UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 1 FACULTAD REGIONAL MENDOZA

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1 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA FAUTAD EGIONA MENDOZA APUNTES DE ÁTEDA DE TEOÍA DE OS IUITOS I Prof. Dr. Ing. S. Enriqu Puliafio puliafio@frm.un.u.ar APITUO 3: ÉGIMEN DINÁMIO EN E DOMINIO DE TIEMPO OBJETIVOS GENEAES DE A ASIGNATUA. Provr los funamnos los circuios linals inrprar a ésos n l marco un sisma linal comprnino y aplicano sus principals propias. Mosrar cómo l análisis y isño circuios lécricos sán ínimamn rlacionaos con la capacia l fuuro ingniro para isñar compljos sismas lcrónicos comunicacions, compuación y conrol. 3. Qu l alumno aprna a rsolvr circuios linals simpls. 4. Qu l alumno aquira las habilias para molar y rsolvr sismas linals ano s l ominio l impo como la frcuncia, y qu sa capaz prcir su comporamino an una xciación cualquira. OBJETIVOS DE APÍTUO III: conocr las sñals principals xciación sismas linals y componr sñals arbirarias a parir ésas. Analizar l comporamino mporal ransiorio circuios linals simpls a parir su xciación. Qu l alumno aquira la habilia laborar un molo mporal l circuio y prvr su comporamino mporal. Qu l alumno s familiaric con la rsolución cuacions ifrncials simpls primr y sguno orn. TEMA A: ircuios con almacnamino nrgía: 3.A. Enrgía almacnaa n los circuios. 3.A.. lacions nsión-corrin n circuios con almacnamino nrgía, valors límis. 3.A.3. Ecuacions ifrncials n circuios lécricos. 3.A.4. prsnación xciacions isconinuas ípicas: función impulsiva, función scalonaa, rampa. TEMA B: égimn ransiorio y prmann 3.B.. Análisis fnómnos ransiorios n sismas primr orn. 3.B.. Exciación por nrgía inrna almacnaa inicialmn. 3.B.3. Análisis fnómnos ransiorios n sismas sguno orn. 3.B.4. Exciación isconinuas ípicas: por nrgía inrna almacnaa inicialmn, por función impulsiva, por función scalonaa. 3.B.5 sonancia sri y parallo n l ominio l impo. TIEMPO ESTIMADO DE USADO: 3 SEMANAS UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA FAUTAD EGIONA MENDOZA

2 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO TABA DE ONTENIDO: APÍTUO III: ÉGIMEN DINÁMIO EN E DOMINIO DE TIEMPO El régimn prmann y ransiorio INTODUIÓN ESPUESTA NATUA O TANSITOIA ÉGIMEN TANSITOIO Y PEMANENTE DOMINIO DE TIEMPO Y DOMINO DE A FEUENIA EAIONES VOT-AMPEE Y IUITOS EQUIVAENTES APIAIÓN DE AS EYES IUITAES A SISTEMAS ON EEMENTOS AMAENADOES DE ENEGÍA SEÑAES TÍPIAS Y FUNIONES SINGUAES EPESENTAIÓN IUITA DE AS FUNIONES ONSTUIÓN DE FUNIONES Sismas primr orn IUITOS DE PIME ODEN ON ENEGÍA INTENA AMAENADA EXITAIÓN PO IMPUSO ircuio inucivo EXITAIÓN ON UNA FUNIÓN ESAÓN EXITAIÓN ON UNA FUNIÓN SENOIDA Sismas sguno orn EXITAIÓN PO ENEGÍA AMAENADA INTENAMENTE Solución sobramoriguaa Solución críica Solución subamoriguaa ESPUESTA A UNA EXITAIÓN IMPUSIVA ircuio -- sri ircuio -- parallo ESPUESTA A UNA FUNIÓN ESAÓN ircuio -- sri ircuio -- parallo BIBIOGAFÍA:. Sco: inar ircuis, Aison-Wsly Publishing o., 96 Dorf y Svoboa, ircuios Elécricos. Inroucción al Análisis y Disños, Alfaomga,. Zimr, W. Tranr,. Fannin: Signal an Sysms. oninuous an iscr, Macmillian Publishing, Nw York, 983. A. Papoulis: Signal analysis., McGrawHill. Nw York, 977. unnigham an Sullr: Basic ircui Analysis, M. Van Walknbrg: Análisis s, imusa.,994 H. Puyo y. Marco: Análisis molos circuials,tomos I y II. Arbó, 985 W. Hya an J. Kmmrly: Análisis ircuios n Ingniría, Mc Graw Hill., 985 UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA FAUTAD EGIONA MENDOZA

3 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO APÍTUO III: ÉGIMEN DINÁMIO EN E DOMINIO DE TIEMPO. El régimn prmann y ransiorio. Inroucción os parámros funamnals un circuio lécrico pasivo son la rsisncia, la inucancia y la capacia. a rsisncia un circuio lécrico s l rsponsabl un procso nrgéico irrvrsibl qu conocmos como isipación calor. En fco, oa vz qu circula corrin por la misma s prouc un procso ransformación la nrgía lécrica suminisraa, la cual s isipa n l mio circunan n forma calor. a inucancia y la capacia un circuio lécrico son rsponsabls ponr manifiso las propias almacnamino nrgía lécrica n forma campo magnéico concanao al mismo, o campo lécrico almacnao n l ilécrico circunan al mismo. Dbio a las rlacions vol-ampr ambos lmnos almacnaors l circuio, l quilibrio lécrico srá scrio mamáicamn mian cuacions ifrncials cuyas solucions srán funcions l impo. omo conscuncia llo pomos cir qu la inroucción als lmnos n l circuio posibilia la xisncia los fnómnos ransiorios. D oas formas, cab hacr noar qu las lys y propias gnrals rsulan aplicabls aún cuano las rspusas l circuio rsuln funcions l impo. Tal como sabmos, oa cuación ifrncial pu sr homogéna o no homogéna sgún qu n l sguno mimbro sé igualao a cro o no. En l sguno caso aparcrá n gnral la función xciación rsponsabl forzar la rspusa l sisma. Físicamn llo corrspon a la scripción una volución l sisma n l impo como conscuncia la xisncia un régimn libr o naural o un régimn forzao xciación xrna l mismo.. spusa naural o ransioria a cuación ifrncial srá por lo ano homogéna cuano scrib la volución un sisma qu originalmn nga almacnaa una cira cania nrgía y qu por la acción algún isposiivo, al como una llav, n un ciro insan impo fu jao librao a su propia volución n un impo régimn qu nominarmos libr o naural. a volución naural srá, n gnral para un sisma ral, rlaiva cora uración, por lo qu s nomina ambién régimn ransiorio. El comporamino naural o ransiorio sólo pu pnr las propias inrínscas l sisma caracrizao, y no sá influnciao por la acción la xciación xrna. Ora forma proucir un almacnamino nrgía inrna n la capacia o inucancia, si sas sán originalmn n rposo (o scargaas), s aplicano una xciación cora uración pro con suficin nrgía como para ransfrir sa carga a los lmnos almacnaors. Una vz saparcia sa xciación, l circuio qua librao a su propia volución, scribino l mismo comporamino naural o ransiorio. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 3 FAUTAD EGIONA MENDOZA

4 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO.3 égimn ransiorio y prmann Ora siuación muy frcun s la qu rsula la xciación los sismas físicos mian agns xrnos qu acúan n gnral uran prolongaos príoos impo. a scripción mamáica rspciva srá mian un cuación ifrncial no homogéna. la solución compla in os érminos, una la solución homogéna o régimn ransioria, y la ora paricular o régimn prmann. a solución homogéna s rsulv hacino nula la xciación (igualano a cro la cuación ifrncial). a solución prmann s una solución paricular la cuación ifrncial, y pn furmn la función xciación y las conicions conorno o pariculars l sisma. a inrpración física la xisncia ambas solucions s sncilla. Si consirano qu un sisma sá originalmn n rposo (sin nrgía inrna), o n un ciro sao nrgía; la acción un agn xrno prouc una prurbación más o mnos noabl sobr s sao nrgéico inicial. a racción inicial l circuio srá n gnral oposición a oo cambio sao nrgéico. Pro como caa sisma pos una función rspusa naural propia su srucura inrna, s comporamino naural s pon manifiso cuano l sisma s xciao xrnamn. Sin mbargo, si la xciación rna prmanc, con una aa función l impo, ésa furza al circuio a pasar a un nivl nrgéico isino l anrior. Una vz qu csa la rspusa naural o función ransioria racción, l sisma s sabiliza n l sao nrgéico qu l xig l agn xrno. Por lo ano, para impos pquños omina la rspusa ransioria, pro para impos largos, comparaos con la consan impo l sisma, prvalc la rspusa prmann. Finalmn b noars qu los fnómnos ransiorios aparcn simpr qu s accionan ciros isposiivos qu provocan un cambio n la configuración l circuio, aicionano o liminano sccions l circuio, a ravés llavs, inrrupors, ransisors, c.; o cuano aparcn procsos inspraos, como fallos, corocircuios, c. Esas siuacions configuran una variación brusca n l balanc nrgéico l sisma, por lo qu l sisma busca acuars al nuvo nivl quilibrio, n s príoo coro llamao ransiorio..4 Dominio l impo y omino la frcuncia. omo ya s anicipara, los fnómnos ransiorios aparcn como conscuncia la inroucción lmnos almacnaors nrgía n los circuios. Dbio a las rlacions vol-ampr ano la inucancia como la capacia, las lys quilibrio l circuio bn manifsars mian cuacions ifrncials, cuya solución para la corrin y la nsión srán funcions l impo. omo xciación al circuio pu aparcr cualquir ipo función l impo. Sin mbargo pomos clasificar a sas funcions n os grupos imporans: singulars y arbirarias. Enr las funcions singulars más imporans sá, l scalón, l impulso y la snoial. as funcions arbirarias pun scomponrs como suma las anriors, y por l principio suprposición, raamos noncs a una función arbiraria como suma funcions singulars. uano la xciación s sarrolla como suma impulsos o scalons s ic qu l circuio s snvulv n l ominio l impo. En cambio, si la xciacions son una composición snoials, s ic qu l problma prnc al ominio las frcuncias. os fnómnos ransiorios son problmas qu prncn al omino l impo. En cambio los problmas la corrin alrna prncn al régimn l ominio la frcuncia y solución al sao prmann, pus s supon qu los ransiorios ya pasaron. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 4 FAUTAD EGIONA MENDOZA

5 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO.5 lacions vol-ampr y circuios quivalns Ya vimos n l primr capíulo cuáls ran las rlacions vol-ampr los lmnos pasivos. En l siguin cuaro rsumimos las principals funcions apunano a sablcr los molos quivalns sos lmnos. En las rlacions scripas n la abla s han incluio las rlacions poncia y nrgía. Tabla 3.: Principals rlacions vol-ampr para los lmnos pasivos. Elmno circuial lacions nsión-corrin lacions corrin-nsión i p i i i G i i E i p i W i i E i E i i i I p i i W i i I i i i i i S aprcia qu la corrin n una inucancia, para srá: i I I ; lo qu significa qu la inucancia para no acpa nuva corrin, por llo l circuio quivaln s un circuio abiro (vr abla 3.), si la inucancia sá cargaa, l circuio quivaln para incluy una fun corrin n parallo con l valor la corrin inicial. El hcho qu la corrin n la inucancia sa cro, no significa qu su rivaa sa cro. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 5 FAUTAD EGIONA MENDOZA

6 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO D manra análoga ocurr n l capacior; para srá: E i E, una nsión significa qu s pu rmplazar la capacia por un coro circuio. Si la capacia saba inicialmn cargaa, noncs s agrga n sri un gnraor nsión con l valor inicial (vr abla 3.). Tabla 3.: ircuios quivalns para los lmnos pasivos y almacnaors nrgía para y. Elmno circuial Para, la inucancia s ha cargao y ya no ami ninguna corrin xra, por lo qu srá inifrn a oo nuvo cambio corrin, so implica qu cualquira sa la corrin, sa circulará por l circuio, noncs s pu asociar a un coro circuio. Para l capacior, para un impo muy gran, és no ami nuvas cargas, por lo qu no habrá corrin circulano por sa rama l circuio, noncs lo asociamos a un circuio abiro. Para, ano la corrin inicial Io y la nsión Eo ya s han scargao n l rso l circuio, no aparcino n l circuio quivaln final. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 6 FAUTAD EGIONA MENDOZA

7 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO.5 Aplicación las lys circuials a sismas con lmnos almacnaors nrgía. Al sr las inucancias y capacias lmnos pasivos linals, s aplican oas las lys circuials visas n los capíulos prcns para circuios rsisivos. Eso s, los principios linalia, suproposición, susiución, lys Kirchhoff, ormas Thèvnin y Noron, c., son aplicación gnral, como lo irmos vino n los punos siguins. A moo jmplo, n los circuios la figura 3. siguin s aplicará l concpo corrins n las mallas y n nsions noals. Figura 3. Aplicano corrin n las mallas sobr l circuio (a) qua: i ( ) i i (3.) Aplicano nsions noals sobr l circuio (b) a: i( ) i i i. (3.) En l caso la figura 3. (a) hay una sola malla, n caso xisir oras mallas vcinas, s brá oprar n forma similar a lo viso para rsisncias, s cir s brá rsar la nsión la rama común, xprsaa como rlación vol-ampr la corrin malla vcina. Figura 3. as cuacions mallas srán: UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 7 FAUTAD EGIONA MENDOZA

8 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO i i ( ) i i i i i i (3.3) Para calcular la corrin i o i, ésas s porán rsolvr por rminans, con mayor o mnor ificula. as cuacions malla o noo (3.), (3.) o (3.3) son similars a las planaas para las rsisncias pro ncsariamn incluyn cuacions ifrncials ingrals. En los capíulos sucsivos, vrmos la solución a los mismos. Ahora simplmn s sa nfaizar qu l circuio ya no qua xprsao por mio una o varias consans, por jmplo, la q n los ipolos o los parámros r,r y r n los cuaripolos, sino qu su caracrización implica una función l impo, qu surgirá la solución las cuacions ifrncials..6. Sñals ípicas y funcions singulars. Ans iniciar l análisis mporal los circuios s convin primramn rcorar algunos concpos y finicions sñals, y posriormn ar las principals funcions singulars, las cuals surgn oas las más. Algunas las finicions más usaas son: Sñals rminísicas: Son aqullas variabls qu quan complamn spcificaas para cualquir impo. A x() < < A,B : cs B as sñals rminísicas porán sr coninuas o iscras. Sñals coninuas y iscras: Una función s coninua l impo, si para oo impo xis un valor la variabl. Es, n cambio, iscra, cuano la función sá finia para algunos valors (iscros) la variabl inpnin (p. j. l impo). Pu sr l caso n qu la sñal ha sio musraa sólo para algunos momnos. Para los oros valors, la sñal porá xisir, sr nula, o simplmn no sr inrés. Sñals cuanizaas: Es una variabl coninua, cuyos valors han sio aproximaos o rprsnaos para valors iscros, s cir un númro finio nivls. Sñals prióicas y no prióicas: Son sñals prióicas aqullas variabls cuyo valor la función s rpi, lugo caa prioo T, para oo impo. Eso s, cumpl qu: y() y(t ) Por jmplo, una sñal prióica muy común s la sñal snoial: x() A sin(πf θ), para - < <, on A, f, θ son consans llamaas, ampliu, frcuncia (Hrz:/s) y fas. También s usa la frcuncia angular ω πf (ra/s). El príoo la sñal s T π/ω / f UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 8 FAUTAD EGIONA MENDOZA

9 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO y y sñal Sñal coninua Sñal iscra o musraa y y Sñal cuanizaa y T T Sñal prióica y() y(t ) Figura 3.: Tipos Sñals Sñals o funcions singulars: Dnro la clasificación sñals no prióicas, sán las sñals singulars. Enr llas finirmos, la función impulso uniario, l scalón uniario, y la rampa uniaria (figura 3.3)., < Escalón uniario u - (), s fin como: u (), >, < ampa uniaria u - (), s fin como: u (), > UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 9 FAUTAD EGIONA MENDOZA

10 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO, Impulso uniario u () s fin como: u () u () El scalón, s juno con l impulso la función más imporan n los circuios lécricos. Es scalón rprsna la aprura o crrao una llav. Por mio ésa incorporamos o xramos una scción l circuio, c., lo qu gnra por sí un fnómno ransiorio aapación un nivl nrgía al siguin, como ya s ijo n la inroucción s capíulo. El impulso, s una función uración muy cora y ampliu muy lvaa, pro cuya ingral s uniaria. Esa ára uniaria s obin n un impo infinisimal. a imporancia n finir s impulso surg la ncsia rprsnar fnómnos qu ocurrn n un inrvalo impo muy coro, comparao con la scala l sisma, por jmplo la rsolución los insrumnos mición, y con una ampliu mayor qu los nivls normals nraa al sisma. Es impulso nrga una carga n impo casi insanáno al sisma, sarrollano una salia qu s xin más allá l momno acción l impulso. Así hmos rprsnar la carga los lmnos almacnaors nrgía a ravés la acción un impulso. Esas funcions sán rlacionaas nr sí la siguin forma: u () u () u ( λ) λ u () (3.4) a función rivaa o ingral pu asociars como un ipolo n l qu conin una inucancia o una capacia. Si s rvé sus rlacions vol-ampr (Tabla 3.) la corrin y la nsión sán rlacionaas nr sí por mio la ingral o la rivaa. Por lo ano una inucancia pu sr un circuio ipolo rivaor, si s consira a la corrin como nraa y la nsión s la salia. Análogamn pomos cir l uso l capacior. Exisn algunas rlacions funcionals rspco l impulso qu s imporan rcorar, a parir la finición la ingral l impulso igual a la unia:. Prouco l impulso por una función coninua x() x( )u( ) x( ) (3.5). ambio scala. Si a s una consan, noncs u( a ) u( ) a D aquí s sprn qu l impulso s una función par. Hacino a-, u (-)u () 3. Dsplazamino n. Si splazamos l impulso un impo, suponino a x() una función coninua: x( )u( ) x( ) Hacino τ-, pomos r scribir la cuación anrior como UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA FAUTAD EGIONA MENDOZA

11 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO x ( ) u ( τ) τ x( ) τ Una forma alrnaiva scribir la cuación (3.6) hacino l impo aplicación l impulso como una variabl τ, qua la ingral convolución, qu finirmos más alan nuvamn: () τ u ( τ) τ x() x (3.6) u () impulso uniario (Ára) u - () scalón uniario u - () rampa uniaria Figura 3.3: Funcions singulars UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA FAUTAD EGIONA MENDOZA

12 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO.7 prsnación circuial las funcions a) Función scalón: Un scalón nsión, o un scalón corrin pu consruirs con una fun ial y una llav, como s rprsna n las figuras 3.4 (a) y (b). En l primr caso la llav s cirra para, y n l sguno s abr para. E () () Eu () - (a) i() - I i () Iu () (b) Figura 3.4 b) prsnación un impulso: Una función impulso pu conformars ambién como la rivaa la función scalón. Una función rivaa s pu consruir mian lmnos ó, sgún sa la rlación vol-ampr qu s apliqu (figura 3.5 (a)). c) prsnación una rampa: Ésa s pu lograr mian la ingral l scalón. Nuvamn la función ingral s consruy con lmnos ó sgún la rlación volampr usaa (figura 3.5 (b)). - (a) u () () u - () - (b) Figura 3.5 () u () u () - UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA FAUTAD EGIONA MENDOZA

13 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO.8. onsrucción funcions a aplicación l orma la linalia y la suprposición, prmi scribir una sñal cualquira como una composición sñals singulars. Por jmplo, n la figura siguin 3.6, s ha consruio una sñal cuaraa como la suma impulsos uniarios. x( ) u ( ) u ( ) u ( ) u ( 3) u ( 4 ) Figura 3.6 Una vz consruia sa sñal, la salia qu prouc sa sñal aplicaa al circuio srá la suma las salias caa una las sñals singulars iniviuals. Oras sñals más complicaas pun consruirs con rampas, o impulsos. omo gnralización s procimino, si s scompon una sñal n una suma impulsos, la rspusa a la salia s analiza a ravés la ingral convolución o suprposición. Si n cambio, la sñal nraa al sisma, s scompon n suma funcions snoials, l análisis la salia ará orign a la ingral Fourir. Ambos ipos raaminos s vrán más alan.. Sismas primr orn. ircuios primr orn con nrgía inrna almacnaa Un circuio lécrico con un único lmno almacnaor nrgía qua rprsnao por una cuación ifrncial primr orn. a solución l problma rquir sin mbargo l conocimino l valor sa nrgía inicial, normalmn n forma una corrin almacnaa n una inucancia o una nsión inicial n un capacior. Por lo ano l problma in os pars, a) la solución la cuación ifrncial, b) ar l valor inicial la variabl invsigaa. solvamos l circuio la figura 3.7. En és s aprcia una inucancia cargaa inicialmn con una corrin Io. a cuación ifrncial l circuio s scribirá, sgún ya lo ijimos anriormn, so s: i i (3.7) Nós qu (3.7) sá igualaa a cro, pus no xis xciación aplicaa al circuio. Una vz qu s cirra la llav, l circuio sólo in la corrin almacnaa n la inucancia, ésa cominza a circular, scargános su nrgía a ravés la rsisncia. omo no xis una fun xrna, s ic qu l circuio s librao a su propio funcionamino. a variación la corrin n l impo srá n gnral brv n l impo, srá la rspusa l UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 3 FAUTAD EGIONA MENDOZA

14 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO sisma porqu sólo pn las variabls propias l circuio. Mamáicamn sa función surg rsolvr la cuación ifrncial homogéna (sá igualaa a cro), por lo qu la solución ambién rcib l nombr solución homogéna, naural o ransioria. Para rsolvr la cuación ifrncial 3.7 s proc al méoo sparación variabls: i (3.8) i Ingrano ambos mimbros nr y, corrspon a ingrar i nr i Io ii: i i ( ), i Io log i log Io, (3.9) i Io / Io I (A) Io/ ohm 5 Hnry Tau/.5 s Io A Tau/ Timpo Figura 3.7 Too sisma primr orn nrá una solución l ipo / τ x ( ) A ; (3.) on τ s la llamaa consan impo l sisma. En l circuio sri la figura 3.7 τ/, y A s una consan scala qu rprsna l valor inicial l sisma. Si hacmos, noncs x (. ) A A x omo s v la figura 3.7, la rspusa s l ipo xponncial crcin. Para τ, (3.9) o (3.) qua: Io i( τ ) Io. 37 Io, on prácicamn la sñal ha caío más un rcio. Para varias vcs τ, (>5 vcs) l ransiorio s pu consirar finalizao. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 4 FAUTAD EGIONA MENDOZA

15 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO Analicmos n forma similar un circuio sri con una rsisncia y un capacior cargao con una nsión inicial Eo. Sgún s grafica n la figura 3.8. a cuación ifrncial qu rprsna s circuio s i i i i( ) A / τ i (3.) Vmos qu l ipo rspusa s similar al anrior, quano por finir los valors las consans A y τ. a consan impo τ, y surg comparar los coficins la variabl rivaa y sin rivar n (3.7) y (3.). a consan A b analizars s l circuio quivaln para (figura 3.7 (b)) y n la xprsión 3. : Eo i ( ) A i Figura 3.8. Exciación por impulso... ircuio inucivo onsiramos ahora un circuio primr orn - scargao al qu s xcia con una función impulso. alcularmos cuáno s carga la inucancia y su rspusa ransioria. a cuación ifrncial primr orn qua rprsnaa por u i () i para oo (3.) Para > l impulso u () saparc por lo ano la cuación ifrncial qua: i i para > ; Esa cuación s quivaln a la ya visa n un circuio cargao inicialmn, por lo ano su rspusa srá: i () Io / τ (3.3) on τ/. Qua ahora calcular cuál srá l valor la corrin inicial Io. Para llo analizarmos l circuio quivaln para rs momnos -, y UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 5 FAUTAD EGIONA MENDOZA

16 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO a) El insan - s un momno infiniamn pquño ans qu l impulso sé aplicao. El circuio quivaln corrspon al circuio la figura (b). a corrin s pus no hay xciación. b) El insan s aqul on l impulso sá prsn. a inucancia racciona abriénos y oa la nsión l impulso sá aplicaa n la inucancia (figura (c)). Por lo qu la corrin inucia n la inucancia srá: i ( ) u () () Io ya qu u () (3.4) c) Para l insan, la nrgía l impulso ya s ransfirió a la inucancia, con un valor corrin Io / (figura ()). Finalmn la rspusa oal srá sino la corrsponin al ransiorio un sisma primr orn (vr figura 3. (a)): / τ i() Io / τ (3.5) a suma las nsions la malla la figura (a) srá: -u, por lo ano la nsión n la inucancia, srá: u u / u () () () (); para oo (3.6) Esa nsión s grafica n la figura 3. (b) siguin. Figura 3.9 UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 6 FAUTAD EGIONA MENDOZA

17 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO 6 i() Io/ 5 ohm 3 Hnry Tau/. s Io A () ohm 3 Hnry Tau/. s Io A -.5 (a) Timpo (b) Timpo Figura 3..3 Exciación con una función scalón. Vrmos a coninuación la rspusa ransioria un sisma primr grao xciao con una función scalonaa. En sos casos, la cuación ifrncial l circuio sará igualaa a una función l impo, n s caso la u-(). Al no sar igualaa a cro, su solución srá la suprposición la solución gnral (u homogéna, naural o ransioria) más una solución paricular (o sao prmann). Para rsolvr la siuación paricular s rquir planar corrcamn las conicions conorno l sisma. a cuación ifrncial l circuio la figura 3. srá: i i E (3.7) a cuación (3.7) pu rsolvrs, por jmplo, por sparación variabls. i E / i i Io v vo i E / i v v ; ; ; E / i ln E / Io E v i hacino v i lnv lnvo a solución paricular xig rminar l valor la corrin inicial Io. Ésa s valúa para l circuio quivaln para (figura 3. (b)). DE allí surg qu Io. Enoncs, la solución srá UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 7 FAUTAD EGIONA MENDOZA

18 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO i( ) on E E ( E / / ); s la solución paricular y s la solución ransioria (3.8) El valor i E/, la solución la sao prmann, s ambién la solución para l circuio quivaln para, sgún s v n la par (c) la figura 3.. a nsions n la rsisncia y la inucancia srán simplmn: i( ) E( i E / E ); / (3.9) Figura 3. a figura 3. musra los valors las corrins y nsions para l circuio xciao con la función scalón. a corrin n la inucancia s hac asinóica a su valor final a mia qu pasa l impo, ya qu n l infinio, la inucancia ya no in posibilia sguir raccionano, s cir almacnar más corrin, y por lo ano s hac inifrn a cualquir corrin. Esa racción s rprsna n la nsión l, qu va nino a cro. Nós amás, qu minras qu la corrin inicial s, su rivaa no lo s, rcuérs qu i. Ora forma analizar la rspusa al scalón s parir la rspusa al impulso. corano qu l scalón s la ingral l impulso, la rspusa al scalón s la ingral la rspusa al impulso. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 8 FAUTAD EGIONA MENDOZA

19 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO Si la rspusa al impulso uniario n un circuio - s (vr cuación 3.5) / τ / τ i( ) Io Sismas primr orn i() E() E() i(),() ohm H Tau/.4 s E V E E/ Timpo Figura 3. a rspusa a un scalón uniario srá: / / / i( ) scalón ( ); (3.) la rspusa a un scalón valor E srá E vcs (3.): E / i( ) scalón ( ), (3.) qu coinci con l valor obnio n (3.8). D forma análoga a lo anrior, s pu valuar l circuio primr orn - la figura 3.3. Su cuación ifrncial srá: i i Eu ( ) (3.) a solución l circuio pu analizars como una suma os solucions, la solución homogéna más la solución paricular valuaa a la luz las conicions conorno. a solución homogéna s rsulv igualano la cuación ifrncial 3. a cro: i i (3.3) UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 9 FAUTAD EGIONA MENDOZA

20 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO /( ) a cuación (3.3) in como solución, sgún 3., i( ) rans. i, como ya s vió anriormn para valuar i s b suiar l circuio quivaln para (figura (3.3 (b)). D allí s v qu i E/. Por lo ano la rspusa ransioria u homogéna s: E /( ) i( ) rans. (3.4) Figura 3.3 Sisma con xciación scalonaa 6 () () i() 5 i(), () 4 3 E E/ ohm.5 F Tau s E5 V E/.5 A Timpo Figura 3.4 UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA FAUTAD EGIONA MENDOZA

21 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO a solución prmann o paricular s valúa analizano la corrin para. Usano l circuio quivaln la figura (c), s obin i prm ( ). Por lo ano la solución compla srá i compl i prm i rans E i( ) a nsión n la rsisncia y la capacia srá: /( ) compl (3.5) i( ) E E / ; E( /( ) ) En la figura 3.4 s rprsnan las nsions y corrins corrsponins. En ésa s aprcia qu la nsión n l capacior s va cargano hasa qu su valor va nino a E. Por lo ano la corrin va isminuyno a mia qu l impo in a infinio..4 Exciación con una función snoial. Vamos a hora un sisma primr orn - xciao con un gnraor nsión snoial. a figura 3.5 rprsna l circuio corrsponin. a cuación ifrncial qu rprsna la corrin s: i i E sin w u ( ) (3.6) Al sr una cuación ifrncial compla, la solución srá la suma la ransioria más una solución paricular o sao prmann. a solución paricular s obin igualano a cro la cuación ifrncial, obniénos, como ya hmos viso la solución ransioria (3.3) i( ) rans A / (3.7) Figura 3.5 a solución prmann o paricular s pu obnr, por jmplo, suponino una solución y lugo rmplazar n la cuación ifrncial (3.6) para vr su vrificación. Es méoo, aunqu parzca arbirario, s usa spcialmn n aqullas funcions qu cumpln la conición qu su rivaa o ingral an una función similar pro con consans isinas. Es s l caso para las funcions xponncials y snoials. Para l caso la solución UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA FAUTAD EGIONA MENDOZA

22 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO supusa, la función snoial, ano su rivaa como su ingral an ora función snoial la misma frcuncia, pro con ora fas y ora ampliu. Esa propia a orign al nominao régimn o ominio la frcuncia, como ya s xplicó n la inroucción al capíulo y s vrá n capíulos sucsivos. Enoncs una solución paricular srá: su rivaa srá: i( ) prm B cos w B sin w, (3.8) i prm B wsin w B w cos w, (3.9) rmplazano (3.8) y (3.9) n (3.6) para vr si vrifica sr una solución la cuación ifrncial: ( B wsin w B w cos w ) ( B cos w B sin w ) E sin w sin w( Bw B E ) cos w( Bw B ) Si la propusa s una solución, noncs b cumplirs qu para oo, los parénsis san igual a cro. Por lo ano: Bw B Bw B E o sa B B we ( w ) E ( w ) Por lo ano la solución al sao prmann srá: i we E ( ) cos w sin w (3.3) prm ( w ) ( w ) a solución compla srá la suma la ransioria (3.7) y la anrior (3.3): / we E i( ) A cos w sin w ( w ) ( w ) El valor la consan A s obin analizano l circuio quivaln para. Ya qu i(), noncs: E i( ) A ( w ) ( w ) we A ( w ) a solución final srá: we / E i( ) ( w cos w sin w ) (3.3) ( w ) ( w ) UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA FAUTAD EGIONA MENDOZA

23 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO S aprcia noncs qu la corrin qu circulará n l circuio s ambién l ipo snoial, la misma frcuncia, pro con ora fas. lamano : Ew A ( w ) ; E B ( w ) ; A B E ( w ) ; θ g B g A ( w ) i( ) A / cos( w θ ) Nós qu n sa xprsión, l primr érmino xponncial saparcrá lugo varias vcs τ/, quano sólo la solución snoial. 6 4 Exciación snoial sobr un circuio - i() nraa () Ω.5 Hy ω Hz E5 V i(), () Timpo Figura 3.6 a figura 3.6 musra un jmplo la corrin salia. En lla s compara la nraa () con la salia i(). Nós qu l circuio prouc sólo un sfasaj sobr la nraa, pro la frcuncia s manin consan. Únicamn para los primros sgunos s aprcia un cambio pnin la corrin rspco la nsión, pro lugo, n l sguno ciclo prácicamn la salia sigu a la nraa. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 3 FAUTAD EGIONA MENDOZA

24 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO 3. Sismas sguno orn Uno los principios básicos la nauralza s l principio consrvación la nrgía. Es principio sablc qu la nrgía pu cambiar su forma manifsación pro l balanc no prmanc consan. En los sismas sguno orn aparcn os lmnos almacnaors nrgía y un lmno isipaor l mismo. a nrgía pusa n l sisma va alrnano l almacnamino nrgía n forma campo magnéico a nrgía n forma campo lécrico infiniamn hasa qu s consuma oalmn n forma isipación calor n la rsisncia. Es paso un ipo nrgía a la ora s l principio básico las onas lcromagnéicas qu l prmi abanonar l circuio. Una vz qu la nrgía abanona la fun misión, ésa viaja n forma inpnin, aún cuano l misor pua habrs apagao. Es s l caso, por jmplo, una srlla qu miió una aa nrgía lcromagnéica, y s rcibia muchos años luz más ar por un lscopio, ignorános si n l prsn sa srlla aún xis. os sismas sguno orn quan rprsnaos por una cuación ifrncial sguno orn, cuya solución, algo más complja qu los sismas primr orn, ambién s solucionarán como una suprposición una solución homogéna, ransioria o naural y una solución paricular o sao prmann. Primramn analizarmos, siguino l mismo principio viso n los sismas primr orn, aqullos sismas orn qu inn nrgía almacnaa inicialmn. Eso nos prmiirá suiar n all la rspusa naural o ransioria. Posriormn suiarmos su xciación con un scalón, para analizar la rspusa al sao prmann. En los sismas grao, aparcrán os consans qu brán sr valuaas n l circuio a ravés las conicions inicials. Esas consans rprsnan la nrgía almacnaa inicialmn n l capacior y n la inucancia. En sos casos obsrvarmos n l circuio no solo l valor la variabl (corrin o nsión) para sino ambién su rivaa. Para los circuios xciaos con una función scalón, brá valuars una rcra consan qu rsponrá al valor la variabl n l sao prmann, n sos, casos, valuarmos al circuio para. 3. Exciación por nrgía almacnaa inrnamn a solución naural un sisma sguno grao xciao inicialmn porá nr n gnral varios ipos rspusas, s una xponncial amoriguaa a una rspusa oscilaoria. Vrmos sas solucions posibls. El circuio la figura 3.7 rprsna un sisma -- cargao inicialmn con una corrin Io n la inucancia y una nsión Eo n l capacior. a cuación ifrncial orn homogéna qu rprsna la corrin l circuio s: i i i (3.3) rivano mimbro a mimbro: i i i UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 4 FAUTAD EGIONA MENDOZA

25 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO Figura 3.7 a solución naural un sisma orn, pu suponrs como una suma os solucions xponncials primr orn arbirarias: p p i( ) A A (3.33) Si s solución, b vrificars n la cuación ifrncial (3.3), para llo calculamos la rivaa primra y sguna (3.33): i p p A p A p (3.34) i p p A p A p mplazamos la solución propusa, su primra y sguna rivaa n la cuación ifrncial: p p A ( p p ) A ( p p ) p p como A y A no bn sr, noncs los parénsis bn sr nulos. Eso pu vrs como un polinomio n p sguno grao, qu in os posibls raícs p y p : p p p, ± ( ) ; o ambién (3.35) p, α ± α ω on α s una consan amoriguación y ω s la frcuncia naural oscilación l sisma. α y ω (3.36) por lo ano la solución naural (3.3) propusa s una solución la cuación ifrncial orn. En sa solución aparcn las consans impo p y p, qu acaban sr valuaas mamáicamn y pnn las consans - y l circuio. Pro aún rsan valuar cuáno valn las consans A y A. Para valuar sas consans, bmos n principio usar las conicions conorno o inicials calculaas arriba, s cir la variabl y su rivaa para y obsrvar su valor n l circuio. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 5 FAUTAD EGIONA MENDOZA

26 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO Sin mbargo si s suia l valor p y p n (3.35) acuro al valor qu aop n caa caso la raíz cuaraa, ésa porá sr mayor, igual o mnor qu cro. En s úlimo caso s gnra un númro imaginario. Es por so qu sgún sa α rspco ω srán rs las posibls solucions, y por lo ano isinos los valors A y A. Enoncs, si α > ω la solución srá sobramoriguaa; si α ω la solución nrá un amoriguamino críico y si α < ω la solución srá subamoriguaa. 3.. Solución sobramoriguaa. En l caso sobramoriguao, si α > ω, por lo ano p y p son raícs rals y ngaivas. En s caso la solución srá la suma os xponncials como n (3.33). p p i( ) A A on bn finirs las consans A, A ya qu p y p s xpliciaron n (3.35) y (3.36). Para calcular las consans A y A s ncsario uilizar las conicions conorno la variabl invsigaa, n s caso la corrin y su rivaa n. D acuro al circuio la figura 3.7 (a) y (b), las conicions inicials son: i ( ) Io; Eo Enoncs, para la cuación 3.3 srá: i( ) Io Eo (3.37) i( ) Eo Io on lo cual qua calculao l valor la corrin y l su rivaa para. Hacino i, para i() y para n las cuacions (3.34) y (3.35) qua: i( ) Io A A Eo Io (3.38) i' ( ) A p A p D on pun calculars los valors A y A sgún san los valors Eo, Io, y. Es cir, por un lao s ha obsrvao n l circuio quivaln para los valors inicials, y y s los compara a la solución y su rivaa ambién para. Ya qu n l circuio la figura 3.7, no hmos finios valors numéricos, y a fin simplificar la mamáica la solución, pro sin prr gnralia, vamos a suponr qu Eo Io K. En al caso l jugo cuacions (3.38) qua: i( ) Io A A i' ( ) K A p A p on spjano A y A a: Iop K K pio A ; A p p p p rmplazano A y A n la solución srá: i UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 6 FAUTAD EGIONA MENDOZA

27 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO Io p K K Io p (3.39) p p p p p p i( ) Sismas sguno orn. Sobramoriguao. orrin i() [A] 4 3 -/p 7. Io Eo 5 α 3.5 wo 3.65 /p -.5 /p -. i() érmino A érmino A /p -3 Timpo Figura 3.8 En la figura 3.8 s aprcia qu la rspusa ransioria o naural s la composición os xponncials crcins ifrn consans impo (-/p ) y (-/p ) Solución críica a solución críica s obin cuano la consan amoriguación si α s igual a la frcuncia naural ω. En al caso qua qu p p. Dsarrollano la solución propusa n (3.39) s obsrva qu los érminos con facors K s anulan por sr iénicos los xponns: Io p p K p K p Io p p i( ) p p p p p p p p p p i( ) p p p p Io p Io p (3.4) Sin mbargo n 3.4 los nominaors s hacn cro al sr p p. Para salvar sa inrminación, vamos a suponr qu p p δ, y lugo harmos δ. a xprsión (3.4) s rscrib como: p i( ) p p p p δ δ δ ( p δ p Io p δ p p δ p δ ) UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 7 FAUTAD EGIONA MENDOZA

28 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO El xponncial δ, lo sarrollarmos n sri como ( δ ), noncs p i( ) p p δ p p δ ( p δ p( δ )) ( ) Io δ δ Hacino nr δ, y rcorano qu para s caso p α, noncs la solución naural srá: i( ) α ( α ) Io α i( ) ( Io Ioα ) En gnral la solución críica naural o ransioria para un circuio -- srá: α i( ) ( A A ) (3.4) Y acuro al caso paricular brá valuars las consans A y A a parir las conicions conorno l circuio para, valuano la variabl y su rivaa para. En la figura 3.9 s prsna una solución críica ( 6.345) (n razo más oscuro) y s lo ha comparao con una solución sobramoriguaa ( Ω) n razo gris, cuyo único cambio fu l moificar l valor, y jano y consans. Sismas sguno orn. Amoriguamino críico orrin i() [A] Io Eo -3 α 3.65 w o 3.65 i() sobram. i()críico Timpo Figura Solución subamoriguaa Para l caso n qu α < ω la solución naural s l ipo subamoriguaa. En s caso los coficins p y p srán compljos conjugaos, así: p, α ± α ω α ± j ω α α ± jω p α jω (3.4) p α jω UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 8 FAUTAD EGIONA MENDOZA

29 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO rcormos qu α s la consan amoriguamino, ω s la frcuncia naural y ω s una frcuncia amoriguaa por la rsisncia. Sino α para un circuio sri, α para un circuio parallo, ω y ω j ω α. Si rmplazamos sa solución n (3.4) o (3.39) si hacmos K, s cir suponmos como conicions inicials qu i()io i () srá: i( ) p p p p α ω α jω α ω α jω Io p p p p jω jω α jω jω jω jω [ α( ) jω ( )] i( ) Io jω Usano las siguins igualas rigonoméricas: jθ jθ jθ cosθ ; sinθ j y rmplazano n la xprsión anrior: i( ) α α sinω cosω Io ω Ora forma xprsar sa solución s nr n cuna qu: α ω sinθ; ω ω cosθ la xprsión (3.43) pu rscribirs como: i( ) ω α cosω cosθ sinω sinθ Io ω ω i( ) Io ω ( ) α jθ ( cosω cosθ sinω sinθ) (3.43) (3.44) Sismas sguno orn. Subamoriguao. xp orrin i() [A] ().5. Io Eo 3 α.5 w o 3.6 w.9 ().. Io Eo 3 α.5 wo 3.6 w Timpo Figura 3. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 9 FAUTAD EGIONA MENDOZA

30 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO Esa xprsión pu gnralizars para cualquir conición inicial hacino: α i( ) ( A cos ω A sin ω) (3.45) En forma análoga a lo viso n (3.3) la xprsión (3.44) pu ponrs la suma un cosno más un sno la misma frcuncia, pu ponrs como un cosno y una fas: ω α i( ) Io cos( ω θ) (3.46) ω En la figura 3. s aprcian os casos solución subamoriguaa. Nós qu l caso (), rprsnao con razo ngro, la.5 Ω; n cambio n l caso (), lína gris grusa, s ha isminuio la rsisncia a Ω. A mia qu isminuy la amoriguación, al isminuir, la ampliu las oscilacions aumna, y corano al j l impo ans qu n l caso anrior. on razo fino gris s ha rprsnao la xponncial -α qu amorigua la sñal snoial y cosnoial. 3. spusa a una xciación impulsiva 3.. ircuio -- sri Al igual qu n los circuios primr orn, una forma cargar inicialmn los lmnos almacnaors nrgía s aplicar un impulso al circuio orn. Una vz cargao, la rspusa naural srá la misma qu ya s vió n l aparao anrior. Es cir, acuro a los valors las consans α y ω, s obnrá algunas las rs rspusas analizaas. a única ifrncia sriba n l sconocimino l valor aquirio corrin inicial n la inucancia y /o la nsión inicial n l capacior. Figura 3. UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 3 FAUTAD EGIONA MENDOZA

31 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO Al igual qu lo viso n l puno.., para -, l circuio sá n rposo, para l impulso sá acivo y la inucancia s abr y oa la nsión l impulso rca sobr ésa. Para l impulso saparc, y la inucancia qua cargaa inicialmn. a corrin inicial n la inucancia srá (vr figura 3.9 y Ec. 3.4) i ( ) u ( ) Para, la nsión n la rsisncia y la inucancia srán: i( ) ; ; a rivaa la corrin i () srá: i( ) ( ) i ( ) Una vz qu s conocn las conicions conorno i() i (), s pun calcular las consans A y A, sgún sa l caso sobramoriguao, críico o subamoriguao. Si l impulso nsión aplicao no s uniario y in un ára A, noncs las solucions srán: a) Sobramoriguao: A p p i( ) p p ; α ω para ( ) > b) ríicamn amoriguao A α i( ) ( α) ; para > c) Subamoriguao A ω α i( ) cos ω θ ; θ cos ω ω ω ( ) ; para > 3.. ircuio -- parallo En forma análoga pomos analizar cuál srá las conicions inicials carga an un impulso corrin n un circuio -- parallo (vr figura 3.). a cuación ifrncial s pu scribir aplicano nsions noals: u ( ) (3.47) Para <, l impulso no sá prsn, noncs pomos igualar a cro la cuación ifrncial. Si rivamos ambos mimbros qua: UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 3 FAUTAD EGIONA MENDOZA

32 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO α ω ; iviino oo por α ; ω (3.48) Figura 3. Pusa sa forma la cuación ifrncial nsión, nrá l mismo ipo rspusa qu las visas anriormn para la corrin n un circuio sri, sólo qu l valor α s isino. Sino las rspusas para los rs casos, sobramoriguao, críico o subamoriguao, quan calcular sus consans A y A, para lo cual bmos rminar las conicions conorno () y (). Para l impulso corrin qua aplicao sobr l circuio, la inucancia s abr, pro l capacior s un coro, por lo ano oa la corrin circula por la capacia. a nsión n srá: ( ) u( ) a corrin n las ramas la y srán: ( ) i ; i ; i Finalmn la rivaa la nsión n srá: ( ) i ( ) ( ) on las conicions conorno conocias pun calculars las consas A y A, acuro a como sa α y ω. Si l impulso corrin in un ára A, s porá obnrá algunas las rs rspusas siguins: UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 3 FAUTAD EGIONA MENDOZA

33 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO a) Sobramoriguao: A p p ( ) p p ; α ω para > ( ) b) ríicamn amoriguao A α ( ) ( α) ; para > c) Subamoriguao Aω α ( ) sin ω θ ; θ cos ω ( ) ; para > 3.3 spusa a una función scalón ω ω a rspusa un sisma sguno orn xciao por una función scalón, consis n la suprposición os rspusas, una qu corrspon al ransiorio, y la ora para l sao prmann. omo ya s ha rfrio n oras oporunias, para obnr la rspusa gnral, bmos valuar las consans usano las conicions inicials (o conorno) l circuio ircuio -- sri Supongamos l circuio sri la figura 3.3, y s sa obnr la nsión n l capacior. Una forma rsolvr s problma s primro calcular la corrin l circuio sri. Figura 3.3 UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 33 FAUTAD EGIONA MENDOZA

34 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO a cuación ifrncial un circuio sri srá: i y lugo obnr la nsión hacino i Eu ( ), (3.49) i E u ( ) i Sin mbargo, ora forma s rmplazar la corrin l capacior i n la cuación ifrncial: i a cuación ifrncial la nsión n los borns l capacior srá: E u ( ), (3.5) a xprsión (3.5) s ambién una cuación ifrncial sguno orn, qu pu sr rsula sgún las formas xprsaas n los punos anriors. as conicions inicials () srán la nsión n l capacior y su rivaa. Si l capacior sa scargao, noncs ésas srán: ( ) ( ) i ( ) ( ) a conición a sao prmann para, n l circuio la figura srá ( ) E Así, para rminar qu ipo rspusa srá, bmos valuar α y ω. Sino α para un circuio sri, ω y ω j ω α. Una vz rminaas las conicions conorno, s lig l ipo solución la cuación ifrncial y lugo s buscan los valors las consans A, A y B. En s caso, al buscar la nsión l capacior srá: a) Sobramoriguao: p p ( ) A A B b) Amoriguamino críico ( ) α ( A A ) B c) Subamoriguao α ( ) ( A sinω A cosω ) B α ( ) A on B ( ) [ cos( ω θ )] B Supongamos qu n l circuio la figura 3.3, sa, y, E. Enoncs 3 α ; ω ; ω ω α. 866; ( ) UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 34 FAUTAD EGIONA MENDOZA

35 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO Por lo ano la solución s ipo subamoriguaa, sino su solución: ( ) / ( A sin. 866 A cos. 866 ) Aplicano las conicions conorno, y rivano la solución para qua: ( ) / / (. 866A cos. 866 A. 866 sin. 866 ) ( A sin. 866 A cos. 866 ) ( ) A ' ( ). 866 A. 5 A ; allí qua qu A A Por lo ano la solución final srá; / ( ) ( sin. 866 cos. 866 ) Si n vz la nsión s hubis calculao la corrin, brmos rsolvr i() n l jugo cuacions (3.49), pro bn cambiars las conicions inicials (), () y ( ), por i(), i () y i( ). En s caso la solución gnral para la corrin sría: a) Sobramoriguao: E p p i( ) ; α ω para > ( ) b) ríicamn amoriguao E α i( ) ; para > c) Subamoriguao E α i( ) sin ω ; ω para > ( ) 3.3. ircuio -- parallo Para un circuio -- parallo (vr figura 3.4). a cuación ifrncial s pu scribir aplicano nsions noals: E u ( ) (3.5) El ipo solución a la nsión l parallo pnrá las rlacions nr las consans α y ω y usano las conicions conorno, s calculan las consans A, A y B. as solucions gnrals son a) Sobramoriguao: p p ( ) A A B b) Amoriguamino críico ( ) α ( A A ) B UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 35 FAUTAD EGIONA MENDOZA

36 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO c) Subamoriguao α ( ) ( A sinω A ( ) A α [ cos( ω θ )] B cosω ) B on B ( ), y sino α para un circuio sri, ω y ω omo s pu vr las cuacions son iénicas al l circuio sri, sólo qu cambian las conicions pariculars. j ω α. Figura 3.4 Si aplicamos un gnraor corrin I, como n la figura, sas solucions s convirn n: a) Sobramoriguao: I p p ( ) ; α ω para > ( ) b) ríicamn amoriguao I α ( ) ; para > ( c) Subamoriguao I α ) sin ω ω ( ) para > UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 36 FAUTAD EGIONA MENDOZA

37 TEOÍA DE OS IUITOS I APÍTUO 3 EV. 9/4/8 S. ENIQUE PUIAFITO Supongamos, por jmplo, qu s sa calcular la corrin n la inucancia, con los siguins valors:, y, I. Enoncs 3 α ; ω ; ω ω α. 866; i( ) Por lo ano la solución s ipo subamoriguaa, sino su solución: i( ) / ( A cos. 866 A sin. 866 ) Aplicano las conicions conorno, y rivano la solución para qua: i ( ) / / (. 866A sin. 866 A. 866cos. 866 ) ( A cos. 866 A sin. 866 ) i( ) A ; allí qua qu i' ( ). 866 A. 5 A A A Por lo ano la solución final srá; / i( ) ( cos sin. 866 ) UNIVESIDAD TENOÓGIA NAIONA 37 FAUTAD EGIONA MENDOZA