6.1 Características comunes de las máquinas eléctricas

Transcripción

1 6.1 Caactístcas comuns d las máqunas léctcas Las máqunas léctcas otatvas posn caactístcas comuns nt s, y n gnal s asmjan al modlo psntado n la fgua En algunas ocasons l lmnto nto d la máquna s fjo y l xto móvl, ncluso pudn s móvls los dos lmntos, po lo más caactístco d las máqunas léctcas otatvas s la xstnca d dos supfcs clíndcas con movmnto latvo nt una y ota. C a ca sa D v a n a d o E s t a t o R o d a m n t o E j E n t h o D v a n a d o R o t o N u c l o Ro to Nu cl o Estato Pats d una máquna léctca otatva Fg En l capítulo anto s analzó la dscomposcón dl flujo n dos componnts otogonals y. Paa psnta l flujo poducdo n l oto s nyctan conts n las bobnas y,fjas n l oto. El flujo dl stato s obtn nyctando conts n las bobnas y fjas n l stato. Estos dbanados no tnn ncsaamnt xstnca físca, po pudn poduc los campos n l nto d la máquna. La poscón latva nt l oto y l stato quda dtmnada mdant l ángulo, mddo nt los js magnétcos y spctvamnt. La máquna léctca gnalzada pos cuato js léctcos,, y, po los cuals s nyctan las conts y un j mcánco o j d go. El flujo n l ntho d la máquna camba su dstbucón cuando vaían las conts,,. En la fgua -54- s psnta una máquna gnalzada n foma squmátca

2 T Máquna Gnalzada Fg Dfnndo a T m como l toqu o pa mcánco n l j d la máquna, las cuacons d la máquna n foma matcal compacta; tal como s dsaolló n l capítulo 3, son: v R L () d dt T m = t () + J 6.1 En l sstma d cuacons 6.1, s l cofcnt d fccón y J s la nca dl j d otacón. Las vaabls d stado d st sstma d cuacons dfncals son las conts [], l ángulo y la vlocdad angula d/dt, dnomnada tambén m. Paa pod planta l sstma 6.1, s ncsao dtmna las matcs d sstncas [R], nductancas n funcón dl ángulo [L()], así como la dvada con spcto al ángulo d la matz d nductancas [()]

3 6.2 La matz d sstncas La matz d sstncas d la máquna léctca gnalzada s dagonal, po qu todas las sstncas son popas d cada bobna: R = R R 0 0 R R 6.3 La matz d nductancas S la máquna pos un oto clíndco y homogéno, al ga no s modfca la pmanza dl camno magnétco, po sta azón la nductanca popa dl stato no dpnd d la poscón dl oto. La nductanca popa dl stato s constant ndpndnt dl ángulo. Esta nductanca s pud calcula como: L=N 2 P 6.3 S l stato s clíndco, la nductanca popa dl oto s constant po l msmo azonamnto anto. S todos los dvanados dl stato posn l msmo númo d vultas y lo msmo ocu con las bobnas dl oto, los témnos d la dagonal d la matz d nductanca son: L = L X X X X L X X X X L X X X X L

4 Las nductancas mutuas nt los dvanados y dl stato son co po qu stas bobnas son otogonals y l flujo qu s poduc n una d llas no pud nlaza a la ota. La msma stuacón sucd con los dvanados dl oto: L = L 0 X X 0 L X X X X L 0 X X 0 L 6.5 La nductanca mutua nt la bobna dl stato y dl oto s máxma cuando ambos dvanados s ncuntan alnados, s dc con =0. Paa psnta st valo d la nductanca mutua s db utlza un témno n cos. Una stuacón smjant s psnta nt l j dl stato y l j dl oto. La nductanca mutua nt las bobnas dl oto y dl stato s máxma cuando =90 ; sto s psnta mdant un témno n sn La nductanca mutua nt l dvanado dl oto y dl stato s máxma cuando =-90 ; po sta azón sta nductanca s pud psnta mdant un témno -sn. D sta foma y codando qu la matz d nductancas s smétca, s obtn: L() = L 0 L cos -L sn 0 L L sn L cos L cos L sn L 0 -L sn L cos 0 L

5 6.4 Matz d toqu La matz d toqu [()] s calcula dvando con spcto al ángulo la matz d nductancas d la máquna: D sta foma s obtn: () = d d L() 6.7 () = 0 0 -L sn -L cos 0 0 L cos -L sn -L sn L cos 0 0 -L cos -L sn Cálculo dl toqu léctco A pat d las matcs 6.6 y 6.8 s pud calcula l toqu léctco d la máquna: T = 1 2 t L s - L c 0 0 L c - L s - L s L c L c - L s 0 0 Efctuando los poductos matcals n la cuacón 6.9 s obtn:

6 T = L { sn ( - - ) + cos ( - + ) } 6.10 S las conts dl stato o dl oto son co, todos los témnos dl toqu léctco n la cuacón 6.10 s anulan y no s poduc toqu. S s nyctan conts constants n todas las bobnas dl oto y dl stato l toqu léctco qu s obtn s d la foma: T = L ( A sn + B cos ) 6.11 En la cuacón 6.11 s obsva qu paa cada valo d la poscón dl oto xst un toqu léctco, po l pomdo d s toqu n un go complto d la máquna s co. Esta s una azón qu fuza l concpto d la mposbldad d qu una máquna léctca puda funcona n égmn pmannt con cont contnua n todos sus dvanados. Paa calcula l toqu léctco pomdo d la máquna bfásca n un píodo: T T = T1 L {sn(- - )+cos (- + )}d El ángulo s pud xpsa como: Susttuyndo la xpsón 6.14 n 6.13 s obtn: = m t T = L T T {sn( m t+0 )(- - )+ 0 cos( m t+ )(- 0 + )}d m t S s xpsan las conts n foma d cosnos: = 2 I cos( t+ ) 6.14 Rcodando qu: = 2 I cos( t+ ) = 2 I cos( t+ ) = 2 I cos( t+ )

7 T 1 sn cos d = 0 T Los úncos témnos qu pudn poduc toqu pomdo dfnt d co son los poductos d cosnos, po lo tanto: T T = T1 cos ( m t+ )(- 0 + )d 0 S s xpsan las conts mdant ss d Fou n cosnos: = k=1 = j=1 Los témnos dl toqu son d la foma: cos( m t + 0 ) k=1 I k cos(k t - ) I j cos(j t - ) I k cos(k t - ) j=1 Rcodando la popdad tgonométca: I j cos(j t - ) cos cos cos 41 cos(+-) + cos(+ -) + cos(+ -) + cos(++) 6.21 S pud aplca sta popdad al témno gnéco d toqu léctco El témno gnéco quda ntoncs así: cos ( m t + +_ k 0 t +_ j t +_ +_ ) 6.22 Paa qu un témno gual al 6.23 tnga un pomdo dfnt d co n un píodo, s ncsao qu s anul la dpndnca dl tmpo n l agumnto d la funcón cosno. En otas palabas: m t +_ k t +_ j t = La cuacón 6.23 s fundamntal n l análss d las máqunas léctcas otatvas y s conoc como condcón d toqu pomdo. En la cuacón 6.23, m s la vlocdad mcánca dl sstma, psnta la fcunca angula d las conts nyctadas n las bobnas dl stato y s la fcunca angula d las conts nyctadas n l oto

8 6.6 La máquna sncónca A las máqunas sncóncas s ls nycta cont contnua n las bobnas otócas, po sta azón: = Aplcando la condcón d toqu pomdo 6.23 con la stccón 6.24 paa las máqunas sncóncas, s obtn: m +_ k = La cuacón 6.25 justfca l nomb d stas máqunas, ya qu las máqunas sncóncas sólo pudn poduc toqu pomdo dfnt d co cuando la vlocdad mcánca concd con la vlocdad angula d las conts nyctadas n l stato. En otas palabas la máquna db ga n snconsmo con las conts statócas. Las máqunas d cont contnua son un caso patcula d máquna sncónca, dond la gualdad d fcuncas nt las conts -otócas n st caso- y la vlocdad mcánca s obtn mdant un nvso mcánco consttudo po un colcto y un jugo d cabons qu conmuta las conts n las bobnas dl oto con una fcunca gual a la vlocdad mcánca d go. 6.7 La máquna d nduccón En la máquna d nduccón s pmt un gado d lbtad adconal. En sta máquna s pud obtn toqu pomdo dfnt d co n un amplo ango d vlocdads mcáncas. Las conts qu cculan po l oto s ajustan -po l fnómno d nduccón lctomagnétca- y cumpln la condcón En la máquna d nduccón s fja la fcunca d las conts n l stato, s poduc un campo lctomagnétco n l ntho d la máquna qu ga mcáncamnt con la fcunca angula d stas conts. Como l oto ga a la vlocdad mcánca m, los conductos dl oto cotan l campo magnétco poducdo n l stato con una vlocdad qu s la dfnca nt y m. La dfnca pocntual nt stas dos vlocdads s conoc como dslzamnto d la máquna: - m s = La vlocdad angula s conoc como vlocdad sncónca d la máquna d nduccón

9 6.8 La Máquna d Cont Contnua En la fgua -55- s musta una máquna d cont contnua smplfcada. Esta máquna pos un dvanado statóco po l cual s nycta cont contnua y una amadua n l oto almntada mdant una funt d cont contnua y un colcto qu pmt la nvsón d las conts n la amadua. Paa calcula l toqu léctco qu poduc sta máquna s utlza la xpsón dl toqu dducda n l captulo 3 paa los sstmas lnals: T = 2 1 t () Susttuyndo los témnos n la cuacón 6.27 s obtn: T = Msn -Msn En la xpsón anto, M s la nductanca mutua nt l stato y l oto. Ralzando las opacons matcals n la cuacón 6.28: A m a d u a T = - M sn C a m p o I 6.29 I 1 C o n m u t a d o 0 2 V 2 2 = I - I Máquna lmntal d cont contnua Fg El colcto o conmutado mcánco d la máquna d cont contnua pmt altna la poladad d la tnsón d almntacón d la bobna dl oto V al msmo tmpo qu ga l oto. En la fgua -55- s obsva tambén la cont qu ccula po la amadua d la máquna

10 El toqu pomdo n l j d la máquna s calcula como: T 1 = M I I sn d + 2M I I sn d 6.30 Rsolvndo las ntgals d la cuacón 6.31 s obtn: T = 2M - I I =k I I 6.32 La xpsón anto dtmna l toqu léctco pomdo n la máquna d cont contnua. El cofcnt k dpnd d la constuccón físca d los dvanados dl oto y dl stato. 6.9 Cálculo dl Toqu a Pat d las Fuzas Magntomotcs En la fgua -56- s psnta l dagama d una máquna léctca clíndca con un stato () y un oto (). En l stato y oto, s poducn las fuzas magntomotcs F y F spctvamnt, cuya ampltud y dccón s psnta vctoalmnt n la fgua. Estas fuzas magntomotcs s ncuntan spaadas n un ángulo una d la ota. La suma d las fuzas magntomotz dl oto y dl stato poduc la fuza magntomotz sultant n l ntho d la máquna F t. Paa calcula l toqu léctco d una máquna n funcón d las fuzas lctomotcs, s dtmna la congía n l campo y lugo s dva con spcto a la poscón angula : T =, W c ( F, ) 6.32 F R o t o F t E s t a t o F Toqu léctco a pat d las fuzas magntomotcs Fg

11 D la fgua -56- s dduc: F 2 = F 2 t + F F F cos 6.33 S la pmabldad dl matal magnétco s muy gand, s dc tnd a nfnto, toda la ngía stá concntada n l ntho y la congía s pud calcula d la sgunt foma: =W c = v olum n x w c 6.34 En la cuacón 6.34, <wc> psnta la ngía pomdo n l campo po W c, undad d volumn. D sta foma: dond: l W c, =2 l s l ado mdo dl ntho [m] s l spso dl ntho [m] s la longtud actva d la máquna [m] 1 H.B Como la dnsdad d campo magnétco B n l ntho s gual a o H:, W c =2 l 1 2 o H La pma amónca d la ntnsdad d campo magnétco H s snusodal y su valo pomdo s: H 2 1 = 2 2 Hmax.sn 2 d = Hmax 2 Susttuyndo 6.37 n 6.36: 2, H W c = l max En la cuacón 6.38, s ncsao xpsa la ampltud d la ntnsdad d campo magnétco d pma amónca n funcón d las fuzas magntomotcs. En la fgua -57-, s psnta una máquna con un dvanado n l stato. Como la pmabldad dl ho s nfnta toda la fuza magntomotz s utlza paa qu l flujo cuc l ntho. Aplcando la ly d Amp a sta máquna, s tn: F =N.I = H. dl = H a.d l a + H ho.d l ho 6.39 El sgundo témno ntgal s co ya qu:

12 Susttuyndo 6.40 n 6.41: B H = ho 0 ho = F =N.I = H. dl = H a.dl a 6.41 En la fgua -57- tambén s psnta la dstbucón d la ntnsdad dl campo magnétco n funcón d la poscón d la tayctoa d Ampè. D sta foma s obtn a pat d la cuacón 6.41: F =N.I = H. dl = H a.dl a =H a N I H m a x 2 - H m a x N I E n t h o Fuzas magntomotcs ntnsdads d campo magnétco Fg Dspjando d la cuacón 6.42 la ntnsdad d campo magnétco n funcón d la fuza lctomotz: H = F Susttuyndo la cuacón 6.43 n la cuacón 6.38 s obtn: W c, = l 0 F Rmplazando la cuacón 6.34 n la cuacón 6.45:

13 , l 0 W c = ( F F F F cos ) Paa calcula l toqu léctco s utlza la cuacón 6.32: 6.45, W c (F, ) l l 0 0 T = = ( -2 F 8 F sn ) = - F 4 F sn 6.46 Mdant la cuacón 6.46 s pud calcula l toqu léctco n funcón d las fuzas magntomotcs d la máquna. La fuza magntomotz dpnd d las conts y dl númo d vultas d las bobnas. S s conocn las dmnsons d la máquna, las conts y l númo d conductos d cada bobna, s posbl utlza la cuacón 6.46 paa dtmna l toqu. S la dstbucón d las conts n la máquna no s puntual, s pud utlza la msma técnca paa calcula la ntnsdad d campo magnétco H po s tn n cunta qu: H.d l = J.ds 6.47 En la fgua -58- s mustan dos dstbucons dfnts d los conductos n la supfc d una máquna así como su spctva dstbucón d ntnsdads d campo magnétco H. Cuando l ntho s constant la dnsdad d campo magnétco B pos la msma dstbucón qu H. H H Dfnts dstbucons d conductos y campos n las máqunas Fg

14 6.10 El campo magnétco otatoo Cuando s analzaon las bass d la máquna léctca gnalzada, s utlzaon dos gados d lbtad paa la psntacón dl campo magnétco, uno dado po la bobna y l oto po la bobna. Mdant st squma s pud dtmna l campo n cualqu punto dl plano. En la fgua -59- s mustan dos conts qu pudn s nyctadas n las bobnas y d la máquna. I (t) t I Conts nyctadas n la máquna gnalzada Fg En l nstant ncal -t=0- la cont val co s -I, po lo tanto l campo sultant apunta n la dccón ngatva dl j. Cuando l tmpo s ncmnta y llga al nstant /2, la cont s anula, mntas qu la cont s +I, l campo n stas condcons apunta n la dccón postva dl j. En l nstant / l flujo s ontaá sgún la dccón postva dl j, ya qu la cont tn como valo +I y la cont s co. Paa l nstant d tmpo 2/, la cont s co, la cont val -I y l vcto dl campo apunta nuvamnt n la dccón ngatva dl j, pténdos d sta foma las condcons ncals. En la fgua -60- s psnta la stuacón anto. El análss anto sñala las conts qu vaían n l tmpo, poducn un campo magnétco qu ga n l spaco. Aun cuando los campos d cada j tnn gual ampltud, l dsfasaj n l tmpo y n l spaco ogna un campo magnétco otatoo. La fcunca d go dl campo magnétco n l spaco s gual a la fcunca d vaacón d las conts n l tmpo

15 S la bobna no s déntca a la bobna, o las conts nyctadas a la máquna n cada j dfn n ampltud, l campo no s ccula sno líptco. Los campos líptcos tambén son consdados campos magnétcos otatoos o otants. Las máqunas tfáscas tambén funconan mdant l pncpo dl campo magnétco otatoo., t t = 2 t = 0 - N I - N I N I N I t = 3 t = La máquna tfásca Campo magnétco otatoo Fg La máquna tfásca dspon d ts dvanados patdos smétcamnt n la pfa dl clndo. En la fgua -61- s psnta la confguacón squmátca d st tpo d máqunas así como las ts conts qu s han nyctado n las bobnas a, b y c. En la fgua s psntan las conts a, b y c, y las fuzas magntomotcs qu stas conts poducn n l tmpo ncal (t=0) como fasos. En l nstant ncal las conts qu cculan po las ts bobnas son: a =I max b =- c =- 1 I 2 max 1 I 2 max 6.48 Paa dmosta qu l campo magnétco ognado po las conts d la fgua -61-s otatoo, s xpsan stas cont como:

16 a (t) = I cos (t -) b (t) = I cos (t - - c (t ) = I cos (t ) 3 4 ) a a (t ) a b c c t c b Conts y fuzas magntomotcs d la máquna tfásca Fg b S s la dccón d un punto cualqua n l ntho mddo a pat dl j magnétco d la bobna a, s obtn: obtn: F (,t ) = N a cos + N b cos( ) + N c cos( ) 6.50 Susttuyndo las xpsons 6.49 n la cuacón 6.50 s obtn: F (,t ) = N I { cos(t-) cos +cos(t-- 2 )cos( + 4 ) cos(t-- 4 )cos( + 2 )} Aplcando las popdads tgonométcas paa l poducto d cosnos s F (,t ) = NI 2 {cos(t - + ) + cos(t - - ) + +cos(t ) + cos(t - - ) + 3 +cos(t ) + cos(t - - ) }

17 En la cuacón anto los témnos pmo, tco y qunto d la sumatoa d cosnos suman co, po qu l dsfas nt llos s d 120. Con sta consdacón, s obtn: F (,t ) = 3 N I cos( t - - ) Esta xpsón pmt dtmna la fuza magntomotz n l spaco y n l tmpo. S s fja la poscón, s dc, l ángulo s constant, la cuacón 6.53 dtmna qu n sa poscón la fuza magntomotz vaía snusodalmnt n l tmpo. S s congla l tmpo n un nstant dtmnado, la xpsón 6.53 dtmna una dstbucón snusodal d la fuza magntomotz n l spaco. La cuacón 6.53 dmusta qu n una máquna léctca tfásca, almntada po ts conts balancadas y dsfasadas 120 n l tmpo poduc un campo magnétco otatoo smla al poducdo po dos dvanados otogonals a los cuals s ls nyctn conts ssusodals dsfasadas

18 - 90 -