PROBLEMAS VARIADOS 1( )

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Ana Cuenca Álvarez
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1 POBLEMAS VAIADOS (0-0).-Una ssfa d dnsdad vluétca ρ y ad, s aastada dslzand cn vlcdad cnstant p un sul zntal p accón d la fuza F La pscón d la ssfa quda dtnada p l ángul θ. Dtna: a) El cnt d asas d la ssfa b) El ángul θ s l cfcnt d zant nt sfa y sul s µ0,. O a) En la fgua s cnsdad qu l cícul áx d la sfa s ncunta n l plan XY, snd l cnt d s cícul O, l gn dl ssta d cdnadas. Z dz Fg. O Y X Paa ay facldad n la dtnacón dl cnt d asas, l s dad la vulta a la ssfa y dada la stía s cpnd qu l cnt d asas sté sb l j Z y ás cca d la bas qu d la cúspd. Cnsdas ds cts sb la ssfa a una altua z (vaabl) y spaads dz qu s l sps dz. Ls ds cts dtnan un clnd lntal d ad y altua dz, snd su asa: d dv ρ π dz ρ

2 Tant c z sn vaabls qu s ncuntan lacnadas nt sí: z P tant: ( ) dz ρ d dv ρ π z La pscón dl cnt d asas s: Z CM z d d ρπ ( z z ) Vρ dz Z CM ρ π z π ρ z ρ π 0 ρ π π ρ b) En la fgua s stuad las fuzas qu actúan sb la ssfa. Pust qu l dsplazant s alza a vlcdad cnstant y sn gs, la sua d las fuzas db s nula y tabén la sua d ls nts spct dl cnt d asas. D la pa cndcón s dduc qu: Fg. F F F µn N Mg F µmg

3 F y F fan un pa d fuzas qu tndn a aunta l ángul θ, ntas qu N ca un nt spct dl cnt d asas qu s pn a qu aunt θ, dad qu l ssta a alcanzad l qulb la sua d nts s nula, la sua d nts s nula. cuéds qu l nt d un pa, s l pduct d una d las fuzas p la dstanca nt sus línas d accón, qu s st cas dsgnas cn a. Tas nts d las fuzas spct dl cnt d asas. Mnt d la fuza d zant: Mnt d la fuza aplcada, F: F H, n sntd a F, n sntd anta D la fgua s dduc qu H- a, p tant, la sultant d ls nts d sas ds fuzas s : F H F F.a, p a snθ y F µ N µ Mg cuéds qu l nt d un pa, s l pduct d una d las fuzas p la dstanca nt sus línas d accón, qu s st cas dsgnas cn a. Mnt sultant d las ds fuzas F y F : µ M g ( sn θ) Mnt d la fuza N : N snθ M g sn θ M g sn θ µ M g - sn θ µ µ sn θ + µ sn θ + µ 0, 0,6 + 0, ( ) sn θ µ ( - sn θ) θ,9º

4 .-Cn un l d lngtud L, snd la sstnca p undad d lngtud ρ 0 Ω /, s cnstuyn ds cuadads c ndca la fgua. Abs s stúan n un plan zntal dnd xst un cap agnétc vaabl cn l tp, B B csωt, ppndcula al plan qu fan ls cuadads. a) Dtna la ntnsdad qu c l ccut s B 0,5 T y ω 0,6 s - b) Dbuja la ntnsdad fnt al tp cuand a0, y a0,. Aa cnsdas una sla spa cuadada dl s l d lad ncal a 0,5 y stuada n l s cap agnétc. Dca spa dsnuy su áa ( y p tant la lngtud d la pfa d la spa) a un t dad p la cuacón: S a 0,009 t. c) Calcula la fuza lcttz nducda y dbuja la gáfca ntnsdad tp. Paa calcula l fluj vas a asgna abtaant un sntd a la cnt nducda I. Tas paa I n l cuadad d lad a, l sntd d las agujas dl lj y c stá cnctad al cuadad d lad b, n ést ncsaant la cnt tndá qu n sntd cnta. B I S S B I Vas a asgna un vct supfc ppndcula a cada cuadad, d acud cn l sgunt ct: S can ls dds d la an dca p stuand l pulga stad n dccón ppndcula, aa s acn cncd ls dds cn l sntd d la cnt y l pulga, sñalaá n la dccón y l sntd dl vct supfc S. En st cas, c la cnt tn sntd cnta n cada cuadad, tnds qu dfn ds vcts supfcs S y S cuyas dccns y sntds apacn n l dbuj.

5 El fluj a tavés dl ccut s la sua d ls flujs a tavés d cada cuadad. Φ Φ + Φ B S + B S BS cs 0+ BS cs 0 B S ω Φ ( a b ) B csωt D acud cn la ly d Faaday la fuza lcttz nducda val. dφ ε dt La ntnsdad d la cnt: I ε d dt ( a b ) B cs ωt ( a b ) B ωsnωt ( a b ) B ωsn ωt B ( a b ) ωsnωt B ( a - b) ρ(a + b) ( S ) ( S S ) B cs t ωsnωt ρ b) Calculas n cada cas l val d b. L a,6 L a, L a + b b 0, ; b 0, Las cuacns paa cada val d a sn: I(a 0,) I(a 0,) B B ( a - b) ωsn ω t 0,5 ( 0, 0,) ρ ( a - b) ωsn ω t 0,5 ( 0, 0,) ρ 0,6 sn 0,6t 0 6 sn 0,6t 0,5.0 0, sn 0,6t sn 0,6t Intnsdad, I/A,5,5 0,5 0-0,5 - -,5 - -,5 0 6 tp, t/s

6 Obsv qu cuand ls ds cuadads san guals n xst cnt. c) Φ B S B0csωt 0 0 ( a 0,009 t) B a csωt 0,009 t B csωt dφ ε dt ε Bωsn ω t ε [ Ba ωsn ωt ( 0,009 t B ω sn ωt + Bcsω t 0,009) ] ( a 0,009 t) + B 0,009csω t ( 0,075 0,007 t) sn 0,6 t + 0,005cs0,6t La sstnca léctca d la spa dsnuy al pas dl tp ya qu su pít dsnuy. S ( a 0,009 t) l ρ l ρ a 0,009 t 0 0,5 0,009 t I (0,075 0,007t) sn 0,6t + 5 0,9t 0,005 cs 0,6t 0,0 0,05 Intnsdad; I/A 0,0 0, ,005-0,0-0, tp; t/s

7 .-Un clnd acz d ad, dslza p un plan zntal AO, cn vlcdad dl cnt d asas cnstant v. En O xst un plan nclnad OB qu fa un ángul α cn la zntal. S pd l val áx d v qu pud llva l clnd paa qu n td nt pas d un plan a t sn pd l cntact cn l sul. Sb l clnd actúan: su ps g y la accón nal dl plan N Fg.. El clnd al llga a O y n pd cntact cn l plan db ga y su cnt d asa dscb un ángul α tal c s ndca n la fgua. Fg. Paa un ángul β>α l clnd ya uda p l plan OB. Cnsdand la pscón dl ángul gad α y qu l clnd n a pdd cntact cn ls plans, actúan las fuzas: g y N. D la fgua s dduc qu nt la pscón ncal y la fnal f, l cnt d asas a dscndd una dstanca cs α ( csα)

8 C l clnd uda n xst dspacón d ngía, cnsvánds la ngía cánca y sta pédda d altua da luga a una dsnucón d la ngía ptncal qu s taduc n un aunt d la ngía cnétca d tacón. v v g () f ( csα) I( ω ) f ω I El nt d nca dl clnd spct dl j ppndcula a sus bass y qu pasa p l cnt s: I CM. Sgún l ta d Stn l nt d nca spct dl j qu pasa p O: Susttuynd n () I ICM + + g f ( csα) g ( csα) v v v f v g ( csα) () v f v En la pscón f d la fgua, la cpnnt dl ps g csα junt cn N ppcnan la fuza cntípta v f g csα N v f ( g csα N) () Cbnand () y (): v ( g csα N) g ( csα) g csα N g + g csα v 7 g csα g N v g N ( 7csα ) () Obsvas qu n la cuacón () cuant ás pquñ sa N ay s v, l ás pquñ qu pud s N s c y p tant v s l áx psbl, n cnscunca la vlcdad áxa s: v g ( 7 csα )

9 . Supngas qu la ngía n ps d un patícula latvsta s pcsant la ngía lctstátca dl lctón, a) calcula l ad dl lctón s su caga, s dstbuy d fa unf p td l vlun sféc y b) s su caga s dstbuy d fa géna p la supfc. Ent l cas a) y b) xst una dfnca. La ngía cada p la caga, stá n l cas a) tant n l xt c n l nt d la sfa dl lctón, ntas qu n l cas b) slant stá n l xt ya qu n l nt l cap s nul. La ngía alacnada n un cap léctc sta dada p la xpsón ε U E dv La ntgal db calculas n td l spac n l qu xsta cap léctc.. Paa l cas a), dvds l cap cad n ds pats, una la qu cspnd al spac xt al lctón, y ta al nt dl s. Paa calcula l cap xt aplcas l ta d Gauss Cnsdas una sfa d ad > ( ad dl lctón) cncéntca cn la sfa qu cntn la caga. El ta d Gauss xpsad n fa atátca s: E ds ε q En nust cas q E ds E π E ε ε π ε () Paa calcula l cap n l nt dl lctón, acs us dl ta d Gauss Cnsdas una sfa cncéntca cn la qu tn la caga Q d ad < q E ds E π ε Q ε

10 Q s la caga cntnda n la sfa d ad. Tnnd psnt qu la dstbucón d caga s géna, la dnsdad vluétca d caga s la sa n la sfa d ad qu n la d ad. Q ρ Q π π Q E π ε π ε π ε V π dv π d Calculas la ngía alacnada n l cap xt a la sfa. U ε ε E dv π d d π ε π ε π ε + U π ε Calculas la ngía alacnada n l cap nt a la sfa. U ε ε Q E dv π d d 6 0 π ε π ε π ε U 0π ε U Q Q Q + + π ε 0π ε π ε 0 ttal Q 0 π ε Sgún l nuncad dl pbla U ttal c ( asa n ps dl lctón) c 0 π ε 0 π ε c b) Aa la ngía s ncunta slant n l cap xt c π ε πε c

11 5. Un a d l fn y ad y caga q stá n l plan XY y su cnt cncd cn l j d cdnadas. A l lag dl j Z pstv xst un l d lngtud nfnta cuya caga p undad d lngtud s λ. S pd la fuza d ntaccón nt l anll y l l. Cnsdas una lngtud d sb l l qu stá a una altua dl cnt dl a. La caga d s lnt s dq λ d, l cual ca un cap léctc a l lag dl a. En la fgua s psnta l vct cap n ds punts dl a P y P spaads p un dát Z d θ P P Y de X Fg. de En la fgua s a dbujad l vct cap tant n P c n P, así c sus cpnnts sb ls js Y y Z(fgua ). S dduc d la fgua qu las cpnnts sb l j Y s anulan y s suan las dl j Z. Pds scg pas d punts c P y P a l lag dl a tnnd td l cnjunt la caga q. El ódul d la fuza sb l a dbd al lnt d s: λ d df de q q csθ π ε En sta cuacón xstn ts vaabl:, θ y, qu pudn lacnas nt llas. + Llvand stas lacns a la fuza sulta: ; csθ + df π ε λ d + q + π ε d ( + ) Paa calcula la fuza d td l l s d ntga la cuacón ant pnnd c líts d la vaabl c nfnt. F π ε d ( + ) 0 ( + ) 0 π ε Paa slv la ntgal acs l cab d vaabl sgunt d

12 + a d a da Susttuynd n () a da a da a a + F π ε 0 d π ε π ε + () + π ε ( + ). π ε El vct fuza s: F ( k) Est pbla s pud slv tabén a pat dl cap cad p l a n l luga dnd s ncunta l lnt d cnt d. Z de de d Fg. θ P P Y X En la fgua s lgd ds lnts dl a d lngtud cada un dl, (stuads n P y P ) y qu cada un ps la caga: q dq dl π Ls cuals can snds caps dl s dul.s bsva n la fgua qu las cpnnts sb l j Y s anulan y s suan sb l j Z, Est cu paa cada pa d lnts spaads p un dát n l a. S l aplcas a td l a, qu ps la caga q, l ódul dl cap dbd a td l a n l punt d altua s: π ε q csθ π ε E + q ( ) csθ El ódul d la fuza qu suf un lnt d lngtud d y caga dq λ d val: q csθ df E λ d π ε ( ) + λ d

13 D la fgua s dduc qu El ódul d la fuza sb l l s: csθ + F π ε sultad gual al btnd antnt d π ε O ( + ) O 0 El vct fuza s: F k. π ε El vct fuza tn la dccón pstva dl j Z ya qu cspnd a la fuza dl a sb l l, ntas qu ants btuvs la fuza dl l sb l a. Est sultad stá d acud cn l tc pncp d la Dnáca pncp d accón y accón, pust qu s tata d la ntaccón utua nt ds cups.

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