CUANTO TARDA UNA PELOTA EN DEJAR DE BOTAR? Guillermo Becerra Córdova. Área de Física, Dpto. Preparatoria Agrícola, Universidad Autónoma Chapingo,

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1 CUANTO TARDA UNA PELOTA EN DEJAR DE BOTAR? Guillrmo Bcrra Córdova Ára d Física, Dpto. Prparatoria Agrícola, Univrsidad Autónoma Chapingo, Chapingo, Txcoco, Estado d México, México, RESUMEN Alguna vz s ha prguntado: cuánto timpo tarda una plota n djar d botar al sr soltada dsd una cirta altura? La solución a sta intrrogant involucra los tmas d caída libr y colisions lásticas, lo qu incluy los concptos d rapidz, aclración d la gravdad y coficint d rstitución. Así, la rapidz con la qu rbotará la plota dpndrá dl valor d la rapidz con la qu llgu al sulo y dl coficint d rstitución ntr la suprfici y la plota. En una colisión prfctamnt inlástica l coficint d rstitución srá igual a cro y la plota s qudará adhrida dspués d la primra colisión. En cambio, n una colisión prfctamnt lástica, l coficint d rstitución srá igual a uno, por lo qu la plota rbotará con la misma rapidz qu con la qu llgu al sulo, siguindo st moviminto indfinidamnt. Si l coficint d rstitución s ncuntra ntr cro y uno, qu s la mayor part d las colisions, la rapidz d la plota irá disminuyndo n cada rbot hasta qu s dtnga. D sta forma, l timpo qu tard la plota n djar d botar srá igual a la suma d los timpos qu tarda la plota ntr cada rbot. Esta suma corrspond a una suma infinita, la cual stá idntificada con una xprsión particular. En st trabajo s dduc tal xprsión y s mustra una simulación dl moviminto d la plota al sr soltada dsd una altura dtrminada. Para comparar los rsultados, la simulación mustra l timpo calculado a través d la xprsión dducida y l timpo utilizado n la simulación. En st trabajo, l moviminto dl objto s considra n una sola dircción y sin rotación, al igual qu s dsprcia la fricción provocada por l air y l timpo qu tarda l objto n cada rbot. Palabras Clav: Caída libr, colisions lásticas, aclración d la gravdad, coficint d rstitución, rapidz.

2 ABSTRACT At som tim you hav wondrd: how long it taks a ball in stopping th bing loosd from a crtain hight to throw away? Th solution to this qury involvs th topics of fr fall and lastic collisions, what includs th concpts of spd, acclration of th gravnss and rstitution cofficint. This way, th spd with which th ball will bounc will dpnd on th valu of th spd with which arrivs to th floor and of th rstitution cofficint btwn th surfac and th ball. In a prfctly inlastic collision th rstitution cofficint will b similar to zro and th ball will b stuck aftr th first collision. In a prfctly lastic collision, th rstitution cofficint will b similar to on, for what th ball will bounc with th sam spd that with th on that arrivs to th floor, following this movmnt indfinitly. On th othr hand, in a prfctly lastic collision, th rstitution cofficint will b similar to on, for what th ball will bounc with th sam spd that with th on that arrivs to th floor, following this movmnt indfinitly. If th rstitution cofficint is among zro and on that it is most of th collisions, th spd of th ball h/sh will go diminishing in ach rbound until h/sh stops. This way, th tim that taks th ball in stopping to bounc will b similar to th sum of th tims that taks th ball among ach rbound. This sum corrsponds to an infinit sum, which is idntifid with a particular xprssion. In this work such an xprssion is dducd and a simulation of th movmnt is shown from th ball to th bing loosd from a crtain hight. To compar th rsults, th simulation shows th tim calculatd through th dducd xprssion and th tim usd in th simulation. In this work, th movmnt of th objct is considrd in a singl addrss and without rotation, th sam as th friction is rjctd causd by th air and th tim that taks th objct in ach rbound. Words Ky: Fr fall, lastic collisions, acclration of th gravnss, rstitution cofficint, spd.

3 . Introducción D muchos s conocido qu l timpo qu tarda un objto n car dsd una cirta altura, s un problma qu ha sido rsulto dsd hac mucho timpo. D hcho, st tipo d movimintos sta clasificado dntro d lo qu s conoc como moviminto uniformmnt aclrado [,] o moviminto n una dimnsión con aclración constant [], n dond l curpo s muv n lína rcta y con aclración constant, s dcir, la vlocidad cambia uniformmnt para iguals intrvalos d timpo. En l caso d curpos qu s muvan bajo la acción d la gravdad d la tirra, l valor d su magnitud local o crca d la suprfici trrstr s d g 9.8 m/s. En conscuncia, l timpo qu tard n llgar al sulo un objto qu s ha soltado dsd una cirta altura, srá igual a: t v / g Dond v s la rapidz dl objto justo ants d llgar l sulo; g s la magnitud local d la aclración d la gravdad y t s l timpo qu tarda l curpo n llgar al sulo. Gnralmnt, la vlocidad d los objtos cambia dspués d una colisión. La rlación d la vlocidad rlativa dspués dl choqu ntr la vlocidad rlativa ants dl mismo, s conoc como coficint d rstitución. v u u v

4 Dond v y u son las vlocidads d los curpos ants d la colisión y, v y u son las vlocidads d los curpos dspués d la misma. Así, si l coficint d rstitución s igual a uno, la cantidad d moviminto y la nrgía cinética s consrvan. Esta conclusión s rlativamnt cirta para choqus ntr curpos duros como balins, plotas d ping pong, plotas d golf, bolas d billar, tc. Es falsa para curpos suavs qu rbotan mucho más lntamnt cuando chocan. La razón con la qu un curpo rcobra su forma original dspués d sufrir una dformación vin a sr una mdida d su lasticidad o rstitución. Si la nrgía prmanc constant n un choqu, s dic qu la colisión ha sido prfctamnt lástica. En st caso no s pird nrgía por calor o dformación durant l choqu. El choqu ntr dos curpos duros s aproxima a un choqu prfctamnt lástico. Si los curpos qu chocan s adhirn ntr sí y s muvn como un solo curpo dspués dl impacto, s dic qu la colisión s prfctamnt inlástica. En st caso l coficint d rstitución s igual a cro. Un papl higiénico mojado qu s adhir al piso dspués d sr soltado dsd una altura dtrminada o una bala qu s incrusta n un bloqu d madra, son jmplos d st tipo d colisions. La mayor part d las colisions can ntr stos dos xtrmos, por lo qu l coficint d rstitución s ncontraría ntr cro y uno. Si l objto s una plota con un coficint d rstitución ntr lla y l piso, y admás la colisión s unidimnsional, ntoncs la rapidz con la qu rbotará srá igual a [4]: v v Dond v s la rapidz dl objto ants dl rbot y v s la rapidz dspués dl mismo. El signo ngativo d la xprsión no s considra dbido a qu sólo s stá analizando la magnitud d la

5 vlocidad, s dcir, su rapidz. Como la masa d la suprfici s muy grand n comparación con la masa dl objto, hmos supusto qu la vlocidad d la suprfici no cambia dspués d la colisión. Para l sgundo rbot, l timpo qu tard la plota n llgar d nuvo al piso srá igual a: t v / g v / g 4 Para l trcr moviminto, s tin qu l timpo qu tard n llgar srá igual a: t v / g v / g v / g 5 En conscuncia, l timpo qu tard la plota n djar d botar s igual a la suma infinita d los timpos qu tard ntr cada rbot, s dcir: t t t 6 Lo qu quival a: v g v / g v / g v / g 7 / Al simplificar, s tin: v v ( ) 8 g g

6 La suma qu s ncuntra ntr paréntsis s una sri infinita. Rstando a la sri los coficints d rstitución, s tin: Agrupando: ) ( Factorizando: ) ( Y volvindo a factorizar: ) )( ( Por lo qu:

7 Es dcir: i i 9 Esta sri también s posibl dducirla dsarrollando la función n sri d potncias. Para llo s ncsario qu tanto la función como todas sus drivadas stén dfinidas para. En st caso la función s: f ( ) Al xprsar la función por mdio d la sri d Maclauring con [5], s obtin: f f f f... ()! ' '' ()! ''' iv () 6! () 4 4! La función quda rprsntada por mdio d la siguint sri:!!!! 4 4!! 4! 4! La sri antrior s una sri convrgnt para <. En conscuncia, la cuación 8 toma la forma siguint:

8 v v g g Como gnralmnt s difícil conocr la rapidz v con la qu llga la plota al sulo n l primr rbot, crmos convnint xprsar la cuación antrior n función d la altura a la qu s dja car l curpo. Es dcir: v gh Sustituyndo la cuación n la cuación, s obtin: / / h h g g Con h igual a la altura a la qu s sulta la plota. Para calcular xprimntalmnt l coficint d rstitución, s dja car la plota dsd una altura dtrminada y s mid la altura a la qu llga dspués dl primr rbot. Con st par d datos s pud calcular l coficint con solo sustituir n la siguint cuación [6]: v v g h g h / h h /

9 Dond v s la rapidz con la qu llga la plota al sulo y v s la rapidz d la plota dspués dl rbot; h s la altura dsd la qu s soltada la plota y h s la altura a la qu llga la plota dspués dl rbot. Así, l coficint rsultant s una propidad conjunta d la plota y d la suprfici d rbot. Con las cuacions y s posibl calcular tóricamnt l timpo qu tarda una plota n djar d botar al sr soltada dsd una altura h. En sta dducción stamos suponindo qu l coficint d rstitución s indpndint d la rapidz con la qu s llva a cabo la colisión ntr la plota y l sulo. Sin mbargo, sta hipótsis no s dl todo vrdadra, ya qu s ha notado qu l coficint d rstitución varía n función d la altura dsd la cual s soltada la plota. Est trabajo no tin por objtivo dducir sta dpndncia. D igual forma, s dsprcia l timpo utilizado n cada colisión. En la cuación obsrvamos qu si l coficint d rstitución sría igual a cro, la plota no rbotaría, qudando pgada al sulo. En st caso l timpo total s simplificaría a: / h 4 g Por otra part, si l coficint d rstitución fus igual a, al sustituir n la cuación 8 s obsrvará qu l timpo total tndrá a un valor infinito, s dcir: v ( ) v g g 5

10 Qu corrspond al timpo qu tarda una plota qu simpr rbota a la misma altura.. Rsultados En la figura s mustra la vntana principal dl sistma qu s laboró como rsultado dl proycto. En lla aparc l nombr dl tma a tratar, l lugar dond s laboró, los autors y finalmnt dos opcions: Salir y Continuar. Si l usuario no dsa continuar, solo db hacr clic n l botón Salir para dtnr l programa. El sistma fu dsarrollado utilizando l lnguaj Visual Basic dond s mplan las hrramintas d animación por mdio d gráficos [7]. Visual Basic s un sistma d dsarrollo disñado spcialmnt para crar aplicacions con intrfaz gráfica, d forma muy rápida y sncilla. Para soportar st tipo d dsarrollos, Visual Basic utiliza fundamntalmnt dos hrramintas, una qu prmit ralizar los disños gráficos y un lnguaj d alto nivl. Figura. Aspcto d la vntana principal dl programa Colisions Elásticas y Caída Libr. Al hacr clic n l botón Continuar, aparcrá la vntana qu s mustra n la figura. En lla s obsrva una barra d dsplazaminto qu sirv para introducir los valors dl coficint d rstitución. También s mustran las cajas d txto corrspondints al timpo total utilizado

11 ntr cada rbot d la plota, la altura máxima alcanzada para cada rbot, la rapidz con la qu choca l objto con la suprfici, la rapidz con la qu rbota y l timpo tórico calculado con la cuación. Figura. Ejmplo dl moviminto d la plota para un coficint d rstitución dado. Dspués d scogr un coficint d rstitución dtrminado, s podrá activar la animación por mdio dl botón d comando Iniciar Moviminto. Conform la simulación transcurr, n los cuadros d txto corrspondints, s mostrará l timpo d moviminto d la simulación, la altura máxima qu alcanzará n cada rbot, la rapidz con la qu choca, la rapidz con la qu rbota y l timpo tórico d todo l moviminto. El usuario podrá obsrvar difrnts movimintos para difrnts coficints d rstitución. Con la barra d dsplazaminto s podrán introducir coficints d rstitución d hasta cntésimas d unidad. Para l caso d qu l coficint d rstitución sa igual a cro, la simulación mostrará qu la plota no rbotará, qudándos adhrida a la suprfici. Para valors mayors a cro y mnors a uno, s obsrvará qu n cada rbot la plota alcanzará una cirta altura qu dpndrá dl valor dl coficint d rstitución. Para un valor dl coficint d rstitución igual a uno, la

12 simulación mostrará qu la plota rbotará simpr a la misma altura, prmancindo l moviminto indfinidamnt, ya qu no xist alguna furza qu la dtnga. Una d las vntajas d la simulación, s qu s posibl utilizar valors dl coficint d rstitución qu no corrspondan con la ralidad. Así, s posibl introducir un valor mayor a uno para analizar l moviminto dl objto. S obsrvará qu la altura a la qu rbotará la plota s mayor a la altura a la qu s djó car. D st modo, n cada rbot, la plota alcanzará una altura cada vz mayor. El sistma tin una instrucción qu l indica a la computadora qu dtnga la simulación cuando l objto ha alcanzado una cirta altura. Finalmnt, los fctos producidos por la rsistncia dl air y la rotación dl objto, son dsprciados n sta simulación. D igual forma, s considra qu l moviminto dl objto s n una sola dircción y qu l timpo utilizado n cada colisión, l cual dpnd d los matrials qu constituyn l piso y la plota, s dsprciabl.. Conclusions A psar d qu la suma d los timpos qu tarda una plota n cada rbot s infinita, l rsultado convrg a un valor dtrminado qu corrspond con l timpo total dl moviminto. El sistma mustra la simulación para cada valor dl coficint d rstitución qu introduzca l usuario. Con llo podrá obsrvar l comportaminto dl moviminto d la plota para cada caso. La suma d los timpos qu tarda la plota n cada rbot, coincid con l timpo tórico total. Con llo s prtnd comparar los rsultados d la simulación con los rsultados calculados tóricamnt.

13 No xistn valors dl coficint d rstitución mayors a uno. Para st caso, la simulación tin la propidad d mostrar lo qu sucdría con los rbots y la vlocidad d la plota.. V. Bltrán, E. Braun, Principios d Física (Editorial Trillas, México, D.F., 975) p... F. W. Sars, M. Zmansky, H. D. Young, Física Univrsitaria (Addison-Wsly Ibroamricana, México, D.F., 988).. R. Rsnick, D. Holliday. Física, Volumn I (Editorial CECSA, México, D.F., 98) p P. E. Tippns, Física, Concptos y Aplicacions (Editorial McGraw-Hill, México, D.F., 978) p.. 5. F. Ayrs, Cálculo Difrncial Intgral (Ed. Mc Graw-Hill, México, D.F., 97) p P. E. Tippns, Física, Concptos y Aplicacions (Editorial McGraw-Hill, México, D.F., 978) p.. 7. F. J. Cvallos, Enciclopdia d Visual Basic (Alfa Omga Grupo Editor, México, D.F., 997).

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