conrol d un horno: la mpraura x mdida n l horno s inroducida a un ordnador como una scuncia {x K } SISEMA DISCREO Sñal discra {x K } BLOQUEADOR Sñal coninua x SISEMA CONINUO Emplo n l conrol d un horno: una scuncia d valors {x K } gnrada por l ordnador s inroducida al horno como una nsión x qu s db aplicar n su rsisncia. 3

4 MUESREO DE SEÑALES 4

5 Musro d sñals Prmi obnr una scuncia a parir d una sñal. x {x K } El musrador oma los valors d la sñal cada ciro impo. Es impo s conoc como priodo y normalmn s consan. 5

6 Rprsnación y comporamino x {x K } priodo d musro Rlación nrada/salida n l dominio dl impo: x k xk x x; x x; x 2 x2; 6

7 Imporancia dl priodo d musro db sr suficinmn pquño para no prdr información d la sñal: {x K } x adcuado {x K } xcsivo db sr lgido n función d la sñal a musrar. 7

8 Comporamino dl musrador n los dominios d Laplac y Fourir Conocmos la rlación x / {x K } n l dominio dl impo: Buscamos la rlación n los dominios d Laplac y Fourir: Dominio impo: x k xk Dominio Laplac: Xs / Xs? Dominio Fourir: X / X? x {x K } Xs X Xs X rabaarmos n l dominio d Fourir. Parimos d las xprsions dirca invrsa d la ransformada: X χ + + k x x K K d x 2 xk X χ K d d 8

9 Opramos sobr l comporamino dl musrador n l dominio : x + K K d 2 K x X Dividimos l inrvalo d ingración n fragmnos d amaño 2/: x K 2 + r 2r+ 2r X K d Hacmos un cambio d variabl: Ω + 2r/ x K 2 + r X Ω + 2r ΩK 2r K dω 2 + r X Ω + 2r ΩK dω 9

10 S inroduc / y s cambian d ordn sumaorio ingral: x K 2 + r X Ω + 2r ΩK dω Comparando con la xprsión d x K n la ransformada d Fourir, s obin: χ + r X + 2r La rlación n l dominio d Laplac s pud obnr d forma similar: + 2r χ s X s + r En ninguno d los casos s pud hablar d función d ransfrncia, s sólo una rlación E/S.

11 Rprsnación gráfica dl comporamino dl musrador n l dominio d Fourir Sñal coninua d parida s musra módulo d su ransformada d Fourir y s supon fas : X A Sñal musrada con priodo sgún la fórmula anrior: χ A 2 suma d sñals originals scaladas y dsplazadas

12 Priodo d musro I Inrsa conocr l priodo d musro adcuado para cada sñal. El obivo s no prdr información. Inuiivamn, sñals con connido n frcuncias más lvadas rqurirán mnor mayor frcuncia d musro. La ransformada d Fourir nos indica los connidos frcuncials. Sñal d banda limiada: no conin frcuncias por ncima d un ciro lími, por mplo : X X 2 X 3 2

13 Priodo d musro II Musramos la sñal X 2 anrior con 3 priodos disinos: χ 2 χ χ

14 Priodo d musro III En los dos primros casos no s produc solapamino: sría posibl rconsruir la sñal original coninua a parir d la sñal musrada. No hay dformación d la sñal. En l rcr caso sí s produc solapamino, y sría imposibl rconsruir la sñal original. La sñal s ha dformado. Rlación con l priodo d musro: db sr suficinmn pquño para qu no s pirda información: La misma rlación s pud xprsar n érminos d la frcuncia d musro f: > < f > 2 La frcuncia d musro f db sr al mnos l dobl qu la máxima frcuncia f connida n la sñal a musrar EOREMA DEL MUESREO f 4

15 Priodo d musro IV EJEMPLO: ara d adquisición d daos para un PC. El ipo d ara a lgir dpndrá dl ipo d sñal a capurar: Sñals d audio alas frcuncias: s ncsaria una ara con una frcuncia d musro rápida priodo pquño. Sñals d mpraura variacions lnas, baas frcuncias: s suficin con una ara más simpl, con frcuncia d musro lna priodo grand. SIUACIÓN COMÚN: sñals no d banda limiada. Muchas sñals rals por mplo, un rn d pulsos rcangulars no son d banda limiada, coninn odas las frcuncias. Esas sñals nunca s pudn musrar sin pérdida d información, por pquño qu sa l priodo d musro. X 4 El módulo d la ransformada d Fourir d la sñal X 4 no llga a hacrs cro; la sñal conin odas las frcuncias 5

16 RECONSRUCCIÓN DE SEÑALES 6

17 Rconsrucción d sñals Obnción d una sñal a parir d una scuncia. Rconsruir volvr a obnr una sñal qu ha sido musrada. Elmno qu raliza la opración: bloquador. {x K } x B {x K } x NOA: vrmos cómo l mplo d rconsrucción mosrado s físicamn irralizabl. 7

18 Rprsnación dl bloquador 2 posibilidads: Rspusa impulsional. Función d ransfrncia n o n s. NOA: para l bloquador SÍ xis función d ransfrncia para l musrador NO 8

19 Rspusa impulsional g Sñal coninua d rspusa an una scuncia impulso d nrada. {δ K } g B {δ K } g 9

20 Uso d la rspusa impulsional La rspusa impulsional d un sisma prmi conocr la salida dl sisma an cualquir sñal d nrada. La salida s obin como la convolución nr la rspusa impulsional y la nrada. En l caso dl bloquador, s raa d una convolución híbrida. x { x K }* g + n x n g n 2

21 Función d ransfrncia S uiliza n l dominio s y n l dominio. S obinn a parir d las ransformadas d Fourir y Laplac d la rspusa impulsional: [ g ] G s L[ g ] G F Ambas prmin conocr la salida sñal coninua a parir d la nrada scuncia discra n los dominios s o : X G χ X s G s χ s S raa d funcions d ransfrncia híbridas. 2

22 ipos d bloquadors En función dl cririo sguido para rconsruir una sñal coninua a parir d los valors d la scuncia. Esudiarmos 3 ipos: Bloquador idal. Bloquador d ordn. Bloquador d ordn. 22

23 Bloquador idal I Es capaz d rconsruir prfcamn la sñal original, si s ha musrado con un priodo adcuado orma dl musro. Viso n l dominio d Fourir, l obivo s rcuprar la ransformada d Fourir d la sñal original: x {x K } x2 B X X i X 2 X χ X 2 23

24 Bloquador idal II La función d ransfrncia n dl bloquador idal, db canclar las rpicions y db rsaurar la scala original: B i B i < El valor cro fura dl inrvalo cnral cancla las rpicions. El valor dnro d s inrvalo rsaura la scala. 24

25 25 Bloquador idal III Rspusa an impulso: [ ] sn sn d d G G F g sn g

26 Bloquador idal IV Rprsnación d g: g La rspusa impulsional oma valors para insans anriors a cro. Es un bloquador no causal S raa d un sisma físicamn irralizabl. rcordar mplo ª ransparncia No xisn bloquadors idals n la prácica. Sólo s sudiarán óricamn. 26

27 Bloquadors causals La salida n un ciro insan sólo dpnd d los valors qu oma la nrada n insans anriors <. Esudiarmos 2 ipos: Bloquador d ordn. Bloquador d ordn. Bloquador d ordn : la sñal coninua d salida oma l valor dl úlimo dao conocido para la nrada aus polinomial d ordn. Bloquador d ordn : la sñal coninua d salida s obin a parir d los dos úlimos daos conocidos para la nrada aus polinomial d ordn. 27

28 Bloquador d ordn cro I {x K } B x {x K } x 28

29 29 Bloquador d ordn cro II Rspusa impulsional: Funcions d ransfrncia: < < g {δ K } g [ ] [ ] s s s s d d g g L s G d d g g F G

30 Bloquador d ordn uno I {x K } B x {x K } x 3

31 3 Bloquador d ordn uno II Rspusa impulsional: Funcions d ransfrncia: < < + < g 2 2 {δ K } g [ ] [ ] s s d g g L s G d g g F G s s

32 Comparación f. d ransfrncia n B i B B 32

33 33 Rsumn musro y rconsrucción Musradors Bloquadors r r k r s X s r X k x x χ χ 2 2 {x K } B x x {x K } : : : s s s B B B s s B B B sn g B s s i

34 MUESREO Y RECONSRUCCIÓN DE SEÑALES oría d circuios y sismas 34