[ R] [ ] ohm.m. ρ = TEORÍA DEL ELECTRÓN LIBRE EN LOS METALES

Transcripción

1 TEORÍA DE EECTRÓN IBRE EN OS METAES S tata d constui un modlo micoscópico dl compotaminto d los lctons n un mtal qu pmita dscibi sus pincipals popidads, a sab: a conductividad léctica σ. a conductividad témica K. Suposicions básicas d la stuctua d un mtal: 1) Un mtal s un sólido compusto po dos tipos d patículas: a) os ions fijos fomando una d y cagados positivamnt (+) b) os lctons d valncia qu s muvn libmnt nt llos (-), lctons d conducción. ) El quilibio tmodinámico d los lctons s mantin mdiant colisions instantánas qu sólo poducn un cambio abupto d vlocidad. ) S dspcian las intaccions nt colisions: a) Ent los lctons : apoimación dl lctón indpndint b) Ent los lctons y los ions d la d: apoimación dl lctón lib. 4) τ timpo d lajación, s l timpo mdio qu tanscu nt dos colisions. as suposicions antios nos pmitn constui una imagn posibl d un mtal. Sin mbago, hablamos d quilibio tmodinámico y sabmos qu la dscipción dl stado tmodinámico d un sistma d patículas dpnd d sus popidads. D acudo a sto s han constuido históicamnt difnts modlos: El modlo clásico d Dud- ont (1900). Aplica la stadística d Mawll-Boltmann. El modlo cuántico d Sommfld. Aplica la stadística d Fmi-Diac. amos a v cuals son los puntos clav qu afctan la cocta dscipción dl compotaminto d los lctons n un mtal. CONDUCTIIDAD EÉCTRICA. Cuando s aplica un campo léctico E a un mtal n l cual los lctons s stán movindo con una vlocidad témica mdia v, tal qu v = 0, todos los lctons son aclados adquiindo una vlocidad d aast o dsplaaminto u. Est moviminto d los lctons da luga a una coint léctica i n la dicción dl campo aplicado. a coint oiginada, obdc macoscópicamnt a la ly d Ohm: ir =. Paa un conducto d longitud, scción tansvsal A y sistividad ρ, [ R] = ohm R = ρ (1) A ρ = [ ] ohm.m Podmos scibi la ly d Ohm n función dl campo aplicado: ir = iρ = = E () A 1

2 Dond hmos considado qu s l potncial qu apac n un conducto d longitud cuando s aplica un campo léctico E. Entoncs, dspjando la coint: EA i = () ρ Rcodando qu la dnsidad d coint J stá lacionada con la coint léctica como: i = J. ds, paa un conducto d scción tansvsal A, s pud scibi : i = JA Entoncs n () podmos mplaa y tnmos J = 1 E = σe ρ En gnal J = σe (4) s ota psión d la ly d Ohm n la cual σ s la conductividad. Nusto objtivo sá ahoa nconta una psión paa σ n función d las popidads d los mtals. # d lctons Supongamos un mtal con una dnsidad n d lctons d conducción: n : unidad d volumn Al aplica un campo léctico E, adquin vlocidad d aast u. Entoncs, la dnsidad d coint J, qu psnta la caga léctica qu atavisa la unidad d áa n la unidad d timpo s: J = n( ) u = σe (5) Dond s la caga dl lctón. da a caga total contnida n l difncial d volumn sá: n q = ( ) nd = ( ) nudtda Entoncs la dnsidad d coint q J = = ( ) nu dtda Compaación nt los valos d la vlocidad témica d los lctons y la vlocidad d aast. Supongamos una coint d 1 A n un conducto d cob (n = 8,4710 cm - ) cuyo diámto s d = mm. u = v MB i An 1 5, = 10 6 π.10.8,4.10.1,6.10 8kT = π m = 1, m sg m sg 6 m v = v FD FCu = 1,.10 4 sg T = 00 K Como vmos las vlocidads témicas, cualquia sa l modlo qu usmos (clásico o cuántico) son vaios odns d magnitud mayos qu la vlocidad d aast. udt A

3 Intptación física y dfinición d paámtos caactísticos Al aplica un campo léctico E, todos los lctons pimntan una fua: E F = E, mdiant la cual adquin una aclación a =. Con sta aclación, los lctons aumntaían indfinidamnt su vlocidad, sin mbago, la ly d Ohm pdic una situación stacionaia, n la cual ist una vlocidad mdia d aast(5): u E. En alidad s una situación d dsquilibio tmodinámico, po s supon qu la ngía cdida po l campo s mucho mno qu la ngía cinética témica. (v los sultados dl jmplo). Paa calcula la vlocidad d aast, la cual sabmos qu alcana un valo stacionaio, dbmos supon qu l campo léctico actúa sob l lctón duant un lapso mdio d timpo τ nt vntos d dispsión (colisions). Entoncs, E u = aτ = τ (6) ugo la dnsidad d coint (5) sá: m m E n τ J = n( ) u = n( ) τ = E = σe m m Po lo tanto la conductividad pud psas como: n τ σ = (7) m El timpo mdio τ nt colisions, po las cuals s mantin l quilibio tmodinámico dl sistma, dpnd d la vlocidad témica mdia d los lctons v. S pud dfini l camino lib mdio nt colisions como: λ = vτ ; ntoncs, n función dl camino lib mdio y d la vlocidad témica d los lctons podmos psa la conductividad y la sistividad como: n λ m v σ = y ρ = (8) m v n λ En (6), podmos intoduci l concpto d movilidad µ: u = µ E Entoncs: τ µ = (9) m y n función d la movilidad: σ = nµ (10)

4 Intptación clásica (Modlo d Dud-ont) D lo qu hmos visto s ncsaio dtmina v y λ paa calcula σ, ρ y µ. El modlo clásico, supon al lctón como una patícula qu choca alatoiamnt con los ions d la d. Po st motivo, l camino lib mdio λ sá apoimadamnt dl odn d la spaación intatómica n la d. Admás supon qu los lctons son patícula clásicas (distinguibls) po lo qu obdcn la stadística d Mawll-Boltmann. Entoncs su vlocidad témica sá la cospondint a sta stadística paa una tmpatua T: v MB = 8 kt π m D sta mana, la sistividad tin una dpndncia con la tmpatua T : m ρ = n λ Sin mbago, pimntalmnt s compuba qu ρ T Admás los valos numéicos calculados tóicamnt paa la sistividad son mayos qu los pimntals. Po jmplo paa l Cu, a T = 00 K, la sistividad mdida s apoimadamnt 1, Ωcm y la calculada mdiant l modlo d D- s 1,410-5 Ωcm. Estimando la spaación intatómica n Å. a toía clásica d la conducción falla poqu los lctons no pudn s considados como patículas clásicas. En pim luga db considas su natuala ondulatoia sus intaccions con la d no son colisions dl tipo d bolas d billa sino qu db s considada la dispsión d ondas po la d. En sgundo luga, los lctons son fmions y como tals obdcn la stadística d Fmi-Diac y no la d Mawll- Boltman. Intptación Cuántica. Modlo d Sommfld. Hamos ahoa una dscipción dl poblma dl compotaminto d los lctons n un mtal mdiant la aplicación d la mcánica cuántica. Supongamos n pim luga un gas d lctons n dimnsions, ncados n una caja. Todos los lctons s ncuntan somtidos a un mismo potncial constant qu podmos lgi = 0. Rsolvmos la cuación d Schöding: h ( ) = ( ) ϕ εϕ m y Paa una caja : as solucions tinn la foma: ik. ϕ ( ) = A k = k, k, k ( ) y 8k πm Paa l caso d lctons n un mtal, buscamos solucions d onda viaja (no stacionaia) y paa llo aplicamos condicions d contono piódicas : T 4

5 n, ny, n : ntos p = hk = h k, k, k ( ) y ( +, y +, + ) ϕ(, y, ) ϕ = ik ( ) ik ( y ) ik ( ) k k y + y + + y k.. =.. k = ± n π k = ± n π k = ± n π k y n n π yπ nπ = ± k y = ± k = ± h k h h π ε = = ( k + k y + k ) = ( n ) + ny + n m m m os valos pmitidos dl númo d onda k, pudn s psntados como una d d puntos n un spacio con js ( k, k y, k ). Est spacio s lo conoc como spacio-k. Quda clao qu a pati d la lación d DBogli p = hk, n st spacio s pudn psnta los stados d moviminto d los lctons. π k a spaación nt dos puntos s y l π volumn dl cubo lmntal. Dado qu hay 1 punto po cada clda lmntal, la dnsidad d puntos n l spacio-k s: δ = ( π ) En un sistma d fmions (lctons), la máima ngía a 0 K s l la E F y l k F cospondint, sá: F k h k hkf EF = y vf = m m Podmos psnta n l spacio-k, todos los stados ocupados hasta k F como puntos dnto d una sfa d adio k F. k F y v F son l númo d onda y la vlocidad d los Esfa d lctons qu s ncuntan sob la supfici d Fmi Fmi. Qué sucd cuando s aplica un campo léctico E?: k F dp F = = E ; Supfici dt d Fmi po las lacions d D Bogli p = hk ntoncs: dk F = h = E dt Supongamos qu l campo pud actua sob l lctón nt dos vntos d dispsión (colisions) spaados po un timpo τ, ntoncs podmos scibi la vaiación d k como: y k y π 5

6 k ( τ ) = k ( 0 ) τe (11) h Po simplicidad supongamos qu aplicamos un campo n la dicción. Si miamos la poycción d la sfa d Fmi n l plano k,k y tnmos, k y δk k Como l campo actúa sob todos los lctons, toda la sfa s habá dsplaado un δ k. En quilibio k = 0, lugo si tomamos l valo mdio n psncia dl campo léctico n (11): k ( τ ) = τ E y la vlocidad mdia d aast: h h k u = = τ E. Ahoa podmos scibi la dnsidad d m m n n coint: j = n( ) u = τ E, ntoncs σ = τ E s igual a la psión obtnida mdiant m m l modlo clásico d Dud. Podmos psa como ants l timpo d lajación n función dl camino lib mdio, po ahoa la λ vlocidad témica sá la d Fmi, ntoncs: τ =. Po v F vmb po lo qu la conductividad s aún mno qu n l modlo clásico, difiindo aún más d los sultados pimntals. Po oto lado, 1 la sistividad ρ = sía indpndint d la tmpatua pus v F s indpndint d la tmpatua. σ Po lo tanto tnmos qu busca una spusta intptando λ. Dbido a la natuala ondulatoia d los lctons, las intaccions no s poducn con los ions individuals sino con toda la d. En un cistal pfcto, un lctón no sía dispsado y λ. a dispsión d los lctons s poduc po las impfccions n l cistal y stas son dbidas fundamntalmnt a dos motivos: 1) las vibacions témicas d la d. Poducn igulaiads n la distibución d los ions. ) En un cistal al istn impuas, vacancias y dfctos. Son státicos y altan la piodicidad d la d. Es posibl ntoncs dfini timpos d lajación difnts paa cada uno d llos. as vibacions d la d dpndn d la tmpatua T. A mdida qu aumnta la T, aumntan las vibacions y po lo tanto las igulaidads n la d lugo τ sá mno. Cuando T 0, τ. Dsignamos al timpo d lajación lacionado con las vibacions d la d como τ T. Al timpo d lajación lacionado con la psncia d dfctos, impuas o vacancias lo dsignamos como τ 0 y lo podmos consida indpndint d la tmpatua. A una dada tmpatua, la dispsión d los lctons s poduc po ambos fnómnos. Si suponmos qu ambos mcanismos son indpndints la fcuncia d las dispsions staá dada po: = + τ τ T τ 0 lugo: v F 6

7 ρ 1 m 1 m 1 m 1 = ρ σ τ + τ = = = τ T n n + T n 0 ( ) ρ0 gla d Mathissn ρ(t) s la sistividad idal, ρ 0 s la sistividad sidual El gáfico d la dcha musta la sistncia dl potasio Paa dos mustas difnts. as intsccions con 0 K (polongación analítica) s atibuy a las difnts concntacions d impuas impfccions n las dos mustas. a conscuncia dl compotaminto ondulatoio d los lctons s qu l camino lib mdio s mucho mayo qu la spaación intatómica. Es intsant hac l cálculo a pati d valos pimntals d la conductividad paa algún mtal conocido po jmplo l Na: A T ambint: σ Na = 10 7 (Ω.m) -1 y n Na =,710 8 m - lugo: m σ τ = =, s. n Paa l Na, v F =1,110 6 m/s ntoncs λ= 90 Ǻ, mucho mayo qu la spaación intatómica (~4 Ǻ). Es posibl admás v, calculando la dpndncia con la tmpatua d la ngía vibacional d la d o mdiant la dscipción cuántica d las vibacions d la d mdiant fonons qu la sistividad dpnd linalmnt con la tmpatua como lo mustan los sultados pimntals. Fonons: la ngía d las vibacions d la d stá cuantiada y los cuantos d ngía acústica s 1 llaman fonons : ε n = n + hω. El cuanto d ngía d vibación d fcuncia ω, s h ω. a sistividad s popocional a la concntación d fonons y ésta s popocional a la tmpatua. CONDUCTIIDAD TÉRMICA Y CAPACIDAD CAORÍFICA os bunos conductos d lcticidad son bunos conductos d calo. a toía clásica popon qu sto s db a qu los lctons son los sponsabls d la conducción témica. El flujo d calo, s popocional al gadint d tmpatua y la constant popocionalidad s la dq dt conductividad témica K. = K y s ncunta a pati d la toía cinética d los gass Adt d 1 (clásica) qu K = vλc. v s la vlocidad témica mdia, λ l camino lib mdio y C la capacidad caloífica po unidad d volumn. Rsistividad lativa, 10 R/R90 K Tmpatua, K

8 Epimntalmnt s compuba qu la capacidad caloífica d los sólidos s apoimadamnt igual paa todos. Esta s la ly d Dulong y Ptit. El modlo s basa n consida a las moléculas d un sólido como oscilados tidimnsionals. Aplicando a stos oscilados la stadística d Mawll-Boltmann, s obtin qu la ngía mdia po oscilado s : ε = kt, ntoncs paa un mol d átomos d una sustancia la ngía total U sá: U = N AkT. R Y la capacidad caloífica mola U Cm = = N Ak = R (R s la constant d los gass; T N A l númo d Avogado y k la constant d Boltmann) T C Supongamos qu los lctons también paticipan n la conducción y qu obdcn la stadística d M- B, ntoncs su ngía mdia sá ε = kt. Supongamos po jmplo qu s tata d un mtal qu tin un lctón d conducción po átomo, ntoncs, la ngía total d un mol dl mtal sá: 9 du 9 U = N AkT + N AkT = RT y C = = R, lo cual no s obsva pimntalmnt. dt Paa calcula coctamnt la paticipación d los lctons n la capacidad caloífica d los mtals hacmos l cálculo po considamos la stadística cocta d Fmi-Diac. Paa una tmpatua T podmos consida l áa bajo la cuva paa ngías mayos qu ε F como un tiángulo d g( ε bas kt y altua F ) N, dond g( ε F ) =. El númo d ε F lctons qu ha incmntado su ngía n kt sá 1 g( ε F ) NkT apoimadamnt kt = y la ngía qu 8 ε NkT N( kt ) habá ganado l sistma : kt = 8 ε F 8 ε F Ahoa la ngía total d un mol d mtal sá : F dn dε ε F ~kt g( ε F ) ε N( kt ) U N AkT + y C 8 ε F du Nk T = R +. Si psamos ε F = ktf podmos scibi dt 4 ε T C R + R. 4 TF Como ya s vio, las tmpatuas d Fmi son muy lvadas, dl odn d 10 4 K po lo qu l sgundo témino n la última psión s dspciabl. Un cálculo más pciso da paa l Cu a tmpatua ambint una contibución lctónica d 0,0R. F 8

9 Entoncs C = R como lo pdic la ly d Dulong y Ptit. 9