UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 1 FACULTAD REGIONAL MENDOZA CAPITULO 5: POTENCIA

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1 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA APUNTS D A ÁTDA D TOÍA D OS UTOS Pof. D. n. S. nqu Pulafto -mal ulafto@fm.utn.du.a APTUO 5: POTNA OBJTVOS NAS D A ASNATUA. Pov los fundamntos d los ccutos lnals ntta a éstos n l maco d un sstma lnal comndndo y alcando sus ncals odads. Mosta cómo l análss y dsño d ccutos léctcos stán íntmamnt laconados con la caacdad dl futuo nno aa dsña comljos sstmas lctóncos d comuncacons, comutacón y contol.. Qu l alumno anda a solv ccutos lnals smls. 4. Qu l alumno adqua las habldads aa modla y solv sstmas lnals tanto dsd l domno dl tmo como d la fcunca, y qu sa caaz d dc su comotamnto ant una xctacón cualqua. OBJTVOS D APÍTUO V: Dtmna l balanc d otnca d los ccutos lnals, n cont contnua y cont altan. Tanto aa l domno dl tmo como n l domno d la fcunca. alcula la máxma tansfnca d otnca TMA A: Potnca n l domno dl tmo: 5.A.. Potnca n cont contnua: otnca o ama. otnca n témno d cont n las mallas y tnsons nodals. 5.A.. Potnca n un dolo. Toma d la máxma tansfnca d nía. Potnca n un cuadolo. 5.A.. Potnca n l émn tanstoo: otnca n ccutos d m y sundo odn. TMA B: Potnca n ccutos d cont altna: 5.B.. Valos fcacs. 5.B.. Potnca actva y actva. 5.B.. Toma d la máxma tansfnca d nía. UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

2 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO TMPO STMADO D USADO: SMANAS TABA D ONTNDO: APÍTUO V: POTNA.... Potnca n ccutos d cont contnua.... NTODUÓN.... POTNA N DS SSTVAS Potnca como cont y tnsons o ama..... Potnca usando conts n las mallas o tnsons nodals Potnca n dolos actvos y asvos Potnca n cuadolos.... Potnca n cont altna VAO FAZ O VAO.M.S POTNA NSTANTÁNA Y POTNA POMDO Potnca n una sstnca Potnca n una nductanca Potnca n una caacdad Potnca n una mdanca Z.... POTNA ATVA Y ATVA N DOMNO D A FUNA sntacón fasoal d la otnca actva y actva álculo d la otnca a at d la caa Z MÁXMA TANSFNA D NÍA Máxma tansfnca n c.c Máxma tansfnca d otnca n c. a.... BBOAFÍA:. Scott: na cuts, Addson-Wsly Publshn o., 960 Dof y Svoboda, cutos léctcos. ntoduccón al Análss y Dsños, Alfaoma, 000 unnham and Stull: Basc cut Analyss, 995. M. Van Walnb: Análss d ds, musa.,994 H. Puyo y. Maco: Análss d modlos ccutals,tomos y. Abó, 985 W. Hyat and J. Kmmly: Análss d cutos n nnía, Mc aw Hll., 985 UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

3 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO APÍTUO V: POTNA l concto subyacnt d toda sta mata s sn duda studa la tansmsón d nía léctca d un dsostvo a oto. Sn mbao hasta ahoa hmos analzado l comotamnto d la tnsón y la cont léctcas como vaabls maas, sndo éstas substtutos d los conctos d otnca y d nía. n st caítulo tatamos ntnsamnt stos dos conctos d otnca y nía, tanto aa los ccutos sstvos solamnt, como aa los d cont altna. l tatamnto d las vaabls d otnca y la nía susctó haca fns dl slo XX una fut contovsa, o la alcacón xtnsva n los sstmas ndustals d la cont contnua (c.c.) o l d la cont altna (c.a.). Así aa 880 la cont léctca a usada sob todo aa la lumnacón úblca, o jmlo Nuva Yo y Nuva Ysy n.uu. tnían sstmas d cont contnua, n cambo la cudad d olona n Almana tnía cont altna. Paallamnt, nuvos dsaollos d motos d c.a. o dínamos d c.c., hacían dfícl la lccón. sntants d la c.c. fuon Alssando Volta (tala,745-87) Thomas dson (.UU ) mntas qu los dfnsos d la c.a. an o Wstnhous (846-94) y Ncola Tsla (sbo-amcano ) nvnto dl moto d c.a. Uno d los aumntos d la dsuta a o un lado la dfcultad n l tatamnto matmátco d la otnca n c.a., y o l lado d la c.c. su dfcultad n los cambos d tnsón y tansot. Sn mbao fu l n. hals Stnmtz (almánamcano865-9) d la nal lctc omany, qun ublcaa n 897 un atículo sob l tatamnto matmátco d la cont altna o mdo d fasos (v a. 4), qun dfntvamnt volcaa la lccón haca l uso xtnsvo d la cont altna. omo lo vmos n st caítulo, la ntoduccón d los conctos d valo mdo fcaz (o.m.s.: oot man squa n nlés), y otncas omdos y co, n vz d otncas nstantánas, tmnó o smlfca l cálculo d la otnca n cont altna.. Potnca n ccutos d cont contnua. ntoduccón n los ccutos sstvos uamnt no hay almacnamnto d nía, o lo qu s más convnnt xsa l concto d otnca como l oducto d la cont o la tnsón. Sndo la cont una mdda d la adz con qu ccula la caa léctca o un dsostvo; y la tnsón una mdda d la cantdad d nía asocada con cada undad d caa; l oducto s una mdda d la cantdad d nía absobda o dsada o l dsostvo. l concto d otnca stá ntoncs asocado a la adz dl flujo d nía n los dsostvos sstvos (v cuacons. a.5 n l caítulo ). n st m unto vsamos los balancs d otnca tanto aa las amas ndvduals d un ccuto sstvo, como aa una d sstva. sta otnca la ondmos n funcón d las conts y tnsons d ama, y n funcón d las conts d mallas y tnsons nodals.. Potnca n ds sstvas... Potnca como cont y tnsons o ama UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

4 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO S conocmos la cont y la tnsón n una ama, la otnca dsada o sa ama sá: (5.) Dond s la tnsón y s md n Volts o ( joul /coulomb), s la cont y s md n Ams o (coulomb /sundos), y la otnca s md n watts o (joul / sundos). Fua 5.: ómuto d la otnca n una ama n una d sstva n la qu xstn vaas amas y nados, s db cuml qu la otnca, toda la otnca sumnstada o las funts db s absobda o los lmntos asvos. ntoncs 0 (5.) codmos, qu s bn la otnca no s un vcto, sí tn una oladad. Habíamos dfndo una otnca ostva cuando s otnca dsada, n cambo, s la otnca s natva, la otnca s sumnstada a la caa. (V fua 5.). S la ama stá fomada o una sstnca, la otnca sá ostva y dsada (fua 5. (b)); (5.) a otnca n las funts (fua (c) y (d)) sá: ; (5.4) P ; dond s la tnsón dl nado d tnsón s la cont dl nado d cont. a otnca sá ostva, s las funts stán absobndo otnca dl sto dl ccuto, y sá natva s ovn otnca al ccuto. n st caso la cont sá salnt o l UNVSDAD TNOÓA NAONA 4 FAUTAD ONA MNDOZA

5 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO bon ostvo, y n l cálculo nos daá una cont natva scto dl macado n la fua 5.. jmlo: alcula l balanc d otnca dl ccuto d la fua 5. Fua 5.: Balanc d otnca Solucón: solvndo o suoscón, la cont n la sá l aot dl nado d tnsón, más l d cont, n foma smla aa la cont n la : 0 5 6A 0 5 4A 6V 4V 6 6W P P 6W Potnca dsada n las sstncas: P P 5W a otnca ntada o dsada n las funts sá: 4 ( 6) P 0 60W P 4 8W Potnca total -5 W Nóts qu la funt d cont no stá ntando otnca (sno ostvo), sno consumndo, o lo tanto no sm las funts sumnstan nía. a suma d las otncas dsadas y ntadas db s nulo aa qu l ccuto sté bn calculado. Balanc nto: Potnca dsada otnca ntada: Potnca usando conts n las mallas o tnsons nodals uando s solvon los ccutos a tavés d los dstntos métodos, (v caítulo ), s obtuvon las conts y tnsons n todas las amas. onocdas stas vaabls, s osbl calcula las otncas n cada ama dl ccuto, ya sa consumdas o las sstncas o ntadas o las funts. Sn mbao, s ud aovcha la msma notacón matcal dl método d las conts n las mallas o tnsons nodals aa calcula dctamnt las otncas consumdas y ntadas o l ccuto. Σ UNVSDAD TNOÓA NAONA 5 FAUTAD ONA MNDOZA

6 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Potnca usando cont n las mallas: Suonamos qu s ha sulto un ccuto o cont n las mallas, la notacón nal tndá la sunt foma [v tambén (.4) y (.4)]: M (5.5) dond,,...,, son las conts d mallas,,,...,, son la suma d las sstncas d las mallas, j, j son las sstncas comuns d las mallas vcnas, y,,..., son la suma d las funts conctadas n cada ama. codmos qu o l toma d la cocdad los cofcnts,,.., j j. Ahoa, s s multlca la ma cuacón o, la sunda o, y así sucsvamnt y sumamos todos los témnos quda: M M (5.6) n l mmbo zqudo d la ualdad, s dc stá sntada la otnca total dsada o todas las sstncas dl ccuto. st númo s sm ostvo y s lo dnomna foma cuadátca dfnda ostva. Nóts qu a sa d los snos natvos xlíctos, st númo db da ostvo, ya qu snta una otnca absobda. l mmbo dcho d la ualdad n (5.6) nos dtmna l balanc nto d las otncas ntadas o las funts: F Po lo tanto, usando las cuacons msmas d conts n las mallas s osbl dtmna l balanc nto dl ccuto. Nóts qu mo s ncsao solv las cuacons d malla y luo ocd a calcula st balanc d otnca. Oto hcho ntsant, s qu no stamos calculando las otncas n cada ama, sno su balanc nto, usando las conts d mallas. Paa calcula la otnca n una ama (o n todas) dbá calculas la cont d sa ama, a at d las conts d mallas, calcula la caída d tnsón n las amas y luo v su otnca. o msmo db dcs s dsa analza s una funt n atcula stá sumnstando o ntando otnca. Db mo analzas la cont qu ccula o la funt y d allí studa s su sno s ostvo o natvo, d acudo a la convncón d snos vsto más aba. UNVSDAD TNOÓA NAONA 6 FAUTAD ONA MNDOZA

7 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Analcmos un jmlo: Vfca l balanc d otnca, usando l método d conts n las mallas. _ 5 Fua 5.: jmlo d cálculo d otnca o cont n las mallas Solucón. Pmo s lantan las cuacons d conts n las mallas dl ccuto d fua 5.: a b 6 a 8A ; d allí s obtn qu. a b 4 0 b 4A Alcando la cuacón (5.6), la otnca dsada n las sstncas sá: a ab b W Vfqumos la otnca total dsada o las sstncas, calculando las otncas n cada ama, sto s, a at d las conts d amas,, : ( ) ( ) ( ) W sndo a 8 A, (a-b) 4 A, b 4 A. Vmos ntoncs, qu la otnca total dsada n las sstncas, concd con l cálculo alzado usando las conts d mallas. Vfqumos ahoa, o ambos métodos, la otnca nta ntada o las funts. F a 6 b W F W n la cuacón suo s calculó la otnca nta usando las conts d mallas, n cambo n la cuacón nfo, s calculó la otnca n cada una d las funts. os snos natvos ndcan otnca ntada. l balanc nto sá F W Vfcándos n ambas las otncas ntadas y consumdas. Balanc d otnca usando tnsons nodals: n foma análoa a lo vsto aa conts n las mallas, s ud dmosta qu s un ccuto s ha sulto o tnsons nodals, s ud calcula su balanc d otnca consumda y ntada; a at dl juo d cuacons d tnsons nodals. 4 UNVSDAD TNOÓA NAONA 7 FAUTAD ONA MNDOZA

8 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO M (5.7) dond,,..., son las tnsons n los nodos,,,...,, son la suma d las conductancas (/sstncas) conctadas a los nudos,, j son las conductancas comuns nt dos nodos vcnos,,,..., son la suma nta d las funts d cont qu nyctan o xtan cont dl nudo. Nuvamnt codmos qu o l toma d la cocdad los cofcnts,,.., j j. Ahoa, s s multlca la ma cuacón o, la sunda o, y así sucsvamnt y sumamos todos los témnos quda: M M (5.8) Análoamnt a lo vsto antomnt, l mmbo zquda d la ualdad, s dc stá sntando la otnca total dsada o todas las sstncas dl ccuto. l mmbo dcho d la ualdad n (5.8) dtmna l balanc nto d las otncas ntadas o las funts, usando las tnsons nodals y los valos d cont d los nados: F alculmos n l jmlo d la fua 5.4, l balanc d otnca nta, usando las tnsons nodals: Solucón: S sulv mo l ccuto d la fua 5.4, o l método d las tnsons nodals: 0 b a b a ; d allí s obtn qu V V b a Una vz sulto las tnsons nodals, calculamos la otnca dsada n las sstncas o (5.8): W b b a a a otnca ntada o las funts sá, sún (5.8): UNVSDAD TNOÓA NAONA 8 FAUTAD ONA MNDOZA

9 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO F a b 0 W Fua 5.4. jmlo d vfcacón d otnca ual qu n l jmlo anto odmos vfca calculando las tnsons n cada ama, y vfcando la otnca dsada n cada sstnca y la otnca n cada funt: 4 W dond a -/, (a - b) /, b -/; y,. a otnca n cada una d las funts sá: F W l mnos d la ma funt, snfca qu la cont sal o l tmnal ostvo. a otnca nta sá: 0W. on lo cual vfca los cálculos antos. F Tanto l cálculo d la otnca nta usando l método d las conts n las mallas o l d las tnsons nodals, nta n foma odnada y con los snos adcuados las otncas consumdas y ntadas ntas o las funts. n los jmlos d cálculo d otnca o ama db tns scal caucón d sta la convncón d snos d la otnca. o cual no ocas vcs oduc sos nconvnnts o os. s o llo qu s fbl l método d las conts n las mallas o tnsons nodals. UNVSDAD TNOÓA NAONA 9 FAUTAD ONA MNDOZA

10 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO.. Potnca n dolos actvos y asvos. Potnca n dolos asvos: alcula la otnca n un dolo asvo, s dtmna la dsacón d otnca nta alzada n sus sstncas. Ya vmos n l aítulo, qu un dolo ud mlazas o una sstnca quvalnt, o lo tanto, la otnca nta dsada ud calculas conocndo la cont y tnsón n sa sstnca quvalnt. a otnca dsada o la sstnca quvalnt s la otnca dsada o todo l dolo. Vamos n l sunt jmlo d la fua 5.5, la otnca dsada o cada sstnca, y luo l balanc nto, sumando todas las otncas; y luo su cálculo a tavés d la sstnca quvalnt dl dolo. Fua 5.5: álculo d la otnca n un dolo. Suonamos qu Ω; y 5 V a foma d solv los ccutos to scala como l d la fua s mo nconta la sstnca quvalnt, y d allí s ud obtn la cont, y luo las otas vaabls dl ccuto, sún lo vmos n l caítulo, aatado.., fua.6. Sundo st ocdmnto, odmos halla qu: q/8; A, 0 A, A, 4 8 A, 5 4 A 6 4 A. a otnca dsada n cada sstnca sá: W 04 W 400 W 44 W 64 W 6 W 6 W la otnca quvalnt dl dolo sá 5 d 664W q 8 Po lo qu s dmusta qu la otnca nta total dsada dl dolo ud calculas a tavés d su sstnca quvalnt o como suma d las dsacons n cada sstnca. UNVSDAD TNOÓA NAONA 0 FAUTAD ONA MNDOZA

11 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Potnca n dolos actvos: Antomnt hmos vsto qu un ccuto sstvo con funts ud mlazas, usando los tomas d Thèvnn o Noton, o una funt y una sstnca quvalnt, vstos aa l a d tmnals dl dolo. Admás, s osbl mlaza un nado al d tnsón, o un nado al d cont y vcvsa. stas oacons d quvalnca an váldas a los fctos d calcula la cont, la tnsón o una sstnca quvalnt aa un a d tmnals scífcos. Ahoa vmos qu fctos oduc stas quvalncas sob l cómuto d la otnca. Suonamos l ccuto sunt d la fua 5.6, y calculmos l balanc d otnca. Fua 5.6: Potnca n dolos actvos Suonamos qu A, 0 Ω y Ω. n l ccuto d la fua (a), o dvso d cont obtnmos qu 0 A ; 0 A ntoncs las otncas n cada sstnca dl dolo d f. (a) sá: 0 0 W 0 00 W 0 W a otnca ntada o la funt d cont sá: ( ) ( 0) 0 W a otnca nta sá: W ; qudando vfcada las otncas. alcmos l msmo cálculo aa l ccuto quvalnt d st dolo, como s afca n la fua (b). a tnsón quvalnt dl nado d tnsón sá 0 0 V. a cont sá: 0 0 A Una vz obtnda la cont s ud calcula las otncas dsadas o las sstncas, la ntada o la funt, y l balanc nto: Potnca dsada: UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

12 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Potnca ntada: Balanc nto: W 00 W 00 W ( 0) 00 W W D aquí obsvamos vaos lmntos ntsants. Po un lado cada ccuto cuml con los balancs ntos d otnca, o n l caso (a) la otnca s d 0 W, n cambo n l caso (b) s d 00 W. s dc l nvl dl sundo caso s 0 vcs suo. Y o oto lado los nvls d otnca dsada o la sstnca son uals n ambos casos, no así aa la. sto s cocto, us aa la sstnca ambos ccutos (a la dcha d los tmnals a- b) son quvalnts. Po a los fctos d la otnca, ntnamnt ambos dolo no s comotan d ual mana. codmos qu la otnca no s una vaabl lnal, y o lo tanto no s cumln los ncos d lnaldad y suoscón. omo vmos n l sunt jmlo. Potnca y suoscón: Vfqumos las otncas n l sunt jmlo, y alqumos l nco d suoscón aa solvlo. Fua 5.7: Potnca y suoscón Suonamos qu 0 V; y Ω. S sólo stá snt l nado, ntoncs, y stán n aallo, o lo tanto la sstnca quvalnt sá q / Ω. a otnca dsada sá: W q S solo stá snt l nado, la sstnca dsaac us stá n aallo con un cotoccuto. Po lo tanto la q Ω. Su otnca dsada sá: W q S sumamos los cálculos d otnca n ambos casos (o suoscón d otncas): UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

13 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO W alculmos las conts o suoscón, sto s, nmudcndo un nado o vz: A A Una vz calculada las conts, calculmos las otncas, calculmos la otnca total ntada o ambas funts smultánamnt: t W vmos ntoncs, qu s calculamos las otncas n foma saadas la otnca s mucho mayo qu ambas funts actuando conjuntamnt. Po lo tanto no s ud alca l nco d suoscón aa las otncas, oqu como ya s djo, st nco s váldo aa vaabls lnals. S s udn calcula las conts y tnsons saadamnt o suooscón, y luo calcula las otncas, o no éstas dctamnt...4 Potnca n cuadolos. Smlamnt a lo vsto antomnt, la otnca total nta dsada n un cuadolo sstvo ud calculas, o bn sumando las otncas dsadas n cada sstnca, o bn a tavés d un ccuto quvalnt, o a tavés d los aámtos d un cuadolo (aámtos o ). n cada caso los cálculos ntos sán uals, o los cálculos ntmdos sán dstntos, ya qu los ccutos son dstntos. Sn mbao la quvalnca d dchos ccutos s válda aa otos ccutos conctados xtnamnt al a d tmnals d ntada y salda dfndos aa dcho cuadolo. Fua 5.8: Potnca n cuadolos asvos Suonamos qu l ccuto d la fua 5.8 (a) tna los sunts valos: V; 5 Ω; 4 Ω. alculando sus conts obtndíamos; 4 A; 5 A, 0 A. ntoncs las otncas dsadas n sus sstncas sá: UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

14 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO W W W W W W Haamos l msmo cálculo n l ccuto quvalnt d la fua 5.8 (b). st ccuto tn los sunts valos: 6 8 Ω; 7 ; 6 A; 7 6 A y 8 - A. l balanc d las otncas dsadas sá: W W W W Obsvamos qu l balanc fnal nto s l msmo, o sus cálculos ndvduals no tnn lacón nt sí. Po lo tanto, s dsa comuta la otnca total nta s váldo calculalo a at d los valos onals, fua (a), o a at d un ccuto quvalnt, como l d la fua (b). álculo d otnca usando aámtos o. S dsconocmos los comonnts ntos d un cuadolo asvo, odmos dtmna su consumo d otnca, a at d un nsayo xtno, dtmnando sus aámtos o, sún lo vsto n l caítulo. ntoncs un cuadolo, caactzado o stos aámtos ud sntas como la fua 5.9. S lo dfnmos o sus aámtos (v cuacón.5 y): (5.9) Paa calcula la otnca, odmos multlca la ma cuacón d (5.9) o, y la sunda o ; y luo suma mmbo a mmbo (codmos qu ). sto s: (5.0) a ma at d la ualdad snta la otnca nta sumnstada o las funts, y la sunda at la otnca dsada o las sstncas. S l cuadolo s asvo, st cómuto db da sm ostvo. n foma análoa, odmos haclo aa un cuadolo dfndo o sus aámtos : UNVSDAD TNOÓA NAONA 4 FAUTAD ONA MNDOZA

15 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO (5.) Fua 5.9: Potnca y cuadolos dfndos o sus aámtos o y la otnca multlcando la ma cuacón d (5.) o, y la sunda o ; y luo sumando mmbo a mmbo (codando qu ). Po lo tanto: déntco comntao ud hacs a lo vsto aa los aámtos. (5.). Potnca n cont altna l cálculo d otnca vsto hasta aquí, sólo contmlaba la dsacón n las sstncas, us los lmntos como las nductancas y caactos, n c.c. sólo tnn un fcto tanstoo coto, y dsvancéndos éstos ádamnt. Sn mbao, cuando la cont vaía n foma mannt, como n la c.a. las nductancas y caactos tn l fcto d almacna y luo nta nía. st fnómno hac qu tna lvanca l uso dl concto d nía y no sólo l d otnca. sta comlcacón fu motvo d muchos dbats haca fnals dl slo XX. omo ya s xlcaa n la ntoduccón al caítulo, la nomalzacón dl uso d la cont altna, s dbó n an at a la smlfcacón ousta P. Stnmtz. omo vmos a contnuacón, l cálculo d la otnca nstantána n cont altna s bastant comlcada, us mlca la alcacón d la tonomtía; sn mbao l uso d otncas omdos, y valos fcacs mtó un uso sncllo smla a UNVSDAD TNOÓA NAONA 5 FAUTAD ONA MNDOZA

16 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO los cómutos d la cont contnua. Po llo mamnt dbmos dfn vaos conctos vos, aa luo dsaolla l método oo usado n c.a.. Valo fcaz o valo.m.s. l valo fcaz f (o ms ) d una cont ódca (t), s dfn como l valo constant d cont qu oducá la msma otnca dsada n una sstnca, qu la qu oducía como omdo la cont ódca. s dc, buscamos un valo omdo qu oduzca l msmo fcto d dsacón qu oducía una cont contnua. a otnca omdo ntada o una cont ódca a una sstnca sá: T P () t dt (5.) T 0 dond T s l íodo d la funcón ódca. a otnca oducda o una cont constant sob la msma sstnca sá: P f (5.4) sndo f sa cont d c.c. qu uala ambas otncas. ntoncs ualando (5.) y (5.4): T f () t dt T 0 (5.5) T f () t dt T 0 Po lo tanto s dfn l valo fcaz como la aíz cuadada dl valo mdo lvado al cuadado. Po llo st valo s lo dnomna tambén valo.m.s (dl nlés oot man squa oot: aíz; man: valo mdo; squa: cuadado). S la cont (o tnsón) ódca s d to snodal, con valo máxmo y fcunca anula ω: ( t ) cos ωt, ntoncs, la otnca nstantána dsaollada sob una sstnca sá: cos ωt (5.6) ( cos ωt) cos ωt Vmos qu sta otnca stá fomada o dos témnos uno constant y oto qu vaía con l dobl d la fcunca. S calculamos la otnca omdo P sob la lacón (5.6): T T P dt cos t dt T T ω 0 0 T T 0 cos ωt dt (5.7) UNVSDAD TNOÓA NAONA 6 FAUTAD ONA MNDOZA

17 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO l m témno s constant y sal fua d la ntal. n cambo la ntal dl témno cos ωt s co, ya qu l omdo n l íodo d cualqu onda snodal s co. sto s aca n la fua 5.0, dond s afca la otnca nstantána dsaollada n una sstnca aa una cont snodal. Fnalmnt, ualando (5.7) y (5.4) s obtn la cont fcaz d una funcón snodal: f f (5.8) ntoncs, l valo fcaz o.m.s. d una cont (o tnsón) snodal s l valo máxmo dvddo aíz cuadada d, s dc f (5.9) Fua 5.0. Potnca dsaollada n una sstnca a otnca mda sob una sstnca tambén ud xsas n témnos d la tnsón fcaz: V Vf P (5.0) P f Una vz dfndos los valos fcacs, las otncas omdos d una onda snodal, sob una sstnca s smla a lo vsto aa cont contnua. os valos fcacs dndn d las fomas d onda ódca, así, s la onda tn ota foma dstnta a la snodal, dbá calculas a at d la dfncón 5.5. Vamos como jmlo, los valos fcacs aa una onda tanula y una onda cuadada, ambas con íodo T, sún s afca n la fua 5.. a onda tanula d la fua (a) ud dfns como: () t t 0 t T T UNVSDAD TNOÓA NAONA 7 FAUTAD ONA MNDOZA

18 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Fua 5.: Valo fcaz aa otas fomas d ondas Alcando la dfncón: () dt t T T dt t T T T f t T T Po lo tanto l valo fcaz sá: f (5.) Paa la onda cuadada d íodo T d la fua (b), la funcón (t) s: () T t / t / T t T ; t t 0 0 Alcamos la dfncón d valo fcaz: UNVSDAD TNOÓA NAONA 8 FAUTAD ONA MNDOZA

19 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO T T f dt T T 0 0 T [] t 0 T T T Obtnéndos aa la onda cuadada un valo fcaz ual al valo máxmo. f Po lo tanto l ocdmnto nal s: dt (5.) (5.) a) halla l cuadado d la foma d onda, b) calcula l omdo n su íodo, c) obtn la aíz cuadada. Ota dduccón motant aa comnd la motanca dl valo fcaz, lo consttuy l sunt caso. Suonamos qu la ntada d un ccuto s almntada o la combnacón lnal d dos sñals snodals, o d dstnta fcuncas. S dsa obtn l valo fcaz d sa suma d funcons, n funcón d los valos fcacs d cada onda. ( t) cos( ωt θ) () t cos( ω t θ ) a suma d ambas sñals sá: ( t ) () t () t cos( ωt θ) cos( ωt θ ) (5.4) omo s acaba d dc, aa obtn su valo fcaz dbmos mo lva al cuadado: t cos ω t θ cos ω t θ cos ω t θ cos ω t θ ) (5.5) () ( ) ( ) ( ) ( luo dbmos obtn l omdo. l omdo d cada cosno cuadado s ½, n cambo l omdo dl oducto d cosnos d dstntas fcuncas s 0, o la odad d otoonaldad d las funcons snodals. Po lo tanto l omdo d (t) s: () t (5.6) y tco dbmos obtn la aíz cuadada aa calcula l valo fcaz f (5.7) D aquí odmos xta las sunts conclusons o las: ) Dos sñals contnuas udn sumas atmétcamnt ) Dos sñals snodals d la msma fcunca udn sumas vctoalmnt (suma fasoal o suma ométca). ) Dos sñals snodals d fcunca dstntas, solo udn sumas sus valos fcacs al cuadado. vdntmnt l m caso contn mayo nfomacón qu l sundo, y l sundo más nfomacón qu l tco. Mntas qu n l m caso udo dc su valo nstantáno n cada momnto, n l tc caso sólo s ud dc l omdo cuadátco d la suma. S sta cont asa o una sstnca, ntoncs l omdo cuadátco s ooconal a la otnca omdo. Po lo tanto las otncas omdos sm s suman, ndndntmnt dl sno d la cont. sta conclusón sá d suma utldad aa l UNVSDAD TNOÓA NAONA 9 FAUTAD ONA MNDOZA

20 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO tatamnto d la otnca d udo n sstmas d comuncacons y sstmas stocástcos (alatoos) n nal... Potnca nstantána y otnca omdo n los ccutos d cont contnua, nomalmnt l sntdo dl flujo d otnca s d la funt a la sstnca d caa. n cambo cuando analzamos ccutos d cont altna, dond xstn nductancas y caacdads, l flujo d otnca dndá dl cclo d la cont. Así n una nductanca, n la ma mtad dl cclo, la nductanca almacna nía, s dc l flujo d otnca s d la funt a la nductanca, n cambo n la sunda mtad dl cclo, la nductanca dvulv la nía almacnada a la funt. Tambén ud dcs lo msmo d los caactos o con sntdos oustos. S una caa stá comusta o nductancas y caacdads, habá tambén un ntcambo d nía nt la nductanca y l caacto. Vmos a contnuacón l comotamnto d la otnca nstantána y omdo aa cada lmnto ccutal, y luo aa una mdanca cualqua Z, cuan s xcta con una cont altna.... Potnca n una sstnca. uando vmos la dfncón d otnca omdo suusmos qu una cont snodal cculaba o una sstnca. Vamos nuvamnt st dsaollo a fn d stablc l método aa los otos lmntos. n un caso nal, odmos scb qu ( t) cos ωt () t cos ωt sndo y los valos máxmos d la cont y tnsón, codmos qu, sún lo vmos n l caítulo 4, (tabla 4.), qu la cont y la tnsón stán n fas. a otnca nstantána sob la sá: cos ωt ( cos ωt) (5.8) cos ωt cos ω f f ( ) t f a otnca omdo d dsacón dsaollada sob la caa sá la ntal n l íodo d la cuacón (5.8). a ma at s constant y l omdo d la onda snodal dl dobl d fcunca sá 0. Sundo lo dsaollado n las cuacons (5.6) a (5.0) y la fua (5.0): f P f f f (5.9) A sta otnca omdo tambén s la dnomna otnca actva... Potnca n una nductanca S alcamos una tnsón snodal, (v tabla 4. y cuacón. 4.9), la cont qu ccula o la nductanca sá: f f f UNVSDAD TNOÓA NAONA 0 FAUTAD ONA MNDOZA

21 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO () t ω Po lo tanto su otnca nstantána sá: cos ωt () t sn ωt sn ωt cos ωt sn ωt ω (5.0) sn ωt f f sn ωt Paa calcula la otnca omdo, dbmos nta n l íodo la cuacón (5.0). Sn mbao la ntal d una funcón snodal s co; o lo qu su omdo sá co. Analzando la fua 5., s obsva qu duant la ma mtad dl cclo la otnca va dl nado a la funt, n cambo n la sunda mtad, ésta s vulv a la funt. A sta otnca s la dnomna otnca actva o otnca co Q. A sa qu la otnca omdo s co, s usaá la otnca actva o co aa l cálculo d la otnca n una caa cualqua. Fua 5.: Potnca altna n una nductanca sta s: Q f f f ω f ω (5.) sta otnca actva Q, stá laconada con la nía qu s almacna n la nductanca. a nía nstantána w n una nductanca s: f w sn ωt ( cos ωt) (5.) su nía omdo almacnada W s la ntal d la cuacón (5.) y s: W f (5.4) UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

22 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO S comaamos (5.4) con (5.) nos vla qu: Q ωw (5.5) Po lo tanto, la otnca actva n una nductanca s ω vcs la nía manétca almacnada n sa nductanca... Potnca n una caacdad Una foma smla a lo studado aa la nductanca ud dsaollas aa la caacdad. Paa sto dbá vsas lo dcho tambén n l caítulo 4. S s xcta una caacdad con una tnsón snodal, la cont sá la dvada d la tnsón: () t cos ωt d () t ω sn ωt dt sn ωt Dond son las amltuds máxmas d la cont y tnsón. a otnca nstantána sá: cos ωt sn ωt sn ωt (5.6) f f Fua 5.: Potnca n una caacdad Podmos xsa conctos smlas a los d la nductanca. (V fua 5.). n l m smcclo, la otnca fluy d la caacdad a la funt y n l sundo smcclo, la caacdad cb otnca d la funt. codmos qu st sstma ya stá n qulbo y duant l tanstoo, la caacdad s caó ncalmnt. l sno mnos d la xsón (5.6) comaada con (5.0) justamnt xsa qu stos sntdos d otncas stán dsfasadas 80 nt sí. Mntas qu una s caa, la ota s dscaa. Dfnmos nuvamnt una otnca actva o otnca co aa la caacdad como: f Q f f f ω (5.7) ω UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

23 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO ual qu n (5.) y (5.) calculamos la nía nstantána w almacnada n la caacdad y la nía omdo W : f w cos ωt ( cos ωt) (5.8) f W a lacón d la nía omdo con la otnca actva s (coma (5.7) con (5.8):..4. Potnca n una mdanca Z Q ωw (5.9) Una vz analzados n foma ndvdual las vaacons d otnca n cada lmnto, studmos l balanc d otnca y nía n una mdanca cualqua Z. Fua 5.4: Potnca n una mdanca d caa Z. (a) áfcos d la tnsón y cont; (b) otnca nstantána n la caa; (c) otnca actva; (d) otnca sstva. Po lo vsto n l caítulo anto, s xctamos una caa Z, con una tnsón snodal, la cont n nal tndá un dsfasaj θ scto d la tnsón. (v fua 5.4 a). t cos ωt a otnca nstantána sá (fua 5.4 (b)): ( ) () t cos( ωt θ) UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

24 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO cos ωt cos ( ωt θ) cos θ cos( ωt θ) (5.40) f f cos θ f f cos θ cos ωt f f sn θ sn ωt otnca al otnca actva os mos dos témnos consttuyn una otnca al consumda n la sstnca d la caa. l tc témno s la otnca actva qu fluy d la caa a la funt y vcvsa y cuyo valo omdo s co. stos témnos s acan n la fua (5.4) (c y d). D (5.40) dfnmos qu: P f f cos θ (5.4) Q f f sn θ P s la otnca actva omdo consumda o l ccuto, y Q s la otnca co actva, qu fluy d la caa a la funt y vcvsa. Al facto cos θ s lo dnomna facto d otnca y snta la at al d la mdanca, y a snθ s lo llama facto actvo. Una d las ands vntajas n usa los valos P y Q, s qu udn sumas n cualqu unto dl ccuto. s dc, la otnca omdo total consumda n un ccuto s la suma d las otncas n cada ama dl ccuto. s dc s cuml qu Ptotal Pamas (5.4) Q Q total amas. Potnca actva y actva n l domno d la fcunca.. sntacón fasoal d la otnca actva y actva Ya dfnmos la convnnca aa l cálculo d la tnsón y la cont n l domno d la fcunca dl uso d fasos. Sn mbao los vctos sólo s dfnn aa vaabls lnals, y a o no s osbl dfn l uso d éstos n l cálculo d la otnca. Sn mbao, sondntmnt, s mostaá qu hacndo alunos quños cambos, s osbl usa la nomnclatua y oatoa fasoal aa l cálculo d la otnca n cont altna. n la cuacón (5.4) hnos dfndo la otnca al actva P y la otnca manaa co actva Q: P f f cos θ Q f f sn θ Sndo f y f las cont y tnsons fcacs alcadas a una caa Z, sndo θ l ánulo qu foman los fasos cont y tnsón nt sí (Fua 5.5). Así como dfníamos los fasos cont y tnsón, s ud dfn los fasos f y f, sndos éstos ooconals a los antos o : f f φ (5.4) φ f f Sndo φ la fas ncal d la tnsón y φ la fas ncal d la cont. S dfnmos la conjuada dl vcto f como * f: * f (5.44) f ( φ ) UNVSDAD TNOÓA NAONA 4 FAUTAD ONA MNDOZA

25 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO S multlcamos l vcto tnsón fcaz o la conjuada d la cont fcaz s tn: * f f f φ f f f ( φ ) θ (5.45) Sndo θ l msmo ánulo qu foman los fasos cont y tnsón nt sí d la Fua 5.5. S hubésmos multlcado dctamnt las cont y tnsón fcaz, la fas sultant sía la suma d (φ φ ). j manao f φ θ f φ φ φ j al Fua 5.5 Fasos tnsón y cont fcaz a cuacón 5.45 ud xsas n notacón comlja como: * f f f f θ f f cos θ j f f sn θ (5.46) P jq Po lo tanto s dmusta qu s ud dfn un faso otnca aant S cuyas at al s P la otnca omdo actva, y cuya at manaa s la otnca co actva Q: * S P jq f f (5.47) s dc, multlcando l vcto tnsón fcaz o l conjuado d la cont fcaz, obtnmos un vcto otnca aant S cuyas ats als manaas son las otnca actva P y ctva Q. S tomamos la cuacón (5.40) d la otnca nstantána n l domno dl tmo: f f cos θ f f cos θcos ωt f f sn θ sn ωt (5.48) P ( cos ωt) Q sn ωt ncontamos la foma d obtn la otnca nstantána n l domno dl tmo. sto s, odmos volv al domno dl tmo alcando la cuacón (5.48). on stos vctos d otnca odmos foma un tánulo ctánulo, sndo l ánulo nt la otnca aant y la actva, l msmo ánulo θ fomado nt los vctos cont y tnsón (v fua 5.6). UNVSDAD TNOÓA NAONA 5 FAUTAD ONA MNDOZA

26 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Fua 5.6 Tánulo d otnca as otnca aant S s md n VA (volt-am), la otnca aant n VA (voltam actvos) y la otnca actva P n watts. S multlcamos S o l cos θ obtnmos la otnca actva P, s o llo qu a cos θ, s lo dnomna facto d otnca (v 5.4). st tánulo tambn nos mt ntnd l oblma d la dstbucón d nía léctca. Paa qu uda aovchas la otnca actva P n una caa (o jmlo, lumnacón domclaa, motos ndustals, tc), l nado db nta una otnca S. a otnca Q actva s la qu s nttn n la línas d dstbucón léctca, tansfomados d duccón y dstbucón y lmntos actvos d la oa caa. n nal la olítca tafaa, stablc qu l usuao aa sólo la otnca actva, o l nado db ov la otnca aant S. s o llo qu al nado l ntsa qu l facto d otnca cos θ sa lo más ccano a uno osbl. S stablc qu s una caa s muy nductva cos θ < 0.8 l usuao db comnsa sta caa. Paa llo s aan caactos con l fn d duc la otnca actva Q. Po oto lado l ovdo d nía léctca comnsa la at actva nductva d las línas con ands caactos n las stacons tansfomadoas. n bv vmos sto con más dtalls... álculo d la otnca a at d la caa Z Un cálculo tíco d otnca, consst n dtmna la otnca n una caa conocndo la mdanca Z. n nal una mndanca d caa snta la mndaca quvalnt dl ccuto y stá fomada o una at al y una at actva X: Z jx (5.49) st vcto mdanca Z ud sntas tambén o un tánulo como s musta n la fua 5.7, smla al d otnca d la fua 5.6: codmos qu l ánulo θ, s ud calcula como: X θ t ; y cos θ Z S multlcamos la cuacón (5.49) o l vcto cont tndmos: Z jx (5.50) j X UNVSDAD TNOÓA NAONA 6 FAUTAD ONA MNDOZA

27 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Fua 5.7: mdanca d caa Obtnndo l vcto tnsón, qu tambén ud sntas o un tánulo (fua 5.8).Tambén odmos multlca a (5.49) o la cont fcaz al cuadado y tndmos: f Z f f f j Z cos θ f f cos θ X j j Z sn θ sn θ S P jq s dc, a tavés dl tánulo d la caa, s ud obtn l tánulo d otnca d la fua 5.6. stas quvalncas s mustan squmátcamnt n la fua 5.8. f f f (5.5) Fua 5.8: Tánulos d mdanca, tnsón y otnca n una caa n l sunt jmlo calculmos l balanc d otnca a at dl ccuto quvalnt d la fua 5.9; s l cos θ s < a 0.8 comnsa con un caacto, d mana d llva l facto d otnca a UNVSDAD TNOÓA NAONA 7 FAUTAD ONA MNDOZA

28 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Fua 5.9. álculo d la otnca n una caa Suonamos qu 8 Ω, 0.5 Hy y 00 cos 50 t V. Solucón. ) alculamos la mdanca n l domno d la fcunca: Z jx jω 8 j. onmos la mdanca n funcón d módulo y fas: ( ) 8 j7 5 Z X X 7. 5 θ t t cos θ cos ( 4. 5 ) 0. 7 ) alculamos l faso tnsón fcaz y cont fcaz dl ccuto s: 00 f V. 44 f φ f Z 8 j ) alculamos l vcto d otnca : S f S P * f jq ( )( ) ( jx ) f 8 j f j. 0 ( ) ntoncs la otnca aant S VA, la otnca actva P.8 W, y la otnca actva Q.0 VA. l facto d otnca s 0.7 < 0.8; o lo tanto s db comnsa. j f X UNVSDAD TNOÓA NAONA 8 FAUTAD ONA MNDOZA

29 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Paa comnsa colocamos un caacto n aallo con la caa, d acudo al sunt ccuto: Fua 5.0. omnsacón con un caacto n aallo a la caa l oblma, ntoncs consst n nconta l valo d, tal qu l facto d otnca sa ual a Solucón: ) Dbmos calcula la mdanca dl aallo Z o a tavés d la admtanca dl aallo Y nt la caa Z y l caacto. a admtanca Y d la caa sá la nvsa d Z: Y jb Z jx X j X X j j j sta admtanca foma un tánulo smla al d Z o con l sno d la at manaa natvo. Sn mbao l facto d otnca s l msmo (cos θ cos(-θ)) s l tánulo s dbuja a at d la Z o d la Y (v fua 5.): l oblma d la comnsacón s v claamnt n la fua 5. (c). st consst n duc la at manaa B a B d tal foma qu l cos θ 0.95, sa l valo solctado. l ánulo ncsao aa l nuvo facto d otnca s l aco cosno dl msmo: θ cos ( 0. 95) 8. 9 D sta fua s ud dmosta las sunts lacons: t ( θ) B B t ; ( θ) t( 8. 9 ) UNVSDAD TNOÓA NAONA 9 FAUTAD ONA MNDOZA

30 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO Fua 5.: omnsacón dl facto d otnca n una caa a admtanca aallo sá: Y Y jω jb j jω ( B ω) jb as susctancas B y B son nalmnt nductvas, o lo tanto su sno s natvo ndcan qu los vctos son haca abajo, n cambo ω s haca aba. (v fua 5. (b)). D aquí s ud calcula: B B ω ω B B B B μf ω 50 Fnalmnt s obtuvo l caacto ncsao aa llva l facto d otnca d su valo onal d 0.7 al valo d 0.95 xdo..4 Máxma tansfnca d nía S dsa nvsta n qu caso s tansmt la máxma nía nt un nado y su caa. Pmo suondmos un nado al d tnsón conctado a una sstnca d caa, y luo vmos l caso d conctas a una mdanca d caa. UNVSDAD TNOÓA NAONA 0 FAUTAD ONA MNDOZA

31 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA.4.. Máxma tansfnca n c.c. a fua 5. musta la dsoscón ccutal. n ésta s ha conctado un nado d tnsón contnua con una sstnca ntna y una caa vaabl c. a otnca ntada a la caa sá: ( ) (5.5) S dsa nconta aa qué valo d la s obtn l máxmo valo d la otnca P. Paa llo dbmos dva la otnca n la caa scto d la caa uala a co: ( ) ( ) ( ) 0 4 d (5.5) Buscamos n qu condcón l numado s hac co: ( ) ( ) ( ) ( 0 ) (5.5) a condcón d máxma s cuml cuando la sstnca d la caa s ual a la sstnca dl nado. n s caso, la otnca máxma dsonbl sá cuando : ( ) MAX 4 (5.54).4.. Máxma tansfnca d otnca n c. a. studmos ahoa l caso d un nado al con xctacón snodal y una caa con una mdanca Z. n nal la mdanca qu v la caa haca l nado sá una Fua 5. Máxma tansfnca d nía

32 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO mdanca d to nductva, qu snta los nados y la lína d tansmsón. A su vz las caas tambén son nalmnt nductvas. a fua 5. snta la confuacón tíca. Fua 5.: Máxma tansfnca n c.a. as mdancas dl nado y la caa sán: Z jx Z jx (5.55) Suonmos qu l nado stá almntando la caa con una xctacón snodal: f f θ a cont fcaz dl ccuto sá: f ( jx ) ( jx ) ( ) j( X X ) a otnca n la caa sá: P f f (5.56) f f (5.57) ( ) ( ) X X Al ual qu n l caso d c.c., aa avua la máxma tansfnca d nía, dbmos dva la otnca scto d la caa; mo scto d X uala a co: dp dx f ( X X ) ( ) ( X X ) 0 (5.56) la condcón aa qu (5.56) sa co s qu l numado sa co, dscontando l caso qu l nado sa co, ntoncs: X (5.57) X UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA

33 TOÍA D OS UTOS APÍTUO 5 V. 8/4/08 S. NQU PUAFTO sto snfca qu la caa dbá s ual y ousta a la actanca dl nado, o sa dbá s caactva. n st caso, stamos n sonanca. Po lo tanto la otnca n la caa s duc a: f P (5.58) ( ) on lo cual volvmos al caso d cont contnua (5.5) y (5.54). ntoncs aa qu s d la máxma tansfnca d nía, tambén db cumls qu la sstnca n la caa sa ual a la sstnca ntna dl nado. Po lo tanto n cont altna s db cuml dos condcons: (5.59) X X UNVSDAD TNOÓA NAONA FAUTAD ONA MNDOZA