CONDICIONES PARA UNA INMUNIZACIÓN POR DURACIONES PARA SEGUROS A PRIMA PERIÓDICA. J. Iñaki de La Peña (1) Profesor Titular de Universidad

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1 CONDCONES PARA UNA NMUNZACÓN POR DURACONES PARA SEGUROS A PRMA PERÓDCA J. ñak d a Pña Profsor Tular d Unvrsdad RESUMEN a nmunzacón s una sraga nvrsora ncamnada a rspaldar un compromso d pago. El raamno qu normalmn s a llvado a cabo conmpla qu la Endad dspon d odos los rcursos n un nco para así cumplr al fn. Sn mbargo, n la raldad dl mrcado asgurador, s comrcalzan producos a prma pródca por lo qu s db rdfnr la condcón d gualdad d duracons d la nmunzacón clásca. En s rabajo s dmusran las condcons qu una carra d íulos db nr para rspaldar los compromsos adqurdos por la ndad asguradora, n l caso d producos a prma pródca sguros d vda, mur, ndmnzacons, c.. Esas condcons son la ncsdad d srucurars a una duracón supror a la duracón dl pasvo conmplado para qu así sé nmun a los movmnos parallos dl po d nrés. A guals rsulados s llga para la convdad. ABSTRACT mmunzaon s an nvsmn sragy focuss on guaran paymn o b don n fuur. Usually nsurr as all asss a bgnnng of prod for nvsng and complng a am. Bu raly s a r ar svral nsuranc producs sold a prodcal prmums and n s cas w av o rdfn ypcal nsuo d Esudos Fnancro Acuarals. Unvrsdad dl País Vasco. Drccón Avda. ndakar Agurr, BBAO. Emal: fpps@bs.u.s 49

2 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... condon no a classc mmunzaon abou duraon qualy bwn ass and lably. On s papr w dvlop for on nsurr s nvsmn porfolo, n cas of prodcal prmums producs lf producs, da producs, c. condon a as o follow: T duraon of asss as o b longr an duraon of pcd paymns o b don n fuur. Upon s consran, nsuranc Company s mmunzd agans nrs ra rsk. W oban sam rsul for convy. PAABRAS CAVE /KEY WORDS nmunzacón; Gsón d Acvo-Pasvos; Rsgo d nrés;. NTRODUCCÓN os producos d las Endads Asguradoras son comrcalzados ano a ravés d prmas úncas como d prmas pródcas. Es ndudabl qu ya n l msmo momno d la ralzacón dl conrao d sguro s sá dlmando ano l grado d compromso qu adqur la Endad Asguradora como la rmunracón qu por los srvcos qu va a prsar a d abonar l omador dl sguro y s asumdo por la Endad dsd l msmo momno n l qu s frma l conrao y l omador d sguro abona la prmra prma o cuoa d aporacón. S sa prma s únca, la Endad Asguradora dspon d los rcursos conómcos para, nvréndolos n l mrcado, puda acr frn al compromso probabl asumdo. a sraga nvrsora qu pud llvar a cabo con un objvo d acr frn a un compromso fuuro asumdo n l conrao y n bas a una rnabldad mínma conracual, pud sr una sraga nmunzadora clásca o una nmunzacón a ravés d duracons. Sn mbargo cuando l produco acuaral s comrcalzado a ravés d aporacons pródcas, la Endad Asguradora asum odo l rsgo dsd l momno d la 50

3 J. ñak d a Pña frma dl conrao, pro sn mbargo no dspon d los msmos fondos conómcos para nvrr qu s ubs vnddo dco produco a ravés d una prma únca. Eso s, la Endad Asguradora al comrcalzar un produco acuaral a prma pródca s ncunra n una opracón d acvo - pasvo acuaral conjuna, dond las oblgacons asumdas pasvo acuaral mplcan la snca d una corrn fuura d ngrsos probabls o cuoas d aporacón a abonar acvo acuaral y qu dbn nrs n cuna a la ora d ralzar la planfcacón nvrsora d las prmas rcaudadas por s produco acvo fnancro qu gnrarán nrss y una amorzacón dl prncpal nvrdo. En l prsn rabajo s planan las condcons d la sraga nvrsora nmunzadora para qu nga n cuna no sólo s acvo fnancro, sno ambén l acvo acuaral a ravés d la srucura mporal d ngrsos probabls fuuros y qu quda dlmada n l momno d la suscrpcón dl conrao d sguro y n una fca posror las oblgacons conracuals qudan pans n la provsón mamáca corrspondn. Para llo, ras dfrncar l problma prsnado con los producos a prma pródca dnro dl ámbo d la nmunzacón, s aondará n l concpo d la provsón mamáca para drmnar sobr qu méodo d cálculo d la provsón mamáca s un rsgo d nrés. Posrormn s procdrá a dlmar los compromsos adqurdos dpndndo dl po d produco acuaral qu s ra, así como l valor d los ngrsos probabls fuuros o acvo acuaral nrn a la adquscón dl compromso d conraacón d un sguro a prma pródca. Con llo s dfrncará l concpo d provsón mamáca y valor fnancro d la provsón mamáca. El sgun pígraf a raar, l parámro Duracón aplcado al ámbo acuaral, manfsa la dfrnca fundamnal d alaordad n l flujo conómco a nr n cuna para su drmnacón. Con llo s spcfcarán las caracríscas más mporans d sa sraga nmunzadora, basándos n la snsbldad dl valor fnancro d la provsón mamáca rspco a varacons n l po 5

4 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... d nrés mplado, lo cual prm prcsamn dlmar las condcons para aplcar una sraga nmunzadora por duracons. S rmna l prsn rabajo con una lusracón prácca d un produco acuaral d aorro y oro d rsgo qu prmn rfrndar las condcons órcas apunadas n s rabajo. Esas condcons prmn planar n sí la corrca sraga nvrsora qu nga n cuna sa parculardad, cual s la d conmplar los fuuros ngrsos a los qu conracualmn s oblga l omador dl sguro n l momno n l qu s suscrb la pólza d sguros.. NMUNZACÓN as sragas nvrsoras nmunzadoras conssn n la cracón d una carra d nvrsons acvos d forma qu gnrn los sufcns flujos conómcos para qu s aga frn a un compromso o varos compromsos d pago fuuros, ndpndnmn d las varacons qu prmn l po d nrés d mrcado y garanzando un ano d rndmno duran l prodo d mpo planfcado. Basada n l orma d Fsr & Wl [Fsr & Wl, 97], para una sraga nvrsora d nmunzacón smpl basará con gualar la duracón dl acvo con l orzon d planfcacón dl nvrsor y, para una sraga nvrsora d nmunzacón múlpl, srá ncsara la gualacón d duracons d ano l acvo como dl pasvo [D a Pña, 997]. abualmn dnro d las Endads Asguradoras d vda s a mplado la nmunzacón n sndo amplo ya sa a ravés d una congrunca absolua, posva o mporal para asgurar compromsos asumdos y a ngur, como pudn sr carras d pasvos. En sos casos y como conraprsacón a una prma únca, la ndad asguradora s compromía a abonar las prsacons qu corrspondsn asa la ncón dl colcvo. S pud afrmar qu craba un fondo spcalzado ddcad fund para la cobrura d sos compromsos con la prma rcaudada [Badr,. 985]. 5

5 J. ñak d a Pña En s caso s plana un programa lnal para nconrar aqulla carra d nvrsons qu con mnor cos puda acr frn a la srucura d pagos probabls a ralzar n cuanía y mpo bajo dvrsas rsrccons, dpndndo dl po d subsraga nmunzadora conmplada: Absolua, posva o mporal. Bajo una congrunca absolua s conmpla qu los ngrsos dl fondo nvrsor nrss más la amorzacón d los acvos nvrdos an d sr gual al compromso asumdo pago probabl para cada uno d los jrccos conómcos fuuros conmplados. En una congrunca posva s procd a la gualacón d duracons, ano dl acvo como dl pasvo con lo qu pquñas varacons n l po d nrés no afcarán al normal dsarrollo d los pagos. No obsan an varacons mayors dl po d nrés s procd ano a la gualacón d convdads como a una rvsón pródca d la carra, sgundo los posulados d Rdngon [Rdngon, 95]. Esa s la sraga nvrsora qu s propon n l prsn rabajo nndo n cuna la prodcdad d la prma d sguro y para la qu s ralza l análss d duracons corrspondns. Fnalmn n la congrunca mporal admás d la gualacón d las duracons s un casamno prfco d los flujos conómcos a abonar duran los prmros prodos prmros prodos. En odos los casos abualmn la Endad Asguradora dspon ncalmn dl fondo nvrsor sufcn fully fundd como para buscar la carra d nvrsons qu aga frn a als compromsos, abda cuna qu an sdo comrcalzados a ravés d una prma únca. Sn mbargo sn producos qu s comrcalzan a prma pródca. Eso s, un rsgo qu pud dars n s prodos y s fnancada su cobrura n n prmas pródcas al qu, n s En s caso la sraga nvrsora d la compañía a d nr n cuna: 53

6 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma.... os compromsos oals asumdos l pasvo acuaral.. as prmas rcaudadas y las nvrsons corrspondns a ésas acvo fnancro. 3. Esrucura d ngrsos probabls fuuros sgún l conrao d sguro acvo acuaral. Es sa la sraga nvrsora qu s plana n l pígraf corrspondn y qu ndrá n cuna s acvo acuaral fuuro para l caso d qu s maralcn las aporacons fuuras y qu nos dlmará las caracríscas qu db nr l acvo fnancro n l qu s maralcn las nvrsons d las prmas rcaudadas. 3. E BAANCE DE ACTVO Y PASVO ACTUARA: A PROVSÓN MATEMÁTCA 3.. Concpo El pasvo d una ndad asguradora lo consuyn las oblgacons spuladas n la mnconada pólza d sguro, d acurdo a un rglamno dond ras la lccón d un drmnado méodo d cos o fnancacón dsñado por l acuaro, s drmnan las aporacons o prmas a abonar. Dpndndo dl méodo d cos lgdo, ambén s drmna la provsón mamáca nndda como aqulla par dl valor acuaral d las prsacons qu db sar consuda a la dad alcanzada, dpndndo d las póss dl plan y n bas al dsarrollo normal y acrado d ésas [Bzun,.989]. En l momno d la conraacón d la pólza d sguros, l omador no a abonado nnguna candad y por ano su corrspondn provsón mamáca s nula: 0 [] Sndo la dad d nrada o dad d conraacón. En l caso d qu s conra un produco acuaral d aorro como pud sr l d prcbr n forma d rna pródca valca a parr d 54

7 J. ñak d a Pña la dad d jublacón j d cuanía B, al alcanzar dca dad d jublacón, l valor d las prsacons fuuras a ndo qu sr amorzado y consudo, sndo l valor d la provsón l msmo qu l valor acual acuaral a la dad d jublacón d las prsacons fuuras: Va j j w j B v j j p m j [] sndo: : Provsón mamáca a la dad d jublacón. j Va j : Valor acual acuaral d las prsacons d jublacón a la dad d jublacón. v j : Valor d acualzacón fnancro d - j años. m p j : Probabldad d qu un bnfcaro d la prsacón d j jublacón d dad j, alcanc los años, dond la únca causa d salda s l fallcmno ,00 GRÁFCO PRODUCTO DE AORRO Va , , , ,00 0, EDAD En l gráfco s obsrva qu la provsón mamáca sufr un ncrmno paulano dsd la dad n la qu s fcúa la quvalnca fnancro-acuaral dad d nrada 0, dad a parr d la cual abona las prmas asa la dad n la qu l parícp va a mpzar a 55

8 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... rcbr las prsacons d jublacón consdrada n nusro caso a los j 65 años momno a parr dl cual no s ralza nnguna ora aporacón, dbndo nr n s momno un monan mámo para acr frn a odas las posbls fuuras prsacons Va. Es a parr d s momno cuando mpza l abono d las prsacons promdas y a mdda qu pasa l mpo oma valors mnors. En l ramo comprnddo nr la dad d nrada y la dad d jublacón la provsón mamáca s ncrmna con mayor pndn dbdo prcsamn a las aporacons pródcas qu l omador d sguro ralza. Sn mbargo, n l gráfco para un sguro d rsgo nr los 0 años y los 65 s s conraa un produco acuaral d rsgo como pud sr l d abonar n forma d capal únco una ndmnzacón al fallcmno dl rabajador s ocurr con anrordad a la dad d jublacón j 65 d cuanía B, al alcanzar dca dad d jublacón, l valor d las prsacons fuuras s ambén nulo, al no sr rsgo fuuro d ocurrnca d la conngnca y sndo l valor d la provsón ambén nulo: Va 0 [3] j j Sn mbargo a una dad nrmda nr sa dad d nrada y la dad d jublacón, la provsón mamáca oma valors posvos al conmplar ano l rsgo qu pud ocurrr como las aporacons qu odavía pud ralzar l omador dl sguro. 56

9 J. ñak d a Pña GRÁFCO 3.000,00.500,00 PRODUCTO DE RESGO Va.000,00.500,00.000,00 500,00 0, EDAD Es prcsamn l balanc nr los compromsos pródcos d ano l omador dl sguro como los compromsos d la ndad asguradora los qu dlman l valor posvo d la provsón mamáca a cada dad nrmda, crcndo ncalmn para ndr a cro al r acrcándos al momno d ncón dl conrao nsnca d rsgo. GRÁFCO 3 40% VARACÓN. ANTE RESGO DE NTERÉS 30% Porcnaj d varacón 0% 0% 0% -0% -0% -30%,00%,50%,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00% 5,50% 6,00% Tpo d nrés D co, para un valor nrmdo d la provsón mamáca y, por jmplo drmnado bajo un po d nrés dl 3,5% anual gráfco 3, 57

10 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... una varacón dl po d nrés al calcular l balanc nr los drcos y oblgacons d ano l omador dl sguro como d la mprsa asguradora, produc como rprcusón un dfrn valor d la provsón mamáca a nr consuda por la compañía, por lo qu admás d sr mporan la drmnacón d los compromsos asumdos por ambas pars, s val la drmnacón d s po d nrés pus concra l nvl conómco a nr rspaldado fnancramn por la carra d acvos fnancros d la ndad asguradora. 3.. Cálculo En l prodo comprnddo nr sos dos rmos, la provsón mamáca s pud prsar d dfrns formas, dpndndo dl méodo d cos lgdo para amorzar las prsacons [D a Pña, 000]. El cálculo d sa provsón s posbl dpndndo d qu s consdrn las oblgacons fuuras, ano d la Endad Asguradora como dl omador dl sguro, o las pasadas, dond s nn n cuna las aporacons abonadas por sos úlmos y l rsgo d ocurrnca d la prsacón conmplada. Esos dos méodos son: Méodo Prospcvo. Qudará dfnda la provsón mamáca calculada por l méodo prospcvo como l cso dl valor acual acuaral d las prsacons fuuras sobr las prmas fuuras acualzadas. Es l méodo qu normalmn g la admnsracón para su cálculo y qu adconalmn sá nfluncado por l rsgo d nrés. Va Cfa [4] a sndo : Provsón mamáca calculada a la dad alcanzada. a a Va a : Valor acual acuaral a la dad alcanzada a d las prsacons fuuras a abonar al parícp. Cfa a : Valor acual acuaral a la dad alcanzada a d las aporacons fuuras dl parícp. a 58

11 J. ñak d a Pña Méodo Rrospcvo. a provsón mamáca d un asgurado, por l méodo d cálculo rrospcvo, vn dfnda por la dfrnca nr l monan d odas las aporacons pasadas ralzadas dsd la dad d nrada n l colcvo, asa l momno dl cálculo d la provsón, amnorado por l rsgo o prsacón consumda. Normalmn la cuoa d aporacón dl año n curso quda cluda para l cálculo bajo la póss abual d prmas prpagabls. Cps a Vps a [5] a dond Cps a : Cuoas pasadas capalzadas acuaralmn asa la dad d valoracón d la provsón mamáca. Vps a : Valor d las prsacons pasadas capalzadas asa la dad d valoracón d la provsón mamáca. Es s un valor pasado y calculado acord a la prnca ral d la ndad, por lo qu no sá afcado por nngún rsgo d nrés. Dnro dl cálculo d la provsón mamáca s n n cuna la dad d cada parícp asgurado n la fca a la qu s rfr l cálculo, la prsacón promda a cada dad B, l méodo d dsrbucón d m cos mplado CA, las probabldads d fallcmno q, r nvaldz q, roacón q, así como l po d nrés a ulzar n la valoracón. m r f ; CA; B ; q ; q; q ; ;... [6] 4. OS COMPROMSOS ADQURDOS VERSUS VAOR FNANCERO DE A PROVSÓN MATEMÁTCA En las opracons d sguros d vda, l po d nrés écnco s l ulzado para la ralzacón d la quvalnca acuaral nr prsacons y aporacons, sndo posrormn mplado para fjar las provsons mamácas. En mucos casos l valor mámo qu 59

12 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... pud omar és vn lmado lgalmn. Eso s, n una srucura plana. Oras vcs s mpla l po d nrés lbr d rsgo d los acvos fnancros dl soro con l fn d ofrar l produco bajo un casamno d flujos conómcos qu garancn las prsacons promdas n la pólza d sguros. En l prsn rabajo smpr s consdra qu cualqur cambo qu ocurra n l po d nrés producrá un dsplazamno parallo d és, ano para la valoracón dl acvo como dl pasvo. ay qu nr n cuna qu l valor acual d los flujos conómcos dl momno ncal consdrado como l momno dl conrao o suscrpcón d la pólza, a d sr gual ano para los ngrsos probabls fuuros como para los compromsos d pagos probabls fuuros. En sa quvalnca fnancro-acuaral s dlma l valor d la prma qu l omador abonará a la Endad Asguradora. Bajo una srucura d pos d nrés pródcos cualsqura, sndo 0 l po d nrés anual pródco al conado o spo ra asa l prodo -ésmo, n s [7] sndo: 0 : Valor acual d las cuoas d aporacón o ngrsos qu probablmn l asgurado abonará, valorados al po d nrés d mrcado. 0 : Valor acual d las cuoas d los compromsos d pago qu probablmn s l abonarán al bnfcaro corrspondn, valorados al po d nrés d mrcado. n : Máma mporaldad dl abono d prmas por par dl omador dl sguro. s : Máma mporaldad d la cobrura dl sguro, dond n s. En sa quvalnca fnancro-acuaral s dlma l valor d la prma qu l omador abonará a la Endad Asguradora. 60

13 J. ñak d a Pña 4.. Pagos probabls fuuros: Pasvo Acuaral os compromsos asumdos dpndrán dl po d produco comrcalzado. D sa forma s s un produco d rsgo n la qu, por jmplo, s abona una prsacón al fallcmno B m, l compromso probabl asumdo a una dad srá: m m B con una probabldad d q m [8] m 0 con una probabldad d - q s l abono d la prsacón fus a la nvaldacón, B con una probabldad d q [9] 0 con una probabldad d - q S l produco conss n l abono d una prsacón d aorro pagadra a la dad j, l compromso asumdo sría: j B 0 con una probabldad d s < j j p T s j [0] sndo, m : Compromso probabl asumdo por fallcmno a la dad. : Compromso probabl asumdo por nvaldz a la dad. j : Compromso probabl asumdo por jublacón a la dad. m q : Probabldad d fallcmno a la dad y para un prodo d un año. q : Probabldad d nvaldacón a la dad y para un prodo d un año. T j p : Probabldad d alcanzar la dad j para un asgurado d dad y para odas las causas d salda conmpladas. 6

14 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma ngrsos probabls fuuros: Acvo Acuaral Al ralzar l conrao, l omador dl sguro s comprom a abonar la cuoa d aporacón o prma qu corrsponda smpr qu no s dé la conngnca qu l cluya dl abono, como pud sr l fallcmno, la nvaldacón, c. En s caso l ngrso probabl a una dad qu a d nr n cuna la Endad Asguradora srá: T CA con una probabldad d p [] T 0 con una probabldad d - p sndo, : ngrso probabl a nr n cuna a la dad. CA : Cuoa d aporacón o prma pródca qu a d abonar l omador dl sguro a la dad. T p : Probabldad a la dad d sgur sndo cozan acvo para un prodo d un año Balanc fnancro : a provsón mamáca En un momno nrmdo l cso dl valor acual d los compromsos conómcos sobr l valor acual d los ngrsos probabls por prmas drmnará l valor d mrcado d la provsón mamáca al po d nrés, o vrdadro valor acual d los compromsos adqurdos para con l asgurado: s n [] Con una srucura d pos d nrés cualsqura, s n [3] 6

15 J. ñak d a Pña En s momno d mpo nrmdo s consdra l valor acuaral d las cuoas d aporacón fuuras dond l omador dl sguro sgurá abonando la cuoa qu l corrsponda smpr qu s cumplan las condcons qu l prman acrlo, so s, sé vvo, no nváldo dpndndo dl condconado d la pólza. Es claro qu n l caso d una prma únca únco pago n l momno d la conraacón l valor d mrcado d la provsón mamáca concd con l valor acual d los compromsos rals adqurdos. [4] Sn mbargo, n caso d la snca d aporacons pródcas, los pagos probabls s fundamnarán n la provsón acumulada asa la fca más las prmas fuuras qu l asgurado db abonar. 5. A DURACÓN ACTUARA El concpo d duracón d un acvo fnancro fu ncalmn nroducdo por Macaulay [Macaulay, 938] bajo un nfoqu fnancro, así como por cks [cks, 939] bajo una ópca conómca. El dsarrollo posror s a basado prncpalmn n l mplo d la Duracón n l acvo d la compañía asguradora, so s, n l análss d las nvrsons n rna fja, mayormn. D sa forma auors como Brwag y oros [977, 978, 990 y 99 ], bowz [986, a y b ] aplcándola a la nmunzacón, Fabozz [995], Tovs [986] n la rna fja, c., an dsarrollado l mplo d la Duracón n l acvo pro no s a aondado n l campo dl pasvo d la ndad asguradora, salvo scasas nrvncons [ & Panjr, 994]. El concpo d Duracón qu s mpla para los acvos fnancros d rna fja s basa n una corrn d flujos conómcos cros nvarabls a lo largo dl mpo. Sn mbargo n las opracons acuarals la frcunca d ocurrnca y l volumn d pago a ralzar s socásco. D co la mayoría d los sguros y rnas acuarals s basan n pagos a ralzar an la ocurrnca o no d un vno d 63

16 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... mur o suprvvnca. S par d un modlo gnral n l qu la cuanía y l mpo s vn afcados por l momno dl vno alaoro. Quda drmnada la prsón d la duracón sprada DE d una opracón conngn sgundo a [D a Pña, 00] bajo la sgun prsón n l campo connuo, DE 0 b 0 v b v g d g d sndo, b : Pago a ralzar n l nsan al dars la conngnca. [5] v : Facor d acualzacón fnancro dsd l nsan asa l orgn. g : Funcón d dnsdad corrspondn a la funcón d dsrbucón G d dsrbucón por dad, la cual nos ndcará la dsrbucón por dad d la poblacón a mdda qu l mpo pasa. En l prsn rabajo s mplará su quvaln n l campo dscro, dond son los flujos conómcos dpndns d las probabldads d ocurrnca corrspondns a la modaldad y cobrura d produco acuaral conraado: DE s s [6] para una srucura d nrés écnco plana y para una srucura cualsqura, su prsón vn dada a ravés d la duracón sprada modfcada : 64

17 J. ñak d a Pña 65 s s [7] 6. SENSBDAD DE A PROVSÓN MATEMÁTCA ANTE E TPO DE NTERÉS En un momno nrmdo -ésmo, l valor fnancro d la provsón mamáca calculada por l méodo prospcvo vn ndcada al y como s a apunado anrormn: [8] Eso s, n funcón d cada uno d sus componns: n s [9] Dado s valor fnancro d la provsón n una fca dada, s s una mínma varacón n l po d rnabldad d mrcado, l valor d las oblgacons asumdas cambará a. En s caso, s pud nconrar su nuvo valor mdan una apromacón d Macaurn para rs érmnos, dond la funcón s. En l lím a cro d s valor ncrmnal s n, d [0]

18 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma A ravés d la Duracón sprada Para drmnar l fco qu produc una varacón dl po d nrés sobr la provsón mamáca d la ndad asguradora s db sudar l fco qu produc l cambo dl po d nrés n cada uno d los componns qu drmnan l valor fnancro d la provsón mamáca: s n [] con lo cual s dsarrolla véas ano.. sparadamn la nflunca qu las varacons dl po d nrés nn sobr los compromsos d pago y sobr los ngrsos probabls, llgando a la prsón qu prm drmnar d forma apromava l nuvo valor d sa provsón cuando las varacons son nsanánas y parallas : [ ] [ ] [] 6.. A ravés d la Duracón y Convdad sprada a convdad sprada CXE raa d rcogr la par d la varacón n l valor acual d los compromsos probabls d pago asumdos producdo por una varacón n l po d nrés y qu no aya sdo capado por la duracón sprada. Para obnr una mayor acud d la varacón qu prmnan los pagos por prsacons promdas an varacons dl po d nrés, s consdra un parámro qu nos ndca la dsprsón d aqul frn a és. Es l érmno d convdad sprada d las opracons acuarals, snsblmn dfrn a su omónmo convdad d un 66

19 J. ñak d a Pña 67 íulo [ & Panjr, 994]. a convdad sprada vn dfnda a ravés dl rcr érmno dl dsarrollo d Macaurn. El parámro convdad sprada s ulza para dscrbr sa dsprsón, sndo la drvada d sgundo ordn n la apromacón d Macaurn. Emplando l msmo razonamno qu l puso n l subpígraf anror s alcanza la sgun prsón véas ano.., CXEM CXEM [3] Dond l valor qu oma la convdad sprada modfcada para los pagos probabls asumdos n la carra d sguros ascnd a: s CXE [4] Y la convdad d los ngrsos probabls qu dbn acr los omadors dl sguro s: n CXEM [5] D la dscrpcón ralzada asa aora s dduc qu l fco corrcor d la convdad sobr l valor d las oblgacons asumdas calculado a ravés d la duracón sprada, s posvo an bajadas dl po d nrés. S l nrés dscnd, l aumno dl valor d sos pagos s mayor qu l smado úncamn con la duracón sprada. S l nrés aumna, l dscnso fnal s mayor al smado con la duracón sprada.

20 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... GRÁFCO 4,0000% ERRORES EN A P.M. EMPEO DE DURACÓN Y CONVEXDAD CON D. CON D. Y CX. 0,0000% Porcnaj d rror -,0000% -,0000% -3,0000% -4,0000% -5,0000%,00%,50%,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00% 5,50% 6,00% Tpo d nrs D co, para una provsón mamáca drmnada con un po d nrés dl 3,5% gráfco 4, l mplo d ano la duracón y la convdad para valorar la nuva provsón mamáca an varacons n l po d nrés, como s pud aprcar n l gráfco, prm apromacons ralmn bunas, para, por jmplo un produco a prma pródca a abonar a un plazo d 0 años. 7. A NMUNZACÓN ABERTA 7.. Dfncón a nmunzacón abra conss n la cracón d una carra d nvrsons d acvos fnancros d rna fja d forma qu juno con las aporacons o ngrsos fuuros s gnrn los sufcns flujos conómcos para qu s aga frn a un únco pago fuuro o varos, ndpndnmn d las varacons dl po d nrés d mrcado. 7.. nmunzacón abra y smpl ncalmn momno dl conrao, srá una quvalnca nr l valor acual dl compromso a asumr y las cuoas a abonar por l omador dl sguro: 68

21 J. ñak d a Pña n [6] dond : Compromso probabl asumdo a abonar n l momno - ésmo. o cual mplca la snca d una provsón mamáca nula [7] Pro n un momno nrmdo,, l balanc nr ambos concpos valorados acord al po d nrés vgn n s momno dlmará l valor d la provsón mamáca, l cual db sar al mnos rspaldado por l valor acual d las nvrsons d las cuoas rcaudadas n 0 A Eso s, [8] A [9] lugo, [30] A los compromsos asumdos por la ndad asguradora dbn sar al mnos cubros por las nvrsons ya ralzadas A y maralzadas n l fondo d nvrsón corrspondn y l valor acual d los ngrsos probabls pndns d rcbr. D sa forma, sgundo a Rdngon, para sar nmunzado an l rsgo d nrés s dbn dar gualdad d duracons dl acvo n s caso duracons modfcadas, al conmplar una srucura d pos d nrés no plana, ano fnancro como acuaral DM ACTVO con l pasvo acuaral, qu n una nmunzacón smpl s l orzon d planfcacón dl nvrsor: 69

22 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma ACTVO DM [3] Sndo la duracón dl acvo la duracón mda pondrada d los acvos fnancros y acuarals qu la comprndn. A ACTVO DM A [3] Gráfcamn los flujos conómcos qu componn sa carra son: F F F F n F - n Dond F rprsna l flujo conómco -ésmo producdo por la nvrsón ralzada con la cuoa ncalmn rcaudada CA. a duracón modfcada d sos flujos d ngrsos vndrá dada como: n n ACTVO F F DM [33] ay qu nr n cuna qu l valor acual d los flujos conómcos dl momno -ésmo a d sr gual, ano para los ngrsos como para los pagos: n F [34] Por lo qu l numrador d la duracón quda ndcada como,

23 J. ñak d a Pña 7 n ACTVO F DM [35] Eso s, 0 A ACTVO DM A [36] a duracón a la qu s dbrá srucurar la carra d nvrsons d la Endad Asguradora dbrá sr: 0 A A A DM [37] Tnndo n cuna los ngrsos probabls fuuros dl omador prmas pródcas pndns d abonar sgún conrao, la nvrsón ncal d la prmra prma rcaudada s ralzará a una duracón supror al orzon d planfcacón dl nvrsor. as sguns conrbucons al fondo s rán rnvrndo a duracons mayors qu l orzon d planfcacón, d forma qu juno con la duracón d la corrn d ngrsos probabls por prmas abonadas y rnvrdas ngan una duracón mda gual a s orzon d planfcacón. Por ano, l msmo produco acuaral ndca cuál s la duracón a la qu s dbn srucurar las nvrsons d la carra d acvos fnancros d la Endad Asguradora. Admás, d sa forma, al fnal dl prmr jrcco una bajada d los pos d nrés producrá un valor d rnvrsón mnor. Sn mbargo l valor d mrcado s ncrmnará y s llgará a acumular l sufcn mpor conómco como para acr frn al pago prvso.

24 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... En l gráfco 5 s pud obsrvar qu para un produco a 0 años, dsd qu s conraa és y para cualqur prodo posror, la duracón a la qu s db srucurar la carra d nvrsons s smpr mayor al orzon mporal plazo d mpo rsan asa l momno n l qu s vaya a ralzar l pago probabl fuuro. a razón srba n la duracón d los ngrsos probabls d s ndrán n sos años fuuros y la póss d duracons oals guals ano d los acvos fnancros y acuarals con los pasvos u oblgacons, qu, al sr mnor qu s prodo d planfcacón dl nvrsor, al pondrarlos acord a la fórmula [37] rsula una duracón d los acvos fnancros mayors. GRÁFCO DURACON DE ACTVO FNANCERO D. Pasvo D. Acvo Acuaral D. Acvo Fnancro Duracón Tmpo Adconalmn s s n n cuna la convdad oal, l propo produco acuaral drmnará la convdad qu db nr la srucura nvrda d íulos, nndo ambén n cuna la convdad sprada d ano los compromsos asumdos como dl acvo acuaral o fuuros ngrsos probabls por las prmas a rcaudar. S s mpla l msmo dsarrollo qu l mplado para drmnar la duracón d la carra d nvrsons s drmna qu la convdad a la qu s dbrá srucurar la carra d nvrsons d la Endad Asguradora dbrá sr: 7

25 J. ñak d a Pña CXM CXEM A 0 A A [38] a mnor dsprsón dl abono pródco d prmas pródcas frn a la dsprsón o convdad d los compromsos asumdos ac qu la srucuracón s ralc n íulos con un grado d dsprsón o convdad n cada príodo supror al dl pasvo asumdo. Por ano, l msmo produco acuaral ambén ndca cuál s la convdad a la qu s dbn srucurar las nvrsons d la carra d acvos fnancros d la Endad Asguradora. Gráfcamn l rsulado s l msmo y su razonamno análogo. En l gráfco 6 s pud obsrvar qu para un produco a 0 años, dsd qu s conraa és y para cualqur prodo posror, la convdad a la qu s db srucurar la carra d nvrsons s smpr mayor a la convdad sprada dl pasvo. a razón srba n la convdad sprada d los ngrsos probabls d s ndrán n sos años fuuros, qu, al sr mnor n s prodo a la convdad d los pasvos, al pondrarlos acord a la fórmula [38] rsula una convdad d los acvos fnancros mayor. GRÁFCO CONVEXDAD DE ACTVO FNANCERO CX. Pasvo CX. Acvo Acuaral CX. Acvo Fnancro Duracón Tmpo 73

26 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma nmunzacón abra y múlpl Esa sraga s pud ndr ambén a una nmunzacón múlpl n cuyo caso la prncpal varacón con rspco a las prsons anrors radca n la consdracón d la duracón sprada d la srucura d compromsos adqurdos dond ncalmn momno dl conrao, srá una quvalnca nr l valor acual d los compromsos a asumr y las cuoas a abonar por l omador dl sguro. En un momno nrmdo,, l balanc nr ambos concpos valorados acord al po d nrés vgn n s momno dlmará l valor d la provsón mamáca, l cual db sar al mnos rspaldado por las nvrsons d las cuoas d aporacón rcaudadas s n A [39] Eso s, A [40] los compromsos asumdos por la ndad asguradora dbn sar al mnos cubros por las nvrsons ya ralzadas y maralzadas n l fondo d nvrsón corrspondn y l valor acual d los ngrsos probabls pndns d rcbr. a sraga nmunzadora múlpl conssrá n la gualacón d duracons modfcadas para la srucura d pos d nrés no plana qu s sa suponndo a lo largo dl prsn rabajo d ano l acvo fnancro como acuaral con la duracón sprada d los compromsos asumdos o pasvo acuaral: DM s ACTVO s [4] 74

27 J. ñak d a Pña Sndo la duracón dl acvo la duracón mda pondrada d los acvos fnancros y acuarals qu la comprndn. ACTVO A DM A [4] Por lo qu la duracón a la qu db srucurars las nvrsons dl fondo d la Endad Asguradora srá: DM A A A [43] S pud aprcar qu ambén con la nmunzacón múlpl la carra d nvrsons db srucurars a una duracón supror a la duracón sprada d los compromsos múlpls asumdos d forma qu la duracón mda conjuna d ano l acvo fnancro como acuaral sa gual a la duracón sprada d sos compromsos. GRÁFCO 7 6,0000 5,0000 4,0000 DURACON DE ACTVO FNANCERO D. Pasvo D. Acvo Acuaral D. Acvo Fnancro Duracón 3,0000,0000,0000 0, Tmpo En l gráfco 7 s pud obsrvar qu para un produco d rsgo a 0 años, dsd qu s conraa és y para cualqur prodo posror, la duracón a la qu s db srucurar la carra d nvrsons s 75

28 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... smpr mayor a la duracón d los pasvos. a razón srba n la duracón d los ngrsos probabls d s ndrán n sos años fuuros y la póss d duracons oals guals ano d los acvos fnancros y acuarals con los pasvos u oblgacons, qu, al sr mnor qu sa duracón sprada d los pasvos, al pondrarlos acord a la fórmula [43] rsula una duracón d los acvos fnancros lgramn mayor. S s n n cuna la convdad oal, l propo produco acuaral ambén nos drmnará la convdad qu db nr la srucura nvrda d íulos, nndo ambén n cuna la convdad sprada d ano los compromsos asumdos como dl acvo acuaral o fuuros ngrsos probabls por las prmas a rcaudar. Emplando l msmo dsarrollo qu l mplado para drmnar la duracón d la carra d nvrsons s obn qu la convdad a la qu s dbrá srucurar la carra d nvrsons d la Endad Asguradora dbrá sr: CXM A A CXEM A CXEM [44] GRÁFCO 8 45, , , ,0000 CONVEXDAD DE ACTVO FNANCERO CX. Pasvo CX. Acvo Acuaral CX. Acvo Fnancro Duracón 5,0000 0,0000 5,0000 0,0000 5,0000 0, Tmpo 76

29 J. ñak d a Pña En l gráfco 8 ambén s obn para odos los prodos y para l produco d rsgo a 0 años, qu dsd qu s conraa és y para cualqur prodo posror, la convdad a la qu s db srucurar la carra d nvrsons s smpr mayor a la convdad d los pasvos. a razón srba n la convdad d los ngrsos probabls qu s ndrán n sos años fuuros qu, al sr mnor qu sa convdad sprada d los pasvos, al pondrarlos acord a la fórmula [44] rsula una convdad d los acvos fnancros lgramn mayor. 8. APCACÓN Con l fn d lusrar las condcons ncsaras para aplcar una sraga nmunzadora a producos acuarals a prma pródca, s procd a ralzar una aplcacón a dos producos, uno d aorro y oro d rsgo. Para l produco d aorro s consdra l abono d un capal d a los 60 años s l omador dl sguro, d 55 años alcanza dca dad sn fallcr n nvaldars. Consdrando sas dos causas d salda GRM-95 para fallcmno y EVKM-90 para nvaldacón y bajo la garanía dl po d nrés lbr d rsgo sn n s momno n l mrcado 3 d nro d 003 qu ascnd al 5 0 3,367% Esa garanía s conraada a los 55 años d dad por un asgurado, l cual abona prmas anuals consans a 5 años, sndo l valor d ésas: CA 55.69,8 El produco d rsgo consdra l abono d una ndmnzacón al fallcmno a abonar s ocurr ans d qu l asgurado cumpla los 65 años d dad. B

30 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... a ndad asgura la srucura d pos d nrés vgns a la fca, cuyo valor anual dpndndo dl plazo ascnd a: Plazo 0,4990%,597% 3,950% 4 3,085% 5 3,367% y consdra como causas d salda l fallcmno GRM-95 nvaldz EVKM-90. Esa s conraada a los 55 años d dad por un asgurado, l cual abona prmas anuals consans sndo la prmra prma: CA ,09 S analza la suacón d sos producos acuarals a prma pródca Tabla cuando l asgurado n 55 años y una vz an suscro la pólza, so s ras abr abonado la prmra cuoa: TABA PRODUCTO DE AORRO PRODUCTO DE RESGO , , , , , ,09 En ambos casos s pud obsrvar qu l compromso asumdo 55 s mayor qu la provsón mamáca 55 o fondo dóno qu db nr consuda la Endad Asguradora para acomr s compromso. 78

31 J. ñak d a Pña TABA PRODUCTO DE AORRO PRODUCTO DE RESGO DE 4,0989 DE,7869 CXE 3,795 CXE,9337 DE,3704 DE,3704 CXE 8,0934 CXE 8,0934 En la Tabla s obn qu lógcamn l produco d aorro conllva una duracón y convdad mayor n los compromsos asumdos qu las qu corrspondn a los ngrsos probabls por prmas. Bajo una póss d qu la provsón mamáca s ncunra íngramn consuda, so s, rspaldada fnancramn por las nvrsons qu va a ralzar n cada año la Endad Asguradora, n las sguns ablas s ndcará la volucón qu prmna cada produco asa la ncón dl conrao. Para l produco d aorro, n la abla 3, TABA 3 A , ,07.69,8.69, , , , , ,68 3.5,5 5.78, , ,0.60, , , ,88 0, , ,88 Y a la ora d srucurar las nvrsons, la carra fnancra dbrá omar una duracón y convdad n cada año fuuro puso n la abla 4: 79

32 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... Duracón sprada modfcada dl pasvo Convdad sprada modfcada dl pasvo CXEM TABA 4 Duracón sprada modfcada dl acvo acuaral Convdad sprada modfcada dl acvo acuaral CXEM Duracón sprada modfcada dl acvo fnancro DM A Convdad sprada modfcada dl acvo fnancro CXM 0 4,0989 3,795,3704 8,0934 0,335 80,36 3,865 8,6394,9048 6,095 6, ,480,8877,87,4347 3,6763 3,7480 5,550 3,93 5,548 0,9663,8675,346 6,36 4 0,9569,833 0,0000 0,0000 0,9569,833 A os rsulados para l produco d rsgo n la abla 5 son, TABA 5 A , ,86.608,09.608, , ,39.08,37.08, ,8.97,6.375,.375, ,7.53,8.454,36.454, , ,86.608,09.608,09 Y a la ora d srucurar las nvrsons, la carra fnancra dbrá omar una duracón y convdad n cada año fuuro, puso n la abla 6: TABA 6 Duracón sprada modfcada dl pasvo Convdad sprada modfcada dl pasvo Duracón sprada modfcada dl acvo acuaral Convdad sprada modfcada dl acvo acuaral Duracón sprada modfcada dl acvo fnancro Convdad sprada modfcada dl acvo fnancro CXEM CXEM DM A CXM A 0,7869,9337,3704 8,0934 4,869 30,3640,56 0,886,9048 6,095 3,953 8,8388,004 6,5597,4347 3,6763,767 0,67 3,477 3,854 0,9663,8675,787 5, ,9569,833 0,0000 0,0000 0,9569,833 80

33 J. ñak d a Pña 9. COMENTAROS FNAES os posulados gnrals d nmunzacón clásca dbn sr adapados n vsa a ncamnar a una corrca sraga nvrsora para producos acuarals a prma pródca. Es una raldad qu n mucos casos los producos d la compañía asguradora s comrcalzan a ravés d un po d nrés écnco consan, lmado lgalmn y qu los cambos d és son cambos nsanános y parallos. No obsan ambén s posbl l mplo d la srucura d pos d nrés d mrcado, bajo la póss d dsplazamnos parallos d sa srucura. S db procdr a smar l acvo acuaral n la sraga nvrsora, pus al fn y al cabo son unos ngrsos qu conracualmn va a rcbr la ndad n caso d no dars la conngnca conmplada n l conrao d sguro corrspondn. El flujo d ngrsos probabls dfndos n l conrao nos dlmará una duracón d ésos qu nflurá n la duracón conjuna dl programa lnal d la sraga nmunzadora. a duracón a la qu s db srucurar la carra d nvrsons dpndrá no sólo d la duracón dl acvo acuaral, sno ambén dl valor acual d ano los ngrsos probabls fuuros como los compromsos probabls fuuros pondrados sobr l valor d, prcsamn la carra d nvrsons corrspondn. Eso ará qu sa duracón d la carra d nvrsons aya d sr mayor a la duracón d los compromsos adqurdos. En prodos posrors, las sguns conrbucons al fondo s rán rnvrndo a duracons mayors qu l orzon d planfcacón, d forma qu juno con la duracón d la corrn d ngrsos probabls por prmas abonadas y rnvrdas ngan una duracón mda gual a s orzon d planfcacón. dénca conclusón s obn para l análss d la convdad d la carra d nvrsons, dond ambén los ngrsos probabls fuuros dl produco a prma pródca nos dlmará un grado d 8

34 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma... dsprsón d ésos y qu la carra d nvrsons ambén db nr n cuna. a mnor dsprsón dl abono pródco d prmas pródcas frn a la dsprsón o convdad d los compromsos asumdos ac qu la srucuracón s ralc n íulos con un grado d dsprsón o convdad n cada príodo supror al dl pasvo asumdo. 0. BBOGRAFÍA Badr, awrnc N..985 Acuaral mplcaons of Ddcad Pnson Funds. Transacons of Socy of Acuars, Vol. XXXV, Ccago. Bzun Zalbdgoa, Amanco Y Blanco barra, Flp.989 Plans y Fondos d Pnsons: Su cálculo y valoracón. Edcons Duso, Blbao. Brwag, Gorg O..977 mmunzaon, Duraon and Srucur of nrs Ra. T Journal of Fnancal and Quanav Analyss, dcmbr, Wasngon. Kaufman Gorg G. And Kang Culsoon.978 Duraon and Bond Porfolo Analyss; an Ovrvw. T Journal of Fnancal and Quanav Analyss, novmbr, Wasngon. Carls J. Corrado And Gorg G. Kaufman.990 Compung duraons for bond porfolos. T Journal of Porfolo Managmn, Fall, Nw York..99 Análss d la duracón. a gsón dl rsgo d po d nrés. Ed. Alanza Economía y Fnanzas. Madrd. D a Pña, J. ñak,.997 El rsgo d nrés n sguros y pnsons: una apromacón acuaral. Prmr Prmo aquo 0º Colloquumm nrnaconal d Barclona. Anals dl nsuo d Acuaros Españols, 3ª época, Nº, pp Madrd..000.Plans d Prvsón Socal. Ed. Prámd. Madrd..00. Rsgo d nrés d las opracons acuarals cláscas: un análss a ravés d la duracón. Anals dl nsuo d Acuaros Españols, 3º época, Nº 7, págs Madrd. Fabozz, Frank J. Y Fabozz, T. Dssa.995 T andbook of Fd ncom Scurs, 4ª dcón rwn nc. Nw York. 8

35 J. ñak d a Pña Fsr, & Wl, R Copng w rsk of nrs ras flucuaons: Rurns o bondoldrs from Naïv and Opmal Srags. Journal of Bussns, Ocubr. cks, J.R..939 Valu and Capal. Clardon Prss.Oford. bowz, Marn..986 a T Ddcad Bond Porfolo n Pnson Funds, Par : Movaons and Bascs. T Fnancal Analyss Journal d Enro-Fbrro, Vrgna..986 b T Ddcad Bond Porfolo n Pnson Funds, Par : mmunzaon, orzon Macng and Conngn Procdurs. T Fnancal Analyss Journal d Marzo-Abrl, Vrgna., Davd X. & Panjr, arry mmunzaon Masurs for f Conngncs. T Procdngs of four AFR nrnaonal Colloquum, Orlando. Macaulay, F..938 T Movmns of nrs Ras, Bond Ylds and Socks Prcs n Und Sas snc.856. Naonal Burau of Economc Rsarc, Nw York. Rdngon, F.M..95 Rvw of Prncpls of f-offc Valuaon. T Journal of nsu of Acuars, 8, ondon. Tovs, Aldn Uss of Duraon Analyss for Conrol of nrs Ra Rsk. n Pla, R.B. Conrollng nrs Ra Rsk, Jon Wlly & Sons, nc., Nw York.. ANEXO Parndo d la apromacón d Macaurn para rs érmnos, dond la funcón s. En l lím a cro d s valor ncrmnal s n, d [45].. Eprsón a ravés d la Duracón sprada A ravés d la prmra drvada d la provsón mamáca con rspco al po d nrés: 83

36 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma n s [46] S procd a dsarrollar sparadamn la nflunca qu las varacons dl po d nrés nn sobr los compromsos d pago y sobr los ngrsos probabls: n s [47] a varacón qu prmna l valor d la provsón mamáca cuando l po d nrés varía d a vndrá dada por: [48] ugo, susuyndo y oprando convnnmn, s alcanza una prsón: [ ] [49] qu ambén pud scrbrs como: [50]

37 J. ñak d a Pña 85 lo cual sgnfca qu la varacón qu prmn la provsón mamáca d una opracón acuaral d prma pródca dpndrá d las duracons spradas d ano los compromsos como d los ngrsos probabls dl conrao, pondrados con l pso qu rprsn cada uno d llos sobr la provsón mamáca orgnara. El nuvo valor qu omará la provsón cuando l po d nrés varí a srá: [ ] [5] Tnndo n cuna l valor qu oma la provsón mamáca drmnada por l méodo prospcvo [5] S s susuy n la prsón anror, s alcanza la prsón: [ ] [ ] [ ] [53] o cual s lógco... Eprsón a ravés d la Duracón y Convdad sprada Bajo l msmo razonamno qu l puso n l subpígraf anror s alcanza la prsón,

38 Condcons para una nmunzacón por duracons para sguros a prma [ ] [ ] CXEM CXEM [54] Dond l valor qu oma la convdad sprada modfcada para los pagos probabls asumdos n la carra d sguros ascnd a: s CXEM [55] Y la convdad modfcada d los ngrsos probabls qu dbn acr los omadors dl sguro s: n CXEM [56] Tnndo n cuna l valor qu oma la provsón mamáca drmnada por l méodo prospcvo, susuyndo n [0] y oprando s alcanza la prsón: CXEM CXEM [57] Eso s, [58] o cual s ambén lógco.