Capítulo 3: Métodos de resolución de circuitos

Transcripción

1 Capítulo : Métodos d solucón d ccutos. Vaabls d una d El stado d égmn o spusta d una d quda compltamnt dtmnado s s conocn las tnsons y conts n todas sus amas. Las conts d ama, a su vz, s laconan con las tnsons d ama a tavés d cuacons fundamntals qu caactzan la lacón V-A d los lmntos ndpndnts. Po jmplo, n una ama sstva, la d.d.p. V, po ly d Ohm, s V dond s la cont d la ama y la sstnca d la ama. Podmos, po lo tanto, consda ya sa las conts d ama o las tnsons d ama como adcuadas paa la caactzacón dl compotamnto d la d. S l númo total d amas s llama b, ntoncs tndmos b magntuds conts o tnsons qu jugun l papl d ncógntas o vaabls paa halla la spusta d la d. Dmostamos ahoa qu no cualqu conjunto tnsons o conts d sas b magntuds s lnalmnt ndpndnt, sno qu un mno númo d vaabls s sufcnt paa caactza l qulbo d la d, ya sa n una bas d tnsons o n una d conts... Concpto d ábol. Vmos qu al gáfco qu psnta solamnt la ntconxón gométca d los lmntos qu consttuyn un ccuto s lo dnomna gafo dl ccuto dado: 7 7 d afo Fg. Asocados con l gafo apacn ts concptos: ama, nudo y lmnto ndpndnt. El gafo s l squlto d una d, solo musta sus popdads gométcas, y s útl paa caactza l compotamnto d la msma n témnos d tnsons y conts, y dcd s l conjunto lgdo d stas vaabls s, admás d ndpndnt, l más adcuado paa la caactzacón d la d. El gafo d una d vdnca admás un númo d camnos cados po los cuals pudn ccula conts. Esta popdad d contn camnos cados s obvamnt ncsaa paa la

2 xstnca d conts n la d asocada, y s una popdad qu pud dstus a tavés d la mocón d amas bn lgdas, como podmos obsva n la fgua sgunt: a b c Fg. En la fg. a s musta un gafo, y nuvamnt n la b y c con algunas d sus amas puntadas. S las amas puntadas s sacaan, qudaía n b y c un sub-gafo qu contn todos los nudos dl gafo ognal, po nngún camno cado. A st sub-gafo s lo dnomna ábol d la d dbdo a qu su stuctua no pos camnos cados. Más spcífcamnt: Ábol s cualqu conjunto d amas dl gafo ognal qu concta todos los nudos sn foma nngún camno cado. No s dfícl v qu l númo d amas d ábol n a s smp n -, sndo n l númo total d nudos d la d. En fcto, s comnzamos sólo con los nudos dbujados y nnguna ama, la pma ama qu s dbuj conctaá dos nudos, po d ahí n más solo s ncstaá agga una ama adconal paa concta cada nuvo nudo. Po lo tanto, paa una d dada xstn numosos ábols, cada uno d los cuals concta los n nudos, todos los cuals posn n a n - amas, qu s dnomnan amas d ábol. Las amas stants s dnomnan amas d nlac y s ndcan con la lta l. S hay l amas d nlac, y l númo total d amas d la d s b, ntoncs l númo d amas d nlac s l b - n a b n. Es dc, n cualqu ccuto tndmos: y n a n - númo d amas d ábol b l n a númo d amas d nlac.. Conts ndpndnts n una d. S n una d dada s lg un ábol, la totaldad d las b amas s spaa n dos gupos: las amas d ábol y las amas d nlac. En conscunca, las conts d ama s dvdn n conts d amas d ábol y conts d amas d nlac. Dado qu al saca o ab las amas d nlac s

3 dstuyn todos los camnos cados y la totaldad d conts d ama s hac co, ntoncs quda clao qu l hac co solamnt las conts d amas d nlac fuza a co todas las conts d la d. Es dc, son las amas d nlac las qu pmtn la xstnca d un stado d égmn no nulo n la d. Sus valos fjan los valos d todas las conts, po lo qu s posbl xpsa las conts d amas d ábol úncamnt n funcón d las conts d nlac. D lo ants xpusto conclumos lo sgunt: d las b conts d ama d una d, sólo las conts d nlac l son ndpndnts, sndo po tanto l l mno númo d conts n funcón d las cuals pudn las otas s xpsadas unívocamnt. Esta afmacón s dduc dl hcho d qu todas las conts s hacn co cuando las conts d nlac son co. Quda clao qu l númo d conts ndpndnts no s mayo qu l pusto qu s una d las conts d ábol puda s ndpndnt, ntoncs tndía qu pmanc dstnta d co al s co las conts d nlac, condcón mposbl dsd l punto d vsta físco. Po oto lado, l númo d conts ndpndnts no s mno qu l, dado qu s así fua sía posbl hac co todas las conts n la d con una o más amas d nlac n su luga, sultado qu no s posbl pus xstán camnos cados n la mdda qu las amas d nlac pmanzcan n su luga. D sta mana vmos qu s posbl xpsa unívocamnt l stado d égmn d una d n funcón d l b n conts ndpndnts solamnt. Esta afmacón nos pmtá aba a los métodos d solucón conocdos como método d mallas y método d bucls... Tnsons ndpndnts n una d. Análogamnt, s pudn v las tnsons d ama como spaadas n dos gupos: las tnsons d amas d ábol y las tnsons d amas d nlac. Dado qu las amas d ábol conctan todos los nudos, s s hacn co dchas tnsons po jmplo, cotoccutando las amas d ábol, ntoncs todos los potncals d nudos son concdnts, y las tnsons d todas las amas s anulan. O sa qu: hac co las tnsons d ama d ábol hac co todas las tnsons d la d, po lo qu podmos dc qu las tnsons d ama d ábol consttuyn un sstma lnalmnt ndpndnt. El númo d tnsons d ama ndpndnts n una d s po lo tanto n-, s dc, l númo d amas d ábol. Po lo tanto, s posbl xpsa las tnsons d ama d nlac n funcón d las tnsons d ama d ábol. El númo d tnsons ndpndnts no pud s mayo qu n- poqu una o más tnsons d nlac dbían s ndpndnts, y sta suposcón s contadc po l hcho d qu todas las tnsons s hacn co cotoccutando solamnt las amas d ábol. Po oto lado, no podía s un númo mno qu n- dado qu no s físcamnt posbl foza todos los potncals d los nudos paa qu concdan cuando algunas tnsons d ama d ábol son dstntas d co. Así, vmos qu l stado d égmn d una d quda unívocamnt dtmnado po mdo d:

4 l b n conts ndpndnts n a n - b - l tnsons ndpndnts Dado qu n gnal n l, la dtmnacón dl stado d égmn d una d n funcón d las conts nvolucaá dstnto númo d ncógntas qu la psntacón n funcón d las tnsons. El númo d vaabls ndpndnts asocado con un sstma físco dado dtmna unívocamnt sus gados d lbtad, cuyo númo no dpnd n dl método algbaco n d la foma n qu s lgn las vaabls.. solucón d ccutos mdant la aplcacón d las lys d Kchhoff. Cuando s lgn las conts como vaabls, l qulbo d un ccuto s xpsa n funcón d la ly d Kchhoff d tnsón, y cuando las vaabls son tnsons, l qulbo s xpsa po la ly d Kchhoff d conts. La ly d Kchhoff d Tnsón LKT xpsa qu: ± v 0 Po oto lado, la ly d Kchhoff d Conts LKC planta qu: ± 0 Vmos qu l stado d una d s podía xpsa n funcón d: l b n n a n - b - l conts ndpndnts d ama d nlac tnsons ndpndnts d ama d ábol O sa qu, tal como vmos n l captulo, ncstamos l b n cuacons ndpndnts d la LKT, y n - cuacons ndpndnts d la LKC, totalzando d sta foma las b cuacons ncsaas.. Método d mallas, d conts cíclcas o d conts fctcas. El cálculo d los ccutos léctcos con lmntos lnals pud ducs a la solucón smultána d solo l b n cuacons ndpndnts stablcdas d acudo a la sgunda ly d Kchhoff, aplcando l método d las ntnsdads d mallas qu dsaollamos a contnuacón.

5 .. Obtncón d las cuacons Examnamos la d d la fg., qu tn amas y cuato nudos. D lo vsto antomnt, sabmos qu podmos scb sólo ts cuacons l.. d la LKC, paa lo cual lgmos los nudos, y. Paa scb las cuacons l.. d la LKT, lgmos ccutos qu san mutuamnt ndpndnts, d tal modo qu al mnos una d las amas d una dtmnada malla sólo fom pat d ésta y no d ota. Po jmplo, las amas, y sólo ntan n los ccutos - - -, - - -, y spctvamnt. Fg. Paa l squma d la fgua tndmos: d acudo a la LKC: nudo - 0 nudo : nudo : d acudo a la LKT, lgndo l sntdo hoao como sntdo abtaamnt postvo paa l codo d la malla: - Vamos a tata d xpsa las cuacons n funcón d,, paa lo cual hacmos uso d las cuacons s dc, stamos lmnando las ntnsdads comuns a vaas mallas. - Así llgamos a: - -

6 - - Odnando: Obsvando las cuacons vmos qu: - las ntnsdads,, qu ognalmnt an conts d ama apantan ccula ahoa cada una po una malla, cándos sob sí msmas. Po sto s las dnomna conts d malla, conts cíclcas o conts fctcas. S obsvamos l ccuto, vmos qu todas llas tnn l msmo sntdo d cculacón n cada una d las mallas. Los cofcnts psntan una smtía n valo absoluto y sgno spcto a la dagonal pncpal dl sstma, sndo postvos sólo los d la dagonal pncpal y ngatvos todos los stants. Esto s conscunca d qu todas las conts fctcas tnn l msmo sntdo d cculacón. Admás, la matz d cofcnts s dagonalmnt domnants, s dc, l cofcnt d la dagonal pncpal s mayo qu la suma d los valos absolutos d los stants cofcnts d la fla. Dl jmplo dado, s dduc qu, paa halla l stado d égmn d un ccuto aplcando st método, basta con dntfca las mallas dl ccuto, asocals las cospondnts conts d malla todas con l msmo sntdo, y scb n bas a sas conts la LKT paa cada malla, tal como s musta n la fgua a. El númo d cuacons ncsaas paa solv po l método d mallas concd con l númo d conts ndpndnts d un ccuto: b n b n Las ntnsdads als n las amas comuns a vaas mallas s hallan sumando algbacamnt las conts d malla: Las tnsons n cualqu ama dl ccuto s dtmnan po la suma algbaca d las caídas d tnsón ognadas n la ama n custón po la ntnsdad d la popa malla y la d d la malla contgua. Po jmplo, n la malla qu contn las sstncas, y, la tnsón n la ama s gual a la suma algbaca d dos tnsons: la tnsón dbda a la ntnsdad d malla n la sstnca, y la dbda a la ntnsdad n la msma. Al susttu n l sstma d patda las conts d ama po las conts d malla, s satsfac automátcamnt la LKC n los nudos, ya qu cada cont d malla ngsa po una d las amas al nudo, y po ota s alja d él. Po jmplo, n l nudo, sgún la LKC tndmos, paa las conts d ama:

7 7 y paa las conts d malla: Nota: Cab aclaa qu po cada lmnto dl ccuto xst sólo una cont cculant, qu s la cont d ama, no dos. Sólo apacn dos cuando las dscomponmos n conts d malla d ahí l oto nomb dl método "conts fctcas". Ejmplo: Supongamos dntfca pat d una d y asgna nombs y sntdo a las conts d malla,,,,, sntdo hoao Fg. comos la malla n sntdo hoao y aplcamos la LKT: v a v b v c v d 0 stas tnsons las xpsamos n funcón d las conts d malla: a b c d 0 Odnando, obtnmos la cuacón d la malla : - a a b c d b d c 0 Esta cuacón pud ntptas como la suma supposcón d las d.d.p. poducdas po la cont témno popo y las poducdos po las conts d las mallas adyacnts témnos mutuos. El témno popo s postvo y los mutuos son ngatvos, a conscunca d hab asgnado gual sntdo d cculacón a todas las conts d malla n st caso, sntdo hoao... Esctua sstmátca d las cuacons d mallas. Como lnamntos gnals paa scb un sstma d cuacons d mallas, podmos mncona:. Dbuja la d xponndo las mallas o camnos cados mínmos ndpndnts. Esto quda gaantzado cuando los camnos cados lgdos no cotan amas.. En cada malla, dbuja una flcha n sntdo hoao o anthoao, po mantnndo l msmo

8 paa todas paa ndca l sntdo abtaamnt postvo d las conts fctcas.. Escb la LKT n cada malla utlzando la lacón volt-amp d cada lmnto. S hay l mallas, habá l conts d malla ncógntas, po lo tanto habá l cuacons ndpndnts paa solv.. Agupa los témnos popos y los mutuos y vfca la smtía d la matz d cofcnts.. solv smultánamnt... Foma gnal y xpsón matcal d las cuacons d malla: Sgún lo vsto al dsaolla l método, la foma gnal d las cuacons s: h t hh β k k hk h t β k k t dond: h,,...l, con l gual al númo d mallas y k h y admás: h, h t son la sstnca y la f..m. total d la malla cuya cuacón stamos scbndo, k t son las conts d las stants mallas dl ccuto qu posn amas n común con la malla h. hk sá la sstnca d la ama común a dos mallas. k t la f..m. nta ubcada n la ama común a las mallas h y k. β k pud tn valo, - o 0 s las mallas h y k tnn, o no, amas n común. En foma matcal un sstma d cuacons d malla s xpsa como: [ hj ] [ h ] [E hh ] dond hj s la matz pasva o matz sstnca h s l vcto conts d malla: hj. l l l. ll h.. l spcto d la matz pasva dl sstma matz sstnca alzamos las sgunts obsvacons: a s smétca spcto d la dagonal pncpal. b los úncos lmntos postvos son los d dcha dagonal, hcho qu sulta d hab lgdo l msmo sntdo d cculacón n todas las mallas. c s dagonalmnt domnant, s dc l lmnto d la dagonal pncpal hh s mayo qu la suma d los valos absolutos d los stants lmntos d la msma fla. d l dtmnant s Caso patcula: funt dal d cont n una ama común a dos mallas. Supongamos tn l sgunt caso, dond s musta una pocón d una d gnéca:

9 9 Fg. Vmos qu hay una funt d cont dal ubcada n la ama común a las mallas j y k, n cuyos bons xst una d.d.p. qu no conocmos, po qu dbmos consda paa scb la LKT. Po lo tanto, l pocdmnto s scb las cuacons d LKT cospondnts a las mallas j y k tnndo n cunta la d.d.p. n bons d la funt d cont U f :... j U k fc... U f c E f Al hac sto hmos ntoducdo n nusto sstma una nuva ncógnta, U fc, po lo qu ncstamos una cuacón auxla, a fn d guala l númo d ncógntas al d cuacons. Esta sugá d xpsa la cont d la funt d cont como dfnca d las conts d las dos mallas adyacnts: f j - k.. solucón d ccutos con funts contoladas aplcando l método d mallas En la fgua sgunt vmos l dagama d un ccuto, su modlo matmátco y l gafo asocado. Como n dcho modlo apac una funt contolada, vmos d qué mana s modfcan las cuacons dl método d mallas: Tmocupla Tanssto Caga Modlo d Tmocupla Modlo d Tanssto Caga afo Fg. Dbujamos l modlo dl ccuto d la fgua :

10 0 Fg. 7 Sndo qu ya conocmos la foma gnal d las cuacons d st método, las plantamos dctamnt, tnndo n cunta qu dbmos consda la d.d.p. n bons d la funt d cont, dado qu la msma s ncunta n la ama común a dos mallas: -V fc Vmos qu tnmos un sstma con matz d cofcnts smétco d ts cuacons con cuato ncógntas. Ncstamos una cuacón auxla, la cual plantamos, como vmos ants, sabndo qu la dfnca d las conts s gual a la cont d la funt: - α En sta cuacón apac una nuva ncógnta, qu s la tnsón V, paámto d contol d la funt. La xpsamos ntoncs n funcón d las vaabls pmaas dl sstma, qu son las conts, : V - Una vz qu hacmos los mplazos cospondnts podmos obsva qu dsapac la smtía d la matz pasva dl sstma. Ejmplo: V V E V α α V En l sgunt ccuto, planta l sstma d cuacons d mallas qu pmt dtmna l stado d égmn dl ccuto. E fc fk 0 fk 0 x 0Ω y s s v b vb 0Ω 9vb 00Ω 00-9v b - M v b 0 - Ecuacon d contol

11 Ejccos d aplcacón En los sgunts ccutos, planta los sstmas d cuacons d mallas qu pmtían dtmna l stado d égmn d cada uno d llos. 0Ω A E E 0Ω s 00Ω Halla l valo d v o aplcando l método d Mallas. v 0 Ω 0V Ω Ω v o Ω 0A - ta: v o 0V 0V. Método d las conts d bucl Tommos l sgunt ccuto: Fg. 8 Comnzamos po da nomb y asgna un sntdo d cculacón a todas las conts d ama.. Lugo lgmos un ábol conjunto d amas qu un todos los nudos dl msmo sn foma nngún camno cado, con lo qu las conts s spaan n dos gupos: conts d ama d ábol, y conts d ama d nlac,.

12 Escbmos la ly d Kchhoff d conts n cada nudo: nudo nudo nudo nudo Explctamos ahoa las conts d ama d ábol, n funcón d las conts d amas d nlac, : Escbmos la LKT paa los camnos qu s foman al concta una po una las amas d nlac, y adoptamos como sntdo postvo d codo l qu dfna la cont d nlac cospondnt: mplazando las conts d ama d ábol po las d ama d nlac, sgún lo ndcan las cuacons, obtnmos: Agupando y odnando po columnas llgamos a: Al solv st sstma obtnmos l valo d las conts d ama d nlac, o conts d bucl, qu son las vaabls ndpndnts. La foma gnal d las cuacons s: h t hh β k k t hk h t dond: h,,...l k l,...b, con l : númo d amas d nlac, y b: númo total d amas dl ccuto. y admás: hh, h t : sstnca y f..m. totals dl bucl paa l qu s scb la cuacón.

13 k t : conts d los otos bucls qu cculan po las amas d ábol qu qudan ncludas n l bucl n studo amas compatdas, hk, sstncas mutuas nt l bucl h y los stants qu compatn las amas d ábol. β k 0 s la ama k s la cont d ama k s la cont d ama k no foma pat dl bucl " h" tn sntdo concodant con la dl bucl " h no tn sntdo concodant con la dl bucl " h Las conts d ama d ábol s obtnn po la suma algbaca d las conts d ama d nlac, n la foma: j t α jh h t sndo : j t: cont d ama d ábol, h t: cont d ama d nlac. α 0,, - h,,...l j l,...b.. Expsón matcal dl sstma d cuacons d bucls. Hmos obtndo la foma gnal d las cuacons d bucl. S las qumos xpsa n foma matcal, dfnmos:... l E [ ]... l [ ] [ ] E E l... ll l Ell dond : []: matz pasva dl sstma matz sstnca o matz d cofcnts, []: vcto conts d bucl o conts d ama d nlac, [E]: vcto témno ndpndnt, consttudo po las funts d f..m psnts n los bucls. po lo qu las cuacons d bucls, xpsadas matcalmnt, toman la foma: [] [] [E] Obsvando la matz pasva dl sstma, o matz d cofcnts, podmos v qu: s smétca spcto d la dagonal pncpal, los lmntos d dcha dagonal son todos postvos, los stants lmntos d la matz pudn s postvos o no, sgún qu las dstntas

14 conts d bucl cculn o no n l msmo sntdo po dchos lmntos. pud llga a das la condcón d qu no sa dagonalmnt domnant. 0 Comntao: S la topología d la d s tal qu pmt un ábol adal, nos ncontamos con qu l sstma d cuacons d bucls toma la foma d un sstma d cuacons d malla, lo cual ofc la vntaja d psnta la mno supposcón d conts n las amas d ábol... solucón d ccutos con funts dals d cont. En sta stuacón tnmos dos posbldads: a dja la funt d cont n una ama d ábol o b toma sa ama como ama d nlac. Analzamos ambas paa dtmna cuál d llas s la más convnnt, hacndo fnca al ccuto mostado n la fgua 9. a Funt d cont n ama d ábol: En st caso nos ncontamos con qu dbmos tn n cunta la d.d.p. n bons d la funt d cont al scb las cuacons d la LKT. Tal como vmos al analza l caso d funt d cont n una ama común a dos mallas, sto ntoduc una ncógnta más n l sstma, y po lo tanto nos conduc a la ncsdad d ntoduc una cuacón auxla qu dá qu la dfnca o la suma d dos conts d bucl s gual al valo d cont d la funt dal. Fg. 9 J - J v - J - J - v - - J - J J Est s un sstma d ts cuacons con cuato ncógntas, dado qu paa scb coctamnt la LKT tuvmos qu consda la d.d.p. n bons d la funt d cont. La cuacón auxla, tal como lo mnconamos ants, sá: -J J d dond, xpsando J n funcón d J, po jmplo, podmos solv l sstma. b Funt d cont n ama d nlac:

15 Fg. 0 S lgmos l ábol d mana d qu la funt d cont qud n una ama d nlac, al concta dcha ama la cont dl bucl quda fjada guala al valo d la funt, con lo qu nusto sstma d cuacons pasa a tn una ncógnta mnos. En la fgua 0, l bucl J s ca po la funt d cont d valo, po lo qu sulta J -, y l sstma d cuacons a solv sá d x : J J - J - - J J J Sgún s dspnd d st jmplo, convn coloca todas las funts d cont como ama d nlac, d mana d duc l númo d ncógntas dl sstma. Ejmplo x 0Ω y 0Ω 0Ω s 00Ω 0Ω J J s 00Ω M J s -00J 0000J 0.. solucón d ccutos con funts contoladas po l método d bucls. Dado qu las cuacons dl método d bucls son xpsons d la LKT, al gual qu n l método d mallas, paa plantalas n ccutos con funts contoladas pocdmos alzando las msmas consdacons qu hcmos ants. La únca dfnca ahoa s qu, al tn lbtad paa lg los camnos más convnnts d mana d apovcha la psnca d funts d cont hamos las sgunts obsvacons: Cuando haya funts d cont contoladas, las djamos n amas d nlac.

16 Elgmos las amas d contol tambén como amas d nlac, d mana tal qu po las msmas ccul una sola cont, con lo cual la sctua d la cuacón d contol sá más smpl. Ejmplo - αv V E 0 Ejccos d aplcacón ndca dos posbls ábols n l sgunt ccuto. Elg l más convnnt y scb l sstma d cuacón d bucls qu pmta obtn l stado d égmn. A E B E Planta l sstma d cuacons d bucls, lgndo l ábol más convnnt, paa obtn l valo d Vx Ω Ω V Ω Ω A 0V V Vx A Ω ta: 8 A

17 . Método d los potncals d nudos. Paa scb las cuacons d cualqua d los métodos antos tomamos l concpto d conts d malla o d bucl y plantamos la ly d Kchhoff d tnsón n todos los camnos cados ndpndnts dl ccuto. Esto hzo nncsao psta atncón a la LKC, dado qu ésta s satsfac n foma automátca n todos los nudos poqu las conts d malla o d bucl ncsaamnt suman co n cada uno d llos. D sta mana, la solucón s smplfcó spcto d la aplcacón lsa y llana d las lys d Kchhoff, ducndo l númo d cuacons a solv b cuacons d Lys d Kchhoff, b-n t cuacons d mallas o d bucls. En l método d nudos, l concpto smplfcado s la da d md las tnsons d todos los nudos d la d, spcto d uno patcula qu s dnomna "d fnca" o "dato". Esto hac nncsao psta atncón a la LKT, ya qu basta con satsfac la LKC n cada nudo paa qu la LKT s satsfaga automátcamnt. Así, l númo d cuacons smultánas s duc a un númo gual al d nudos ndpndnts n t, númo ést n gnal nfo al d amas b, y compaabl al d cuacons d malla. A fn d obtn l sstma d cuacons d nudos, tomamos un nudo como fnca s l asgna un potncal co, y todos los dmás s dnomnan con spcto al msmo, sobntndéndos qu t s la tnsón nt l nudo y l d fnca, t nt l y l d fnca, tc. Esta dsgnacón s sgnfcatva tambén dsd l punto d vsta páctco, ya qu s s fctuaan mdcons, l tmnal - dl voltímto s conctaía al d fnca ta y l s dsplazaía po cada uno d los nudos stants lyndo las tnsons d los msmos. En la fg., la tnsón n l lmnto a s t, n c s t, n f s t, n b s t - t, n d s t - t y n s t - t. Vmos así qu s un lmnto stá conctado nt un nudo y l d fnca, su tnsón n bons s l potncal dl nudo, y s stá nt dos nudos, su tnsón n bons s la dfnca nt los potncals d los nudos xtmos d la ama. 7 Fg. Escbmos ahoa las cuacons d LKC n cada uno d los n t - nudos, tomando al nudo 0 como fnca n l sgunt ccuto, a fn d obtn la gla sstmátca d fomacón d cuacons:

18 8 Fg. Convncón: las conts ntants a cada nudo son y las salnts son -. En funcón d los potncals d nudos sá: odnamos: nudo : t 0 t t 0 nudo : - t - t - f t 0 nudo : t 0 t - t f f A fn d qu los cofcnts d la dagonal pncpal san los úncos postvos, multplcamos ambos mmbos po, y sabndo qu la conductanca /, l sstma toma la foma: Con lo qu vmos qu la foma gnal d las cuacons d un sstma d nudos s: 0 f 0 dond: jj j - jj j α j j

19 9 jj o conductanca popa dl nudo s la suma d conductancas concunts al nudo j, jl s la suma d admtancas comuns a los nudos j y l paa l j, j s la suma d conts ndpndnts dl nudo j, α s un facto qu pud s, - o 0, sgún sa qu al nudo j llgun o no conts ndpndnts... Casos spcals Funt d tnsón al n una ama. Tabajamos con l ccuto d la fgua, n l cual plantamos las lacons volt-amp: Fg. - E - - E - El planto d la pma ly d Kchhoff n cada uno d los nudos ndpndnts nos conduc a: En l nudo : En l nudo :

20 0 0 E En l nudo : 0 0 E - - Multplcando ambos mmbos po - a fn d dja como postvos sólo los témnos d la dagonal pncpal, llgamos al sgunt sstma: E E Obsvamos qu n los sgundos mmbos, admás d la cont d la funt ndpndnts d cont, apac un témno nuvo, E, numécamnt gual a la cont d cotoccuto d la funt d tnsón E. El sgno d st témno sá postvo s dcha cont d cotoccuto ngsa al nudo n studo, como ocu n la cuacón, o s s alja d él, como ocu n la cuacón. Funt únca d tnsón dal n una ama. Dado qu la conductanca d la ama n la cual s ncunta úncamnt una funt d tnsón dal s nfnta sstnca ntna d la funt gual a co, no podmos scb n l método d nudos l témno cospondnt a la msma tal como hcmos antomnt, po sí podmos dc qu: E jk j κ j k E jk y apovcha la stuacón paa smplfca la sctua d las cuacons, tomando uno d los bons d la funt como fnca, tal como s v n l jmplo sgunt. Ejmplo:

21 0 E E E Fg. Funts d tnsón dals concunts al msmo nudo En st caso, lo más convnnt s toma como fnca l nudo al cual concun las funts: 0 E - E - - J E Fg. Funts d tnsón dals no concunts al msmo nudo. A dfnca dl caso dond hay sólo una funt d tnsón dal, ahoa tnmos dos amas n las cuals no podmos planta la cuacón d nudos, dado qu ambas tnn conductanca nfnta. Paa solucona st poblma, tomamos como fnca aquél nudo al cual concu la mayo cantdad d funts dals. A los fctos d pod planta la cuacón cospondnt a las amas n las cuals s ncuntan las stants funts dals d tnsón, dado qu su sstnca s co y ls cospond po lo tanto una conductanca nfnta, ntoducmos como nuva vaabl la cont qu ccula po las msmas. Esta cont s tansfoma n una ncógnta más d nusto sstma d cuacons, po lo qu ncstamos una cuacón auxla paa pod solvlo. Esta cuacón s povsta po la lacón volt-amp d la ama n custón, dado qu la dfnca nt los potncals d los nudos xtmos d la ama stá fjada po la funt dal d tnsón.

22 Fg. 0 E E En st caso, la cuacón auxla sá la qu stablc la d.d.p. nt los nudos y : E E hacndo los mplazos cospondnts quda l sgunt sstma d cuacons: 0 E E E E l cual, una vz odnado, s: E E E E Vmos así qu l sstma s ha ducdo a uno d x, cuyas ncógntas son... solucón d ccutos con funts contoladas po l método d nudos. Utlzamos paa nusto análss l ccuto d la fgua 7, plantando dctamnt las cuacons dl método d nudos: - - E - α Tal como n l método d bucls, vmos qu la matz d cofcnts s smétca. Sn mbago,

23 apac una vaabl no dfnda,, qu s la cont d contol d la funt. Tatamos ntoncs d xpsala n funcón d las vaabls pmaas dl sstma, s dc, los potncals d los nudos, con lo qu llgamos a qu: S fctuamos los mplazos cospondnts, vmos qu l sstma d cuacons sultant pos una matz d cofcnts no smétca. E - - α 0 Comntao: tal como mnconamos pvamnt, la nclusón d un lmnto no blatal una funt contolada n l ccuto conduc a la falta d smtía n la matz d cofcnts d cualqua d los métodos d solucón. Ejccos d aplcacón Dtmna la cont paa l ccuto qu s musta usando l método d nudos Ω Ω Ω 8V Ω 7A Ω Ω 9A ta:.8a Dado l sgunt ccuto y sn modfcalo: a Planta l sstma d cuacons d nudos b Dtmna la potnca dsaollada po E f ndcando s s compotan como gnados o cptos. Justfca. 8A Ω EV Ω fa Ω Ω Ω 0V Ω V ta: P E 09 W gnado P f W gnado

24 Comntao acca d la smtía d la matz pasva d los sstmas d mallas, bucls y nudos: S obsvamos ya sa la matz [] como la [], vmos qu xst una smtía spcto d la dagonal pncpal. En foma gnéca lo xpsamos como: a j a j Esta smtía no s accdntal n nhnt a una popdad físca d las ds lnals, sno qu s l sultado d hab sgudo un pocdmnto dlbado n la obtncón d las cuacons d qulbo qu no s oblgatoo sgu. codmos pmo qu l pocso d obtncón d cuacons d qulbo nvoluca dos conjuntos d lacons: a las lys d Kchhoff, y b las cuacons d dfncón d las vaabls lgdas. S bn las lacons V-A nos svn paa mplaza b n a, no las usamos n st comntao. En fcto: En bucls, las vaabls son las conts d bucl, y las cuacons qu s scbn son d la LKT. S paa scb las cuacons d la sgunda ly d Kchhoff s utlzan los msmos camnos cados bucls qu s usaon paa dfn las conts d bucl, ntoncs la matz sá smétca. En nudos, las vaabls son los potncals d los nudos, y las cuacons qu s plantan son d la Ly d Kchhoff d Conts. S l conjunto d nudos adoptado como l.. s l msmo qu l utlzado paa scb las cuacons d la LKC, ntoncs la matz [] sá smétca. En nusto cuso asocamos la xstnca d matcs smétcas con las ds lnals y blatals, s dc, sn funts contoladas.. Síntss d ccutos. Dmos qu alzamos la síntss d un ccuto cuando obtngamos un modlo dl msmo a pat d un sstma d cuacons d mallas o d un sstma d cuacons d nudos. Analzamos cada caso po spaado... Ccutos sn funts contoladas. A pat d un sstma d cuacons d mallas. Pmo vfcamos s l sstma d cuacons cumpl con las condcons dl método d mallas: Dagonal pncpal d la matz pasva postva, Matz d cofcnts dl sstma smétca, postvos sólo los lmntos d la dagonal pncpal. Matz pasva o d cofcnts,[ ] dagonalmnt domnant. v dt [] 0 Ejmplo:

25 D la nspccón d st sstma sugn las sgunts obsvacons: la d tn ts vntanas o mallas, dado qu hay ts conts ndpndnts, todos los cofcnts son no nulos, lo cual ndca qu todas las mallas tnn una ama n común nt s. Esto nos sv paa adopta una dsposcón ccutal, s cumpln las pmsas mnconadas antomnt a v, lo cual nos confma qu l sstma fctvamnt sugó d hab plantado l método d mallas n un ccuto sn funts contoladas. Paa alza la síntss, lo pmo qu hacmos s lg un squma d ntconxón d acudo a los cos d la matz d cofcnts. Lugo, lyndo la matz d cofcnts, colocamos los lmntos pasvos, ubcando pmo los qu s ncuntan n amas comuns a dos mallas y lugo compltando con los popos d la malla. Fnalmnt dsponmos las funts sgún sa la foma más convnnt: Ω Ω 0V Ω Ω Ω Ω V Fg. 7 El msmo cto s pud aplca a la síntss d un sstma d cuacons d bucls, n cuyo caso la condcón pasa a dc solo "matz d cofcnts smétca spcto d la dagonal pncpal", y la a dc "cofcnts d la dagonal pncpal mayos o guals qu cualqu oto cofcnt d la fla". A pat d un sstma d cuacons d nudos. Las condcons d patda son las msmas qu n l caso anto, n lo fnt al sstma d cuacons. Supongamos tn: Vmos qu hay ts cuacons, d dond conclumos qu l ccuto tn cuato nudos, d los cuals uno s l d fnca En l jmplo la foma d la pma cuacón nos dc qu hay un nudo, l, cuyo potncal stá fozado. Admás, l hcho d qu todos los cofcnts son no nulos nos ndca qu todos los nudos stán vnculados nt sí no hay cos n la matz d cofcnts. Po oto lado, la matz d cofcnts s smétca, dado qu φ s dato. A pat d

26 stas consdacons, poponmos l sgunt modlo d ccuto:.. Ccutos con funts contoladas. Fg. 8 Es pobabl qu nos ncontmos fnt a un sstma d cuacons, sa d nudos o d mallas, qu no psnt una smtía spcto d la dagonal pncpal, o n l cual l cofcnt d la dagonal pncpal no sa domnant fnt a los stants cofcnts d la fla. Esto no ncsaamnt tansfoma l sstma n algo mposbl d s snttzado, po n s caso dbmos consda la posbldad d la psnca d funts contoladas n l ccuto. Vmos sob un jmplo cómo s tabaja: Al vfcando l cumplmnto d las cuato condcons, vmos qu: s cumpl, no s cumpl, no s cumpl, v s cumpl. alzamos las sgunts consdacons: a a a y a a Ent llva al lmnto a a o hac a a, convn mas la pma opcón, pus la sgunda nos conducía a qu a <Σ a j. Entoncs, sumamos a ambos mmbos d la cuacón : b Dbmos agla la cuacón paa qu sa dagonalmnt domnant. Paa llo, y paa no modfca las otas cuacons, hacmos:

27 c Llvamos a 0, po lo qu stamos a ambos mmbos : Una vz alzados todos stos pasos, obtnmos l sgunt sstma: cuyo squma sá: Fg. 9 Ejccos d aplcacón Dada la matz d Mallas/ Nudos hacndo x o spctvamnt nconta las dsposcons ccutals cospondnts x - 0 x x.7 Comnto d funts.7. Comnto d funts d tnsón Tal como s mnconó antomnt, una funt d tnsón dal no pud s mplazada po una funt d cont. Sn mbago, xst un pocdmnto qu, a mnudo, pmt obtn un squma qu sí s posbl d s tansfomado. Est s l pocdmnto conocdo como comnto d funts, y paa v como lo mplmntamos, consdmos la pocón d d mostada n la fgua 0. magnmos mpuja la funt d tnsón dal a cada una d las amas qu concun a uno d sus nudos xtmos:

28 8 a d v s d v s a v s b c b v s c a b Fg. 0 La fgua 0b musta la d lugo d qu la funt s mpujó a tavés dl nudo a haca las amas a-, a-d y a-c. Vmos qu las conts d malla n los camnos fomados po los nudos d-a, d-a-c, c-a-b y -a-b no s han modfcado, dado qu la LKT nos pmt vfca qu las d.d.p v d, v dc y v b y v cb s han mantndo guals al valo qu tnían ants d fctuas l comnto. Dbdo a qu las conts po las amas ab, ac, ad y a d la d d patda son las msmas qu las qu cculan po sas amas una vz fctuado l comnto, l ccuto d la fgua 0b s quvalnt, dsd l punto d vsta d las conts, al ccuto d la fgua a. Po s bn la f..m nta d las mallas d la fgua b s mantn naltada, la d.d.p. nt los nudos a-, a-b, a-c y a-d no s la msma qu nt los msmos nudos dl ccuto d patda, dado qu su valo s v modfcado po la psnca d la funt. En l caso d qu alguna d las funts d tnsón huba qudado n s con una sstnca, ahoa sí stamos n condcons d fctua una tansfomacón d la msma n una funt d cont n paallo con una sstnca, lo cual pud s útl paa smplfca aún más la d..7. Comnto d funts d cont Una manpulacón smla a la fctuada con las funts d tnsón pud fctuas con las funts d conts, tal como pud obsvas n la fgua. a Fg. b En st caso, la funt d cont psnt n la ama a-d dl bucl a-b-c-d s conctó n paallo con cada una d las amas qu confoman l msmo, tal como s musta n la fgua b. La LKC pud s usada paa vfca n foma smpl qu los sntdos d las nuvas funts s han

29 colocado d mana d no alta l balanc d conts n los nudos a, b, c y d. Po lo tanto, la pocón d d mostada n la fgua b s quvalnt a la mostada n la fgua a. Sn mbago, tal como aclaamos n l caso d comnto d funt d tnsón, dbmos tn n cunta qu n caso d tn qu psnta los sultados n conts, dbá volvs al ccuto d la fg. a, dond stán todas las amas ognals. Ejccos d aplcacón: Aplcando comnto d funts paa duc la d calcula: a La cont po la sstnca d 9Ω. b Los potncals d todos los nudos d la d ognal po aplcacón d las lys d Kchoff. Ω A 8Ω 0V Ω 9Ω 9 Ω 0Ω Ω ta - A Mdant comnto d funts, duc l ccuto a una malla smpl paa pod calcula v X 8Ω - v X Ω 7Ω Ω A V Ω Ω Ω ta: v X 8/ V POBLEMAS DE APLCACÓN Paa l ccuto d la fgua a Planta l sstma d cuacons d nudos qu pmta solvlo. b Planta l sstma d cuacons d mallas y saca conclusons.

30 0 Ω V v g - Ω Ω V Ω 9A v g a Dtmna l númo d cuacons ncsaas paa solv l sgunt ccuto po: Mallas, Bucls y Nudos. En funcón dl númo d vaabls fozadas lg l más adcuado. A E B E b pt l análss s s pmutaa la ubcacón d la funt E con la funt A. Planta las cuacons ncsaas paa obtn l stado d égmn dl ccuto po l método más convnnt. Justfca la lccón dl método. Ω V Ω A V Ω V a Planta las cuacons d bucls y nudos b Calcula l stado d égmn, aplcando l pocdmnto más apopado a su cto

31 Dado l sgunt ccuto: a Planta las cuacons d nudos b Planta las cuacons d bucl dbujando l ábol lgdo. En l sgunt ccuto, dtmna l valo d la cont L aplcando l método más convnnt. L L A V V A V Podía aplca algún método d solucón s sa ama tuva un dpolo anómalo? 7 Calcula l valo d x aplcando l método más convnnt.

32 8 En l ccuto d la fgua dtmna x y la potnca sumnstada po la funt d 8V mdant l método mas convnnt. V kω kω k x kω 8V x kω ma 8kΩ ta: x ma P 8V 7 W gnado