Universo de Einstein. k=1 curvatura positiva k=0 universo plano k=-1 curvatura negativa

Transcripción

1 3 ( & % 8 ( % E & #! * G) & # ' $ 3 ' $ Para l caso rlativista, la cuación s, l Univrso. Notar qu k lgimos las unias Univrso Einstin La nrgía n l campo grava Nwton s, 3 ( & % 8 ( % kc " c & #! * G) & #! + ' $ 3 ' $ 3 Aquí, k s la constant qu trmina la curvatura sólo aparc n l término iviio por, qu no s un obsrvabl. Por lotanto tal qu k 1,,! 1 La otra variabl nuva s!, la Constant Cosmológica. Es como un término prsión qu prov una furza rpulsiva (ó atractiva) qu s irctamnt proporsional a la istancia. &&! nuva k1 curvatura positiva k univrso plano k-1 curvatura ngativa

2 En l Univrso rlativista la istancia ntr os puntos co-móvils no s simplmnt s u x + y + z Don la istancia total s obtin intgrano a lo largo l camino. En l spacio-timpo, l intrvalo ntr os puntos s, s c t! u Ahora, l camino b sr intgrao n ambos, spacio y timpo. En un spacio n xpansión la istancia spacial ntr os puntos s u, on s la scala l tamaño l Univrso n l momnto la mia. D tal forma qu La istancia ntr os puntos s, s c t! u Esto s la métrica obrtson-walkr Notar qu para la luz s

3 El Univrso pu no sr plano. En tal caso bmos moificar la métrica, En coornaas Cartsianas u x + y + z En coornaas Cartsianas Esféricas u u # pro sto supon spacio plano. Si l spacio s curvo, ntoncs # 1$ k# + # + # " " + # + # sin sin "! "! k1 curvatura positiva, spacio líptico, E<, q>1/ k univrso plano, coornaas sféricas normals k-1 curvatura ngativa, spacio hiprbólico, E>, q<1/

4 Si k Solucions para un Univrso Frimann con Λ La primra cuación Einstin Campo s, * & ' 8 * ' ( " G! % % $ ( ) & 3 ) & Consirmos #. & 8 " G! kc $, l spacio s Eucliano, la c.qua y # c + 3 6" G! t TAEA Para un Univrso crrao, mostrar qu l Hubbl s, c sin! H a (1 " cos! ) parámtro Si k 3 * & ' 8 * ' kc ( " G! % $ % $ ( ) & 3 ) & hay qu scribirla paramétricamnt, ( # ) a(1 $ cos# ) t( # ) on +, la solución, k 1 (crrao) a c (# $ sin# ) a 4" G! 3c 3 k $ 1(abirto) ( # ) a(cosh# $ 1) t( # ) a c (sinh# $ # )

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6 Distancia propia cosmológica Hay varias formas mir istancias n astronomía: Distancia Luminosa: Comparano flujo obsrvao con mitio y usano la ly 1/r Distancia angular: S mi l tamaño angular l objto y s compara con l tamaño físico ral. Distancia moviminto propio: Si conocmos la vlocia l objto, pomos mir su istancia obsrvao su moviminto n l cilo. Distancia paralajs: Miino l paralaj un objto, por trigonomtría obtnmos su istancia En cosmología, caa una las istancias antriors tin una pnncia ifrnt con H, q, y z.

7 Calculmos la istancia propia qu un haz luz cubr n su camino un objto n coornaas co-móvils u mitio n t 1 a un objto n u n t. Partamos obrtson-walkr. s c t $ u %! & c t $ ' +! " +! sin " # ( ) 1$ k! * Para l viaj la luz, s, y, ya qu la luz viaja raialmnt, " #. Entoncs -W métrica s, % &! c! c t ' + t ( 1$ k! ) * 1$ k! La istancia propia ntr ( u, t1 ) y (, t ) s aa por, t1 c! t Notar límits t 1 u $ k! 3c c 1 3 Si k, y si usamos at + t $ t1 u a a cormos la finición rshift 3 1 at 3 t1 1 at, t - (1 + z). / 1 3

8 Con sto la solución toma la forma, 3c 1 u t 3 { } 1! 1+ z a! 1 Si notamos qu & at 3 3 c u { 1! 1 + z} & & usano la finición H, c { } p u 1! 1+ z H Para l caso gnral, con " c p q z + q! q z +! H q (1 + z) % & { } ( 1) # 1 1$

9 Distancia Luminosa La mayoría las istancias n cosmología s basan n la ly 1/r. Sin mbargo, hay otras consiracions qu hacr para objtos a istancias cosmológicas. El flujo n fotons por unia timpo, mitio por una funt a rshift z, s: F El valor n! h" t Por otro lao, l flujo obsrvao s, p f s la istancia qu rcorr l fotón, s cir, la istancia propia. cormos, " fotons! nrgía timpo n! h" o t " o /(1 + 1! z)

10 Notmos qu t # hay ilación timpo, i.. mimos los rlojs la funt más lntos, i.. t " t t : ya qu la funt s muv, 1! 1! ( v c) Amas, l intrvalo ntr pulsos s mirán más largos, ya qu la istancia ntr nosotros y la funt aumnta.(un sguno pulso tnra una mayor istancia qu rcorrr.) Est timpo xtra s, t t ( v c) ( v c)

11 t f + " t t nh# t La istancia ! ( v c) ( v c) Por lotanto, t Entoncs, nh# t o propia z) t 1 (1 + z) por ( ! z) 1 ( v c) ( v c) tnmos qu, F (1 + z) (1 + 1 z) luminosa s rlaciona con la istancia L p t (1 + t p

12 Distancia a partir l Diámtro Angular Consirmos una galaxia con un tamaño angular r a rshift z. En gomtría ucliiana normal istancia 1/θ. Sin mbargo, n un univrso rlativista n xpansión sto s istinto. Partamos la métrica -W. c t ' s c & * % $ 1' k* t ' + * u ) + *! sin r A ) ( # "! θ r

13 Si la galaxia stá n l plano l cilo, la istancia raial n ambos laos s la misma. Por lo tanto, ξ. D la misma forma, ya qu ambos laos la galaxia s obsrvan al mismo timpo, t, y la sparación ambos laos s s s. Elgimos nustro sistma coornaas tal qu l ángulo qu subtin la galaxia s too n θ, tal qu φ. Entoncs, s! u! # " o, si lgimos las coornaas tal forma qu" s positiva, liminano y sustiyuno por cormos istancia propia, A En otras palabras, " (1 + z) s # (1 + z) ntoncs,! 1 s s(1 + z) " # # p # u s(1 + z) " p L (1 + z)!

14 Brillo Suprficial Vamos como varía l brillo suprficial una galaxia n función l rshift. Partamos un análisis imnsional, f # $ on f s l flujo obsrvao, y $ l tamaño angular.como f s rlaciona al flujo intrínsco, F a través L, y $ por tamaño ral, r, ntoncs, # F L " r A F r (1 + Es cir, l brillo suprcial isminuy rápiamnt con rshift. z)! 4 A al

15 Elmnto Volumn Cosmológico V r sin! r! " Las variabls! y " son inpnints la cosmología. Ya qu la cáscara volumn s concéntrica con la Tirra, l raio vctor, r, s la istancia iámtro angular. Amás, scribamos l lmnto volumn con z, r V ra sin! z! " z notamos aquí qu r cambia con z, hay qu usar la istancia propia y no la istancia iámtro angular. Usamos u, Para calcular l lmnto volumn, partimos la métrica -W, s c t # u lo qu para la luz s, ct u Buscamos la rlación ntr u y z, θ V r r u

16 ! t "! "! "! 1 " 1 t # $# $ # $# $ % &% & % & &% & H amas, (1 + z) ' ( z (1 + z) Esto nos qua, c c c 1 u ct ( z ( z H H (1 + z) H (1 + z) lacionmos H a H. Consirmos un univrso crrao, c sin) H sin) (1 ( cos ) ) H ' a (1 ( cos ) H sin) (1 ( cos ) H sin) D la fórmula.3, ' (1 + z) H sin) sin) q z + 1 H amas, ' q z + 1(1 + z) sin ) (1 + z) H ntoncs, c 1 cz r u ( z ( H (1 + z) H q z + 1 *(1 + z) c V ra sin) z) + H q z + 1 *(1 + z)

17 Cosmología con Constant Cosmológica Los molos univrso inflacionario xplican, ntr otras cosas, muy lgantmnt, la homognia l fono micro-onas. Est molo implica un Univrso plano, i.. k. Sin mbargo, la mayoría las obsrvacions inican Ω<1. Más aun, si H 7 Km./s/Mpc, Ω1 implica una a t 9 Gyr. Estos os argumntos, amás las obsrvacions Supr Novas Ia, sugirn la xistncia una constant cosmológica. Si hay una constant cosmológica (nrgía l vacío), las cuacions básicas para istancia y timpo cambian un poco. Consirmos las cuacions campo Einstin Para tnr un Univrso plano, sin constant cosmológica, la nsia crítica matria b sr, Si Λ s istinta cro, la nsia para un Univrso plano s mnor,

18 Ya qu la nsia crítica s una cantia no muy clara, lo qu comúnmnt s hac s finir trs nuvas variabls. con Notar qu Ω M, Ω Λ y Ω k son a-imnsionals. Vamos l significao caa término: Ω M s la nsia nrgía la matria Ω Λ s la nsia nrgía la constant cosmológica Ω k nsia falsa qu scrib cuan istinto s l Univrso plano. Univrso inflacionario Ω k, y Ω M + Ω Λ 1 Volvino a la cuación - Multiplicano por 1/H

19 O, spués iviir por ( /), Finalmnt, si sustituimos por Ω k, y hacmos x /, obtnmos, Esta cuación scrib al Univrso n función trs constants, H, Ω M y Ω Λ. D sto (con un poco álgbra), s uc q.

20 Lookback tim con Λ. x! 1 1+ % M! 1 + %" ( x! 1 ) con x (1 + z) ( ) ( ) # 1 $ # $ # 1 $ & ' & ' & ' ( H ) t x Esto a, Esto s una intgral numérica, a no sr qu " o " + " 1! M! Si "! crc l nominaor crs. Esto significa qu # t aumnta. Lo qu ayua con l problma la a l univrso. Aproximaamnt, la a total l univrso con! s, on Notar qu si! a > 1, l snh s rmplaza por sn y s an vulta los signos. Notar qu si! 1, la cuación s xacta. a

21 Distancias Cosmológicas con Λ Consirmos la métrica obrtson-walkr, y La luz viajano por un camino raial. Arrglano términos y usano la cuación antrion para z/t, tnmos La mano rcha la cuación qua, -1 Para! k < 1 (y snh ( u) para! k < 1). Entoncs,

22 Lo qu a, 1 1 z {( ) ( ) ( )} 1! #% $ % p & k snh ' & + k 1+ z 1+ & M z! &" z + z z( %) %* (o con sn si " k >.) Notar qu sta cuación no tin solucion analítica si " # ó " + " # 1.! M!