10 - Radiación Electromagnética

Transcripción

1 lcomagnsmo Raacón lcomagnéca nouccón n los capíulos pcns analamos las solucons las cuacons Maxwll n un cno sn funs campo qu consuyn onas lcomagnécas. n als casos s suponía qu las funs s hallaban fua l cno ngacón. n s capíulo analamos las solucons las cuacons Maxwll cuano las funs l campo s hallan no l cno ngacón. D sa foma s mna la lacón n l campo y sus funs s c s scb l pocso gnacón ngía lcomagnéca aan. l poblma la aacón lcomagnéca n mpoanca pácca a alas fcuncas. n ssmas ponca s lvanca n suacons sobcaga o sbalanco ansoos caía ayos y como faco nfnca lcomagnéca sob oos qupos o nsalacons. n comuncacons nalámbcas los ssmas aans s basan n sos pncpos. Fnalmn son nés acual las conscuncas bológcas y ambnals los campos lcomagnécos funamnalmn n lacón a los vnuals fcos pjucals qu las nsalacons léccas puan n sob la salu humana y l mo ambn. Rsolucón las cuacons Maxwll n l vacío con funs ρ ε H n l vacío: H + µ H ε j Paa solv sas cuacons nhomogénas s convnn nouc los llamaos poncals lconámcos qu sugn las popas los campos: Como H H µ s l llamao poncal vcoal lconámco. noncs: H + µ + ugo: + moo qu l campo no l coch s pu scb como l gan un poncal scala: + s l llamao poncal scala lconámco. Nós qu s poncal vcoal lconámco conc con l poncal vcoal magnéco qu hmos vso pvamn n l caso sáco cuano los campos no pnn l mpo. Tambén l poncal scala lconámco conc con l poncal lcosáco cuano los campos no pnn l mpo. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

2 lcomagnsmo 4 - Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s jmplo.: nala la unca n la slccón los poncals lconámcos. Como s fn l poncal vcoal a pa : / µ H s v qu pu scbs ambén: [ ] / µ H Ψ + on Ψ s un campo scala fncabl cualqua ya qu l oo un gan smp s co. noncs l poncal vcoal no s únco sno qu sá fno a mnos l gan un campo scala. S omamos noncs: Ψ + qua paa l campo lécco: Ψ o sa: Ψ + mana qu s omamos los poncals lconámcos: Ψ + Ψ llgamos a las msmas xpsons los campos qu ans. a funcón Ψ s abaa y su lccón s conoc como una calbacón o gaug. as lys físcas bn s nvaans fn a una ansfomacón calbacón. as monas oías gaug n la scpcón las naccons lmnals han cao una nuva vsón la físca. os poncals lconámcos y pmn obn los campos. Vamos cómo s scbn las cuacons Maxwll paa sos poncals: j j H ε µ ε ε ρ ε ρ ε ρ on: j j µ µ c c c c Too campo vcoal qua unívocamn fno s s an su vgnca y su oo. n l caso l poncal vcoal s conoc l oo qu s H po las cs. Maxwll no an nnguna concón sob su vgnca. s así qu pomos lgla la foma más convnn paa solv l poblma. sa lccón abaa s llama una calbacón como s mnconó n l jmplo.. n nuso caso las cuacons fncals paa los poncals lconámcos s smplfcan s usamos la calbacón on: + c on qua: c c j µ ε ρ qu son cuacons vcoals D lmb nhomogénas. a solucón sas cuacons nhomogénas son las sguns PNDC 7: V V V R V R 4 4 j π µ ρ π ε con: c R R / S v sas xpsons qu los poncals n un puno l spaco y n l nsan pnn lo qu ocuó n las funs n un nsan ano. Po sa aón s llaman poncals aaos.

3 lcomagnsmo 4-3 s ao sug l valo fno popagacón la lu n l vacío qu a luga a un nvalo n l momno qu s a un cambo n la fun y l momno n qu s obsva l cosponn cambo n l campo ljano obsvao. os cambos s popagan n foma onulaoa con vloca c. sas cuacons psnan la gnacón onas lcomagnécas a pa sus funs. sas onas anspoan ngía s las funs haca oos ssmas. D la xpsón s obsva qu xs gnacón onas cuano la con pn l mpo. S la con s saconaa no xs gnacón onas. Una con saconaa npnn l mpo mplca qu las cagas s hallan n movmno unfom. Una con no saconaa mplca cagas aclaas. S concluy noncs qu sólo cagas aclaas mn onas lcomagnécas mnas qu cagas n movmno unfom no mn aacón. Paámos báscos las annas Una anna s un ansuco n una ona guaa y una ona n l spaco lb. Su objvo s nva o cb ngía y/o nfomacón a sanca n foma onas lcomagnécas. S pu pnsa una anna como un sposvo aapacón mpancas n la lína o guía almnacón y l spaco. n las sguns sccons psnamos los paámos báscos qu scbn l compoamno las annas. Rssnca aacón Cuano la anna acúa como msoa nvía ngía al spaco qu la oa. S pu mola sa csón ngía con una analogía ccual on la ngía aaa s supon spaa po fco Joul n una ssnca aacón. Ona lb Gnao Ona guaa nna Gnao Ona guaa R Raacón Dagama aacón Un paámo mpoan una anna s la sbucón spacal la aacón qu m. Sabmos qu man nfnca aaos cohns pomos obn una sbucón no unfom la aacón. so pm loga gua onas aún l spaco lb sn cononos. as gáfcas campo o nsa ponca aaa sgún las ccons l spaco son los llamaos agamas aacón. sos agamas ambén scbn las popas ansóopas cpcón annas cpoas mana qu son caacíscas gan nés n l sño un nlac aocomuncacons.habualmn l agama aacón una anna s un agama mnsonal o un gupo sccons sob planos qu fnan las caacíscas la anna. Nomalmn s aa un agama n coonaas sfécas y sccons sob planos hoonals a ϕ consan o vcals a consan. n la fgua s musan agamas polas hoonals l campo y la nsa ponca aaos po un aglo aaos ubcaos sob l j vcal. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

4 lcomagnsmo Dagama campo Dagama ponca Tambén s pun buja los agamas n coonaas casanas con onaa popoconal a la amplu l campo o a la nsa ma ponca aaa n scala nomal o n scala logaímca n B como s lusa n las sguns fguas paa l msmo ssma las gáfcas polas ϕ gaos gaos S obsva qu l agama aacón conss n una s lóbulos. S v amás qu n gnal l agama aacón campo vla con más all la sucua lobula la aacón aunqu l agama nsa ponca scb n foma más alsa la sbucón ansoópca la ngía aaa. n lo qu sgu n sa sccón nos fmos al agama ponca. Hay lóbulos pncpals n las ccons máxma aacón y lóbulos scunaos qu s hacn más vns n los agamas logaímcos. l lóbulo s fn po su amplu y su ancho ha ponca ma ϕ paa l cual la nsa ponca ca a la ma l valo máxmo paa l lóbulo y los campos a /. n muchos casos la anna pouc una polaacón no lnal y s pun a los agamas aacón paa caa componn polaacón o un agama ponca qu gafca l móulo l vco Poynng paa l campo complo n funcón la ccón ϕ. Habualmn los agamas ponca s nomalan a la nsa máxma. Ponca ma aaa l vco Poynng mo mo po la anna sá: < N > R H * Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

5 lcomagnsmo 4-5 a ponca ma aaa po la anna s calcula man l flujo l vco Poynng a avés una supfc caa qu conn a la anna: P N nˆ s S a supfc ngacón s cualqua. Supongamos po jmplo qu omamos a S como supfc ngacón y obnmos un valo P. S lugo omamos S oa supfc S qu conn a S obnmos n pncpo oo valo P. Po l spaco n S y S s vacío s c no conn funs oos aaos n sumos po jmplo cupos conucos ngía S S Ω lcomagnéca. Po lo ano la ponca qu cua S b s la msma qu cua S. D sa foma mosamos qu la supfc ngacón pu s cualqua y noncs s lg po convnnca mamáca una sfa cnaa n l cno la anna: < N > nˆ S < N > Ω S on Ω s l ángulo sólo lmnal subno po l lmno S. Dfnmos así l agama aacón ponca: a ha Ω S fn como áa ha a: < N Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s P Ω P Ω < N > < N > > max max f ϕ Ω f ϕ Ω y s l ángulo sob l cual s concnaía la aacón s fua no s ángulo valo gual al máxmo. S n qu: < N > Ω max P Ω Ω max l áa ha m la ansoopía la aacón. s mno cuano más concnaa s halla la aacón n un ángulo pquño. l áa ha s pu xpsa n foma apoxmaa como l pouco los anchos ponca ma sob las os ccons pncpals oogonals: Ω ϕ Tambén n ocasons s spaa la conbucón los lóbulos mayos los lóbulos mnos: Ω Ω M + Ω m lo qu llva a fn la fcnca l ha pncpal como: ε M ΩM / Ω Dcva gananca y fcnca a cva una anna s la lacón n la nsa ponca máxma y la nsa ponca pomaa sob una sfa. Rsula n un númo qu m l gao ansoopía la aacón. Una anna muy cva concna su aacón n un ángulo sólo pquño. Una anna soópca n cva unaa. y s v qu la c- P Ω P max D acuo a su fncón: D P / P va s nvsamn popoconal al áa ha. / Ω / Ω

6 lcomagnsmo 4-6 S nomna gananca la anna a: G k D on k s la fcnca la anna qu sá laconaa con las péas po fco Joul n los conucos la anna. S almn la anna no psna péas óhmcas k y la gananca conc noncs con la cva. mpanca naa a mpanca naa s la mpanca qu la anna psna al ccuo almnacón. n gnal s complja: Z R + X y la pa ssva s pu scompon n la pa R j qu psna las péas óhmcas n l ccuo la anna y la ssnca aacón R asocaa a la ponca ma: R R j + R. a mpanca naa la anna s un paámo funamnal paa la aapacón la anna al ccuo almnao y s fcun qu su vaacón con la fcunca sa uno los paámos sño más mpoans. Z G n gnal pomos consa un gnao mpanca nna Z G concao V a una anna mpanca naa Z. a con almnacón la anna s la qu ccula po l ccuo quvaln la fgua: Z V V Z G + Z RG + R j + R + X G + X on V s la nsón pco l gnao. a ponca ma péas óh- V R mcas n la anna s: Pj R j RG + R j + R mnas qu la ponca ma aaa po la anna s: j + X V R P R RG + R j + R + X G + X Fnalmn la ponca ma pa n l ccuo l gnao s: P G R G V R G + R j + R R G + X l gnao b sumnsa sas s poncas. a concón máxma ansfnca ponca l gnao a la anna s a cuano la mpanca la anna s l conjugao la mpanca l gnao: RG R R j + R X G X n s caso las poncas nvolucaas valn: V R j V R V Pj P P G 8 R j + R 8 R j + R 8 R j + R on s v qu: PG P Pj + P s c la ponca pa n l ccuo nno l gnao s gual a la ponca oal qu s nvía a la anna on pa s spa po fco Joul y pa s ma n foma aacón lcomagnéca. S la anna almn no uva péas l gnao bía sumnsa l obl la ponca qu s qu m n la concón máxma ansfnca ponca. n casos páccos b sumnsa más paa compnsa las péas óhmcas la anna y la/s línas ansmsón conxón. bua o áa fcva Cuano la anna s ula como cpoa cb una aa nsa ponca lcomagnéca qu conv n ngía lécca n un ccuo. a lacón n la ponca lécca G G + X + X Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

7 lcomagnsmo 4-7 úl y la nsa ponca qu cb la anna n mnsons áa y s nomna áa o abua fcva la anna: /<N> a abua fcva la anna sgnfca l áa fcva qu psna a la aacón ncn como s fua una abua po on pasa oa la ponca cba. a abua fcva la anna sum os caacíscas: la ansoopía o cva la anna y la fcnca convsón ngía aan n ponca lécca n un ccuo. S suponmos qu sa fcnca s máxma unaa la abua fcva s nomna abua fcva máxma. Paa calcula la abua fcva máxma una anna cpoa consmos una anna qu Z sá concaa a una caga Z sob la qu nc una ona s un ansmso ljano qu pomos Z V consa una ona plana. n al caso l vco Z Poynng o nsa ponca ncn s: < N > on s la amplu l campo ncn. Po oa pa s campo ncn nucá una fm V sob la anna on s su longu. S pu noncs pnsa n un ccuo quvaln como l la fgua on Z s la mpanca la anna. Po lo ano la ponca ansma a la caga s: * * R V R R V R Z Z + Z S qumos halla la abua máxma no b hab péas n la anna moo qu la pa al la mpanca anna s solamn la ssnca aacón: Z R + X lo qu nca qu oa la ponca acva absoba po la anna s ponca aacón. más paa máxma ansfnca ponca la anna a la caga la mpanca caga b s conjugaa la la anna: Z Z * R X y noncs: V R V R V Z + Z R 8R 8R a abua fcva máxma sula así: 8R m < N > 4R paa una anna l po un alamb co. Cuano la anna s una spa la fm nuca sá: V Φ ω B S ω µ / S ω S c on S s l áa la spa. ugo: m V ω S ω S 8c R ω S π S m 8R 8c R < N > c R 4 R on s ha usao: ω/c π/ Una msma anna pu ulas como ansmsoa y cpoa. Po lo ano sus caacíscas ansmsón y cpcón sán lgaas. as lacons más mpoans son 3 : m Ω D G m : 3 V po jmplo W.Suman & G.Thl nnna Thoy an Dsgn n.. Wly Nw Yok 998 p.78. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

8 lcomagnsmo 4-8 Tpos báscos aaos n s capíulo vmos algunos los pos báscos aaos: l polo lécco coo l polo magnéco lmnal y las anuas aans. Con sos pos pomos scb annas mayo complja y amaño. H H H Dpolo lécco Dpolo magnéco os agamas aacón y la polaacón los campos mos po sos aaos s musan n las fguas paa compaacón. Db ns n cuna qu la nnsa la ponca aaa po sos lmnos s fn y los agamas no sán a scala. Una clasfcacón básca las annas sug su compoamno n fcunca. Hay confguacons bana angosa qu mn fcnmn sólo n un conjuno sco fcuncas quás una sola y annas bana ancha qu mn con fcnca smla n un spco mpoan. Caa po n aplcacons spcífcas y vmos jmplos ambos pos annas n s Capíulo. Raacón pola lécca as annas aconals conssn n conucos flfoms po los qu cculan cons pnns l mpo. l caso más smpl msón onas lcomagnécas o aacón s a n l caso un hlo muy coo qu anspoa una con unfom vaabl n l mpo. s objo no cospon a nngún caso al po s aa un caso lím qu s pu usa lugo paa l análss annas als man supposcón. Suponmos qu po l hlo qu llamamos polo lécco aan ccula una con amónca unfom ω n noacón fasoal. l poncal vcoal magnéco cao po l polo sá: µ j µ V ˆ V R C on hmos pasao una ngal volumn a una y ngal lína y como y la con no pn qua: ˆ x µ ω / c pa l poncal vcoal pomos calcula l campo magnéco: H. Paa llo nos convn xpsa n coonaas ẑ ˆ sfécas ya qu su pnnca funconal s spco la sanca. D la fgua: ˆ cos ˆ sn ˆ ˆ µ ω / c y noncs: cos ˆ sn ˆ Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s Ranua aan a combnacón sos s pos lmnals aaos llva a la mayoía los pos annas uso n la écnca.

9 n coonaas sfécas: ˆ sn µ lcomagnsmo 4-9 ˆ sn ˆ sn µ ˆ ω ω ˆ sn k sn k k k sn + sn ˆ ˆ sn ˆ k cos ˆ ω k y fnalmn: H k + sn ˆ µ S v qu H n os émnos uno qu pn como / y oo qu pn como /. pa H s pu calcula con la cuacón Maxwll-mpè: ˆ ˆ sn ˆ H ε H ω ε ω ε sn sn H ω ε sn ˆ sn H ˆ sn H ω k cos y fnalmn: k k + ˆ sn k ˆ 4 π ε ω S v qu n os componns una sob ˆ y oa sob ˆ. sa úlma componn psna un émno qu pn como / mnas qu oos los oos émnos pnn poncas nvsas mayos. os campos caos po cagas sácas y cons saconaas connas n cnos acoaos a gans sancas vaían como / n con n. s s l pm caso qu hmos nconao on campos ljanos vaían como /. sos émnos qu pomnan a gans sancas sob los oos émnos s nomnan émnos aacón. Paa compla l análss su sgnfcao calculamos la ponca ma qu anspoan las onas gnaas po l polo. Ncsamos l valo mo l vco Poynng. n noacón ˆ ˆ ˆ fasoal: * < N > R H * R R ˆ H H ˆ * * H ugo sñalamos n ojo los émnos aacón: * ω k k ω k R H R sn k k sn + εω 3 3 k k k k k sn R sn k 3 6 πεω + + 3πεω Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

10 lcomagnsmo 4 - x R * H R ε ω R 8π ε ω sn ω k cos k cos sn k + + k k + ω k k + sn 3 sn sn y fnalmn: k N ˆ < > ˆ 3π ε 8 ω S obsva qu sólo conbuyn al valo mo l vco Poynng los émnos aacón n l saollo los campos: H a a k ε ω k N H ω k ω k ˆ k sn sn ω ksn ˆ ε ω ˆ sn on: H a a k sn ω ksn ˆ k ε ω k k ε ω cε sos campos s nomnan campos aacón y son los qu scbn la msón ngía lcomagnéca l polo. S v qu los émnos aacón pnn como / son ppnculas n sí y a la ccón popagacón aal y la lacón n llos s la mpanca nínsca l vacío. Consuyn noncs una ona sféca lmnal. jmplo.: nala la lacón n los campos aacón y los poncals lconámcos. Paa solucons amóncas: + ω µ ω / c cos ˆ sn ˆ k ω k sn ˆ a ε ω l poncal vcoal s: Y l campo lécco aacón: y S v qu a on sug qu l campo aacón sá laconao solamn con la componn ansvsal a la popagacón. l poncal scala no nvn n la fncón l campo aacón sno qu a luga a componns longunals a la popagacón qu no son émnos aacón. ω ˆ D sas cuacons sug qu una foma snclla halla n foma apoxmaa los campos ljanos o campos aacón un aao s: calcula con la solucón pacula cuacón nhomogéna; calcula a ω T on T s la componn ansvsal a la popagacón; 3 calcula H ˆ a a / Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

11 lcomagnsmo 4 - os oos émnos los campos s nomnan campos nuccón o émnos nuccón y can más ápo qu los émnos aacón. sos émnos no anspoan ngía na n valo mo mpoal po fnn los valos lvans l campo n las ccanías l mso. l agama aacón paa l polo lécco coo s obn : sn < N > 8 f f sn < N > max s agama psna un máxmo o lóbulo pncpal paa π/. l agama no psna pnnca spco po la smía volucón l poblma spco l j mana qu la gáfca pola D s una sccón ca l agama 3D qu s un oo. Ponca aaa a ponca ma aaa po l polo s: < N > nˆ S on S s una supfc caa cualqua qu nca al aao. Dbo a qu <N> pn y convn usa una supfc sféca. S n: S < N > nˆ S 8 ππ sn Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s S sn 8 π π 3 sn π y noncs: 3 S obsva qu la ponca ma aaa pn l cuaao la con pco y la lacón /. Como paa l polo lmnal sa lacón s muy pquña la ponca ma po l polo aan lécco ambén lo s. Pomos calcula los oos paámos vnculaos con la aacón: π π Rssnca aacón: R R 3 3 o ncho ha ponca ma: sn / ± π / 4 π/ 9 a ha y fcnca l ha pncpal:

12 lcomagnsmo 4 - π π < N > 8 Ω Ω sn Ω sn 3 ϕ π < N > 3 max Dcva: D 4 π / Ω 3/ bua fcva máxma: m 4R 3 s vfca 8π Ω ε M M Ω D m / jmplo.3: Un polo lécco aan cm longu almnao po una con pco y fcunca MH. Hall la ponca aaa y la ssnca aacón MH la longu ona s c / f 3m >> cm moo qu pomos usa las apoxmacons polo lmnal. a ponca aaa s: π 3 44µ W 7 5 a ssnca aacón s: π Ω ambén muy baja R qu s muy baja. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

13 lcomagnsmo 4-3 Raacón pola magnéca Paa l spaco vacío las cuacons Maxwll on fgua l oo los campos son smécas: + µ H H ε Naa camba s mplaamos po H y µ po ε n la ly Faaay H po - y ε po µ n la Maxwll-mpè. sa popa s conoc como uala y llva a qu poamos xpsa la solucón un poblma con una fun magnéca a pa la solucón paa un poblma smla con una fun lécca. Paa usa sa popa xpsamos los campos la aacón po un polo lécco coo no n émnos la con qu ccula po l lmno sno a avés su momno pola lécco qu pomos calcula a pa la cuacón connua aplcaa no l lmno conuco. Paa vaacons amóncas: j + ρ / j + ωρ ngamos sob un volumn V qu nc un solo xmo l lmno: S j + ωρ V jv ω ρ V j nˆ S ω ρ V V V V on: ω q. n sa cuacón q s la caga acumulaa n l xmo l lmno. Dbo a la pquña longu l lmno no habá caga acumulaa n su no aunqu un aonamno smla nos musa qu hay una caga acumulaa -q n l oo xmo l lmno. Pomos pnsa así al lmno con como un polo cuyo momno pola sá: p q ω pa s sulao pomos xpsa los campos y oas caacíscas l polo lécco coo aan n émnos s momno pola lécco 4 : n la magnosáca s fn l momno pola magnéco una spa como m S nˆ on s la con qu ccula po la spa S su áa y nˆ la nomal. l campo magnéco cao po s polo magnéco n la msma foma mamáca qu l campo lécco cao po l polo lécco n la lcosáca. n la lconámca pomos ulano la popa uala scb los campos caos po un polo magnéco aan po l qu ccula una con amónca. Paa llo usamos las sguns lacons uals: Dpolo lécco aan Dpolo magnéco aan Momno pola lécco Momno pola magnéco Campo µ Campo H ε Campo H ε Campo - µ p ω ˆ m S ˆ on: ω p H k + sn ω k V ω µ m S k + sn ω k p ω k m ω k k + cos H k + cos πε π p ω k k m ω k k k sn H ε k sn 4 n ala n la uccón ognal los campos aaos po s lmno alaa po H consó fcvamn un polo os cagas léccas cuya caga pn l mpo on sug l nomb s aao. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s V

14 lcomagnsmo 4-4 Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s Y los campos aacón l polo magnéco aan quan noncs π ω ˆ 4 sn m k k a π ω ˆ 4 sn m k k a H os campos aacón son nomals n sí y a la ccón aal popagacón y s hallan n lacón uala spco los campos aaos po l polo lécco coo. l vco mo Poynng s: H N ˆ 3 ˆ 4 ˆ 4 R R 4 * π π π ω ω sn S k sn S k sn S k k k > < l agama aacón s l msmo qu paa l polo lécco coo. a ponca aaa s: sn 3 π π π π S S k S N P S > < > < pa sas xpsons s pun calcula los oos paámos la anna pola magnéca. Rssnca aacón: R S P > < π π S R bua fcva máxma: 8 3 π R S m l ancho ha ponca ma l áa ha y la fcnca l ha pncpal y la cva concn con las xpsons l polo lécvo coo. s nsan compaa las poncas aaas po las os annas lmnals n smlas concons. Tomamos l msmo valo fcunca y amaño quvaln con: S : << > < > < π π π S S P P M paa polos pquños fn a la longu ona. Po lo ano l polo magnéco aan s aún mnos fcn qu l polo lécco mnsons smlas. Raao soópco S v qu la aacón ma po l polo lécco coo s ansóopa s c pn la ccón n l spaco. n análss ócos s convnn spon un aao al qu ma n foma sóopa. s aao sóopo o soópco s pu scb man los campos y nsa ponca: qu psnan una ona sféca lmnal. Po oa pa sas xpsons concn con las cosponns a los campos l polo lécco lmnal sn n n cuna la vaacón con. aao soópco > < ω f N H k

15 lcomagnsmo 4-5 Raao fua l ogn os campos un aao suao n l ogn coonaas pun scbs po onas sfécas lmnals moulaa po un faco ansoopía bo a la gomía l aao y la sbucón con no l aao: F f ωk y n la fgua s musa sa gomía. S s co l ogn coonaas moo qu l aao pas a la poscón la xpsón x los campos b mofcas a: ωkr F f on R R R y son los ángulos sfécos n l ssma coonao cnao n l aao. Paa sancas ljanas >> l R ángulo fomao po los vcos y R s muy lgao. ' Po l oma l cosno y saollano n s Taylo a pm on: R + ˆ y Pomos apoxma a on co n la amplu l campo l nomnao la xpsón ano po bmos x mann on uno n la fas ya qu n gnal usamos la scpcón l aao fua l ogn coonaas paa anala la supposcón cohn los campos aaos po un conjuno aaos y s l émno fas l qu nouc l fnómno nfnca. Po oa pa los ángulos sfécos nn a sus valos spco l ssma coonao ognal: y. ωk k && poxmamos así: F f f ya qu k k ˆ kr k ˆ k k. n sumn: ωk k n la supposcón campos mos po aaos lmnals los campos aacón ljanos habualmn pun calculas: apoxmano la amplu a on co: / R / apoxmano la fas a on uno: kr k k suponno paallos los campos mos Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

16 Dpolo lécco lago / l -/ lcomagnsmo 4-6 l polo lécco coo s un ssma al ya qu la con no pu s consan sob oa su xnsón poqu b anulas n los xmos. n l caso una anna pola longu cualqua pomos anula la con n los xmos abos po noncs bmos am qu la con vaía a lo lago la anna. S obsva xpmnalmn qu n muchos casos nés la sbucón con a lo lago la anna s pu xpsa apoxmaamn como: π ω sn Paa calcula los campos mos po l polo lago pomos p l pocmno alao con l polo coo o pomos pnsa qu la anna sá fomaa po una sucsón polos léccos coos longu l caa uno los cuals má un campo aacón: k kr kr sn l sn l ε ω R R H n sas cuacons: R ρ + y s l ángulo fomao n R y l j. Como la lacón fass n las cons qu almnan a los snos lmnos aans s fja aa po la xpsón la sbucón con sob la anna los aaos mn n cohnca fas y s suman los campos. R ρ / ω / kr π sn sn H R Paa sancas muy aljaas >> apoxmamos l campo gnao po caa lmno como s ha xplcao n la sccón pcn y nmos: kr k k ˆ k k kˆ ˆ k cosϑ R / ω k k k cos ugo: sn sn k / n l PNDC 8 s calcula sa ngal: / k k cos k k sn k cos cos cos k sn / con lo qu nmos: k k π sn ω k cos cos cos H Pomos scb sa xpsón como l pouco n l campo gnao po un únco polo coo longu y oo faco: Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

17 lcomagnsmo 4-7 Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s cos cos cos sn k k k π ω cos cos cos sn sn k k k π ω on l pm faco ω sn k s l campo qu gnaía un únco polo coo longu y cos cos cos sn / k k k F s un faco nfnca qu pn la ccón n l spaco como n oa nfnca y ambén la longu l polo. s faco nfnca sug la supposcón cohn polos lmnals qu s ha usao n l cálculo l campo aao. l agama aacón gnao po l polo lago s: > < > < > < max max max F F N N f F H N R R * * y s obsva qu s cumpl la llamaa gla mulplcacón agamas: l agama aacón oal s pu xpsa como l pouco l agama aacón caa lmno n qu s v l ssma aan y l agama aacón qu sug la nfnca n los aaos lmnals npnnmn sus caacíscas nvuals. Ralano las cunas: max N N f > < > < po: π π π sn cos cos cos 8 > < N l máxmo sa nsa ponca pn una foma ascnn la lacón /. Paa halla l máxmo gafcamos la sgun xpsón n funcón paa snos valos /: π π sn cos cos cos g la cha s a l agama aacón logaímco n B nomalao paa las snos valos /. Obsvamos l posconamno y mofcacón l valo los máxmos / f max gaos / / Dagama logaímco nomalao n B

18 lcomagnsmo 4-8 pncpals con la longu la anna. S v qu aumna la nnsa los máxmos con la lacón / y apacn lóbulos scunaos n snas ccons. n las fguas s psna l agama aacón pola nomalao 5 lnal qu pun compaas con los agamas lnals la págna pva: / / / 3/ / 5 5 Fnalmn pomos calcula la ponca aaa po l polo lago: π π π cos cos cos < > P < N > S π S 8π sn sa xpsón s pu calcula 6 n émnos l llamao cosno ngal: x cos Cn x Dfnmos n / númo smlongus ona qu nan n la longu la anna mpa Cn nπ n y noncs: 8π [ 4Cn nπ Cnnπ ] n pa o n funcón la ssnca aacón: R Cnnπ n mpa R [ 4Cn nπ Cnnπ ] n pa y la abua fcva máxma: 4R π / Cnnπ π / [ 4Cn nπ Cnnπ ] n mpa n pa 5 n agamas no nomalaos los máxmos ccn ápamn con la longu la anna acuo a los valos la gáfca la págna pva. 6 M.Bscgla.Zubcov J.C.Fnan Cuso lcomagnsmo. Nuva bía 98 p.347. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

19 lcomagnsmo 4-9 jmplo.4: Calcula la ssnca aacón paa polos léccos aans n/ con n. Calculamos ablas o man ss los cosnos ngals 7 paa obn: n R Comnaos n R Ω polo ma ona Ω Ω polo ona compla Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω S obsva qu la ssnca aacón aumna nno a con la longu l polo y s mayo paa annas longu múlplo ona compla. s compoamno sá laconao con la foma y amaño los lóbulos aacón las fguas pvas on s v cómo aumna la aacón ma con l amaño la anna. a anna pola lécca o polo lago s una anna sonan poqu n l caso al péas nulas s foma sob lla una ona saconaa con con noos n los xmos abos. Po lo ano la longu la anna b s un númo no smlongus ona paa sasfac sa concón. D sa foma s v qu sólo s pu xca un conjuno sco fcuncas sonanca. S s almna a la anna con una fcunca no "pma" habá una fu flxón a la naa la anna qu s compoa n foma smla a una lína sonan. Po lo ano la anna pola lécca s una anna bana angosa alo la/s fcunca/s sonanca. s sulao s paa un alamb sccón spcabl. Pu mosas qu l ancho bana una anna pola lécca aumna s s usan alambs mayo sccón. n muchas ocasons l polo n una sola ama a la qu s conca l gnao cuya oa conxón s hac a a. a oa ama s pu consa como la magn n a la ama vaa. sí una ama /4 pouc un polo /. sa sposcón s conoc como anna lágo y s muy usaa auomóvls léfonos clulas c.. Paa qu s ssma sa fcn la a b accas al compoamno plano conuco pfco mana qu b s ala conucva y xns vaas vcs /4 alo la poscón l lágo. n gnal la mayoía las annas s sñan y consuyn sob a y l méoo mágns s usa xnsvamn. Sn mbago n la ala la a no s un conuco pfco n squa n casos un bun conuco. pa las nvsgacons ponas Sommfl a pncpos l sglo XX la aacón un polo lécco sob un plano s conucva fna s pu scb convnnmn como la supposcón una ona spacal cuyos campos can como / los ípcos campos aacón qu hmos ya nconao y una ona supfc cuyos campos can como / foma qu sos émnos jan n mpoanca n la aacón ljana. Sn mbago la psnca conucva fna ala los agamas aacón mana qu los lóbulos qu s an paa l plano hoonal π/ gan sus máxmos a un co ángulo lvacón y la ponca ma asan al sulo s v uca spco al caso al. n la fgua 8 s musa la nflunca n l agama aacón una anna pola vcal m longu colocaa a / po ncma a con sulos sna conucva 7 n l pénc 9 s an las xpsons las ss qu psnan al cosno ngal. 8 sa fgua sá omaa goun s jus a goun unlss s a mol of a goun.b.cbkw4rn hp:// Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

20 lcomagnsmo 4 - molao con l pogama ZNC/4. S obsva pmo qu l caso a conuco pfco los lóbulos qu nn su máxmo sob l plano hoonal s muvn haca aba. a caía la conucva l sulo smnuy l valo l máxmo aacón y conv l co n un máxmo scunao Nós qu la scala s logaímca n B. nnas ona vaja l polo lécco lago qu hmos analao s una anna sonan poqu las sbucons con y nsón a lo lago la msma son onas saconaas. Pomos anala sa anna como una lína ansmsón mpanca caacísca vaabl y aba n l xmo. Sn mbago s posbl consu annas on la ona con s una ona vaja qu s popaga a lo lago lla. Po jmplo consmos un conuco co longu on la con sá fna po la ona pogsva: ω k l campo lécco aao po caa lmno la anna sá como n l caso l polo lago: k kr kr l l sn sn R ε ω R R y apoxmano la msma mana qu n s caso: ωk k k cos sn O a ngal s nmaa y obnmos: kcos ωk ωk sn kcos sn [ ] kcos cos sn k cos sn cos k ω k y fnalmn: H π cos l agama aacón no nomalao sá: sn k cos sn sn π cos < N > 8π cos 8π an / n la fgua s musan cuao casos. Obsévs qu los máxmos s hallan onaos haca l sno popagacón la ona vaja +. l valo los máxmos cc con la longu la anna n foma smla a la la anna sonan. Pomos calcula la ponca oal aaa po sa anna: 3 π sn k cos sn < N > Ω π 8π cos Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

21 lcomagnsmo 4 - / 3/ 5 sa ngal val 9 : .45+ ln sn / / / C / + cos on C x ln x + γ Cn x s oa vaan l cosno ngal. a consan γ s x llamaa consan ul. D aquí la ssnca aacón sula: R.45 + ln π y la abua fcva máxma: 4R.45 + ln sn / / / C / + π / sn / / / C / + jmplo.5: Calcula R paa annas ona vaja n/ con n. snnπ R.45 + ln n C nπ + π nπ a xpsón a usa s: Calculamos ablas o man ss los cosnos ngals paa obn: n R n R Ω Ω.93.37Ω Ω Ω Ω Ω 9.53.Ω Ω Ω S obsva qu la ssnca aacón aumna n foma monóona nno a con la longu la anna. Salvo paa n los valos paa n mpa son mayos y los valos paa n pa mnos qu los la anna sonan gual longu. as annas ona vaja s pun combna paa consu annas V o annas ómbcas sposcons cuyas caacíscas aacón s pun scb n funcón las hallaas. Como amás la longu ona la ona vaja no n qu cumpl nnguna concón n los xmos la anna como n l caso las annas sonans no hay concón sob la fcunca la con almnaoa y sas annas son annas bana ancha a fnca las annas sonans qu son bana angosa. 9 J..Saon "lcomagnc Thoy" Mc-Gaw Hll Nw Yok 94 p.445. n l pénc 9 s an las xpsons las ss qu psnan al cosno ngal. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

22 lcomagnsmo 4 - Rs o aglos aaos as annas nvuals an agamas aacón qu no smp sasfacn las ncsas. s posbl mofca l agama aacón usano múlpls aaos causano nfnca n los campos mos po caa uno. Paa llo s ncsao qu los aaos man n foma cohn s c qu haya una colacón fas n los campos lo qu s loga habualmn sablcno una colacón fas n las cons almnaoas los aaos. sas sposcons s conocn como s o aglos aaos y la mayoía las annas uso acual s basa n llas. nalcmos l caso más smpl qu conss n un pa aaos soópcos spaaos una sanca. Como la ca qu un ambos aaos s un j smía volucón l ssma omamos un ssma fnca cnao n l pa con los aaos sob l j / x foma qu los campos no pnan. Suponmos amás qu las cons almnaoas son gual amplu po qu pu hab un sfasaj ψ n llas. l campo mo po l pa polos s po supposcón cohn paa sancas ljanas: -/ k k ω ψ + on y son las sancas s caa aao al puno obsvacón. Hmos ajucao al sguno polo l sfasaj las cons. k k k k ± k cos Paa punos ljanos >> : y nmos: ψ ψ ψ k cos k cos ω k+ k cos k cos ω k ψ + + ψ ωk+ ψ cosπ cos l vco mo Poynng s: ψ ψ < N > 4 cos π cos < N > F ψ F ψ cos π cos qu max s un faco nfnca n los os aaos qu nn agamas nvuals sfécos. s faco pn y ψ y n las sguns fguas s gafca paa vsas lacons / y sfasajs ψ ψ / /5 / / / Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

23 lcomagnsmo 4-3 ψ / /5 / / / ψ π/4 / /5 / / / ψ π/ / /5 / / / Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

24 lcomagnsmo ψ π / /5 / / / S obsva la nflunca qu n la spaacón y l sfasaj n l agama nfnca los os aaos. n los agamas sguns paa 5 s v la complja los agamas obnos aún con ssmas muy smpls / / ψ ψ π/ ψ π Consamos ahoa la msma confguacón po mplaamos los aaos soópcos con polos léccos coos paallos al j. Rpmos l cálculo l campo aao y l agama aacón paa obn: x k cos k cos ωk sn ψ + ψ ωk+ ψ sn cosπ cos Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

25 lcomagnsmo 4-5 y l vco mo Poynng s: < N > 4< N qu s un nuvo jmplo la: 4 sn > F ψ p ψ cos π cos Rgla mulplcacón agamas l agama aacón l conjuno s l pouco l agama aacón l lmno bas po un agama nfnca a ansoopía n l agama aacón nouca po l lmno bas s v así mulplcaa po la ansoopía nouca po l faco nfnca qu pn la ccón l spaco y l sfasaj n las cons almnaoas los lmnos. s sulao s oalmn gnal y s aplca cualqua sa l lmno bas smp qu l aglo sa lmnos éncos. n la sgun fgua s gafca l agama pola l faco nfnca y su pouco paa ψ π/. X ψ π/ Rs lnals Consmos ahoa N aaos punuals qu s hallan suaos sob una lína ca. sa s una lnal. nalamos pmo una vcal. summos qu s aa aaos soópcos poqu nos nsa anala l agama nfnca. n Colocamos l ssma coonaas mana qu la poscón l n-ésmo aao la fla sa: n ˆ. l campo cao po l conjuno s: N krn ω + ψ n n n Rn con Rn n on hmos supuso qu caa aao gna un campo amplu n y fas ψ n. Paa punos ljanos pomos apoxma como n la sccón ano a on uno n la fas: Rn n n cos y a on co n la amplu paa obn: N N ωk [ n k cos + ψ ] n ωk [ nk cos + ψ n ] n n con ψ n n. Consmos pmo campos gual amplu y n fas. noncs pomos oma n c y ψ n c n. a suma s conv n una s goméca ya qu caa émno s gual al pcn mul- Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

26 lcomagnsmo 4-6 plcao po l faco consan k cos : N ωk n nk cos N k cos ωk Nk cos Nk cos k cos Nk cos ωk k cos k cos Nk sn cos N k cos ωk k sn cos y l agama nfnca sá popoconal a: Nk sn cos sn Nπ cos < N > k sn cos sn π cos qu s funcón l po sn N β / sn β. sa funcón n l máxmo pncpal paa β π cos nπ qu val: N / on l agama aacón s: sn Nπ cos < N > f ϑ < N > max N sn π cos N 5 N N 5 Gafcamos la xpsón no nomalaa n funcón β paa vaos valos N: os máxmos pncpals s an paa β nπ con n no n. Como β π / cos la concón n β llva a cos qu mplca un máxmo sob l plano hoonal π/. s máxmo smp xs aunqu no smp s l máxmo pncpal. Po s movo sos aglos con cons almnaoas n fas s conocn como fomacons laals boas aays. Paa n > nmos qu: π cos nπ cos n Como cos sa concón s cumpl solamn paa. n al caso apacn oos máxmos pncpals n ccons no laals. n las fguas sguns s musan los agamas campo nfnca paa N 6 y snas lacons /. S obsva qu l ancho l lóbulo pncpal smnuy a ma qu aumna / cuano < y qu apacn oos lóbulos paa. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

27 lcomagnsmo /.5 /.5 / / / / 5 Consmos ahoa qu mannmos los campos gual amplu po con fass vaabls. so s loga sfasano las cons almnaoas caa aao. Sólo pomos obn una s goméca s la fas cc lnalmn con la poscón l polo n l aglo o sa s: ψ n n δ ψ n ψ n δ. n al caso: N N k cos + δ ωk n k cos + δ ωk k cos + δ y l agama aacón s: ωk n N [ k cos + δ ] k δ sn N cos + k δ sn cos + Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

28 lcomagnsmo 4-8 k δ δ sn N cos + sn N π cos + < N > f k δ δ sn cos + N sn π cos + a psnca l sfasaj δ vaía la poscón los máxmos pncpals l agama aacón. Como n l caso sfasaj nulo l máxmo pncpal s a cuano: β π cos + δ nπ. nalamos l caso β. Como cos s v qu l omno β s: δ π β δ + π noncs paa qu xsa un máxmo pncpal l valo β b sa no l omno β. Como δ pu s posvo o ngavo s an os posblas: a δ >. xs β s δ π δ π b δ <. xs β s δ + π δ π O sa qu n gnal pomos c qu xsá un máxmo pncpal s: δ π N- δ π N- ψ π on ψ s l sfasaj oal l aglo n l pm y l úlmo lmno. Suponno qu s cumpla sa concón l máxmo pncpal s a paa: δ β π cos M + δ cos M π Como pu vs M pn l sfasaj. S δ s co l máxmo pncpal s a paa M ±π/ lo qu nos llva a las fomacons laals ya vsas. δ π M π Po oa pa s: δ π M y s nn las llamaas fomacons puna nf aays on la máxma aacón s a sob la lína qu conn a los polos. as sguns gáfcas musan los agamas campo 6 aaos n una fomacón puna: /.5 /.5 / / / / 5 Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

29 lcomagnsmo 4-9 glos n fas phas aays l análss las fomacons laals y puna nca qu noucno un sfasaj n las cons almnaoas un aglo aaos s loga mofca la poscón l máxmo pncpal. Pomos v qu l agama aacón: δ sn N π cos + sn Nβ f N sn β δ N sn π cos + qu a l máxmo pncpal paa β s <. S omamos: δ π cos nos qua β π cos cos qu s anula con. Vaano con l mpo s loga qu l máxmo pncpal aacón g n l mpo. sa caacísca s usa po jmplo n aas aopuos on s mpoan l sgumno los avons. n las sguns gáfcas s musa l agama aacón paa un aglo lnal 5 lmnos spaaos n.4 paa snos ángulos : S obsva la locacón l máxmo pncpal sguno l ángulo s la fomacón puna paa hasa la fomacón laal paa 9 y lugo s p l compoamno n l oo hmsfo Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

30 lcomagnsmo 4-3 Rs hoonals Consmos ahoa N aaos punuals qu s hallan sob una lína hoonal. summos nuvamn qu s aa aaos soópcos poqu nos nsa anala l agama nfnca. Ubcamos l ssma coonaas foma qu la poscón l n-ésmo aao la n fla s: n xˆ. x l campo cao po l conjuno s: N krn ω + ψ n R n n con n n Rn on hmos supuso qu caa aao gna un campo amplu n y fas ψ n. Paa punos ljanos pomos apoxma nuvamn a on uno n la fas: R n sn cos y a on co n la amplu paa obn: n n N k [ n k sn cos + n ] ω ψ n n N [ sn cos ] ω k nk + ψ n n con ψ n Consmos pmo campos gual amplu y n fas. Tomamos n c y ψ n c n. a sumaoa consuy una s goméca ya qu caa émno s k sn cos gual a pcn mulplcao po un faco consan : N Nk sn cos ω k nk sn cos ω k k sn cos n Nk sn cos Nk sn cos N k sn cos ω k k sn cos k sn cos Nk sn sn cos N k sn cos ω k k sn sn cos y l agama nfnca sá popoconal a: Nk sn sn cos sn Nπ sn cos < > N k sn sn cos sn π sn cos Paa l plano hoonal π / sa funcón n l máxmo paa π sn cos qu val: sn Nπ sn cos N / < N > f ϑ < N > max N sn π sn cos s l agama aacón qu pu scbs: sn Nβ f ϑ N sn β sa xpsón n β s la msma qu paa la vcal moo qu son aplcabls las conclusons hallaas n la sccón pcn. os máxmos pncpals s an paa β nπ. Como Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

31 lcomagnsmo 4-3 β π / sn cos la concón β llva a sn cos. n l plano hoonal π/ so sgnfca qu los máxmos pncpals s an paa π/ 3π/ ccons laals a la lína polos. a oa concón β nπ llva a qu / sn cos n. Como las funcons gonomécas nn móulo sa concón s cumpl solamn paa /. n al caso apacn oos máxmos pncpals n ccons no laals. sos aglos son fomacons laals como las vsas n la sccón pcn. Consmos ahoa nuvamn campos gual amplu po con fass lnalmn vaabls con la poscón como ans: ψ n n δ ψ n ψ n δ. n al caso: N N k sn cos + δ ω k n k sn cos + δ ω k k sn cos + δ n k δ sn N sn cos + N [ k sn cos + δ ] ωk k δ sn sn cos + y l agama aacón s popoconal a: sn k δ N sn cos + < > N sn k δ sn cos + Pomos ala l msmo análss qu n l caso l aglo vcal. Paa qu xsa un máxmo pncpal l valo β b sa no l omno β. Como δ pu s posvo o ngavo s an os posblas: δ c δ >. xs β s δ π π δ δ <. xs β s δ + π π O sa qu n gnal pomos c qu xsá un máxmo pncpal s: δ δ ψ N- N- π π π on ψ s l sfasaj oal l aglo n l pm y l úlmo lmno. Suponno qu s cumpla sa concón l máxmo pncpal s a paa: δ β π cosm + δ cosm π Como pu vs M pn l sfasaj. S δ s co l máxmo pncpal s a paa M ±π/ lo qu nos llva a las fomacons laals ya vsas. δ π M π Po oa pa s: δ π M y s nn nuvamn las fomacons puna on la máxma aacón s a sob la lína qu conn a los aaos. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

32 lcomagnsmo 4-3 x jmplo.6: No smp los aaos mn campos polaaos n la msma ccón. Cons os polos léccos coos ppnculas n sí suaos n l msmo puno. as cons almnaoas son gual amplu y fcunca po pun sa sfasaas n ψ. S p halla l agama aacón sob l plano hoonal qu conn a los polos y anala la polaacón la ona aaa. lgmos un ssma coonaas con su ogn n los polos y onao como nca la fgua. l puno campo s oma sob l plano hoonal xy. l polo onao sgún - ca l campo: Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s sn ωk poqu sob l plano xy: ' π/ y ˆ ˆ ẑ. ωk Paa xpsa l campo cao po l polo bmos mplaa po l ángulo n l j l polo x n nuso caso y l vco poscón. Sob l plano xy s ángulo s y l vso ˆ sula l vso ˆ. noncs l campo mo po l polo s: ωk+ ψ sn ˆ sn ˆ + ω k ψ + ˆ y l campo lécco oal s: [ ] l campo magnéco aao pu calculas como: ˆ ωk ψ [ ˆ ωk ψ ˆ sn ˆ] [ sn ˆ ˆ ] H + y l vco mo Poynng: N * [ ] ψ ˆ ψ R H R sn + sn ˆ sn ˆ ˆ + S v qu l vco mo Poynng s la suma los vcos Poynng nvuals caa polo. No hay un faco nfnca. so s b a qu los campos aaos son 9 ppnculas n sí. más no pn l sfasaj 6 n las cons almnaoas los lmnos. as ccons máxma aacón cosponn 5 3 a π/ 3π/ paa las cuals l sno val. l agama aacón sob l plano hoonal qu conn a los polos s noncs: 8 + sn f y s musa n la fgua a la qua. s agama s la smsuma los agamas hoonals aacón nvuals caa polo qu s musan n 33 ojo n la fgua. Paa anala l compoamno la polaacón 4 3 la ona aaa sgumos un pocmno smla al 7 la págna 38. l campo lécco oal s: R ω k noncs: cos ω k ' ˆ sn ψ + ˆ [ sn cos ω k + ψ ˆ + cos ω k ˆ ] y sn cos ω k + ψ sn [ cos ω k cosψ sn ω k snψ ] ˆ

33 lcomagnsmo 4-33 y pomos scb: cos ω k sn ω k cos ω kcoanψ coanψ sn snψ Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s sn snψ lvamos ambas cuacons al cuaao y sumamos mmbo a mmbo paa obn: + coanψ sn snψ coanψ + coan ψ + sn snψ sn snψ cosψ sn ψ / + sn / / sn / qu pomos compaa con la cuacón la lps polaacón hallaa n l Capíulo 6: x y x y + cos sn x y x y Obsvamos qu ambas cuacons son fomalmn éncas mana qu l ssma os polos cuaos m una ona lípcamn polaaa. S obsva ambén qu los smjs la lps camban con po l camno la amplu los campos una ona sféca y con. n pacula n la ccón mínma aacón sn y s n. noncs n sa ccón sólo hay y la ona s lnalmn polaaa. n la ccón máxma aacón sn y l sao polaacón la ona aaa pn solamn ψ: cosψ sn / / + ψ / ψ ±nπ. y la ona s lnalmn polaaa a π/4 l plano xy. y la ona s cculamn polaaa. ψ ±n+π/. + Paa valos nmos ψ la ona sula lípcamn polaaa. n oas ccons la ona sula lípcamn polaaa. jmplo.7: as annas usan flcos paa mofca sus agamas aacón y mjoa su fcnca. Cons un aglo lnal N alambs conucos sccón spcabl S y alua h<< a la fcunca abajo. Una on- a plana vcalmn polaaa nc sob l conjuno fomano un ángulo α con la nomal a la sbucón. sa ona nuc cons vaabls n l mpo sob los x h alambs qu noncs s convn n aaos. Hall la α k amplu l campo aao po l conjuno y l agama α aacón hoonal. nalc su uso como flco. k Po la connua l campo lécco sob la nfas aconuco pomos supon qu l campo no caa y alamb s gual al campo ncn foma qu la con qu ccula n l n- ésmo alamb s n σsn on n s l campo ncn sob s alamb. Po la fas l campo ncn va cambano lmno a lmno poqu como s musa n la fgua hay una fnca camnos l snα n los

34 lcomagnsmo 4-34 α campos qu llgan a os lmnos ayacns. sa fnca camnos s auc n una fnca fas ϕ k l k snα n los campos y po lo ano n las cons lmnos ayacns. Po comoa colocamos l ogn coonaas n un xmo la sbucón y nmos paa l lmno n-ésmo la con: n σ S o σ S ωk n ωnk snα o Como la alua l lmno s mucho mno qu pomos supon qu la x sbucón con s unfom y qu l lmno s compoa como un polo aan lmnal y m un campo lécco aacón: n h k k k σ ω α sn ˆ S h k n k nk sn nk sn cos sn ˆ n ε ω ε ω l campo oal mo po la sbucón s: N σ S h k ω k α sn ˆ nk sn + sn cos ε ω σ S h k ε ω [ ω k + N β / ] n sn[ Nβ / ] sn ˆ sn[ β / ] on: β k snα + sn cos. l agama aacón s popoconal a: 4 σ S h k sn [ Nβ / ] N sn 6π ε ω sn [ β / ] Sob l plano hoonal π / y nmos: 4 σ S h k sn [ Nβ / ] N β ksnα cos + 6π ε ω sn [ β / ] l valo máxmo sa xpsón s a paa β moo qu l agama aacón sn [ Nβ / ] qua: f β ksnα + cos N sn [ β / ] a concón máxmo mplca: β ksn α + cos cosm snα Po la fgua: π / α cos snα snα M snα y s obsva qu l máxmo aacón s a n la ccón qu pc la ly Snll la flxón. más la fgua la págna 4 s v qu l agama aacón n un máxmo pncpal más angoso y máxmos scunaos más pquños cuano mayo sa l númo N lmnos n la sbucón foma qu la ponca ma n las ccons flxón scunaa s más baja cuano mayo s N. jmplo.8: xn los sulaos l jmplo pvo al caso un flco plano conuco. l flco pu consas como la supposcón lmnos ancho x y alua h. Caa lmno s pu v como un polo qu m un campo: x h x α k α k σ S h k ε ω Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s sn ˆ x ω k kx snα kx sn cos sa s la msma xpsón l jmplo pcn con: y n x. l campo oal s la ngal: / σ S h k ω k α sn ˆ kx sn + sn cos x ε ω σ S h k ε ω ω k / sn γ / sn ˆ γ /

35 lcomagnsmo 4-35 con γ k snα + sn cos. l agama aacón s popoconal a: 4 σ S h k sn γ / N sn 6π ε ω γ / y nuvamn l máxmo pncpal sa cuacón s a paa γ lo qu llva a la ly Snll la flxón paa la aacón n l plano hoonal. Nuvamn apacn máxmos scunaos cuya alua s mno cuano mayo sa k. n l lím k π / la funcón sn γ / γ / s conv n una la Dac δ qu llva a qu sólo xs l ayo fljao n la ccón la ly Snll la ópca. sa s una buna apoxmacón cuano la longu ona s muy pquña fn a las mnsons l flco. l uso aglos aaos pm sña agamas aacón qu no pun obns con un únco lmno. Pmn mofca l ancho los lóbulos aumnano la cva y lg la ccón l spaco máxma ponca. Tambén pmn loga aacón con polaacón no lnal. más l númo lmnos l spacamno y l sfasaj n las cons almnaoas s pun nouc valos snos n las amplus las cons almnaoas o un spacao no qusan paa n aún mayo flxbla n l sño spcalmn n la lmnacón los lóbulos scunaos y n l aumno l ancho bana la anna. Tambén s pun ala aglos D y 3D. Toos sos pos ssmas aans s psnan n l pogama PV.X qu s pu scaga l fp la maa. s s un pogama DOS qu pm v los agamas aacón snos pos aglos con vsos lmnos y oos pos annas. Dsaollao po.z. lshbn y C.D.Talo J. Dp. lccal ngnng Unv. Msssspp 993. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

36 lcomagnsmo 4-36 k k k k H H H H H ωε ωε π 4 sn ωε sn sn os campos sasfacn la lacón las onas sfécas lmnals. Pomos calcula l agama s aacón: N * H R H H 3π sn sa xpsón s máxma paa h qu s l valo mínmo on l agama aacón s smplmn: f sn h sn xsn oos moos no TM qu apacn cuano la anna no s nfna. n s caso s sngu n una gón no hasa la apa los conos y una gón xo. n la gón no y ljos las apas s pu supon vála la scpcón snclla TM qu hmos anal- nna bcónca H V ~ h Como s mnconó al fnal la sccón l polo lécco lago l ancho bana la anna aumna con la sccón l alamb. s fco s apovcha n la anna bcónca. a anna bcónca al conss n os conos nfnos nfnaos po los vécs como s nca n la fgua. Como la sucua s nfna s pu anala como una lína ansmsón paámos vaabls a lo lago su sucua. Cuano s conca un gnao a la naa la anna cculaán cons a lo lago los conos. su v sas cons can un campo magnéco H qu n smía clínca spco l j los conos. as vaacons n l mpo l campo magnéco gnan un campo lécco. mbos campos sulan n una ona lcomagnéca qu s popaga haca fua la anna. Suponmos l caso más sncllo qu la ona sa una ona sféca lmnal y qu l campo lcomagnéco sa ansvsal TM a la popagacón. n al caso l campo lécco ná solamn componn. noncs n la gón n los conos nmos: H H ˆ ˆ a cuacón Maxwll-mp: H ωε n coonaas sfécas pu scbs: ˆ ˆ sn ˆ ωε ˆ sn sn H sn on: sn H - H ωε D la pma cuacón sug qu: sn H H y como suponmos sn k onas sfécas lmnals pomos asum: H H sn noucno sa xpsón n la sguna cuacón obnmos : Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

37 lcomagnsmo 4-37 ao poqu l ssma s compoa como una lína ansmsón mnas qu cca las apas y n la gón xo s ncsao usa oos moos no TM n funcón amóncos clíncos. as annas cóncas o bcóncas s usan s los mpos Macon po su gan ancho bana po sólo a maos l sglo XX s nconó una scpcón mamáca sasfacoa. cualmn s una las annas usaas n nsayos MC compabla lcomagnéca. nnas po Yag-Ua os aglos aaos vsos hasa l momno conssn lmnos éncos oos acvos s c oos almnaos po cons s l ssma gnao. so pu s complcao s l puno vsa pácco poqu los sfasajs y/o amplus bn sgu una funcón íga paa gaana l agama aacón. l llamao aglo Yag-Ua n un únco lmno acvo y oos lmnos pasvos po los qu cculan cons nucas po l campo gnao po l lmno acvo. l sfasaj acuao n las cons s loga ajusano l amaño y spaacón los lmnos pasvos. n l squma la fgua s v un polo acvo longu l y un lmno pasvo longu l spaaos una sanca. a lnala las cuacons Maxwll hac posbl scb un pa cuacons qu laconan los volajs y las cons n l cno los lmnos: l l V Z + Z x V Z + Z as Z j son consans qu pnn las longus los lmnos su spacao y la longu ona la aacón. S pu mosa qu V mana qu: Z / Z. l campo mo po l conjuno s pu scb como: k cos cos / k a a + a a + y l agama aacón sá popoconal a: Z + cos k cos Z Z R k f Z Z Z l pm émno psna la conbucón l aao acvo l sguno la conbucón l aao pasvo y l co s un émno nfnca. Cuano sa nfnca s al qu maxma la aacón n l sno + l lmno pasvo s conoc como un co mnas qu s la aacón s maxma sgún - l lmno pasvo s conoc como un flco. a máxma cva un co s obn cuano.. S l lmno acvo s ma ona l spacao b s mayo:.38 < <. 48. n l caso un flco la máxma cva un flco s obn cuano.6. S l lmno acvo s ma ona l spacao b s mayo:.5 < <. 5. l aglo Yag-Ua más smpl conss un lmno acvo un co y un flco. n sa suacón pu manns las spaacons anchas po sug qu l co b s un poco mno aún qu lmno acvo y l flco un poco mayo. a acón más flcos no mofca mucho l agama aacón po sí lo hacn más cos mana qu las annas ípcas TV conssn un polo oblao acvo un flco y un conjuno cos amaños vaabls. Dcvas n y s pun obn n funcón la cana cos usaa. Sn mbago sos valos s an paa Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s

38 lcomagnsmo 4-38 la longu ona sño moo qu la spusa n fcunca la anna Yag-Ua s pob. nnas log-pócas Consmos una sucua como la la fgua. a localacón y longu los sucsvos lmnos aumna n uno al sgun n un faco consan: l n n τ n ln τ ln on la longu l pm lmno s funcón la longu ona opacón. S ahoa mulplcamos la longu ona opacón po τ oas las poscons y longus la sucua s mulplcan po τ y l sulao s una sucua énca a la ognal supusamn nfna. Po lo ano la sucua aa gual mana paa longus ona τ τ c. on pomos scb l conjuno longus ona pmas como: τ τ n n n. xpsano sa cuacón n émnos logamos: log n log + n τ log fn log f n τ a sucua s conoc como logaímca-póca o log-póca. Un análss las caacíscas aacón sa sucua s pu hac a pa una sucua s lmnos y la anna Yag-Ua. S halla l cálculo qu la máxma aacón a lo lago l aglo s a cuano l lmno cnal supuso acvo n una longu ma ona. Como l lmno mno acúa como co y l mayo como flco n la anna Yag-Ua noncs la aacón s g haca l xmo cho l aglo. Paa mjoa l ancho bana s aopa la sgun foma almnacón s l xmo más coo la anna y s concan los sucsvos sm-lmnos l aglo como s nca n la fgua spacano los lmnos n la ma su longu n s puno. so hac qu la con n l lmno n+ sé alanaa π/ spco l lmno n. S l lmno n s sonan a la fcunca opacón la sanca al sgun lmno s /4. sas os caacíscas llvan a qu ambos lmnos an n fas. l cálculo allao musa qu qu la fas la nsón povsa a los sucsvos polos aumna unfommn s l xmo almnacón. S l lmno sonan sá al mo l aglo s sa gón la qu aaá más fcnmn. S s vaía la fcunca sá oa gón la máxma aacón. l cálculo musa qu hay poca vaacón n l agama aacón n l ango fcuncas opacón f τ n f. Juan C. Fnán - Dpaamno Físca Facula ngnía Unvsa Bunos s