6.2 Conductores. E r MATERIALES CONDUCTORES.

Transcripción

1 6. Conuctos. 6.. MATIALS CONDCTOS. n gnal, los matials son lécticamnt nutos, s ci sus átomos continn tantas cagas positivas n l núclo, como lctons n la cotza, sin mbago, n los mtals los lctons pun tn movilia nto la cistalina. n lo qu spcta al compotaminto léctico, los matials pun iviis n os catgoías: conuctos y aislants o ilécticos. n conucto mtálico s un sólio qu contin lctons libs, llamaos lctons conucción, qu pun splazas n l intio la matia, po no pun ja la supfici n un mtal xistn muchos lctons conucción y un campo léctico pu pon n moviminto a gan pat llos, sin mbago sta coint lctons qu s gna, ncsita paa mantns una funt xtna ngía, como po jmplo una pila. Si no xistis sa funt ngía xtna, o si s sconcta, tas un bv píoo timpo n l qu s isipa la ngía, las coints sapacn y l conucto alcanza l quilibio. st s l stao qu s consia n la lctostática, l análisis conuctos n quilibio, fig.6.3. Los conuctos tinn cagas, po las cagas stán quitas. 6.. CAMPO LÉCTICO Y POTNCIAL D N CONDCTO. l campo léctico nto un conucto n quilibio (nto l mtal) b s nulo o lo contaio l campo fozaía l moviminto los lctons conucción; la única solución lctostática posibl s qu l campo sa co n too punto l intio l conucto [ ] int (6.3) l intio un conucto n quilibio, fig.6.3, b s una gión a potncial constant, s ci no pu vaia un punto a oto al s, y también su supfici staá al mismo potncial qu l intio. [ ] con ct (6.3) Dnto un conucto cagao n quilibio, fig.6.4, aplicano la ly Gauss a supficis gaussianas, qu ncin un volumn muy pquño, la nsia cúbica caga ha s nula n su intio, paa no ca un campo léctico. Po lo tanto, las cagas un conucto cagao n quilibio s ncuntan toas n la supfici l conucto, n alia n una gión, cuyo spso s l on un iámto atómico. Pácticamnt pomos consialas n la supfici, con una nsia supficial σ. Si σ stá unifommnt istibuia po la supfici l conucto, y A s su áa, ntoncs la caga l conucto s σ A. Si po l contaio σ s vaiabl nto la supfici fig.6.4, ntoncs s vifica: Caga un conucto σ A (6.3) nconta la foma n la qu s istibuyn las cagas sob la supfici un conucto s n gnal un poblma muy complicao, ya qu pn la foma l popio conucto y la los conuctos qu A int io - - Ct - Fig.6.3 n algunas situacions, n la supfici un conucto pu hab zonas con caga positiva y otas con caga ngativa. Po jmplo, imagínat un conucto n l sno un campo. La caga léctica l léctico conucto s istibuy n la supfici, foma qu l campo léctico n su intio sa nulo y l potncial constant. σ Línas quipotncials Fig.6.4 Fig.6.4. n las puntas, la nsia caga σ no s unifom, ntoncs, n l xtio l conucto las línas fuza l campo léctico y las supficis quipotncials, stán más aptaas. 4

2 s hayan n su poximia, sin mbago la nsia supficial caga σ b s compatibl con l hcho qu nto l conucto, o icho oto moo: la caga σ b apantalla l campo qu toas las cagas situaas n la supfici l conucto o n otos conuctos, caían n l intio l mismo. l campo léctico inmiatamnt fua la supfici un conucto b s ppnicula a su supfici (cués qu ésta s quipotncial y simp s ppnicula a las supficis quipotncials). Amás, si hubia componnt tangncial l campo léctico, ésta haía movs a los lctons conucción, a lo lago la supfici, y no staía l conucto n quilibio. tilizano la ly Gauss pomos laciona l campo inmiatamnt fua l conucto, con la nsia supficial caga σ. S toma supfici gaussiana, fig.6.5, una pquña caja cilínica j ppnicula a la supfici l conucto, qu s ncunt mita fua y mita nto, altua spciabl y scción tansvsal pquña S, paa qu la poción supfici intcptaa pua consias plana. D la ly Gauss, como solo hay flujo po l xtio,. σ S S σ, (6.33) σ int io Fig.6.5 Aplicación la ly Gauss paa halla l campo, póximo al conucto n un conucto cagao n quilibio APLICACIONS. sfa conuctoa cagaa. Campo léctico Supongamos una sfa conuctoa aio qu tin una caga. Las cagas s patián sob la supfici l conucto, fig.6.6, tal foma qu l campo léctico sa nulo n su intio. Paa un conucto sféico, bio a la simtía, sto s consigu con un pato unifom la caga, con nsia supficialσ, vificános: 4π S σ σ (6.34) l campo léctico n l xtio l conucto, como s aial, sulta u, y s tmina aplicano la ly Gauss a una supfici sféica concéntica con l conucto, aio >. S 4π u (6.35) 4π Potncial léctico Nos situamos n un punto xtio, a una istancia l cnto, tal qu sa ; qu s l aio la sfa; intgamos s st punto hasta l infinito, a lo lago una icción aial. D la finición potncial c.(6.5) y tnino n cunta nustos límits sulta: u 4π 4π 4π (6.36) Paa tmina l potncial al qu s ncunta l conucto sféico, hacmos n la xpsión antio (6.36), qu s la istancia la supfici l conucto a su cnto y l aio la sfa. Potncial l conucto C (6.37) 4π σ Fig.6.6 Aplicación la ly Gauss paa tmina l campo n l xtio, una sfa conuctoa cagaa aio. La supfici gaussiana s la sfa aio 5

3 JCICIO SLTO ifica, qu una sfa conuctoa cagaa con µc; y, m aio, s ncunta a un potncial Planos conuctos. Consimos ahoa os placas mtálicas, planas y paallas spaaas una istancia y stablzcamos una ifncia potncial A - B nt las mismas, fig.6.7. Si la istancia nt las placas s mucho mno qu la longitu las mismas, al s caa una llas una supfici quipotncial, l campo léctico nt las placas sá unifom y ppnicula a llas. Llvano l j Z sgún la ppnicula a las placas, l campo léctico s k ; y tnino n cunta la finición ifncia potncial nt os puntos A y B, c. (6.8); tomano l punto A n la placa abajo y l B n la aiba sulta: B A B k k A sultano paa l valo sconocio l móulo l campo léctico A B (6.38) Las nsias supficials caga n las placas, s ucn la σ c.(6.33) al igualala con la c.(6.38). ( σ ) abajo ( A B ), ( σ ) aiba ( ) A B (6.39) l signo mnos la sguna fomula hay qu intoucilo, bio a qu l campo apunta hacia la placa aiba y n conscuncia su nsia supficial caga ha s ngativa, mintas qu n la placa infio s positiva, fig.6.8. La caga léctica n la supfici l conucto abajo, val: ( ) A ( ) abajo A σ, (6.4) n l conucto aiba la caga val igual po signo contaio, l campo léctico n la cavia un conucto. A B Z Fig.6.7 A l campo léctico apunta s l plano mayo potncial A; hasta l plano mno potncial B. σ σ Fig.6.8 nt os planos cagaos unifommnt con nsias cagas σ y -σ l campo léctico, s unifom y s psnta po línas campo, paallas igualmnt spaciaas. - B S - b Tommos ahoa un conucto con un huco o cavia, la cual s supon vacía (sin cagas), y vamos a mosta qu l campo s nulo nto la cavia cualquia qu sa su foma. Si tomamos una supfici gaussiana fig.6.9 qu oa a la cavia po qu stá inmsa n l mtal l conucto, on, l flujo l campo a tavés S s nulo y la ly gauss s uc, qu la caga nta n l intio S (la cual solo poía sta istibuia n la supfici intna la cavia) s nula, s ci: σ A (6.4) Acav a Paa qu s cumpla la antio iguala, b s σ nula, o positiva sob una pat la supfici la cavia y ngativa sob ota, moo qu s compnsn xactamnt. Suponino qu sto ocuia, bían hab línas fuza l campo léctico (con apuntano n Fig Campo nto la cavia un conucto, psntaa n l cnto la figua. 6

4 l mismo sntio) nto la cavia, qu nacían n las cagas positivas (igamos n a) la supfici intna y qu iían a paa a las ngativas (igamos n b) y po hab campo, nt a y b xistiía una ifncia potncial y, lo cual s imposibl ya qu los puntos a a b y b ptncn al mismo conucto n quilibio, l cual sabmos qu s quipotncial, po lo tanto la única solución posibl s qu n la cavia y conscuntmnt σ, n la supfici la cavia. ( ) cavia sin c ag as σ, ( ) cavia sin c ag as Obsva, qu nos stamos fiino ahoa a una cavia vacía, s ci sin cagas y ntamnt oaa po un solo conucto. mos, qu ninguna istibución cagas státicas n l xtio, pu pouci un campo n l intio la cavia y sto xplica l pincipio blinaj un quipo léctico cuano ést s ubica nto una caja mtálica CAPACIDAD D N CONDCTO. S ha visto al stuia l campo léctico, nt os placas conuctoas y paallas con una ifncia potncial A B, qu la caga almacnaa n caa una las placas s popocional al valo A B ; c. (6.4). Si consiamos qu la placa a potncial co s llva al infinito, s pu tmina paa la placa cagaa a potncial A qu ahoa llamamos ; una nuva magnitu, llamaa Capacia l conucto, qu pmit laciona la caga ; con su potncial, stano finia como l coficint popocionalia C, nt ambas magnitus. S pu scibi: C (6.4) Físicamnt psnta, la caga qu almacna l conucto po caa unia potncial (oltio) al qu s ncunta. La unia capacia s llama Faaio y s uc la c.(6.4): nia capacia C/ Faaio. Fig.6.3 Connsao plano. na aplicación las placas paallas s l connsao plano, on cca l bo las amauas, las línas l campo léctico jan s ctas, cuvános. La gión n la qu ocu sto s muy pquña, si la istancia nt las placas s mucho mno, qu la longitu éstas. Las capacias los connsaos usuals son mucho mnos qu un Faaio, po lo qu s usan ivisos ést: µf -6 F. nf -9 F. pf - F. Pu mostas, qu la capacia un conucto pn su gomtía: foma y imnsions l mismo, y la pmitivia l mio qu l oa. Si l conucto s sféico aio y caga. n st caso hay qu imagina, qu l sguno objto conucto, s una supfici (cascaa) sféica aio infinito, a potncial co, y concéntica con nusta sfa aio. Hmos visto n la c.(6.37) qu la caga la sfa s 4π c, y sustituyno n (6.4) sulta: 4π c C c c 4π Obsva qu la capacia la sfa conuctoa pn su aio, y l mio qu la oa, qu n st caso s l vacío pmitivia. 7

5 Consiano l conjunto os placas planas y paallas, como n la fig.6.3, s obtin un connsao y la capacia paa su gomtía s: C Aa placa A (6.43) 6..5 NGÍA LCTOSTÁTICA. Si un conjunto conuctos con cagas,, j, n s ncuntan n quilibio lctostático, con potncials,, j n la ngía lctostática l sistma conuctos vin aa po la cuación: i i (6.44) i La ngía lctostática l sistma conuctos, s la suma, la mita l poucto la caga caa conucto, po su potncial cosponint. Como aplicación la fómula antio, ncontamos la ngía lctostática os placas conuctoas paallas áa A, qu constituyn un connsao plano, fig.6.3. Si la placa abajo () tin caga y potncial, mintas qu la aiba y, la ngía l conjunto val: ( ) C (6.45) C La ngía lctostática las cagas y ; qu stán istibuias sob las placas, s pu xpsa también ota mana muy impotant. Consiano qu l campo léctico nt las placas s unifom, l potncial val sgún la c.(6.38) ; y amás la A c.(6.43) la capacia l connsao s C. Sustituyno. C A ( ) ( ) ( A ) ol (6.46) Fig.6.3 Connsao plano cagao n on A s l poucto l áa la placa A, po la istancia nt placas, n finitiva, s l valo l volumn compnio nt las placas, qu s conoc como l volumn l iléctico. La impotancia la c.(6.46) aica, n mosta qu la ngía l sistma conuctos cagaos y n quilibio, s ncunta n l campo léctico qu hay nt los mismos. s fcunt tmina la ngía contnia n la unia volumn l iléctico, magnitu conocia como nsia ngía u. Basta con ivii po l volumn l iléctico. J u (6.47) n l S.I. s mi n ol Aunqu la fómula antio s ha ucio po sncillz, paa un caso paticula, tin valiz gnal con una liga moificación. n una gión l spacio lib cagas puntuals, la ngía lctostática vin aa po una intgal xtnia a toa la gión l spacio n la qu xist s campo léctico. 3 m 8

6 JCICIO SLTO Dtmina la ngía lctostática una sfa conuctoa aio, y cagaa con un caga. D la c. (6.37) l potncial la sfa val, po lo tanto la ngía: 4π 4π 8π 9